Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä."

Sofia Riitta-Liisa Palo
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Ratkaisut 2 Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. a) venymä ja liukuma b) Poissonin luku c) Kuvassa on esitetty ilmapallo, jonka halkaisija sen keskikohdassa on d [mm]. Ilmapallon sisäisen paineen muutoksen seurauksena halkaisija kasvaa 30 prosenttia. Laske ilmapallon (normaali)venymä. a) Venymä ja liukuma Venymä ε (epsilon) kuvaa rakenteen muodonmuutoksen suuruutta. Tällä kurssilla venymällä tarkoitetaan insinöörivenymää, joka määritellään yhtälöllä ε = L L 0 = L L 0 L 0. (1) Venymä kuvaa suhteellista muodonmuutosta ja on siten yksikötön suure. Venymä liittyy olennaisesti normaalivoimaan ja normaalijännitykseen. Leikkausvoimaan ja leikkausjännitykseen liittyvää venymää kutsutaan yleisesti liukumaksi γ (gamma). 1

2 Liukuma eli liukukulma määritellään yhteydestä γ xy = γ 1 + γ 2 (2) eli γ on koordinaattiakselien kanssa muodonmuutoksessa syntyneiden kulmien summa. Liukuman yksikkö on siten radiaani eli se on venymän tapaan paljas luku. Jos ei ole erityistä syytä erottaa (normaali)venymää ε ja liukumaa γ toisistaan, voidaan molempia kutsua venymiksi. b) Poissonin luku Poissonin luku ν (nu) on yksikötön materiaalin ominaisuus, joka määritellään isotrooppiselle materiaalille yksiaksiaalisessa tapauksessa kaavalla ν = ε ε (3) missä ε on venymä kuormittavan voiman vaikutussuuntaan nähden kohtisuorassa suunnassa ja ε venymä kuormittavan voiman vaikutussuunnassa. Jos esimerkiksi ainetta puristetaan yksiaksiaalisella voimalla F, se puristuu kasaan voiman F vaikutussuunnassa ja leviää vaikutussuuntaan nähden kohtisuoriin suuntiin. Vastaavasti jos ainetta venytetään yhdessä suunnassa se kutistuu muissa suunnissa. Poissonin luku ν kuvaa muissa suunnissa tapahtuvan muodonmuutoksen suuruutta. c) Olkoon ilmapallon halkaisija alkutilassa ja muodonmuutoksen jälkeen D. Ilmapallon kehän pituus saadaan kaavasta p = 2πr, (4) jossa r [mm] on ympyrän säde. Voidaan myös ilmaista säde halkaisijan avulla (d = 2r), jolloin saadaan Sijoittamalla tulos venymän kaavaan (1) saadaan p = πd. (5) ε = d = D = (1, 3) = 0, 3. (6) 2

Tehtävä 2 Kuvassa (a) on esitetty materiaali piste, jossa vallitsee tasojännitystila: σ xx = 60 MP a, τ yy = 20 MP a ja τ xy = 10 MP a. Piirrä kuvaan jännitysnuolet ja lukuarvot.

3 Tehtävä 2 Kuvassa (a) on esitetty materiaali piste, jossa vallitsee tasojännitystila: σ xx = 60 MP a, τ yy = 20 MP a ja τ xy = 10 MP a. Piirrä kuvaan jännitysnuolet ja lukuarvot. Kuvassa (b) on esitetty tasojännitytilaa. [ Kirjoita ] kuvan perusteella jännityskomponettien σ xx, τ yy ja τ xy σxx τ lukuarvot matriisimuodossa, [σ] = xy. τ yx σ yy Alla kuvassa on esitetty äärettömän pienen pisteen jännitystilaa (3D). Määritä mitkä jännityskomponetit ovat T 1, T 2 ja T 3 :n osakomponentteja. T i :n laatu on [N/m 2 ]. jännityskomponenttien indeksit ja suunnat Positiivinen normaalijännityskomponentti (nuoli ulospäin) merkitsee vetoa, negatiivinen puristusta. Leikkausjännitykset merkitään kuvaan seuraavasti: 3

1. Valitaan koordinaattiakseli alaindeksin ensimmäisen kirjaimen mukaan (tasotapauksessa x tai y) ja siirrytään valitun koordinaattiakselin positiivisen suunnan osoittamalle pinnalle 2.

4 1. Valitaan koordinaattiakseli alaindeksin ensimmäisen kirjaimen mukaan (tasotapauksessa x tai y) ja siirrytään valitun koordinaattiakselin positiivisen suunnan osoittamalle pinnalle 2. Piirretään viiva valitun pinnan keskeltä alaindeksin jälkimmäisen kirjaimen ilmoittaman koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan 3. Jos jännityskomponentin arvo on positiivinen, nuolen kärki jälkimmäisen koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan (ja päinvastoin) 4. Täydennetään nurkat symmetrisiksi 5. Kirjoitetaan nuolen viereen leikkausjännityksen arvo ilman etumerkkiä. a) Edellä mainittujen ohjeiden perusteella saadaan b) Ohjeita seuraamalla voidaan kuvista lukea arvot: [ σ xx = 80 MP a, σ yy = 25 MP a, τ xy = 10 MP a. Tällöin jännitysmatriisi [σ] = ]. c) Hajottamalla vektori T i osakomponentteihin ja soveltamalla jännityskomponenttien indeksointisääntöä saadaan Tehtävä 3 Teräksestä valmistettua lyhyttä sauvaa puristaa voima P. Voima vaikuttaa profiilin keskipisteessä. Kun sauva on kuormittamattomassa tilassa on sen poikkileikkausprofiilin mitta a = 4 mm. Mikä on suurin sallittu puristava voima P, kun sauvan profiilin mitta a ei saa ylittää arvoa 4, 01 mm. Sauvan omapainoa ei huomioida. Teräksen kimmokerroin E = 210 GP a ja sen Poissonin luku ν = 0, 3. 4

5 Sauvassa vaikuttava normaalijännitys on puristava (N = P ) σ = N A = P A, (7) joten voimansuuntainen venymä eli venymä x-suunnassa on Hooken lain (σ = Eε) mukaan Venymät y- ja z-suunnissa saadaan yhteydestä missä ν on Poissonin luku. Annettu venymän maksimiarvo on ε x = σ x E = P EA. (8) ε y = ε z = νε x = ν P EA, (9) ε max y = ε max z = a a 0, (10) missä a = a a 0 = 4, 01mm 4mm = 0, 01mm. Yhdistämällä kaavat (9) ja (10) saadaan yhtälö josta voidaan ratkaista sauvassa vaikuttava voima a a 0 = ν P EA, (11) P = EA a νa 0 = Ea2 0 a νa 0 = Ea 0 a ν (12) Sijoittamalla numeroarvot saadaan tulos P = , N = N (13) 0, 3 5

Samankaltaiset tiedostot

Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.