SUORAN SAUVAN VETO TAI PURISTUS

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "SUORAN SAUVAN VETO TAI PURISTUS"

Juho-Matti Jyrki Alanen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 SUORAN SAUVAN VETO TAI PURISTUS Kuva esittää puhtaan vedn tai puristuksen alaista suraa sauvaa Jännityskentän resultantti n N ( y, z)da Tietyin edellytyksin n pikkileikkauksen jännityskenttä tasainen, jllin ( yz, ) ja N da daa 1

2 SAINT VENANT n periaate Saint VENANT n periaate: Mitä kauempana kurmituksen vaikutuskhdasta tarkasteltava pikkileikkaus n, sitä vähemmän kurmituksen jakaantuma vaikuttaa kyseisen pikkileikkauksen jännityskenttään. Useimmiten kurmituksen jakaantuman vaikutus pikkileikkauksen jännityskenttään n svellusten kannalta mitätön j muutaman kurmitusalueen tyypillisen mitan päässä siitä. 2

3 Nrmaaliviman ja siirtymän välinen yhteys Kuvan perusteella vidaan kirjittaa dxˆ d xu( xd x) dx jsta venymälle saadaan dxˆ d x (d xu( xd x) d x)) dx du dx dx dx Venymän ja siirtymän yhteys n siis du dx Tämä vidaan kirjittaa mudssa N du dx dx dx E EA Integrimalla tätä yhtälöä saadaan x E N ux ( ) d xu u ux ( ) ua ( ) EA x N A 3

4 Useimmiten riittää, että lasketaan sauvan pituuden muuts b N L ub ( ) ua ( ) dx EA a ( bal) Js nrmaalivima N, kimmmduuli E ja pikkipinta ala A vat vakiita (hmgeeninen ja tasavahva sauva), niin pituuden muuts L n b b N N N N L dx d x ( b a) L EA EA EA EA a a L NL EA ESIMERKKI Määritä kuvan tasapaksun ja hmgeenisen sauvan nrmaalijännityksen ja siirtymän lauseke muuttujan x funktina. Mikä n sauvan alapään siirtymä? Kurmituksena n ma pain ja sauvan pikkileikkauksen ala n A, materiaalin tiheys ja kimmkerrin E. 4

5 RATKAISU: Sauvan palan pain: Gx ( ) gax Sauvan palan vapaakplkuvasta pystytspeht: Gx ( ) Nx ( ) 0 Nx ( ) gax N( x) ( x) gx A Integridaan ja tetaan humin reunaeht ul ( ) 0 x N x gx g x u( x) dxc dx C xdx C EA E E g x g ux ( ) / 1 2 xc ( 1 2 x ) C E 0 E g x 2 C 2E g g RE: ul ( ) 0 LC0 C L 2E 2E g 2 g 2 ux ( ) x L 2E 2E Sauvan alapään siirtymä g g g u() 0 0 L L 2E 2E 2E

6 ESIMERKKI Laske pisteiden B, C ja D siirtymät ub, uc ja u D sekä sauvan pituuden muuts. F F 8kN F 32 kn E 210 GPa A 225mm 2 ESIMERKKI Kuvan symmetristä tasristikka kurmittaa pystysura vima F. Määritä nivelen A siirtymän lauseke. Materiaalin kimmkerrin n E ja sauvjen pikkileikkaus ala A. RATKAISU: S sin S sin 0 S S S cs F 0 S F / 2cs 1 1 Tästä seuraa sauvjen pituuden muutkselle S1( h/cs ) Fh AB AC 2 EA 2EAcs 6

7 Nivel A siirtyy alaspäin uuteen paikkaan A. Piirretään B keskipisteenä ja jana BA säteenä ympyrän kaari AA. Tällöin jana AA ˆ n sauvan pituuden muutksen AB suuruinen. Käytännön rakenteissa siirtymät vat hyvin pieniä rakenteen mittihin verrattuna, jllin ympyrän kaari AA vidaan krvata suraa BAˆ vastaan khtisuralla janalla ja lettaa kulman AAA ˆ suuruudeksi kuvan mukaisesti. Surakulmaisesta klmista saadaan siirtymälle lauseke v A AB Fh 3 cs 2EAcs v A Ratkaisu: ESIMERKKI Laske kuvan ristikn kurmitetun nivelen A pysty ja vaakasiirtymät. Materiaalin kimmkerrin n E ja sauvjen pikkileikkaus ala A. Ristikn kurmituksena n vima F. Nivelen A vkk:sta F S sin 0 S F / sin AC S cs S 0 S F / tan AC AC AB AB 7

8 Lasketaan pituuden muutkset FL 1, F L FL AB AC EAtan EA sin cs EAsin cs Kuvasta saadaan u AB FL EAtan ˆ AB AC v AD DA tan sin FL FL 2 2 EAtan EAsin cs FL 2 1 cs EAsin cs 8

TEHTÄVÄ Hyvin jäykkä tappi B yhdistää tisiinsa terässauvan DE, jnka väli BE n 900mm, paksuus 6mm ja kimmkerrin 210GPa sekä kaksi messinkisauvaa, jiden paksuus n 4mm ja kimmkerrin 105GPa.

9 TEHTÄVÄ Hyvin jäykkä tappi B yhdistää tisiinsa terässauvan DE, jnka väli BE n 900mm, paksuus 6mm ja kimmkerrin 210GPa sekä kaksi messinkisauvaa, jiden paksuus n 4mm ja kimmkerrin 105GPa. Määritä pisteiden B ja E siirtymä. Vast: 0, 429mm, 1, 29mm TEHTÄVÄ Kuvan pyöreän terässauvan materiaali n S235J2G3 EN Mitita sauvan halkaisija d, kun kurmitus F 10kN. Laske sauvan pituuden muuts, kun kimmmduuli E 205GPa, sekä määritä viman vaikutuspisteen siirtymä. Vast: 101mm,, 38mm,, 48mm, 9

10 TEHTÄVÄ Kuvan tasristikn sauvjen mate riaali n terästä S235J2G3 EN Kummankin sauvan pikkileikkauksen ala 100 mm 2 ja kimmkerrin E 200GPa. Laske pisteen A siirtymät, kun F 1kN, 60, h3m Vast: 0, 087mm TEHTÄVÄ Kuvan tasristikn sauvjen mate riaali n terästä S235J2G3 EN Kummankin sauvan pikkileikkauksen ala 100 mm 2 ja kimmkerrin E 200GPa. Laske pisteen A siirtymät, kun F 1kN, 60, h3m Vast: 10

11 Sauvan lämpöjännitykset Kun lämpötilakentän T( x) muuts T n vaki sauvan pituudella L, niin sen lämpöpiteneminen nudattaa kkemuksen mukaan likimääräistä kaavaa L LT missä n sauvan materiaalin pituuden lämpötilakerrin. Sauvan kknaisvenymällä n lauseke T E missä summan ensimmäinen termi jhtuu jännityksistä HOOKEn lain mukaan ja tinen termi liittyy esteettömään lämpöliikkeeseen. Js sauvan piteneminen n täysin estetty liikkumattmilla tukilaitteilla, n sauvan kknaisvenymä 0, jten sauvan pikkileikkauksen lämpöjännitykseksi saadaan ET 11

12 Ratkaisu: ESIMERKKI Sauvan, jnka materiaali n paineastiaterästä P235GH (EN ), lämpötila muuttuu asennuslämpötilasta 20 C tasaisesti määrän 30 C. Tuet letetaan liikkumattmiksi. Määritä sauvan pikkileikkauksen lämpöjännitys. 6 E 210GPa, / C Sauvan vkk:sta nähdään, että sauvan nrmaalivima n vaki. Sauvan pituudenmuuts n NL/ 2 N L/ 2 L LT 0 EA E2A Tämä n ns. yhteenspivuusyhtälö. Tästä saadaan nrmaalivimalle 4 N 3EAT Lämpöjännitykseksi sauvan huemmalla salla saadaan N E T A Vaikka lämpötilan kasvaessa kimmmduuli pienenee, käytetään annettua arva (tulkset jännityksille vat varmalla pulella), jten E 210MPa MPa / C 30 C 100, 8MPa 1 3 Lämpöjännitykseksi sauvan huemmalla salla saadaan N , 4MPa 2A 12

TEHTÄVÄ Hyvin jäykkä tappi B yhdistää tisiinsa terässauvan DE, jnka väli BE n 900mm, paksuus 6mm ja pituuden lämpötilakerrin s 12 / C sekä kaksi messinkisauvaa, jiden paksuus n 4mm ja pituuden

13 TEHTÄVÄ Hyvin jäykkä tappi B yhdistää tisiinsa terässauvan DE, jnka väli BE n 900mm, paksuus 6mm ja pituuden lämpötilakerrin s 12 / C sekä kaksi messinkisauvaa, jiden paksuus n 4mm ja pituuden lämpötilakerrin b 20 / C. Määritä pisteiden B ja E siirtymä, kun lämpötilan muuts n T 35 C. Vast: TEHTÄVÄ Kuvan sauvassa lämpötila nusee 10 C. Mikä n viman F arvn ltava, että sauvan halkaisija ei muutu? Laske myös sauvan pikkileikkauksen jännitys. E 210GPa, 0, / C, d 100mm Vast: 13

TEHTÄVÄ Kuvan sauva, jnka materiaali n terästä P265GH (EN10028 2), n liimattu kahdesta sasta. Sauva n asetettu huneenlämpötilassa 20 C liikkumattmien tukien väliin.

14 TEHTÄVÄ Kuvan sauva, jnka materiaali n terästä P265GH (EN ), n liimattu kahdesta sasta. Sauva n asetettu huneenlämpötilassa 20 C liikkumattmien tukien väliin. Lämpötila nusee 70 C. Mikä n varmuus murtumiseen nähden, kun liiman leikkauslujuus n 90MPa? Laske myös sauvan pikkileikkauksen lämpöjännitys. 6 E 210GPa, / C Vast: 1, 65, 126MPa 14

Samankaltaiset tiedostot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 09: Tasoristikon sauvaelementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 09: Tasoristikon sauvaelementti, osa 2. 9/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 9: Tasristikn sauvaelementti, sa. ES9E Svelletaan tasristikn sauvaelementin teriaa kuvan (a) kahden pisteviman kurmittamaan ristikkn, jnka elementtiverkssa (b) n