Rak Rakenteiden lujuusoppi Tentti

Transkriptio

1 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Oheise jäitstila pääjäitkset tuetaa ja e ovat suuruusjärjestksessä σ I = 8Ma, σ II = 9Ma ja σ III = 9Ma. Määritä suurimma pääjäitkse suutaie ksikkövektori. Määritä mös suuri leikkausjäits ja sitä vastaava ormaalijäits sekä selitä millä tasoilla e vaikuttavat. Yksikköä o Ma Kuva kolmio muotoie lev deformoituu site, että urkkapisteet, ja siirtvät pisteisii, ja sekä deformaatio geometriakuvaus kolmio alueella o lieaarie. Määritä siirtmät u (, ) ja v, (, ) Lagrage vemät ε, ε ja liukuma γ., (,) (0,) (.5,.5) (.5,.5) (0,0) (, 0),

2 . Mitoita oheise puusta tehd palki poikkileikkaus, joka sallittu ormaalijäits o Ma. Tarkista lopuksi, että sallittu leikkausjäits Ma ei lit tue D vieressä olevassa poikkileikkauksessa., 6kN,8kN mm D h 0,8m 0,8m 0,8m 4. Määritä täsplastie mometti M p sauvalle, joka poikkileikkaus o kuva mukaie, ku poikkileikkausta taivutetaa vaaka-akseli mpäri. Materiaali otaksutaa oleva kimmoista ideaaliplastista mötäraja ollessa 40Ma. 00mm 0mm 0mm 80mm 0mm 60mm 5. lumiiisauva, joka halkaisija o 5mm, o tuettu kuva mukaisesti. Tuki estää vaaka- ja pstliikkee, rullatuet ja estävät vaakaliikkee ja kiertmise piirrokse tasossa. Määritä sallittu kuorma, ku varmuusluku urjahtamise suhtee o,, E = 77Ga, a = 0,9m, b =, m ja c = 0,m. Tarkastellaa vai kuva tasossa tapahtuvaa urjahdusta. D c b a

3 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut Kuva perusteella: σ = Ma, σ = Ma, σ = 5Ma, τ = Ma, τ = 0Ma, τ = 8Ma 8 [ σ ] = Suurimma pääjäitkse suutaie ksikkövektori: ([ σ ] σ I [ I]){ } = {0} σ I σ I 0 = = σ I Ratkaistaa ja kahdesta esimmäisestä htälöstä: = = 0 6 = = 6 = 0 ( 7) ( 6) = = =, =. Sijoitetaa e ehtoo + + =, jolloi saadaa 9 + ( ) + = = = 4 Tulos o = ( i j+ k ). =, = =, =. Suuri leikkausjäits ja sitä vastaava ormaalijäits: σ I σ III 8 ( 9) σ I + σ III 8 + ( 9) τ ma = =,5Ma, στ = = 4,5Ma Tasot muodostavat 45 kulmat pääjäitste vaikutustasoje kassa.

4 . Esitetää lieaariset lausekkeet = (, ) ja = (, ) muodossa = a + a + a, = b + b+ b, jolloi kuvio perusteella saadaa (0,0) = a + a 0 + a 0 =.5 a =.5 a =.5 (, 0) = a + a + a 0 = a =.5 a = (0,) = a + a 0 + a =.5 + a = a =.5 ja (0,0) = b + b 0 + b 0 =.5 b =.5 b =.5 (, 0) = b + b + b 0 = b =.5 b = 0 (0,) = b + b 0 + b =.5 + b = b =.5 ja lausekkeiksi = (, ) ja = (, ) saadaa = , = Siirtmille saadaa u = = =.5 +.5, v = = = Siirtmie osittaisderivaatoille saadaa u u = 0, =.5, v v = 0, = 0.5. Vemille saadaa u u [( ) v ( ) ε = + + ] = 0 v u v ε = + [( ) + ( ) ] = ( ) = ( ) =.75 Liukumalle saadaa u v u u v v γ = = =.5

5 . Tukireaktiot:,8kN, 6kN 0,8m 0,8m 0,8m D D = 0 D,4m +,8kN,6m +,6kN 0,8m = 0 =,4kN D, 4m, 6kN, 6m,8kN 0,8m = 0 D = kn Taivutusmometit pisteissä ja : M D, 4kN 0,8m 0,8m kn M, 4kN 0,8m + M = 0 M =,9kNm kn 0,8m M = 0 M =, 4kNm Mma = M =, 4kNm Jähsmometti ja taivutusvastus: mm mm I = = = mm h, W = = mm h h / bh h I h Suuri ormaalijäits: σ M W mm h h 6 ma, 4kNm, 0 ma = = = N Ehto: σ, 0 N N, 0 h mm 6 6 ma = σsall = h = mm = 6, mm Leikkausvoima tuella D: Q D = = kn

6 Leikkausjäitkse tarkistus tuella D: h h bh QSma Q bh /8 Q 0 N Sma = S(0) = b =, τ ma = = = = = 0, 79Ma 4 8 Ib bh / b bh mm 6, mm τ < τ = Ma, OK. ma sall 4. 0 mm 80 mm 00 mm N 0 mm e = 0 mm Neutraaliakseli (N) paikka sijoittuu site, että =. Koko poikkileikkaukse pita-ala o ala lä = ( )mm ala = lä = 400 mm = 4800 mm jote e = 0 mm. 0 mm 60 mm Täsplastie mometti: M p = σ W, missä plastie taivutusvastus o p W p = S ala + S, p lä missä staattiset mometit ovat: S = ( )mm = 0000 mm, ala S = ( )mm = mm, lä jote W = ( )mm = mm ja täsplastiselle mometille saadaa p N M p = mm = 44.6 knm. mm

7 5. Jähsmometti: I = πr = π (5mm/) = 975mm Väli : Nurjahduspituus: l = 0, 7a = 0, 7 900mm=60mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 6,7kN 4 kr l (60mm) Väli : Nurjahduspituus: l = b/ = 00mm/ = 600mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 40,48kN 4 kr l (600mm) Väli D: Nurjahduspituus: l = c= 00mm = 600mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 40,48kN 4 D kr l (600mm) Koko sauva kriittie kuorma o äistä piei: kr = kr = 6, 7kN Sallittu kuorma: 6,7kN kr kr = sall = = = sall,,5kn

8 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla Määritä jäitskompoetit ja jäitsmatriisi sekä jäitsvektori (traktio), ormaalijäits, ormaalijäitsvektori, leikkausjäitsvektori sekä leikkausjäitkse suuruus pistee kautta kulkevalla tasolla, joka ksikköormaalivektori o = i+ j+ k. Yksiköt ovat Ma.. Oheie suorakaitee muotoie lev o tasojäitstilassa. Se o vasemmasta päästää kiiitett jäkkää tukee ja se oikeassa päässä vaikuttaa kuorma, joka resultatti o F. Se siirtmäkettä o F u (, ) = [( + ν ) a ( ) ( L ) ], 4Ea b F v (, ) = [ ν( L ) + L + (4+ 5 ν) a], 4Ea b missä E o lev kimmomoduuli ja ν o se oissoi vakio. Määritä lev vemäja jäitskompoetit. b a a F, u L v,

9 . Määritä hitsisauma (keskimääräie) leikkausjäits sekä poikkileikkaukse leikkausjäitkse τ itseisarvoltaa suuri arvo oheise palki kohdassa -. Viot piat, joilla hitsisauma keskimääräie leikkausjäits lasketaa, o esitett katkoviivalla kuva (c) leikkauksessa. Uuma ja laipa välille oletetaa rako. Hitsi vaikutusta poikkileikkaussuureisii ei huomioida. (a (b (c 00mm k k 0mm a = 5mm 00mm 4. Johda lähtie palki taipuma differetiaalihtälöstä oheise palki taivutusmometille oheie lauseke. q 0 0mm L M = q L < > 84 0 ( ) L / L / 5. lumiiipilari o alapäästää jäkästi kiiitett ja se o tuettu läpäästää vaijereilla site, että pää liike -akseli suuassa o estett. Määritä suuri mahdollie kuorma, joka voidaa sallia, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o,0. Huomioi urjahdus sekä, että, tasossa. Tarkista lopuksi, että pilari ei mötää kriittise kuorma alaisea. Kätä seuraavia arvoja: E = 70Ga, σ = 5Ma, = 7,5 0 m, I 6 4 =, 0 m ja I 6 4 = 6, 0 m. a- m a L = 5m a a a

10 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Jäitskompoetit: σ = 7, σ = 5, σ = 4, τ = 0, τ = 0, τ = Jäitsmatriisi: 7 0 [ σ ] = Jäitsvektori: 7 0 / 4 ( ) {} t [ σ ]{ } = = / = 0/. 0 4 / 0 t = (4 i+ j ) Normaalijäits: ( ) 0 ( ) σ = t i = ( i+ j+ k) i (4 i+ j) = 4+ = 9 Normaalijäitsvektori: ( ) σ = σ = ( i+ j+ k) = (i+ j+ k) 9 7 Leikkausjäitsvektori: ( ) ( ) ( ) 0 44 τ = t σ = 4 i+ j (i+ j+ k) = (0i+ j k) 7 7 Leikkausjäitkse suuruus: ( ) ( ) τ = t σ = 4 + ( ) ( ) = = tai ( ) ( ) τ = τ = 0i+ j k = =

11 . Vemäkompoetit: u F F ε = [ (L ) ] = ( L ), 4Ea b Ea b v F Fν ε = 6 ν( L ) = ( L ), 4Ea b Ea b u v F γ + = + ν + ν [( )( a ) ( ) ( L )] 4Ea b F = F = ( + ν )( a ) 4 [ ν 6L (4 5 ν) a ] Ea b Ea b Jäitste ja muodomuutoste väliset htedet: 0 0 τ ε = ( σ νσ νσ), ε = ( σ νσ νσ), γ = E E G σ νσ = Eε E ( ν ) σ = E( ε + νε ) σ = ( ε ) + νε σ νσ = Eε ν ν σ νσ = Eε ν E ( ν ) σ = E( ε + νε ) σ = ( ε ) + νε σ νσ = Eε ν τ = Gγ Jäitskompoetit: E F Fν F σ = [ ( L ) + ν ( L ) ] = ( L ) ν Eab Eab ab E Fν F σ = [ ( L ) ν ( L ) ] = 0 ν Ea b Ea b E 6F F τ = Gγ = ( + ν)( a ) = ( a ) ( + ν ) 4Ea b 4a b

12 . Leikkausvoima: kn kn Q M 0mm 00mm 00mm a = 5mm Q+ kn+kn = 0 Q = kn 0mm itakeskiö: 0mm 00mm 00mm 0mm c = 00 0 = 000m, = 0 00 = 000mm = + = 4000mm = 0mm, = 0mm + 00mm = 70mm + c = = 40mm Jähsmometti I : = = =, 7 0 mm I I I Jähsmometti I = I : I = I + I I = I =, = 5, 0 mm c c Hitsisauma alapuoleise osa staattie mometti: = 0mm S = = = 60000mm Leikkausvuo ja hitsi leikkausjäits: q QS 0 N 60000mm, 77N/mm = = =,77N/mm, τ = = 6 4 I 5, 0 mm 5mm,8Ma -akseli alapuoleise osa staattie mometti:

13 80mm 40mm S (0) = = 64000mm 0mm Leikkausjäits: QS(0) 0 N 64000mm τ (0) = = =,80Ma Ib τ =,80Ma ma 6 4 5, 0 mm 0mm

14 4. q 0 L / L / Differetiaalihtälö ratkaisu: q L q L = < > = < > + EI EI q0 L v = < > + + EI q0 L v = < > EI q L = < > + + 4EI (4) v v 0 4 v 4 Reuaehdot: v(0) = 0 4 M(0) EIv (0) EI = 0 = 0 L / 4 q0 L 4 q0 L vl ( ) < L > + L+ L + L + 4=0 L+ L = 4EI EI L / q0 L q0 L ϕ( L) v ( L) < L a > + L + L+ = 0 L + = 6EI 48EI L ql 0 + = 6 84EI L L ql 0 ql 0 7qL 0 L = + = ql 6 48EI 84EI 84EI 0 + = 48 EI ql 0 ql 0 L ql 0 ql 0 5qL 0 =, ( = = + = ) 84EI 48EI 48EI 768EI 768EI Taivutusmometti: q L L ( ) 84 0 M EIv = < > EI EI = q0 L < >

15 5. Nurjahdus, tasossa: L = 5m l = L= 0m π EI π 70 0 ka 6, 0 m kr = = = 4,5kN l (0m) Nurjahdus, tasossa: L = 5m = 0, 70 L=,5m π EI π 70 0 ka, 0 m kr = = = 08kN l (,5m) l Kriittie kuorma: kr kr kr = mi{, } = 4,5kN Sallittu kuorma: kr 4,5kN sall = = = 4,kN, 0 Normaalijäits: kr 4,5kN σ = = = 56500ka = 56,5Ma> 0Ma = σ, OK m 7,5 0 m

16 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..007 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla Yksiköt ovat Ma. Määritä (a) jäitsivariatit, (b) pääjäitkset ja (c) suuri leikkausjäits pisteessä.. Maakerroste paiuma-aalsi htedessä kätetää s. ödometrikoetta (vrt. kuva). Siiä sliterimäisessä rasiassa olevaa ätettä kuormitetaa sliteri akseli (-akseli) suuassa. Näte deformoituu site, että pelkästää -akseli suutaie liike o mahdollie. Likitarkastelussa rasia ja ättee välie kitka sekä ättee oma paio voidaa jättää huomiotta. Nättee siirtmätila o siis: u = v = 0, w = w( ). Ödometrikokee muodomuutostilaa liitte määritellää s. kokoopuristuvuuskerroi m v ja lepopaiekerroi K 0 lausekkeilla εv = mvσ ja σ = σ = K0σ, missä ε V o ättee suhteellie tilavuude muutos ja muut merkiät ovat tavaomaiset. Otaksutaa, että maaäte o isotrooppista ja lieaarisesti kimmoista materiaalia. Lausu kokoopuristuvuuskerroi ja lepopaiekerroi kimmomoduuli E ja oissoi vakio ν avulla. q q h h. Oheisella ulokepalkilla o T: muotoie poikkileikkaus ja se smmetriatasossa vaikuttaa pstsuora pistekuorma. Määritä (a) palki itseisarvoltaa suuri

17 ormaalijäits poikkileikkausksessa - sekä (b) itseisarvoltaa suuri leikkausjäits. 6kN 00mm 96mm mm 48mm 400mm mm 4. Oheista tasajäkkää päistää jäkästi kiiitettä palkkia, joka taivutusjäkks o EI, kuormittaa kolmiokuorma q, ( ) joka itesiteetti palki oikeassa päässä o q 0. Määritä palki taipuma ja taivutusmometi lausekkeet ratkaisemalla taipuma differetiaalihtälö. q ( ) = q0 L q 0 L 5. lumiiise pilari kimmomoduuli ja pituus ovat E = 70Ga ja L = 500mm. Se poikkipita o suorakaide, joka sivuje pituudet ovat a = 5mm ja b = 5mm. ilari o päästä jäkästi kiiitett ja sitä kuormittaa keskeie kuorma päässä. Kaksi kiiteätä sileää pöreäreuaista levä estää pää liikkee toisessa pstsuorassa smmetriatasossa ja sallii se liikkee toisessa. Kuika suuri puristusvoima pilarii voidaa sallia, jos varmuusluku urjahdukse suhtee o,5. b a L b a

18 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..007, ratkaisut Jäitsmatriisi: σ τ τ 5 4 [ σ ] = = τ σ τ 5. τ τ σ 4 5 Ratkaisu: (a) I = 5+ + = 8, I I = + + = = = 5 = ( ) = (b) σ 8σ 5σ + 7 = 0 a = 8, b= 5, c= 7 ( 5) ( 8) 9 9( 8)( 5) 7 7 ( 8) 847 Q= =, R= = D = Q + R = 54, 05 < 0, OK 847/54 ϕ = arccos = 4,0 (9/9) 9 8 σ = cos( 4,0 ) = 8,5594Ma σ = cos( 4,0 + 0 ) = 4, 784Ma σ = cos( 4, ) = 4, 47Ma 9 (c) 8,5594 ( 4, 784) τ ma = = 6, 678Ma

19 . Muodomuutoksille ε ja ε saadaa 0 0 u v ε = = 0, ε = = 0 Hooke laista seuraa ε ( σ νσ νσ ) = 0 E σ νσ = νσ σ νσ = νσ νσ + σ = νσ ν ν σ + νσ = ν σ ε ( σ νσ νσ ) = 0 E ν ( ν ) σ = ( + ν) νσ σ = σ ν ν ν σ = ν( σ + σ) = ν( + ) σ= σ ν ν Vertaamalla määrittel σ = σ = K0σ ähdää, että K 0 = ν ν Suhteellie tilavuude muutos o 0 0 ε = ε + ε + ε = ε V Hooke laista seuraa ν ν ν ε = ( σ νσ νσ ) = ( νk0) σ = ( ) σ = σ E E E ν E ν Vertaamalla määrittel εv = ε = mvσ ähdää,että m v ν ν = E ν

20 . Leikkausvoima ja taivursmometti: 6kN 0,m Q M Q+ 6kN = 0 Q= 6kN M + 6kN 0,m = 0 M =,8kNm itakeskiö: mm 48mm 96mm mm c = 96 = 5mm, = 48 = 576mm = + = 78mm = 6mm, = mm + 48mm = 6mm + c = = 6mm Jähsmometti I : I = I+ + I + = = 984mm 4 Jähsmometti I = I : I = I + c I I = I c = = 47006mm 4 Maksimi ormaalijäits: σ σ lä ala 6 M, 8 0 Nmm = lä = 4 ( 6mm) = 6,Ma I 47006mm 6 σ ma = 68,5Ma M, 8 0 Nmm = ala = 4 44mm = 68,5Ma I 47006mm Maksimi leikkausjäits: m 6m 44m S = 44 = 66mm QS 6 0 N 66mm τ (0) = = =,4Ma 4 Ib 47006mm mm τ =,4Ma ma m

21 4. q ( ) = q0 L q 0 L Differetiaalihtälö ratkaisu: (4) q0 q0 q0 v = v = + v = + + EIL EIL 6EIL q q v = v= + + 4EIL 0EIL Reuaehdot: v(0) = 0, 4 ϕ(0) v'(0) = 0, q 5 0 vl ( ) L+ L+ L+ L + 4 = 0, 0EIL 6 q 0 4 ϕ( L) L + L + L+ = 0, 4EIL L q0 + = L 60EI L L q0 q0 L q0 = L + L = L L q0 4EI 60EI 6 40EI + = L 4EI ql q L ql ql = = L = + = 0EI 4EI 4 40 EI 0 EI , ( ) Taipuma: q q ql ql v= = + 0EIL 6 0EIL 40EI 60 EI ql 0 5 = [( ) ( ) + ( ) ] 0EI L L L Taivutusmometti: q q q L M = EIv = EI EI = + q L 6L 6L 0 0 ql 0 = [ 0( ) + 9 ] 60 L L

22 5. b a L b a Nurjahdus, tasossa: = 0,7L π EI π Ea b π 70kN/mm (5mm) 5mm kr = = = 55,5kN l (0,7 L) (0,7 500mm) l Nurjahdus, tasossa: l = L π EI π Eab π 70kN/mm 5mm (5mm) = = = 7, 0kN kr l ( L) ( 500mm) Sauva kriittie kuorma: = 7, 0kN kr Sauva suuri kuorma: ma 7,0kN,5 kr = = = 4,8kN

23 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla Yksiköt ovat Ma. (a) Määritä jäitsvektori (traktio) t ( ), ormaalijäits σ, ( ) ormaalijäitsvektori σ, leikkausjäitsvektori ( ) τ tasolla, joka ksikköormaalivektori o = ( i+ j+ k )/. ( ) τ ja leikkausjäitkse suuruus. Kappalee siirtmäkettä o aettu lausekkeilla u = k, v= k ja w= k( + ), missä vakio k( > 0 ) o ii piei, että ifiitesimaaliste vemie teoria o voimassa. (a) Määritä ifiitesimaaliset muodomuutoskompoetit fuktioia koordiaateista, ja ja muodosta muodomuutosmatriisi. (b) Määritä pisteessä (,,0) päävemät, suurimma päävemä suutaie ksikkövektori ja suuri liukuma.. Oheie palkki o muodostettu hitsaamalla kolmesta levstä. Määritä piei laipa leves b jota voidaa kättää, ku σ sall = 50Ma. Hitsi vaikutus poikkileikkaukse jähsmomettii voidaa jättää huomiotta. 50kN b 5mm 0mm 475mm 6m 0m 5mm

24 4. Määritä oheise tasajäkä palki tukireaktiot se tuilla ja sekä taivutusmometit pisteissä, ja D kättäe superpositioperiaatetta. D L / L / L / 5. uristussauva o läpäästää kiiitett site, että se ei pääse siirtmää vaakatasossa, mutta o vapaa kiertmää. lapäästää se o jäkästi kiiitett. Sauva tehokas pituus o m ja se o teht hitsaamalla htee kaksi L-profiilia kuva mukaisesti. Määritä sauvalle sallittu keskeie puristava kuorma, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o ja sauva kimmomoduuli o E = 00Ga. 50mm 50mm 6mm 75mm

25 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Jäitsmatriisi: [ ] = = σ τ τ τ σ τ τ τ σ σ. Taso ksikköormaalivektori: { } = =. Jäitsvektori: {} [ ]{} = = = / 7 / 5 / / / ) ( t σ. Normaalijäits: {}{} / 7 / 5 ) ( = = = T t σ. Normaalijäitsvektori: ) ( 9 ) ( k j i + + = = σ σ. Leikkausjäitsvektori: ( ) ( ) ( ) 7 (5 ) ( ) ( ) ( ) = = = t i j k i j k τ σ Leikkausjäitkse suuruus: 5,5477 Ma 4) ( 9) ( 46 9 ) ( ) ( ) ( ) ( + + = = = τ τ τ τ

26 . (a) Muodomuutoskompoetit: u v w ε = = k, ε = = k, ε = = k( + ), u v v w w u γ = + = k ( + ), γ = + = k. γ = + = k Muodomuutosmatriisi: γ γ k ε ( ) k + k γ γ k [ ε] = ε ( ) k k. = + γ γ k k k( ) ε + (b) äävemät pisteessä (,,0): k k 0 [ ε ] = k k k k ε k 0 det k k ε 0 = 0 ( k ε) (4 k ε) k (4 k ε) = k ε (4 k εεε ) ( k) = 0 ε = 4 k, ε = 0, ε = k εi = 4 k, εii = k, εiii = 0 Suurimma päävemä ε I = 4k suutaie ksikkövektori: γ γ ε εi 0 k 4k k 0 0 γ γ ε εi 0 k k 4k 0 0 = = k 4k 0 γ γ ε εi k k 0 0 k k 0 + = 0 = 0 = = = + + = = = =0, =0, = = k Suuri liukuma: γ ma = εi εiii = 4k 0= 4k

27 . Tukireaktiot: 50kN 6m 0m = m + 50kN 0m = 0 = kn = 9, 75kN 4 Taivutusmometti: M = M = 0 M M 9, 75kN 6m = 0 M = 56,5kNm 9, 75kNm 6m M kuvio: + Suuri taivutusmometti: Mma = M = 56,5kNm 56,5kNm Jähsmometti ja taivutusvastus: b 5mm 0mm 475mm 5mm

28 b (0,55m) ( b 0, 0m) (0, 475m) I = = + I 4 W = = 0, 09m b 0, m. 0,55m/ 4 0, 0076m b 0, m, Suuri ormaalijäits: M 56,5kNm σ = = W 0, 09m b 0, m ma ma 4 Ehto: 56,5kNm σma = σsall = 50Ma 4 0,09m b 0, m 56,5kNm = b = + = 0,09m 4 0,09m b 0, m 500kN/m 4 (0,0075 0, m ) 0,7m mm

29 4. Kätetää superpositioperiaatetta ja tauluko 8. kohtaa 7. Tukireaktiovoimat: L L L L L L L L D ( /) / ( /) / = + = ( + ) + ( + ) = L/ L/ L/ L/ 4 = + = [ ( ) ] + [ ( ) ] = L L L L D Tarkistus: 4 + = + = 0, OK. Taivutusmometti M : D L / L / / / / / ( L ) L M = M + M = + L ( L ) = L L L L L Taivutusmometit M ja M D : Tauluko taivutusmometi lausekkeesta saadaa: L L L b a L M = M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= 6L + L < > L L L b a L M = D M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= L + L < > Soveltamalla äitä lausekkeita saadaa: ( /) ( /) 7 4 D L L M = M + M = [ ( ) 0] [ ( ) 0)] L 6L + + 6L + = = 9 ( /) ( /) D L L L L M D = MD + MD = [ ( + ) ( )] + [ ( + ) 0] = L L 9

30 5. = 00 6 = 600mm = 69 = 88mm = + = 48mm = mm 69 = + 6 = 40,5mm 6 mm 69mm 00mm mm c itakeskiö: c ,5 = = = 4, 74mm 48 Jähsmometit: I = I + + I = ,5 6 4 =, mm c I = I =, ,74 6 c = 8,980 0 mm I = I = I+ I = = 5,099 0 mm, iei (pää-)jähsmometti: Imi I = = 5,099 0 mm 5 4 Nurjahduspituus: 0,70,m, 0 mm l = = = Kriittie kuorma: π EI π 00 0 N/mm 5,099 0 mm = = = 8,8N = 8, kn 5 4 mi kr l (, 0 mm) Sallittu kuorma 8, kn 76,kN kr sall = = =

31 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla. Määritä pääjäitkset, suuri leikkausjäits ja se pia ormaalijäits, jolla suuri leikkausjäits vaikuttaa. Yksiköt ovat Ma.. Kuva kolmio muotoie lev deformoituu site, että urkkapisteet, ja siirtvät pisteisii, ja sekä deformaatio geometriakuvaus = (, ) ja = (, ) kolmio alueella o lieaarie. Määritä siirtmät u (, ) ja v (, ) sekä Lagrage vemät ε, ε ja liukuma γ, (,) (0,) (.5,.5) (.5,.5) (0,0) (, 0),. Määritä oheise palki suuri ja piei ormaalijäits pisteessä sijaitsevassa poikkileikkauksessa. kn/m kn,5m,5m kn 00mm 00mm

32 4. alkki muodostuu kahdesta lakusta, jotka o kiiitett toisiisa auloilla. alki poikkileikkauksessa vaikuttaa 6kN suuruie leikkausvoima. Määritä tarvittava aulaväli, ku sallittu aulaa kohdistuva leikkausvoima o,5kn 6cm cm 6cm cm 5. lumiiisauva poikkileikkaus o 0mm 6mm suorakaide ja se o tuettu tapeilla ja korvakkeilla kuva mukaisesti. Sauva kumpiki pää voi kiertä vapaasti tapi läpi kulkeva vaakasuora akseli mpäri, mutta korvakkeet estävä päide kiertmise pstsuora akseli mpäri. Määritä sallittu keskeie kuorma, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o,5 ja E = 70Ga. Sivulta: äältä: m m

33 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Kuva perusteella: σ = Ma, σ = Ma, σ = Ma, τ = 0, τ = Ma, τ = [ σ ] = 0 0 Jäitsivariatit: I = + =, I I 0 0 = + + = 4 = = 0 = = 4= 6 0 Yhtälö: σ Iσ + Iσ I = 0 σ σ 5σ + 6 = 0 Ratkaisu: I I (5) 9 Q = = = I + 7I 9II + 7 ( 6) 9 ( 5) 8 R = = = D = Q + R = ( ) + ( ) 8, 0, R ϕ = arccos = arccos 7 09, 76 Q 9 ( ) 9

34 I 9 09, 76 σ = Q ϕ + = + 9 I σ = Q cos( ϕ + 0 ) + Ma, I σ = Q cos( ϕ + 40 ) + Ma. ääjäitkset: σ = Ma, σ = Ma, σ = Ma. cos( ) cos Ma, I II III Suuri leikkausjäits ja vastaava ormaalijäits: σ I σ III ( ) I III ( ) ma,5ma, σ + σ + τ = = = στ = = = 0,5Ma, ääjäitkset saadaa tässä tapauksessa helpommi seuraavasti: σ 0 0 σ det([ σ] σ[ I]) = 0 0 σ = 0 ( σ) = 0 σ 0 σ = = ( σ)[( σ)( σ) 4] 0 ( σ)( σ σ 6) 0 σ, = ± + 6, σ = σ =, σ =, σ = 4

35 ., (,) (0,) (.5,.5) (.5,.5) (0,0) (, 0), Esitetää lieaariset lausekkeet = (, ) ja = (, ) muodossa = a + a+ a, = b + b+ b, jolloi kuvio perusteella saadaa (0,0) = a + a 0 + a 0 =.5 a =.5 a =.5 (, 0) = a + a + a 0 = a =.5 a = (0,) = a + a 0 + a =.5 + a = a =.5 ja (0,0) = b+ b 0 + b 0 =.5 b =.5 b =.5 (, 0) = b+ b + b 0 = b =.5 b = 0 (0,) = b+ b 0 + b =.5 + b = b =.5 ja lausekkeiksi = (, ) ja = (, ) saadaa = , = Siirtmille saadaa u = = =.5 +.5, v = = = Siirtmie osittaisderivaatoille saadaa u u v v = 0, =.5, = 0, = 0.5. Vemille saadaa u u [( ) v ( ) ε = + + ] = 0 v u v ε = + [( ) + ( ) ] = ( ) = ( ) =.75 Liukumalle saadaa u v u u v v γ = = =.5

36 . Tukireaktiot: kn/m kn,5kn 0,75m 0,75m,5m kn + kn = 0 = kn m +,5kN,5m + kn,5m = 0 =, 65kN m,5kn 0, 75m kn,5m = 0 = 0,875kN Taivutusmometti ja ormaalivoima: kn,65kn kn/m,5kn 0,75m 0,75m kn M Q N N kn = 0 N = kn M, 65kN,5m +,5kN 0, 75m = 0 M =,5kNm ita-ala, jähsmometti ja taivutusvastus: = bh = = 0,m 0, m 0,0m, bh 0,m (0, m) I = = = 5 4 I 6,67 0 m W = = = h / 0,m Reuajäitkset: 5 4 6,67 0 m, 4 6,67 0 m. 00mm 00mm σ σ lä ala N M kn,5knm kn = = = (00 969),87Ma= σ 4 W 0,0m 6, 67 0 m m N M kn = + = ( ), 07Ma= σ ma W m mi

37 4. 60mm Jähsmometti: 60mm = = = = + = mm, 00mm, = 5mm, = 40mm c = = =,5mm I = = 5000mm, I = = 80000mm 4 4 = = =,60 0 mm = + c I I I c 6, , ,55 0 mm I I I I I = = = = Uuma staattie mometti -akseli suhtee: c 0mm 0mm S = 600 7,5 = 0500mm Leikkausvuo: QS 6kN 0500mm q = = = 5 4 0,4kN/mm I 5,55 0 mm Yhtee aulaa kohdistuva leikkausvoima:,5mm = 7,5mm 0mm Q q d = 0,4kN/mm d aula Ehto:,5kN Qaula = Qaula,sall 0,4kN/mm d =,5kN d =,9mm 0,4kN/mm

38 5. Sivulta: l = l = 000mm 000mm I bh 0mm (5mm) = = = 77760mm 4 kn 4 π mm π EI mm kr l (000mm) äältä: = = =, 4kN l = l/ = 000mm 000mm I bh (0mm) 6mm 4000mm 4 = = = kn 4 π mm π EI mm kr l (000mm) = = = 6,58kN Kriittie kuorma: =, 4kN kr Sallittu kuorma: sall kr, 4kN = = = 5,7kN,5

39 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja opitokirja umero, mös tarkistuskirjai. Määäritä kättäe Mohri mprää oheise tasojäitstila (a) pääjäitkset ja suurimma pääjäitkse suutakulma sekä (b) ormaalijäits ja leikkausjäits pialla, joka ormaali muodostaa 0 kulma (vastapäivää) akseli suhtee. Huolellisesti piirretstä kuviosta saatu tarkkuus riittää. 60Ma 0 00Ma 48Ma. Jäitskompoetit pitkässä mpräsliteri muotoisessa kappaleessa, joka säde o a ja akseli ht sliteri akselii ja jota vääetää, ovat τ = Gθ, τ = Gθ, σ = σ = σ = τ = 0. missä G ja θ ovat vakioita (leikkausmoduuli ja väätmä). (a) Osoita, että jäitskompoetit ovat tasapaiossa, ku tilavuusvoimia ei ole. (b) Osoita mös, että sliteri reuapita o jäitksetö (eli traktiovektori sliteri reuapialla häviää).. Määritä oheise palki maksimi ormaalijäits pisteessä sijaitsevassa poikkileikkauksessa. 0kN kn/m 00mm,5m,5m,m D 00mm

40 4. Kaksois T-palkki o valmistettu hitsaamalla htee kolme levä kuva mukaisesti. Jos hitsille voidaa sallia leikkausjäits τ sall = 90Ma, määritä kuika suuri leikkausvoima Q poikkileikkauksessa voi vaikuttaa. 0mm Q 50mm 50mm 75mm 50mm 0mm 0mm 5. Määritä superpositioperiaatetta kättäe oheise palki taipuma pisteessä ja 6 4 taivutusmometti pisteessä E. oikkileikkaukse jähsmometti o I = 45,5 0 mm ja kimmomoduuli o E = 0Ga. 40kN 40kN 40kN D E 0,5m 0,5m 0,5m 0,5m

41 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. 60Ma 0 00Ma 48Ma Jäitskompoetit: σ = 00Ma, σ = 60Ma ja τ = 48Ma : ( σ, τ ) (48, 4) : ( σ, τ ) = (00, 48) σ 8Ma θ = 60 α 67, 4 σ σ : ( σ, τ ) = (60, 48) τ Kuvio perusteella saadaa: (a) σ σ α Ma, 8Ma, 67, 4 / =, 7 (b) σ 48Ma, τ 4Ma

42 . (a) Ku tilavuusvoimaa ei ole, f = 0 eli f = f = f = 0 ja jäitskompoettie tasapaiohtälöt ovat σ τ τ τ σ τ τ τ σ + + = 0, + + = 0, + + = 0. Osoitetaa, että e toteutuvat: 0 Gθ Gθ 0 0 σ τ τ + + = Gθ ( + ) = 0, OK Gθ 0 0 τ σ τ + + = Gθ = 0, OK Gθ 0 0 τ τ σ + + = Gθ = 0, OK (b) Sliteripia ksikköormaali- vektori kompoetit: a Kuvio perusteella: = 0, = =, = = a a a a Traktiovektori sliterim pialla: ( ) {} t [ σ ]{ } = ( ) t σ τ τ 0 Gθ Gθ ( ) Gθ t τ σ τ Gθ 0 0 = = / a = 0 = 0 ( ) a t τ τ σ Gθ 0 0 / a 0 0 t ( ) = 0

43 . 0kN kn/m 00mm,5m,5m,m D 00mm Tukireaktio : 0kN,5m,5m,m 6,6kN D m + 0kN,5m 6, 6kN,m = 0 =, 58kN Taivutusmometti pisteessä : 0kN,5m,5m M,58kN,58kN m + 0kN,5m + M = 0 M = 7, 6kNm Jähsmometti: bh 00mm (00mm) I = = = 66,7 0 mm 6 4 I 66,7 0 mm 0, mm W = = = h / 00mm Suuri ormaalijäits: 6 4 σ 6 M 7,6 0 Nmm ma = σ lä = = = 6 0,9Ma W 0,667 0 mm

44 4. 0mm 95mm 5mm c 0mm 50mm 0mm lat ja pitakeskiö: = 5mm 0mm = 400mm, = = 0mm 50mm = 000mm = + = 400mm + 000mm = 000mm + 400mm 0mm + 000mm 95mm 59,5mm 000mm c = = Jähsmometti: I = I + + ( I + ) 5mm (0mm) 0mm (50mm) = + 400mm (0mm) + [ + 000mm (95mm) ] 6 4 = 65,97 0 mm I = I + I = I = 65,97 0 mm 000mm (59,5mm) 6 4 c c 6 4 = 9,50 0 mm = I I 5,5mm 0mm Osa I staattie mometti: SI = II = 000mm 5,5mm = 06500mm

45 Leikkausvuo ja leikkausjäits hitsisaumassa: q QS q QS I b Ib Q 0,065 0 mm 9,50 0 mm 0mm 6 I I 4 =, τ = = = =,805 0 mm 6 4 Q Ehto: 90N τ = τsall = = =, ,805 0 mm Q 90N/mm Q 0 498, 6kN 5. Kuormitustapaus (a): E a = L/4 b= L/4 ( a) L L L L L L v = v( ) = [ ( ) ( L) ( L+ )( ) + < > ] EI L = 644 EI L L M ( a) E = ( ) = L L 4 8 Kuormitustapaus (b): E a = L/ b= L/

46 ( b) L L L L L L L v = v( ) = [ ( ) ( ) ( L+ )( ) + < > ] EI L 5 7 L = ( ) = EI EI M ( b) E LL = ( ) = L L 6 Kuormitustapaus (c): D E a = L/4 b= L/4 ( c) L L L L L L L v = v( ) = [ ( ) ( ) ( L+ )( ) + < > ] EI L 5 5 L = = EI EI M ( c) E LL 4 4 = ( ) = L L 4 8 Superpositioperiaate: ( a) ( b) ( c) 4 L 7 L 5 L L v = v + v + v = + + = 644 EI 768 EI 644 EI 56 EI ( a) ( b) ( c) 5 5 M E = ME + ME + ME = L L L= L Sijoittamalla umeroarvot saadaa: L 40kN ( 0 mm) v = = = 0, 676mm EI 56 0kN/mm 45,5 0 mm ,5 M kN m 7,5kNm E = L= = 6

47 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..008 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Määritä kättäe tasojäitstila Mohri mprää pääjäitkset, suurimma pääjäitkse suutakulma, suuri leikkausjäits ja sitä vastaava ormaalijäits sekä jäitskompoetit σ, σ ja τ koordiaatistossa, joka o kiertt vastapäivää kulma θ = 5 kuva tasojäitstilalle. Yksiköt ovat Ma. Ma 4Ma 5Ma. Vemämittausruusuke muodostuu kolmesta vemäliuskasta, jotka o kiiitett kappalee pitaa kuva mukaisesti. Vemäliuskoje vemille ε, ε ja ε o mitattu kuva mukaiset arvot. Määritä vemäkompoetit ja vemämatriisi. ε =,5 0 4 ε =, ε =, Määritä suuri ja piei ormaalijäits, oheise palki pisteessä olevassa poikkileikkauksessa. 50mm kn kn 0mm 4 D 70mm m m m 0mm

48 4. Määritä oheise poikkileikkaukse täsplastie mometti, ku materiaali mötöraja o σ m. a a a a 5. Järeä palkki, joka otaksutaa täsi jäkäksi, tukeutuu kahtee samalaisee alumiiipilarii ja D site, että pilarie läpäät ja kiiittvät palkkii jäkästi ja iide alapäät ja D kiiteää alustaa ivelellisesti. Kuika suuri palki paiovoima G voidaa sallia, ku varmuusluku pilarie urjahdukse suhtee o,0 ja tarkastellaa vai urjahdusta raketee tasossa. ilarie paiovoima voidaa jättää huomiotta. lumiii kimmomoduuli o E = 70Ga. ilari poikkipia jähsmometille o 6 4 saatu käsikirjasta arvo I I = 6, 0 m. a- G a a L = 5m D

49 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..008, ratkaisut. Kuva perusteella: σ = 5Ma, σ = Ma, τ = 4Ma. Koska o tasojäitstila: σ = 0. στ : (5, 4) σ, 0 θ 5 σ 7,0 σ τ ma = 5, 0 Kuvasta saadaa tulokset: σ 7,0Ma, σ,0ma θ 5/ = 6,5 : (, 4) τ ma 5Ma, σ τ Ma Koska σ = σ = 0, σ I = 7,0Ma, σii = 0, σiii =,0Ma. τ :( 0.7, 4.) :(5, 4) θ = 70 O σ :(, 4) Q:(4.7, 4.) Kuvasta saadaa tulokset: σ = σ 0,7Ma, τ = τ 4, Ma, σ = σ 4,7Ma Q τ

50 . Merkitää vemä suua ja akseli välistä kulmaa θ, jolloi = cosθ ja = siθ, jolloi γ ε cos θ {} =, [ ε ] = siθ γ ε Vemälle suutaa θ saadaa t lauseke γ ε T cosθ εθ ε = {}[ ε]{} = [cos θ,si θ] γ siθ ε γ ε cosθ + siθ = [cos θ,si θ] = εcos θ + εsi θ + γ siθcos θ. γ cosθ + ε siθ Sitä kättäe saadaa ε45 εcos 45 + εsi 45 + γ si 45 cos 45 = ε ε ε cos 0 si 0 si 0 cos ε + γ = ε ε ε cos ( 45 ) si ( 45 ) si( 45 )cos( 45 ) 45 + ε + γ = ε ε + ε + γ = ε ε + ε + γ = ε ε = ε ε = ε ε + ε γ = ε ε + ε γ = ε 4 ε = ε =.5 0 ε = ε ε + ε = ( ) 0 = γ = ε ε = (.0.40) 0 = Vemämatriisi: [ ε ] =

51 . Tukireaktio : kn kn D m + kn m + kn = 0 m m m D D = 5 kn Taivutusmometti pisteessä : 5 kn m Q M 5 5 M kn m = 0 M = knm Jähsmometti: 50mm = 50 0 = 000mm, = 0 70 = 400mm = + = 400mm c = = = 6,5mm 400 0mm 70mm c alä a ala I = I + + I = = mm 4 I I = I = (6, 5) = 78650mm 4 c 0mm, Taivutusvastukset: W lä = I I ,9mm, W,6mm a = 6, 5 = = = 90 6,5 = lä lä aala Suuri ja piei ormaalijäits: σ σ lä ala 6 M 5/ 0 Nmm = = =,8Ma = σ W 4975,9mm ala lä 6 5/ 0 Nmm 50,5Ma M = = = = σ W,6mm ma mi

52 4. a e a a a lat: = a a = a, = a ( e a ), = a ( a e ). Neutraaliakseli: ( ) ( ) lä = ala + = a + a e a = a a e e= a lat: = a, a = a, a = a e e e 5 e = e a = a a = a 6 e = a 4 e = a = a Wp = e + e+ e = a a+ a a+ a a = a M p = σmwp = σma,08 σma.

53 5. ilarii kohdistuva voima: = G / (smmetria). ilari urjahduspituus ja jähsmometti: L = 5m l = L = 0m I = I = 6, 0 m 6 4 ilari kriittie kuorma kr : π EI π 70 0 kn/m 6, 0 m = = = 4,5kN kr l (0m) ilari sallittu kuorma: sall kr 4,5kN = = = 4, kn, 0 alki sallittu paiovoima: G sall = = 8,kN sall

54 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. uise rakeeosa tietssä pisteessä o kuva mukaie tasojäitstila. uu st muodostavat 0 kulma akseli kassa. Sallittu leikkausjäits side suuassa o τ sall = Ma. Selvitä Mohri mprä avulla ja aalttisesti oko tämä jäitstila mahdollie. Ma 0,5Ma Ma. äävemie määrittämie tasotapauksessa voidaa ilmaista omiaisarvotehtävää ([ ε ] ε[ I]){ } = {0}, γ ε 0 cos missä [ ] θ ε =, [ I] =, { } γ 0 =. siθ ε Johda tämä tiedo perusteella päävemille ja pääsuuille seuraavat kaavat ε = ( ε + ε ) ± ( ε ε ) + γ ε εi ε, θi = arcta, ( i =, ). γ /. Määritä oheise tasajäkä palki tukireaktiot se tuilla ja sekä taivutusmometit pisteissä ja kättäe superpositioperiaatetta. q = L L / L /

55 4. Kotelomaie ulokepalkki muodostuu eljästä lakusta, jotka o kiiitett toisiisa auloilla, jotka sijaitsevat pitki palkkia cm: välei. alkkia kuormittaa = 0kN suuruie voima. Määritä leikkausvoima, joka kohdistuu kuhuki aulaa pisteissä ja. = 0 kn m cm cm 5cm cm 6cm cm cm 5. Määritä suuri kuorma F, joka voi vaikuttaa kuva kahdesta ivelsauvasta muodostuvaa raketeesee, ku tarkastellaa vai urjahdusta raketee tasossa. Kaikkie sauvoje poikkileikkaus o mprä, E = 00Ga ja varmuuskerroi o,6. F Halkaisija mm,m Halkaisija 4mm 0,5m 0,5m

56 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Jäitskompoetit: σ = Ma, σ = Ma, τ = 0.5Ma. Tarkastelupia ormaali ja akseli välie kulma: θ = = 0. Mohri mprä: θ = 40 O :(, 0.5) σ :(, 0.5) Leikkausjäits o τ t Leikkausjäitkselle saadaa: :( σ, τ t) (0.5,.5) τ.5ma > τ = Ma, jote jäitstila ei ole mahdollie. sall si si cos T σ τ θ σ θ + τ θ τt = {}[ σ]{} t = [cos θ,si θ] [cos θ,si θ] τ σ = cosθ τ siθ + σ cosθ = σ σ θ θ + τ θ θ ( ) si cos (cos si ) = [ ( )]si0 cos0 0.5(cos 0 si 0 ) =.55Ma > τ sall = Ma

57 . äävemät: γ ε ε γ = 0 ( ε ε)( ε ε) = 0 γ 4 ε ε γ ε ( ε + ε) ε + εε = 0 4 ε + ε ε + ε γ ε, = ± εε + = ε + ε ± ε + ε + εε εε + γ 4 4 = ( ε + ε) ± ε + ε εε + γ = ( ε + ε) ± ( ε ε) + γ. ( ) ( ) 4 ääsuuat: γ ε εi cosθi 0 =, ( i =,) γ siθi 0 ε εi Ylemmästä htälöstä saadaa γ εi ε ( ε εi)cosθi + siθi = 0 taθi = γ / εi ε θi = arcta, ( i =, ). γ /

58 . q = L L / L / Tukivoimat: / L ( L/ ) L/ 4 9 = q + = q L ( ) 8 + L + L = = 6 / L L L 5 / / 5 9 = q + = q L+ [ ( ) ] = + = 8 L L Taivutusmometit: / L M q = q L = L 8 8 L/ L/ L/ 4 M = ( ) = L L L M = Mq + M = ( + ) L= L / L L L/ L/ 5 Mq = Mq( ) = q L [ 4( ) ] = L 8 L L 7 9 L 9 M = L/ < L/ L/>= 0= L M = Mq + M = ( + ) L = L

59 4. Leikkausvoima: =0 kn Q Q 0k N = 0 Q= 0kN cm cm 5cm cm 6cm cm cm itakeskiö: = cm, = 6cm, = 6cm, = + + = = 0cm = 0,5cm, = 4cm, = 6,5cm c + + = =,cm Jähsmometti -akseli suhtee: = I I I I = + 0, ,5 = ,5 + 5,5 = 486cm 4 Jähsmometti pitakeskiöakseli suhtee: 4 c c 486 0, 97, 7cm I = I = I + I = I = = Leikkausvuo liitoksissa :

60 ,cm =, 4 cm, S = = 6cm, 4cm = 0, 4cm q QS 0kN 0, 4cm N = =, 0 I 97, 7cm cm 4 Naulaparii kohdistuva leikkausvoima: q cm =,06N Yhtee aulaa kohdistuva leikkausvoima: Q =,06N/ =,0N Leikkausvuo liitoksissa : =,6cm, S = = cm (, 6cm) =, cm q QS 0kN (, cm ) N = =, 58 I 97, 7cm cm 4 Naulaparii kohdistuva leikkausvoima: q cm =,6N Yhtee aulaa kohdistuva leikkausvoima: Q =,6N/ =,58N

61 5. Sauvavoimat: S F α S α,6,4 F F S cosα = 0 S = = F cosα 5 5 S + S siα = 0 S = S siα = F = F 5,4 si α = =, cosα = =,6,6 Kriittie kuorma: Sauva urjahdus: 4 4 l = 0,5m, I = π (mm/) = 07,9mm 4 4 π EI π 00kN/mm 07,9mm kr = = = 8,04kN l (500mm) 5 kr 8, 04kN = S = Fkr Fkr = 8, 04kN = 9,0kN 5 Sauva urjahdus: l = (0,5m) + (, m) =,m, I = π (4mm/) = 885,7mm 4 4 π EI π 00kN/mm 885,7mm kr = = =,0kN l (00mm) kr, 0kN = S = Fkr Fkr =, 0kN = 0,kN Sauva urjahtaa esi, jote 4 4 F kr = Fkr = 9,0kN Suuri sallittu kuorma F: F F 9,0kN,6 kr sall = = = 7, 4kN

62 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla 4 4 ääjäitkset tässä pisteessä o määritett ja e ovat suuruusjärjestksessä σ I = 5, σ II =, σ III = 5. Määritä (a) suurimma ja pieimmä pääjäitkse suutaiset ksikkövektorit I ja III, (b) suuri leikkausjäits τ ma sekä (c) se pia ksikköormaalivektori τ, jolla suuri leikkausjäits vaikuttaa. Yksiköt ovat Ma.. Millä ehdolla seuraavat ifiitesimaaliset vemäkompoetit ovat mahdollisia: ε = α ( + ), ε = α, γ = β, γ = γ = ε = 0.. Oheie palkki muodostuu kahdesta lakusta, jotka o kiiitett toisiisa auloilla, jotka sijaitsevat pitki palkkia cm: välei. alkkia kuormittaa = 0kN suuruie voima. Määritä leikkausvoima, joka kohdistuu kuhuki aulaa välillä. 6cm =0kN cm 6cm 0,4m 0,6m cm 4. Oheista tasajäkkää palkkia, joka taivutusjäkks o EI, kuormittaa kolmiokuorma q, ( ) joka itesiteetti palki oikeassa päässä o q 0. Määritä palki taipuma ja taivutusmometi lausekkeet ratkaisemalla taipuma differetiaalihtälö.

63 q ( ) = q0 L q 0 L 5. lumiiipilari o alapäästää jäkästi kiiitett ja se o tuettu läpäästää vaijereilla site, että pää liike -akseli suuassa o estett. Määritä suuri mahdollie kuorma, joka voidaa sallia, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o,0. Huomioi urjahdus sekä, että, tasossa. Tarkista lopuksi, että pilari ei mötää kriittise kuorma alaisea. Kätä seuraavia arvoja: E = 70Ga, σ = 5Ma, = 7,5 0 m, I =, 0 m 6 4 I 6, 0 m 6 4 =. a- m a L = 5m a a a

64 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Jäitsmatriisi: σ =, σ =, σ =, τ = 4, muut = [ σ ] = (a) Suurimma pääjäitkse suutaie ksikkövektori: ([ σ ] σ I [ I]){ } = {0} = = = 0 = 0, + 4 = 0 = + + = 0 + ( ) + = 5 = =, = = 5 5 I = j+ k = ( j+ k ) ieimmä pääjäitkse suutaie ksikkövektori: ([ σ ] σ III [ I]){ } = {0} = = = 0 = 0, = 0 = + + = 0 + ( ) + = 5 = =, = = III = j+ k = ( j+ k ) (b) Suuri leikkausjäits: σ I σ III 5 ( 5) τ ma = = = 5Ma

65 (c) ia ormaali muodostaa 45 kulmat pääakselie I ja III kassa, jote se suutaie vektori N (vrt. kuva) o N= I + III = ( j+ k) + ( j+ k) = ( j+ k ) III Se itseisarvo o N= I + III 0 N = + = = 5 5 I III 45 ia ksikköormaalivektori o I = N τ ( ) ( ) = j 5 + k = j 0 + k II N. Kompatibiliteettihtälöide tulee toteutua. Koska γ = γ = ε = 0, riittää kui tarkastellaa tasotapaukse kompatibiliteettihtälöä. Derivoidaa ε ε = α, = α, ε ε = α, = α, γ γ = β, = β, Sijoitetaa kompatibiliteettihtälöö: ε ε γ + = α + α = β ( α β) = 0 α = β

66 . Tukireaktio tuella : =0kN 0,4m 0,6m m 0kN 0,6m = 0 = 6kN Leikkausvoima välillä : 6kN Q Q 6kN = 0 Q = 6kN Jähsmometti: 60mm c 0mm 60mm 0mm = = = = + = mm, 00mm, = 5mm, = 40mm c = = =,5mm I = = 5000mm, I = = 80000mm 4 4 = = =,60 0 mm = + c I I I c 6, , ,55 0 mm I I I I I = = = =

67 Uuma staattie mometti -akseli suhtee:,5mm = 7,5mm 0mm S = 600 7,5 = 0500mm Leikkausvuo: QS 6kN 0500mm q = = = 5 4 0,4kN/mm I 5,55 0 mm Yhtee aulaa kohdistuva leikkausvoima: Qaula = q 0mm = 0,4kN/mm 0mm =, 8kN

68 4. q ( ) = q0 L q 0 L Differetiaalihtälö ratkaisu: (4) q0 q0 q0 v = v = + v = + + EIL EIL 6EIL q q v = v= + + 4EIL 0EIL Reuaehdot: v(0) = 0, M(0) EIv (0) EI = 0 = 0, q 5 0 vl ( ) L+ L+ L+ L + 4 = 0, 0EIL 6 q 0 4 ϕ( L) L + L + L+ = 0, 4EIL L q0 + = L 6 0EI L L q0 q0 L q0 = L + L = L L q 6 4EI 0EI 0EI 0 + = L 4EI ql q L ql ql = = L = + = 0EI 4EI 4 0 EI 0 EI , ( ) Taipuma: q0 5 q0 5 ql 0 ql 0 v= = + 0EIL 6 0EIL 60EI 0EI 4 ql 0 5 = [( ) ( ) + ] 0EI L L L Taivutusmometti: M 4 ql 0 ql 0 = EIv = [0( ) ] = [ 5( ) + ] 0 L L 0 L L

69 5. Nurjahdus, tasossa: L = 5m = L= 0m π EI π 70 0 ka 6, 0 m kr = = = 4,5kN l (0m) l Nurjahdus, tasossa: L = 5m = 0, 70 L=,5m π EI π 70 0 ka, 0 m kr = = = 08kN l (,5m) l Kriittie kuorma: kr kr kr = mi{, } = 4,5kN Sallittu kuorma: kr 4,5kN sall = = = 4,kN, 0 Normaalijäits: kr 4,5kN σ = = = 56500ka = 56,5Ma> 0Ma = σ, OK m 7,5 0 m

70 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..008 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla. Määritä pääjäitkset, suuri leikkausjäits ja se pia ormaalijäits, jolla suuri leikkausjäits vaikuttaa. Yksiköt ovat Ma.. Jäitskompoetit pitkässä mpräsliteri muotoisessa kappaleessa, joka säde o a ja akseli ht sliteri akselii ja jota vääetää, ovat τ = Gθ, τ = Gθ, σ = σ = σ = τ = 0. missä G ja θ ovat vakioita (leikkausmoduuli ja väätmä). (a) Osoita, että jäitskompoetit ovat tasapaiossa, ku tilavuusvoimia ei ole. (b) Osoita mös, että sliteri reuapita o jäitksetö (eli traktiovektori sliteri reuapialla häviää).. Oheie palkki muodostuu kahdesta lakusta, jotka o kiiitett toisiisa auloilla, jotka sijaitsevat pitki palkkia cm: välei. alkkia kuormittaa = 0kN suuruie voima. Määritä leikkausvoima, joka kohdistuu kuhuki aulaa välillä. 6cm = 0kN cm 6cm 0,4m 0,6m cm

71 4. Määritä oheise tasajäkä palki tukireaktiot se tuilla ja sekä taivutusmometit pisteissä, ja D kättäe superpositioperiaatetta. D L / L / L / 5. lumiiisauva poikkileikkaus o 0mm 6mm suorakaide ja se o tuettu tapeilla ja korvakkeilla kuva mukaisesti. Sauva kumpiki pää voi kiertä vapaasti tapi läpi kulkeva vaakasuora akseli mpäri, mutta korvakkeet estävä päide kiertmise pstsuora akseli mpäri. Määritä sallittu keskeie kuorma, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o,5 ja E = 70Ga. Sivulta: äältä: m m

72 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti..008, ratkaisut. Kuva perusteella: σ = Ma, σ = Ma, σ = Ma, τ = 0, τ = Ma, τ = [ σ ] = 0 0 Jäitsivariatit: I = + =, I I 0 0 = + + = 4 = = 0 = = 4= 6 0 Yhtälö: σ Iσ + Iσ I = 0 σ σ 5σ + 6 = 0 Ratkaisu: I I (5) 9 Q = = = I + 7I 9II + 7 ( 6) 9 ( 5) 8 R = = = D = Q + R = ( ) + ( ) 8, 0, R ϕ = arccos = arccos 7 09, 76 Q 9 ( ) 9

73 I 9 09, 76 σ = Q ϕ + = + 9 I σ = Q cos( ϕ + 0 ) + Ma, I σ = Q cos( ϕ + 40 ) + Ma. ääjäitkset: σ = Ma, σ = Ma, σ = Ma. cos( ) cos Ma, I II III Suuri leikkausjäits ja vastaava ormaalijäits: σ I σ III ( ) I III ( ) ma,5ma, σ + σ + τ = = = στ = = = 0,5Ma, ääjäitkset saadaa tässä tapauksessa helpommi seuraavasti: σ 0 0 σ det([ σ] σ[ I]) = 0 0 σ = 0 ( σ) = 0 σ 0 σ = = ( σ)[( σ)( σ) 4] 0 ( σ)( σ σ 6) 0 σ, = ± + 6, σ = σ =, σ =, σ = 4

74 . (a) Ku tilavuusvoimaa ei ole, f = 0 eli f = f = f = 0 ja jäitskompoettie tasapaiohtälöt ovat σ τ τ τ σ τ τ τ σ + + = 0, + + = 0, + + = 0. Osoitetaa, että e toteutuvat: 0 Gθ Gθ 0 0 σ τ τ + + = Gθ ( + ) = 0, OK Gθ 0 0 τ σ τ + + = Gθ = 0, OK Gθ 0 0 τ τ σ + + = Gθ = 0, OK (b) Sliteripia ksikköormaali- vektori kompoetit: a Kuvio perusteella: = 0, = =, = = a a a a Traktiovektori sliterim pialla: ( ) {} t [ σ ]{ } = ( ) t σ τ τ 0 Gθ Gθ ( ) Gθ t τ σ τ Gθ 0 0 = = / a = 0 = 0 ( ) a t τ τ σ Gθ 0 0 / a 0 0 t ( ) = 0

75 . Tukireaktio tuella : =0kN 0,4m 0,6m m 0kN 0,6m = 0 = 6kN Leikkausvoima välillä : 6kN Q Q 6kN = 0 Q = 6kN Jähsmometti: 60mm c 0mm 60mm 0mm = = = = + = mm, 00mm, = 5mm, = 40mm c = = =,5mm I = = 5000mm, I = = 80000mm 4 4 = = =,60 0 mm = + c I I I c 6, , ,55 0 mm I I I I I = = = =

76 Uuma staattie mometti -akseli suhtee:,5mm = 7,5mm 0mm S = 600 7,5 = 0500mm Leikkausvuo: QS 6kN 0500mm q = = = 5 4 0,4kN/mm I 5,55 0 mm Yhtee aulaa kohdistuva leikkausvoima: Qaula = q 0mm = 0,4kN/mm 0mm =, 8kN 4.

77 Kätetää superpositioperiaatetta ja tauluko 8. kohtaa 7. Tukireaktiovoimat: L L L L L L L L D ( /) / ( /) / = + = ( + ) + ( + ) = L/ L/ L/ L/ 4 = + = [ ( ) ] + [ ( ) ] = L L L L D Tarkistus: 4 + = + = 0, OK. Taivutusmometti M : D L / L / / / / / ( L ) L M = M + M = + L ( L ) = L L L L L Taivutusmometit M ja M D : Tauluko taivutusmometi lausekkeesta saadaa: L L L b a L M = M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= 6L + L < > L L L b a L M = D M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= L + L < > Soveltamalla äitä lausekkeita saadaa: ( /) ( /) 7 4 D L L M = M + M = [ ( ) 0] [ ( ) 0)] L 6L + + 6L + = = 9 ( /) ( /) D L L L L M D = MD + MD = [ ( + ) ( )] + [ ( + ) 0] = L L 9 5.

78 Sivulta: l = l = 000mm 000mm I bh 0mm (5mm) = = = 77760mm 4 kn 4 π mm π EI mm kr l (000mm) äältä: = = =, 4kN l = l/ = 000mm 000mm I bh (0mm) 6mm 4000mm 4 = = = kn 4 π mm π EI mm kr l (000mm) = = = 6,58kN Kriittie kuorma: =, 4kN kr Sallittu kuorma: sall kr, 4kN = = = 5,7kN,5

79 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Oheise jäitstila pääjäitkset tuetaa ja e ovat suuruusjärjestksessä σ I = 8Ma, σ II = 9Ma ja σ III = 9Ma. Määritä suurimma pääjäitkse suutaie ksikkövektori. Yksikkö o Ma Jäitskompoetit pitkässä mpräsliteri muotoisessa kappaleessa, joka säde o a ja akseli ht sliteri akselii ja jota vääetää, ovat τ = Gθ, τ = Gθ, σ = σ = σ = τ = 0. missä G ja θ ovat vakioita (leikkausmoduuli ja väätmä). (a) Osoita, että jäitskompoetit ovat tasapaiossa, ku tilavuusvoimia ei ole. (b) Osoita mös, että sliteri reuapita o jäitksetö (eli traktiovektori sliteri reuapialla häviää).. Määritä hitsisauma (keskimääräie) leikkausjäits palki kohdassa -. Viot piat, joilla hitsisauma keskimääräie leikkausjäits lasketaa, o esitett katkoviivalla kuva (c) leikkauksessa. Uuma ja laipa välille oletetaa rako. Hitsi vaikutusta poikkileikkaussuureisii ei huomioida. (a (b (c 00mm k k 0mm a = 5mm 00mm 0mm

80 4. Määritä oheise tasajäkä palki tukireaktiot se tuilla ja sekä taivutusmometit pisteissä, ja D kättäe superpositioperiaatetta. D L / L / L / 5. lumiiisauva, joka halkaisija o 5mm, o tuettu kuva mukaisesti. Tuki estää vaaka- ja pstliikkee, rullatuet ja estävät vaakaliikkee ja kiertmise piirrokse tasossa. Määritä sallittu kuorma, ku varmuusluku urjahtamise suhtee o,, E = 77Ga, a = 0,9m, b =, m ja c = 0,m. Tarkastellaa vai kuva tasossa tapahtuvaa urjahdusta. D c b a

81 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti.5.008, ratkaisut Kuva perusteella: σ = Ma, σ = Ma, σ = 5Ma, τ = Ma, τ = 0Ma, τ = 8Ma 8 [ σ ] = Suurimma pääjäitkse suutaie ksikkövektori: ([ σ ] σ I [ I]){ } = {0} σ I σ I 0 = = σ I Ratkaistaa ja kahdesta esimmäisestä htälöstä: = = 0 6 = = 6 = 0 ( 7) ( 6) = = =, =. Sijoitetaa e ehtoo + + =, jolloi saadaa 9 + ( ) + = = = 4 Tulos o = ( i j+ k ). =, = =, =.

82 . (a) Ku tilavuusvoimaa ei ole, f = 0 eli f = f = f = 0 ja jäitskompoettie tasapaiohtälöt ovat σ τ τ τ σ τ τ τ σ + + = 0, + + = 0, + + = 0. Osoitetaa, että e toteutuvat: 0 Gθ Gθ 0 0 σ τ τ + + = Gθ ( + ) = 0, OK Gθ 0 0 τ σ τ + + = Gθ = 0, OK Gθ 0 0 τ τ σ + + = Gθ = 0, OK (b) Sliteripia ksikköormaali- vektori kompoetit: a Kuvio perusteella: = 0, = =, = = a a a a Traktiovektori sliterim pialla: ( ) {} t [ σ ]{ } = ( ) t σ τ τ 0 Gθ Gθ ( ) Gθ t τ σ τ Gθ 0 0 = = / a = 0 = 0 ( ) a t τ τ σ Gθ 0 0 / a 0 0 t ( ) = 0

83 . Leikkausvoima: kn kn Q M 0mm 00mm 00mm a = 5mm Q+ kn+kn = 0 Q = kn 0mm itakeskiö: 0mm 00mm 00mm 0mm c = 00 0 = 000m, = 0 00 = 000mm = + = 4000mm = 0mm, = 0mm + 00mm = 70mm + c = = 40mm Jähsmometti I : = = =, 7 0 mm I I I Jähsmometti I = I : I = I + I I = I =, = 5, 0 mm c c Hitsisauma alapuoleise osa staattie mometti: = 0mm S = = = 60000mm Leikkausvuo ja hitsi leikkausjäits: q QS 0 N 60000mm, 77N/mm = = =,77N/mm, τ = = 6 4 I 5, 0 mm 5mm,8Ma

84 4. Kätetää superpositioperiaatetta ja tauluko 8. kohtaa 7. Tukireaktiovoimat: L L L L L L L L D ( /) / ( /) / = + = ( + ) + ( + ) = L/ L/ L/ L/ 4 = + = [ ( ) ] + [ ( ) ] = L L L L D Tarkistus: 4 + = + = 0, OK. Taivutusmometti M : D L / L / / / / / ( L ) L M = M + M = + L ( L ) = L L L L L Taivutusmometit M ja M D : Tauluko taivutusmometi lausekkeesta saadaa: L L L b a L M = M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= 6L + L < > L L L b a L M = D M( ) [ ( ) ] = F < a F a >= L + L < > Soveltamalla äitä lausekkeita saadaa: ( /) ( /) 7 4 D L L M = M + M = [ ( ) 0] [ ( ) 0)] L 6L + + 6L + = = 9 ( /) ( /) D L L L L M D = MD + MD = [ ( + ) ( )] + [ ( + ) 0] = L L 9

85 5. Jähsmometti: I = πr = π (5mm/) = 975mm Väli : Nurjahduspituus: l = 0, 7a = 0, 7 900mm=60mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 6,7kN 4 kr l (60mm) Väli : Nurjahduspituus: l = b/ = 00mm/ = 600mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 40,48kN 4 kr l (600mm) Väli D: Nurjahduspituus: l = c= 00mm = 600mm Kriittie kuorma: π EI π 77kN/mm 975mm = = = 40,48kN 4 D kr l (600mm) Koko sauva kriittie kuorma o äistä piei: kr = kr = 6, 7kN Sallittu kuorma: 6,7kN kr kr = sall = = = sall,,5kn

86 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai. Tarkasteltava pistee jäitstila, -koordiaatistossa, o esitett oheise kuvio avulla. Yksiköt ovat Ma Määritä jäitskompoetit ja jäitsmatriisi sekä jäitsvektori (traktio), ormaalijäits, ormaalijäitsvektori, leikkausjäitsvektori sekä leikkausjäitkse suuruus pistee kautta kulkevalla tasolla, joka ksikköormaalivektori o = /i+ /j+ /k. q q b b R R, u a a v,. Oheie suorakaitee muotoie, päistää tuettu lev o tasojäitstilassa. Se läreualla vaikuttaa pitaksikköä kohti tasa jakautuut kuorma q. Lev siirtmäkompoeteille o johdettu lausekkeet q u (, ) = [4 ( a ) + 8 ( b) + 4 ν ( b+ b)], 6bE 5 q 6 v (, ) = {( a )(5 a ) + ( a )[8b + 5 ν ( b )] 6bE 5 [(5 0 ) 4 (0 ) 40 + ν + ν b + b ]}, 5 missä E o kimmomoduuli ja ν o oissoi vakio. Osoita, että lev jäitskompoeteilla σ ja τ o lausekkeet

87 q 6 q σ = [( a ) + b ], τ = ( ) b 4b 5 4 b. Mitoita oheise puusta tehd palki poikkileikkaus, joka sallittu ormaalijäits o Ma. Tarkista lopuksi, että sallittu leikkausjäits Ma ei lit tue D vieressä olevassa poikkileikkauksessa., 6kN,8kN mm D h 0,8m 0,8m 0,8m 4. Määritä täsplastie mometti M p sauvalle, joka poikkileikkaus o kuva mukaie, ku poikkileikkausta taivutetaa vaaka-akseli mpäri. Materiaali otaksutaa oleva kimmoista ideaaliplastista mötäraja ollessa 40Ma. 00mm 0mm 0mm 60mm 80mm 0mm 5. uristussauva o läpäästää kiiitett site, että se ei pääse siirtmää vaakatasossa, mutta o vapaa kiertmää. lapäästää se o jäkästi kiiitett. Sauva tehokas pituus o m ja se o teht hitsaamalla htee kaksi L-profiilia kuva mukaisesti. Määritä sauvalle sallittu keskeie puristava kuorma, ku varmuusluku urjahdukse suhtee o ja sauva kimmomoduuli o E = 00Ga. 50mm 50mm 6mm 75mm

88 Rak Raketeide lujuusoppi Tetti , ratkaisut. Jäitskompoetit: σ = 7, σ = 5, σ = 4, τ = 0, τ = 0, τ = Jäitsmatriisi: 7 0 [ σ ] = Jäitsvektori: 7 0 / 4 ( ) {} t [ σ ]{ } = = / = 0/. 0 4 / 0 t = (4 i+ j ) Normaalijäits: ( ) 0 ( ) σ = t i = ( i+ j+ k) i (4 i+ j) = 4+ = 9 Normaalijäitsvektori: ( ) σ = σ = ( i+ j+ k) = (i+ j+ k) 9 7 Leikkausjäitsvektori: ( ) ( ) ( ) 0 44 τ = t σ = 4 i+ j (i+ j+ k) = (0i+ j k) 7 7 Leikkausjäitkse suuruus: ( ) ( ) τ = t σ = 4 + ( ) ( ) = = tai ( ) ( ) τ = τ = 0i+ j k = =

89 . Vemäkompoetit: u q 4 ε = [ a ( ) + (8 + 4 ν) ( + ν) b+ 8 νb)], 6b E 5 v q 4 ε = [ νa ( ) (4 + 8 ν) + ( ν + ) b 8 b], 6b E 5 γ u v q( + ν ) + = b Eb ( ) Jäitskompoetit: E σ = ( ε + νε) ν E q 4 = [ a ( ) + (8 + 4 ν) ( + ν) b+ 8 νb) ν 6bE 5 4 ν a ( ) (4 + 8 νν ) + ( ν+ ) νb 8 νb] 5 q 6 = [ a ( ) + b] 4b 5 E q τ = Gγ = γ = b ( + ν ) 4 b ( )

90 . Tukireaktiot:,8kN, 6kN 0,8m 0,8m 0,8m D D = 0 D,4m +,8kN,6m +,6kN 0,8m = 0 =,4kN D, 4m, 6kN, 6m,8kN 0,8m = 0 D = kn Taivutusmometit pisteissä ja : M D, 4kN 0,8m 0,8m kn M, 4kN 0,8m + M = 0 M =,9kNm kn 0,8m M = 0 M =, 4kNm Mma = M =, 4kNm Jähsmometti ja taivutusvastus: mm bh mm h I I = = = mm h, W = = mm h h / h Suuri ormaalijäits: σ M W mm h h 6 ma, 4kNm, 0 ma = = = N Ehto: σ, 0 N N, 0 h mm 6 6 ma = σsall = h = mm = 6, mm Leikkausvoima tuella D: Q = D = kn