SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa"

Elisabet Leppänen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1

2 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia Voi olla selvästi havaittavissa tai lähes näkymätön Voi johtua myös lämpötilamuutoksesta Ei ole välttämättä tasainen koko kappaleessa. Siten kappaleesta leikatun viiva-alkion geometriamuutos voi vaihdella sen pituussuunnassa MUODONMUUTOS Muodonmuutostarkastelun yksinkertaistaminen Oleta viivojen olevan hyvin lyhyitä ja sijaitsevan tutkittavan pisteen läheisyydessä Ota huomioon viiva-alkion suunta tutkittavan pisteen suhteen 4 2

3 2.2 VENYMÄ Venymä Määritetään viiva-alkion pituuden muutoksena Tarkastellaan viiva-alkiota AB kuvan kappaleessa Muodonmuutoksen jälkeen s muuttuu s VENYMÄ Venymä Määritetään keskimääräinen venymä käyttäen symbolia ε avg (epsilon) ε avg = kun s 0, s 0 s s s lim s s ε = B A linjaa n s 6 3

4 2.2 VENYMÄ Venymä (normaalivenymä) Kun normaalivenymä (jatkossa venymä) ε tunnetaan, käytetään oheista approksimatiivista yhtälöä määrittämään lyhyen viiva-alkion n- suuntaisesta pituudesta muodonmuutoksen jälkeen s (1 + ε) s Kun ε on positiivinen, viiva-alkio venyy ja päinvastoin VENYMÄ Yksiköt Venymä on dimensioton suure, koska se on kahden pituuden välinen suhde Usein kuitenkin venymän yksikkö esitetään muodossa metri/metri (m/m) ε on hyvin pieni useimmissa teknisissä sovelluksissa, joten usein sen yksikkö esitetään muodossa mikrometri per metri (µm/m) jossa 1 µm = 10 6 Venymä voidaan esittää myös prosentuaalisena suureena, esim m/m = 0.1 % 8 4

5 2.3 LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Liukuma määritetään kulmamuutoksena kahden viiva-alkion välillä, jotka alunperin olivat kohtisuorassa toisiaan vastaan Kulmamuutos merkitään kirjaimella γ (gamma) ja se mitataan radiaaneissa (rad) LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Tutkitaan viiva-alkioita AB ja AC, jotka lähtevät samasta pisteestä A ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan suunnissa n ja t Muodonmuutoksen tapahduttua viiva-alkiot ovat käyriä ja niiden välinen kulma pisteessä A on θ 10 5

6 2.3 LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Siten liukukulma pisteessä A suuntien n ja t suhteen on γ nt = π 2 lim B A pitkin n θ C A pitkin t Mikäli θ on suurempi kuin π/2, liukuma on postiivinen ja päinvastoin KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Käytetään edellä olleita määrityksiä ja kuvataan niillä kappaleen pisteen muodonmuutos Jaetaan kappale differentiaalielementteihin, joiden dimensiot ovat x, y ja z 12 6

7 2.4 KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Muodonmuutoksen tapahduttua on elementti paralleelipipedi Sivujen aproksimoidut pituudet ovat (1 + ε x ) x (1 + ε y ) y (1 + ε z ) z KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Sivujen likimääräiset kulmat ovat π 2 γ π xy 2 γ yz π 2 γ xz Venymät aiheuttavat kappaleen tilavuudenmuutoksen Liukumat aiheuttavat kappaleen muodonmuutoksen Yhteenvetona: pisteessä pitää määrittää 3 venymää; ε x, ε y, ε z ja 3 liukumaa; γ xy, γ yz, γ xz 14 7

8 2.4 KOKONAISVENYMÄ Pienten venymien analyysi Useimmissa tekniikan sovelluksissa sallitaan vain kappaleen pienet siirtymät Oletetaan kappaleen muodonmuutosten olevan lähes infinitesimaalisia, jolloin normaalivenymät materiaalissa ovat hyvin pieniä yksikkövenymään nähden, ts. ε << KOKONAISVENYMÄ Pienten venymien analyysi Tämä oletus on laajalti sovellettua tekniikassa, jolloin puhutaan pienten venymien analyysista tai pienten siirtymien analyysista Silloin voidaan approksimoida esimerkiksi kulmien trigonometrisistä funktioista sin θ = θ, cos θ = θ ja tan θ = θ kun θ on hyvin pieni. 16 8

9 ESIMERKKI 2.1 Kuvan sauvaan vaikuttaa lämpötilan muutos, joka aiheuttaa aksiaalisuunnassa venymän ε z = 40(10 3 )z 1/2,, missä z on annettu metreissä. Määritä (a) pisteen B siirtymä johtuen lämpötilan noususta (b) Sauvan keskimääräinen venymä. 17 ESIMERKKI 2.1 (RATKAISU) (a) Differentiaalipalasen dz, joka sijaitsee pisteessä z, pituuden muutos on : dz = [1 + 40(10 3 )z 1/2 ] dz Integroimalla (summaamalla) yli koko sauvan, saadaan pituuden muutosten yhteisvaikutus eli 0.2 m z = 0 [1 + 40(10 3 )z 1/2 ] dz = z + 40(10 3 )(⅔ z 3/2 0.2 m ) 0 = 0,20239 m Siirtymä pisteessä B on siis B = 0,20239 m 0,2 m = 2,39 mm 18 9

10 ESIMERKKI 2.1 (RATKAISU) (b) Oleta sauva tai viiva-alkio, jolla on alkupituus 200 mm ja pituuden muutos 2,39 mm. Siten ε avg = s s s = 2.39 mm 200 mm = mm/mm 19 ESIMERKKI 2.2 Levyn muodonmuutos on esitetty kuvassa. Muodonmuutoksessa levyjen sivut pysyvät suorina eikä niiden pituus muutu. Määritä (a) Sivun AB keskimääräinen venymä ja (b) levyn liukuma (keskimääräinen leikkausvenymä) suhteessa x ja y akseleihin 20 10

11 ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU) (a) Viivasta AB, joka on y akselin suuntainen, tulee AB muodonmuutoksen jälkeen. Viivan AB pituus on AB = (250 2) 2 + (3) 2 = mm 21 ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU) (a) Siten keskimääräinen normaalivenymä suoralla AB on (ε AB ) avg = AB AB AB = mm 250 mm 250 mm = 7.93(10 3 ) mm/mm Negatiivinen etumerkki tarkoittaa, että materiaali puristuu ko. suoralla

12 ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU)) (b) Kun piste B siirtyy pisteeseen B, kulma BAC akselien x ja y välillä muuttuu arvoon θ. Koska γ xy = π/2 θ, saadaan liukumaksi γ xy = tan 1 ( ) 3 mm 250 mm 2 mm = rad 23 YHTEENVETO Kuormitukset muuttavat kappaleen muotoa, siten kappaleen pisteet saavat siirtymiä eli paikkamuutoksia Venymällä tarkoitetaan kappaleen lyhyen viiva-alkion pituudenmuutosta Liukumalla tarkoitetaan kappaleen kahden lyhyen, toisiaan vastaan kohtisuoran, viiva-alkion kulmamuutosta 24 12

13 YHTEENVETO Pisteen venymätila määritetään kuudella muodonmuutoskomponentilla: a) Kolme venymäkomponenttia: ε x, ε y, ε z b) Kolme liukumakomponenttia: γ xy, γ xz, γ yz Venymä on geometrinen suure, joka mitataan kokeellisesti. Kappaleessa oleva jännitystila määritetään sitten materiaaliominaisuuksien perusteella (konstitutiiviset yhteydet). 25 YHTEENVETO Useimmat teknisissä sovelluksissa käytettävät materiaalit ovat perustana koneille/laitteille/rakennuksille, jotka kuormitettuina saavat pieniä siirtymiä, siten ε << 1. Tämä ns. pienten siirtymien oletus sallii laskelmien yksinkertaistamisen eli ns. ensimmäisen kertaluvun teorian soveltamisen ja siihen liittyvät approksimaatiot 26 13

Samankaltaiset tiedostot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan