10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat
|
|
- Iivari Juusonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali- ja leikkausjännityksen alainen rasitustila yhdistetään vetokokeesta saatuun materiaalin lujuuteen SISÄLTÖ. Tasovenymä. Tasovenymätilan muunnosyhtälöt 3. Jännitys/muodonmuutos: yleistetty Hooken laki 4. Vaurioteoriat
2 0. TASOVENYMÄ Yleinen venymätila käsittää 3 normaalivenymä komponenttia (ε x, ε y, ε z ) ja 3 leikkausvenymä- (liukuma)komponenttia (γ xy, γ xz, γ yz ). Kokeellisesti tasovenymätilan venymät sadaan venymäliuskoilla kappaleen pinnasta. Tasovenymätilassa on kaksi normaalivenymäkomponenttia (ε x, ε y ) ja yksi leikkausvenymäkomponentti γ xy TASOVENYMÄ Kuvissa on esitetty siirtymät graafisesti. Huomaa, että normaalivenymät aiheuttavat elementin pituusmuutoksen x ja y -suuntiin ja leikkausvenymä (liukuma) aiheuttaa kahden vierekkäisen sivun suhteellisen kiertymän. Normaalivenymä ε x Normaalivenymä ε y Liukuma γ xy 4
3 0. TASOVENYMÄ Huomaa, että tasovenymätila ei välttämättä tarkoita tasojännitystilaa. Yleisessä tapauksessa, ellei υ 0, Poissonin efekti estää samanaikaisen tasojännitys- ja tasovenymätilan. Koska leikkausjännitykseen ja liukumaan ei vaikuta Poissonin vakio, ehto τ xz τ yz 0 edellyttää, että γ xz γ yz 0. Tasojännitystila ei aiheuta tasovenymätilaa x-y- tasossa, koska ε z TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Merkkisääntö Normaalivenymät ε xz ja ε yz ovat positiivisia jos ne aiheuttavat venymiä x ja y akselien positiivisiin suuntiin Liukuma γ xy on positiivinen, jos kulma AOB on pienempi kuin
4 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Vastaavalla tavalla kuin aiemmin jännitysten kanssa, voidaan johtaa muunnoskaavat venymille: ε x + ε y ε x ε y γ ε x ' + cosθ + ε y' xy sin θ ε x + ε y ε x ε y γ xy cosθ sin θ ( 0-5) ( 0-6) γ xy ' ' ε x ε y γ sin θ + xy cos θ 0-7 ( ) 7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Graafisesti Positiivinen normaalivenymä ε x Positiivinen leikkausvenymä γ x y 8 4
5 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät Elementtiä voidaan kiertää siten, että sen muodonmuutos on ainoastaan venymiä ilman liukumia. Materiaalin pitää olla isotrooppista (joka suuntaan samanlaista) ja koordinaattiakselien tulee yhtyä pääakseleihin. Siten yhtälöistä 9-4 ja 9-5 saadaan γ xy tan θ p - ε ε x y ( 0 8) 9 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät ε x + ε y ε x ε y γ xy ε, ± + Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε tan x ε y θ s - γ xy ( 0 0) ( 0-9) γ max in -plane ε x ε y γ + xy ( 0 -) 0 5
6 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε avg ε x + ε y ( 0 -) 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Poissonin efektin vuoksi tasovenymätila ei ole tasojännitystila ja päinvastoin. Kappaleen piste on tasojännitystilassa, jos se sijaitsee kappaleen pinnalla, joka on jännityksetän pinnan normaalin suunnassa. Tasovenymätila voidaan analysoida esim. venymäliuskoilla mitatussa tasojännitystilassa. On kuitenkin muistettava, että tällöin esiintyy myös venymää pinnan normaalin suunnassa. Päävenymätilassa ei esiinny leikkausvenymiä (liukumia). 6
7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Pisteen venymätila voidaan esittää myös maksimi tasovenymillä. Tällöin vaikuttaa myös tasovenymä elementissä. Elementti, jossa esiintyy maksimi tasovenymä ja sitä vastaava normaalivenymä on 45 kulmassa päävenymien suhteen. 3 ESIMERKKI 0. Materiaalin differentiaalielementti on tasovenymätilassa, jossa vaikuttaa venymät ε x 350(0-6 ), ε y 00(0-6 ), γ xy 80(0-6 ), jotka aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. Määritä päävenymät ja niitä vastaavat kiertymäkulmat. 4 7
8 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Elementin suunta Yhtälöstä 0-8 saadaan 6 γ xy 80(0 ) tan θ p 6 ε ε (0 ) x y ( ) Siten θ 8.8 ja , joten p p θ 4.4 ja 85.9 Positiivinen suunta on vastapäivään, joten elementti kiertyy kuvan mukaisesti: 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Yhtälöstä 0-9, ε, ε 030 ε x + ε y 6 ( )( 0 ) ± + ( 0 ) 6 6 ( ) ± 77.9( 0 ) 6 6 ( ) ε 3530 ( ) ± ε x ε y + γ xy 6 8
9 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Tarkistetaan kumpi näistä venymistä vaikuttaa x suuntaan soveltamalla yhtälöä 0-5 kun θ 4.4. Siten ε x + ε y ε x ε y γ xy ε x' + cosθ + sin θ cos 4.4 ε x' 3530 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) sin ( 4.4 ) 6 ( ) ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Siten ε x ε. Päävenymät aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. 8 9
10 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Materiaalissa oleva piste asetetaan kolmiaksiaaliseen jännitystilaan. Sovelletaan superpositioperiaatetta, Poissonin vakiota (ε lat υε long ) ja Hooken lakia (ε σ E) jolloin saadaan jännityksien ja venymien yhteys aina yhden akselin suunnassa. Asetetaan σ x vaikuttamaan, jolloin elementti venyy x suunnassa ja venymä on tähän suuntaan on σ ε ' x x E JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan σ y, jolloin elementti kuroutuu venymällä ε x x -suuntaan, σ y ε' ' x υ E Vastaavasti jännityksellä σ z, kurouma x suuntaan on σ ε z ' ' ' x υ E 0 0
11 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Superpositioperiaatteella soveltaen samaa kahteen muuhun suuntaan saadaan ε ε ε x y z E E E [ σ υ( σ + σ )] x [ σ υ( σ + σ )] ( 0-8) y [ σ υ( σ + σ )] z y x x z z y 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan leikkausjännitys τ xy elementtiin, jolloin havaitaan kokeellisesti, että muodonmuutos on ainoastaan liukuma γ xy. Asetetaan vastaavasti τ xz ja γ xy, sekä τ yz ja γ yz. Hooken laki leikkaukselle on siis γ xy τ xy γ yz τ yz γ xz τ G G G xz ( 0-9)
12 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Aiemmin todettiin: E G +υ ( ) ( 0-0) Päävenymien ja leikkausjännityksen yhteys on τ xy ε + υ 0 E ( ) ( ) max - Koska σ x σ y σ z 0, yhtälön 0-8 mukaan ε x ε y 0. Sijoitetaan 0-9, jolloin saadaan ε ε max γ xy JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Hooken lain mukaan, γ xy τ xy /G. Siten ε max τ xy /G. Sijoitetaan tulos yhtälöön0- ja järjestetään uudelleen jolloin saadaan G E ( +υ) ( 0-0) 4
13 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI YHTEENVETOA Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla, jotka ovat kolmiaksiaalisessa jännitystilassa, venymän suuruus yhteen suuntaan on riippuvainen kaikista jännityksistä. Tämä johtuu Poissonin efektistä ja se voidaan tiivistää yleistetyksi Hooken laiksi. Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla leikkausjännitys aiheuttaa liukuman ainoastaan samassa tasossa. Materiaalivakiot E, G ja υ ovat matemaattisesti sidoksissa toisiinsa. 5 ESIMERKKI 0.0 Kuparitanko on kuvan jännitystilassa. Sen mitat ovat a 300 mm, b 50 mm ja t 0 mm ennen kuormituksen asettamista. Määritä uudet mitat kuorman asettamisen jälkeen. Materiaaliparametrit ovat E cu 0 GPa, υ cu
14 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tanko on tasojännitystilassa. Kuormituksen perusteella σ x 800 MPa σ y 500 MPa τ xy 0 σ z 0 Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ x υ ε x v E E 800 MPa 0 03 ( σ + σ ) z ( ) MPa ( ) ( 500 ) MPa 7 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ y υ ε y ( σ x + σ z ) E E 500 MPa MPa MPa 0 03 ( ) ( ) ( ) ( σ + σ ) σ z υ ε z x E E y ( ) ( 800 MPa 500 MPa )
15 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tangon uudet mitat ovat siis a' 300 mm b' 50 mm + t' 0 mm ( 300 mm) 30.4 mm ( )( 50 mm) mm ( )( 0 mm) 9.98 mm 9 Suunnittelussa on materiaalille asetettava jännityksen yläraja, jolla se vaurioituu (myötää/murtuu). Sitkeillä materiaaleille vaurio alkaa myötämisellä. Haurailla materiaaleilla vaurion määrittää murtuminen. Suunnittelijoilla on kuitenkin käytössään vain yksiaksiaalisen vetokokeen tulos, joka ei suoraan sovellu kaksi- tai kolmiaksiaalisen jännitystilan vauriotyyppiin. Eri materiaalityypeille on johdettu lujuushypoteeseja (oletuksia), joilla arvioidaan kriittisiä jännitystasoja. 30 5
16 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Sitkeät materiaalit myötävät tyypillisesti liukumalla. Liukupinnat muodostuvat materiaalin raerajoille. Liukupintoja kutsutaan Lüderin viivoiksi. Kuvan mukaisesti liukupinnat ovat n. 45 asteen kulmassa vetosuunnan suhteen. 3 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Aiemmin on johdettu tulos maksimileikkausjännitystasolle τ σ Y ( 0 6) max - Vuonna 868 Henri Tresca esitti maksimileikkausjännityshypoteesin tai ns. Trescan vaurioteorian. 3 6
17 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat samanmerkkiset, on vaurioraja τ σ max abs max Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat erimerkkiset, on vaurioraja τ abs max σ max σ min 33 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Siten voidaan maksimileikkausjännitys tiivistää kahden pääjännityksen perusteella muotoon: σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. Y Y Y ( ) σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. 0-7 σ σ σ } σ, σ pääjännitykset erimerkkiset. 34 7
18 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi 35 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi (VMVH) Energiaa yksikkötilavuuselementissä kutsutaan venymäenergiatiheydeksi. Yksiaksiaalisessa ja kolmiaksiaalisessa jännitystilassa venymäenergiatiheys on u σε ( 0-8) u σ ε + σ ε + σ3ε
19 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Lineaarielastisella alueella Hooken lain mukaan σ + σ + σ u 3 ( 0-9) E υ ( σσ + σσ 3 + σ3σ ) Vakiomuodonvääristymishypoteesin mukaan sitkeä aine myötää, kun vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti on sama tai suurempi kuin vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti yksiaksiaalisessa vetokokeessa. 37 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Määritetään vääristymisenergia + υ u d σ σ + σ σ3 6E Tasojännitystilassa + υ u d σ 3 E [( ) ( ) + ( σ σ ) ] ( σ σ + σ ) Vetokokeessa σ σ Y, σ σ 3 0 +ν ( ud ) Y σy 3E
20 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Koska hypoteesin mukaan u d (u d ) Y, saadaan tasojännitystilassa ( 0 30) σσ + σ σ Y - σ 39 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Verrataan hypoteeseja graafisesti. 40 0
21 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Hauraat materiaalit murtuvat kuvien mukaisesti. 4 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi (MNJH) Maksiminormaalijännityshypoteesin mukaan hauras materiaali murtuu kun pääjännitys σ saavuttaa yksinkertaisessa vetokokeessa saadun murtorajan. Tasojännitystilassa σ σ σ σ ult ult ( 0-3) 4
22 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Kokeellisesti on havaittu hypoteesin toimivan varsin hyvin materiaaleilla, joiden vetopuristusmurtoraja on (suunnilleen) sama. 43 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Mohrin vauriokriteeriä käytetään hauraille materiaaleille, joiden veto-puristusmurtorajat ovat erilaiset. Materiaalille on tehtävä kolme testiä kriteerin määrittämiseksi. 44
23 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Yksiaksiaalinen vetokoe, jolla saadaan vetomurtolujuus (σ ult ) t Yksiaksiaalinen puristuskoe, jolla saadaan puristusmurtolujuus(σ ult ) c Vääntökoe, jolla saadaan leikkausmurtolujuus τ ult. Tuloksena saadaan pääjännitystasossa kuvaaja: 45 YHTEENVETOA Sitkeä materiaali vaurioituu myötämällä ja hauras materiaali murtumalla. Sitkeän materiaalin vauriossa muodostuu liukupintoja materiaalin raerajoille. Liukupinnat aiheutuvat leikkausjännityksistä, joten maksimileikkausjännityshypoteesi perustuu tähän ideaan. Normaalijännityksen alaiseen materiaaliin varastoituu venymäenergiaa. 46 3
24 YHTEENVETOA Vakiomuodonvääristymishypoteesi perustuu ideaan, jonka mukaan materiaali vääristävä energia johtaa myötämiseen. Hauraan materiaalin murtuminen aiheutuu maksimivetojännityksestä materiaalissa. Tällöin voidaan käyttää maksimijännityshypoteesia vaurion määrittämiseen, kun materiaalin veto- ja puristuslujuudet ovat suunnilleen samat. 47 YHTEENVETOA Mikäli materiaalin veto- ja puristuskäyttäytyminen eroaa merkittävästi, voidaan käyttää Mohrin vauriokriteeriä. Materiaalin virheistä johtuen hauraiden materiaalien murtuminen on vaikeaa ennakoida, joten hauraiden materiaalien vaurioteorioita on syytä soveltaa varovaisuudella. 48 4
25 ESIMERKKI 0. Teräsputken sisäsäde on 60 mm ja ulkosäde 80 mm. Kun siihen vaikuttaa kuvan kuormitus, myötääkö materiaali kun sovelletaan vakiomuodonvääristymishypoteesia (VMVH)? Myötöraja vetotestin mukaan on σ Y 50 MPa. 49 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Rasitus on vakio koko putken pituudella. Otetaan mielivaltainen leikkaus, jolloin saadaan kuvan jännitysjakaumat. 50 5
26 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Pisteet A ja B ovat saman jännitystilan alaisia. Pisteessä A Tc ( 8000 N m)( 0.04 m) τ A 6.4 MPa J 4 4 π 0.04 m 0.03 m σ A Mc I ( ) ( ) ( ) ( 3500 N m)( 0.04 m) 4 ( π 4) ( 0.04 m) ( 0.03 m) Pääjännitykset ovat [ ] 4 [ ] σ MPa σ MPa 0.9 MPa 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) VMVH:n mukaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 76.) ( 76.)( 78.0) + ( 78.0) ] 5,00 < 6,500 OK! σ Y Koska VMVH:n mukainen vertailujännitys on pienempi kuin yksiaksiaalisen vetokokeen mukainen myötöraja, ei materiaali vaurioidu annetulla kuormituksella.? 5 6
27 ESIMERKKI 0.4 Akselin säde on 0.5 cm ja sen materiaalin (teräs) myötöraja on σ Y 360 MPa. Määritä vaurioituuko akseli a) MLJH:n b) VMVH:n mukaan. 53 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys vaikuttaa ulkopinnalla, joten suurimmat normaali- ja leikkausjännityskomponentit ovat σ τ τ x xy xy P A Tc J 5 kn π 6.55 kn/cm ( 0.5 cm) cm( 0.5 cm) 4 π ( 0.5 cm) 3.5 kn 9.0 kn/cm 65.5 MPa 9 MPa 54 7
28 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Tutkitaan elementtiä pisteessä A. Pääjännitykset ovat σ σ σ, σ x + σ y ± 95.5 ± MPa ± 86.6 MPa σ x + σ y + τ + xy ( 65.5) 55 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Koska pääjännitykset ovat erimerkkiset sovelletaan yhtälöä 0-7, σ σ σ Y ( ) Is ? 38. > 360 Vaurio! Materiaali siis myötää MLJH:n mukaan. 56 8
29 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Vakiomuodonvääristymishypoteesi Soveltaen yhtälöä 0-30 saadaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 95.6) ( 95.6)( 86.6) ( 86.6) ] ( 360) 8, ,600 OK! VMVH:n mukaan materiaali ei myödä. Miksi?? 57 YHTEENVETO Kun materiaalin elementissä vaikuttaa muodonmuutoksia yhdessä tasossa, on kysessä tasovenymätila. Mikäli venymäkomponentit ε x, ε y, ja γ xy tunnetaan, voidaan muunnosyhtälöillä laskea venymät missä muussa koordinaatistossa tahansa. Myös päävenymätasot ja suurin tasoleikkausvenymä voidaan laskea muunnosyhtälöillä. 58 9
30 YHTEENVETO Mikäli päävenymät ovat samanmerkkiset, suurin leikkausvenymä on γ max ε max /. Hooken lakia voidaan soveltaa avaruustapauksessa, jolloin saadaan yleistetty Hooken laki (0-8). Jos E ja υ tunnetaan, voidaan G laskea yhteydestä G E/[( + υ]. 59 YHTEENVETO Mikäli materiaalin pääjännitykset tunnetaan, voidaan suunnittelua varten lujuushypoteeseilla arvioida materiaalin kestävyyttä kun tunnetaan vetokokeen myötö/murtolujuus. Sitkeät materiaalit vaurioituvat leikkautumalla, jolloin voidaan soveltaa joko maksimileikkausjännitys- tai vakiomuodonvääristymishypoteesia. Molemmilla hypoteeseilla saadaan vertailujännitys, jota voidaan verrata yksiaksiaalisen vetokokeen tulokseen
31 YHTEENVETO Hauraat materiaalit vaurioituvat murtumalla kun suurin vetojännitys saavuttaa raja-arvon. Tällöin voidaan soveltaa joko maksiminormaalijännityshypoteesia tai Mohrin vauriokriteeriä. Saatua vertailujännityksen arvoa verrataan materiaalin vetokokeesta saatuun murtolujuuteen. 6 3
normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
LisätiedotLUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ
LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ Lujuushypoteesin tarkoitus: Vastataan kysymykseen kestääkö materiaali tietyn yleisen jännitystilan ( x, y, z, τxy, τxz, τyz ) vaurioitumatta. Tyypillisiä materiaalivaurioita ovat
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotSISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen
TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
LisätiedotTAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,
LisätiedotAnalysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus
TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,
LisätiedotMääritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja
TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti
LisätiedotA on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala.
Leikkausjännitys Kuvassa on esitetty vetosauvan vinossa leikkauksessa vaikuttavat voimat ja jännitykset. N on vinon tason normaalivoima ja on leikkausvoima. Q Kuvan c perusteella nähdään N Fcos Q Fsin
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
Lisätiedot8. Yhdistetyt rasitukset
TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.
LisätiedotCHEM-A1410 Materiaalitieteen Perusteet Luento 3: Mekaaniset ominaisuudet Ville Jokinen
CHEM-A1410 Materiaalitieteen Perusteet Luento 3: Mekaaniset ominaisuudet 24.09.2019 Ville Jokinen Mitä seuraavat ominaisuudet tarkalleen kuvaavat? Luja? Kova? Pehmeä? Venyvä? Elastinen? Sitkeä? Hauras?
LisätiedotKIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET
KIINTÄN AINN MKANIIKAN PRUSTT YHTÄLÖKOKOLMA Kari Santao 3..06 Pitkä versio Opiskelin nimi opiskelinumero Voisitteko ystävällisesti ilmoittaa tässä yhtälökokoelmassa havaitsemistanne virheistä puutteista.
LisätiedotLuento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria
Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
LisätiedotAksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu
TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotLUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö:
LUJUUSOPPI TF00BN90 5op Sisältö: Peruskäsitteet Jännitystila Suoran sauvan veto ja puristus Puhdas leikkaus Poikkileikkaussuureiden laskeminen Suoran palkin taivutus Vääntö Nurjahdus 1 Kirjallisuus: Salmi
LisätiedotKoneenosien lujuuslaskenta
Koneenosien lujuuslaskenta Tavoitteet Koneiden luotettavuuden parantaminen Materiaalin säästö Rakenteiden keventäminen Ongelmat Todellisen kuormituksen selvittäminen Moniakselinen jännitys ja muodonmuutos
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotTartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien
TUTKIMUSSELOSTUS Nro RTE3261/4 8..4 Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien mittausarvojen määritys Tilaaja: Salon Tukituote Oy VTT RAKENNUS- JA YHDYSKUNTATEKNIIKKA TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE3261/4
LisätiedotVauriomekanismi: Väsyminen
Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotRaerajalujittuminen LPK / Oulun yliopisto
Raerajalujittuminen 1 Erkautuslujittuminen Epäkoherentti erkauma: kiderakenne poikkeaa matriisin rakenteesta dislokaatiot kaareutuvat erkaumien väleistä TM teräksissä tyypillisesti mikroseosaineiden karbonitridit
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotKON-C3002. Tribologia. Kosketusjännitykset
KON-C300 Tribologia Kosketusjännitykset 0.05.08 Kosketusjännitykset Esitys poikkeaa KOS-kirjan luvun.8 esitystavasta Tässä seurataan pääosin Tribologia-kirjan (Kivioja et al., 6p, 00, luvut 3. 3.4) esitystapaa
LisätiedotHarjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla
LisätiedotVaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet. Timo Kiesi
Vaurioituminen I Vaatimukset Rakenne Materiaalit ja niiden ominaisuudet Timo Kiesi 18.9.2013 2 Vaurioituminen Miksi materiaalit murtuvat? Miten materiaalit murtuvat? Timo Kiesi 18.9.2013 3 Miksi insinöörin
LisätiedotLaskuharjoitus 3 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin 14.3. klo 14.00 mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotPienahitsien materiaalikerroin w
Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien komponenttimenettely (SFS EN 1993-1-8) Seuraavat ehdot pitää toteutua: 3( ) ll fu w M ja 0,9 f u M f u = heikomman liitettävän osan vetomurtolujuus Esimerkki
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotPalkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.
LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotTyö 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TYÖN TAVOITE Tavoitteena on ymmärtää aineen kimmoisuuteen liittyviä käsitteitä sekä aineen lämpölaajenemista. Sovelluksena
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
LisätiedotMEKAANINEN AINEENKOETUS
MEKAANINEN AINEENKOETUS KOVUUSMITTAUS VETOKOE ISKUSITKEYSKOE 1 Kovuus Kovuus on kovuuskokeen antama tulos! Kovuus ei ole materiaaliominaisuus samalla tavalla kuin esimerkiksi lujuus tai sitkeys Kovuuskokeen
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotEllipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa
Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten
LisätiedotKJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2
KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 2 Pienryhmäharjoitusten aiheet 1. Materiaaliominaisuudet ja tutkimusmenetelmät 2. Metallien deformaatio ja lujittamismekanismit 3. Faasimuutokset 4. Luonnos:
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotRak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C
Rak-54.6 RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Luentomoniste kevätlukukausi 2005 0 VEKTORILASKENNAN KERTAUSTA 0. Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Olkoot a ja b kaksi mielivaltaista vektoria kolmiulotteisessa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
Lisätiedot5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =
TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotHitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm
Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotPALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v
PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ
TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotCHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet
CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet Laskuharjoitus 18.9.2017, Materiaalien ominaisuudet Tämä harjoitus ei ole arvioitava, mutta tämän tyyppisiä tehtäviä saattaa olla tentissä. Tehtävät perustuvat kurssikirjaan.
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotLiite A : Kuvat. Kuva 1.1: Periaatekuva CLIC-kiihdyttimestä. [ 1 ]
Liite A : Kuvat Kuva 1.1: Periaatekuva CLIC-kiihdyttimestä. [ 1 ] Kuva 2.1: Jännityksen vaihtelu ajan suhteen eri väsymistapauksissa. Kuvaajissa x-akselilla aika ja y-akselilla jännitys. Kuvien merkinnöissä
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
Lisätiedot1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut
. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?
LisätiedotJänneterästen katkeamisen syyn selvitys
1 (3) Tilaaja Onnettomuustutkintakeskus, Kai Valonen, Sörnäisten rantatie 33C, 00500 Helsinki Tilaus Sähköpostiviesti Kai Valonen 4.12.2012. Yhteyshenkilö VTT:ssä Johtava tutkija Jorma Salonen VTT, PL
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotQ Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L
EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. 400 mm 0 kn 600 mm A 400 mm B 8 kn 300 mm 5 kn 000 mm 8 kn 300 mm 300 mm 00 mm. Määritä pisteiden A ja B siirtymät elementtimenetelmällä, kun
LisätiedotMurtumismekaniikka III LEFM => EPFM
Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Lisätiedot