10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali- ja leikkausjännityksen alainen rasitustila yhdistetään vetokokeesta saatuun materiaalin lujuuteen SISÄLTÖ. Tasovenymä. Tasovenymätilan muunnosyhtälöt 3. Jännitys/muodonmuutos: yleistetty Hooken laki 4. Vaurioteoriat

2 0. TASOVENYMÄ Yleinen venymätila käsittää 3 normaalivenymä komponenttia (ε x, ε y, ε z ) ja 3 leikkausvenymä- (liukuma)komponenttia (γ xy, γ xz, γ yz ). Kokeellisesti tasovenymätilan venymät sadaan venymäliuskoilla kappaleen pinnasta. Tasovenymätilassa on kaksi normaalivenymäkomponenttia (ε x, ε y ) ja yksi leikkausvenymäkomponentti γ xy TASOVENYMÄ Kuvissa on esitetty siirtymät graafisesti. Huomaa, että normaalivenymät aiheuttavat elementin pituusmuutoksen x ja y -suuntiin ja leikkausvenymä (liukuma) aiheuttaa kahden vierekkäisen sivun suhteellisen kiertymän. Normaalivenymä ε x Normaalivenymä ε y Liukuma γ xy 4

3 0. TASOVENYMÄ Huomaa, että tasovenymätila ei välttämättä tarkoita tasojännitystilaa. Yleisessä tapauksessa, ellei υ 0, Poissonin efekti estää samanaikaisen tasojännitys- ja tasovenymätilan. Koska leikkausjännitykseen ja liukumaan ei vaikuta Poissonin vakio, ehto τ xz τ yz 0 edellyttää, että γ xz γ yz 0. Tasojännitystila ei aiheuta tasovenymätilaa x-y- tasossa, koska ε z TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Merkkisääntö Normaalivenymät ε xz ja ε yz ovat positiivisia jos ne aiheuttavat venymiä x ja y akselien positiivisiin suuntiin Liukuma γ xy on positiivinen, jos kulma AOB on pienempi kuin

4 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Vastaavalla tavalla kuin aiemmin jännitysten kanssa, voidaan johtaa muunnoskaavat venymille: ε x + ε y ε x ε y γ ε x ' + cosθ + ε y' xy sin θ ε x + ε y ε x ε y γ xy cosθ sin θ ( 0-5) ( 0-6) γ xy ' ' ε x ε y γ sin θ + xy cos θ 0-7 ( ) 7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Graafisesti Positiivinen normaalivenymä ε x Positiivinen leikkausvenymä γ x y 8 4

5 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät Elementtiä voidaan kiertää siten, että sen muodonmuutos on ainoastaan venymiä ilman liukumia. Materiaalin pitää olla isotrooppista (joka suuntaan samanlaista) ja koordinaattiakselien tulee yhtyä pääakseleihin. Siten yhtälöistä 9-4 ja 9-5 saadaan γ xy tan θ p - ε ε x y ( 0 8) 9 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät ε x + ε y ε x ε y γ xy ε, ± + Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε tan x ε y θ s - γ xy ( 0 0) ( 0-9) γ max in -plane ε x ε y γ + xy ( 0 -) 0 5

6 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε avg ε x + ε y ( 0 -) 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Poissonin efektin vuoksi tasovenymätila ei ole tasojännitystila ja päinvastoin. Kappaleen piste on tasojännitystilassa, jos se sijaitsee kappaleen pinnalla, joka on jännityksetän pinnan normaalin suunnassa. Tasovenymätila voidaan analysoida esim. venymäliuskoilla mitatussa tasojännitystilassa. On kuitenkin muistettava, että tällöin esiintyy myös venymää pinnan normaalin suunnassa. Päävenymätilassa ei esiinny leikkausvenymiä (liukumia). 6

7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Pisteen venymätila voidaan esittää myös maksimi tasovenymillä. Tällöin vaikuttaa myös tasovenymä elementissä. Elementti, jossa esiintyy maksimi tasovenymä ja sitä vastaava normaalivenymä on 45 kulmassa päävenymien suhteen. 3 ESIMERKKI 0. Materiaalin differentiaalielementti on tasovenymätilassa, jossa vaikuttaa venymät ε x 350(0-6 ), ε y 00(0-6 ), γ xy 80(0-6 ), jotka aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. Määritä päävenymät ja niitä vastaavat kiertymäkulmat. 4 7

8 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Elementin suunta Yhtälöstä 0-8 saadaan 6 γ xy 80(0 ) tan θ p 6 ε ε (0 ) x y ( ) Siten θ 8.8 ja , joten p p θ 4.4 ja 85.9 Positiivinen suunta on vastapäivään, joten elementti kiertyy kuvan mukaisesti: 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Yhtälöstä 0-9, ε, ε 030 ε x + ε y 6 ( )( 0 ) ± + ( 0 ) 6 6 ( ) ± 77.9( 0 ) 6 6 ( ) ε 3530 ( ) ± ε x ε y + γ xy 6 8

9 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Tarkistetaan kumpi näistä venymistä vaikuttaa x suuntaan soveltamalla yhtälöä 0-5 kun θ 4.4. Siten ε x + ε y ε x ε y γ xy ε x' + cosθ + sin θ cos 4.4 ε x' 3530 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) sin ( 4.4 ) 6 ( ) ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Siten ε x ε. Päävenymät aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. 8 9

10 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Materiaalissa oleva piste asetetaan kolmiaksiaaliseen jännitystilaan. Sovelletaan superpositioperiaatetta, Poissonin vakiota (ε lat υε long ) ja Hooken lakia (ε σ E) jolloin saadaan jännityksien ja venymien yhteys aina yhden akselin suunnassa. Asetetaan σ x vaikuttamaan, jolloin elementti venyy x suunnassa ja venymä on tähän suuntaan on σ ε ' x x E JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan σ y, jolloin elementti kuroutuu venymällä ε x x -suuntaan, σ y ε' ' x υ E Vastaavasti jännityksellä σ z, kurouma x suuntaan on σ ε z ' ' ' x υ E 0 0

11 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Superpositioperiaatteella soveltaen samaa kahteen muuhun suuntaan saadaan ε ε ε x y z E E E [ σ υ( σ + σ )] x [ σ υ( σ + σ )] ( 0-8) y [ σ υ( σ + σ )] z y x x z z y 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan leikkausjännitys τ xy elementtiin, jolloin havaitaan kokeellisesti, että muodonmuutos on ainoastaan liukuma γ xy. Asetetaan vastaavasti τ xz ja γ xy, sekä τ yz ja γ yz. Hooken laki leikkaukselle on siis γ xy τ xy γ yz τ yz γ xz τ G G G xz ( 0-9)

12 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Aiemmin todettiin: E G +υ ( ) ( 0-0) Päävenymien ja leikkausjännityksen yhteys on τ xy ε + υ 0 E ( ) ( ) max - Koska σ x σ y σ z 0, yhtälön 0-8 mukaan ε x ε y 0. Sijoitetaan 0-9, jolloin saadaan ε ε max γ xy JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Hooken lain mukaan, γ xy τ xy /G. Siten ε max τ xy /G. Sijoitetaan tulos yhtälöön0- ja järjestetään uudelleen jolloin saadaan G E ( +υ) ( 0-0) 4

13 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI YHTEENVETOA Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla, jotka ovat kolmiaksiaalisessa jännitystilassa, venymän suuruus yhteen suuntaan on riippuvainen kaikista jännityksistä. Tämä johtuu Poissonin efektistä ja se voidaan tiivistää yleistetyksi Hooken laiksi. Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla leikkausjännitys aiheuttaa liukuman ainoastaan samassa tasossa. Materiaalivakiot E, G ja υ ovat matemaattisesti sidoksissa toisiinsa. 5 ESIMERKKI 0.0 Kuparitanko on kuvan jännitystilassa. Sen mitat ovat a 300 mm, b 50 mm ja t 0 mm ennen kuormituksen asettamista. Määritä uudet mitat kuorman asettamisen jälkeen. Materiaaliparametrit ovat E cu 0 GPa, υ cu

14 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tanko on tasojännitystilassa. Kuormituksen perusteella σ x 800 MPa σ y 500 MPa τ xy 0 σ z 0 Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ x υ ε x v E E 800 MPa 0 03 ( σ + σ ) z ( ) MPa ( ) ( 500 ) MPa 7 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ y υ ε y ( σ x + σ z ) E E 500 MPa MPa MPa 0 03 ( ) ( ) ( ) ( σ + σ ) σ z υ ε z x E E y ( ) ( 800 MPa 500 MPa )

15 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tangon uudet mitat ovat siis a' 300 mm b' 50 mm + t' 0 mm ( 300 mm) 30.4 mm ( )( 50 mm) mm ( )( 0 mm) 9.98 mm 9 Suunnittelussa on materiaalille asetettava jännityksen yläraja, jolla se vaurioituu (myötää/murtuu). Sitkeillä materiaaleille vaurio alkaa myötämisellä. Haurailla materiaaleilla vaurion määrittää murtuminen. Suunnittelijoilla on kuitenkin käytössään vain yksiaksiaalisen vetokokeen tulos, joka ei suoraan sovellu kaksi- tai kolmiaksiaalisen jännitystilan vauriotyyppiin. Eri materiaalityypeille on johdettu lujuushypoteeseja (oletuksia), joilla arvioidaan kriittisiä jännitystasoja. 30 5

16 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Sitkeät materiaalit myötävät tyypillisesti liukumalla. Liukupinnat muodostuvat materiaalin raerajoille. Liukupintoja kutsutaan Lüderin viivoiksi. Kuvan mukaisesti liukupinnat ovat n. 45 asteen kulmassa vetosuunnan suhteen. 3 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Aiemmin on johdettu tulos maksimileikkausjännitystasolle τ σ Y ( 0 6) max - Vuonna 868 Henri Tresca esitti maksimileikkausjännityshypoteesin tai ns. Trescan vaurioteorian. 3 6

17 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat samanmerkkiset, on vaurioraja τ σ max abs max Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat erimerkkiset, on vaurioraja τ abs max σ max σ min 33 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Siten voidaan maksimileikkausjännitys tiivistää kahden pääjännityksen perusteella muotoon: σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. Y Y Y ( ) σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. 0-7 σ σ σ } σ, σ pääjännitykset erimerkkiset. 34 7

18 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi 35 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi (VMVH) Energiaa yksikkötilavuuselementissä kutsutaan venymäenergiatiheydeksi. Yksiaksiaalisessa ja kolmiaksiaalisessa jännitystilassa venymäenergiatiheys on u σε ( 0-8) u σ ε + σ ε + σ3ε

19 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Lineaarielastisella alueella Hooken lain mukaan σ + σ + σ u 3 ( 0-9) E υ ( σσ + σσ 3 + σ3σ ) Vakiomuodonvääristymishypoteesin mukaan sitkeä aine myötää, kun vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti on sama tai suurempi kuin vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti yksiaksiaalisessa vetokokeessa. 37 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Määritetään vääristymisenergia + υ u d σ σ + σ σ3 6E Tasojännitystilassa + υ u d σ 3 E [( ) ( ) + ( σ σ ) ] ( σ σ + σ ) Vetokokeessa σ σ Y, σ σ 3 0 +ν ( ud ) Y σy 3E

20 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Koska hypoteesin mukaan u d (u d ) Y, saadaan tasojännitystilassa ( 0 30) σσ + σ σ Y - σ 39 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Verrataan hypoteeseja graafisesti. 40 0

21 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Hauraat materiaalit murtuvat kuvien mukaisesti. 4 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi (MNJH) Maksiminormaalijännityshypoteesin mukaan hauras materiaali murtuu kun pääjännitys σ saavuttaa yksinkertaisessa vetokokeessa saadun murtorajan. Tasojännitystilassa σ σ σ σ ult ult ( 0-3) 4

22 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Kokeellisesti on havaittu hypoteesin toimivan varsin hyvin materiaaleilla, joiden vetopuristusmurtoraja on (suunnilleen) sama. 43 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Mohrin vauriokriteeriä käytetään hauraille materiaaleille, joiden veto-puristusmurtorajat ovat erilaiset. Materiaalille on tehtävä kolme testiä kriteerin määrittämiseksi. 44

23 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Yksiaksiaalinen vetokoe, jolla saadaan vetomurtolujuus (σ ult ) t Yksiaksiaalinen puristuskoe, jolla saadaan puristusmurtolujuus(σ ult ) c Vääntökoe, jolla saadaan leikkausmurtolujuus τ ult. Tuloksena saadaan pääjännitystasossa kuvaaja: 45 YHTEENVETOA Sitkeä materiaali vaurioituu myötämällä ja hauras materiaali murtumalla. Sitkeän materiaalin vauriossa muodostuu liukupintoja materiaalin raerajoille. Liukupinnat aiheutuvat leikkausjännityksistä, joten maksimileikkausjännityshypoteesi perustuu tähän ideaan. Normaalijännityksen alaiseen materiaaliin varastoituu venymäenergiaa. 46 3

24 YHTEENVETOA Vakiomuodonvääristymishypoteesi perustuu ideaan, jonka mukaan materiaali vääristävä energia johtaa myötämiseen. Hauraan materiaalin murtuminen aiheutuu maksimivetojännityksestä materiaalissa. Tällöin voidaan käyttää maksimijännityshypoteesia vaurion määrittämiseen, kun materiaalin veto- ja puristuslujuudet ovat suunnilleen samat. 47 YHTEENVETOA Mikäli materiaalin veto- ja puristuskäyttäytyminen eroaa merkittävästi, voidaan käyttää Mohrin vauriokriteeriä. Materiaalin virheistä johtuen hauraiden materiaalien murtuminen on vaikeaa ennakoida, joten hauraiden materiaalien vaurioteorioita on syytä soveltaa varovaisuudella. 48 4

25 ESIMERKKI 0. Teräsputken sisäsäde on 60 mm ja ulkosäde 80 mm. Kun siihen vaikuttaa kuvan kuormitus, myötääkö materiaali kun sovelletaan vakiomuodonvääristymishypoteesia (VMVH)? Myötöraja vetotestin mukaan on σ Y 50 MPa. 49 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Rasitus on vakio koko putken pituudella. Otetaan mielivaltainen leikkaus, jolloin saadaan kuvan jännitysjakaumat. 50 5

26 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Pisteet A ja B ovat saman jännitystilan alaisia. Pisteessä A Tc ( 8000 N m)( 0.04 m) τ A 6.4 MPa J 4 4 π 0.04 m 0.03 m σ A Mc I ( ) ( ) ( ) ( 3500 N m)( 0.04 m) 4 ( π 4) ( 0.04 m) ( 0.03 m) Pääjännitykset ovat [ ] 4 [ ] σ MPa σ MPa 0.9 MPa 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) VMVH:n mukaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 76.) ( 76.)( 78.0) + ( 78.0) ] 5,00 < 6,500 OK! σ Y Koska VMVH:n mukainen vertailujännitys on pienempi kuin yksiaksiaalisen vetokokeen mukainen myötöraja, ei materiaali vaurioidu annetulla kuormituksella.? 5 6

27 ESIMERKKI 0.4 Akselin säde on 0.5 cm ja sen materiaalin (teräs) myötöraja on σ Y 360 MPa. Määritä vaurioituuko akseli a) MLJH:n b) VMVH:n mukaan. 53 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys vaikuttaa ulkopinnalla, joten suurimmat normaali- ja leikkausjännityskomponentit ovat σ τ τ x xy xy P A Tc J 5 kn π 6.55 kn/cm ( 0.5 cm) cm( 0.5 cm) 4 π ( 0.5 cm) 3.5 kn 9.0 kn/cm 65.5 MPa 9 MPa 54 7

28 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Tutkitaan elementtiä pisteessä A. Pääjännitykset ovat σ σ σ, σ x + σ y ± 95.5 ± MPa ± 86.6 MPa σ x + σ y + τ + xy ( 65.5) 55 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Koska pääjännitykset ovat erimerkkiset sovelletaan yhtälöä 0-7, σ σ σ Y ( ) Is ? 38. > 360 Vaurio! Materiaali siis myötää MLJH:n mukaan. 56 8

29 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Vakiomuodonvääristymishypoteesi Soveltaen yhtälöä 0-30 saadaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 95.6) ( 95.6)( 86.6) ( 86.6) ] ( 360) 8, ,600 OK! VMVH:n mukaan materiaali ei myödä. Miksi?? 57 YHTEENVETO Kun materiaalin elementissä vaikuttaa muodonmuutoksia yhdessä tasossa, on kysessä tasovenymätila. Mikäli venymäkomponentit ε x, ε y, ja γ xy tunnetaan, voidaan muunnosyhtälöillä laskea venymät missä muussa koordinaatistossa tahansa. Myös päävenymätasot ja suurin tasoleikkausvenymä voidaan laskea muunnosyhtälöillä. 58 9

30 YHTEENVETO Mikäli päävenymät ovat samanmerkkiset, suurin leikkausvenymä on γ max ε max /. Hooken lakia voidaan soveltaa avaruustapauksessa, jolloin saadaan yleistetty Hooken laki (0-8). Jos E ja υ tunnetaan, voidaan G laskea yhteydestä G E/[( + υ]. 59 YHTEENVETO Mikäli materiaalin pääjännitykset tunnetaan, voidaan suunnittelua varten lujuushypoteeseilla arvioida materiaalin kestävyyttä kun tunnetaan vetokokeen myötö/murtolujuus. Sitkeät materiaalit vaurioituvat leikkautumalla, jolloin voidaan soveltaa joko maksimileikkausjännitys- tai vakiomuodonvääristymishypoteesia. Molemmilla hypoteeseilla saadaan vertailujännitys, jota voidaan verrata yksiaksiaalisen vetokokeen tulokseen

31 YHTEENVETO Hauraat materiaalit vaurioituvat murtumalla kun suurin vetojännitys saavuttaa raja-arvon. Tällöin voidaan soveltaa joko maksiminormaalijännityshypoteesia tai Mohrin vauriokriteeriä. Saatua vertailujännityksen arvoa verrataan materiaalin vetokokeesta saatuun murtolujuuteen. 6 3

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ Lujuushypoteesin tarkoitus: Vastataan kysymykseen kestääkö materiaali tietyn yleisen jännitystilan ( x, y, z, τxy, τxz, τyz ) vaurioitumatta. Tyypillisiä materiaalivaurioita ovat

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv

2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv 2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

Laskuharjoitus 1 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

A on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala.

A on sauvan akselia vastaan kohtisuoran leikkauspinnan ala. Leikkausjännitys Kuvassa on esitetty vetosauvan vinossa leikkauksessa vaikuttavat voimat ja jännitykset. N on vinon tason normaalivoima ja on leikkausvoima. Q Kuvan c perusteella nähdään N Fcos Q Fsin

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

CHEM-A1410 Materiaalitieteen Perusteet Luento 3: Mekaaniset ominaisuudet Ville Jokinen

CHEM-A1410 Materiaalitieteen Perusteet Luento 3: Mekaaniset ominaisuudet Ville Jokinen CHEM-A1410 Materiaalitieteen Perusteet Luento 3: Mekaaniset ominaisuudet 24.09.2019 Ville Jokinen Mitä seuraavat ominaisuudet tarkalleen kuvaavat? Luja? Kova? Pehmeä? Venyvä? Elastinen? Sitkeä? Hauras?

Lisätiedot

KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET

KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET KIINTÄN AINN MKANIIKAN PRUSTT YHTÄLÖKOKOLMA Kari Santao 3..06 Pitkä versio Opiskelin nimi opiskelinumero Voisitteko ystävällisesti ilmoittaa tässä yhtälökokoelmassa havaitsemistanne virheistä puutteista.

Lisätiedot

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa

Lisätiedot

Johdatus materiaalimalleihin

Johdatus materiaalimalleihin Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

LUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö:

LUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö: LUJUUSOPPI TF00BN90 5op Sisältö: Peruskäsitteet Jännitystila Suoran sauvan veto ja puristus Puhdas leikkaus Poikkileikkaussuureiden laskeminen Suoran palkin taivutus Vääntö Nurjahdus 1 Kirjallisuus: Salmi

Lisätiedot

Koneenosien lujuuslaskenta

Koneenosien lujuuslaskenta Koneenosien lujuuslaskenta Tavoitteet Koneiden luotettavuuden parantaminen Materiaalin säästö Rakenteiden keventäminen Ongelmat Todellisen kuormituksen selvittäminen Moniakselinen jännitys ja muodonmuutos

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien TUTKIMUSSELOSTUS Nro RTE3261/4 8..4 Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien mittausarvojen määritys Tilaaja: Salon Tukituote Oy VTT RAKENNUS- JA YHDYSKUNTATEKNIIKKA TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE3261/4

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat: MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso

Lisätiedot

Raerajalujittuminen LPK / Oulun yliopisto

Raerajalujittuminen LPK / Oulun yliopisto Raerajalujittuminen 1 Erkautuslujittuminen Epäkoherentti erkauma: kiderakenne poikkeaa matriisin rakenteesta dislokaatiot kaareutuvat erkaumien väleistä TM teräksissä tyypillisesti mikroseosaineiden karbonitridit

Lisätiedot

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p) Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,

Lisätiedot

Laskuharjoitus 7 Ratkaisut

Laskuharjoitus 7 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

KON-C3002. Tribologia. Kosketusjännitykset

KON-C3002. Tribologia. Kosketusjännitykset KON-C300 Tribologia Kosketusjännitykset 0.05.08 Kosketusjännitykset Esitys poikkeaa KOS-kirjan luvun.8 esitystavasta Tässä seurataan pääosin Tribologia-kirjan (Kivioja et al., 6p, 00, luvut 3. 3.4) esitystapaa

Lisätiedot

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla

Lisätiedot

Vaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet. Timo Kiesi

Vaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet. Timo Kiesi Vaurioituminen I Vaatimukset Rakenne Materiaalit ja niiden ominaisuudet Timo Kiesi 18.9.2013 2 Vaurioituminen Miksi materiaalit murtuvat? Miten materiaalit murtuvat? Timo Kiesi 18.9.2013 3 Miksi insinöörin

Lisätiedot

Laskuharjoitus 3 Ratkaisut

Laskuharjoitus 3 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin 14.3. klo 14.00 mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Pienahitsien materiaalikerroin w

Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien komponenttimenettely (SFS EN 1993-1-8) Seuraavat ehdot pitää toteutua: 3( ) ll fu w M ja 0,9 f u M f u = heikomman liitettävän osan vetomurtolujuus Esimerkki

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TYÖN TAVOITE Tavoitteena on ymmärtää aineen kimmoisuuteen liittyviä käsitteitä sekä aineen lämpölaajenemista. Sovelluksena

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2. 7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa

Lisätiedot

MEKAANINEN AINEENKOETUS

MEKAANINEN AINEENKOETUS MEKAANINEN AINEENKOETUS KOVUUSMITTAUS VETOKOE ISKUSITKEYSKOE 1 Kovuus Kovuus on kovuuskokeen antama tulos! Kovuus ei ole materiaaliominaisuus samalla tavalla kuin esimerkiksi lujuus tai sitkeys Kovuuskokeen

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg

TEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten

Lisätiedot

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2 KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 2 Pienryhmäharjoitusten aiheet 1. Materiaaliominaisuudet ja tutkimusmenetelmät 2. Metallien deformaatio ja lujittamismekanismit 3. Faasimuutokset 4. Luonnos:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C

Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Rak-54.6 RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Luentomoniste kevätlukukausi 2005 0 VEKTORILASKENNAN KERTAUSTA 0. Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Olkoot a ja b kaksi mielivaltaista vektoria kolmiulotteisessa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =

5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = = TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan

Lisätiedot

Tampere University of Technology

Tampere University of Technology Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

PALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v

PALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet Laskuharjoitus 18.9.2017, Materiaalien ominaisuudet Tämä harjoitus ei ole arvioitava, mutta tämän tyyppisiä tehtäviä saattaa olla tentissä. Tehtävät perustuvat kurssikirjaan.

Lisätiedot

Braggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on

Braggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on 763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Liite A : Kuvat. Kuva 1.1: Periaatekuva CLIC-kiihdyttimestä. [ 1 ]

Liite A : Kuvat. Kuva 1.1: Periaatekuva CLIC-kiihdyttimestä. [ 1 ] Liite A : Kuvat Kuva 1.1: Periaatekuva CLIC-kiihdyttimestä. [ 1 ] Kuva 2.1: Jännityksen vaihtelu ajan suhteen eri väsymistapauksissa. Kuvaajissa x-akselilla aika ja y-akselilla jännitys. Kuvien merkinnöissä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut . kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?

Lisätiedot

Jänneterästen katkeamisen syyn selvitys

Jänneterästen katkeamisen syyn selvitys 1 (3) Tilaaja Onnettomuustutkintakeskus, Kai Valonen, Sörnäisten rantatie 33C, 00500 Helsinki Tilaus Sähköpostiviesti Kai Valonen 4.12.2012. Yhteyshenkilö VTT:ssä Johtava tutkija Jorma Salonen VTT, PL

Lisätiedot

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien

Lisätiedot

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. 400 mm 0 kn 600 mm A 400 mm B 8 kn 300 mm 5 kn 000 mm 8 kn 300 mm 300 mm 00 mm. Määritä pisteiden A ja B siirtymät elementtimenetelmällä, kun

Lisätiedot

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot