LUJUUSOPPI. TF00BN90 5op. Sisältö:

Transkriptio

1 LUJUUSOPPI TF00BN90 5op Sisältö: Peruskäsitteet Jännitystila Suoran sauvan veto ja puristus Puhdas leikkaus Poikkileikkaussuureiden laskeminen Suoran palkin taivutus Vääntö Nurjahdus 1

2 Kirjallisuus: Salmi Tapio, Pajunen Sami, Lujuusopin perusteet, 010, Pressus Oy Salmi Tapio, Teknillisen mekaniikan perusteet, 006, Pressus Oy Opintojakson suorittaminen: Oppitunnit ja tarjoamatunnit Harjoitustehtävät (materiaalissa) Koe (ei välikokeita)

3 Mekaniikan jaottelu: 3

4 Peruskäsitteitä (suoran sauvan veto tai puristus) Normaalijännitys ulkoinen kuormittava voima F sisäiset voimat muuttuvat ulkoisiksi (saadaan näkyville) leikkaamalla sauva kahteen osaan sauvan poikkileikkausta vastaan kohtisuoran sisäisen voimajakautuman resultantti on poikkileikkauspinnan normaalivoima N Mikäli sauvan poikkileikkauksen mitat ovat pieniä sauvan pituuteen verrattuna ja poikkileikkausta ei oteta kovin läheltä sauvan päitä, on poikkileikkauksen sisäinen voima likimain tasan jakautunut poikkileikkauspintaan. Tätä voimajakautuman tiheyttä sanotaan poikkileikkauksen normaalijännitykseksi (sigma) ja sen lauseke on N N A A missä A on sauvan poikkileikkauksen pinta ala. Jännityksen yksiköksi saadaan [ N] N [ ] Pa [ A] m Siis jännityksen perusyksikkö on Pa (pascal). 4

5 Lujuusopin ongelmissa jännitysten suuruusluokka on yleensä sellainen, että on luontevampaa käyttää kerrannaisyksiköitä kpa, MPa ja Gpa. Yleisin näistä on Mpa, jonka muunnosyhtälö on N MPa 10 6 Pa 10 6 m N mm Jännitystä kutsutaan vetojännitykseksi, jos sen suunta on poispäin leikkauspinnasta ja puristusjännitykseksi, jos sen se on leikkauspintaan päin. Näin määritelty normaalijännitys on poikkileikkauksen keskimääräinen normaalijännitys ESIMERKKI Kuvan vetosauvan poikkileikkaus on ympyrä, jonka halkaisija d 10mm. Sauvaa venytetään voimalla F 10kN. Laske sauvan keskimääräinen normaalijännitys poikkileikkauksessa 1. Leikkauksen 1 normaalivoima ja pinta ala N F 10kN A 5 78, 54mm ja keskimääräinen normaalijännitys 3 N F N 17 MPa A A 78, 54 mm 5

6 ESIMERKKI Kuvan alumiinitankojen AB ja AC poikkileikkaukset ovat ympyröitä, joiden halkaisijat ovat 10 mm ja 8 mm. Tanko AC on vaakasuorassa ja voima F 5kN. Laske a) tankojen poikkileikkauksien o normaalijännitykset, kun 45, b) kulman arvo niin, että kummassakin tangossa on sama normaalijännitys. Käytetään järjestelmää (N,mm). A A , , Nivelen A vk kuvasta saadaan N sin F 0 N F / sin N N cos 0 N Fcot 1 1 o a) Kun kulma 45, niin o N 5000/cot N 1 o 5000/sin Tankojen poikkileikkausten normaalijännityksiksi tulee N , 5 MPa A 50, 7 1 N , 0 MPa A 78, 54 6

7 b) Ehdosta, että saadaan kulman laskemiseksi yhtälö 1 N1 N Fcot F / sin A A A A 1 1 A1 50, 7 cos 06401, 50, A 78, 54 Tällöin kummankin tangon poikkileikkauksen normaalijännitys on o N cot 50, 8, 9 MPa A 50, 7 1 o Kuvan sauvarakennetta kuormittaa pystysuora voima F 35kN. a) Laske sauvojen poikkileikkausten normaalijännitykset. A 500mm, A 400mm 1 a) Jos halutaan, että kummassakin sauvassa on yhtä suuri normaalijännitys 150MPa, niin mitkä tulee niiden poikkipinta alojen olla tällöin? ( Vast : 171mm, 09mm ) 7

8 Terästangolla (poikkileikkaus kummassakin osassa ympyrä) on kaksi eri halkaisijaa, D=100mm ja d=65mm. Sauvaa vedetään voimalla P=45kN. Laske tangon poikkileikkauksen normaalijännitykset osissa 1 ja. ( Vast : 1 54, 1MPa) Terästanko on liimattu putken sisään. Laske tangon poikkileikkauksen normaalijännitys. Mitoita putken seinämän paksuus siten, että putken poikkileikkauksessa on yhtä suuri normaalijännitys kuin tangossa. Liimaliitos pitää. P 1kN, d 10mm ( Vast : 153MPa,, 1mm) 8

9 Vaaka asennossa olevaa palkkia CBD kuormitetaan sen päästä D alaspäin voimalla P. Pystysauvan AB pinta ala on 550 mm. Määritä voiman P suuruus siten, että sauvan AB normaalijännitys on 40Mpa. ( Vast : 13, 8 kn) Omakotitalon kattoristikoita kannattelee kuistin kohdalla liimapuupalkki (poikkileikkaus 10x360). Kattoristikot ovat k900 jaolla ja kultakin ristikolta palkille tuleva pistekuorma P=13 kn. Laske liimapuupalkkia kannattelevien puupilarien (LP95x95) normaalijännitykset. ( Vast : 4, MPa, 48, MPa) 9

10 Paineastian tarkistusluukku on kiinnitetty 5 kappaleella ruuveja M10 joiden halkaisija kierteen pohjan kohdalla on 8,593 mm. Tiivistysrenkaan halkaisija on 500 mm. Mikä on ruuvien poikkileikkauksen normaalijännitys kun astiassa on ylipaine 1, MPa? ( Vast : 163MPa) Alumiininen tanko, jonka pituus on 80m, riippuu vapaasti ainoastaan oman painonsa kuormittamana. Määritä tangon suurin normaalijännitys olettaen alumiinin ominaispainoksi 3 6, 6kN/m ( Vast : 13, MPa) 10

11 Määritä oheisen konsolipalkin vetotangon BC poikkileikkauksen, jonka halkaisija on 0mm, normaalijännitys. Palkkia kuormittava voima F 5kN. ( Vast : 191 MPa) Venymä Kun suoraan sauvaan kohdistuu aksiaalinen kuormitus, se aiheuttaa sauvan pituuden muutoksen L, joka voidaan laskea erotuksesta L Lˆ L missä L sauvan alkupituus (kuormittamaton pituus) ja ˆL sauvan lopullinen pituus. Sauvan pituuden muutoksen L suhdetta sen alkuperäiseen pituuteen kutsutaan suhteelliseksi venymäksi (tai lyhyesti venymäksi) ja sitä merkitään kirjaimella (epsilon). Sen lauseke on L L 11

12 Venymäksi saadaan: Normaalijännitys: ESIMERKKI Teräksistä suoraa sauvaa, jonka pituus L 1000mm ja jonka poikkileikkaus on ympyrä, d 10mm, venytetään voimalla F 16, 5kN. Tällöin sen loppupituudeksi tulee Lˆ 1001mm. Laske sauvan venymä ja normaalijännitys. Lasketaan ensin pituuden muutos: L Lˆ L 1001mm 1000mm 1mm L L 1mm 1000mm o, / oo 3 F 16, 5 10 N 10 MPa A 5 mm ESIMERKKI Kuvan hyvin joustavasta materiaalista tehdyssä sauvassa AC ei ole venymää, kun se on vaakasuorassa asennossa. Luisti siirretään kohtaan C. Laske tällöin sauvaan syntyvä venymä. Lasketaan ensin lopullinen pituus ˆ o L L/cos 30 1, 1547 L Pituuden muutos L Lˆ L 1, 1547L L 0, 1547L Venymäksi saadaan: L 01547, L 01547, 1547, / L L o o 1

13 Nostettaessa kuvan betonielementtiä havaitaan teräsvaijerien kiristyttyä, että välimatka CD on 1130 mm. Laske vaijerien AC ja BC venymä, kun niiden kuormittamaton pituus on 1500 mm. ( Vast : 5960 ) Poissonin luku Kokeellisesti voidaan todeta, että venytettäessä (puristettaessa) sauvaa tapahtuu pituussuuntaisen venymän lisäksi kutistumista (laajenemista) poikittaissuunnassa. Siis venytetyn sauvan poikittaismitat pienenevät ja puristetun kasvavat. 13

14 Kokemuksen perustuen siis havaitaan, että kun venymät ovat riittävän pieni, niin poikittaissuuntaisen venymän suhde pitkittäiseen venymään on negatiivinen vakio. Sen vastalukua merkitään symbolilla (nyy) ja kutsutaan POISSON in luvuksi. Myös nimitystä suppeumaluku käytetään. Isotrooppisilla materiaaleilla 0 1/. Jos 1/, niin materiaali on kokoonpuristumatonta eli sen tilavuus ei muutu. (Esimerkiksi kumi ja parafiini.) Teräksen 0,3, betoni 0,,0,, korkki 0,. Metallisauvaa vedetään voimalla P 35kN, Sauvan pituus L 00mm ja sen halkaisija d 6mm. Havaitaan, että sen pituuden muutos L 055mm, ja halkaisijan muutos d 0, 0058mm Laske metallin Poissonin vakio ja sen kimmomoduuli E. ( Vast : 035,, 450, GPa) 14

15 Jännityksen ja venymän välinen yhteys Aksiaalisesti kuormitetuille sauvoille tehtävistä kokeista saatavat jännitysvenymäkäyrät eli käyrät poikkeavat toisistaan huomattavastikin eri materiaaleilla. Kuvassa on esitetty käyrä, joka on luonteenomainen sitkeille rakenneteräksille. Käyrästä voidaan havaita myötöalue venymän 0,00 molemmin puolin. Myödöllä tarkoitetaan kohtaa, jossa venymä kasvaa jännityksen pysyessä likimain samana. Materiaaleja, joissa sauvan murtumista edeltää voimakas venyminen, kutsutaan sitkeiksi. Tällaisia ovat esimerkiksi monet teräkset ja metalliseokset tavallisissa käyttöolosuhteissa. Hauraita ovat sellaiset materiaalit, jotka murtuvat jo melko pienillä venymillä. Tällaisia ovat esimerkiksi valurauta, keraamiset materiaalit, betoni, eräät metalliseokset ja lasi. 15

16 Aluksi jännitys on suoraan verrannollinen venymään tiettyyn arvoon, suhteellisuusrajaan p, asti. Vaikka jännitys kasvaa, on venymä vielä täysin palautuvaa kimmorajaan e asti. Venytettäessä sauvaa edelleen saavutetaan ns. myötöraja R e, jolloin venymä kasvaa tarvitsematta lisätä voimaa. Tätä käyrän aluetta kutsutaan myötöalueeksi. Ylempi myötöraja Re h on se jännityksen arvo, jolla myötö alkaa ja alempi myötöraja Re l on pienin myötöalueella esiintyvä jännitys. Puristuspuolella myötörajaa sanotaan usein myös tyssäysrajaksi. Vetokokeen jatkuessa myötövaiheen ohi kasvaa tarvittava jännitys jälleen venymän kasvaessa. Tätä vaihetta kutsutaan myötölujittumiseksi (väli C D). Jännitystä edelleen kasvatettaessa saavutetaan lopulta materiaalin murtolujuus R m (puristuspuolella R -m ). Murtolujuus on nimellisjännityksen arvo kokeen aikana. Tämän jälkeen venymän edelleen kasvaessa sauvaan vaikuttava normaalivoima pienenee ja lopulta murtuminen tapahtuu pisteessä E. Joillakin materiaaleilla, kuten esimerkiksi monilla korkean lujuusluokan teräslajeilla, ei esiinny selvää myötörajaa. Niillä on kuitenkin jännitysvenymäkäyrässä derivaatan epäjatkuvuuskohta. Tämän kohdan jännityksen arvoa pidetään myötörajana (kuva a seuraavalla sivulla). 16

17 Materiaaleilla, joilla ei voida havaita derivaatan epäjatkuvuuskohtaa, käytetään myötörajana pysyvän venymän arvoa 0, %. Tätä venymää merkitään ja se määritetään kuvan b mukaisesti. R P 0, HOOKEn laki ja kimmomoduli Useimpien käytössä olevien rakennusmateriaalien käyttäytyminen on käyrän alkuosalla lineaarisesti kimmoista suhteellisuusrajaan p saakka. Useimmissa tapauksessa käytettäessä rakennemateriaaleina metalleja, muoveja, puuta tai betonia, suunnitellaan rakenteet siten, että niiden käyttäytyminen voidaan olettaa lineaarisesti kimmoiseksi. Tällöin jännityksen ja venymän yhteys voidaan esittää yksinkertaisella yhtälöllä E ( HOOKEn laki) missä E on kimmomoduuli tai kimmokerroin. Sen yksikkö on sama kuin jännityksenkin, koska venymällä ei ole yksikköä. (Yleensä kannattaa käyttää Gpa, esimerkiksi teräksen kimmomoduli E 10 GPa.) s 17

18 ESIMERKKI Kuvan vetosauvan poikkileikkaus on ympyrä, jonka halkaisija d 6mm. Sauvaa venytetään voimalla P 35, kn. Laske sauvan suhteellinen venymä ja lopullinen pituus, kun E 45, 0GPa ja L 00mm. Käytetään järj. (N,mm) N P 3500 A 3 8, 7 N 3500 Normaalijännitys 13, 8 MPa A 8, 7 Lasketaan venymä Hooken laista 13, 8MPa E 751, 10 3 E 45, 0 10 MPa 3 Pituuden muutos saadaan suhteellisen venymän määritelmästä L 3 L L, , 550 mm L Lopulliseksi pituudeksi tulee Lˆ L L 00 0, , 55mm 18

19 ESIMERKKI Kuvan sauva pakotetaan liikkumattomien tukien väliin. Tukiväli on 1mm liian lyhyt. Laske sauvan poikkileikkauksen normaalijännitys. E 10GPa Käytetään järj. (N,mm) Sauvan pituuden muutos L 1mm, joten venymä L 1mm 1815 L 551mm Normaalijännitys (Hooken laista) 3 6 E MPa ( ) 381, 1MPa (puristusjännitys!) Kuvan terässauvaa kuormittaa vaakasuora voima F 0kN. Sauvan poikkileikkauksen ala on A 500mm. Laske sauvan pituuden muutos, kun a 3m ja b 4m sekä E 10GPa ( Vast : 0, 314mm) 19

20 Kuvan jäykkään ympyrän muotoiseen levyyn D, jonka halkaisija on 100 mm, vaikuttaa pintakuormitus p 0 N/mm. Laske normaalijännitykset ja venymät osissa AB ja BC sekä laske levyn D siirtymä. Sauvan paksumpi osa on terästä, jonka kimmomoduuli on 10 GPa ja ohuempi osa alumiinia, jonka EAl 70GPa. ( Vast : 31, 5 MPa, 15, 0 MPa, 0, 370mm) TEHTÄVIÄ Poikkileikkaukseltaan pyöreää terästankoa (halkaisija 16 mm) vedetään sellaisella voimalla, että tanko venyy 0,05 % alkuperäisestä pituudestaan. Kuinka suuria ovat jännitys ja kuormitus? (105 MPa, 1 kn) Teräksinen vetotanko muodostuu kahdesta osasta: 1, metriä pitkästä tangosta, jonka halkaisija on 6 mm 1,6 metriä pitkästä putkesta, jonka sisä ja ulkohalkaisijat ovat 6 ja 7 mm. Kuinka paljon tämä,8 metriä pitkä yhdistetty tanko saa vedettäessä venyä, kun jännitys ei saa ylittää arvoa 50 N/mm? (,4 mm) 0

21 Laske tangon CB pituuden muutos, kun sen pinta ala on 300mm. Sauvan materiaalin kimmomoduuli on 45,0 Gpa. Kuinka paljon voiman vaikutuspiste siirtyy? Voima on suuruudeltaan 0 kn ja sauvan CB pituus kuormittamattomana on m. Vast. L 494, mm, v 83, mm F Hyvin jäykkä palkki on tuettu alumiinisauvalla, jonka materiaalin AlMgSi (SFS 591) kimmomoduuli on 70 Gpa. Sauvan poikkileikkausala on 600 mm. Kuinka pitkä pitää sauvan alun perin olla, kun halutaan, että palkki on aivan vaakasuora, kun sen päähän vaikuttaa voima P 35 kn. ( Vast : 3598, 3mm) 1

22 Kuvan jäykkää vaakasuoraa palkkia kuormittaa voima F 160 kn. Pystytangot ovat terästä S355J0 (EN1005), jonka kimmomoduuli on 10 Gpa ja myötöraja 355 Mpa. Laske, kuinka paljon voiman F vaikutuspiste siirtyy alaspäin, kun A 400mm, A 00mm 1 ( Vast : X mm)