.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo yleie termi: a a + ( - 1d missä a joo esimmäie termi d erotusluku Aritmeettise joo ratkaisemie Lasketaa kaava a a + ( - 1d yhtälöstä kysyty suuree (a, a, tai d arvo TAI ratkaistaa a ja d eo. yhtälöstä saatava yhtälöpari avulla, sillä aritmeettie joo o täsmällee määrätty, jos tuetaa a ja d.
E.1. Mikä o aritmeettise joo, 5, 8, sadas termi a d 5-3 a 100 + (100-1 3 99 E.. Määritä x site, että joo x, x -, x 1, o aritmeettie (x x (x 1 (x - x + 1 x -3
E.3. Luku 10 o aritmeettise joo, 8, 10, kahdeksas termi. Mikä o esimmäie termi? a 8 10 a + (8-1 10 a -4 E.4. Moesko termi o aritmeettisessa joossa 1, 4, 7, luku 1000? a 1 d 4 1 3 1 + ( 1 3 1000 1 + 3 3 1000 3 100 334 a a + ( - 1d
E.5. Aritmeettise joo kolmas termi o 1 ja yhdeksäs 30. Määritä joo 10. termi. a a a + d 1 + 8d 30 a d 1 + 8d 30 a 3 a + (3 1 d a 9 a + (9 1 d 6d 18 d 3 a 6 a 10 6 + (10-1 3 33 a a + ( - 1d
.3.3. Aritmeettie summa summa, joka yhteelaskettavat muodostavat aritmeettise joo: S a 1 + a + a 3 + + a k 1 a k missä (a k o päättyvä aritmeettie joo ks. esimerkit 1 & s. 58
ks. esimerkit 1 & s. 58 EI KIRJOITETA Oko summa aritmeettie 7 + 3 + (-1 + (-5 + (-9 + 4 + 7 + 11 + 16 k 1 4k 3 a k+1 a k (4(k+1 3 (4k 3 4k + 4 3 4k + 3 4 o, :stä riippumato
Aritmettise summa kaava S ( a 1 + a missä a 1 esimmäie termi a viimeie termi termie lukumäärä
E.6. Laske S 10, ku summa o 1 + 3 + 5 + d 3 1 ( a 1 + a a 10 1 + 9 19 (1 + 19 S10 10 100
E.7. Laske kaikkie positiiviste alle 100 olevie 7:llä jaolliste kokoaislukuje summa. a 1 7 d 7 a 98 ( a 1 + a 98 7 + ( 1 7 7 98 14 S (7 + 98 14 14 735
E.8. Mistä : arvosta alkae : esimmäise luoollise luvu summa o suurempi kui 1000? a 1 1 d 1 a 1 + (-1 1 (1 + > 1000 + > 000 + 000 > 0 RTK-kaavalla + 000 0 1 ± 1+ 8000 44, ( -45, V: : arvosta 45 alkae
E.9. Määritä aritmeettise joo a 1 ja d, ku a 4 9 ja S 9 99. 9 a + 3d 9( a1 + ( a1 + 8d 99 a 9 3d 99 9 18d + 16 198 ((9 3d + (9 3d + 8d 18d 36 d a 1 sijoittamalla a 1 9 6 3 a 1 3, d Kirja esimerkki ja sivut 61, 6
E.. s.97 1.9. 10 settiä.9. 0 settiä 3.9. 30 settiä je. Kuika paljo syyskuu lopussa? Talletukset: aritmeettie joo, a 1, a, a 3,, a 30 a 1 10 d 10 a 30 10 + (30 1 10 300 (st S (10 + 300 30 30 4650 V: 46,50
E.4. s.98 60 000 laiaa / 15 vuotta Laiaa lyheetää krt / v maksae joka kerta edellise puole vuode korko Lyheyseriä 15 30 Lyheyserä suuruus 60 000 / 30 000 ( Jäljellä olevat laiamäärät: 60 000, 58 000, 56 000,, 000 Puole vuode korko 7,5 / 3,75 % Korot 1. 0,0375 60 000. 0,0375 58 000 3. 0,0375 56 000 30. 0,0375 000 Korot yhteesä 0,0375 60 000 + 0,0375 58 000 + + 0,0375 000 (60000 + 000 0,0375(60 000 + 58 000 + + 000 0,0375 30 34875
Summakaavoje todistamie Aritmeettie summa Johdato S 7 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S 7 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S 7 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 S 7 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 S 7 7 0 S 7 0 a1 + a7 7 7
Summakaavoje todistamie Aritmeettie summa S a 1 + a + + a -1 + a S a + a -1 + + a + a 1 S (a 1 +a + (a + a -1 +.+ (a -1 +a + (a +a 1 a + a -1 (a 1 + d + (a d a 1 + a S ( a1+ a S ( a 1 + a
.4.1. Geometrie joo Joo seuraava termi saadaa kertomalla edellie termi samalla luvulla Määritelmä Joo (a o geometrie, jos kaikilla : arvoilla pätee, että a +1 / a q vakio, joka arvo ei riipu :stä E.1.Voiko joo a 3, 6, 1, 4, b -1, -8, -7, -81, olla geometrie a Kyllä q b Ei
Lukujoo osoittamie geometriseksi Lasketaa a +1 / a mielivaltaisella kohtaa. Jos tämä arvo ei riipu kohdasta, o joo geometrie. E.. Osoita, että joo a 4 5 o geometrie a+ 1 a 4 5 4 5 + 1 5 :stä riippumato vakio, jote lukujoo o geometrie
Geometrise joo yleie termi a a aq -1 missä a joo esimmäie termi q suhdeluku Geometrise joo ratkaisemie Lasketaa kaava a aq -1 yhtälöstä kysyty suuree (a, a, tai q arvo TAI ratkaistaa a ja q eo. yhtälöstä saatava yhtälöpari avulla, sillä geometrie joo o täsmällee määrätty, jos tuetaa a ja q.
E.3. Mikä o geometrise joo 3, 6, 1, 4, kymmees termi? a 3 q 6 / 3 a 10 3 10-1 1536
E.4. Luku 8 o geometrise joo, 4, 8, kahdeksas termi. Mikä o esimmäie termi? q 8/4 a 8 8 8 a 7 a 1/16 a aq -1
E.5. Moesko termi o luku 1 geometrisessa joossa 56, 18, 64,? a 56 q 18/56 ½ 1 56 (½ -1 (½ -1 1/56 lg(½ -1 lg(1/56 TAI (½ 1 (½ 8 1 8 9-1 lg(1/56/lg(½ 1 8 9 a aq -1
E.6. Geometrisessa joossa a 1 8 ja a 13 1/8. Mikä o joo suhdeluku? 1/8 8 q 13-1 q 1 1/64 1 64 1 q ± ( 1 1 q± q± 1 1 64 64 1 q± 1 1 6 ± 1 ½ ± 1 a aq -1
E.7. Geometrise joo suhdeluku o ½ ja a 7 3. Mikä o joo esimmäie termi? a 7 3 aq 7 1 a(½ 7 1 6 3 a(½ 1 64 a 3 a 19 a aq -1
E.8. Geometrise joo a 3 6 ja a 7 4. Määritä a 1 ja q. a a 3 7 aq aq 6 aq 4 aq 3 1 7 1 6 6 q 4 aq a 6 6 4 q 6 q 6q 4 4 q 4 4 q± 6 6 6 6 a 3 a 3 q ( q ( a aq -1
E.9. Määritä x site, että joo x, x -, x - 1 o geometrie. x 1 x x x x x x 4x +4 x + 3x 4 0 Ratkaisukaavalla x 1 tai x -4 a aq -1
.4.. Geometrie summa o summa, joka yhteelaskettavat muodostavat geometrise joo S a 1 + a 1 q+ a 1 q + + a 1 q -1 k 1 a 1 q k 1 missä (a k o päättyvä geometrie joo ks. E.1. s. 106
EI KIRJOITETA Oko summa geometrie a 8 + 16 + 3 + 64 o b 10 k 1 100 1,07 k:sta riippumato vakio o c 4 + 6 + 9 + 13 ei a 100 1,07 k k 1 k+ 1 1, 07 k 1 a 100 1,07 k
Geometrise summa kaava S k 1 aq k 1 a(1 1 q q ku q 1 S k 1 a a + a + a +... + a a ku q 1 missä a esimmäie yhteelaskettava q suhdeluku yhteelaskettavie lkm
E.10. Laske S 10 summasta + 4 + 8 + a a(1 q 1 q q 4 : S 10 a(1 q 1 q 10 (1 1 10 046
E.11. Geometrisessa summassa S 10 1000 ja q. Mikä o esimmäie termi? a(1 q 1 q 1000 (1 a 1 10 a(1 10-1000 a 1000/103
E.1. Motako termiä summa 5 + 10 + 0 + alusta o otettava, jotta summa ylittäisi 5115? a 5 q 5(1 1 a(1 q 5(1 S 1 q 1 5115 5(1-5115 1-103 - -104 104 10 10 V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115
Ks. kirja esimerkit 3, s. 68-70 1.9. 10 settiä.9. 0 settiä 3.9. 40 settiä je. a Kuika paljo 10:ssä päivässä b Kuika paljo syyskuu lopussa? a 10 q a 10 b 30 a(1 q 1 q S 10(1 1 10 10 V: 10,30 1030 S 10(1 1 30 30 1073741830 V: 107 374 18,30
E.3. Joka kuukaude alussa 500 euroa tilille Vuotuie korko 3,0 %. Korko tilille kuukausittai a Kolme vuode kuluttua? b Milloi 41 000? a(1 q 1 q Korko kuukautta kohde 3/1 0,5 % 1. talletus 500 1,005 36 (36 kuukautta tilillä. talletus 500 1,005 35 (35 kuukautta tilillä viimeie 500 1,005 (kuukaude tilillä 3. vuode kuluttua rahaa tilillä: 500 1,005 36 + 500 1,005 35 + +500 1,005 500(1,005 + 1,005 + +1,005 36 1,005(1 1,005 500 1 1,005 36 18857,31
b Säästämisaika kuukautta 1. talletus 500 1,005 a(1 q 1 q. talletus 500 1,005-1 Viimeie 500 1,005 500 1,005 + 500 1,005-1 + +500 1,005 500(1,005 + 1,005 + +1,005 1,005(1 1,005 500 1 1,005 00500(1 1,005-00 500(1-1,005 41000 1-1,005-8/401-1,005-483/401 1,005 483 / 401 lg (483/401/lg 1,005 74,5