MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

Transkriptio

1 MAB Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan 1 h aikaa. Palauta A-osion vastaukset valvojalle, jonka jälkeen voit ottaa laskimen esiin ja siirtyä tekemään B-osiota. Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi, joihin vastaat. x = 3y + A1. a) Ratkaise yhtälöpari { x = 5y 8 b) Määritä jonon yleisen jäsenen kaava a n ja laske jonon kahdeksas jäsen, kun kolme ensimmäistä jäsentä ovat 3, 9 ja 15. A. Määritä vakio k siten, että jono, jolle a 1 = 1, a = 6 ja a 3 = 3k 1 on geometrinen. 6 A3. Esitä piirtämällä, missä sijaitsevat ne tason pisteet, jotka toteuttavat epäyhtälöt y, y x + 5 ja y x + 7.

2 B-OSIO: Saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Valitse tehtävistä B4-B8 neljä, joihin vastaat. Bonustehtävä on vapaaehtoinen, sen saa tehdä jos huvittaa ja siitä tulevat pisteet ovat vain plussaa. B4. a) Aritmeettisen jonon kaksi ensimmäistä jäsentä on 3 ja 7. Mikä on jonon tuhannes jäsen? b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat, 5 ja 1,5. Määritä jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. B5. Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello viljelmässä laskettiin olevan 1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo B6. Grillillä myydään lihapiirakoita ja hot dogeja. Yhteen lihapiirakkaan laitetaan kolme nakkia ja kaksi lusikallista kurkkusalaattia. Hot dogin saa kahdella nakilla ja mausteena yksi lusikallinen kurkkusalaattia. Myyjällä on käytettävissään 40 lusikallista kurkkusalaattia ja 70 nakkia. Lihapiirakka maksaa 5 ja hot dog 3. Kuinka monta lihapiirakkaa ja hot dogia olisi myytävä, jotta myyntitulo olisi suurin? B7. Matin piti pinota 0 tiiltä kerroksittain niin, että toisesta kerroksesta ylöspäin jokaisessa kerroksessa on yksi tiili vähemmän, kuin edellisessä, ja viimeisessä kerroksessa on yksi tiili. Kuinka monta tiiltä Matti laittoi ensimmäiseen kerrokseen, kun ylijäämätiiliä piti jäädä mahdollisimman vähän? Kuinka monta tiiltä jäi yli? B8. Kuinka monta aritmeettisen jonon, 8, 14, jäsentä on laskettava yhteen, jotta summa ylittäisi ? BONUS + p Määrää rekursiivisen lukujonon a a a a a a 3a n3 n n1 n neljäs ja viides termi.

3 RATKAISUT: x = 3y + A1. a) Ratkaise yhtälöpari { x = 5y 8 Jos x = 3y +, niin tämän voi sijoittaa alempaan yhtälöön x: n paikalle => Nyt 3y + = 5y 8 y = 10 y = 5 Nyt vaikka ylemmästä yhtälöstä x, kun y tiedetään olevan 5. => x = = 17 b) Määritä jonon yleisen jäsenen kaava a n ja laske jonon kahdeksas jäsen, kun kolme ensimmäistä jäsentä ovat 3, 9 ja 15. a n = 3 + (n 1) 6 a 8 = 3 + (8 1) 6 = = 45 A. Määritä vakio k siten, että jono, jolle a 1 = 1, a = 6 ja a 3 = 3k 1 on geometrinen. 6 Jotta jono olisi geometrinen, seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla suhdeluvulla q. 1 q = 6 q = 0,5. Tällöin kolmas jäsen olisi 6 0,5 = 3. Nyt siis 3 = 3k = 3k 1 30 = 3k 10 = k 6 K:n pitää siis olla 10, jotta jono olisi geometrinen. A3. Esitä piirtämällä, missä sijaitsevat ne tason pisteet, jotka toteuttavat epäyhtälöt y, y x + 5 ja y x + 7. Vastaus on tuo tummennettu alue. Valitaan alueelta piste A = (1,3), ja kokeillaan, että annetut epäyhtälöt toteutuvat noilla x:n ja y:n arvoilla. y on oikein, koska y = 3

4 y x + 5 on oikein, koska = 7 y x + 7 on oikein, koska = 6 Lisäksi pitää ottaa kokeilupisteet kaikilta muilta kuvion rajatuilta alueilta, ja kokeilla x:n ja y:n arvoilla, että annetut epäyhtälöt eivät toteudu. niillä B4. a) Aritmeettisen jonon kaksi ensimmäistä jäsentä on 3 ja 7. Mikä on jonon tuhannes jäsen? d=4 => a 1000 = 3 + (1000 1) 4 = 3999 b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat, 5 ja 1,5. Määritä jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. q=,5 => S 0 = (1,50 ) 1,5 = ,9 B5. Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello viljelmässä laskettiin olevan 1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo S 75 = 1500 (1 1,05575 ) 1 1,055 = , bakteeria B6. Muodostetaan nakki- ja kurkusalaattirajoituksista taulukointi: Nakit kpl kurkkusalaatit (lusikallista) x = lihapiirakka kpl 3x x y = hodarit kpl y 1y YHT 70 kpl 40 kpl Joten saadan rajoittavat epäyhtälöt: 3x + y 70 ja x + y 40. Myyntituottofunktio, jolle pitää saada mahdollisimman arvo, syntyy tietenkin lihapiirakoiden ja hodarien hinnoista 5 x + 3 y = 5x + 3y = M(x, y) Nyt sitten epäyhtälöistä suorien yhtälöt ja sitten koordinaatistoon: y 70 3x : y x + 40 y 3 x + 35 Lisäksi tietenkin x > 0 ja y > 0, koska ne ovat lihapiirakoiden ja hodarien kappalemääriä. Syntyy rajattu alue:

5 Myyntituotto on suurin alueen kulmapisteissä A = (10, 0) tai B = (0,35) tai C = (0,0). Sijoitetaan siis myyntituottofunktioon M(x, y) = 5x + 3y näitä arvoja ja Kokeillaan: TAPAUS A: x = 10 ja y= 0 => M = = 110 TAPAUS B: x = 0 ja y = 35 => M = = 105 TAPAUS C: x = 0 ja y = 0 => M = = 100 Parhaan tuoton saa, kun valmistaa aineksista 10 lihapiirakkaa ja 0 hodaria. B7. Kun ajatellaan tiilikasaa ylhäältä alaspäin, niin muodostuva jono on: 1,, 3,, x, x, missä kahta viimeistä (alinta) jäsentä ei tiedetä. Hoksasithan tehtävänannosta, että kahteen ekaan (alimpaan ) riviin tulee saman verran tiiliä. Summan pitäisi siis olla seuraavanlainen: a 1 a a 3 a n a n x + x 0 Nakataan tuo viimeinen x summan oikealle puolelle (jotta saadaan selkeä, looginen jono): x 0 x, missä meillä on nyt vasemmalla puolella koko ajan yhdellä pykälällä kasvava aritmeettinen jono, missä d = 1 ja siinä on x=n kpl jäseniä. Aritmeettisen jonon summa: S n = n 1+n = 0 n n(1 + n) = 440 n

6 n + n = 440 n n + 3n 440 = 0 Toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat: n = 19,53 tai n = -,5. N kuvaa jonon termien lukumäärä, ja se ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 19,53. Tiiliä pitää pinota 19 kerrosta + se yksi alin kerros, johon tulee saman verran tiiliä kuin toiseksi alimpaan = 0 kerrosta, jotta summa jää alle 0 kpl. Kokeillaan vielä laskea summa 19 kerrokselle tiiliä: S 19 = = 190. Alimpaan ja toiseksi alimpaan tulee 19 kpl, joten tähän pitää vielä lisätä 19 tiiltä. Tiiliä on kasassa siis 09 kpl. Yli jää 11 tiiltä. B8. Kuinka monta aritmeettisen jonon, 8, 14, jäsentä on laskettava yhteen, jotta summa ylittäisi ? d = 6, jäsenten määrä on tuntematon, merkitään n. Viimeinen jäsen on tällöin a n. Aritmeettisen jonon n. jäsenen kaavaa käyttäen saadaan: a n = a 1 + (n 1) d = + (n 1)6 = + 6n 6 = 6n 4. Eli jos tässä jonossa on n. kpl jäseniä, niin viimeinen jäsen saadaan järjestysluvusta n laskien 6n-4. Käytetään sinnikkäästi summan kaavaa, vaikka jäsenten lukumäärää ei tiedetä: S n = n +6n 4 summan pitää olla yli 10000, joten => n + 6n n( + 6n 4) = n(6n ) = n n = 0 Toisen asteen yhtälö, josta ratkaisut: n = 00,17 tai n = 199,83 N on jonon jäsenten lukumäärä, mikä ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 00,17, eli noin 01 jäsentä pitää laskea yhteen, jotta summaksi saadaan yli BONUS + p Määrää rekursiivisen lukujonon a a a a a a 3a n3 n n1 n neljäs ja viides termi. a 4 = a 1+3 = a 1 + a a 1+ = a 1 + a + 3a 3 = = 14 a 5 = a +3 = a + a a + = a + a 3 + 3a 4 = = 50