Aritmeettinen lukujono
|
|
|
- Timo-Pekka Tamminen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 = 3 tai d = 4 1 = 3 b) 10, 13 ja Määritä aritmeettisen lukujonon 3, 6, 9, kymmenen ensimmäistä jäsentä. Seuraava lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen kolme. Kymmenen ensimmäistä jäsentä ovat 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ja Määritä aritmeettisen lukujonon 12, 10, 8, kahdeksan ensimmäistä jäsentä. Aritmeettisen lukujonon 12, 10, 8, kahdeksan ensimmäistä termiä ovat 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 318. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 90, 84 ja 78. a) Mikä on lukujonon ensimmäinen jäsen a1? Entä mikä on peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Muodosta jonon yleisen jäsenen lauseke sijoittamalla a1 ja d kaavaan an = a1 + (n 1) d. c) Laske jonon 16. jäsen sijoittamalla n = 16 b-kohdan kaavaan. d) Sievennä b-kohdassa muodostettu yleisen jäsenen lauseke a) a1 = 90, d = = 6 b) an = 90 + (n 1) ( 6) Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
2 c) a16 = 90 + (16 1) ( 6) = ( 6) = 0 d) an = 90 6n + 6 = 96 6n 319. Täydennä taulukkoon aritmeettisen lukujonon jäsenet ja puuttuvat järjestysluvut. n an = n n a n = n = = Määritä aritmeettisen lukujonon 1,1; 2,3; 3,5; 4,7; kymmenes ja 45. jäsen. a1 = 1,1, d = 2,3 1,1 = 1,2 a10 = 1, ,2 = 11,9 a45 = 1, ,2 = 53, Mikä on aritmeettisen lukujonon 15, 2, 11, a) seitsemäs jäsen b) 50. jäsen c) yleisen jäsenen an lauseke sievennettynä? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2
3 a) Luettelemalla: 15, 2, 11, 24, 37, 50, 63 Laskemalla: d = 2 15 = 13 a7 = 15 + (7 1) ( 13) = 63 b) a50 = 15 + (50 1) ( 13) = 622 c) a1 = 15, d = 2 15 = 13 an = 15 + (n 1) ( 13) = 15 13n + 13 = 28 13n 322. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 58 ja kolmas jäsen 41. Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus? Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 58 ja kolmas jäsen 41. Jonon peräkkäisten jäsenten erotus on 58 + (3 1) d = d = 41 2d = 17 : 2 d = 8, Personal trainer suunnitteli asiakkaalleen harjoitteluohjelman. Ensimmäisenä päivänä asiakkaan piti uida 50 m, sitten joka päivä 25 m enemmän kuin edellisenä päivänä. Kuinka pitkän matkan asiakas ui a) kahdeksantena harjoittelupäivänä b) 31. harjoittelupäivänä? c) Kirjoita laskusääntö, jonka avulla voit laskea uintimatkan pituuden n. harjoittelupäivänä. a) = 225 b) = 800 c) an = n Vastaus: Asiakas ui a) 225 m, b) 800 m. c) an = n Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
4 324. Laske aritmeettisen lukujonon an = 25 4n kymmenen ensimmäistä jäsentä ja kuvaa lukujonoa koordinaatistossa. a1 = 21, a2 = 17, a3 =13, a4 = 9, a5 = 5, a6 = 1, a7 = 3, a8 = 7, a9 = 11, a10 = Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a1 = 16 ja kymmenes jäsen a10 = 97. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mikä on jonon yleisen jäsenen an lauseke sievennettynä? c) Määritä a60. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 16 ja kymmenes 97. a) 16 + (10 1) d = d = 97 9d = 81 : 9 d = 9 b) an = 16 + (n 1) 9 = n 9 = 9n + 7 c) a60 = = Palokunnan pitkissä tikkaissa ensimmäinen askelma on 35 cm:n korkeudella maanpinnasta. Kahdestoista askelma on 365 cm:n korkeudella. Mikä on askelmien korkeusero ja kuinka korkealla on tikkaiden 50. askelma? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
5 Tikkaiden askelmat muodostavat aritmeettisen sarjan, jonka ensimmäinen jäsen on a1 = 35 ja kahdestoista jäsen a12 = 365. Askelmien korkeusero vastaa kahden peräkkäisen jäsenen välistä erotusta, joka voidaan laskea yleisen jäsenen kaavan avulla (12 1) d = d = d = 330 : 11 d = askelma on korkeudella a50 = 35 + (50 1) 30 = (cm) cm = 15,05 m. Vastaus: Askelmien korkeusero on 30 cm ja 50. askelma on 15,05 m korkeudella Kauppias rakentaa persikkapurkeista näyteikkunan somisteeksi kolmion, jonka jokaisessa kerroksessa on aina kaksi purkkia vähemmän kuin yhtä alemmassa kerroksessa. Ylimmässä kerroksessa on yksi purkki. Kuinka monta kerrosta purkkeja on kolmiossa, jonka alimmassa kerroksessa on a) 15 b) 61 purkkia? a) Alimmassa kerroksessa on 15 purkkia eli a1 = 15. Lasketaan kerrosten määrä yleisen jäsenen kaavan avulla: an = 15 + (n 1) ( 2) 15 2n + 2 = 1 2n = 16 : ( 2) n = 8 b) Alimmassa kerroksessa on 15 purkkia eli a1 = 15. Lasketaan kerrosten määrä yleisen jäsenen kaavan avulla: an = 61 + (n 1) ( 2) 61 2n + 2 = 1 2n = 62 : ( 2) n = 31 Vastaus: Kolmiossa on a) 8, b) 31 kerrosta. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
6 328. Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 9, 36 ja 63. Kuuluuko luku a) 414 b) 545 jonoon? Aritmeettinen lukujono alkaa 9, 36, 63, a1 = 9, d = 36 9 = 27 Jonon yleinen jäsen on an = 9 + (n 1) 27 = n 27 = n a) n = n = 432 : 27 n = 16 Koska n on positiivinen kokonaisluku, luku 414 kuuluu jonoon. b) n = n = 563 : 27 n = 20,85 Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 545 ei kuulu jonoon Kuinka moni aritmeettisen lukujonon 211, 224, 237,... jäsenistä on pienempi kuin 7 000? Aritmeettisen jonon alku on 211, 224, 237,... a1 = 211, d = = 13 Jonon yleinen jäsen on an = (n 1) 13 = n 13 = n n = n = : 13 n = 523,23 Jonon jäsenistä 523 on pienempiä kuin Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
7 330. Aritmeettisessa lukujonossa on a3 = 450 ja a7 = 390. Määritä jonon sadas jäsen. Aritmeettisessa lukujonossa a3 = 450 ja a7 = 390. Kirjoitetaan jonon kolmas ja seitsemäs jäsen yleisen jäsenen kaavan avulla. a3: a1 + 2d = 450 a7: a1 + 6d = 390 Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä a1 ja d. a 1 2d 450 ( 1) a 1 6d 390 a a 1 1 2d 450 6d 390 4d 60 :4 d 15 a 1 2 ( 15) 450 a a a100 = ( 15) = Jonon sadas jäsen on Kuinka monta yhdeksällä jaollista lukua on lukujen ja välillä? Yhdeksällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka yleinen jäsen on an = 9n. Tutkitaan kuinka mones jonon jäsen on luku ja luku n = : 9 n = 222,222 Ensimmäinen lukua suurempi 9:llä jaollinen luku on jonon 223. jäsen. 9n = : 9 n = 333,333 Viimeinen lukua pienempi 9:llä jaollinen luku on jonon 333. jäsen. Lukujen ja välissä on = 111 luvulla 9 jaollista lukua. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
8 332. Aritmeettisessa lukujonossa on a1 = 2x 1, a2 = 2x + 1 ja a3 = 3x. a) Ratkaise x. b) Määritä lukujonon yleinen jäsen an. a) Lukujonon perättäisten jäsenten erotus on d. d = a2 a1 d = 2x + 1 2x + 1 = 2 d = a3 a2 2 = 3x 2x 1 x 2 x = 3 : ( 1) x = 3 b) 2 3 1, , 3 3, = 5, 7, 9, an = 5 + 2(n 1) = 3 + 2n 333. Osoita, että lukujono an = 4n + 9 on aritmeettinen. Osoitetaan, että minkä tahansa peräkkäisten lukujonon jäsenten erotus on aina sama. d = an+1 an = 4(n + 1) + 9 (4n + 9) = 4n n 9 = Määritä aritmeettisen lukujonon neljä seuraavaa jäsentä. a) 9, 17, 25,. b) 120, 105, 90, a) d = = , , , , 41, 49, 57 b) d = = ( 15), ( 15), ( 15), ( 15) 75, 60, 45, 30 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
9 335. Täydennä taulukkoon aritmeettisen lukujonon jäsenet ja puuttuvat järjestysluvut. n bn n b n b n = 11 + (n 1) ( 9) = 9n Mikä on aritmeettisen lukujonon 111, 114, 117, kymmenes jäsen? Entä 40. jäsen? Aritmeettisen jonon alku on 111, 114, 117, Kymmenes jäsen voidaan etsiä luettelemalla: 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, Kymmenes jäsen on jäsen on d = 114 ( 111) = 3 a40 = (40 1) ( 3) = Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 10, 17 ja 24. a) Mikä on jonon 42. jäsen? b) Muodosta ja sievennä jonon yleisen jäsenen an lauseke. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
10 Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 10, 17, 24, a) a42 = 10 + (42 1) 7 = 297 b) an = 10 + (n 1) 7 = n 7 = 3 + 7n 338. Tutki, voiko lukujono olla aritmeettinen. a) 16, 9, 2, b) 220, 286, 354, a) Lukujonon alku on 16, 9, 2, Lasketaan kahden peräkkäisen jäsenen erotuksia = = 7 Koska erotukset ovat samat, jono voi olla aritmeettinen. b) Lukujonon alku on 220, 286, 354,. Lasketaan kahden peräkkäisen jäsenen erotuksia. 286 ( 220) = ( 286) = 68 Koska erotukset eivät ole samat, jono ei voi olla aritmeettinen Auditorion ensimmäisellä penkkirivillä on 25 istuinta. Kymmenennellä rivillä on 79 istuinta. Kuinka monella istuinten lukumäärä lisääntyy riveittäin, kun lukumäärä kasvaa tasaisesti? Kuinka monta istuinta on viidennellä rivillä? Auditorion ensimmäisellä penkkirivillä on 25 istuinta. Kymmenennellä rivillä on 79 istuinta. Penkkirivit muodostavat aritmeettisen sarjan, jonka ensimmäinen jäsen on a1 = 25 ja 10. jäsen on a10 = 79. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
11 Istuinten määrän kasvaminen riveittäin saadaan laskettua yleisen jäsenen kaavan avulla: 25 + (10 1)d = d = 79 9d = 54 : 9 d = 6 Viidennellä penkkirivillä on istuimia. a5 = 25 + (5 1) 6 = 49 Vastaus: a) Istuinten määrä lisääntyy kuudella. b) Viidennellä rivillä on 49 istuinta Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 120, 79 ja 38. a) Muodosta ja sievennä jonon yleisen jäsenen an lauseke. b) Onko luku 331 jonon jäsen? Aritmeettisen jonon alku on 120, 79, 38, a) a1 = 120 d = = 41 an = (n 1) ( 41) = n +41 = n b) n = n = 492 : ( 41) n = 12 Luku 331 on jonon jäsen Sirun setä rakentaa aitaa tasaisesti viettävään rinteeseen. Aidan yläreuna on vaakasuorassa. Sen pituus on 200 m ja tolppia on viiden metrin välein. a) Kuinka monta tolppaa tarvitaan? b) Ensimmäinen tolppa on 1,2 m ja viides 1,4 m. Kuinka paljon toinen tolppa on pidempi kuin ensimmäinen? c) Kuinka pitkä on aidan viimeinen tolppa? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11
12 a) Tolpan välejä on Tolppia tarvitaan yksi enemmän eli 41. b) Ensimmäinen tolppa on 1,2 m ja viides 1,4 m. Koska rinne viettää tasaisesti, tolppien pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. a1 = 1,2 a5 = 1,4 1,2 + (5 1) d = 1,4 1,2 + 4d = 1,4 4d = 0,2 : 4 d = 0,05 Toinen tolppa on 0,05 m = 5 cm pitempi kuin ensimmäinen. c) a41 = 1,2 + (41 1) 0,05 = 3,2 (m) Vastaus: a) Tolppia tarvitaan 41. b) Toinen tolppa on 5 cm pidempi kuin ensimmäinen. c) Viimeinen tolppa on 3,2 m Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 242 ja kuudes 242. Kuuluuko luku a) 726 b) jonoon? Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 242 ja kuudes 242. a1 = 242 a6 = (6 1) d = 242 5d = 484 : 5 d = 96,8 an = (n 1) 96,8 = ,8n 96,8 = 338,8 + 96,8n Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12
13 a) 338,8 + 96,8n = ,8n = 1 064,8 : 96,8 n = 11 Luku 726 kuuluu jonoon. b) 338,8 + 96,8n = ,8n = 1 935,8 : 96,8 n = 19,997 Luku ei kuulu jonoon Aritmeettisessa lukujonossa on a1 = 738 ja a10 = 783. Kuinka moni jonon jäsenistä on pienempiä kuin 1 000? Aritmeettisessa lukujonossa a1 = 738 ja a10 = 783. a1 + 9d = a d = 783 9d = 45 : 9 d = 5 an = (n 1) 5 = n 5 = n n = n = 267 : 5 n = 53,4 Jonon jäsenistä 53 on alle Aritmeettisen lukujonon toinen termi on 30 ja viides 23,4. Mikä on jonon viidestoista termi? Ratkaistaan perättäisten jäsenten erotus d d = 23,4 30 3d = 6,6 : 3 d = 2,2 a15 a5 = 10d + a5 a15 = 10 ( 2,2) + 23,4 = 1,4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 13
14 345. Kuinka monta nelinumeroista seitsemällä jaollista positiivista lukua on olemassa? Seitsemällä jaolliset positiiviset luvut muodostavat aritmeettisen jonon an = 7n. Pienin nelinumeroinen luku on n = : 7 n = 142,85 Pienin jonoon kuuluva nelinumeroinen luku on jonon 143. jäsen. Suurin nelinumeroinen luku on n = : 7 n = 1 428,42 Suurin seitsemällä jaollinen nelinumeroinen luku on jonon jäsen. Nelinumeroisia seitsemällä jaollisia lukuja on = Osoita, että lukujono an = 19 5n on aritmeettinen. Osoitetaan, että minkä tahansa peräkkäisten lukujonon jäsenten erotus on aina sama. d = an+1 an = 19 5(n + 1) n = 19 5n n = 5 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 14
Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.
Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa?
1 1 Luvut jonossa Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa? kuvio kuvio kuvio 10 28 55 a) Jos muodostelmaluistelujoukkue tekee 4 luistelijan
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
Induktio, jonot ja summat
Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava
otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.
LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste
15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
y + z. z + xyz
2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan tilaan. Mikäli
Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
jakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT
sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
Kenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LUKUVUODEN E-KURSSI
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT
MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.
A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Kenguru 2017 Student lukio
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Tuen tarpeen tunnistaminen
Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi esiopetus kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista, että
Kenguru 2015 Ecolier (4. ja 5. luokka)
sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.