derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

Transkriptio

1 Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan.. a) Derivoi funktio f() = sin + cos b) Laske funktion sin f ( ) derivaatta pisteessä cos (YOK8). a) Sievennä lauseke (sin + cos ) + (sin - cos ). b) Ratkaise yhtälö: cos sin. n 5. Lukujonon (a n ) termit ovat muotoa a n, n n,,,... (YOS) a) Näytä, että a n+ > a n, kun n =,,,. b) Määritä lim an n 6. a) Määritä aritmeettisen jonon sadas termi, kun kaksi ensimmäistä ovat ja. b) Lukujono (a n ) määritellään rekursiivisesti yhtälöillä a, a n+ = a n +n. Määritä jonon viisi ensimmäistä termiä. HUONO!!!! 7. Aritmeettisessa jonossa on termiä, joiden summa on 6. Määritä jonon ensimmäinen termi ja erotusluku, kun viides termi on a) Määritä luku siten, että lukujono,,,... geometrinen b) Kuinka monta termiä on vähintään otettava summaan , jotta sen arvo ylittäisi?

2 9. Todista oikeaksi kaava : tan + tan = sin cos. Määritä funktion f() = cos - ½cos suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan? (YOS). Laske neljällä jaollisten kolminumeroisten luonnollisten lukujen summa. Toipilaan tulee leikkauksen jälkeen kuntouttaa lihaksiaan harjoittelemalla tiettyä liikesarjaa päivittäin kuukauden mittaisen kuntoutusjakson ajan. Hän aloittaa 5 minuutin pituisella voimistelulla ja lisää suoritusaikaa kuntoutusohjelman mukaan joka kerralla viidellä prosentilla. a) Kuinka pitkän ajan hän voimistelee kuntoutusjakson. päivänä? b) Kuinka paljon hän kaikkiaan käyttää aikaa voimisteluun kuntoutusjakson aikana? Anna vastaukset minuutin tarkkuudella. LISÄTEHTÄVÄ ( VANHA JUTTU MUTTA KUITENKIN ) Mies oli poikansa kanssa kiipeilemässä vaarallisella vuorella. Heidän otteensa lipesi, ja molemmat putosivat alas. Isä kuoli vammoihinsa, mutta poika jäi henkiin ja hänet kiidätettiin sairaalaan. Sairaalassa kokenut kirurgi tuli katsomaan poikaa ja totesi: En voi leikata tätä poikaa; hän on oma poikani. Miten tämä on mahdollista?

3 RATKAISUT MAA9 a) b, c) b, c). Piirrä suorakulmainen kolmio, missä :n vastainen kateetti = 8 ja hypotenuusa = 7 Pythagoras: 8 + b = 7 ; b = 89-6 = 5 ; b = 5 koska [9, 6 ] ja sen sini positiivinen, niin [9,8 ] cos = 5 7 ja tan = 8 5. a) f() = sin + cos ; f () = cos - sin = cos - sin b) a) (sin + cos ) + (sin cos ) = sin + sin cos + cos + sin sin cos + cos = (sin + cos ) = = b) 5. sin tan cos 8, n8, josta 9, n9. 6. a) a =. d = / - = -/ ; a = + 99 (-/) = - 66 = - 6 b) a, a a 7, a a 7 6, a a 8, a a s = 6 a 5 = 5 ½(a + a + 9d) = 6 + 9d = ; a a + d = 5 a + d = 5 (-) ; d = ; a + 8 = 5 ; a = - 8 a) Oltava vakiosuhde ts.

4 b) n ( ) n lg S n lg lg n 6, 6 lg 9. tan tan sin cos sin cos cos sin sin cos. sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos Vastaus: Vähintään 7 termiä.. Ensimmäinen luku on ja viimeinen 996. Luvut muodostavat aritmeettisen jonon, jossa d =. 996 n n 5 Eli lukuja on S 5 5 Vastaus:. a) Toipilaan voimisteluajat minuutteina muodostavat geometrisen jonon. Jonon ensimmäinen termi on 5, toinen,5 5, kolmas,5 5,...,n:s,5 n- 5 ja a =, ,7 min. Vastaus: 6 min. b) Kokonaisaika on geometrinen summa,5 S 5 = 996,58 (min) Vastaus: 6 h 7 min.,5

5 INTEGRAALILASKENTA. Onko funktio F() = funktion f() = integraalifunktio? (Perustele). Integroi a) ( + )d b) sin d. Laske integraali a) ( e ) d b) d a. Millä vakion a arvolla ( 5) d = a Laske käyrien y = - ja y = - välisen äärellisen alueen ala. 6. Laske d Määritä graafisesti kuvion avulla ilman integrointia d. Tarkista integroimalla. 8. Käyrän y = - ja -akselin välinen äärellinen alue pyörähtää -akselin ympäri. Laske syntyneen pyörähdyskappaleen tilavuus. 9. Integroi e d. Määritä pinta-ala, jota rajoittaa käyrä y =,5, suora y = 7 ja -akseli. Piirrä kuvio.

6 RATKAISUT MAA. F() = V: EI OLE.. a) ( + )d = (6 + 8)d = + + C b) sin d = sin d = ( cos) + C = cos + C. a) ( e ) d /( e ) ( e ) ( ) e b) d / = ln =ln ln = ln a ) a. ( 5 d = 5 = a - a 5a - ( - - 5) = a - a 5a + 6 a - a - 5a + 6 = a + 6 ; a - a - 8a = ; a(a - a - 8) = ; a = tai a - a 8 = ; a =, a = - 5. LP: y = - JA y = - ; - = - ; - - = ; - = ; = -, = SIJ: alaspäin aukeava paraabeli on ylempänä kuin ylöspäin aukeava paraabeli. A = [( ) ( )] d = ( ) d = ( ) = ( ) - ( + - )] =9 6. d = ( ) d + ( ) d = / 9 + / =

7 7 7. Integraalin arvo on kuviossa näkyvän puolisuunnikkaan pinta ala = 5 Vastaus: 5 y LP; - = ; ( - ) = ; = tai = V = ( - ) d = (9-6 + )d = / = ( ) = 8 9. Valitaan f = ja g = e - ; f = ja g = -e - e d = (-e- ) - ( e ) d = -e - - e - + C. Ratkaistaan integroimisrajat käyrän, suoran ja -akselin leikkauspisteistä,5 =, josta =,5 = 7 = ( ) 9 = = = 8 7) 7 =, josta = 7 A = A + A =,5,5 d + = 65, josta = tai =,5 (jälkimmäinen juuri ei käy, koska 8 = /,5 +,5 =,5