Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa maksetaa jokaise korkokaude lopussa ja liitetää pääomaa. Korkokausi o yksi kaleterivuosi. Tililtä ei voi ostaa mitää talletusaikaa, joka o viisi vuotta, mutta jokaise viide vuode kuluttua vahemmat voivat päättää, jatkavatko he seuraavat viisi vuotta samoi ehdoi. Tili siirtyy Esikoise hallitaa se vuode lopussa, joa hä täyttää vuotta. Kuika paljo Esikoisella o tilillää rahaa se vuode lopussa, joa hä täyttää vuotta, jos vahemmat ovat tallettaeet joka vuosi tilille euroa, viimeie talletus o tehty se vuode alussa, joa Esikoie täyttää vuotta ja vahemmat ovat aia jatkaeet samoilla ehdoilla kuki viide vuode sopimuskaude kuluttua? Summa vuode Vuosi Ikä Geometrise joo alussa lopussa 988, 38,5 989 38,5 6,98 99 3 3 6,98 3 36,99 Vahemmat tekevät talletusta, joista viimeie kasvaa korkoa yhde vuode ja esimmäie vuotta. Kyseessä o geometrie summa: kuki kahde peräkkäise yhteelaskettava suhde o,385 q, esimmäie jäse o huomaa! 38,5 euroa ja. Täte rahaa kertyy yhteesä laskettua viimeisestä esimmäisee talletuksee S 38,5 + 78,485 +... +,7344 i,385 38,5 (,385 ) (,385 ) i 3658,37 euroa Kuvataa tilaetta vielä tauluko avulla. Vastaus: Esikoisella o rahaa 3 658,37 euroa. 99 3 4 4 36,99 4 4, 99 4 5 5 4, 5 68, 993 5 6 6 68, 6 86,4 994 6 7 7 86,4 8 65,3 995 7 8 9 65,3 9 57,98 996 8 9 57,98 9,93 997 9 9,93 38,96 998 3 38,96 3 897,6 999 4 897,6 5 47,7 3 6 47,7 7 4,83 3 4 8 4,83 8 8,86 4 5 9 8,86 564,3 3 5 6 564,3 394,46 4 6 7 3 394,46 4 95,4 5 7 8 5 95,4 6 69, 6 8 9 7 69, 8 38,86 7 9 9 38,86 3 447,64 8 3 447,64 3 658,37 Viimeie talletus 9 3 658,37 - (7)
Esimerkki 3 Erico lähettää avaruutee, kohti tähteä, joka imi o α Cetauri, laittee, jolla o seuraava tehtävä. Ku se o saapuut perille, se tekee itsestää heti kaksi kopiota ja lähettää e kahdelle muulle tähdelle, mutta ei Aurigo luo. Ku ämä kaksi laitetta saapuvat määräpäähäsä, e tekevät puolestaa itsestää kaksi kopiota ja lähettävät e kohti kahta sellaista tähteä, joille laitetta ei ole vielä lähetetty. Mikää laite ei koskaa lähetä kopiotaa kohti Aurikoa. Olkoo Erico alkuperäie laite. sukupolve laite, se tekemät kopiot. sukupolve laitteita ja iitte kopiot puolestaa 3. sukupolve laitteita ja ii edellee. Kuika moessa aurikokuassa yhteesä o äitä laitteita, ku 5. sukupolvi o ehtiyt perille? Aurikoa ei siis lasketa, vaikka Erico jättiki itsellee laitteesa varakopio. Jos haluat tutkia tätä kuuluisaa ajatuskoetta tarkemmi tämä Esimerkki o vai vihje ii etsi tietoja Fermi paradoksista. Tämä o geometrie summa, koska laitteide määrä kaksikertaistuu jokaise sukupolve jälkee. Täte geometrise summa suhdeluku q o. Joo esimmäie jäse o ja luku o luoollisesti yt 5. Geometrise summa kaavalla saadaa siis: S ( q ) a q 5 ( ) 5,. Vastaus: 5. sukupolve tultua perille aurikokutia o hoideltu oi kappaletta. Saatu tulos o sikäli mielekiitoie, että koko Liuradassa o tähtiä vai oi kappaletta eli e loppuvat keske -kertaisesti! Ku tällaisii pohditoihi lisätää arvio, että Liurada lepokoordiaatisto mukaa uusi sukupolvi sytyy ehkä 6 vuode välei, ii huomataa, että maiitu Liurada lepokoordiaatisto mukaa 6 laskettua homma hoituu oi 6, vuodessa. Miljooa vuotta o kosmisessa mittakaavassa pelkkä silmäräpäys. Taria mukaa italialaissytyie fyysikko Erico Fermi oivalsi tämä esimmäiseä ja huudahti Los Alamosi kahvipöytäkeskusteluissa asiaa liittyvä, sittemmi kuuluisaksi tullee kysymyksesä: Where is everybody?. (7)
Maa α Ce Esimerkki 4 Ai ja Aimo aloittavat uude säästämisuraka. Nyt tavoitteea o auto, joka he toivovat voivasa ostaa viide vuode säästämise jälkee. He eivät edes yritä eustaa autoje hitoja viide vuode kuluttua. Se sijaa he arvioivat summa, joka he katsovat voivasa säästää kuukaudessa ja katsoa sitte viide kuluttua, mitä säästöillää saavat. Ai ja Aimo aloittavat säästösuuitelma, joka mukaa he tallettavat pakkii jokaise kuukaude esimmäiseä päivää 35 euroa. He avaavat sitä varte tili, jolle hyvitetää korkoa 3,75 % pa (pa: per aum, vuodessa). Kuika paljo heillä o rahaa viide vuode säästämise jälkee, jos he eivät osta tältä tililtä rahaa koko aikaa ja jos korko lisätää pääomaa aia vuode lopussa? Koska korkokausi o yt yksi vuosi, pääoma kasvaa kuki vuode aikaa korkoa laskettua yksikertaise korkolasku mukaa ja korkoa korolle kerra vuosittai. Tämä tarkoittaa käytäössä seuraavaa: Tarkastellaa säästösuuitelma esimmäistä vuotta. Ai ja Aimo tallettavat kuukaude esimmäiseä päivää tilillee siis 35 euroa. Se kasvaa vuode aikaa korkoa 3,75% 35 euroa. Toise kuukaude esimmäiseä päivää he tallettavat jällee 35 euroa. Vuode loppuu meessä se ehtii kasvaa korkoa yksikertaise korolaskutava mukaa 3,75% 35. Vastaavasti muut eli kuki esimmäise vuode talletus kasvaa korkoa yksikertaise korolaskutava mukaa vuode loppuu saakka. Näi esimmäiseä vuoa kertyy 35 + 3,75% 35 + 3,75% 35 + 3,75% 35 +... + 3,75% 35 + 3,75% 35 78 35 + 3,75% 35 485,35 euroa. Muista, että 3(7)
i i 78, kute edellä todettii ja joka kaava saadaa aritmeettise summa kaava avulla aia, ku sitä tarvitaa. Tuo sama rahamäärä eli 485,35 euroa kertyy kuaki viiteä vuotea. Jatketaa laskemista koro korko laskulla. Korkokausi o tässä tehtävässä se tavallisi eli yksi vuosi. Koska korkokaude aikaa tehdyt talletukset kasvavat kaude loppuu korkoa yksikertaise laskutava mukaa, ii kuaki vuoa kertyyt summa voidaa katsoa talletukseksi, joka tehdää korkoiee vuode lopussa eli seuraava vuode alussa. Kuki tällaie vuode eli tässä korkokaude alussa tehtävä talletus kasvaa korkoa korolle. Esimmäise vuode talletukset ehtivät kasvaa korkoa korolle eljä vuotta, toise vuode talletukset kolme vuotta ja ii edellee. Lopuksi viimeise vuode talletukset, jotka eivät ehdi kasvaa korkoa korolle ollekaa. Lopullie talletuksista korkoiee kertyyt summa S o siis S 485,3,375 485,3 394,96 4 3 (,375 +,375 +,375 +,375 +,375 ) 5,375 485,3,375 485,3 5,389 4 + 485,3,375 3 + 485,3,375 + 485,3,375 + 485,3,375 Sulkulausekkee arvo laskemisessa o sovellettu geometrise summa kaavaa. Huomaa, että yt 5 ja että a,375. Vastaus: Ai ja Aimo saavat kasaa 3 94,96 euroa. Esimerkki 5 Atikvariaatipitäjä osti tuhae kappalee erä kustataja poistomyyissä olleita bestsellereitä. ja kiiitti asiasta maioksia ympäri kaupukia. Esimmäiseä työpäivää maioste levittämise jälkee hä myi kirjaa ja toisea päivää 3 kirjaa. Jos myyti kasvaa suhteellisesti tätä vauhtia, kuika moessa työpäivässä hä o myyyt kaikki kirjaa? Kyseessä o geometrie summa, joka esimmäie jäse o ja joka suhdeluku q o 3. Saamme yhtälö: jote 3, 3 4(7)
3 86,334. Myymie kestää siis vähä kahdeksatta kymmetä seitsemättä työpäivää. Vastaus: Kirjat myydää hiema yli 86 päivässä. Esimerkki 6 Puutarhuri alkaa täyttää vedellä puisto akkalammikkoa, joka tilavuus o 9 m 3. Hä käyttää pumppua, joka pumppausteho o 5 litraa miuutissa. Kuika kaua lammiko täyttymie kestää, ku laskuoja kautta lammikosta poistuu joka tuti vettä,5 % laskettua lammiko edellise tui vesimäärästä? Lammiko tilavuus 9 m 3 9 litraa. Pumpu teho 5 litraa miuutissa o sama kui 3 litraa tuissa. Tehdää taulukko tilateesta aia tui välei. Oheise tauluko esimmäisessä sarakkeessa o aika tuteia kellotettua siitä hetkestä, joa pumppu työsi esimmäiset vesipisarat altaasee. Toisessa sarakkeessa o altaassa oleva vesimäärä aia tasatuei ja kolmaessa sarakkeessa se vesimäärä, joka vielä puuttuu altaa imellistilavuudesta eli 9 litrasta. Kute taulukosta ähdää, allas vuotaa yli 34. tui aikaa. Esimmäise tui aikaa pumppu syytää lammikkoo siis 3 litraa vettä. Koska laskuoja kautta vettä virtaa laskettua edellise tui vesimäärä mukaa, ii esimmäise tui aikaa vettä ei virtaa pois yhtää. Ilmeisesti oja pohja o juuri ii paljo ylempää kui altaa pohja, että pohjalle mahtuu tarkallee 3 litraa ee kui vesi alkaa virrata laskuojassa! Esimmäise tui ettotulos lamme täyttämise äkökulmasta o siis tasa 3 litraa vettä. Toise tui aikaa pumpusta valuu taas 3 litraa, mutta altaasta pois johtava laskuoja o se muotoie, että taas,5 prosettia kuluee tui lopussa olleesta vesimäärästä o juossut pois. Näi toise tui lopussa altaassa o,995 3 + 3 5985 litraa. Kolmae tui lopussa altaa vesimäärä o (,995 3 + 3) + 3 8955,,995 litraa. Millaie mahtaa olla yleie säätö, joka ilmoittaa vesimäärä. tui lopussa eli määrä V? Seuraava yhtälö voidaa aiaki kirjoittaa äskeise perusteella heti: V,995 + 3. V Sehä saoo vai, että altaasta o poistuut määrä, joka o,5 prosettia edellise tui lopu vesimäärästä eli siitä o jäljellä,995 V litraa. Tätä vesimäärää pumppu o lisäyt 3 litralla. Siis yhteesä äske maiittu. 5(7)
Sama pätee tätä edeltäeesee tutii:. Tässä hahmottuu yleie säätö. Viedää se loppuu eli V :ee saakka. V :hä o 3 litraa. V,995 V V 3 (,995 V + 3 ) i +,995 3 +,995 3 V,995 + 3,995 3 +,995 3 +,995,995 [,995 (,995 V 3 + 3) + 3] + 3 i,995 (,995,995,995 3 V +,995 3) + 3 + 3 [ ] 3 3 +... +,995 3 + 3 3 3 +... +,995 3 + 3 3,995 V 3 +,995 3+,995 3+ 3 Lasketaa mikä tahasa kahde peräkkäise yhteelaskettava suhde:,995 3,995 ( 3),995,995 3 3,995 3,995 eli geometrise joo suhdeluku q. Tämähä o iha selvä geometrie summa, mikä ei liee yllätys. Tällä kertaa geometrise summa esimmäie yhteelaskettava a o 3 ja suhdeluku q, 995. Koska tehtävässä kysytää, kuika kaua altaa täyttymie kestää, ii o kirjoitettava yhtälö, josta geometrise summa voidaa ratkaista. Geometrise summa laskukaava mukaa o V i i,995 3,995 3,,995 9 jote saadaa aikaa yhtälö,995 3 9.,995 Ratkaistaa tästä : 33,6. Vedetää tästä sellaie johtopäätös, että 33 tuissa allas ei vielä iha täyty, mutta että 34 tui jälkee se vuotaa jo yli. Kuika pitkälle 34. tui puolelle meää, voidaa arvioida laskemalla yksikertaisesti, että,6 tutia o oi miuuttia. Koska tällaisii arkipäivä tilateisii liittyy aia käytäö syistä vaihteleva määrä epätarkkuude lähteitä, riittää todeta, että allas täyttyy vähä yli 33 tuissa. vede poisvirtaamie o ilmaistu ii epäselvästi kui o, ii voimme todeta vai, että allas täyttyy 34. tui kuluessa. Vastaus: Akkalammikko täyttyy vähä yli 33 tuissa. 6(7)
Tutia alusta Vettä, litraa Puuttuu, l 3, 89, 5 985, 86 5, 3 8 955, 83 44,9 4 9,3 8 89,7 5 4 85,7 77 49,3 6 7 776,5 74 3,5 7 687,6 7 3,4 8 3 584, 68 45,8 9 6 466,3 65 533,7 9 333,9 6 666, 3 87,3 59 8,7 35 6,3 56 973,7 3 37 85, 54 48,8 4 4 66,9 5 338, 5 43 458,6 48 54,4 6 46 4,3 45 758,7 7 49, 4 989,9 8 5 765, 4 34,9 9 54 56, 37 493,8 57 33,7 34 766,3 59 947,5 3 5,5 6 647,8 9 35, 3 65 334,6 6 665,4 4 68 7,9 3 99, 5 7 667,9 33, 6 73 34,5 8 685,5 7 75 947,9 6 5, 8 78 568, 3 43,8 9 8 75,4 84,6 3 83 769,5 8 3,5 3 86 35,6 5 649,4 3 88 98,9 3 8, 33 9 474,3 55,7 34 94 6,9-6,9 7(7)