MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto. maalisuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Idutioperiaate Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O Kombiatoriia ym. Summa-, tulo ja loeroperiaate G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I / 55 Jouot Jouo-opissa perusäsite o eli x A u alio x uuluu jouoo A ja x / A u alio x ei uulu jouoo A. Meritätapoja: A = {, 4, 5, 8} o jouo joa aliot ovat, 4, 5 ja 8 ja B = {4, 5,... 04} o jouo, joa aliot ovat aii ooaisluvut j joille pätee 4 j 04. Usei meritää A = { x B : P(x) } tai A = { x : x B, P(x) } jolloi A: aliot ovat e jouo B aliot joille väite P(x) o tosi. Tyhjä jouo: = {} o tyhjä jouo joho ei uulu yhtää aliota, eli x o aia epätosi. A = B jos pätee, että x A jos ja vai jos x B, eli esimerisi {,,, } = {,, }. Ei-egatiiviset ooaisluvut jouoia: Jos o luu 0 ii { } o luu, {, { }} o luu, {, { }, {, { }}} o luu je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I / 55 Jouo-opi perusmeritöjä Yhdiste tai uioi: x A B jos ja vai jos x A tai x B. Leiaus: x A B jos ja vai jos x A ja x B. Jouoerotus: x A \ B jos ja vai jos x A mutta x / B. Osajouo: A B jos joaie A: alio o myös B: alio. Potessijouo: P(A) o jouo aiie osajouoje muodostama jouo. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Komplemetti: A c = Ω \ A jos A Ω ja o selvää miä Ω o. Yhdiste tai uioi: x j J A j jos ja vai jos x A j jollai j J. Leiaus: x j J A j jos ja vai jos x A j aiilla j J. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I4 / 55 A B A A B B A B A
Huom! Usei irjoitetaa A B: sijasta A B ja silloi irjoitetaa A B u A o B: aito osajouo, eli A B mutta A B. Stadardimeritöjä N 0 = {0,,,,...} o luoolliste luuje (missä 0 o muaa) jouo. Meriällä N taroitetaa josus N 0 ja josus {,,,...} = N 0 \ {0}. Z = {...,,, 0,,,,...} o ooaisluuje jouo. Q = { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaaliluuje jouo. R o reaaliluuje jouo. Misi jouo-oppi ei ole ii ysiertaista ui miltä äyttää? Nii aua u tarasteltavissa jouoissa o vai äärellise mota aliota, ute jouossa {,, 4, 7}, ogelmia ei juuri esiiy mutta lassie vastaesimeri o s. Russelli paradosi: Määritellää A = { x : x / x }. Jos A A ii x / x ei päde u x o A ja A: määritelmä muaa A / A ja olemme saaeet aiaa ristiriida. Jos se sijaa A / A ii ehto x / x o voimassa u x o A jote A A ja taas tulosea o ristiriita. Vastaavalaisia ogelmia sytyy jos saomme Tämä o valhe tai jos puhumme parturista, joa leiaa hiuset aiilta iiltä, jota eivät itse leiaa hiusiaa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I5 / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I6 / 55 Propositiologiia eli lausealyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jota voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a AND b o tosi u a o tosi ja b o tosi Lause a OR b o tosi u a o tosi tai b o tosi (ja myös u molemmat ovat tosia). Lause NOT a o tosi u a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi u (NOT a) OR b o tosi, eli u b o tosi tai a o epätosi. Lause a b u (a b) AND (b a) o tosi. Matemaattisessa logiiassa äytetää yleisesti AND: sijasta, OR: sijasta ja NOT: sijasta. Impliaatio Logiia lause a b ei täysi vastaa joapäiväise ieleäytö jos a ii b osa se o tosi u a o epätosi eiä sillä välttämättä ole mitää teemistä syy-seuraus suhtee assa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I7 / 55 Jouot ja impliaatiot Oloo A = {,,, 4 }, B = { 0,, 4 } ja C = { x : x o ooaisluu }. Mitä seuraavista väitteistä ovat tosia? (a) x A C x B aiilla x? (b) A B C A? (c) O olemassa y C site, ettei päde y B y A? (d) y / B y / A aiilla y C? Vastaus: (a) Kosa A C = {,, 4 } ii pätee A C mutta osa / B ii tämä väite ei päde (ja väite saoo, että A C B). (b) Kosa A mutta / B ii ei päde A B ja äi olle impliaatio A B C A o tosi. (c) Väite y B y A ei päde jos ja vai jos y B ja y / A eli y B \ A = {0} ja 0 / C jote väite o epätosi. (d) Tämä väite o epätosi osa esim. C ja / B mutta A jote / A o epätosi. Toisella G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I8 / 55
Päättelysääöt ja todistuset logiiassa Todistus o lista lauseista joissa joaie lause o joo asiomi (eli oletetaa oleva tosi) tai johdettu aiaisemmistä lauseista päättelysäätöje avulla. Esimerisi s. modus poes eli x x y y o täreä päättelysäätö ja perustuu siihe, että (x AND (x y)) y o tautologia, eli aia tosi riippumatta x: ja y: totuusarvoista. Tämä (ute muuti päättelysääöt) äytetää site, että jos todistuslistassa o jo lauseet a ja a b ii listaa lisätää lause b. Päättelysääöt ja todistuset logiiassa Oloot p ja q asi lausetta. Nyt todistamme, että q o tosi jos p AND (NOT p) o tosi, eli jos oletetaa ristiriitaie väite voidaa todistaa mitä vaa. Päättelysäätöiä äytämme tässä (a) x OR y NOT x y (b) x AND y x (c) x x OR y (d) x AND y y AND x G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. jamaalisuuta esimerejä05 ym., osa I9 / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa0 I / 55 Päättelysääöt ja todistuset logiiassa, jat. Todistus äyttää yt seuraavalaiselta: () p AND (NOT p): Oletus () p: () ja (b) missä x = p ja y = NOT p () p OR q: () ja (c) missä x = p ja y = q (4) (NOT p) AND p: () ja (d) missä x = p ja y = NOT p (5) NOT p: () ja (b) missä x = NOT p ja y = p (6) q: (), (5) ja (a) missä x = p ja y = q. Näi lause q o tullut todistetusi. Prediaattilogiia Lause x P(x) o tosi u P(x) o tosi aiilla x. Lause x P(x) o tosi u o olemassa x site, että P(x) o tosi. Prediaattilogiia o lausealyyli laajeus, jossa operaatiode eli oetiivie (NOT, AND, OR, ja ) lisäsi äytetää uiversaali- ja esistessi vattorit ( aiilla ) ja ( o olemassa ), ja lauseide lisäsi äytetää muuttujia x, y,... ja prediaatteja P, Q,.... Prediaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. P(x), Q(x, y), je., ja prediaatti joide argumettie luumäärä o 0 o lause. Prediaattie lisäsi voidaa äyttää futioita joide arvot uuluvat samaa äsiteltävää aihepiirii ( domai of discourse ) ui muuttujat. Futio, jolla ei ole muuttuja o vaio. Fuiot ja vaiot voidaa esittää prediaattie avulla, mutta se o usei ömpelö vaihtoehto. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55
Prioriteettijärjestys Jos ei äytetä suluja, joilla tietei o orei prioriteetti, ii loogiset oetiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestysessä: Esi NOT, sitte ja, sitte AND ja OR ja lopusi ja. x A ja x A Lauseet x A (P(x)) ja x A (P(x)) ovat lyheteitä lauseista x (x A P(x)), x (x A AND P(x)), ja taroittavat (tietei) että aiilla A: aliolla x pätee P(x) ja o olemassa A: alio x jolla P(x) pätee. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 Negaatio NOT, oetiivit AND ja OR seä vattorit ja Kaiilla lauseilla a ja b pätee NOT (a AND b) (NOT a) OR (NOT b), NOT (a OR b) (NOT a) AND (NOT b), eli esimerisi NOT (a AND b) o tosi täsmällee silloi u NOT a OR NOT b o tosi ja lause NOT (a AND b) NOT a OR NOT b o tautologia osa se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi aiilla prediaateilla P pätee Epäsuora todistus NOT ( x(p(x))) x(not P(x)), NOT ( x(p(x))) x(not P(x)). Lause a b o tosi jos ja vai jos lause NOT b NOT a o tosi ja epäsuorassa todistusessa tehdää vastaoletus, että NOT b o tosi eli että b ei ole tosi ja todistetaa, että NOT a o tosi ja tämä formuloidaa tavallisesti site, että johdetaa tulos joa o ristiriidassa a: assa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55 Esimeri: Potessijouo Oloo P(X ) jouo X osajouoje jouo, eli A P(X ) jos ja vai jos A X. Jos yt X ja Y ovat asi jouoa ii oo toie jouoista P(X ) \ P(Y ) ja P(X \ Y ) toise osajouo? Kosa tyhjä jouo o joaise jouo osajouo ii P(X \ Y ). Samoi P(Y ) jote / P(X ) \ P(Y ). Tästä seuraa, että aia pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ). Jos X = Y ii P(X ) = P(Y ) jote P(X ) \ P(Y ) = P(X \ Y ) = { } osa tyhjä jouo o joaise jouo osajouo. Mutta jos esimerisi X = {0, } ja Y = {0} ii P(X ) \ P(Y ) = {{0, }, {}} mutta X / P(X \ Y ) = {{}, } jote tässä tapausessa P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) Lopputulos o siis että aia pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ) mutta riippuu jouoista X ja Y päteeö P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) vai ei. Järjestety pari oordiaatit Pari [x, y] (tai (x, y)) esimmäie oordiaatti o (tietei) x ja toie o y. Jos pari määritelmäsi otetaa {{a}, {a, b}} ii voidaa määritellä prediaatit E(p, x) ja T (p, y) jota saovat, että x o p: esimmäie oordiaatti ja y o p: toie oordiaatti seuraavalla tavalla: (tai lyhyemmi z p (x z)) ja E(p, x) = z((z p) (x z)) T (p, y) = z((z p) AND (y z)) AND u v ((u p) AND (v p) AND NOT (u == v) NOT (y u) OR NOT (y v)), missä u == v o prediaatti, joa saoo, että u o sama jouo ui v. Lyhyemmi tämä voi esittää muodossa T (p, y) = z p (y z) AND u p v p (NOT (u == v) (y / u) OR (y / v)). G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa6 I / 55
Idutioperiaate Jos P() o väite (joa aiilla 0 o joo tosi tai epätosi) ja P( 0 ) o tosi P( + ) o tosi jos P() o tosi (eli P() P( + ) o tosi) u 0 ii P() o tosi aiilla 0. Josus o tarpee ottaa idutio-oletusesi väite, että P(j) o tosi u 0 j se sijaa että pelästää oletetaa, että P() o tosi. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa7 I / 55 Idutio Osoitamme idutio avulla, että i = + + +... + = i= ( + ),. Väite P() o siis i= i = (+) ja 0 =. Näi olle väite P( 0 ) o sama ui = (+) miä pitää paiasa. Oletamme seuraavasi, että P() o tosi ja. Kosa P() pätee, ii i= i = (+) mistä seuraa, että + i = i= ( + ) i + ( + ) = + ( + ) i= ( ) = ( + ) + ( + )( + ) = = ( + )(( + ) + ), joa taas meritsee sitä, että P( + ) o tosi. Idutioperiaattee ojalla toteamme, että P() pätee aiilla. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa8 I / 55 Karteesie tulo Kahde jouo X ja Y arteesie tulo X Y o jouo joho uuluvat aii järjestetyt parit (a, b) tai [a, b] missä a X ja b Y, eli X Y = { [a, b] : a X ja b Y }. O mota tapaa määritellä järjestettyä paria [a, b] ja usei äytetty tapa o saoa, että [a, b] o jouo {{a}, {a, b}}. Relaatiot Relaatio jouosta X jouoo Y (tai relaatio jouossa X jos Y = X ) o arteesise tulo X Y osajouo. Vero? Vero, eli graafi muodostuu jouosta solmuja ja jouosta iide väilisiä aaria (tai liejä), esim äi: 4 Suuatussa verossa joaisella aarella o lähtösolmu ja ohdesolmu u suutaamattomassa verossa ei tehdä eroa lähtö- ja ohdesolmu välillä. Suuattu vero o järjestetty pari [V, E] (V = vertex, E = edge ) missä V o jouo (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E V V, eli E o relaatio jouossa V. Suutaamato vero o järjestetty pari [V, E] missä V o jouo (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E { {a, b} : a V, b V }. Suutaamato vero voidaa myös ajatella oleva suuattu vero missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa9 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa0 I / 55
Erilaisia relaatioita jouossa X Relaatio W jouossa X o reflesiivie jos [x, x] W aiilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W aiilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W AND [y, z] W [x, z] W aiilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W AND x y [y, x] / W eli [x, y] W AND [y, x] W x = y aiilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W aiilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W OR [y, x] W aiilla x ja y X. evivalessirelaatio jos W o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W reflesiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei irjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y eiä [x, y]. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 Esimeri: Osittaisjärjestys Oloo X joi (ei-tyhjä) jouo ja P(X ) se aiie osajouoje muodostama jouo (eli s. potessijouo). Jouossa P(X ) meillä o relaatio : A B jos ja vai jos A o B: osajouo. Tämä relaatio o osittaisjärjestys osa se o reflesiivie: A A, atisymmetrie: Jos A B ja A B ii o olemassa x B site että x / A jolloi B A, trasitiivie: Jos A B ja B C ii joaie A: alio o B: alio ja osa joaie B: alio o C: alio ii joaie A: alio o C: alio, eli A C. Lisäsi tällä relaatiolla o muitai omiaisuusia ute, että jos A, B P(X ) ii jouoille A ja B löytyy piei yläraja, eli jouo C site, että A C, B C (eli C o yläraja) ja jos A D ja B D ii C D (eli C o piei yläraja). Selvästii C = A B. Vastaavasti löytyy myös suuri ala-raja, joa (tietei) o A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 Evivalessiluoat Jos X o ei-tyhjä jouo ja o evivalessirelaatio jouossa X, eli o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie, ii se jaaa jouo X osajouoihi Y j, j J joita utsutaa evivalessiluoisi site, että j J Y j = X, Y j Y = jos j, a b a ja b uuluvat samaa jouoo Y j. Usei ajatellaa, että asi aliota jota ovat evivalettia, eli iide muodostama pari uuluu relaatioo, ovati samat jolloi jouo X sijasta tarastellaa jouoa { Y j : j J }, joa aliot ovat evivalessiluoat. Esimeri: Evivalessiluoat Jouossa X = { [m, ] : m, Z, 0 } voimme määritellä evivalessirelaatio site, että [m, ] [m, ] jos ja vai jos = m. Nämä evivalessiluoat ovat ratioaaliluvut osa m = m täsmällee silloi u m = m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 Futiot Jos X ja Y ovat jouoja ii futio f : X Y o relaatio jouosta X jouoo Y eli X Y : osajouo site, että joaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y ] f ja [x, y ] f ii y = y. Tavallisesti futio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y = f (x) (vaia xf tms. voisi olla parempi meritätapa jos luetaa vasemmalta oiealle). Toisi saoe, futio f jouosta X jouoo Y o säätö, joa joaisella x X ataa vastausesi ysiäsitteise alio y = f (x) jouosta Y. Jos f : X Y o futio ii X o se määrittely- eli lähtöjouo ja Y o se maalijouo. Y X = { f : f o futio jouosta X jouoo Y }. Jos f : X Y o futio ja A X ii f A : A Y o futio f rajoitettua jouoo A eli relaatioa f A = { [x, y] : [x, y] f, x A }. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55
Aoyymit futiot Voidaa puhua esim. luvusta ilma seaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lauseeesta x + ei ole välttämättä selvää taroitetaao futiota, joa ataa tulosesi argumettisa joho o lisätty vai tämä futio arvo u argumetti o x. Jos taroitetaa futiota eiä se arvoa ii voidaa irjoittaa x x + tai @(x)x+ tai fuctio(x){retur x+;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijetiot, surjetiot ja bijetiot Futio f : X Y o ijetio jos f (x ) = f (x ) x = x aiilla x, x X. surjetio jos aiilla y Y o olemassa x X site, että f (x) = y. bijetio jos se o seä ijetio että surjetio. Evivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijetio jos x x f (x ) f (x ) aiilla x, x X ja f o surjetio jos arvojouo f (X ) = { f (x) : x X } o sama ui maalijouo Y eli f (X ) = Y. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55 Ijetiot ja surjetiot 4 X f a b c d e Y Futio f : X Y o ijetio ( joaisee Y : alioo tulee oreitaa ysi suuattu aari ) mutta se ei ole surjetio osa X :stä ei löydy yhtää aliota x, site, että f (x) = d. Futio g : X Y o surjetio ( joaisee Y : alioo tulee vähitää ysi suuattu aari ) mutta se ei ole ijetio osa g() = g(5) ja 5. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa6 I / 55 4 5 X g a b c d Y Listat, luujoot ja arteesiset tulot futioia Lista [a, b, c, d] o futio f, joa määrittelyjouo o {,,, 4} (tai {0,,, }) site, että f () = a, f () = b, f () = c ja f (4) = d. Luujoo (a ) =0 = (a 0, a, a,...) o futio f, joa määrittelyjouo o N 0 site, että f () = a aiilla N 0. Jos X j o jouo joaisella j J missä J o (toie) jouo ii arteesie tulo j J X j o jouo, joho uuluu täsmällee aii futiot f : J j J X j site, että f (j) X j. Esimeri: Futio, aluuva, ym. Oloo f futio: {,,, 4, 5} {,,, 4, 5} site, että f () =, f () = 4, f () =, f (4) = 4 ja f (5) = 4. Matlab/Octavessa voimme esittää tämä futio vetoria f=[,4,,4,4]. Jos A = {,, 5} ii voimme lasea f (A) = f (A) = { y : y = f (x), x A } omeolla f([,,5]) joa ataa tulosesi [,4,4] joa o tulittava jouoa {, 4}. Jos B = {,, } ii B: aluuva f (B) = { x : f (x) B } = {, } ja voimme lasea tämä omeolla fid(f== f== f==) tai omeolla fid(sum(ff==[,,],)). Huomaa, että riippumatta siitä mite valitsemme jouo B ii aia pätee esimerisi f (B) {} (eli tässä tapausessa f ei ole surjetio) osa jos / B ii / f (B) ja jos B ii {, } f (B). G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa7 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa8 I / 55
Esimeri: Aluuva ja ijetiivisyys Jos f : X Y o surjetio ii f : P(Y ) P(X ) o ijetio missä f (B) = { x X : f (x) B }. Misi? Jos B B ii o olemassa y B site, että y / B tai o olemassa y B site, että y / B. Oletamme yt, että y B mutta y / B. Kosa f o surjetio ii o olemassa x X site, että f (x) = y. Tästä seuraa, että x f (B ) mutta x / f (B ) jote olemme osoittaeet, että jos B B ii f (B ) f (B ) eli f o ijetio. Yhdistetyt futiot ja ääteisfutiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat asi futiota ii h = g f : X Z o futio h(x) = g(f (x)). Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat futioita ii (h g) f = h (g f ) jote tämä futio voidaa myös irjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie futio, että o olemassa futio g : Y X site että (g f )(x) = x ja (f g)(y) = y aiilla x X ja y Y ii f o äätyvä, g o f : ääteisfutio ja ja useimmite irjoitetaa g = f. Futio f : X Y o äätyvä jos ja vai jos se o bijetio. Jos f : X Y o äätyvä ii (f ) = f eli ääteisfutio o myös äätyvä ja se ääteisfutio o f. Huomaa,ettei f ole sama futio ui h(x) = f (x) joa edyllyttää että Y : (tai aiai arvojouo) elemeteillä o ääteeisalioita miä o esim. tilae jouossa R \ {0} mutta ei jouossa Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa9 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa0 I / 55 Ordo eli Iso-O: f O(g) Jos g o futio, joa o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ii f O(g) ertoo että myös f o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ja o olemassa vaioita C ja N site, että f () C g(), N. Tämä meriä äyttö taroittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vaiot C ja N oieasti ovat tai mite pieisi iitä voi valita. Usei irjoitetaa f O(g): sijasta f () = O(g()). Jos O() + O( ) O( ): sijasta irjoitetaa O() + O( ) = O( ) ii pitää muistaa, ettei tästä seuraa O() = 0! Tässä äsitellää ysiertaisuude vuosi vai (tietyillä) ooaisluvuilla märiteltyjä futioita ja samoi tarastellaa aioastaa mitä tapahtuu u mutta se ei ole miteää oleellista. Esimerisi pätee myös x4 x x +x O(x) u x 0. Esimeri: Iso-O Jos f O( ) ja g O( ) ii f g O( 5 ) osa f () C f u N f ja g() C g u N g jote f ()g() C f C g + u max(n f, N g ). Jos f () = ja g() = ii f O( ), g O( ) ja 5 o (tietei?) piei luu p site, että f g O( p ). Mutta jos o piei luu p f site, että f O( p f ) ja o piei luu p g site, että g O( pg ) ii siitä ei välttämättä seuraa, että 5 olisi piei luu p site, että f g O( p ) osa voimme esimerisi valita f () = {, o parito 0, o parillie, ja g() = { 0, o parito, o parillie jolloi f ()g() = 0 aiilla ja f g O( p ) aiilla p Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55
Motao vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joa suuruusjärjestysumero o p jos jouossa o luua? Jos p = (piei luu) tai p = (suuri luu) ii vertailua riittää mutta miä o tilae yleisessä tapausessa? Seuraavasi osoitamme, että jos p ii tarvittavie vertailuje luumäärä uuluu jouoo O(), eli o olemassa vaio C site, että vertailuje luumäärä o oreitaa C emmeä välitä oviaa paljo siitä miä tämä vaio o: Oletamme että tarvitaa oreitaa C vertailua u jouossa o < luua. Jaamme luvut osajouoihi joissa o 5 luua: Ei vertailuja. Määritämme äide osajouoje mediaait: O() vertailua. Määritämme mediaaie mediaai: C( 5 + ) vertailua. Jaamme luvut ahtee jouoo, riippue siitä ovato e suurempia tai pieempiä ui mediaaie mediaai: O() vertailua. Kumpii äistä jouoista sisältää oreitaa ( 5 7 ) + O() = + O() luua! 0 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa I / 55 Motao vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joa suuruusjärjestysumero o p jos jouossa o luua?, jat. Jouoje alioide luumäärie perusteella tiedämme missä jouossa haemamme luu o ellei se ole mediaaie mediaai ja miä se järjestysumero siiä o jote haemme se osajouosta: C 7 0 + CO() vertailua. Olemme äyttäeet O() + 5 C + C + O() + 7 0 C + CO() = 9 C + CO() + O() 0 = 9 0 C + (C + )c 0, vertailua missä c 0 o vaio. Jos 0c 0 voimme järjestää luvut äyttäe log () log (0c 0 ) (0c 0 ) vertailua ja site löytää haemamme luu jote jos valitsemme C 0c 0 jolloi c 0 ii u > 0c 0 eli c 0 < 0 toteamme että 9 0 C + (C + )c 0 9 0 C + 0 C + C = C 0 ja idutiopäättely toimii. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55 0 C Jouo mahtavuus eli alioide luumäärä Kahdella jouolla A ja B o sama luumäärä alioita A ja B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijetio A B. Jouolla A o vähemmä tai yhtä mota aliota ui jouolla B, eli A B, jos o olemassa ijetio A B. Jouolla A o vähemmä alioita ui jouolla B, eli A < B, jos o olemassa ijetio A B mutta ei bijetiota A B. Jos A = {0,,,..., } ii A =. Jouo A o äärellie jos o olemassa ooaisluu site, että A =. Jouo A o umeroituva jos A = N ja yliumeroituva jos A > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijetio {0,,,..., } {0,,,..., m } jos ja vai jos m = ja jos o olemassa ijetioita A B ja B A ii löytyy myös bijetio A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55 Z ja Q N 0 = Z osa f : N 0 Z missä f (0) = 0, f ( ) = ja f () = u o bijetio. N 0 = Q osa voimme ostruoida bijetio seuraavalla tavalla: 0... Jos hyppäämme iide luuje yli, jota jo ovat listalla, ii saamme seuraava bijetio: f (0) = 0, f () =, f () =, f () =, f (4) =, f (5) =, f (6) =, f (7) = 4, f (8) =, f (9) = (eiä = ), f (0) =, f () = (eiä = ), f () = 4, je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa6 I / 55 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5............
Summaperiaate, ysiertaisi muoto Jos A ja B ovat asi (äärellistä) jouoa site, että A B = ii A B = A + B. Tästä seuraa, että jos B A ii A \ B = A B. Tuloperiaate, ysiertaisi muoto Jos A ja B ovat asi (äärellistä) jouoa ii A B = A B. Loero- eli yyhyslaaperiaate Jos m esiettä laitetaa laatioo ii aiai yhdessä m laatiossa o vähitää esiettä! Misi? Jos laatioissa olevie esieide luumäärie masimi o ii m jote m ja osa määritelmä muaa m o piei ooaisluu joa o m ii m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa7 I / 55 Esimeri: Laatioperiaate Oloo S jouo {,,...,, } osajouo site, että S = +. Silloi jouoo S uuluu asi luua eri a ja b site, että a jaaa b: tai päivastoi, (eli a b tai b a). Misi? Voimme esittää S: luvut muodossa j q j missä j 0. q j < ja q j o parito, j =,,..., + ja lisäsi [ i, q i ] [ j, q j ] u i j. Jouossa {,,...,, } o aioastaa paritota luua. Laatioperiaattee muaa o olemassa luvut i j site, että q i = q j jolloi i j. Jos yt i < j ii luu i q i jaaa luvu j q j. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa8 I / 55 Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos A j, j =,,... ovat äärellisiä jouoja ii A A = A + A A A, A A A = A + A + A A A A A j= A j = A A + A A A, ( ) r+ r. A ji r= j <j <...<j r i= Pari epäyhtälöä Oloot A, B ja C olme jouoa. Kosa A B C A B ii A B C A B. Samoi pätee A B C B C ja A B C A C. Kosa (A B) (A C) = A (B C) A ii A (A B) (A C) = A B + A C A B A C, josta seuraa, että A B C A B + A C A. Vaihtamalla A, B ja C eseää saadaa myös epäyhtälöt A B C A B + B C B ja A B C A C + B C C. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa9 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa40 I / 55
Tuloperiaate Jos valita- tai päätösprosessissa o vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätösiä o aiaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos aii valiat johtavat erilaisii lopputulosii, ii aiie vaihtoehtoje luumääräsi tulee... Toisi saoe, jos 4 = 4 C = { (x, x,..., x ) : x A, x A,x,..., x A,x,...,x }, missä A =, joaisella x A pätee A,x = ja yleisesti jos x A, x A,x, x A,x,x je., ii pätee A j,x,x,...,x j = j, j, ii silloi C =.... G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55 Kertoma Jos o positiivie ooaisluu ii Lisäsi 0! =.! =... ( ). Biomierroi Jos ja ovat ooaisluuja site, että 0 ii ( )! =! ( )! jolloi ( ) ( = ). Multiomierroi Jos j 0 u j =,,..., m ja = + +... m ii ( )! =,,..., m!!... m!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55 Järjestetty otos A o jouo jossa o aliota (eli A = ). Jos valitaa aliota jouosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa aliota ei valita mota ertaa jolloi x i x j u i j ii saadaa s. -permutaatio. Näide jooje eli -permutaatioide luumäärä o tuloperiaattee ojalla! ( )... ( + ) = ( )! Jos valitaa aliota jouosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j A u j ii tuloperiaattee ojalla äide jooje luumäärä o A =. Huomaa, että molemmissa tapausissa o oleellista että yseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestysessä aliot valitaa A:sta, o meritystä. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa4 I / 55 Otos palauttamatta u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta A, jossa o aliota, valitaa aliota palauttamatta, eli joaista aliota voidaa valita oreitaa erra, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o ( ) = ( ). Misi? Jos yseie luumäärä o b(, ) ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste luumäärä o b(, )! osa aliota voidaa järjestää joosi! eri tavalla. Näi olle b(, )! =! ( )! jote b(, ) = ( ). G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa44 I / 55
Otos palauttae u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta A, jossa o aliota, valitaa aliota palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o ( ) ( ) + + =, Misi? Oloo A = {x, x,..., x }. Ku valitsemme aliota, palauttae, jouosta A eiä järjestysellä ole meritystä ii voimme esittää tulose esim. äi: miä o tulittava site, että olemme asi ertaa valiet x :, erra x :, ei ertaaaa x :ta, olme ertaa x 4 :, asi erta x 5 : ja olme ertaa x 6 : jote tässä = 6 ja = + + 0 + + + =. Joaie valita vastaa listaa missä o aliota ja erotusmeriä, eli pituus o +, ja valitsemme joosta e paiaa, joihi sijoitamme erotusmerit jolloi aliot sijoitetaa jäljelle jäävii paioihi. Tämä o otos palauttamatta missä valitajärjestysellä ei ole meritystä G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa45 I / 55 Otos palauttamatta, palauttae, valitajärjestysellä meritystä, ei meritystä: Yhteeveto Valitaa aliota jouosta, jossa o aliota: Valitajärjestysellä o meritystä Valitajärjestysellä ei ole meritystä palauttamatta palauttae! (( ) )! ( ) + G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa46 I / 55 Allooitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava palloa :ää umeroituu laatioo. Numeroidut pallot Valitajärjestysellä o meritystä. Idettiset pallot Valitajärjestysellä ei ole meritystä. Joaisee laatioo oreitaa ysi pallo Valita palauttamatta. Joaisee laatioo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Palloje luumäärä laatioissa ei rajoitusia! Numeroidut pallot (( ) )! ( ) + Idettiset pallot Esimeri: Otoset Tetissä valvojat jaavat 50 tehtäväpaperia 60:lle tettijälle. Moellao tavalla tämä o mahdollista? Tässä oletetaa, että tehtäväpaperit ovat idettiset mutta tettijät eivät ole. Esimmäie, järevä, vaihtoehto o että joaiselle tettijälle aetaa oreitaa ysi paperi. Silloi o ysymys siitä moellao tavalla voimme 60 heilö jouosta valita e 50, jota saavat paperi. Tässä o yse valiasta palauttamatta ( ) u ( järjestysellä ) ei ole meritystä, jote 60 60 vaihtoehtoja o = 50 0 Toie, vähemmä järevä, vaihtoehto o, ettei aseteta mitää rajoitusia sille motao paperia sama heilö voi saada. Silloi valvojat valitsevat 50 ertaa tettijä, jolle paperi aetaa, jouosta, jossa o 60 aliota, palauttae eiä valitajärjestysellä ( ole ) meritystä. Vaihtoehtoje 50 + 60 09! luumääräsi tulee silloi = 60 59! 50!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa47 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa48 I / 55
Multiomiertoimet ( )! =,,..., m!!... m! = + +... + m. ( ) o vaihtoehtoje luumäärä u jouo A jaetaa,,..., m osajouoisi A j, j =,..., m site, että m j= A j = A, A i A j = u i j, ja A j = j. ( ) o vaihtoehtoje luumäärärä u järjestetää,,..., m oliota tyyppiä y, tyyppiä y je. missä = + +... + m ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat idettiset. Jos A o jouo, jossa o aliota ja B = {y,..., y m } o jouo, jossa o m aliota ja,,...(, m ovat ei-egatiivisia ) luuja site, että + +... m = ii o iide futioide,,..., m f : A B luumäärä joille pätee { x A : f (x) = y j } = j. Biomi- ja multiomiaavat (x + y) = (x +... + x m ) = j=0 ( ) x j y j, j ( +...+ m= j 0,,..., m ) x... x m m. Misi? ( Biomiaava o erioistapaus multiomiaavasta osa ) ( j = j, j) ja multiomiaava pätee osa (x +... + x m ) voidaa irjoittaa summaa jossa o m termiä jota ovat tyyppiä y y... y missä joaie y i {x, x,..., x m }. Joaie muotoa x... x m m termi sytyy siitä, että jouo {,..., } jaetaa osajouoihi A j, j =,..., m site että i A j jos ja vai jos y i = x j jolloi siis A j = j. Tällaisia ositusia o täsmällee ( ),,..., m appaletta. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa49 I / 55 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa50 I / 55 Futioide luumäärät Oletetaa, että A = m ja B =. Futiode A B luumäärä o B A = m. Misi? Futio f : A B o järjestetty m-ooie otos palauttae jouosta jossa o aliota. Ijetioide A B luumäärä o! ( )... ( m + ) = ( m)!, m. Misi? Ijetio A B o järjestetty m-ooie otos palauttamatta jouosta jossa o aliota. ( ) Surjetioide A B luumäärä o ( ) m. =0 Osajouoje luumäärä: P(A) = A Jos jouossa A o m aliota ii jouossa P(A) o m aliota, eli A: osajouoje luumäärä o A osa joaista osajouoa B vastaa futio f B : A {0, } site, että f B (x) = jos x B ja muute 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55 Surjetioide A B luumäärä u A = m ja B = Oloo B = {b, b,..., b }, F = B A aiie futioide A B jouo ja F j = (B \ {b j }) A F aiie futioide A : B \ {b j } jouo eli iide F : alioide f jouo joille pätee, että f (x) b j aiilla x A. Surjetioide jouo o site F \ j= F j. Nyt F j F j... F jr o jouo (B \ {b j, b j,... b jr }) A joho uuluvat aii futiot A B jota eivät saa arvoja b j,..., b jr. Jos j <... < j r ii F j F j... F jr = ( r) m. Kosa o ( r) eri tapaa valita idesit j <... < j r ii seulaperiaatteesta seuraa, että surjetioide A B luumäärä o ( ( ) m ( ) )( r+ r) m = r r= ( ( ) r = r=0 ) ( r) m =0 Huomaa, että u m < ei ole surjetioita A B jote silloi r=0 ( ) r ( r) r m = 0, miä ehä ei ole aiva ilmeistä. ( ) ( ) m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55
Misi ( =0 ) ( ) m = 0 u m <? Biomiaava ojalla pätee ( e t ) ( ) = e t ( ), jote jos f (t) = ( e t ) ii f (m) (t) = =0 =0 ( ) e t ( ) m ja f (m) (0) = =0 ( ) ( ) m. Seuraavasi osoitamme, että f () (t) = (e t ) p (e t ) u 0 missä p o polyomi. Tämä pätee selvästii u = 0 jolloi p 0 (x) = ja jos f () (t) = (e t ) p (e t ) ja < ii f (+) (t) = ( )(e t ) e t p (e t ) + (e t ) p (et )e t = (e t ) p + (e t ), missä p + (x) = ( )xp (x) + (x )xp (x) o myös polyomi. Nyt voimme todeta, että jos m < ii f (m) (0) = (e 0 ) m p m (0) = 0 ja väite seuraa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa5 I / 55 Esimeri Motao erilaista sellaista viide peliorti riviä (ormaalista 5 orti paasta) o olemassa, jossa esiityy täsmällee asi uigatarta? Valitsemme esi( e) asi paiaa, joihi uigattaret tulevat. 5 Vaihtoehtoja o = 0. Sitte valitsemme uigattaret äihi paioihi ja yt vaihtoehtoje luumäärä o 4 = osa o otettava huomioo missä järjestysessä e tulevat. Lopusi valitsemme muut olme orttia 48: orti jouosta jolloi vaihtoehtoje luumääräsi tulee 48 47 46 = 0776 Tuloperiaattee ojalla erilaiste rivie luumääräsi tulee 0 0 776 = 45 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa54 I / 55 Moellao tavalla voidaa sijoittaa idettistä palloa :ää idettisee laatioo? Oloo A(, ) tämä luumäärä. Kosa voimme sijoittaa 0 palloa :ee laatioo vai yhdellä tavalla ii A(, ) = u 0. Jos = 0 ii aii laatiot ovat tyhjiä ja meillä o vai ysi vaihtoehto eli A(0, ) = aiilla. Oleta yt, että ja. Oloo j (j 0) palloje luumäärä siiä laatiossa missä o vähite palloja. Eri j: arvoilla saadaa varmasti erilaisia vaihtoehtoja. Nyt sijoitamme esi j palloa joaisee laatioo ja se jälee jäljellä olevat j palloa iihi :ee laatioo joissa voi olla eemmä u j palloa ja tämä o mahdollista A( j, ):llä eri tavalla. Jos j > ii j < 0, jote reursioyhtälösi tulee A(, ) = A( j, ). j=0 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto. maalisuuta ja esimerejä 05 ym., osa55 I / 55