Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin) Jtkoss oletetetn, että[, b] on suljettu väli j f ko välillä inkin jtkuv, jolloin f on myös Riemnn-integroituv (Luse IX71) Jtkoss setetn integroitvlle funktiolle voimkkmpikin säännöllisyysvtimuksi Numeerisen integroinnin lgoritmeill trkoitetn yleensä nk numeerisi kvdrtuurej (ti kvdrtuurisääntöjä, engl qudrture rule), joiss integrli pproksimoidn äärellisenä summn muoto f(x)dx N w i f(x i ) (1) Tässä pisteitä x i, i = 1N (yleensä x i [,b]) snotn kvdrtuuripisteiksi j lukuj w i kvdrtuuripinoiksi Kvdrtuuripisteitä j -pinoj vlittess integroimisväli jetn usein ensin osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n (eli menetellään smoin kuin integrlin määrittelyssä lunperin) Tällöin integrlin dditiivisuuden nojll on I(f,,b) = f(x)dx = i=1 n k=1 xk x k 1 f(x)dx = n I k (2) Jos integroitv funktio on säännöllinen j osvälit [x k 1,x k ] riittävän lyhyitä, voidn osintegrlit I k = xk x k 1 f(x)dx lske likimäärin käyttämällä suhteellisen yksinkertist kvdrtuuri muoto (1), missä = x k 1 j b = x k Perustn kvdrtuurin yksinkertistumiselle lyhyellä välillä on Tylorin luse, jonk mukn säännöllinen funktio on likimin (mtl-steinen) polynomi lyhyellä välillä (ks Luku VIII4) Numeerisen integroinnin virhetrkstelujen lähtöjtuksen onkin juuri vertilu polynomeihin Jtkoss jtelln väli [, b] lkuperäisen integroimisvälin lyhyeksi osväliksi j f ko välillä (riittävän) säännölliseksi Tällisten lähtöoletusten vllitess yksinkertisimmt numeeriset kvdrtuurit ovt Kvdrtuuri trkoitt kirjimellisesti neliöimistä Termi viitt integrlin j pint-ln väliseen yhteyteen k=1 581
IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Keskipistesääntö: Puolisuunnikssääntö: Simpsonin sääntö: f(x)dx (b )f( +b 2 ) f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)] f(x)dx 1 [ 6 (b ) f()+4f( +b ] 2 )+f(b) Näistä etenkin Simpsonin sääntö (osväleillä käytettynä) on lskinten j tietokoneiden yleisesti käyttämä numeerisen integroinnin menetelmä Puolisuunnikssääntöön viittn usein myös nimellä trpetsi Nimensä mukisesti sääntö nt integrlin rvoksi puolisuunnikkn (trpetsin) pint-ln A: y y = f(x) A b x Kun ym sääntöjä käytetään osväleillä hjotelmss (2), niin tuloksen on lkuperäisen integrlin pproksimtio muoto (1) Snotn tällöin, että kyseessä on yhdistetty (engl composite) kvdrtuuri Esimerkiksi yhdistetty keskipistesääntö on kvdrtuuri muoto (1), missä vlitn x i = 1 2 (x i 1 +x i ), w i = x i x i 1, i = 1n = N Yhdistetty keskipistesääntö on siis eräs integrli pproksimoivist Riemnnin summist Suorn Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist tämä on yleensä trkin (ks virherviot jäljempänä) Simpsonin sääntö on numeerisen integroinnin klssikko, jot on iknn käytetty pljon käsinlskusskin Säännön keksi englntilinen mtemtikko Thoms Simpson (1710-1761) 582
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Jos hjotelmss (2) jko on tsvälinen j merkitään h = x k x k 1, f k = f(x k ), niin yhdistetty puolisuunnikssääntö s muodon [ 1 f(x)dx h 2 f 0 +f 1 + +f n 1 + 1 ] 2 f n j yhdistetty Simpsonin sääntö muodon f(x)dx h 6 [f 0 +4f 1 +2f 2 + +2f n 2 +4f n 1 +f n ] Yhdistetyssä Simpsonin säännössä jok toinen kvdrtuuripiste on osvälijon jkopiste j jok toinen (suurimmll pinokertoimell vrustettu) on osvälin keskipiste Esimerkki 1 Kun integrli 1 0 xe x2 /(x+1)dx pproksimoidn käyttäen tsvälistä yhdistettyä trpetsi j Simpsoni, sdn seurvt tulokset: pisteitä Trpetsi Simpson 3 017578506065833 020372346078015 21 020230210857337 020256800959472 201 020256528212086 020256794027440 2001 020256791368608 020256794026753 Tässä Simpson on trpetsi selvästi nopempi Tämä on odotettviss, kosk integroitv funktio on sileä, ks virherviot jäljempänä Esimerkki 2 Sm vertilusetelm kuin edellisessä esimerkissä Lsketn integrli 1 Tulokset ovt tässä tpuksess: 0 e x /( x+1)dx pisteitä Trpetsi Simpson 3 047363365 043418824 21 040741212 040604377 201 040520890 040516458 2001 040513820 040513679 583
IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Konvergenssi on nyt selvästi hitmp edellisessä esimerkissä, eikä eri menetelmillä ole tässä merkittävää ero Syynä on ilmeisesti se, että integroitv funktio on vähemmän säännöllinen kuin edellisessä esimerkissä (jtkuv, mutt ei jtkuvsti derivoituv integroimisvälillä) Em esimerkeissä on merkille pntv, että kun Esimerkin 2 integrliss tehdään sijoitus x = t, on tuloksen Esimerkin 1 integrli (kertoimell 2) Sijoitus siis knntt tässä tehdä, vikk se ei muuten (suljetuss muodoss integroimisen knnlt) tee tehtävää helpommksi Myös osittisintegroinnill, srjkehitelmillä ym voi usein mnipuloid tehtävää niin, että integroitvst funktiost tulee säännöllisempi, jolloin numeerisen integroinnin menetelmät toimivt premmin Virhervioist Osvälijkoon perustuvn yhdistetyn kvdrtuurin virhe rvioidn ensin erikseen kullkin osvälillä Trkstelln jtkoss edellä esitettyä kolme esimerkkiä: Keskipistesääntö, Trpetsi j Simpson Arvioitess virhettä yksittäisellä osvälillä on ensimmäisenä tehtävänä tutki, kuink korke-steisille polynomeille kvdrtuuri on trkk, ts on määrättävä indeksi m siten, että kvdrtuuri on trkk polynomille stett n täsmälleen kun n m Minituiss esimerkkitpuksiss on tulos seurv: Sääntö Trkk polynomeille stett Keskipistesääntö m = 1 Trpetsi m = 1 Simpson m = 3 Aloitetn keskipistesäännöstä Oletetetn, että integroitv funktio f on trksteltvll (os)välillä [, b] khdesti jtkuvsti derivoituv Merkitään c = ( + b)/2 j käytetään integroimisvirheelle symboli E(f) : E(f) = f(x)dx (b )f(c) Integroimisvirheen rvioiminen perustuu khteen perushvintoon: Ensinnäkin nähdään, että pätee E(f +g) = E(f)+E(g) (3) 584
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi (Yleisemmin E(f) on linerinen f:n suhteen, eli E(αf +βg) = αe(f)+βe(g), α,β R) Toinen perushvinto on em tulukkoon perustuv: f(x) = A+Bx (A,B R) E(f) = 0 (4) Olkoon nyt p(x) = T 1 (x,c) = f:n ensimmäisen steen Tylorin polynomi pisteessä c, eli p(x) = f(c)+f (c)(x c) Tällöin on hvintojen (3) (4) perusteell, j kosk (f p)(c) = 0, E(f) = E(f p+p) = E(f p)+e(p) = E(f p) = Tylorin luseen (Luse VIII43) perusteell on f(x) p(x) = 1 2 f (ξ)(x c) 2 = f (ξ)ω(x), x [,b], missä ξ = ξ(x) (,b) Tässä on ω(x) = 1 2 (x c)2 0, joten jos M 1 = min x [,b] f (x), M 2 = mx x [,b] f (x), (f p)(x)dx niin jolloin M 1 ω(x) (f p)(x) M 2 ω(x), x [,b], M 1 ω(x)dx 1 24 M 1(b ) 3 Siis jollkin η [M 1,M 2 ] pätee (f p)(x)dx M 2 ω(x) dx (f p)(x)dx 1 24 M 2(b ) 3 E(f) = η 24 (b )3 Kosk f on jtkuv välillä [,b], niin M 1 = f (x 1 ) j M 2 = f (x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b] (Luse V111), jolloin η = f (ξ) jollkin ξ [,b] (Luse V19) Keskipistesäännölle on näin johdettu virhekv E(f) = 1 24 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Keskipistesääntö) 585
IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Trpetsin tpuksess voidn virhekv joht vstvn tpn Tässä tpuksess on vertilupolynomiksi p kuitenkin vlittv Tylorin polynomin sijst ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) (ks Luku VIII7) Virhekvksi sdn (Hrjteht 5) E(f) = 1 12 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Trpetsi) Keskipistesäännön j trpetsin virhekvoist nähdään, että jos f (x) > 0 integroimisvälillä (eli jos f on ylöspäin kuper), niin keskipistesääntö nt integrlille liin pienen j trpetsi liin suuren rvon Em virhenlyysin perusteell ilmiön voi selittää niin, että keskipistesääntö integroi oikein f:n Tylorin polynomin T 1 (x,c), kun ts trpetsi integroi oikein f:n interpoltiopolynomin, vrt kuvio y Trpetsi Keskipistesääntö c b x Myös Simpsonin säännölle voidn joht virhekv smntyyppisellä päättelyllä kuin edellä Oletten, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b], sdn virhekvksi (ks Hrjteht 10) E(f) = 1 90 h5 f (4) (ξ), h = (b )/2, ξ [,b] (Simpson) Em virhekvoist voidn edelleen joht virhervioit yhdistetyille kvdrtuureille Rjoitutn tässä tsväliseen jkoon, eli oletetn, väli [, b] jetuksi osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n, missä x k x k 1 = h = (b )/n k Olkoon integroitv funktio f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b], j olkoon M 1 j M 2 f :n minimi- j mksimirvot välillä [,b] Tällöin jos E k (f) = keskipistesäännön integrointivirhe osvälillä [x k 1,x k ], niin em virhekvn perusteell 1 24 M 1h 3 E k (f) 1 24 M 2h 3 Summeermll j huomioimll, että nh = b sdn kokonisvirheelle E(f) = n k=1 E k(f) rviot 1 24 (b )M 1h 2 E(f) 1 24 (b )M 2h 2 586
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Tässä on M 1 = f(x 1 ), M 2 = f(x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b], joten päädytään välirvomuotoiseen virhekvn kuten edellä Tsvälisen trpetsin j Simpsonin tpuksess menetellään vstvsti, jolloin tuloksen ovt seurvt virhekvt: Tsvälinen, yhdistetty kp-sääntö: E(f) = 1 24 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty trpetsi: E(f) = 1 12 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty Simpson: E(f) = 1 180 (b )f(4) (ξ)h 4 Tässä on kikiss tpuksiss ξ [, b], j h on lähimpien kvdrtuuripisteiden väli, eli joko h = osvälin pituus (keskipistesääntö, trpetsi), ti h = osvälin pituus/2 (Simpson) Muun kuin tsvälisen jon tpuksess voidn em yhdistettyjen kvdrtuurien virhe rvioid muodoss E(f), missä oikell puolell on ±f (k) (ξ):n sijst f (k) (x) :n mksimirvo välillä [,b] j h on peräkkäisten kvdrtuuripisteiden suurin väli Yleisesti jos osvälijkoon perustuvn yhdistetyn numeerisen kvdrtuurin virhe on suuruusluokk O(h r ) (integroitvn funktion f olless riittävän säännöllinen), mutt ei luokk O(h r+1 ) (vikk f olisi kuink säännölinen), niin snotn, että ko menetelmän (trkkuuden) kertluku (engl order of ccurcy) on r Kuten em virhetrkstelust voi päätellä, on yleisesti r = m +1, jos numeerinen kvdrtuuri integroi osväleillä trksti polynomin stett m mutt ei polynomi stett m+1 Yhdistetty keskipistesääntö j trpetsi ovt siis toisen kertluvun menetelmiä, j yhdistetyn Simpsonin kertluku on r = 4 Esimerkkejä ensimmäisen kertluvun menetelmistä ovt Riemnnin summkvt, joiss kvdrtuuripisteet (eli välipisteet ξ k, vrt Luku IX4) eivät ole osvälien keskipisteitä (ks Hrjteht 7) Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist yhdistetty keskipistesääntö on siis trkkuutens puolest omss luokssn *Adptiivinen integrointi Lskimiss j numeeris symbolisiss tietokoneohjelmistoiss numeerisen integroinnin komentojen (esim Mthemtic: NIntegrte) tkn on usein yhdistetty Simpson, mhdollisesti myös korkemmn kertluvun yhdistettyjä kvdrtuurej Jko osväleihin ei näissä ohjelmiss yleensä suoritet tsvälisesti, vn integroitvn funktioon sopeutuen dptiivisesti Adptiivisen Simpsonin menetelmän iden on selvittää nuuskimll, kuink suuri on integroitvn funktion 587
IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk neljäs derivtt f (4) (x) trksteltvll osvälillä [x k 1,x k ] Perusjtus on yksinkertinen: Jos osväli on lyhyt (niinkuin lskun kuluess ennen pitkää on), niin voidn olett, että f (4) (x) on ko välillä likimin vkio = M k Tällöin vkio M k sdn selville tulkitsemll itse lgoritmin ntmi tuloksi posteriori (eli lskemisen jälkeen) seurvsti: Sovelletn ensin Simpsonin sääntöä välillä [x k 1,x k ] tulos I 1 Jetn sitten väli puoliksi j sovelletn Simpsonin sääntöä kummllkin osvälillä erikseen tulos I 2 Jos nyt integrlin trkk rvo = I välillä [x k 1,x k ], niin Simpsonin virhekvn mukn { I I 1 = 1 M 90 kh 5, I I 2 = 1 M ) 5 M k = 96h 90 k 2 (h 5 (I 1 I 2 ), h = 1(x 2 k x k 1 ) 2 Todellisuudess f (4) ei ole ivn vkio edes lyhyellä välillä (jos olisi, stisiin myös integrlin trkk rvo I selville!), mutt stu rvio on yleensä dptiivisiin trkoituksiin riittävä: Sen vull voidn ohjt lgoritmi tihentämään jko siellä, missä lskun ntm luku M k on itseisrvoltn suuri Algoritmi pyrkii trkemmin tihentämään jko niin, että virhetiheys, eli integroimisvirhe osvälillä jettun osvälin pituudell, on suunnilleen sm jokisell osvälillä (Tällinen jko on osoitettviss lskutyön knnlt optimliseksi) Adptiivinen lgoritmi toimii käytännössä hämmästyttävän hyvin myös useimmiss sellisiss tilnteiss, joiss funktio ei ole linkn niin säännöllinen kuin em lskuss oletetn (eli neljä kert jtkuvsti derivoituv) Näin käy vikkp Esimerkin 2 integroimistehtävässä, joss integroitv funktio ei ole edes jtkuvsti derivoituv (f(x) 1 x origon lähellä) Lskemll lukuj M k ym tvll lgoritmi päätyy tihentämään jko voimkksti origon lähellä (kuten pitää!) j pystyy tämän koneälyn nsiost lskemn integrlin rvon vditull trkkuudell lähes yhtä nopesti kuin Esimerkin 1 tilnteess (!) Minittkoon, että jos käytetään tsvälistä jko, niin sekä yhdistetyn Simpsonin että yhdistetyn trpetsin virhe on Esimerkissä 2 suuruusluokk O(h 3/2 ) (vrt numeeriset tulokset ko esimerkissä sekä Hrjteht 8) 588 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1 Integrli 1 f(x)dx lsketn yhdistetyllä, tsvälisellä trpetsill jkmll integroimisväli n osväliin Lske näin sdun likirvon virhe trks- 0 ti, kun ) f(x) = x(1 x), b) f(x) = e x 2 Lske integrlille 1 0 (x2 +1) 1 dx likirvo käyttämällä 11 pisteen yhdistettyä, tsvälistä Simpsonin sääntöä (5 osväliä) j vert trkkn rvoon
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi 3 Näytä, että Simpsonin sääntö on sm kuin pproksimtio f(x)dx p(x) dx, missä p on toisen steen (interpoltio)polynomi, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b) j p(c) = f(c), c = (+b)/2 4 Numeerisen integroinnin nk korjttu trpetsikv on f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)]+β(b )2 [f (b) f ()], missä β vlitn niin, että kv on trkk polynomeille stett m = 3 Mikä on β:n rvo? Millinen on korjttu trpetsikv vstv yhdistetty kvdrtuuri, jos jko osväleihin on tsvälinen? 5 Olkoon f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b] j g = f p, missä p on ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) Näytä osittin integroimll, että pätee 1 2 (x )(b x)g (x)dx = g(x) dx Johd puolisuunnikssäännön virhekv tästä tuloksest 6 Todist Simpsonin säännön virhekv siinä tpuksess, että f (4) on vkio integroimisvälillä (eli f on polynomi stett 4) 7 Integrlin pproksimoiminen Riemnnin summll, joss välipisteiksi osväleillä [x k 1,x] vlitn ξ k = x k 1, vst osväleillä tehtyä pproksimtiot f(x)dx (b )f() Johd tälle virhekv E(f) = 1 2 (b )2 f (ξ), ξ [,b] Mikä on virhekv koko välillä, jos jko osväleihin on tsvälinen? 8 Integrlille 1 0 xdx lsketn kksi likirvo jkmll integroimisväli h:n pituisiin osväleihin (tsvälinen jko) j käyttämällä yhdistettyä Trpetsi j Simpsoni ) Lske kummsskin tpuksess integrointivirhe trksti osvälillä [0, h] b) Päättele, että yhdistetyn kvdrtuurin virhe on molemmiss tpuksiss vähintään suuruusluokk O(h 3/2 ) (Virhe on myös todellisuudess tätä suuruusluokk) 589
IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk 9 (*) (Arkhimedeen jäljillä) Suor S leikk prbelin K : y = x 2 pisteissä (, 2 ) j (b,b 2 ), jolloin suor erott prbelist segmentin A välillä [,b] ( < b) Olkoon A n segmentin pint-ln µ(a) likirvo, jok sdn jkmll väli [,b] tsvälisesti 2 n osväliin (n N) j käyttämällä yhdistettyä trpetsi Näytä pelkin lgebrn keinoin, että jono {A n } on geometrinen srj Lske µ(a) (= lim n A n ) tällä perusteell 10 (*) Johd Simpsonin virhekv käyttäen Luseen VIII74 tulost j kolmnnen steen vertilupolynomi p, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b), p(c) = f(c) j p (c) = f (c), missä c = ( + b)/2 Oletetn, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b] 11 (*) Trkstelln integrlin f(x)dx lskemist dptiivisell, yhdistetyllä Simpsonin kvdrtuurill oletten, että f on neljästi jtkuvsti deri- voituv integroimisvälillä Jos f (4) :n rvo vihtelee ko välillä suuresti, niin dptiivinen lgoritmi päätyy jkmn integroimisvälin hyvin eripituisiin osväleihin [x k 1,x k ] Kosk f (4) on kuitenkin jtkuv, voidn olett, että vierekkäisten osvälien pituudet eivät kovin pljon poikke toisistn Tällöin on määriteltävissä lähimpien kvdrtuuripisteiden välimtk kuvv, välillä [,b] jtkuv funktio h(x) siten, että osväleillä [x k 1,x k ] pätee h(x) x k x k 1, trkemmin C 1 (x k x k 1 ) h(x) C 2 (x k x k 1 ), x [x k 1,x k ], missä C 1 j C 2 ovt vkioit ) Näytä, että tehdyin oletuksin kvdrtuuripisteiden kokonismäärä n (johon lskutyö on verrnnollinen) on suuruusluokk n 1 h(x) dx b) Päättele, että jos f (4) on jokisell osvälillä likimin vkio (näin on, jos jko on riittävän tiheä), niin integroimisvirhe koko välillä [, b] on suuruusluokk E(f) ρ(x)dx, ρ(x) = 1 180 [h(x)]4 f (4) (x) c) Olkoon lskettv integrli 1 0 e x dx, missä [1, ) Jos virhetolernssiksi setetn ε = 10 8, niin mitä suuruusluokk on trvittv kvdrtuuripisteiden lukumäärä n (j siis lskutyö) prmetrin funktion, kun h(x) = h = vkio (tsvälinen jko)? d) Adptiivinen integroij päätyy c-kohdn integrliss utomttisesti selliseen kvdrtuuripisteiden sijoitteluun, että virhetiheys ρ(x) em virhekvss on likimin vkio j kokonisvirheen itseisrvo ε Arvioi n prmetrin funktion tällisess optimlisess kvdrtuuriss 590