Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen osväliin [,] j [,]; [, ]. Funktion f(x) = x Riemnnin summ vsemmlt S v pisteen funktion: S v () = (funktion rvo osvälin luss) (osvälin pituus) osvälit = f()( ) + f()( ) = + Trkstelln pisteen vikutust summn rvoon. Arvot välin päätepisteissä: S v () = + Derivtt j sen nollkoht: =, S v () = + = S v() = S v() = = S v ( ) =.88 = S v,min Vsen summ s siis minimirvons kohdss =. Summ oikelt S o : S o () = (funktion rvo osvälin lopuss) (osvälin pituus) osvälit = f()( ) + f()( ) = + Äärirvotrkstelu smoin kuin edellä: S o () =, S o() = S o() = = = S o ( ) =.586 = S o,mx Oike summ s siis mksimirvons kohdss =.
Summ keskeltä S k : S k () = (funktion rvo osvälin keskipisteessä) (osvälin pituus) osvälit = f( + = = Äärirvotrkstelu: + )( ) + f( )( ) ( ) + + ( + )( + ) ( ) + S k () = 3, S k() = 3 S k() + 8 = ( + ) ( + ) = = S k ( ) = + 3.686 = S k,mx Keskisumm s siis mksimirvons kohdss =. Vertmll rvoj S v,min, S o,mx j S k,mx trkkn rvoon ln.693 nähdään, että kukin summ on trkimmilln, kun =. Johdntotehtävä +x = rctn(x) = π/, joten π:tä voidn pproksimoid hyödyntämällä kyseistä integrli. Osvälien määrä n = 8; pisteet x k = k/n, k =,,..., 8 x k = (, 8, 8,..., ); lkupiste = x = ; päätepiste b = x 8 = ; osvälien pituus h = (b )/n = 8 ; funktion rvot y k = f(x k ) =. +x k Puolisuunnikssääntö välin [,b] yli: T n [f(x);, b] = h(y + y +... + y n + y n ) T 8 [f(x);, ] = 6 (y + y +... + y 7 + y 8 ).787 Virheen ylärj puolisuunnikssäännölle: E mx = K(b )3 n b f(x)dx T n
K on ylärj f (x) :lle välillä [,b] = [,]. Kosk toinen derivtt on muoto f (x) = 6x ( + x ) 3, sdn numeerisesti kokeilemll selville rvo K =, jost edelleen virheen lukurvoksi E mx =.6 3 n Trkk virhe: π.787 6.98 Vertisrviointi 3 Funktio f(x) = x kuv puoliympyrää, jonk säde on : Geometrisesti sdn neljäsosympyrän lksi π( ) = π = A+B. Kosk A =, sdn B = π. Tehtävännnon integrlin rvoksi sdn siis x = A + B = π +. Puolisuunnikssäännöllä neljällä osvälillä (menettely smoin kuin johdntotehtävässä ) integrlin pproksimtioksi sdn I.8, jolloin virheen ylärj on. j trkk virhe on.5. 3
Vertisrviointi Tehtävän integrli + x dx = π hyödyntämällä sdn π = rcsin(). Lukurvoss on neljä desimli oikein ilmn pyöristystä (jotkuinkin) silloin, kun virheen ylärj E mx 6. Kosk integrli kerrotn khdell, on myös virhe kksinkertinen. Esimerkiksi puolisuunnikssääntöä käyttämällä j tehtävän rvoill ( =, b =, K = ) virheeksi sdn E mx = K(b )3 n = n 6, jost sdn ylöspäin kokonislukuun pyöristettynä n 578, eli trvitn vähintään 578 osväliä, jott virheen ylärj olisi trpeeksi pieni neljän desimlin oikein smiseksi. Lskemll integrlin numeerisesti (esim. Mtlbill) huomtn, että puolisuunniksmenetelmällä sdn neljä desimli oikein, kun n 3. Pieni osvälien määrä johtuu tässä tpuksess siitä, että pproksimtion trkentuess (osvälien määrän ksvess) integrlin trkk rvo lähestytään lpuolelt (trkk rvo.577963).
Johdntotehtävä 5 x 3 x + 5dx = x + 5 x 3 dx Tp : Tehdään sijoitus u = x + 5 Rtkistn du dx:n suhteen derivoimll u:t x:n suhteen (vihtoehtoisesti voidn rtkist x yhtälöstä u = x + 5 j lske derivtt dx du ): du dx = x3 x 3 dx = du Sijoitetn integrliin x 3 dx:n piklle du j (x + 5):n piklle u: x u + 5 x 3 dx = du Integroidn: u du = u du = 3 u 3 + C = 6 u 3 + C Siirrytään tkisin muuttujn x eli sijoitetn u:n piklle (x + 5): 6 u 3 + C = 6 (x + 5) 3 + C x 3 x + 5dx = 6 (x + 5) 3 + C. Tp : Hyödynnetään ketjusääntöä - muoktn ensin integrli seurvn muotoon: x + 5 x 3 dx = x + 5 x 3 dx Nyt huomtn, että integrli on muoto f(g(x)) g (x)dx, joss ulkofunktio on f(x) = x, sisäfunktio g(x) = x + 5 j sisäfunktion derivtt g (x) = x 3. Lisäksi ulkofunktion integrlifunktio on F (x) = 3 x 3. Ketjusäännön mukn d dx [F (g(x))] = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) 5
Tästä sdn suorn ylläolev muoto olevlle integrlille kv: f(g(x)) g (x)dx = F (g(x)) + C Soveltmll tehtävään sdn x 3 x + 5dx = x + 5 x 3 dx = 3 (x + 5) 3 + C Johdntotehtävä 6 Tp : π/ Tehdään sijoitus u = tn θ Rtkistn du: = 6 (x + 5) 3 + C. tn 3 θ cos θ dθ = Sijoitetn u, du integrliin: π/ tn 3 θ cos θ dθ du dθ = d [ ] tn θ = dθ cos θ du = cos θ dθ π/ Vihdetn integrointirjt: tn 3 θ cos θ dθ = u u u = tn θ = tn = u = tn θ = tn π/ = u 3 du Integroidn: Tp : u 3 du = u =. Merkitään g(θ) = tn θ, jolloin g (θ) = on muoto π/ g(θ) 3 g (θ)dθ = cos θ π/. Nyt huomtn, että integrli f(g(θ)) g (θ)dθ, joss f(θ) = θ 3, jonk integrlifunktio on F (θ) = θ. 6
Ketjusääntöä hyödyntämällä sdn π/ f(g(θ)) g (θ)dθ = F (g(θ)) π/ π/ tn 3 θ cos θ dθ = tn θ π/ =. Vertisrviointi 7 + x dx Tehdään sijoitus u = + x Rtkistn x: u = + x x = (u ) Rtkistn dx derivoimll u:n suhteen muuttuj x: dx du = d [ (u ) ] = (u ) du dx = (u )du Sijoitetn u, dx integrliin j integroidn: + u x dx = (u )du = u (u )du = u 3 u du = ( 5 u 5 3 u 3 ) + C = 5 u 3 5 (u 3 ) + C Siirrytään tkisin muuttujn x sijoittmll u = + x: 5 u 3 5 (u 3 ) + C = 5 ( + x) 3 5 (( + x) 3 ) + C + x dx = 5 ( + x) 3 ( x 3 ) + C. 7
Vertisrviointi 8 ) x x + dx dt = + = t t t x = t t = x dx dt = t dx = t dt t dt = + t( + t ) dt = t dt = t t + t( + t ) dt t + t dt Integrliss yhdistetty funktio j sisäfunktion derivtt hyödynnetään ketjusääntöä j integroidn ulkofunktio (x x ): t( + t ) dt = ( + t ) + C Tkisinsijoitus t = x : ( + + t ) x + C = = ( + t ) + C + C = x + x x x + + C = + C x x x + dx = x + + C x 8
b) dx dt = x = tn t cos t dx = cos t dt cos t tn t tn t + dt = sin t cos t cos t ( sin t cos t + ) dt = 3 sin t ( sin t cos t + ) sin t cos t + = sin t cos t + cos t cos t = sin t + cos t cos = t cos t = cos t sin t cos t dt = cos t sin t dt = (sin t) cos tdt Integrliss yhdistetty funktio j sisäfunktion derivtt hyödynnetään ketjusääntöä j integroidn ulkofunktio (x x ): (sin t) cos tdt = (sin t) + C = sin t + C Siirrytään tkisin muuttujn x: ( x ) x = tn t t = rctn sin t + C = sin (rctn (x/)) + C = x + + C. ( ) x ( ) tn θ = x θ = rctn x x sin θ = = sin (rctn (x/)) x + 9