TIEA241 Automaatit ja kieliopit

Transkriptio

1 TIEA241 Automtit j kieliopit Antti Vlmri Jyväskylän yliopisto Informtioteknologin tiedekunt Symoleit 1 1 Johdnto 4 2 Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 10 3 Yhteysriippumttomt kieliopit 87 4 Lskettvuus j Turingin koneet Lopuksi 141 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut 2018 sisällysluettelo 0/144

2 Symoleit Aritmetiikk ndivm osmäärä, kun n jetn m:llä kokonislukujkon nmodm jkojäännös, kun n jetn m:llä kokonislukujkon Logiikk ϕ ξ ϕ:stä päätellään ξ; jos ϕ on tott, niin myös ξ on tott (mutt ei välttämättä toisinpäin) ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ on tott jos j vin jos ξ on tott looginen j, sekä ϕ että ξ ovt tott looginen ti, ϕ ti ξ ti molemmt ovt tott ξ looginen ei, ξ ei ole tott x A : ξ ξ on tott jokisell x:n rvoll joukost A x A : ξ ξ on tott inkin yhdellä x:n rvoll joukost A x : ξ x : ξ x;ϕ : ξ x;ϕ : ξ kuten edellä, mutt A oletetn tunnetuksi siyhteydestä kuten edellä, mutt A oletetn tunnetuksi siyhteydestä ξ on tott jokisell x:n rvoll, jok toteutt ehdon ϕ ξ on tott inkin yhdellä x:n rvoll, jok toteutt ehdon ϕ (oikess reunss) todistuksen loppu osoittv merkki AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut 2018 Symoleit 1/144

3 Joukko-oppi {2,3,5} joukko, jonk lkiot ovt 2, 3 j 5 tyhjä joukko eli joukko, joss ei ole yhtään lkiot {x ϕ} niiden lkioiden x joukko, jotk toteuttvt ehdon ϕ A lkio kuuluu joukkoon A / A lkio ei kuulu joukkoon A A B osjoukko, jokinen A:n lkio kuuluu myös B:hen A B ito osjoukko, A B mutt A B A B unioni, joukko joss ovt sekä A:n lkiot että B:n lkiot (eikä muut) A B leikkus, joukko joss ovt A:n j B:n yhteiset lkiot (eikä muut) A\B joukko, joss ovt ne A:n lkiot jotk eivät ole B:ssä (eikä muut) A B tulojoukko, niiden prien (, ) joukko joille A j B A B funktio joukolt A joukolle B A B 18 osittinen funktio joukolt A joukolle B A joukon A lkioiden määrä A = ilmoitt, että joukko A on ääretön A 20 joukost A muodostettvien merkkijonojen joukko A + 20 joukost A muodostettvien epätyhjien merkkijonojen joukko AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut 2018 Symoleit 2/144

4 Merkkijonot, kielet j utomtit ε 12 tyhjä merkkijono eli merkkijono, joss ei ole yhtään merkkiä σ 19 merkkijonon σ pituus eli merkkien määrä q =σ q 20 tilst q on polku tiln q merkkijonoll σ L(X) 21, 51 utomtin X hyväksymä kieli σ 1 K 35 kielen K loppuos σ:n jälkeen σ n 52 σ toistettun n kert Lukujoukot Z N Z + = {..., 2, 1,0,1,2,...} kokonisluvut = {0,1,2,...} luonnolliset luvut = {1,2,3,...} positiiviset kokonisluvut Q rtionliluvut eli luvut, jotk voidn esittää muodoss n, missä n Z j m Z+ m positiiviset rtionliluvut Q + Tämän esityksen käyttö opiskeluun j opetukseen on sllittu seurvin ehdoin: on käytettävä in uusint stvill olev versiot riittää ldt uusin versio lukukuden luss esitystä ei nnet eteenpäin, vn nnetn linkki siihen lähde on minittv AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut 2018 Symoleit 3/144

5 1 Johdnto Kurssill käydään läpi tärkeimmät utomttisen lskennn rjoj j mhdollisuuksi koskevt mtemttiset tulokset yleissivistystä, jonk kikki muutkin tietävät tyypillisesti os syvällisiä ohjelmointipinotteisi tutkintoj monien uudempien tulosten perust esim. rinnkkisuuden teoriss smnkltisi jttelutpoj käytetään muisskin sioiss tietojenkäsittelyssä helpott ln kehityksen seurmist os sioist erityisen sopivi loogis-mtemttisen jttelutvn hrjoittelemiseen joillkin tuloksill on suuri käytännön merkitys erityisesti ohjelmointi- yms. kielten käsittelyssä rtkottess vikeit tehtäviä tietokoneell monill tuloksill on suuri filosofinen merkitys tietokoneen universlisuus (Church Turingin teesi) tietokoneen peritteelliset rjoitukset läheinen yhteys mtemttiseen logiikkn j mtemtiikn filosofiseen perustn tekoälyn mhdollisuuksien j rjoitusten pohdint yritykset ymmärtää luonnollist älyä mukn on myös vähemmän tärkeitä sioit mm. esimerkkeinä j hvinnollistjin AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 4/144

6 Lskennn teoriss on hyvin pitkälti kyse siitä mitä äärettömiä joukkoj voi ilmist äärellisin keinoin mitä niille voi tehdä (esim. jäsenyystesti, unioni) j kuink nopesti Käsiteltäviä sioit äärelliset utomtit yksinkertinen, heikko lskennn mlli melko tärkeä ohjelmointi- yms. kielten käsittelyssä smnkltinen käsite tilkone on erittäin tärkeä mm. tietoliikenneprotokolliss yhteysriippumttomt kieliopit keskivoimks lskennn mlli tärkeä hierrkkisten rkenteiden käsittelyssä erittäin tärkeä ohjelmointi- yms. kielten käsittelyssä jokseenkin sm si kuin BNF eli Bckus Nur Formt Turingin koneet j lskettvuuden rjt voimkkin tunnettu relistinen lskennn mlli tvllisen tietokoneen mtemttinen vstine lskettvuuden rjt ovt tärkeitä mm. tekoälyn knnlt sekä filosofisesti Chomskyn hierrki ym. kolme lskennn mlli sekä yhteysherkät kieliopit suku ohjelmointikielten nelitsomllille, jok utt hhmottmn ohjelmointikieliin liittyviä sioit AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 5/144

7 NP-täydelliset tehtävät ostn rtkist tietokoneell, mutt usein vin tolkuttomn hitsti mukn pljon käytännössä tärkeitä, kuten jkelureitin suunnitteluun liittyviä tärkeä ymmärtää, kun hlutn tehdä vikeit sioit tietokoneell on olemss pljon muitkin smnkltisi vtivuusluokki Kirjllisuus ihepiiristä on lukuisi kirjoj esim. Kiner, Smith: Theory of Computing: A Gentle Introduction englnninkielinen Wikipedi on näissä sioiss vrsin pätevä j luotettv netistä löytyy joistkin iheist opetusvideoit yms. eri lähteissä on eroj merkinnöissä yms. yksityiskohdiss vikeutt muun ineiston hyödyntämistä tvoitteen on, että tämä luentoesitys olisi helpompi ymmärtää kuin kirjt yms. Tvoitteen on myös opiskell mtemttist luku- j jttelutito yleensä erityisesti ohjelmoinniss hyödyllisen mtemtiikn oslt siellä täällä kerrotn, miten ti miksi jokin on tpn mtemtiikss korostetn päättelyitä j syitä, miksi jokin si pätee yleensä hyödyllisintä ei ole tietää lopputulost, vn ymmärtää sen perustelut AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 6/144

8 hrjoitelln kvojen käyttöä vrsinkin luksi mukn on snllinen ilmus vrmistmss ymmärtämistä snllisill ilmuksill on tipumust oll pitkiä j epätrkkoj jotkin sit voi ilmist kunnoll vin kvoill in tuken ei ole snllist ilmust älä jättäydy snllisten ilmusten vrn, vn opettele lukemn kvoj mtemtiikss on tpn käyttää snllisten ilmusten j kvojen sekkieltä trkk tieto vrmistetn kvoill kvojen jtkuv tulkint on rsittv mtemtikoillekin sioille nnetn hvinnollisi nimiä j symoleit, j käytetään niitä niiden merkitys ei kuitenkn ole yleiskielen mukinen, vn hyvin jämpti pisteen P ympäristössä... trkoitt esim. on olemss r > 0 siten, että jokiselle pisteelle P, jonk etäisyys P:stä on lle r... tehtävä on rtkemton trkoitt jokiselle lgoritmille A on olemss syöte siten, että ko. syötteellä A vst väärin ti lskee ikuisesti odottkps kun näette mitä kieli trkoitt tällä kurssill! vrsinkin lkuviheess on usein yhtäik mont eri suuntiin vievää si, joist trvitsee kerto vrn on rönsyily j tärkeimmän jtuksen ktominen muiden tkse joskus tärkeitä sioit jätetään kertomtt heti, mutt niihin pltn en tiedä kirjoj tms., joiss yritettäisiin opett mtemttist luku- j jttelutito tällä tvll AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 7/144

9 Esityksessä käytettävä värikoodus erityisen tärkeitä sioit on osoitettu keltisell tustll opiskele inkin ne usein niiden ymmärtäminen edellyttää myös ympäröiviä sioit himmeänkeltinen tust osoitt keskitärkeitä sioit rvosnoihin 3, 4 j 5 tähtääville rvosnn 5 tähtäävän knntt opiskell myös korostmttomt sit tärkeitä mutt muun perusteell ilmeisiä sioit ei ole osoitettu väritustll johtopäätöksiä yms. tärkeää on korostettu violeteill vinoill kirjimill määriteltävä sn ti käsite on vhvennettun sinisellä ei välttämättä tärkeä, ktso tustn ti ympäröivän tekstin väri esimerkeissä käytetään usein ruske esimerkkejä ei kysytä tentissä, vikk olisivt mustllkin esimerkit ovt vin sioiden ymmärtämisen tueksi jokin si on osoitettu hyväksi ti huonoksi vihreällä ti punisell hrmll kirjoitettu pitkää osuutt ei vrmsti kysytä tentissä hrmt käytetään, kun si muuten näyttäisi tentissä kysyttävältä lyhyt hrm osuus voi oll tärkeä esim. rönsy AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 8/144

10 Pri neuvo Älä keskity yksityiskohtien ulkoopetteluun, vn niiden tustll olevien peritteiden ymmärtämiseen! tehtäviä tehdään siksi, että opittisiin jtkoss tärkeitä titoj ti sioit! tehtävän ihe voi oll ihn turh, mutt oppimistvoite ei ole jos luff lkuviheen tehtävissä, niin loppuviheen tehtävistä tulee ylivoimisi tentin (ti hrjoituksen) jälkeen voin unoht on huono senne AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Johdnto 9/144

11 2 Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 2.1 Deterministiset äärelliset utomtit Deterministinen äärellinen utomtti koostuu viidenlisist osist tilt (sttes) epätyhjä äärellinen joukko tilojen nimet voidn jättää kuviss pois kkosto (lphet) {0, 1, 2} äärellinen joukko 0 1 kret eli tilsiirtymät (trnsitions) 2 kri lk tilst, päättyy tiln j on nimetty yhdellä kkosell smst tilst lähtee smll kkosell korkeintn yksi kri käytämme useimmiten sn kri, kosk tilsiirtymä on pitkä sn lkutil (initil stte) ti yksi til lopputilt (finl sttes) eli hyväksymistilt (ccepting sttes) noll ti usempi tiloj Englnniksi deterministic finite utomton lyhenne DFA AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 10/144

12 DFA:n tehtävä on hyväksyä (ccept) j hylätä (reject) kkostost muodostettuj merkkijonoj (string) loitetn lkutilst j kuljetn merkkijonon ohjmn lkutilss vlitn kri merkkijonon ensimmäisen merkin mukn seurvss tilss vlitn kri merkkijonon toisen merkin mukn jne. kunnes sopiv krt ei ole ti merkkijono loppuu jos vuoross olevlle merkille ei ole krt, niin merkkijono hylätään kun merkkijono loppuu, niin jos olln lopputilss, niin merkkijono hyväksytään jos olln muuss kuin lopputilss, niin merkkijono hylätään kuvn DFA hyväksyy mm. 0, 12, 120, 201 j kuvn DFA hylkää mm. 1, 012 j 122 Kksi esimerkkiä 2 DFA, jok hyväksyy kikki merkkijonot kkostost {0, 1, 2} DFA, jok hylkää kikki merkkijonot kkostost {0, 1, 2} 0 1 Akkosto ei in käy kuvst ilmi sisältää inkin kuvn kriss esiintyvät nimet voi sisältää muutkin, jottei trvitsisi lisätä kri keinotekoisesti minittv trvittess erikseen AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 11/144 1

13 Hvintoj jos lopputiloj ei ole, niin DFA hylkää kikki merkkijonot 1 0 jos tiln ei ole polku lkutilst, niin til on turh jos tilst ei ole polku lopputiln eikä til ole lkutil, niin til on turh DFA:ll on in oltv lkutil inkin yksi merkkijono hyväksytään lkutilst on polku lopputiln jos kkosto on tyhjä joukko, niin kri ei voi oll turhien tilojen poiston jälkeen DFA on joko Tyhjä merkkijono se merkkijono, joss ei ole yhtään merkkiä se merkkijono, jonk hyväksyy (olip kkosto mikä thns) merkitään symolill ε merkitseminen kirjoittmll 0 merkkiä (siis ei mitään) iheuttisi seknnust ei olisi trpeen, jos merkkijonot rjt osoitettisiin esim. linusmerkeillä : ε ei ole kkostoon kuuluv merkki, vn keino ilmist merkkijono, joss ei ole yhtään merkkiä on eri si hyväksyä ε 1 1 kuin hyväksyä ei mitään {1} ti 1 {ε} 1 {ε,1} AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 12/144

14 Äärellinen j ääretön joukko joukko on kokoelm lkioit, jotk voivt oll melkein mitä vin Viikonpäivät = {mnnti, tiisti, keskiv., torsti, perjnti, lunti, sunnunti} Suomen_suurpedot = {krhu, ilves, susi, hm} Suomen_pussieläimet = (tyhjä joukko) Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} Alkuluvut = {n Z n > 1 i Z : j Z : i > 1 j > 1 n = ij} lkion ylimääräisillä esiintymillä ei ole merkitystä esim. {krhu, ilves, susi} = {krhu, ilves, krhu, susi, ilves, krhu} lkioiden luettelointijärjestyksellä ei ole merkitystä esim. {krhu, ilves, susi, hm} = {hm, ilves, krhu, susi} joukko on ääretön, jos j vin jos yritys luetteloid se ei vlmistu koskn esim. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24, yleensä tunnist siitä, että mikään lkio ei ole viimeinen esim. mikään luonnollinen luku n ei ole viimeinen, kosk n+1 on suurempi tämä kriteeri toimii vin lueteltess normlisti vsemmlt lken, vrt. negtiiviset kokonisluvut Z = {..., 3, 2, 1} äärettömässä joukoss voi oll suurin lkio, esim. {..., 1 3, 1 2, 1 1 } joukko on äärellinen, jos j vin jos se ei ole ääretön voidn (inkin peritteess) luetell kokonn, jos ik j til riittää esim. Viikonpäivät, Suomen_suurpedot j {n N n } myös on äärellinen, vikk siinä ei ole viimeistä lkiot AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 13/144

15 Kolme pistettä... edust jotkin, jot ei void ti jkset kirjoitt uki j jok lukijn on helppo rvt esim. {0, 1,..., 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} esim. {..., 3, 2, 1} negtiiviset kokonisluvut esim. 1 2 n merkkijono, joss on n merkkiä, missä n voi vihdell voi trkoitt äärellistä ti ääretöntä määrää lkioit esim. {0, 1,..., 9} esim. {..., 3, 2, 1} Äärellinen j ääretön merkkijono merkkijono on äärellinen määrä kkoston merkkejä peräkkäin lk vsemmlt j loppuu oikelle esim. kkostost {,,..., ö}: koir, koirnputki, h, ε ääretön merkkijono on ääretön määrä kkoston merkkejä peräkkäin lk vsemmlt mutt ei lopu esim. kkk, toistotoisto ei void ilmist ilmn kolme pistettä ti muut epäsuor keino useimpien relilukujen desimliesitykset ovt äärettömiä merkkijonoj tällä kurssill käytetään äärettömiä merkkijonoj hyvin vähän äärellinen merkkijono on sm kuin merkkijono AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 14/144

16 Kieli muodollisten kielten teoriss kielen määritelmä on tyrmäävän yksinkertinen: kieli on joukko merkkijonoj määritelmän mukn kieli trkoitt vin merkkijonojen jko sisä- j ulkopuolisiin esim. Koir on hieno eläin! kuuluu suomenkieleen esim. Qwerty uiop sd? ei kuulu suomenkieleen määritelmä ei siis yritäkään tvoitt kielen ilmisujen merkitystä, esim. computer vs. dtmskin vs. tietokone kieliopillisi rkenteit, esim. if ( ehto ) luse else luse monimutkisempi ilmiöitä tutkitn muill käsitteillä esim. BNF:llä (myöhemmin tällä kurssill) voi esittää kieliopillisi rkenteit ennen kuin mennään monimutkisempiin ilmiöihin, on hyvä kyetä erottmn ne merkkijonot, jotk esittävät jotin, niistä jotk eivät esitä mitään tyrmäävän yksinkertinen kielen käsitteemme trvitn lähtökohdksi muulle ehkä yllättäen, kuuluu / ei kuulu kieleen onkin vike si! jokist kyllä/ei-kysymystä vst kieli: ne merkkijonot, joille vstus on kyllä esim. Alkuluvut = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... } esim. Tentin_tehtävän_1_täyden_pistemäärän_tuottvt_vstukset tätä näkökulm käytetään pljon lskettvuuden teoriss syöte on in viime kädessä merkkijono esim. onko syöte lkuluku kuuluuko syöte kieleen Alkuluvut AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 15/144

17 Äärettömien joukkojen ilmiseminen on mhdollist vin epäsuorsti ei void luetteloid kikki lkioit! joskus on helppo kuvt ääretön kieli snllisesti esim. Prilliset = ne numerojonot, jotk loppuvt 0, 2, 4, 6 ti 8 0 x x y x z logiikn keinoin voidn ilmist esim. luonnollisten lukujen äärettömiä osjoukkoj esim. Prilliset = {n k : n = 2k} esim. Alkuluvut = {n n > 1 i : j : i > 1 j > 1 n = ij} kun ilmisujärjestelmä on sovittu, on ilmisu äärellinen merkkijono esim. äärellinen suomenkielinen teksti x: 1, 3, 5, 7, 9 esim. äärellinen logiikn kv y: 2, 4, 6, 8 yritys kirjoitt ääretön teksti ti kv ei vlmistu koskn! z: 0, 2, 4, 6, 8 kun ilmisujärjestelmä on sovittu, useimmille kielille ei ole minkäänlist ilmust! kieliä on ylinumeroituv määrä äärellisiä merkkijonoj on vin numeroituv määrä mikään keino ei pysty esittämään kikki kieliä Äärelliset utomtit ovt helppo keino, jok pystyy ilmisemn vin vähän kieliä helppo kätevä silloin, kun niiden ilmisuvoim riittää äärelliset utomtit pystyvät ilmisemn joitkin hyödyllisiä äärettömiä kieliä myöhemmin käsittelemme ilmisuvoimisempi, mutt vikempi keinoj z AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 16/144

18 Deterministisen äärellisen utomtin mtemttinen määritelmä DFA on viisikko (Q, Σ, δ, ˆq, F), missä Q on äärellinen joukko Σ on äärellinen joukko siten, että ε / Σ δ on osittinen funktio Q Σ Q ˆq Q F Q Huomutuksi q 1 q q q 3 1 q 4 Q on tilojen joukko, j sen lkioit snotn tiloiksi vditn äärellisyys, kosk puhumme äärellisistä utomteist tilt piirretään yksin- ti kksinkertisin ympyröinä ikisemmin snottiin erikseen, että Q eli Q ei ole tyhjä joukko sitä ei trvitse sno erikseen, kosk ˆq Q tk sen esimerkissä Q = {q 0,q 1,q 2,q 3,q 4 } tilojen nimet trvitn vin pun, kertomn mistä kri lk jne. voidn jättää kuvist pois Σ on kkosto, j sen lkioit snotn merkeiksi ti kkosiksi myös sen on oltv äärellinen jollei kuvn yhteydessä ole snottu kkosto, se koostuu kuvss esiintyvistä merkeistä esimerkissä Σ = {0,1,2} 0 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 17/144

19 δ on osittinen tilsiirtymäfunktio δ : Q Σ Q trkoitt, että δ ott tiln j kkosen δ : Q Σ Q trkoitt, että δ tuott tiln ti ei mitään esimerkissä δ(q 0,0) = q 1, δ(q 0,1) = q 3 j δ(q 0,2) = q 2 δ(q 1,0), δ(q 1,1) j δ(q 1,2) eivät ole määriteltyjä eli eivät tuot mitään δ(q 2,0) = q 2, δ(q 2,1) = q 4 j δ(q 2,2) = q 3 kri eli tilsiirtymä on kolmikko (q,,q ) siten, että δ(q,) on määritelty j on q piirretään nuolen q q = δ(q,) määrittelemätöntä δ(q, ) ei piirretä kri on enintään Q Σ kpplett: jokisest tilst jokisell kkosell kri on vin äärellinen määrä esimerkissä Q = 5, Σ = 3 j δ = 12 määrittelemättä on loput = 3 tpust smst tilst smll nimellä piirretään enintään yksi kri ˆq on lkutil jokin til osoitetn kuviss tyhjästä lkvll nuolell F on lopputilojen eli hyväksymistilojen joukko s oll, Q ti mitä thns siltä väliltä (jos on, niin hyväksytty kieli on tyhjä) on äärellinen, kosk Q on äärellinen piirretään kksinkertisin ympyröinä q 1 q q q 3 1 q 4 0 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 18/144

20 trvittess käytetään yläpilkku, indeksejä tms. erottmn eri DFA:t toisistn esim. (Q,Σ,δ,ˆq,F ) j (Q 1,Σ 1,δ 1,ˆq 1,F 1 ) Merkeistä j merkkijonoist merkitsemme merkkejä pienillä kkosjärjestyksen lkupään kirjimill,, c jne. kuten lähes in, voidn käyttää yläpilkku, lindeksiä jne. esim., 2 merkitsemme merkkijonoj khdell tvll: merkkien jonoin, esim. 1 2 n pienillä kreikklisill kirjimill σ, ρ jne. yli opisto tutkinto merkitsemme merkkijonon σ pituutt σ 1 n = n esim. koir = 5, h = 1 j ε = 0 yliopisto merkkejä j merkkijonoj s litt peräkkäin, j merkitys on ilmeinen esim. jos σ = koir j ρ = koppi, niin σnρ = koirnkoppi in σε = εσ = σ in σρ = σ + ρ opistotutkinto yliopistotutkinto in (σρ)β = σ(ρβ) esim. jos σ = yli, ρ = opisto j β = tutkinto, niin (σρ) = σρ = yliopisto, (ρβ) = ρβ = opistotutkinto, j (σρ)β = yliopistotutkinto = σ(ρβ) kosk näin on, yleensä jätetään sulut pois eli kirjoitetn σρβ AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 19/144

21 Merkkijonojen joukkoj A on kikkien joukost A muodostettviss olevien merkkijonojen joukko esim. {,} = {ε,,,,,,,,,,,,,,,...} esim. = {ε} A + on kikkien joukost A muodostettviss olevien epätyhjien merkkijonojen joukko esim. {,} + = {,,,,,,,,,,,,,,...} esim. + = A + = A \{ε} j A = A + {ε} q Krist muodostuvt polut q q =σ q trkoitt, että tilst q on polku tiln q siten, että sen krien nimien jono on σ 2 q 1 esimerkissä mm. q 0 =1 q 3 j q 0 =20122 q 3 0 q 3 1 q 4 0 jokiselle q Q pätee q =ε q q = q jos j vin jos δ(q,) on määritelty j δ(q,) = q q = 1 n q missä n > 1 jos j vin jos on olemss q 1 siten, että q = 1 q 1 j q 1 = 2 n q kun q j σ on vlittu, DFA:ss on korkeintn yksi q siten, että q =σ q deterministinen trkoitt tätä myöhemmin tutustumme NFA:hn, j siellä niitä voi oll mont polkumerkintöjä s ketjutt q =σ q =ρ q 1 =β q 2 trkoitt, että q =σ q, q =ρ q 1 j q 1 =β q 2 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 20/

22 q =σρ q q : q =σ q =ρ q q = 1 n q jos j vin jos on olemss q 0,..., q n siten, että q = q 0 q 0 = 1 q 1 = 2 q 2 = 3... = n q n q n = q DFA:n D = (Q, Σ, δ, ˆq, F) hyväksymän kielen määritelmä L(D) = {σ Σ q F : ˆq =σ q} niiden D:n kkostost muodostettviss olevien merkkijonojen joukko, joille on olemss polku, jok lk lkutilst j päättyy johonkin lopputiln, j jonk vrrelt poimittujen merkkien jono on ko. merkkijono ts. D hyväksyy σ:n jos j vin jos lkutilst lkv, σ:n ohjm kulkeminen päättyy johonkin lopputiln ei ktke kesken siksi, että vuoross olev merkkiä vstv krt ei ole ei pääty muuhun kuin lopputiln D 1 c D 2 esimerkkejä kkostoll {,, c} c L(D 1 ) = {,, c} L(D 2 ) = {, c} + L(D 3 ) = {,,, c, c, c} L(D 4 ) = {ε,,, c, c} D 3 c D 4 c c AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 21/144

23 Helppo j hvinnollinen luse tämän luseen todistus knntt ymmärtää läpikotisin! helppo esimerkki jttelutvst, jok toistuu jtkoss usesti L(D) on ääretön, jos j vin jos on olemss σ L(D) siten, että σ Q suomeksi: D hyväksyy äärettömän mont eri merkkijono, jos j vin jos se hyväksyy yhdenkin trpeeksi pitkän merkkijonon tässä trpeeksi pitkä trkoitt, että pituus on vähintään D:n tilojen määrä luse ei ole keltisell tustll, kosk sitä ei knnt muist ulko nyt tvoitteen ei ole oppi ko. väittämää vn syyt, miksi se pätee väitteen muoto möhköfntti jos j vin jos tärppä todistmisess on kksi vihett: todistetn, että jos möhköfntti niin tärppä todistetn, että jos tärppä niin möhköfntti Todistmme ensin, että σ L(D) : σ Q L(D) = ts. jos on olemss σ L(D) siten, että σ Q, niin L(D) on ääretön oletmme, että on olemss σ jok täyttää ym. ehdot, j todistmme, että L(D) on ääretön olkoon k = σ eli σ:n pituus k Q voimme merkitä σ = 1 2 k AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 22/144

24 meillä on lup merkitä näin, kosk k, 1,..., k eivät vielä ole vrttu muuhun käyttöön vlintmme on σ:n rkenteen mukinen (k merkkiä peräkkäin) nnmme vin uusi, iemmin vpit nimiä vnhoille sioille merkitsemme q 0 = ˆq, kosk se helpott jtkoss sllittu, kosk q 0 ei vielä ole vrttu muuhun käyttöön kosk σ L(D), niin on olemss q 1,..., q k siten, että ˆq = q 0 = 1 q 1 = 2... = k q k j q k on lopputil suomeksi: on olemss polku lkutilst lopputiln, jonk nimien jono on σ tämä tulee suorn siitä mitä L(D) määriteltiin trkoittmn sllittu, kosk q 1,..., q n eivät vielä ole vrttu muuhun käyttöön ym. polull on k +1 til: q 0, q 1, q 2,..., q k tiloj on kikkin tätä vähemmän, kosk Q k < k +1 inkin khden ym. tiloist täytyy oll sm til ts. on olemss i j j siten, että 0 i < j k j q i = q j ym. polun os q i = i+1 q i+1 = i+2... = j q j muodost silmukn, jonk pituus on inkin 1 sen pituus on j i kosk j > i, pätee j i = 8 4 = lkutilst voidn kulke lopputiln myös siten, että ym. silmukk kierretään khdesti ti kolmesti ti miten mont kert thns AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 23/144

25 hyväksytään seurvt merkkijonot 1 i i+1 j i+1 j j+1 k pituus on k +(j i) 1 i i+1 j i+1 j i+1 j j+1 k pituus on k +2(j i)... hyväksytään äärettömän mont toinen toistn pitempää merkkijono Todistmme sitten, että L(D) = σ L(D) : σ Q ts. jos L(D) on ääretön, niin on olemss σ L(D) siten, että σ Q erilisi merkkijonoj, joiden pituus on 0, on 1 kpl, nimittäin ε erilisi merkkijonoj, joiden pituus on 1, on Σ kpl, nimittäin kukin merkki yksinään erilisi merkkijonoj, joiden pituus on i, on Σ i kpl kukin i merkistä voi sd Σ eri rvo erilisi merkkijonoj, joiden pituus on lle Q, on Σ 0 + Σ Σ Q 1 kpl osisimme tuon lskekin, mutt nyt riittää hvinto, että se on äärellinen σ L(D) : σ < Q L(D) < ts. jos jokinen L(D):n lkio on pituudeltn lle Q, niin L(D) on äärellinen tämä on sm väite kuin mikä piti todist, mutt ilmistun nurinpäin Mtemtiikss on tpn muotoill tulokset täsmällisiksi, selvästi rjtuiksi luseiksi: Luse 2.1 Olkoon D DFA. L(D) on ääretön, jos j vin jos on olemss σ L(D) siten, että σ Q. AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 24/144

26 Pikkertus miksi luse 2.1 pätee jos DFA:n hyväksymässä kielessä on trpeeksi pitkä merkkijono σ, niin σ:n hyväksyvä polku toist väkisin jonkin tiln poluss on silmukk kulkemll muuten sm polku mutt kiertämällä silmukk usesti sdn loputtomsti toinen toistn pitempiä merkkijonoj jos kkosto on äärellinen, niin mitä thns nnettu rj lyhyempiä merkkijonoj on vin äärellinen määrä DFA:n kkosto on äärellinen jos DFA:n hyväksymä kieli on ääretön, niin siinä on loputtomsti toinen toistn pitempiä merkkijonoj Tilsiirtymäfunktion täydentäminen toisinn hlutn, että δ on täysi funktio jokisest tilst lähtee kri jokisell kkosell ts. δ(q,) on määritelty jokisell q Q j Σ trvittess tämä sdn helposti voimn kielen muuttumtt lisätään yksi uusi til q lisätään kri q = q eli setetn δ(q,) = q jokiselle Σ lisätään kri q = q eli setetn δ(q,) = q jokiselle q j, joille δ(q,) oli määrittelemättä tämä ksvtt tilojen määrää vin yhdellä c c c c AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 25/144

27 se voi ksvtt krien määrää pljon juuri siksi sllimme δ:n olevn osittinen Kielen komplementointi DFA on helppo muunt siten, että hylätyt merkkijonot muuttuvt hyväksytyiksi j päinvstoin 1. trvittess tilsiirtymäfunktio täydennetään 2. muutetn lopputilt ei-lopputiloiksi j päinvstoin 3. hluttess poistetn turht tilt j kret ne, jotk eivät ole millään lkutilst lopputiln vievällä polull lkutil ei kuitenkn koskn ole turh eikä sitä poistet Mtemtiikss on tpn ilmist käyttöön otettvien snojen j symolien merkitykset täsmällisesti otmme esimerkin vuoksi käyttöön täsmällisen merkityksen snlle turh Määritelmä DFA:n til on turh, jos j vin jos se ei ole lkutil eikä millään lkutilst lopputiln johtvll polull. tästä eteenpäin snll turh ei ole sen yleiskielen mukist merkitystä, vn nimenomn tämän määritelmän mukinen merkitys kvn q ˆq σ Σ : ρ Σ : q F : ˆq =σ q =ρ q jos tilsiirtymäfunktion täydentämisessä luotiin uusi til, niin se on turh 1 0 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 26/144

28 2.2 Determinististen äärellisten utomttien minimointi Tässä lluvuss rtkistn hyvin tehokksti (mutt ei helposti) kksi vike tehtävää: hyväksyvätkö kksi DFA:t smn vi eri kielen? mikä on pienin DFA, jok hyväksyy smn kielen kuin nnettu DFA? edellinen tehtävä rtke tämän sivutuotteen pienin DFA tulee osoittutumn yksikäsitteiseksi Minimoitv DFA on koko lluvun jn D = (Q, Σ, δ, ˆq, F) Apukäsite: tiln hyväksymä kieli jos q Q, niin L(q) = {σ Σ q F : q =σ q } tiln ˆq hyväksymä kieli on sm kuin koko DFA:n hyväksymä kieli vrt. L(D) sivult 21: L(D) = {σ Σ q F : ˆq =σ q} Apukäsite: siirtymä tilst kkosell tiljoukkoon olkoot q Q, Σ j B Q q = B trkoitt, että q B : q = q AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 27/144

29 Minimointilgoritmin vihe 1: turhien tilojen poisto jokinen til poistetn, jolle pätee toinen ti molemmt seurvist: lkutilst ei ole polku siihen til ei ole lkutil j siitä ei ole polku lopputiln onnistuu tvllisill grfilgoritmeill jss O( Q + δ ) (esim. leveyteen ensin) emme käsittele tässä tämän trkemmin tästä eteenpäin D = (Q, Σ, δ, ˆq, F) on viheen 1 lopputulos jos D on, niin koko minimointitehtävä on vlmis hyväksyy tyhjän joukon on vrmsti pienin mhdollinen! muuss tpuksess q Q : σ Σ : ρ Σ : q F : ˆq =σ q =ρ q ts. jokinen jäljellä olev til on jollkin lkutilst lopputiln vievällä polull voimme jtkoss olett näin, kosk vstkkinen tpus on loppuun käsitelty inkin yksi lopputil on jäljellä Minimointilgoritmin vihe 2: lkujko jos myös ei-lopputiloj on jäljellä, tilt ryhmitetään khdeksi lohkoksi (lock): lopputilt j muut tilt muuss tpuksess muodostetn yksi lohko: lopputilt vrmistimme, että jokisess lohkoss on inkin yksi til pidämme siitä huolt jtkosskin AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 28/144

30 vrmistimme myös, että jos kksi til on eri lohkoiss, niin ne hyväksyvät eri kielet til hyväksyy ε:n jos j vin jos se kuuluu lopputilojen lohkoon ε L(q) q F Minimointilgoritmin vihe 3: lohkominen lohkoj pilkotn pienemmiksi niin kun kuin mhdollist B siten, että koko jn lohkot ovt epätyhjiä j tuo pätee q 1 q 2 etsitään merkki Σ j lohkot B j B siten, että B:ssä on tilt q 1 j q 2 siten, että q 1 = B mutt (q 2 = B ) jos sellisi ei ole olemss, niin tämä vihe on vlmis B jetn B khdeksi lohkoksi: B 1 = {q B q = B } epätyhjä, kosk sisältää ym. q 1 :n B 2 = {q B (q = B )} epätyhjä, kosk sisältää ym. q 2 :n Ktsotnp ennen väitteen eri kielet todistust esimerkki vihreä lohko :ll ei pääse minnekään mistään tilst :llä pääsee keltiseen lohkoon jokisest tilst ei hlke keltinen lohko :ll pääsee osst tiloj keltiseen, osst muuhun (eli vihreään) lohkoon hlke AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 29/144

31 keltinen lohko, toinen vihtoehto :llä pääsee osst tiloj keltiseen lohkoon, osst ei mihinkään hlke smll tvll Apuluse 2.2 Lohkomisess säilyy se, että eri lohkoiss olevt tilt hyväksyvät eri kielet. täytyy todist, että jos q 1 B 1 j q 2 B 2, niin L(q 1 ) L(q 2 ) B 1 = {q B q = B } B 2 = {q B (q = B )} ennen lohkomist vllinneest tilnteest s olett, että jos kksi til on eri lohkoiss, niin ne hyväksyvät eri kielet todistmme, että lgoritmi ei voi toimi väärin ensimmäistä kert invrintti eli ominisuus, jot lgoritmi ylläpitää voimss vrt. induktio mtemtiikss B B q 1 q 2 σ olkoon q 1 se til, jolle q 1 = q 1 kosk jokisest tilst pääsee lopputiln, σ : σ L(q 1) kosk (q 2 = B ), pätee joko (q 2 = ) ti q 2 = B, missä B B jos (q 2 = ) niin σ L(q 1 ) mutt σ / L(q 2 ) muutoin olkoon q 2 se til, jolle q 2 = q 2 kosk q 1 B B j q 2 B, on L(q 1) L(q 2) jos σ L(q 1) : σ / L(q 2), niin σ L(q 1 ) mutt σ / L(q 2 ) muutoin ρ L(q 2) : ρ / L(q 1), joten ρ L(q 2 ) mutt ρ / L(q 1 ) q 1 B q 2 ρ AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 30/144

32 Viheen 3 päättyminen j lopputilnne jokinen lohkominen ksvtt lohkojen määrää yhdellä lohkominen päättyy viimeistään silloin, kun jokinen til on yksin lohkossn lohkomisi voi oll enintään Q 1 lohkomisen päättymisehto tk, että jokiselle Σ j lohkolle B pätee, että kikki B:n tilt ovt sm mieltä mihin lohkoon vie joko jokiselle q B: δ(q, ) on määrittelemätön ti jokiselle q B: δ(q, ) on määritelty j δ(q,):t kuuluvt smn lohkoon Apuluse 2.3 Jos q 0 j q 0 kuuluvt smn lohkoon, niin ne hyväksyvät smn kielen. lohkost vie vie vihreä sininen keltinen vihreä sininen keltinen sininen tämä todistus on helppo j knntt ymmärtää! olkoon 1 n L(q 0 ) on olemss q 1,..., q n siten, että q 0 = 1 q 1 = 2... = n q n F kosk q 0 j q 0 kuuluvt smn lohkoon, q 1 :n lohkoss on q 1 siten, että q 0 = 1 q 1 kosk q 1 j q 1 kuuluvt smn lohkoon, q 2 :n lohkoss on q 2 siten, että q 1 = 2 q 2 kosk q n 1 j q n 1 kuuluvt s. l., q n :n lohkoss on q n siten, että q n 1 = n q n AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 31/144

33 kosk q n j q n kuuluvt smn lohkoon j q n F, viheen 2 vuoksi q n F 1 n L(q 0) smoin 1 n L(q 0) 1 n L(q 0 ) Minimointilgoritmin vihe 4: lohkojen muuttminen tiloiksi jokisest lohkost muodostetn til lopputulokseen kkosto säilyy muuttumttomn lohkost lähtevät kret setetn lohkon jostkin tilst lähtevien krien mukn lopputulos ei riipu siitä, mikä lohkon tiloist vlitn mlliksi lohko merkitään lopputilksi, jos j vin jos sen tilt ovt lopputiloj lkujon nsiost joko ne kikki ovt ti yksikään ei ole lkutilksi vlitn se lohko, johon lkuperäinen lkutil kuuluu Kielen säilymisen ym. todistmiseksi olkoot D = (Q, Σ, δ, ˆq, F) viheen 1 lopputulos (muu kuin ) [D] = ([Q],Σ,[δ],[ˆq],[F]) lohkomislgoritmin lopputulos kkosto ei trvitse uutt symoli, kosk se ei muuttunut [q] se lohko, johon q kuuluu [ˆq] tuli määriteltyä khdesti, mutt smss merkityksessä, kosk viheess 4 [D]:n lkutilksi setettiin [ˆq] AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 32/144

34 Jokiselle q Q j q Q pätee q [q] jos q [q], niin [q ] = [q] Apuluse 2.4 Jos q = q, niin [q] [= ] [q ]. [q]:ss on jokin til q jonk mukn [q]:n lähtökret setettiin viheess 4 [q] q q [q]:n tilt ovt keskenään sm mieltä lähtökrien määränpäälohkoist q = q jollekin q [q ] [q] = [q ] [= ] [q ] = [q ] [q ] [q ] q q q q Kielen säilyminen, os 1: lopputulos hyväksyy kiken minkä lkuperäinenkin olkoon 1 n L(D) on olemss q 1,..., q n siten, että ˆq = 1 q 1 = 2... = n q n F puluseen 2.4 nojll [ˆq] [= 1 ] [q 1 ] [= 2 ]... [= n ] [q n ] kosk q n F, viheess 4 setettiin [q n ] [F] 1 n L([D]) AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 33/144

35 Apuluse 2.5 Jos [q] [= ] B, niin on olemss q B siten, että q = q. on olemss q [q] j q B joiden mukn [q] [= ] B setettiin viheess 4 [q]:n kikki tilt ovt sm mieltä lähtökrien määränpäälohkoist on olemss q B siten, että q = q Kielen säilyminen, os 2: lopputulos ei hyväksy enempää kuin lkuperäinen olkoon 1 n L([D]) [q] [ˆq] [= 1 ] B 1 [= 2 ]... [= n ] B n [F] puluseen 2.5 nojll on olemss q 1 B 1 siten, että ˆq = 1 q 1 [q ] on olemss q 2 B 2 siten, että q 1 = 2 q 2 on olemss q n B n siten, että q n 1 = n q n [q ] kosk B n [F], viheen 4 vuoksi jokinen sen til on lopputil q n F 1 n L(D) q q q q q q Olemme todistneet seurvn: Luse 2.6 L([D]) = L(D). Lopputuloksen minimlisuus j yksikäsitteisyys ovt vielä todistmtt AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 34/144

36 Apuluse 2.7 [D]:ssä ei ole turhi tiloj. olkoon B [Q] B on jokin Q:st muodostettu lohko, j lohkot eivät ole tyhjiä on olemss q B viheen 1 nsiost D:ssä ei ole turhi tiloj on olemss σ, ρ j q siten, että ˆq =σ q =ρ q F puluseen 2.4 nojll [ˆq] [=σ ] B [=ρ ] [q ] [F] B ei ole turh Apukäsite: kielen loppuos olkoot K Σ j σ Σ ts. K on joukko merkkijonoj j σ on yksi merkkijono Σ:n merkeistä määrittelemme: K:n loppuos σ:n jälkeen on σ 1 K = {ρ σρ K} esim. olkoon K = {hepp, kiss, kirhvi, koi, koir, norsu} (ki) 1 K = {ss, rhvi}, (koi) 1 K = {ε, r} j (norpp) 1 K = K:n loppuos ε:n jälkeen on ε 1 K = K σ 1 K jos j vin jos K:ss on merkkijono, jok lk σ:ll jos σ K, niin ε σ 1 K määrittelemme: L on K:n loppuos, jos j vin jos σ : L = σ 1 K em. esimerkkikielen loppuosi ovt lisäksi mm. {iss, irhvi, oi, oir}, {u} j {ε} AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 35/144

37 Lopputuloksen minimlisuus todistksemme, että [D] on pienin mhdollinen, osoitmme, että jokisess DFA:ss, jok hyväksyy L(D):n, täytyy oll inkin smt tilt j kret smt ei voi nyt trkoitt smn nimiset, kosk tilojen nimet ovt mielivltiset toimiv smuus sdn tilojen hyväksymistä kielistä kuten koht näkyy olkoon D = (Q,Σ,δ,ˆq,F ) mikä thns DFA siten, että L(D ) = L(D) jos ˆq =σ q, niin L(q ) = σ 1 L(D) {, } {} {} {ε} jos σ 1 L(D), niin on olemss q siten, että ˆq =σ q j L(q ) = σ 1 L(D) jos σ 1 L(D) =, niin til q siten, että ˆq =σ q, on ti ei ole olemss jos on olemss, niin siitä ei ole polku mihinkään lopputiln, joten se on turh olkoot σ 1 j σ 2 mitkä thns siten, että σ1 1 L(D) j σ 1 2 L(D) on olemss q 1 Q j q 2 Q siten, että ˆq =σ 1 q 1 j ˆq =σ 2 q 2 vikk olisi σ 1 σ 2, voi silti oll q 1 = q 2 (j usein onkin) jos kuitenkin L(q 1) L(q 2), niin q 1 q 2 D :ss on erillinen til jokist L(D):n erilist epätyhjää loppuos kohti D :ss voi oll smlle loppuoslle mont til D :ss voi oll myös turhi tiloj AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 36/144

38 [D]:ssä on vin epätyhjiä loppuosi vstvi tiloj, kosk siinä ei ole turhi (puluse 2.7) kullekin L(D):n epätyhjälle loppuoslle vin yksi til (puluse 2.2) D :ss on erillinen til q jokist [D]:n til [q] kohti siten, että L(q ) = L([q]) [D]:ss on niin vähän tiloj kuin mhdollist kun hyväksyttynä kielenä on L(D) trkstelln [D]:n mitä thns krt [q 1 ] [= ] [q 2 ] D :ss on oltv L([q 1 ]):n hyväksyvä til q kosk [D]:ssä ei ole turhi tiloj, on olemss σ siten, että σ L([q 2 ]) σ L([q 1 ]), joten δ (q,):n on oltv määritelty D :ss on erillinen kri jokist [D]:n eri krt kohti [D]:ss on niin vähän kri kuin mhdollist kun hyväksyttynä kielenä on L(D) [D] on niin pieni kuin mhdollist kun hyväksyttynä kielenä on L(D) Minimoidun DFA:n yksikäsitteisyys oletetn, että Q = [Q] Q :ss on yksi til L(D):n jokist epätyhjää loppuos kohti, eikä muit tiloj merkitsemme epätyhjää loppuos K vstv til q (K) Q :n lkutiln täytyy hyväksyä L(D) ˆq = q (L(D)) jos 1 L(q 1), niin q 2 : q 1 = q 2, j jos q 1 = q 2, niin L(q 2) = 1 L(q 1) AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 37/144

39 δ (q (K),) on määrittelemätön, jos 1 K = kosk turhi tiloj ei mhdu kosk Q = [Q] 1 K, muutoin q (K) F jos j vin jos ε K Q :n muut ost määräytyivät yksikäsitteisesti pitsi Σ jos Q = [Q], niin D on tilojen nimiä j kkosto ville sm kuin [D] tämä ei ole mitäänsnomton tulos, kosk vstv ei päde NFA:ille se tk, että lopputulos ei riipu siitä, missä järjestyksessä lohkoj hlkistn Olemme todistneet seurvn: Luse 2.8 Pienin mhdollinen DFA, jok hyväksyy smn kielen kuin syötteenä nnettu DFA, on kkosto j tilojen nimiä ville yksikäsitteinen. Tässä lluvuss kuvttu lgoritmi tuott sen. Mitä kiken kikkin todistimme, j miksi? turhien tilojen poiston trve j oikeellisuus on ilmeistä jos lkutilst ei pääse tiln, se ei vikut kieleen se voi vikutt (mutt ei välttämättä vikut) tilojen määrään, jollei sitä poistet tyhjää kieltä vstvi tiloj ei trvit, kosk δ s oll osittinen AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 38/144

40 lohkomisen vlmistuttu 1. smn kielen hyväksyvät tilt ovt smss lohkoss 2. eri kielen hyväksyvät tilt ovt eri lohkoss lohkot vstvt yksi yhteen tilojen hyväksymiä kieliä 1. tttiin rkentmll lohkot luksi sen mukisesti (vihe 2) vrmistmll, että ominisuus säilyy lohkomisen jn (puluse 2.2) 2. tttiin viheen 3 loppuehdon vull (puluse 2.3) tämä on tvllinen hhmo lgoritmien pääsilmukoiss sekä lku- että lopputilnne ovt jonkin yleisemmän väittämän erikoistpuksi silmukn ikn pidetään huolt, ettei väittämää rikot väittämästä j silmukn lopetusehdost yhdessä seur tvoite tällist väittämää kutsutn invrintiksi täytyy vrmist myös, että pääsilmukk lopett joskus vrmistimme, että lohko ei hlke tyhjäksi lohkoksi j lkuperäiseksi lohkoksi jokinen kierros vie työtä eteenpäin tyhjiä lohkoj vältettiin myös siksi, että niistä tulisi turhi tiloj lopputulokseen vrmistettiin myös lkujoss trvittiin puluseen 2.7 todistuksess AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 39/144

41 puluseet 2.4 j 2.5 sekä luse 2.6 snovt vin, että kieli ei muutu kun kikkill smn kielen hyväksyvät tilt yhdistetään yhdeksi tilksi (vihe 4) yhdistetyn tiln lähtökret j luonne (lku-, loppu-) määräytyy yksikäsitteisesti intuitiivisesti ilmeistä hiemn kömpelöä ilmist mtemttisesti minimlisuus trkoitt, että pienempää smn kielen hyväksyvää DFA:t ei ole onko 5 til j 5 krt pienempi, yhtäsuuri vi suurempi kuin 4 til j 6 krt? onneksi lopputulos on minimlinen yhtäik tilojen j krien määrien suhteen yksikäsitteisyys trkoitt, että kikki minimliset ovt rkenteeltn smnlisi kkoston smuus ei seur utomttisesti, mutt on tpn vti erikseen tilojen nimet voivt oll mitä vin, niistä ei voi päätellä mitään tällinen nimistä riippumton smnlisuus on isomorfismi niiden todistmiseksi luonnehdimme minimlisen DFA:n, j osoitimme, että [D] on luonnehdinnn mukinen tilt vstvt yksi yhteen hyväksytyn kielen epätyhjiä loppuosi kret, lkutil j lopputilt määräytyvät tästä yksikäsitteisesti kkosto määräytyy vin sen verrn, että sisältää inkin kikki käytetyt merkit Apuluseiden 2.2 j 2.3 nsiost khden DFA:n hyväksymien kielten smuus voidn testt seurvsti: nnetn ne yhtäik lohkomislgoritmin syötteeksi ktsotn, joutuvtko niiden lkutilt eri lohkoihin viheess 2 ti 3 AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 40/144

42 Miten lohkominen toteutetn tehokksti? syötteen koon ostekijät ovt Q, Σ j δ turht tilt on poistettu jokiseen tiln pitsi ehkä ˆq tulee inkin yksi kri δ Q 1 jos Q on iso, myös δ on iso Helposti mieleen tulev lgoritmi käydään lohkoj läpi ktsoen hlkevtko ne kullekin kkoselle j lohkon tillle q tutkitn δ(q,) ylärj työmäärälle yhtä lohkomist vrten tutkitn (melkein) jokinen kri Q 1 lohkomist O( Q δ ) ylärj voi toteutu c c c c δ = Q Σ 1 kri tutkitn Σ ( Q ) 1 = 1 2 Σ Q ( Q +1) 1 = 1 2 ( δ +1)( Q +1) 1 = Θ( Q δ ) kpl hids, jos Q on iso AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 41/144

43 Hopcroft n kuuluist tehostuskikt vuodelt 1971 kri kuljetnkin tkperin eikä etuperin kren lkupään til merkitään c c c lohkominen hoidetn siten, että lohko jkntuu lohkoon jäävään osn j siitä irrotettuun osn niihin tiloihin ei kosket linkn, jotk jäävät lohkoon jäävään osn yksi lohkomisvihe käyttää yhtä kärkipäälohko j yhtä kkost hlkisee noll ti usempi lohkoj koostuu merkitsemisviheest j hlkisemisviheest jos lohko hlke kun se on jo käytetty lohkomiseen kikill kkosill, riittää käyttää jtkoss jomp kump os helppo usko, (oli) vike todist kunnoll jtkoss käytetään pienempää os jos sm krt käytetään lohkomiseen uudelleen, sen kärkitiln lohko on kooltn enintään puolet ikisemmst kutkin krt voidn käyttää enintään log 2 Q +1 kert työmäärä O( Σ Q log Q ) jos tilsiirtymäfunktio on täysi, niin on sm kuin O( δ log Q ) muutoin on huonompi kuin O( δ log Q ) Hopcroft oletti että, tilsiirtymäfunktio on täysi j Σ = 2 c AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 42/144

44 Tietorkenne lohkojen esittämiseen, vuoden 2012 versio tilojen numerot ovt tulukoss E siten, että smn lohkon tilt ovt peräkkäin lohkon s tiedot ovt kolmess tulukoss F[s] lkukoht P[s] loppukoht + 1 M[s] merkittyjen tilojen määrä L[e] kertoo pikn E:ssä, joss til e on S[e] kertoo lohkon, joss til e on S L E F[0] P[0] pino W pitää kirj lohkoist, joiss on merkittyjä tiloj w on pinoss olevien lohkojen määrä til merkitään vihtmll se lohkons ensimmäisen merkitsemättömän tiln knss j ksvttmll merkittyjen määrää trvittess tiln lohko lisätään koskettujen lohkojen pinoon vkioikist void mrk( int e ){ int s = S[e], i = L[e], j = F[s]+M[s]; E[i] = E[j]; L[E[i]] = i; E[j] = e; L[e] = j; if(!m[s]++ ){ W[w++] = s; } } M[0] AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 43/144

45 ei trvitse vrutu smn tiln merkitsemiseen khdesti tilst lähtee kullkin kkosell korkeintn yksi kri tiln tulln tkperin korkeintn kerrn yhden lohkomisviheen ikn kunkin merkitsemisviheen jälkeen merkityt lohkot hlkistn trpeen mukn z on lohkojen määrä jos kikki tilt merkittiin, lohko ei hlkist, vn merkittyjen määrä nolltn muutoin pienemmästä osst tehdään uusi lohko j se s numerokseen z uuden lohkon tilt käydään läpi oiken lohkon settmiseksi niille vnhn j uuden lohkon merkittyjen määrä nolltn työmäärä on enintään verrnnollinen smn lohkomisviheen mrk-kutsujen määrään ei nost koko lgoritmin symptoottist jnkäyttöä void split(){ while( w ){ int s = W[--w], j = F[s]+M[s]; if( j == P[s] ){ M[s] = 0; continue; } if( M[s] <= P[s]-j ){ F[z] = F[s]; P[z] = F[s] = j; } else{ P[z] = P[s]; F[z] = P[s] = j; } for( int i = F[z]; i < P[z]; ++i ){ S[E[i]] = z; } M[s] = M[z++] = 0; } } AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 44/144

46 Ajnkäytön prntminen O( Σ Q log Q ) O( δ log Q ) vuonn 2012 Hopcroft n kikt eivät hyödynnä sitä, että usein δ on pljon pienempi kuin Σ Q ongelm: niiden tilojen selmiseen kuluv ik, joihin ei tule krt tutkittvll kkosell rtkisu: kimput joukko smnnimisiä kri kksi smnnimistä krt pnnn eri kimppuihin, (vin) kun on vrm, että ne päättyvät eri lohkoihin c d e f kimpuist muodostetn smnlinen tietorkenne kuin lohkoist B on lohkot (locks) C on kimput (cords) vuorotellen kimppujen vull hlkistn lohkoj lohkojen vull hlkistn kimppuj kunnes uusi lohkoj j kimppuj ei enää synny loppuehdon tkvt invrintit: olkoon Σ j kuulukoot q 1 j q 2 smn lohkoon jos kksi smn kimpun krt päättyy eri lohkoihin, inkin toinen lohkoist on käyttämättä kimppujen hlkisemiseen jos sekä q 1 :stä että q 2 :st lähtee -kri j ne kuuluvt eri kimppuihin, inkin toinen kimpuist on käyttämättä lohkojen hlkisemiseen jos q 1 :stä lähtee j q 2 :st ei lähde -kri, ko. kren kimppu on käyttämättä AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 45/144

47 Lohkominen ohjelmkoodin kertoo vuoross olevn lohkon numeron c kertoo vuoross olevn kimpun numeron T[k] on sen tiln numero, jost kri k lk tiln q tulevien krten numerot ovt tulukon A kohdiss F[q], F[q]+1, F[q]+2,..., F[q+1]-1 int = 1, c = 0, i, j; while( c < C.z ){ for( i = C.F[c]; i < C.P[c]; ++i ){ B.mrk( T[C.E[i]] ); } B.split(); ++c; while( < B.z ){ for( i = B.F[]; i < B.P[]; ++i ){ for( j = F[B.E[i]]; j < F[B.E[i]+1]; ++j ){ C.mrk( A[j] ); } } C.split(); ++; } } AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 46/144

48 Lohkomislgoritmin suoritusik jos til käytetään uudelleen hlkisemn kimppu, sen lohko on kooltn enintään puolet ikisemmst til käytetään yhteensä enintään O(log Q ) kert jos krt käytetään uudelleen hlkisemn lohko, sen kimppu on kooltn enintään puolet ikisemmst kimpun mksimikoko on Q, kosk kimpun krill on sm nimi krt käytetään yhteensä enintään O(log Q ) kert tiloj j kri on yhteensä Q + δ = Θ(δ) iemmin todettiin, että δ Q 1 suoritusik on O( δ log Q ) Huomutus suoritusjst O( δ log Q ) olett, että kret sdn syötteessä järjestettynä nimien mukn tämä järjestys trvitn lkuperäisten kimppujen muodostmiseen O( δ log Q ) ei riitä krten järjestämiseen nimien mukn tutuill lgoritmeill jos syötteeltä ei void tätä olett, jn kulutus nousee rvoon O( δ log δ ) krten järjestäminen esim. hepsortill vie näin kun kosk myös O( δ log δ ) on hyvin nope, tämä ei ole ongelm on teoriss vältettävissä tietorkenteell, jok vie tolkuttomsti muisti on käytännössä keskimäärin vältettävissä hjutustuluill AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 47/144

49 2.3 Epädeterministiset äärelliset utomtit Epädeterministisen äärellisen utomtin käsitteessä on kksi ero deterministisen äärellisen utomtin käsitteeseen: smst tilst s smll nimellä lähteä mont krt smst tilst smll nimellä smn tiln enintään yksi merkkijono luettess vlitn vihtoehdoist jokin esim. toiseksi viimeinen merkki on, muut ti kren nimenä s oll ε muistmme, että ε ei ole merkki, vn tyhjän merkkijonon symoli kuljettess ε-kri ei luet merkkiä esim. ensin 0 :t, sitten 0 :tä, lopuksi 0 c:tä ε ε c merkkijono hyväksytään, jos j vin jos inkin yksi tp kulke sen ohjmn vie lopputiln c c Englnniksi nondeterministic finite utomton c lyhenne NFA Miksi NFA? NFA on usein helpompi lti kuin smn kielen hyväksyvä DFA kuuluuko syöte kieleen on DFA:lle hyvin helppo NFA:lle se on vikempi, mutt ei kohtuuttomn vike tietokoneelle AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 48/144

50 NFA nt lisää vpuksi DFA:hn verrttun, mutt ei kiellä mitään entisiä jokinen deterministinen äärellinen utomtti on epädeterministinen äärellinen utomtti mutt ei toisinpäin määritelmissä on tekninen ero, jok ei vikut oleelliseen sisältöön termi epädeterministinen on hrhnjohtv jotkut käyttävät NFA:st termiä äärellinen utomtti, FA jott si olisi oikein sekv, on myös heitä, joille FA = DFA tämän kltist esiintyy mtemtiikn kielenkäytössä jonkin verrn, esim. jokinen täysi funktio on osittinen funktio jokinen täysi järjestys on osittinen järjestys myös yhtäsuuruus on osittinen järjestys! Määritelmä NFA on viisikko (Q, Σ,, ˆq, F), missä Q on äärellinen joukko Σ on äärellinen joukko siten, että ε / Σ Q (Σ {ε}) Q ˆq Q F Q ε ε c AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 49/144

51 Aino ero DFA:n määritelmään on on tilsiirtymäreltio sen lkiot ovt kolmikoit (q,,q ), missä q on se til, jost tilsiirtymä lk on tilsiirtymän vrrelle kirjoitettu merkki ti ε q on se til, johon tilsiirtymä päättyy q =σ q NFA:n tpuksess q =ε q jos j vin jos on olemss q 0,..., q n siten, että q = q 0, q n = q j i;1 i n : (q i 1,ε,q i ) toisin snoen, q =ε q jos j vin jos q:st on q :uun polku, jonk jokisen kren nimenä on ε ε ε c kun n > 0, q = 1 n q jos j vin jos on olemss q 1, q 1,..., q n, q n siten, että q =ε q 1 q n =ε q i;1 i n : (q i, i,q i ) i;2 i n : q i 1 =ε q i toisin snoen, q = 1 n q jos j vin jos q:st on q :uun polku, jonk krien nimien jono ε:t pois lukien on 1 n toisin kuin DFA:n tpuksess, q:lle j σ:lle voi oll mont q siten, että q =σ q epädeterminismi AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 50/144

52 NFA:n hyväksymä kieli määritellään smoin kuin DFA:n hyväksymä kieli ε L(N) = {σ Σ q F : ˆq =σ q} NFA:n epädeterminismi on ystävällistä riittää, että yksikin tp luke syöte vie lopputiln ε ε c ohjelmointikielten epädeterminismi on vihmielistä ohjelmss on virhe, jos yksikin tp suoritt se iheutt virhetoiminnon esim. A[i] = i++; Pienin nnetun kielen hyväksyvä NFA ei välttämättä ole yksikäsitteinen merkittävä ero DFA:in verrttun! jos L(N) mutt mikään pitempi -jono ei kuulu, niin :n hyväksyvä lukeminen ei s kiertää ei-ε silmukk on oltv inkin 4 eri til j 3 -krt kosk L(N), on oltv -kri kosk L(N), on oltv vielä jotkin kuvn NFA:t ovt minimlisi ko. kielelle ε AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 51/144

53 Mitä kieliä NFA:t hyväksyvät j eivät hyväksy? jokiselle äärelliselle kielelle on olemss DFA, jok hyväksyy sen NFA:ill hyväksyttäviä äärettömiä kieliä rjoitt voimkksti se, että pitkän merkkijonon hyväksyvä suoritus sisältää silmukn, joss luetn inkin yksi merkki pitkä = vähintään yhtä mont merkkiä kuin NFA:ss on tiloj NFA hyväksyy myös kikki ne merkkijonot, jotk sdn kiertämällä ko. silmukk usesti ti noll kert esim. {,,,...} n kpl jos σ on merkkijono j n N, niin σ n = {}}{ σ σ mikään NFA ei hyväksy kieltä { n n n N} ne merkkijonot, joiss on ensin jokin määrä :t j sitten sm määrä :tä oletetn, että N hyväksyy inkin ne merkkijonot se hyväksyy merkkijonon Q Q osuutt Q lukiess täytyy kiertää jokin silmukk q = j q, missä j > 0 siis i : ˆq = i q = j q = k Q q F, missä k = Q i j N hyväksyy myös i+k Q = Q j Q, jok ei kuulu ko. kieleen N ei hyväksy kieltä { n n n N} edellisessä päättelyssä osoitetttin, että jos N hyväksyy trpeeksi, niin se hyväksyy liik smoin voidn monest muust kielestä osoitt, että mikään NFA ei hyväksy sitä AV TIEA241 Automtit j kieliopit 23. lokkuut Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 52/144