x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

Transkriptio

1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä pystyisi laskemaan, ja niiden laskeminen onkin suositeltavaa "laskurutiinin"kasvattamiseksi. Vastauksia tulee (itsenäistä tarkastusta varten) numeroarvoisina. Matlabia tai jotakin muuta ohjelmistoa voi tietysti käyttää kun tarkastaa onko muodostettu lauseke oikea (jottei mahdolliset huolellisuusvirheet integroinnissa johda harhaan). Päivityksiä: 4.2. Vastauksia lisätty Tehtävän 6 ja 8 vastauksia päivitetty.. ( ) Olkoon x(t) t 2 ja y(t) t 3,t [,] (a) Hahmottele tämä käyrä (i) laskemalla x:n ja y:n arvoja muutamissa pisteissä. (ii) eliminoimalla parametri t, eli esittämällä käyrä karteesisessa muodossa. Ratkaisu: Tutkitaan käyrän kulkua. Derivoimalla saadaan Tekemällä merkkitaulukon saamme: x (t) 2t ja y (t) 3t 2 x (t) y (t) t Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: y x(-), y(-)-, x(), x() y() y() A 2 x A

2 (b) Mikä on suoran x ja edellä mainitun käyrän väliin jäävä pinta-ala? Merkitään f (x) t 3 Tällöin A f (x) dx ja dx saadaan yhtälöstä Näin saamme pinta-alat muotoon A 2 f (x) dx x t 2 d dt dx dt 2t dx 2t dt A t 3 2t dt 2 t 4 dt 2 / 5 t5 2 5 ja Kysytty pinta-ala on siis A 2 / t 3 2t dt A + A Tapa 2: y A 2 dy x A

3 A ( t 3 )3t 2 dt (3t 2 3t 4 ) dt / t t5 ( 3 5 ) ( 3 5 ( )) Tutkitaan parametrista käyrää x(t) r(t sin(t)), y(t) r( cos(t)) jota kutsutaan sykloidiksi. Tässä siis r on vakio. (i) Anna lauseke yhden palasen pinta-alalle, siis alalle joka jää sykloidin ja x-akselin väliin kun t 2π. (ii) Muodosta lauseke josta saisit kaarenpituuden yhdelle palaselle (pituutta ei tarvitse laskea). 3. Tarkastellaan parametrikäyrää x(t) t 2, y(t) t 3 3t. (i) Osoita että käyrällä on kaksi tangenttia pisteessä (3, ) ja muodosta näiden tangenttien yhtäl^t. (pisteeseen (3,) saavutaan siis kahdella eri t:n arvolla), eri lähestymiskulmasta) (ii) Missä (jos missään) pisteessä/pisteissä käyrällä on vaakasuora tangentti? (iii) Missä (jos missään) pisteessä/pisteissä käyrällä on pystysuora tangentti? 4. (a) ( ) Käyrä x(t) t 3, y(t) t 2 (t [,3]) pyörähtää x-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen pinta-ala? Entäpä tilavuus? A da 2π f (x)ds 27 2π f (x) + ( f (x)) 2 dx 3 ( y 2πy(t) + ) (t) 2 x x (t)dt ( ) (t) 3 ( ) 2t 2 2πt 2 + 3t 2 3t 2 dt 5. ( ) ( ) x t 3 d dt dx dt 3t2 dx 3t 2 dt ( x (t)dt) f (x) y (t) x (t) (b) Sama kysymys, mutta nyt käyrä pyörähtää suoran y ympäri. (c) Sama kysymys, mutta nyt käyrä pyörähtää suoran x 2 ympäri.

4 (a) Laske käyrän f (x) 6 x3 + 2 x pituus, kun x 3. s b f (x) 2 x2 2 x 2 a + ( f (x)) 2 dx + ( f (x)) 2 ( + 4 x4 2 + ) 4 x 4 4 x x 4 ( 2 x2 + ) 2 2 x 2 3 ( 2 x2 + ) 2 x 2 dx / 3 6 x3 2 x 4 3 (b) Laske parametrisen käyrän x t 2,y t 3 pituus, kun t 2. 2 (dx ) 2 ( ) dy 2 s + dt dt dt 2 (2t) 2 + (3t 2 ) 2 dt 2 t2 t 4t 2 + 9t 4 dt u 4 + 9t t 4 + 9t 2 dt u4 udu u3 ) ( (8 3 3) 6. Tiedämme että eräälle parametriselle käyrälle pätee aikavälillä t [ 2,2] että d2 x 3, d2 y t 2. dt 2 dt 2 Lisäksi tiedämme että x (), y (), x() ja y(), eli käyrällä kuljettaessa, ajanhetkellä olemme origossa ja hetkellisesti pysähdyksissä. Hahmottele käyrä ja laske kuinka pitkä on käyrän kaaren pituus. 7. (a) Piste liikkuu xy-koordinaatistossa käyrää x cos(t)e t,y sin(t)e t,t [, [ pitkin. Ratkaisu: Pisteen nopeus on v(t) x (t)i + y (t)j ja kiihtyvyys a(t) d dt x (t)i + d dt y (t)j

5 Tällöin nopeus hetkellä t on Kiihtyvyys taas on v(t) ( sin(t)e t + cos(t)e t )i + (cos(t)e t + sin(t)e t )j e t ( sin(t) + cos(t))i + e t (cos(t) + sin(t))j a(t) (e t ( sin(t) + cos(t)) + e t ( cos(t) sin(t)))i + (e t (cos(t) + sin(t)) + e t ( sin(t) + cos(t)))j 2e t sin(t)i + 2e t cos(t)j Mitä ovat kappaleen nopeus ja kiihtyvyys x-suunnassa ja y-suunnassa hetkellä t? (b) Määritä myös kokonaiskiihtyvyydeen suuruus Kokonaiskiihtyvyys on a(t) Kiihtyvyydeen suuruus saadaan Pythagoraan lauseen avulla eli a(t) ( 2e t sin(t)) 2 + (2e t cos(t)) 2 2e t (sin(t)) 2 + (cos(t)) 2 2e t 8. Oletetaan että partikkeli jonka massa on m liikkuu aikavälillä t [, ] pitkin edellisen tehtävän parametrista käyrää (joka sattuu olemaan polaarikäyrä tällä kertaa). Kappaleen radallaan pitäminen vaatii voimaa. Tiedämme fysiikasta että "voima massa kertaa kiihtyvyys"ja "työ voima kertaa liikuttu matka. Mikä on kappaletta radalla pitävien ohjausvoimien tekemä työn määrä kun kappale liikkuu levitoiden tyhjiössä (ja sitä ohjataan esim. magneettikenttien avulla) ja kyseessä oleva spiraalimainen rata on (a) "vaakatasossa", eli maan vetovoiman voittamiseksi ei tarvitse tehdä työtä. (b) "pystyssä", eli y-koordinaatti on korkeuskoordinaatti ja tällöin maan vetovoiman voittamiseksi myös joudutaan tekemään työtä ylöspäin kiihdytettäessä ja alaspäin kiihdytettäessä vetovoima auttaa. Liikerata kulkee sen verran lähellä maan pintaa että maan vetovoiman voidaan todellakin ajatella olevan vakio g 9.8. Ratkaisu: (a) Ohjausvoima on F m(x (t)i + y (t)i). Kun aikavälillä dt liikutaan x-suunnassa matka dx ja y-suunnassa matka dy niin aikavälillä dt tehty työ on dw mx (t)dx + my (t)dy mx (t)x (t)dt + my (t)y (t)dt m(x (t)x (t) + y (t)y (t))dt. () Kokonaistyö W aikavälillä t [, ] on siten W t t m(x (t)x (t) + y (t)y (t))dt. (2) (b) Koska x ja y liittyvät käyrän muotoon, pysyvät ne toki samoina, mutta ohjausvoima muuttuu koska sen täytyy voittaa maan vetovoima, eli nyt F m(x (t)i + (y (t) g)i). Tällöin dw mx (t)dx+m(y (t) g)dy mx (t)x (t)dt +m(y (t) g)y (t)dt m(x (t)x (t)+(y (t) g)y (t))dt. (3) ja W t t m(x (t)x (t) + (y (t) g)y (t))dt. (4)

6 Vastauksia: Teht.#: (a) (b) 4 5 Teht.#2: A r 2, V 8r Teht.#3: (ii) Pisteissä (,±2), (iii) Pisteessä (,) Teht.#4: (a) A 952, V 2944 (b) A 852, V 2266 (c) A 2734, V 6487 Teht.#5: (a) 4 3 (b) 27 (8 3 3) Teht.#6: s 6.9 Teht.#7: Teht.#8: (a) W m (nyt on muuten melkoinen työ tehty, mikäli yksiköt koordinaatistossa on metrejä)