Helsingin Yliopisto Sovelletun matematiikan Pro Gradu Vedonlyöntiteoria. Teppo Salonen

Transkriptio

1 Hlsg Yloso Sovllu mamaka Pro Gradu 3.. Vdolyöora o Salo

2 Mrköjä : määrlysymol : a määrl uud muuuja joka arvoks ul a << aljo m ku ja ksofuko l luooll logarm kaaluku log ja log ma f lm f Df ja f ' D f ja f '' f -kaa logarm fuko suur mahdoll arvo raja-arvo drvaaa. drvaaa osasdrvaaa EX D X Φ ϕ odousarvo varass N-jakauma krymäfuko N-jakauma hysfuko

3 Ssällys JOHDANO... 3 MÄÄRIELMIÄ ENROPIA EHDOLLINEN ENROPIA SUHEELLINEN ENROPIA YHEISINFORMAAIO BROWNIN LIIKE VARALLISUUDEN EKSPONENIAALINEN KASVU OPIMAALISEN SIJOIUSSUUNNIELMAN MÄÄRIÄMINEN KOKO VARALLISUUDEN SIJOIAMINEN OPIMAALISEN OSUUDEN SIJOIAMINEN OPIMAALISEN SIJOIUKSEN APPROKSIMOINI SIJOIAMISEEN LIIYVÄ EPÄVARMUUDE ODENNÄKÖISYYSARVIOIDEN ARKKUUS VÄÄRÄN PANOSKOON KÄYÄMINEN ONNEN VAIKUUS odäkösyys kä summa saavuamsll : vdo akaa odäkösyys hävä osa alkuääomasa Varallsuusla odäkösyys kä krrosmäärä jälk Odoavssa olva aka kä avo saavuamsll LISÄINFORMAAION VAIKUUS UOOON ESIMERKKI LISÄINFORMAAIOSA UILIEEIEORIA PREFERENSSI JA UILIEEIFUNKIO LOGARIMINEN UILIEEIFUNKIO EHDOKAS RAJOIEUKSI UILIEEIFUNKIOKSI Rsk vralua smulomalla...45 KIRJALLISUUSLUEELO...48

4 3 Johdao Ku voa lyövä laaja o löyäy odousarvolaa uoava vdolyökoh o hä aa ääävä kuka suur osa varallsuudsaa akoo kuhuk voo sjoaa. Jos laaja akos maksmoda ulva varallsuusa odousarvo sjoas hä kak varallsuusa sh kohs jolla o suur alauuva raha odousarvo. ällö ols kuk rä mahdollsa hävä koko omasuus yhdllä vdolla. Rajaomas voja osassa johas älla uhkalsraga vararkkoo mlk varmas odäkösyydllä yks. Plaaja vos myös avolla joak kää rahasummaa joka ols saavuava yy akarajaa mssä. ällö ols luoollsa määrää aos s ä odäkösyys avossa osumsll ols suur mahdoll. Paoskoo vala ruu sä avosa ja krrsä joka laaja vdolyöomall asaa. Kskyää jakossa las jossa laaja ao loaa laamsa mkää kä raja kohdalla ja svuuaa ä sh lyvä aoskoo määryskysymyks. arkasllaa s sjaa kaha r mlmää josa smmässsä koko varallsuua koskaa sjoa sllas voj yhdslmää jolla o mahdollsa hävä kakk sjou aoks. Nä vararko mahdollsuus äärllsssä ajassa lmouu ja aoskoo määrys vodaa rusaa varallsuud ksoaals kasvuu ja kasvu oud maksmo. o käslävä mlmä o ulora ja ulfuko käyö sujkvs rfrss säms ja valoj kms. O myös hlo sää krkkä kasvuoud maksmosragaa kohaa käyämällä ulora arjoamaa vahohosa ulkaa o. sragall.

5 4 Määrlmä Suraava määrlmä ova Brow lkä lukuuoamaa räs oks "Elms of Iformao hory" Covr&homas luvusa. ja.. Eroa Eroalla kuvaaa sauasmuuuja kskmääräsä ävarmuua. Dskrll sauasmuuujall X jolla o sodäkösyysfuko määrllää roa HX suraavas H X E log log. X Samasa suursa käyää myös mrkää H. Logarm kaaluvuks valaa luku jollo roaa maaa ssä. Määrlmäsä log suraa ä roaa vakua aahuma jod odäkösyys o olla. Eroa ru sauasmuuuja havausa arvosa vaa aoasaa s jakaumasa. Esmrkks klalu jossa o 4 osaoajaa vooodäkösyyks roa o 3 H X log log * log ä Eroa aaa alaraja kskmääräsll lukumääräll joka arvaa sauasmuuuja kuvaams vvömällä koodlla. Vvömällä koodlla arkoamm jooja joka vodaa ulka umaa myöhmä formaaolähsä saauva jä. os sao vvömässä koodssa mkää koodsaa vo olla os koodsaa ul. Maussa ljä osaoaja klalussa klalja voas koodaa omaalss suraavlla joolla jollo o klalu voajasa vs kskmäär ¾ ä.

6 5 Suurmmllaa roa o sauasmuuujlla joka ova asass jakauua. Nljä osaoaja klalussa roa vos olla ää ä jollo jokas klalja vooodäkösyys ols ¼. ällö voaja koodaas kahdlla llä.. Ehdoll roa Jos sauasmuuujaarlla XY o yhssodäkösyys y määrllää hdoll roa HY X suraavas H Y X E y y H Y X y y log y y log y log Y X..3 Suhll roa Määrllää vlä suhll roa D q D q log q joka maa jakaumaolukssa q ahuuvaa haaa odlls jakauma ollssa. S ss maa sodäkösyysfukod ja q välsä "äsyyä". Vakka suhll roa o aa -gav ja saa arvo olla va jos q s ol ao mrkka sllä s oua kolmoäyhälöä ja o äsymmr.

7 6.4 Yhsformaao Yhsformaaolla arkoaa yhd sauasmuuuja ssälämää formaaoa ossa sauasmuuujasa. El kuka aljo os muuuja ävarmuus väh ku o dää. Olkoo sauasmuuujlla X ja Y yhssodäkösyys y ja ruaodäkösyysfuko ja y. Yhsformaao IX;Y o yhsjakauma y ja ulojakauma y suhll roa: I X ; Y y y y log y D y y..5 Brow lk Sauasmuuuja X muodosava sadard Brow lkk jos X Xs - Xs ~ N ja räkkäs lsäyks ova rumaoma. Y o yl Brow lk jos Y µ σ X mssä X o sadard Brow lk. Ylsll Brow lkkll ä Y ~Nµ σ.

8 7 3 Varallsuud ksoaal kasvu ämä luvu ääasallsa lähä o käyy oks "Elms of Iformao hory" Covr&homas lukua 6.. arkasllaa hvosklalua jossa osaa vasaa juoks m hvosa. Mrkää hvos umro vooodäkösyyä :llä a vahohoss :llä ja vookrroa o :llä a o:llä. Vookrro määrää kuka mokrasa hvos sjou aoks saa akas mkäl kys hvo voaa klalu. Hvos sjoavaa osuua laaja varallsuudsa mrkää :llä :llä. Olkoo kaklla hvoslla < < < ja o >. Ja lmodaa vararko mahdollsuus äärllsssä ajassa suraavalla hdolla: Σ >. Mrksmällä S :llä laaja varallsuua : klalu jälk saadaa S S X k k mssä SX kroo kuka mokrasks laaja varallsuus kasvaa yhdssä klalussa hvos X voassa. Koska ällö laaja varallsuus kasvaa a väh ksoaalss mrkää S w o mssä wo o sauasmuuuja joka kroo ksoaals kasvu oud vkoraramr ja o fukoa. -kaasa logarma käyä saadaa w o log S log S X k k.

9 8 Ku klaluj louuloks X olaa rumaomks ja samo jakauuks ova myös muuuja log SX rumaoma ja samo jakauua. ällö hko suur lukuj la ojalla ä suraava sokas sum k log S X k P E log S X jo ulausoudks doulg ra määrllää W o E log S X. Määrlmm myös omaals ulausoud omum doulg ra W*o joka o fuko Wo maksmarvo : suh l W * o maw o. Koska ulausoud maksmova vkor * o us hma ykskrasmaa laska luoollsa logarma käyävä kasvuoud avulla määrlmm vlä G o E l S X. Pääymäömässä lssä slla laaja joka sjoaa aa summa joka maksmo ulausoud ul odäkösyydllä yks loula ohamaa ja ysymää dllä kakka laaja joka sjoava mkä ahasa muu raa mukaa.

10 9 4 Omaals sjoussuulma määräm 4. Koko varallsuud sjoam Luku rusuu lähdoks "Elms of Iformao hory" Covr&homas lukuu 6.. arkasllaa aluks laa jossa laaja äyyy sjoaa koko varallsuusa samaa klaluu s ä sjoava summa jaaa klalussa juoksv hvos ksk. Ny ss ja Σ. Hvos voassa laaja voaa kyss hvos sjou aoks akas o krasa häv mull hvosll sjou aoks. Plaaja kokoasvarallsuus o ss klalu jälk kasvau o krasks. Plaaja varallsuus : klalu jälk o y S k S X k k X k o X k ja ulausous W o Elog S X m log o. Löyääksmm fuko Wo maksmkohda : suh hdolla Σ muodosamm s luoollsa logarma käyävä kasvuoud Lagrag fuko m m L λ lo λ joka osasdrvaaoj ollakohdsa muodosuu yhälöryhmä

11 λ...m l λ. Ehdosa Σ suraa ä λ - ja *. odsaa ä odllak o omaal krjoamalla Wo suraavalas muooo: W o log o log o log o log o log H D log logo H jossa yhäsuuruus ä va ku. Omaal ulausous W * o log o H saavuaa ss ku laaja sjoaa kromsa rumaa kullk hvosll aa s vooodäkösyyä vasaava osuud varallsuudsaa. Erkosaauksssa jossa jokas hvos vookrro o sama ku hvos lukumäärä l o m vodaa omaal ulausous krjoaa muooo

12 W * o log m H D m josa ähdää yhys ulausoud ja daa vsyks välllä: W * o H log m. El ulausoud ja roa summa o vako ja sä roasa suraa s suurm uoo. 4. Omaals osuud sjoam ämä luvu o ärkmmä läh ova "A Nw Irrao of Iformao Ra" Klly "Elms of Iformao hory" Covr&homas skä "h Klly Crro Blakjak Sors Bg ad h Sok Mark" hor. Luovuaa jakossa rajoukssa ä laaja äyys aa sjoaa koko varallsuusa klaluu. Sääsöö jää ällö osuus - Σ ja varallsuus kasvaa S X X o X krasks jokas klalu jälk. Olaa ä vdoväläjä om lma umargaala l aaa vdolyökrom s ä o r. Mrkää ss r o. Ny kuk kokoaa laamaa jäämssä suras sama louulos ku laamalla r kakll hvosll. Klalu louulokssa rumaa laaja voas aa aokssa akas. Samalla avalla mkä ahasa laaja sääsöö jäämä summa voas yhä hyv sjoaa hvosll lukuj r mukasssa suhssa. ässä aauksssa rajous Σ ss vakua uloks ja amm saau ulos * omaalsll sjouksll o dll vomassa Covr&homas.

13 Ajallaa suraavaks laa jossa laajalla o välö u uolllaa l r <. Ny laaja arvss ajalla lakaa odäkösyyksä vodaks hdä vooa sllä sjoamalla hvosll osuud j m r j r kasvaa hä varallsuusa klalu ulokssa rumaa S X > r krasks. Mua vakka ämä sjoussraga ok äys rskö s maksmo ulausoua. Omaal sjous saadaa ammasa ulokssamm * sllä ällasssa lassa kaaaa ys sjoaa koko varallsuus kä s rajous Σ vakua. Käyäössä ykskää vdoväläjä usk aas mhkää klaluu varma voo mahdollsava kroma mua usamma vdoväläjä arvod mssä rs vo ällasak laa syyä. Kskyää suraavaks ukmaa ralssma laa jossa r >. Eää laaja kaaa sjoaa jokas klalussa juoksvaa hvos kä s kaaa myöskää sjoaa kakka varallsuua yh klaluu. Oamalla käyöö mrkä sääsöö jääväll varallsuudll laaja varallsuudks : klalu jälk saadaa S k X o X k k ja ulausoudks

14 3 W o m log o joka maksmodaa rajoukslla m. Olkoo D d hvos joukko joh laaja sjoaa l jolla > skä joukko D' hvos jolla. Muodosaa luoollsa logarma käyävä kasvuoud Lagrag fuko m m L λ l o λ ja s osasdrvaaoj ollakohda L L o λ ku D o m j λ. o j j j Saadu yhälö ja rajous Σ johava uloks λ r o mssä r D D ku D. r D o Omaal o ss

15 4 D * j o o j D D j j ja joukko D saadaa määräyä suraav arkasluj avulla Klly. Ku D Lagrag fuko osasdrvaaoll ä äyhälö D λ o L joka vodaa krjoaa muooo. D r o Prmuodaa dks s ä o o jollo joukko D ssälää kakk dks mssä o osv kokoasluku a olla. Ja ukaa osamäärää R P F mssä. r R P Jos y o < kasvaa F aramr mukaa kus R. ällö arvo ouaa vaadu hdo ja joukko D o yhjä. Jos aas o > väh F kus o < F a R. Es mau aahussa F > F ja F kasvaa kus R. Joka aauksssa vaadu hdo ouava saadaa valsmalla

16 5 sä : arvosa joka aava osamääräll F mmä osvs arvo. Joukko D ss määräyyy s ykskässs hdosa r < o o > r r ku D ku D. Koko ulausoud maksmorosss vodaa sää suraavalas algorm muodossa:. Prmuodaa dks s ä o o.. Esää slla dks joka aaa mmä osvs arvo lauskkll r. 3. Asaa ma - o mssä ma y arkoaa suurmaa luvusa ja y. ällö Σ -. Omaal ulausous o ä W * o log o log. o Mlko havao o ä * vo olla osv sllasllak hvoslla jolla o <. El odousarvolaa aollsk hvos sjoam vo joskus olla

17 6 kaaavaa koska suurm vooodäkösyys sall mmä : ja ryss sjous sama lähdö uoavam hvos o ällö suurm. Jos klalusa valaa va yks hvo joho sjoaa saadaa omaalsll aoskooll kaava. * o o Ku kahdsa samaa akaa juosavasa klalusa valaa molmmsa yks laava hvo ova äd voj uloks ylsä rumaoma jollo kasvuoudks saadaa hor. l l l l o o o o G o Jos molm hvos krom ova o o ykskrasuu kasvuous muooo l l l l G o joka osasdrvaaoj ollakoh avulla o hlo rakasa omaals aoks molmmll hvosll: G G

18 7 * * m m m m m m m m mssä m Omaals sjouks aroksmo Mkäl laaja lyö hvosklaluu vdo joka aaa voo mahdollss usammallak louulokslla ku va yhdllä r vookrom os saadaa varallsuudks : klalu jälk k X k V S mssä D ku D ku o V V D: ollssa d hvos joukko jolla laaja voaa. Luoollsa logarma käyäväks kasvuoudks ul ällö. l m V G o Ku V : ova ä saadaa logarm aylor' khlmä l avulla kasvuoudll aroksmaao

19 8. E V E V V V V V G m m m o Drvomalla ämä saadaa omaalsll aoskooll aroksmaao * V E V E l voo odousarvo jaua voo lö odousarvolla. Ja ku EV o saadaa lkarvo EV D V avulla vlä * D V V E l omaal aoskoko o lkma voo odousarvo ja varass suhd. Nä saau arvo o hyvä jos EV << D V mkä ok vars yl la.

20 9 5 Sjoams lyvä ävarmuud 5. odäkösyysarvod arkkuus Luku rusuu oks "Elms of Iformao hory" Covr&homas luvu 6. smrkk 6... Palaaa las jossa vdoväläjällä ol umargaala l o r ja jossa laaja sjoaa koko varallsuusa ko. klaluu. Koska r o yks ja koska laaja omaal sjous o * vodaa r ulka vdoväläjä ja laaja arvoks klalu odäkösyysjakaumasa. ulausoud vomm y krjoaa muooo W o log o log D r D r josa ämm ä ulausous o vdoväläjä arvo arkkuud ja laaja arvo arkkuud rous. arkkuudlla arkoamm ässä arvo äsyyä odllssa odäkösyysjakaumasa suhlls roa mlssä. äsä suraa ä laam o uoavaa va jos laaja arvo o arkm ku vdoväläjä arvo. 5. Väärä aoskoo käyäm ukaa mllä välllä laaja käyämä aoskoko vo yksäs vdo lassa vahdlla lma ä lkassa kasvu kääys gavsks. Asamalla ulausoudll dlls luvu loussa saau aroksmaao ollaa saadaa rvaal rakasu lsäks rakasu

21 E V * D V josa lm ä omaals sjouks ähd yl kakskras aoks johava gavs varallsuud kasvuou ja s laam muuuu aollsks odousarvolaa uoavllak lkohlla. Kuvassa la o 55 ulausoud kuvaaja jossa * ja 9867 *. 5.3 O vakuus ämä luku ohjauuu julkasu "h Klly Crro Blakjak Sors Bg ad h Sok Mark" hor lukuu 3.

22 5.3. odäkösyys kä summa saavuamsll : vdo akaa Laskaa Brow lkk avulla aroksmaao odäkösyydll ä laaja saavuaa y ala au summa : vdo akaa. Aroksmoa var olaa jokas vdo kromks kaks o jollo laaja varallsuus joko kasvaa a väh sjou aoks vrra. Olaa myös ä voo odäkösyys o välllä < < ja aos välllä < <. Saakoo rumaoma ja samo jakauu sauasmuuuja V... arvo yks laaja voassa vdo PV ja arvo mus yks laaja hävssä PV - : q. ällö saadaa D E E S l S k k V V l S E l V k l D l S k D l V l V l q l l V l q l k k k k l q q l q q l l l l q l : s G : m m l l Varallsuud logarm l S k muodosaa sauaskulu joka srymä k: vdo jälk o mk ja varass s k. Ku ukaa mllo k: klalu jälk varallsuus S k o suurm a yhäsuur ku vako C jollak k k ova suraava äyhälö dll yhäävä

23 S k C k l S k l C k k V l Y k l C k : k l V m l C mk k. Ny EY k ja D Y k s k ja kysyää odäkösyyä PY k l C - mk k. Sauasmuuuja Y jokasa rmä aroksmo sadard Brow lk X joka varass o s s s s... - s s. Ku o suur saadaa odäkösyydll PY k l C - mk k Brow lkk avulla arvo PX l C - ms s joka vodaa laska kaavalla a I P su X a Φ Φ mssä a ja Φ o sadardormaaljakauma krymäfuko: Φ u du. Kaava I vodaa johaa suraavas hor l II. Jos X o sadard Brow lk ja a skä > o P X a X s jos s > a a s jos s a joka vodaa krjoaa muooo

24 3. X jos.. a X a X a X P m v Laskmalla odousarvo molmmla uolla saadaa. a s a a s a s s a ds ds ds a X P Ja ällö II - ] välllä[ ylää suora a u a a s du ds a X P a X P mssä o hy muuujavaho u s. Ny ku a ja > v dv X P. su Ku ä ja X: kskhajoa jo smmä graal su koh ollaa o graal koh ykkösä ja PX ylää joskus suora a -a. Asamalla a ja saadaa kaava II muooo

25 4 a mssä > Φ Φ P Φ Φ P a X P odäkösyydll ä suoraa koskaa ylä. ämä suraa kaavosa Φ Φ a u a s du d ds mssä s a ja s a. Kaava saadaa dll muooo. su > Φ Φ Φ Φ a X P a arksaa ulos vlä oamalla ä. < Φ Φ Φ < Φ d d P arkasllaa umrsa smrkkä m laaja odäkösyys kakskrasaa C varallsuusa muuuu voj lukumäärä ja dullsuud mukaa.

26 5 Valaa s voj määräks kromks o vooodäkösyydks 54 ja aoksks * 8. Näd avulla saadaa laskua a -ms - 56 l C m s -676 ja l C s 748 joka kaavaa P Φ- - -a Φ - sjoua aava odäkösyydks P 963. Vralu vuoks laskaa mkä kysyy odäkösyys o ku aramr ova muu sama mua a 5 ja * 4. Vasauksks saadaa kohdassa a P 99 ja kohdassa P Jos ämä odäkösyyd maksmo sovas valulla aramrllä C ja oas krrks aoskokoo valaa am kasvuoud maksmova aosus ols ää omaal odäkösyys hävä osa alkuääomasa arkasllaa y odäkösyyä jolla laaja varallsuus uoaa joskus yy osaa alkuvarallsuudsa. Kysyää ss odäkösyyä PS k jollak k k. Edlls kaal aaa saadaa ällk kysymyksll aroksmaao Brow lkk avulla: P a mssä a ms ja l. ämä vodaa krjoaa vlä muooo m s. P Oluksa o dll ä vdolla o krom o.

27 6 arkasllaa smrkkä laa 55 ja * josa saadaa ms 5 ja P 5. Paoks ollssa * ko. odäkösyydllä ok jakuvaaka aroksmaao P Varallsuusla odäkösyys kä krrosmäärä jälk Kysyää odäkösyyä jolla ala määräy krrosmäärä jälk laaja varallsuus o vähää yssä avosummassa. Brow lkkll X ä P X a { } a a d { u } du mssä o sjou u jollo laus a aaa u a ja u a. Saau graal o yhä ku Φ a Φ a Φ Φ josa saadaa myös vasaus syy kysymyks. Esmrkkä la C 54 o ja * 8. Ny -m s -676 l C s 748 ja P Odoavssa olva aka kä avo saavuamsll Johdaa kä avosumma saavuams arvav voj lukumäärä odousarvoll aroksmaao hor luku 3 ja l III

28 7 C logc W mssä C > S o avo ja W ulausous aoskoolla. Koska ulausoudlla W o maksmkoha W* sssä saa odousarvo C mmä arvosa ku *. Jakuvassa aauksssa omaals kasvuoud sjoussraga * ss mmo kä avo saavuams arvava aja odousarvo. Aroksmaao johamsks olaa ä o joka vdolla. Skä dää uua kaavaa a a { a } d [ rf a rf a ] C 4a mssä rf z z : d ja a. Koska yhälö vas uol o osv vaadaa raals a: aauksssa a > muuo yhälö oka uol sas gavs arvo. Pdää myös uua yhälöä a { a } d a raalslla luvulla a > ja >. Olaa ä kaavassa a > ja > ja sää raja-arvo rf a ja rf a -. Saadaa lm ja lm fukoll

29 8 lm lm a lm a a lm a jollo yhälösä ul 4a a 4a a a [ rf rf ] rf a koska dää ä rf. Korvaamalla kaavassa a a :lla ja :lla saadaa I a a { a } d a l sama ku ammk. Valsmalla kaavassa almmaks grorajaks saadaa grovakoll C arvo suraavas: 4a 4a { a } a a [ rf rf ] a a [ ] C d C sllä 3

30 9 F : 4a { a } d a a [ rf a rf a ]. Drvomalla F ähdää kuka kaava 3 o mahdollss löydy: F' { a } a a [ a rf ' a a rf ' a ]. 4a Ny ku rf ' z z o rf ' { } a a { a a } a { a } ja asamalla - rf ' { } a a a jollo F ' 4a a a a { a } [ a] { a } { a }.

31 3 Kosava aaus o ku a < ja >. Odoaa ä > a F ku ja > a > F d < ku. Jos > ja a Φ ku. F Φ Φ Φ Ja ku odo myös F ku. Jos > ja a > F Φ a a Φ a a < ku. Φ a Φ Jos F Φ-a Φa. Asaa F PX a jollak joka o yhä ku Φ- - - a Φ - mssä a ja l a. Olaa ä > ja a < jollo F skä lm F ja lm F. F o krymäfuko sllä lm F Φ lm F Φ a a Φ Φ. Ja vasaava hysfuko o

32 3 ' ϕ ϕ F f a mssä 3 a ja ϕ sadardormaaljakauma hysfuko a a a a ϕ ϕ. 3 3 a a a a a a a a f a a a a Odoava aka avo saavuamsks o d a d f E a josa saadaa muuujavahdolla d d

33 3. a I d a E a a Ny. jo > < a a a E a a I a a I a a a a Huomaaa ä 3 > a F a kaklla a jo F o ados kasvava. Koska lm F o F kaklla ja ä kaava käyäm myös arvolla a < uuu järkvälä. Varmsaa ämä oamalla ä E a ku a - E a ku ja E a ku a. Huomaaa myös. ä lm a E a mkä kroo ä "rlussa" kolko hossa äärllsllä ääomalla laava laaja vararkkoo jouums ajakohda odousarvo o äärö. Kaava E a arkoaa ä aja odousarvo o sama ku s jossa a ja X lkkaava:

34 33 E a a m s l C m l q l G s * E q [ l ] G * l q l q l C s G ku m >. Nä o saau aja odousarvo varassykskössä. Ja koska s varassykskköä o yks vo saadaa voj lukumäärä odousarvoks E lc l C logc s m G W C :. arksaa kaava oamalla ä s ouaa suraava hdo: C ku C C ku C C ku m C ku m.

35 34 6 Lsäformaao vakuus uooo Luku ohjauuu oks "Elms of Iformao hory" Covr&homas lukuh 6. ja 6.3. Olaa ä laaja saa käyöösä joak ulv klaluj louuloks vakuavaa lsäformaaoa joka ä oll myös vakuaa hä om lvalohsa. arkasllaa y m ämä formaao vakuaa varallsuud kasvuou. Oaa lsäformaaoll käyöö mrkä Y. Ja ku ammk käyää mrköjä ja o hvos X {...m} vooodäkösyydll ja kromll skä mrkää hvosll häväsä sjoukssa sllo ku lsäformaaoa ol käyävssä. Olkoo sauasmuuujaar XY yhssodäkösyys y ja olkoo y hvosll sjoava osuus varallsuudsa sllo ku y o havau. Ku ja y skä Σ ja Σ y mrkää ulausoud suraavas W * X ma log o W * X Y ma y y y log y o ja määrllää lsäks ulausoud muuos W W*X Y - W*X joka maa lsäformaao aamaa rahallsa hyöyä. Omaal hdoll kasvuous W*X Y saavuaa ku * y y jo W * X Y ma E[log S] ma y y ylogo y log o H X Y. y logo y

36 35 ulausous lma lsäformaaoa o W * X logo H X. Ja ulausoud muuos vodaa y krjoaa W W * X Y W * X H X H X Y I X ; Y. ulausoud kasvu o ss yhä suur ku hvosklalu ja lsäformaao yhsformaao. Käyäössä ärk lsäformaao lähd o hvos suoruks ammssa klalussa. Mkäl klalu ova rumaoma ällä formaaolla ol laajall mää arvoa. Mua lassa jossa klalu vä ol ossaa rumaoma vomm laska hdolls ulausoud ku am klaluj uloks ova laaja dossa. Olaa ä hvosklaluj louulos sarja {X k } muodosaa sokass rosss ja ä am klaluj uloks vakuava myös laaja sjoussragaa. ällö lassa jossa jokas hvos vookrro o yhä suur ku hvos lukumäärä o m o omaal ulausous W * X k X k E X k ma... X X k X k... X log m H X k E X [ log S X X X... X ] k X k k... X k k joka saavuaa ku * k k-... k k-....

37 36 Plaaja varallsuus : klalu jälk o S S X k k ja kasvuoud kso ola o m E log S E log S X log m H X X H X X... X log m X.... X Suur HX X...X kuvaa yhd klalu kskmääräsä roaa. Saoaarsll rosssll joka roa o Hℵ saadaa dlls kaava rajaarvoa lm E log S H ℵ log m. Havasmm ä ä ulausoud ja roa summa o vako. 6. Esmrkk lsäformaaosa Esmrkk rusuu oks "Elms of Iformao hory" Covr&homas smrkk Lsäformaao vakuuks havaollsamsks arkaslmm korlä jossa käydää lä 5 kor akka 6 musaa ja 6 uasa kora ja laaja lyö voa sä oko suraava kor musa va ua. Plaaja saa aa kakskrasa

38 37 akas okaa vär sjoamasa raha ja mää vääräll värll hdy sjouks. Am ulosmm mukaa laaja kaaaa ällasssa lssä sjoaa jokas kor kohdalla koko varallsuusa sragalla *. Esmmäsllä korlla kaaaa ss sjoaa musall ja uasll osuud ja. Ja mkäl smmä kor ol ua ova sjouks suraavall korll hdolls odäkösyyks 6 5 mukass 5 musall ja 5 uasll. Nä jakaa kus koko akka o käyy lä. Ajallaa vahohoss ä vosmm lyödä voa koko 5: kor sarjasa yhdllä 5 kraa. Mahdollsa sarjoja o ällö 6 kaala ja joka sä o yhä odäkö. Ku äsk joka ok vkau kor alau sjouks akas kakskrasa aaa vasaavas y koko sarja ok vkkaam sjou summa akas 5 5 -krasa. Koska Σ r 6 5 < o omaal 5 sjoussraga aas *. Sjous kullk sarjall o ss 6 varallsuudsa. laaja Havasmm ä mau kaks lä ova kskää kvval. Esmmäs kor kohdalla o molmmssa vahohdossa uol varallsuudsa sjoua musall korll ja uol uasll. Ja vasaavas kummassak lssä o jokasssa vahssa molmmll värll sjoua d odäkösyyksä vasaava osuud jäljllä olvasa varallsuudsa. Eroa o va ä smmässsä lvahohdossa vooja maksaa jokas kor jälk ja osssa aas vasa ku vmk kor o kasou. Ku jokasll 5: kor sarjall sjoaa osuus 5 ja yks äsä sjoukssa 6 voaa akas 5 -krasa saadaa l jälksks varallsuudks

39 38 * S Loull voosumma o ss vako molmmssa lvahohdossa kä s lssä sauvalla kor järjsyksllä ol mrkysä louuloks kaala.

40 39 7 Ulora Ku jo amm od o kysymys "oka" aoskoo määrämssä sujkv ru laaja hklökohassa rskoohalukkuudsa ja uooavosa. Ulora arjoaak ko hklökohas rfrss säms umrsssa muodossa ja s myös laos valaa lma muulasa mahdollss kokosla uuva avo asluja. Svuuaa kuk kysymys om rfrss slvämssä joka ol ava ykskrasa. 7. Prfrss ja ulfuko Suraava määrlmä ohjauuva kurss "Baysläs lasolls mlmä" Mäklä luomos lukuu III. Vakka ora sall mlvalas suraus käslms kskyää ässä rskh l aroh jod surauks ova rahallsa. Surauks ova ääökskjäll jok arvo omaava asoa ässä ss varallsuuslaa a s muuoksa. Olkoo suraus joukko ζ R - avo uolavo a sulju väl. Joukossa ζ määrllää äärlls jakaum aroj V joukko ζ * suraavas: V ζ * jos ja va jos PA jollak äärllsllä joukolla A ζ. Suraus a ja ara jolla Pa samasaa: ζ ζ *. Prfrssrlaao f joukossa ζ * määrllää rlaaoa joka ouaa hdo V V V fv ζ * V & V fv fv 3 av V fv fv 3 vralavuus rasvsuus.

41 4 Prfrssrlaaolla lmasaa aroj välsä armmuusjärjsysä: V f V arkoaa ä V o arm a yhä hyvä ku V. Fuko u: ζ * R o ulfuko jos s o laar l jos u λv λ V λu V λ u V ku λ ja V V. ζ * Ulfuko u vasaa rfrssrlaaoa f jos V f V uv uv. Ulfukolla o myös sys uv u E V josa saadaa ul odousarvohyos: V f V E V u E V u. Pääökskjä rfrssjä vodaa ss kuvaa ulfukolla joka ääökskolassa asaa r ääösvahohdo armmuusjärjsyks jollo vala suoram o hloa. 7. Logarm ulfuko Valsmalla kokoasvarallsuudll ulfuko u l havaaa ä ämä ul maksmo ja amm käsly kasvuoud maksmo ova kskää kvvalja. Kys ulfuko o määrly va osvslla : arvolla ja lm l skä lml. O kuk äralssa ää äärömä suura varallsuua äärömä hyvää laa ja ollalaa äärömä huooa. arkasllaa smrkks lä jossa kolkkoa hää kus ul smmä klaava. Jos klaava ul :llä holla voaa laaja markkaa. Voosumma o ss jok suraavsa odäkösyyks Suur summa voam o ss kov äodäkösä. Voo odousarvoks o hlo oda äärö jo odousarvo maksmova laaja ols valms luoumaa kaksa

42 4 omasuudsaa saadaks osallsua l. Mua myösk l-ulfuko mukaa omva laaja ols valms maksamaa mlvalas aljo osallsumsokudsa sllä ul odousarvo kyssssä lssä o ällö l log. älla aradoks vodaa muoolla kakll ylhäälä rajoamaomll ulfukoll. Sks rajoamaoma ulfuko ova va aroksmaaoa odllssa lasa kä smrkks kasvuoud maksmo arkkaa oa vasaa kkää raoaalss omva laaja rfrssjä. 7.3 Ehdokas rajouks ulfukoks Oma hdokkaa kokoasvarallsuud ulfukoks o mssä ][ ja >. v : l Fuko avoa o musuaa omasuukslaa mahdollsmma aljo kasvuoud maksmovaa logarmsa ulfukoa mua joka o kuk aramr muuokslla rajou skä alhaala ä ylhäälä. Kaha lsäaramrä vodaa käyää hklökohas rskhallarfrss säääms. Fuko o kuvaus v: [ [ [l l[. Arvolla ols v l kvval l-ulfuko kassa jo määrää s okkavuud ykskrassa logarmfukosa. Paramr määrää s varallsuusla joka ymärsössä fuko vasaa l- ulfukoa kaklla arvolla. ämä vodaa osoaa arkaslmalla fukod rskkahdaafukoa joka määrllää kaavalla u r u

43 4 mssä r o ulfukoa u vasaava rskkahdaafuko. Fukoa l ja v vasaava rskkahdaafuko ova. ku l ku 3 4 v u r u r Psssä saava molmma rskkahdaafuko sama arvo sllä jälkmmä o sllo. r Nä o odu ulfukod l ja v vasaava osaa sssä. Kuvassa fuko v aramr ja skä fuko l:

44 l v Yksäs vdo aauksssa { } { } S P V o S P V mssä S o laaja varallsuus o ul. l l S o S V v Drvomalla saadaa. S S o S o S S o V v Ja drvaaa ollakohdasa saadaa aoskooll kaava. o S S S o o S Jos kaava aaa arvo > sjoavaks ul koko varallsuus.

45 44 Suraavassa : kuvaaja varallsuud S fukoa ku o ja 55 jollo * : Ulfuko v aaa lkma l-ulfukoa vasaava aoskoo sllo ku varallsuus o : ymärsössä. ää mmllä varallsuukslla aoks ova suurma ja vasaavas varallsuud ollssa suurm ku ova aoks mä. Raja-arvo o o lm S o o suuruudlaa luokkaa *. Svulla 5 käsl vasaava kasvuoud omova aoskoko * o. o Kasoaa vlä m ulfukolla v ja l saadu markkamääräs aoks roava. Kuvassa S: ja * S: kuvaaja S: fukoa ku o ja 55:

46 *S S Rsk vralua smulomalla Smulo arjoaa kävä ko vrraa ulfukod v ja l rskasoja. Eräs mlko rsk ma saadaa kysyässä odäkösyyä jolla varallsuus kakskrasuu uolumsa. Olkoo sauasmuuujalla X arvo yks sllo ku varallsuus kakskrasuu uolumsa kokssa ja arvo olla jos varallsuus uoluu kakskrasumsa. ällas kok smulo uoaa ooks Broull jakaumasa Bµ P P { X } { X } µ joka odousarvo ja varass ova EX µ ja D X µ-µ. Kosava suur o osums suhll osuus joll E µ ja D X X sysv äyhälö X µ. µ X µ

47 46 P k { X µ kσ } k > joka ä sllasll sauasmuuujll X jolla o odousarvo EX µ ja varass D X σ > aaa valalla k ε Broullkosarjaa koskva µ µ äyhälö uom P µ µ { X µ ε} josa saadaa laskua haluu arkkuud saavuams vaadav Broullkokd lukumäärä. Esmrkks 99%: luoamusasolla vähää yhd ros arkkuud saavuams arvaa 5 koa sllä ε { X µ } µ µ P 99 µ 5 µ µ ma µ ][ 99 * 4* 99 * 5. Plaassa yksäsä voja jolla o ja 55 okosmulaao ao l ulfukoa käyä l * aoks 5 : kok sarjassa odäkösyydks P{S kakskrasuu uolumsa} 678%. Yksä ko ääyy ässä sh ku varallsuus o joko kakskrasuu a uoluu alkulas vrraua. Suraavassa aulukko jossa vasaava odäkösyyd o smulou käyämällä ulfukoa v rlaslla aramr ja arvolla. Alkuvarallsuua käy arvoa S % 74% 677% 644% 598% 785% 733% 678% 6% 56% 4 8% 754% 68% 589% 53% 8 85% 765% 683% 588% 5%

48 47 aulukosa ähdää odous mukass ä rsk ova lkma sama suurusa varallsuud ollssa. Ja varallsuud kasvassa rsk vä. ämä mukaa laaja o vasaavas valms oamaa suurma rskjä sllo ku varallsuus o. ämä o luoollsa sllä hyv varallsuusasma ollssa kysssä vo summa käyäöhyöy olla jo vähä ol juurkaa mrkysä hävääkö laaja louk jäljllä olvasa varallsuudsaa va. ällö ols joka aauksssa saaava lsää varallsuua vdolyö ulkouolla joa l jakam ols mrkyksllsä.

49 48 Krjallsuuslulo Covr homas M. & homas Joy A. 99 Elms of Iformao hory. Wly Srs lommuaos. Klly J.L. Jr. 956 A Nw Irrao of Iformao Ra. Bll Sysm hal Joural Mäklä mo "Baysläs lasolls Mlmä"-kurss luomos. Hlsg Yloso. hor Edward O. 997 h Klly Crro Blakjak Sors Bg ad h Sok Mark. h h Iraoal Cofr o Gamlg ad Rsk akg. uom Pkka 996 odäkösyyslaska I. Lms ry.