Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Transkriptio

1 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva jakauma, Kertymäunktio, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Korrelaatio, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysunktio, Regressiounktio, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Tiheysunktio, Varianssi, hteisjakauma 6.. Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömyydellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen,, 3, 4, 5, 6 todennäköisyydet ovat yhtä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat Määrää: (a) (b) (c). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Z Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. E(Z) Var(Z) (d) Cov(, Z) (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla. () Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla Z 3. (g) E(Z ) Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja pistetodennäköisyysunktiot (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Ilkka Mellin (4) /3

2 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Muodostetaan heittotulosten erotuksille Z. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: Erotus. nopan heiton tulos Z nopan heiton tulos Satunnaismuuttujan Z mahdolliset arvot ovat 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 Satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyysunktio Z (k) Pr(Z k), k 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 voidaan lukea yllä esitetystä aputaulukosta. Pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: k Z (k) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Esimerkiksi 3 voi tulla erotuksen Z arvoksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Erotus Z Ilkka Mellin (4) /3

3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Z (i, k) Pr( i ja Z k) voidaan esittää seuraavana taulukkona: Z (i, k). nopan heiton tulos i /36 4 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Z /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 k /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 4 /36 /36 5 /36 Esimerkiksi: Z (, 4) Pr( ja Z 4) koska silmälukujen erotukseksi ei voi tulla 4, jos. nopalla saatiin. Esimerkiksi: Z (3, ) Pr( 3 ja Z ) /36 koska tulos { 3 ja Z } voi syntyä täsmälleen yhdellä tavalla: 3 ja 4 Ilkka Mellin (4) 3/3

4 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) ipr( i) i 6 i Vastaavasti myös i 6 ( ) E() /6 3.5 leisesti pätee: Siten E( ) E() E() E(Z) E( ) E() E() (c) Satunnaismuuttujan. origomomentti on E( ) i Pr( i) i 6 i i ( ) 5. Siten satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) E[ E( )] Vastaavasti myös E( ) [E( )] Var() 35/.97 Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Siten Var( ) Var() + Var() Var(Z) Var( ) Var() + Var() 35/ Ilkka Mellin (4) 4/3

5 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Todistamme ensin seuraavan aputuloksen: Cov(, ) Var() Cov(, ) Koska kovarianssi on invariantti siirron suhteen, niin voimme olettaa, että E() E() Tällöin Cov(, ) E[( )] E[ ] E( ) E() Var() Cov(, ) Koska ja on oletettu riippumattomiksi, niin Cov(, ) Siten satunnaismuuttujien ja Z kovarianssiksi saadaan Cov(, Z) Var() 35/.97 (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on, pistetodennäköisyysunktiot saadaan kaavalla Z (, i k) ( k), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z () i Ilkka Mellin (4) 5/3

6 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: Z (k). nopan heiton tulos i /6 4 /6 /6 3 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Z /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 3 /6 /6 /6 4 /6 /6 5 /6 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) (4) Z Z () 6 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 ( ) () 6 6 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. () Satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on Z, pistetodennäköisyysunktiot, saadaan kaavalla Z (, i k) ( i), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z ( k) Z Ilkka Mellin (4) 6/3

7 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: Z (i). nopan heiton tulos i / / 3 /3 /3 /3 /4 /4 /4 /4 Z /5 /5 /5 /5 /5 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /5 /5 /5 /5 /5 /4 /4 /4 /4 3 /3 /3 /3 4 / / 5 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) () Z Z 4 Z (4) 36 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 () ( ) Z Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan Z (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. (g) Kohdan (e) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan ehdollinen odotusarvo E(Z ) z Z (k) helposti esitettyä taulukkomuodossa: Ilkka Mellin (4) 7/3

8 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A i E(Z i) Laskemalla saadaan esimerkiksi, että 5 E( Z ) kpr( Z k ) k 5 3 k.5 6 k Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( 3) Pr( ) Pr( ) Pr( ) /4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat. (c) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi. (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio. (e) Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla. Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: (, y) y 3 /4 /4 /4 /4 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien () Pr( ) y (, y) (y) Pr( y) (, y) Ilkka Mellin (4) 8/3

9 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A pistetodennäköisyysunktiot saadaan yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota esittävästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: (, y) (y) 3 /4 /4 y /4 /4 / /4 /4 () / /4 /4 (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) Pr( ) i i i Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) Pr( ) i ( ).75 Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 7 D( ).99 6 Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) y Pr( y ) i i i Ilkka Mellin (4) 9/3

10 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) y Pr( y ) i ( ) Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 5 D( ) (c) Määrätään ensin 3 3 E( ) y Pr(, y ) i j i j i j ( ) ( ) + ( ) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) E[( E( ))( E( ))] E( ) E( ) E( ) (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on Cov(, ) Cor(, ) D( ) D( ) Ilkka Mellin (4) /3

11 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (e) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot, kun ehtomuuttujana on : : ( y) ( y, ) ( ) y 3 (y) / / : y 3 (y) : y 3 (y) Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisyyksillä. () Ehdolliset odotusarvot E( ) y (y) saadaan kohdasta (e): E( ) / 3 Esimerkiksi: 3 E( ) y Pr( y ) j j j Ilkka Mellin (4) /3

12 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.3. Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) C( + y),, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ( + y) dyd C y + y d Ratkaisuksi saadaan C C + d + C C + C Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on muotoa (, y) + y,, y Ilkka Mellin (4) /3

13 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: ( ) Pr ( + y) dyd y y d d d 3 (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu ( u + v) dvdu y y y uv v du + + uy y du u y+ uy y+ y y( + y) Ilkka Mellin (4) 3/3

14 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + ( + ydy ) y + + y Vastaavalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y+ Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska ( ) ( y) y+ + y+ + y (, y) 4 (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on ( ) ( y, ) ( y) ( + y) y + Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + E( ) ( d ) ( + y) d (y + ) ( ) + y d y y y + 3 3y + 3 y + Ilkka Mellin (4) 4/3

15 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) Cy,, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( /, / ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ydyd C y d Ratkaisuksi saadaan C 4 C d C 4 C 4 Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on ( y, ) 4y,, y Ilkka Mellin (4) 5/3

16 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: Pr, 4 ydyd 4 y 4 3 d 8 d (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu y y uy du 4 u y 4 y uvdvdu uv y du (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + 4ydy y Samalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y Ilkka Mellin (4) 6/3

17 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, koska ( ) ( y) 4 y (, y) (e) Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: ( ) ( y, ) ( y) 4y y ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. () Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan odotusarvoon. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: + E( ) ( ) d ( d ) E( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Ilkka Mellin (4) 7/3

18 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.5. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, ) Pr(, +) Pr(, ) Pr(, ) /4 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y /4 /4 /4 /4 / /4 /4 p. /4 / /4 (a) Todetaan ensin, että E() E() Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y [ ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) ] 4 Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p /6 p. p. Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Ilkka Mellin (4) 8/3

19 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat ympyrän kehällä. + y 6.6. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, 4) Pr(, 4) Pr(, ) /3 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y 4 /3 /3 /3 /3 /3 p. /3 /3 /3 (a) Todetaan ensi, että E() E() 8/3 Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y 8 8 (4 ) ( ) (4 ) Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Ilkka Mellin (4) 9/3

20 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p 4 /9 p. p. 4 Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat paraabelin kaarella. y 6.7. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) E( ) Var( ) 4 E( ) + Var( ) 5 Cov(, ) 5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Cor(, ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, +, 4, 5, 5) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 5 Ilkka Mellin (4) /3

21 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat normaalisia: ~ N(, 4) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 ja ~ N(+, 5) jossa E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( y) µ + ρ ( y µ ) σ ( y ) 5 4 y 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 4 Ilkka Mellin (4) /3

22 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ 5 ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( ) ( ρ ) σ < 5 σ 4 4 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) Cor(, ) E( ) Var( ) 5 E( ) 5 Var( ) 4 Cov(, ) 8 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on. Ilkka Mellin (4) /3

23 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, 5, 4, 5, 8) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ 5 Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 8 (a) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (b) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ ( ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on, on Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ilkka Mellin (4) 3/3