Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P
|
|
- Timo Mäkinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2018
2 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä 3 12 Matriisien laskutoimituksia Matriisien yhteen- ja vähennyslasku Skalaarilla kertominen Matriisien kertolasku 5 13 Erikoistyyppisiä matriiseja Diagonaalimatriisi Identiteetti matriisi eli Yksikkömatriisi Nollamatriisi 8 14 Transponoitu matriisi 9 15 Matriisin determinantti Determinantin määrääminen Determinantin ominaisuuksia Käänteismatriisi Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi Käänteismatriisin ominaisuuksia Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen Panos-tuotos malli 19 2 Yhden muuttujan funktion optimointi Funktion f(x) ääriarvo Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen Paikallisten ääriarvokohtien laatu 26 3 Kahden muuttujan funktion optimointi Normaalit ääriarvot (ei sidotut) Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu Sidotut ääriarvot Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa Hyötyfunktion maksimi 34 1
3 4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista Normaali ääriarvo (ei sidottu) Usean muuttujan funktion ääriarvokohta Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu Sidotut ääriarvot n:n muuttujan ja m:n yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n n:n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus 41 5 Lineaarinen optimointi Geometrinen ratkaisu Kantaratkaisu menetelmä 44 2
4 1 Matriisialgebra Matriisien avulla voidaan - ratkaista yhtälöryhmiä - ratkaista optimointitehtäviä - laatia erilaisia malleja esim panos-tuotos malli 11 Määritelmä Matriisi on taulukko a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n = A m n = (a ij ) = (a ij ) m n, missä luvut a ij ovat reaalilukuja Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi Alkio a ij on matriisin A i:nnellä vaakarivillä ja j:nnellä pystyrivillä oleva alkio Matriisi, jossa on m vaakariviä ja n pystyriviä, on m n matriisi; merkitään A m n Jos m = n, niin A on neliömatriisi Kaksi matriisia a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1s ja B = b r1 b rs r s ovat samat eli A = B, jos ja vain jos (i) m = r ja n = s (ii) a ij = b ij i, j Jos matriisissa n = ( 1 eli se on m 1-matriisi, niin kysymyksessä on m ulotteinen u1 ), missä u i on vektorin ū i komponentti pystyvektori ū = u m Vastaavasti v = (v 1,, v n ) on n-ulotteinen vaakavektori eli 1 n matriisi ja v i on vektorin v i komponentti 3
5 12 Matriisien laskutoimituksia 121 Matriisien yhteen- ja vähennyslasku Matriisit A ja B voidaan laskea yhteen (vähentää toisistaan) jos ja vain jos ne ovat molemmat m n matriiseja Olkoot A ja B m n matriiseja, ts a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1n B = b m1 b mn m n Tällöin a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = a m1 + b m1 a mn + b mn m n Vastaavasti a 11 b 11 a 1n b 1n A B = a m1 b m1 a mn b mn m n Matriisien yhteenlasku on 1 vaihdannainen: A + B = B + A, 2 liitännäinen: A + (B + C) = (A + B) + C Matriisien vähennyslaskulla on 1 voimassa: A (B + C) = A B C Esimerkki 11 Laske ( ) ( ) ( 20 8 )
6 122 Skalaarilla kertominen Matriisilaskennassa reaalilukua kutsutaan skalaariksi Olkoon nyt A = (a ij ) m n ja k R Tällöin a 11 a 1n ka = k a m1 a mn m n ka 11 ka 1n = ka m1 ka mn m n = (ka ij ) m n = Ak Esimerkki 12 Laske 3 ( 0 2 ) Huomautus A B = A + ( B) = A + ( 1) B 123 Matriisien kertolasku Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) r s tulo AB on mahdollinen jos ja vain jos n = r Siis matriisin A pystyrivien lukumäärä on sama kuin matriisin B vaakarivien lukumäärä Matriisi A on tulon AB edellinen tekijä ja B jälkimmäinen tekijä Olkoon A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n s Tällöin missä A m n B n s = (AB) m s = (c ij ) m s, c ij = n a ik b kj k=1 eli alkio c ij saadaan matriisin A i:nnen vaakarivin ja matriisin B j:nnen pystyrivin pistetulona 5
7 Siis a 11 a 1n AB = a m1 a mn m n b 11 b 1s b n1 b ns n s = n n a 1k b k1 a 1k b ks k=1 n n a mk b k1 a mk b ks k=1 k=1 k=1 m s Esimerkki 13 Olkoon ( ) A =, B = ja C = ( ) Laske AB, BA ja AC Matriisien kertolasku on 1 liitännäinen: A(BC) = (AB)C, 2 ei vaihdannainen: siis yleensä AB BA Esimerkki 14 Laske 0 (2, 1, 0) 1 2 ( ) ( (2, 1, 0) 2 ) ( ) ( )
8 13 Erikoistyyppisiä matriiseja 131 Diagonaalimatriisi Olkoon A = (a ij ) n n neliömatriisi Matriisin A päälävistäjän muodostavat alkiot a 11, a 22,, a nn Matriisi A on diagonaalimatriisi, jos matriisin A muut alkiot paitsi mahdollisesti päälävistäjän alkiot ovat nollia Eli a 11 a 1n A = a n1 a nn on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0, kun i j, eli n n a a A = 0 0 a (n 1)(n 1) a nn n n 132 Identiteettimatriisi eli Yksikkömatriisi Yksikkömatriisi on diagonaalimatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä Siis A = (a ij ) n n on yksikkömatriisi, jos { aij = 0, i j a ii = 1, i = 1, 2,, n Yksikkömatriisia merkitään symbolilla I n (= I n n ) Siis I n = n n 7
9 Esimerkiksi I 1 = (1), I 2 = ( ) , I 3 = Lause 11 Olkoon A m n matriisi Tällöin A m n I n = I m A m n = A m n 133 Nollamatriisi Matriisi A = (a ij ) m n on nollamatriisi, jos a ij = 0 i, j Nollamatriisia merkitään Ōm n Siis Ō m n = m n Esimerkiksi Ō 2 3 = ( ) Lause 12 Olkoon A m n matriisi Tällöin ja A m n + Ōm n = Ōm n + A m n = A m n A m n Ō n k = Ōm k sekä Ō k m A m n = Ōk n 8
10 14 Transponoitu matriisi Olkoon A m n matriisi Matriisin A transponoitu matriisi A T on n m matriisi, jonka i vaakarivi on matriisin A i pystyrivi (ja vastaavasti j pystyrivi on matriisin A j vaakarivi) Jos a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n a 11 a 21 a m1, niin A T a 12 a 22 a m2 = a 1n a 2n a mn n m Huomautus (u 1,, u n ) T = u 1 ja v 1 T = (v 1,, v n ) u n v n Huomautus Diagonaalimatriisin D transponoitu matriisi D T on aina alkuperäinen diagonaalimatriisi, eli D T = D Esimerkki 15 Olkoon Määrää A T A = Neliömatriisi A = (a ij ) n n on symmetrinen, jos a ij = a ji i, j Tällöin A = A T Huomautus Olkoot A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n ja C = (c ij ) n r Tällöin (A + B) T = A T + B T ja (BC) T = C T B T 9
11 15 Matriisin determinantti Determinantti on yksikäsitteinen reaaliluku ja määritellään vain neliömatriiseille Matriisin A determinanttia merkitään det A ja A 151 Determinantin määrääminen 2 2 -matriisin determinantti: Kun niin ( ) a11 a A = 12 a 21 a det A = A = a 11 a 22 a 12 a 21, 1 1 -matriisin determinantti: Kun niin Esimerkki 16 Laske A = ( a 11 )1 1, det A = A = a Determinantin määrittäminen yleisesti: Olkoon matriisi A n n ja n > 2 Matriisi M ij on sellainen (n 1) (n 1) matriisi, joka saadaan matriisista A n n poistamalla siitä i vaakarivi ja j pystyrivi Matriisi M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä alimatriisi Determinantti det M ij = M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä alideterminantti Skalaari A ij = ( 1) i+j M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä kofaktori 10
12 Jos n > 2, niin matriisin A n n determinantti palautuu 2 2 matriisin tapaukseen seuraavasti: Matriisin A determinantti det A = A = n a ij ( 1) (i+j) M ij j=1 i {1,, n} Tällöin det A on kehitetty i vaakarivin mukaan Samoin det A = A = n a ij ( 1) (i+j) M ij i=1 j {1,, n}, jolloin det A on kehitetty j pystyrivin mukaan Edellä n n matriisin A determinantti det A = A määrätään sen tiettyjen (n 1) (n 1) alimatriisien determinanttien avulla Menettelyä jatkamalla saadaan (n 1) (n 1) matriisien determinantit määrättyä niiden tiettyjen (n 2) (n 2) alimatriisien determinanttien avulla Toistamalla yo menettelyä jokaisen n n matriisin A determinantti voidaan palauttaa sen tiettyjen 2 2 alimatriisien determinanteiksi Tässä menettelyssä matriisin A determinantin kehittäminen voidaan aloittaa sen minkätahansa vaaka- tai pystyrivin mukaan Esimerkki 17 Olkoon Määrää A A = Determinantin ominaisuuksia Olkoot A ja B n n-matriiseja 1) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) kerrotaan vakiolla c R, niin determinantti muuttuu c kertaiseksi 11
13 Esimerkki 18 Laske ) Jos matriisin A johonkin riviin lisätään jokin muu samansuuntainen rivi vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu Tavoite: Paljon nollia riville, jonka suhteen determinantti kehitetään Esimerkki 19 Laske ) Jos matriisi A = (a ij ) on yläkolmiomatriisi, jolloin kaikki alkiot päälävistäjän alapuolella nollia, tai alakolmiomatriisi, jolloin kaikki alkiot päälävistäjän yläpuolella nollia, niin det A = A = a 11 a 22 a nn 4) Jos A = (a ij ) on diagonaalimatriisi, niin A = a 11 a 22 a nn 5) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) koostuu pelkästään nollista, niin A = 0 (Kehitetään determinantti ko rivin suhteen) 6) Jos matriisin A kaksi samansuuntaista riviä ovat samat, niin A = 0 7) A = A T 8) AB = BA = A B Esimerkki 110 Olkoon Määrää A A =
14 16 Käänteismatriisi Olkoon A n n neliömatriisi Sellaista n n matriisia B, joka toteuttaa ehdon AB = BA = I n sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään B = A 1 Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia Matriisi, jolla on käänteismatriisi, on säännöllinen Lause 13 Matriisilla A n n on käänteismatriisi A 1 olemassa jos ja vain jos det A 0 Tällöin käänteismatriisi A 1 on yksikäsitteinen ja AA 1 = A 1 A = I n 161 Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi 1) Käänteismatriisi kofaktorien ja determinantin avulla: Olkoon A n n matriisi, jolle det A 0 Olkoon K seuraava matriisin A kofaktorien A ij muodostama matriisi: A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n K =, A n1 A n2 A nn missä A ij = ( 1) i+j M ij Tällöin on paikkaan ij liittyvä kofaktori A 1 = 1 det A KT Esimerkki 111 Määritä matriisin A = käänteismatriisi A 1 13
15 2) Gaussin eliminoimismenetelmä: Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Muodostetaan matriisi a 11 a 12 a 1n ( ) a 21 a 22 a 2n A In = a n1 a n2 a nn n 2n Tässä matriisissa voidaan i) vaakarivi kertoa millä tahansa vakiolla, ii) jokin vaakarivi lisätä vakiolla kerrottuna toiseen vaakariviin, iii) vaihtaa vaakarivit keskenään Näillä operaatioilla pyritään muuttamaan matriisi ( A ( ) I B, jolloin matriisi B = A 1 I ) muotoon Esimerkki 112 Määritä matriisin A = käänteismatriisi 162 Käänteismatriisin ominaisuuksia Olkoon A ja B n n matriiseja, joille A 1 ja B 1 on olemassa Tällöin 1) (A 1 ) 1 = A, 2) (A 1 ) T = (A T ) 1, 3) (AB) 1 = B 1 A 1, 4) det (A 1 ) = 1 det A 14
16 17 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen 1) Tarkastellaan yhtälöryhmää, jossa muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 (1) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = c n missä kertoimet a ij ja vakiot c i ovat tunnettuja reaalilukuja Kyseessä on n:n muuttujan x 1,, x n vakiokertoiminen lineaarinen n:n yhtälön ryhmä Siis muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä Yhtälöryhmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n n x 1 x 2 c 1 c 2 = x n c n 1 n n 1 (2) eli muodossa A X = C (3) Jos kerroinmatriisilla A on käänteismatriisi olemassa, niin kerrotaan yhtälö (3) puolittain vasemmalta käänteismatriisilla A 1 ja saadaan: A 1 (A X) = A 1 C (A 1 A) X = A 1 C I X = A 1 C X = A 1 C (4) Lause 14 Jos matriisi A on säännöllinen eli A 1 on olemassa eli det A 0, niin yhtälöryhmän (1) yksikäsitteinen ratkaisu on X = A 1 C 15
17 Esimerkki 113 Ratkaise yhtälöryhmä 2y 3z = 1 x + 3y + 3z = 2 x 2y 2z = 1 Lause 15 (Cramerin sääntö) Oletetaan, että yhtälöryhmässä (1) on n tuntematonta ja n yhtälöä sekä det A 0 eli yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu X = A 1 C Cramerin sääntö yhtälöryhmän ratkaisemiseksi ilman käänteismatriisin A 1 laskemista on seuraava: x 1 = 1 A c 1 a 12 a 1n c 2 a 22 a 2n c n a n2 a nn x 3 = 1 A, x n = 1 A, x 2 = 1 A a 11 a 12 c 1 a 1n a 21 a 22 c 2 a 2n, a n1 a n2 c n a nn a 11 a 1(n 1) c 1 a 21 a 2(n 1) c 2 a n1 a n(n 1) c n a 11 c 1 a 13 a 1n a 21 c 2 a 23 a 2n, a n1 c n a n3 a nn Esimerkki 114 Ratkaise yhtälöryhmä 3x + y z = 2 x 2y + z = 9 4x + 3y + 2z = 1 16
18 2) Tarkastellaan yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m (5) eli n:n muuttujan x 1,, x n ja m:n yhtälön ryhmää Nyt voi olla n = m tai n m Tämä yhtälöryhmä (5) voidaan esittää matriisimuodossa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn m n x 1 x 2 c 1 c 2 = x n c n 1 m m 1 (6) Matriisiesitys on tällöin muotoa: A X = C, missä A = (a ij ) m n (7) Tapauksessa n m käänteismatriisi A 1 ei ole olemassa ja det A ei ole olemassa, joten menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Samoin, jos n = m, mutta det A = 0, niin menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Seuraavana esiteltävää Gaussin eliminoimismenetelmää voidaan kuitenkin soveltaa aina Lause 16 (Gaussin eliminoimismenetelmä) Gaussin eliminoimismenetelmä perustuu siihen, että yhtälöryhmään (5) voidaan soveltaa seuraavia alkeismuunnoksia sen ratkaisun muuttumatta: (a) yhtälöiden järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla (c) yhden tai useamman yhtälön kerrannaisen lisääminen muihin yhtälöihin 17
19 Yhtälöryhmän asemasta tarkastelemme täydennettyä kerroinmatriisia (A C) = a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c 2 a m1 a m2 a mn c m (8) m (n+1) Nyt yhtälöryhmän (5) alkeismuunnoksia (a), (b) ja (c) vastaa täydennettyyn kerroinmatriisiin (8) kohdistuvat muunnokset: (a) vaakarivien järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman vaakarivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla (c) vaakarivin kertominen vakiolla ja sen lisääminen toiseen vaakariviin Näillä muunnoksilla matriisi (8) pyritään saamaan muotoon X = ( I ) X, (9) josta saadaan ratkaisu X Tai muotoon B, (10) joka avataan takaisin yhtälöryhmäksi Esimerkki 115 x + 3y z = 1 x 2y + z = 2 2x y + z = 3 18
20 18 Panos-tuotos malli Tunnetaan eräs panos-tuotos taulu: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Vaakarivillä tuottajan i kokonaistuotannon x i käyttö välituotteina x ij tuottajien j tuotannossa sekä käyttö lopputuotteena y i Tuottajien lukumäärä siis n ja x i = x i1 + x i2 + x i3 + + x in + y i Muodostetaan malli, joka kertoo yleisesti lopputuotteiden kysynnän perusteella tuottajien kokonaistuotannon: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Mallin muodostaminen tapahtuu vaakarivien perusteella: x i = n x ij + y i, missä n on tuottajien lukumäärä (11) j=1 19
21 Mallin kiinteät panoskertoimet lasketaan eräästä tunnetusta panos-tuotos taulusta seuraavasti: a ij = x ij x j x ij = a ij x j, missä 0 a ij 1 (12) Panoskerroin a ij ilmaisee kuinka paljon tuottaja j tarvitsee tuottajan i tuotantoa yhden tuoteyksikön tuottamiseen Sijoittamalla yhtälö (12) yhtälöön (11) saadaan: x i = n a ij x j + y i, missä i = 1,, n j=1 Eli x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n + y 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n + y 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n + y n Edellä saatu kokonaistuotantojen yhtälöryhmä saadaan Matriisi muotooon eli x 1 x 2 x n n 1 a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n = a n1 a n2 a n3 a nn n n x 1 x 2 y 1 y 2 + x n y n 1 n n 1 X = A X + Ȳ, missä X =kokonaistuotanto, Ȳ = loppukysyntä ja A = nk teknillinen matriisi 20
22 Tästä saadaan ratkaistua tuottajien kokonaistuotannot x i, kun tunnetaan kertoimet a ij ja lopputuotteiden kysynnät y i, eli tiedetään halutut lopputuotemäärät ja suhde kuinka paljon tuottaja tarvitsee toisten tuottajien tuotantoa välituotteina Siis X = A X + Ȳ X A X = Ȳ I X A X = Ȳ (I A) X = Ȳ Kertomalla yhtälö (I A) X = Ȳ puolittain vasemmalta käänteismatriisilla (I A) 1 saadaan X = (I A) 1 Ȳ Näin johdettu yhtälö X = (I A) 1 Ȳ on panos-tuotos malli, joka ilmaisee tuottajien kokonaistuotannon riippuvuuden suoraan lopputuotteiden kysynnästä Käänteismatriisi (I A) 1 on Leontief:n käänteismatriisi Esimerkki 116 Kahden teollisuudenalan tuotantoa kuvaa seuraava taulukko Muodosta sen avulla panos-tuotos malli (luvut milj euroa) kokonais- välikäyttö lopputuotanto A B kysyntä tuottaja A B
23 2 Yhden muuttujan funktion optimointi 21 Funktion f(x) ääriarvo Funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f suurin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f pienin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoa absoluuttiseksi minimiksi Piste x 0 D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen maksimiarvo Vastaavasti kohta x 0 D f on funktion f paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen minimiarvo Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaaleiksi ääriarvoiksi 22
24 22 Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen Lause 21 Derivoituvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät derivaatan f (x) nollakohdista Derivaatan nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Geometrisesti: f (x 0 ) = 0 jos ja vain jos käyrän pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin on nolla eli kyseinen tangentti on x-akselin suuntainen suora (funktion f(x) muutosnopeus kohdassa x 0 on 0) Lause 21 ei kuitenkaan päde kääntäen: Jos f (x 0 ) = 0, niin kriittinen piste x 0 ei ole välttämättä funktion f ääriarvokohta, vaan se voi olla myös ns satulapiste 23
25 Lause 22 Jatkuvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) derivaatan f (x) nollakohdat eli kohdat, joissa f (x) = 0 2) epäderivoituvuuskohdat eli kohdat, joissa derivaattaa f (x) ei ole olemassa Esimerkki 21 Etsi funktion f(x) = x 5 + 5x 3 + 8x + 1 mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat Lause 23 Jos funktion f(x) määrittelyjoukko on suljettu tai puoliavoin väli, niin paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä 24
26 Lause 24 Funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) funktion f(x) epäjatkuvuuskohdat 2) funktion f(x) epäderivoituvuuskohdat 3) funktion f(x) derivaatan f (x) nollakohdat 4) välin päätepisteet, mikäli funktio f(x) on määritelty suljetulla tai puoliavoimella välillä Lause 25 Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x) x x 25
27 23 Paikallisten ääriarvokohtien laatu Lause 26 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, derivaatan merkkikaavion käyttö) Olkoon funktio f(x) jatkuva ja olkoon lisäksi f (x 0 ) = 0 tai x 0 epäderivoituvuuskohta eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta Jos funktion f(x) derivaatta f (x) muuttuu kohdassa x 0 (i) positiivisesta negatiiviseksi, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi) (ii) negatiivisesta positiiviseksi, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi) (iii) jos funktion f(x) derivaatta f (x) ei muuta merkkiään kohdassa x 0, niin funktiolla f(x) ei ole ääriarvokohtaa kohdassa x 0 f (x) : Huomautus Lause 26 ei päde epäjatkuvuuskohdissa, vaan ne on tutkittava tarkemmin 26
28 Lause 27 (Absoluuttiset ääriarvot) Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x) x x Esimerkki 22 Määritä ääriarvot funktiolle { x 3 + x, kun 2 x < 0 f(x) = x, kun 0 x 3 Esimerkki 23 Määritä funktion f(x) = x 4 2x 2 ääriarvot välillä [0, 3] Esimerkki 24 Etsi funktion f(x) = x 3 paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot Esimerkki 25 Määritä funktion f(x) = x 4 8x ääriarvot Esimerkki 26 Määritä seuraavan funktion paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot { x 2 + x, kun x < 0 f(x) = x, kun x 0 2 Lause 28 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, toisen derivaatan käyttö) Olkoon funktio f(x) derivoituva ja oletetaan, että x 0 on kriittinen piste eli että f (x 0 ) = 0 Tällöin 1) jos f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f ylöspäin kupera kohdassa x 0 ) 2) jos f (x 0 ) > 0, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f alaspäin kupera kohdassa x 0 ) 3) jos f (x 0 ) = 0, niin x 0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste eli ei voi päätellä mitään (ks derivaatan merkkikaavio Lause 26 tai Lause 29) 27
29 f (x) : Esimerkki 27 Määrää funktion f(x) = 3x 4 4x 3 36x ääriarvot Lause 29 Olkoon f(x) jatkuva ja derivoituva funktio pisteessä x 0 Tällöin x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta jos ja vain jos f (x 0 ) = 0 Nyt f(x 0 ) on todellinen paikallinen ääriarvo jos ja vain jos on olemassa sellainen parillinen kokonaisluku n, että f (k) (x 0 ) = 0 kaikilla k = 1, 2,, n 1 ja f (n) (x 0 ) 0 Kyseessä on lisäksi paikallinen minimi, jos f (n) (x 0 ) > 0 ja paikallinen maksimi, jos f (n) (x 0 ) < 0 Esimerkki 28 Määrää funktion f(x) = x 3 ääriarvot Esimerkki 29 Määrää funktion f(x) = x 4 ääriarvot 28
30 3 Kahden muuttujan funktion optimointi 31 Normaalit ääriarvot (ei sidotut) 311 Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot Funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Vastaavasti funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Esimerkki 31 Olkoon z = f(x, y) = x + y Funktion kuvaaja on taso eikä sillä siksi ole suurinta eikä pienintä arvoa Esimerkki 32 Olkoon z = f(x, y) = x 2 +y 2 1 Funktion kuvaaja on paraboloidi Suurinta arvoa ei ole, mutta pienin arvo on f(0, 0) = 1 Piste (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen maksimikohta, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä Tällöin f(x 0, y 0 ) on funktion f(x, y) paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen minimikohta ja f(x 0, y 0 ) paikallinen minimiarvo, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä 312 Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat Lause 31 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat) Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x, y) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli ratkaisemalla yhtälöpari { fx = 0 f y = 0 Osittaisderivaattojen nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Huomautus Kriittinen piste, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 33 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x, y) = x 2 y 2 29
31 313 Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu Lause 32 Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Tällöin funktio f(x, y) on ylöspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Vastaavasti funktio f(x, y) on alaspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Lause 33 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu) Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva ja olkoon piste (x 0, y 0 ) funktion kriittinen piste Tällöin kriittinen piste (x 0, y 0 ) on (i) paikallinen minimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx > 0, f yy > 0 (ii) paikallinen maksimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx < 0, f yy < 0 (iii) satulapiste eli ei ole paikallinen ääriarvokohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 < 0 (iv) Testi ei kerro mitään, jos jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 = 0 Tutki tarkemmin Lause 34 (Absoluuttiset ääriarvot) Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvoja Esimerkki 34 Määrää funktion f(x, y) = x 3 y 3 + 3xy ääriarvot 30
32 32 Sidotut ääriarvot 321 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa Oletetaan, että funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat jatkuvia ja derivoituvia Määrättävä funktion f(x, y) ääriarvot ehdolla g(x, y) = 0 Sijoitusmenetelmä Ratkaistaan muuttuja x tai y ehtoyhtälöstä g(x, y) = 0 (jos mahdollista) ja sijoitetaan se optimoitavaan funktioon f(x, y), jolloin saadaan yhden muuttujan funktio, jolle lasketaan ääriarvot normaalisti Esimerkki 35 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = 24 Lagrangen menetelmä Muodostetaan kohdefunktio F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Määritetään kohdefunktion F (x, y, λ) kriittiset pisteet eli mahdolliset ääriarvokohdat ratkaisemalla yhtälöryhmä F x = f x λ g x = 0 F y = f y λ g y = 0 F λ = g(x, y) = 0 g(x, y) = 0 Ääriarvon laadun testaaminen kriittisessä pisteessä: Kriittisessä pisteessä paikallinen maksimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx < 0 ja F yy < 0 Kriittisessä pisteessä paikallinen minimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx > 0 ja F yy > 0 Testi ei anna tulosta, jos (tutkittava funktioita tarkemmin) = F xx F yy (F xy )
33 Esimerkki 36 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa Etsittävä ääriarvot funktiolle f(x, y) ehdolla g(x, y) 0 Menetelmä on seuraava: 1 Ääriarvotetaan funktio f(x, y) ilman ehtoa g(x, y) 0 Eli minimoidaan/maximoidaan funktio f(x, y) Ratkaistaan kuten normaali ääriarvotehtävä Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy funktion f(x, y) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) Jos kriittinen piste (x 0, y 0 ) toteuttaa ehdon g(x, y) 0, niin se on myös tämän ehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy alueen sisältä, g(x, y) 0) 2 Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x, y) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x, y) = 0 Eli min/max f(x, y) ehdolla g(x, y) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä Lagrangen menetelmällä, missä kohdefunktio on nyt muotoa F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy kohdefunktion F (x, y, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen menetelmän laatutarkastelu löydetylle kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) (Ääriarvokohta löytyy alueen reunalta, g(x, y) = 0) 3 Lopullinen päättely kohtiin 1 ja 2 perustuen 32
34 Esimerkki 37 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 38 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa Maksimoi/minimoi funktio f(x, y) usean ehdon määräämässä ehtoalueessa E = {(x, y) g i (x, y) 0, i = 1,, m} Ehdot toteuttavat absoluuttiset ääriarvot löytyvät joko paikallisista ääriarvokohdista ehtoalueen E sisältä, (g i (x, y) < 0), tai sidotuista ääriarvokohdista ehtoalueen E reunalta, (g i (x, y) = 0) Lause 35 Derivoituvan funktion f(x, y) mahdolliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla: 1 Osittaisderivaattojen 0 kohdat 2 Määrittely-/tarkastelualueen E reunat 3 Määrittely-/tarkastelualueen E nurkat Jos funktio on jatkuva ja derivoituva suljetussa joukossa E, niin mahdolliset ääriarvokohdat löytyvät kohtien 1,2 ja 3 avulla Näistä valitaan pienin ja suurin Esimerkki 39 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ääriarvot joukossa E = {(x, y) x 0, y 0, x + 2y 24} 33
35 324 Hyötyfunktion maksimi Kuluttajan oletetaan valitsevan hyödykkeitä siten, että niiden käytöstä saatava tyytyväisyys maksimoituu Oletetaan, että kuluttajan ostot rajoittuvat kahteen hyödykkeeseen Q 1 ja Q 2 Hyötyfunktio on U = f(q 1, q 2 ), missä q 1 ja q 2 ovat hyödykkeiden kulutusmäärät Siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) kuvaa hyödykkeiden kulutusmääristä aiheutuvaa tyytyväisyyttä Oletetaan, että hyötyfunktiolla U = f(q 1, q 2 ) on jatkuvat 1 ja 2 kertaluvun osittaisderivaatat olemassa Nämä osittaisderivaatat ovat hyödykkeiden rajahyötyjä Tyytyväisyys kasvaa kulutuksen kasvaessa eli U q 1 > 0 ja U q 2 > 0 Kuluttaja haluaa maksimoida hyötynsä, mutta kulutusta rajoittaa budjettirajoite y 0 = p 1 q 1 + p 2 q 2, missä y 0 on ostamiseen käytettävissä oleva rahamäärä ja p 1 ja p 2 ovat hyödykkeiden Q 1 ja Q 2 yksikköhintoja Maksimoidaan siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) budjettirajoitteella y 0 = p 1 q 1 +p 2 q 2 Budjettirajoitteesta saadaan Näin ollen hyötyfunktio on yhden muuttujan q 1 funktio U = f q 2 = y 0 p 1 q 1 p 2 ( q 1, y ) 0 p 1 q 1 p 2 34
36 Maksimoidaan hyötyfunktio U muuttujan q 1 suhteen Asetetaan ensin U q 1 = 0 (Etsitään siis KRP) Tämä ehto on välttämätön, muttei riittävä Toisen derivaatan negatiivisuus takaa maksimin olemassaolon Täytyy siis vielä olla 2 U q 2 1 < 0 Esimerkki 310 Maksimoi hyötyfunktio U = q 1 q 2, kun p 1 = 15, p 2 = 5 ja kuluttajan tulot y 0 = 150 Ratkaisu: Budjettirajoite on 15q 1 + 5q 2 = 150 5q 2 = q 1 q 2 = 30 3q 1 Tällöin saadaan hyötyfunktio Etsitään kriittinen piste: U = q 1 q 2 = q 1 (30 3q 1 ) = 30q 1 3q 2 1 6q 1 = 30 q 1 = 5 U q 1 = 30 6q 1 = 0 q 2 = 30 3q 1 = = 15 Koska kriittisessä pisteessä niin q 1 = 5 on maksimikohta 2 U q 2 1 = 6 < 0, Vastaava hyötyfunktion maksimiarvo on U max = q 1 q 2 = 5 15 = 75 35
37 4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista 41 Normaali ääriarvo (ei sidottu) Funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Vastaavasti funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Piste (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä Tällöin f(a 1,, a n ) on funktion paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen minimikohta ja f(a 1,, a n ) paikallinen minimiarvo, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä 411 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta Lause 41 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat) Olkoon funktio f( X) = f(x 1,, x n ) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x 1,, x n ) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä f x1 = 0 f x2 = 0 f xn = 0 Osittaisderivaattojen nollakohtia kutsutaan jälleen kriittisiksi pisteiksi Huomautus Kriittinen piste, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 41 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x 1,, x n ) = x x 2 n 36
38 412 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu Olkoon f(x 1,, x n ) n:n muuttujan funktio Funktion f Hessin matriisi muodostetaan seuraavasti: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H = f xx = f n1 f n2 f nn n n, missä f ij = ( ) f x i x j Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Matriisi A on positiividefiniitti, jos sen alideterminantit A1 = a11, An = A A2 a = 11 a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 A3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a, 33 ovat kaikki arvoltaan positiivisia Vastaavasti matriisi A on negatiividefiniitti, jos A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, eli kaikilla i = 1,, n ( 1) i A i > 0 37
39 Lause 42 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu) Olkoon löydetty kriittinen piste eli mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 = (a 1, a 2,, a n ) Olkoon lisäksi H = H( X 0 ) funktion f( X) Hessin matriisi mahdollisessa paikallisessa ääriarvokohdassa X 0 Tällöin 1) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen maksimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee ( 1) i H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n Siis Hessin matriisi H on negatiividefiniitti 2) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen minimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n Siis Hessin matriisi H on positiividefiniitti 3) Kriittinen piste X 0 ei ole paikallinen ääriarvokohta, jos H i ( X 0 ) 0 kaikilla i = 1,, n, mutta ehdot 1) tai 2) ei toteudu 4) Jos H i ( X 0 ) = 0 jollakin i = 1,, n, niin testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 42 Etsi paikalliset ääriarvot funktiolle f(x, y) = x 2 y + y 3 y 38
40 42 Sidotut ääriarvot 421 n:n muuttujan ja m:n yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n Maksimoi/minimoi funktio f(x 1,, x n ) ehdoilla g i (x 1,, x n ) = 0, missä i = 1,, m Muodostetaan Lagrange funktio eli Kohdefunktio: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) missä λ j :t ovat Lagrange-kertoimia m λ j g j (x 1,, x n ), j=1 1 o Ääriarvon mahdollinen olemassaolo (KRP): L = 0 x { i Lxi = 0, kaikilla i = 1,, n eli L g j = 0, kaikilla j = 1,, m = 0 λ j Näin saadaan mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 2 o Ääriarvon olemassaolo ja laatu: Määritellään laajennettu Hessin matriisi H = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x n g m x n g 1 g 1 x n x 1 g m x 1 g m x n L x1 x 1 L x1 x n L xnx1 L xnxn (m+n) (m+n) ) ( 0 = m m J m n J T n m H n n (n+m) (n+m) 39
41 Laajennetun Hessin matriisin H tarvittavat alideterminantit H i ovat H i ( X 0 ) = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x i g m x i g 1 g 1 x i x 1 g m x 1 g m x i L x1 x 1 L x1 x i L xi x 1 L xi x i, missä i = m + 1,, n Eli determinantti H i on vasemmasta yläkulmasta i:nteen muuttujaan asti otettu alideterminantti Siis nollamatriisin lisäksi otetaan mukaan i kappaletta pysty- ja vaakarivejä Nyt ääriarvon laatu mahdollisessa paikallisessa ääriarvokohdassa X 0 määräytyy seuraavasti: 1) Jos ( 1) i H i > 0, kaikilla i = m + 1,, n, niin X 0 on paikallinen sidottu maksimikohta 2) Jos ( 1) m H i > 0, kaikilla i = m + 1,, n, niin X 0 on paikallinen sidottu minimikohta 3) Jos kumpikaan ehdoista 1) ja 2) ei toteudu, niin testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 43 Määritä funktion f(x, y, z) = x 2 7y 10z 3 paikalliset ääriarvot ehdoilla x + y + z = 0 ja x + 2y + 3z = 0 40
42 422 n:n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus Ääriarvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdolla g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seuraava: 1) Ääriarvotetaan funktio f(x 1,, x n ) ilman epäyhtälöehtoa g(x 1,, x n ) 0 Eli min/max f(x 1,, x n ) Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis funktion f( X) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu mahdolliselle paikalliselle ääriarvokohdalle X 0 Hessin matriisin avulla Jos paikallinen ääriarvokohta X 0 toteuttaa ehdon g(x 1,, x n ) 0, niin se on myös epäyhtälöehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen sisältä, g(x 1,, x n ) 0) 2) Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x 1,, x n ) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x 1,, x n ) = 0 Eli min/max f(x 1,, x n ) ehdolla g(x 1,, x n ) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä, missä Lagrange-funktio on nyt muotoa L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis Lagrange-funktion L( X, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen mukainen laatutarkastelu mahdolliselle paikalliselle ääriarvokohdalle X 0 laajennetun Hessin matriisin avulla (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen reunalta, g(x 1,, x n ) = 0) 3) Kohtiin 1) ja 2) perustuva päättely Esimerkki 44 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 45 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 41
43 5 Lineaarinen optimointi Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 (Lineaarinen!!!) rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 (Lineaariset!!!) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 j = 1,, n 51 Geometrinen ratkaisu Kahden päämuuttujan tapaus: Max/min f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 b m x 1, x 2 0, tämä ehto ei pakollinen Muodostetaan ratkaisumonikulmio eli etsitään ehtoalue, jossa rajoitteet toteutuvat Lause 51 Jos ratkaisumonikulmio on suljettu, niin optimointitehtävän yksikäsitteinen ratkaisu löytyy ratkaisumonikulmion kärjistä Jos ratkaisuja on useita, niin ainakin kaksi niistä löytyy ratkaisumonikulmion kärkipisteistä Jos ratkaisumonikulmio on avoin alue, tutki tarkemmin 42
44 Esimerkki 51 Max/min f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Ratkaisumonikulmio ei välttämättä ole suljettu rajoitteilla Esimerkiksi: { { 2x1 + x 2 6 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x x 1 + 4x 2 40 Esimerkki 52 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 Esimerkki 53 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 43
45 52 Kantaratkaisu menetelmä Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rajoite-epäyhtälöt muutetaan lisämuuttujien x n+1,, x n+m avulla yhtälöiksi: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n x n+2 = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n + x n+m = b m x j 0 j = 1,, n + m Kantaratkaisu on edellisen yhtälöryhmän sellainen ratkaisu, jossa muuttujista x 1,, x n+m on n kappaletta arvoltaan nollia ja lisäksi positiivisuusehtoa ei huomioida Kantamuuttujat ovat ne m muuttujaa, joita ei aseteta nolliksi Hyväksyttävä kantaratkaisu on kantaratkaisu, joka toteuttaa myös positiivisuusehdon Optimaalinen kantaratkaisu on hyväksyttävä kantaratkaisu, joka antaa kohdefunktion optimiarvon 44
46 Lause 52 Jos kohdefunktiolla f(x 1, x 2,, x n ) on äärellinen optimi, niin ainakin yksi optimaalinen ratkaisu löytyy hyväksyttävänä kantaratkaisuna Optimointimenettely: 1) haetaan kantaratkaisut 2) valitaan hyväksyttävät kantaratkaisut 3) lasketaan funktion arvot kohdan 2) pisteissä 4) valitaan näistä haettu optimiarvo Esimerkki 54 Min/max f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Kantaratkaisu menetelmä ei toimi avoimessa alueessa Pienellä varovaisuudella kylläkin 45
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille 802160P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2017 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotMatriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotKäänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotMikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.
4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotOsittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).
Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki
LisätiedotKurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.
7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotLU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24
LU-hajotelma 1 / 24 LU-hajotelma Seuravassa tarkastellaan kuinka neliömatriisi voidaan esittää kahden kolmiomatriisin tulona. Käytämme alkeismatriiseja tälläisen esityksen löytämiseen. Edellä mainittua
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Lisätiedot