Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P

Transkriptio

1 Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2017

2 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä 3 12 Matriisien laskutoimituksia Matriisien yhteen- ja vähennyslasku Skalaarilla kertominen Matriisien kertolasku: 5 13 Erikoistyyppisiä matriiseja Diagonaalimatriisi Identtinen matriisi (Yksikkömatriisi) Nollamatriisi 7 14 Transponoitu matriisi 7 15 Matriisin determinantti Determinantin määrääminen: Determinantin ominaisuuksia: Käänteismatriisi Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi: Käänteismatriisin ominaisuuksia: Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen Panos-tuotos malli 17 2 Yhden muuttujan funktion optimointi Funktion f(x) ääriarvo Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen Paikallisten ääriarvokohtien laatu 23 3 Kahden muuttujan funktion ääriarvoista Normaalit ääriarvot (ei sidotut) Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu Sidotut ääriarvot Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa Hyötyfunktion maksimi 31 1

3 4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista Normaali ääriarvo (ei sidottu) Usean muuttujan funktion ääriarvokohta Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu Sidotut ääriarvot n muuttujan ja m yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus 38 5 Lineaarinen optimointi Geometrinen ratkaisu Kantaratkaisu menetelmä 41 2

4 1 Matriisialgebra Matriisien avulla voidaan - käsitellä yhtälöitä tehokkaasti - ratkaista yhtälöryhmiä - ratkaista optimointitehtäviä - laatia erilaisia malleja esim panos-tuotos malli 11 Määritelmä Matriisi on taulukko a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n = A m n = (a ij ) = (a ij ) m n, missä luvut a ij ovat reaalilukuja Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi Alkio a ij on matriisin A i:nnellä vaakarivillä ja j:nnellä pystyrivillä oleva alkio Matriisi, jossa on m vaakariviä ja n pystyriviä, on m n matriisi; merkitään A m n Jos m = n, niin A on neliömatriisi Kaksi matriisia a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1s ja B = b r1 b rs r s ovat samat eli A = B, jos ja vain jos (i) m = r ja n = s (ii) a ij = b ij i, j Jos matriisissa n = ( 1 eli se on m 1-matriisi, niin kysymyksessä on m ulotteinen u1 ), missä u i on vektorin ū i komponentti pystyvektori ū = u m Vastaavasti v = (v 1,, v n ) on n-ulotteinen vaakavektori eli 1 n matriisi ja v i on vektorin v i komponentti 3

5 12 Matriisien laskutoimituksia 121 Matriisien yhteen- ja vähennyslasku Matriisit A ja B voidaan laskea yhteen (vähentää toisistaan) jos ja vain jos ne ovat molemmat m n matriiseja Olkoot A ja B m n matriiseja, ts a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1n B = b m1 b mn m n Tällöin Vastaavasti Matriisien yhteenlasku on a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = a m1 + b m1 a mn + b mn a 11 b 11 a 1n b 1n A B = a m1 b m1 a mn b mn 1 vaihdannainen: A + B = B + A 2 liitännäinen: A + (B + C) = (A + B) + C Esimerkki 11 ( ) ( ) ( ) = m n m n 122 Skalaarilla kertominen Matriisilaskennassa reaalilukua kutsutaan skalaariksi Olkoon nyt A = (a ij ) m n ja k R Tällöin a 11 a 1n ka 11 ka 1n ka = k = a m1 a mn ka m1 ka mn m n m n = (ka ij ) m n = Ak 4

6 Esimerkki 12 3 ( ) = Huomautus A B = A + ( B) = A + ( 1) B 123 Matriisien kertolasku: Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) r s tulo AB on mahdollinen jos ja vain jos n = r Siis matriisin A pystyrivien lukumäärä = matriisin B vaakarivien lukumäärä Matriisi A on tulon AB edellinen tekijä ja B jälkimmäinen tekijä Olkoon A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n s Tällöin A m n B n s = (AB) m s = (c ij ) m s, missä c ij = n a ik b kj eli alkio c ij saadaan matriisin A i:nnen vaakarivin ja matriisin B j:nnen pystyrivin pistetulona Siis k=1 a 11 a 1n b 11 b 1s AB = a m1 a mn b m n n1 b ns n n a 1k b k1 a 1k b ks k=1 k=1 = n n a mk b k1 a mk b ks k=1 k=1 Esimerkki 13 ( ) A =, B = Laske AB, BA ja AC 3 2 m s ja C = n s ( )

7 Matriisien kertolasku on 1 liitännäinen: A(BC) = (AB)C 2 ei vaihdannainen: siis yleensä AB BA Esimerkki 14 0 (2, 1, 0) 1 = 2 ( ) ( ) 0 1 = (2, 1, 0) = 2 ( ) ( ) 1 1 = Erikoistyyppisiä matriiseja 131 Diagonaalimatriisi Olkoon A = (a ij ) n n neliömatriisi Matriisin A päälävistäjän muodostavat alkiot a 11, a 22,, a nn Matriisi A on diagonaalimatriisi, jos matriisin A muut alkiot paitsi mahdollisesti päälävistäjän alkiot ovat nollia Eli a 11 a 1n A = a n1 a nn on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0, kun i j n n 132 Identtinen matriisi (Yksikkömatriisi) Identtinen matriisi on diagonaalimatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä Siis A = (a ij ) n n on identtinen matriisi, jos { aij = 0, i j a ii = 1, i = 1, 2,, n 6

8 Identtistä matriisia merkitään symbolilla I n (= I n n ) Siis esimerkiksi ( ) I 1 = (1), I 2 =, I 3 = Lause 11 Olkoon A m n matriisi Tällöin A m n I n = I m A m n = A m n 133 Nollamatriisi Matriisi A = (a ij ) m n on nollamatriisi, jos a ij = 0 i, j Nollamatriisia merkitään Ōm n Siis esimerkiksi Ō 2 3 = ( ) Lause 12 Olkoon A m n matriisi Tällöin A m n + Ōm n = Ōm n + A m n = A m n ja A m n Ō n k = Ōm k sekä Ō k m A m n = Ōk n 14 Transponoitu matriisi Olkoon A m n matriisi Matriisin A transponoitu matriisi A T on n m matriisi, jonka i vaakarivi on matriisin A i pystyrivi (ja j pystyrivi on matriisin A j vaakarivi) Jos a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n a 11 a 21 a m1, niin A T a 12 a 22 a m2 = a 1n a 2n a mn n m Huomautus (u 1,, u n ) T = u 1 ja v 1 T = (v 1,, v n ) u n v n 7

9 Huomautus Diagonaalimatriisin D transponoitu matriisi D T on aina alkuperäinen diagonaalimatriisi, eli D T = D Esimerkki A = A T = Neliömatriisi A = (a ij ) n n on symmetrinen, jos a ij = a ji i, j Tällöin A = A T Huomautus Olkoot A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n ja C = (c ij ) n r Tällöin (A + B) T = A T + B T ja (BC) T = C T B T 15 Matriisin determinantti Determinantti on yksikäsitteinen reaaliluku ja määritellään vain neliömatriiseille Matriisin A determinanttia merkitään det A ja A 151 Determinantin määrääminen: 2 2 matriisin determinantti ( ) a11 a Kun A = 12, niin det A = A = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a matriisin determinantti Kun A = ( a 11 )1 1, niin det A = A = a 11 Esimerkki = 8

10 Determinantin määrittäminen yleisesti: Jos n > 2, niin matriisin A n n determinantti palautuu 2 2 matriisin tapaukseen seuraavasti: M ij on sellainen (n 1) (n 1) matriisi, joka saadaan matriisista A poistamalla siitä i vaakarivi ja j pystyrivi M ij on matriisin A (alkioon a ij tai paikkaan ij liittyvä) alimatriisi Determinantti det M ij = M ij on matriisin A (alkioon a ij tai paikkaan ij liittyvä) alideterminantti Skalaari A ij = ( 1) i+j M ij on matriisin A (alkioon a ij tai paikkaan ij liittyvä) kofaktori Tällöin matriisin A determinantti n det A = A = a ij ( 1) (i+j) M ij j=1 i {1,, n} Tällöin det A on kehitetty i vaakarivin mukaan Samoin n det A = A = a ij ( 1) (i+j) M ij i=1 jolloin det A on kehitetty j pystyrivin mukaan j {1,, n}, Siis n n matriisin determinantti määrätään sen tiettyjen (n 1) (n 1) alimatriisien determinanttien avulla Toistamalla yo menettelyä jokaisen n n matriisin A determinantti voidaan palauttaa sen tiettyjen 2 2 alimatriisien determinanteiksi Esimerkki 17 Olkoon Määrää A A =

11 152 Determinantin ominaisuuksia: Olkoon A n n-matriisi 1) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) kerrotaan vakiolla c R, determinantti muuttuu c kertaiseksi Esimerkki = 2) Jos matriisin A johonkin riviin lisätään jokin muu samansuuntainen rivi vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu Tavoite: Paljon 0:ia riville, jonka suhteen determinantti kehitetään Esimerkki = 3) Jos A = (a ij ) on yläkolmiomatriisi (tällöin kaikki alkiot päälävistäjän alapuolella nollia) tai alakolmiomatriisi (kaikki alkiot päälävistäjän yläpuolella nollia), niin det A = A = a 11 a 22 a nn 4) Jos A = (a ij ) on diagonaalimatriisi, niin A = a 11 a 22 a nn 5) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) koostuu pelkästään nollista, niin A = 0 (Kehitetään determinantti ko rivin suhteen) 6) Jos matriisin A kaksi samansuuntaista riviä ovat samat, niin A = 0 7) A = A T 8) Olkoot A ja B n n matriiseja Tällöin AB = BA = A B Esimerkki 110 Olkoon A = Määritetään A käyttämällä ominaisuutta 3) 10

12 16 Käänteismatriisi Olkoon A n n neliömatriisi Sellaista n n matriisia B, joka toteuttaa ehdon AB = BA = I n sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään B = A 1 Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia Matriisi, jolla on käänteismatriisi, on säännöllinen Lause 13 Matriisilla A on käänteismatriisi olemassa jos ja vain jos det A 0 Huomautus Käänteismatriisi on yksikäsitteinen Jos AB = I n, niin myös BA = I n 161 Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi: 1) Käänteismatriisi kofaktorien ja determinantin avulla Olkoon A n n matriisi, jolle det A 0 Olkoon K seuraava matriisin A kofaktorien A ij muodostama matriisi: A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n K =, A n1 A n2 A nn missä A ij = ( 1) i+j M ij Tällöin (siis paikan ij kofaktori) A 1 = 1 det A KT Esimerkki 111 Määritä matriisin A = käänteismatriisi 11

13 2) Gaussin eliminoimismenetelmä Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Muodostetaan matriisi a 11 a 12 a 1n ( ) a 21 a 22 a 2n A In = a n1 a n2 a nn n 2n Tässä matriisissa voidaan i) vaakarivi kertoa millä tahansa vakiolla, ii) jokin vaakarivi lisätä vakiolla kerrottuna toiseen vaakariviin, iii) vaihtaa vaakarivit keskenään Näillä operaatioilla pyritään muuttamaan matriisi ( A ( ) I B, jolloin matriisi B = A 1 I ) muotoon Esimerkki 112 Määritä matriisin A = käänteismatriisi 162 Käänteismatriisin ominaisuuksia: Olkoon A n n matriisi, jolle det A 0 eli A 1 1) (A 1 ) 1 = A 2) (A 1 ) T = (A T ) 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1, jos B 1 ja AB ovat olemassa 4) det (A 1 ) = 1 det A on olemassa Tällöin 12

14 17 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen 1) Tarkastellaan yhtälöryhmää, jossa muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 (1) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = c n missä kertoimet a ij ja vakiot c i ovat tunnettuja Tämä on n:n muuttujan x 1,, x n vakiokertoiminen lineaarinen n:n yhtälön ryhmä (Siis muuttujien lkm = yhtälöiden lkm) Yhtälöryhmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa: a 11 a 12 a 1n x 1 c 1 a 21 a 22 a 2n x 2 c 2 = (2) a n1 a n2 a nn x n c n eli muodossa n n n 1 n 1 A X = C (3) Jos kerroinmatriisilla A on käänteismatriisi, kerrotaan yhtälö (3) puolittain vasemmalta käänteismatriisilla A 1 ja saadaan: A 1 (A X) = A 1 C (A 1 A) X = A 1 C I X = A 1 C X = A 1 C (4) Lause 14 Jos matriisi A on säännöllinen eli A 1 on olemassa (det A 0), niin yhtälöryhmän (1) yksikäsitteinen ratkaisu on X = A 1 C (Yhtälöryhmällä yksikäsitteinen ratkaisu A säännöllinen) Esimerkki 113 Ratkaise yhtälöryhmä 2y 3z = 1 x + 3y + 3z = 2 x 2y 2z = 1 13

15 Lause 15 (Cramerin sääntö) Oletetaan, että yhtälöryhmässä (1) on n tuntematonta ja n yhtälöä sekä det A 0 eli yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu X = A 1 C Cramerin sääntö yhtälöryhmän ratkaisemiseksi ilman käänteismatriisin A 1 laskemista on seuraava: x 1 = 1 A c 1 a 12 a 1n c 2 a 22 a 2n c n a n2 a nn, x n = 1 A, x 2 = 1 A a 11 a 1(n 1) c 1 a 21 a 2(n 1) c 2 a n1 a n(n 1) c n a 11 c 1 a 13 a 1n a 21 c 2 a 23 a 2n, a n1 c n a n3 a nn Esimerkki 114 Ratkaise yhtälöryhmä 3x + y z = 2 x 2y + z = 9 4x + 3y + 2z = 1 2) Tarkastellaan yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m (5) eli n:n muuttujan x 1,, x n ja m:n yhtälön ryhmää 14

16 Tämä yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn m n x 1 x 2 c 1 c 2 = x n c n 1 m m 1 (6) Matriisiesitys on tällöin muotoa: A X = C, missä A = (a ij ) m n (7) Tapauksessa m n käänteismatriisi A 1 ei ole olemassa ja det A ei ole olemassa, joten menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Samoin, jos m = n, mutta A = 0, niin menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Lause 16 (Gaussin eliminoimismenetelmä) Gaussin eliminoimismenetelmää voidaan soveltaa myös tapauksissa, joissa kerroinmatriisilla A ei ole käänteismatriisia, det A = 0, ja silloinkin, kun yhtälöryhmän yhtälöiden ja tuntemattomien muuttujien lukumäärä ei ole sama Menetelmä perustuu siihen, että yhtälöryhmään (5) voidaan soveltaa seuraavia alkeismuunnoksia sen ratkaisun muuttumatta: (a) yhtälöiden järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman yhtälön kertominen vakiolla ( 0) (c) yhden tai useamman yhtälön kerrannaisen lisääminen muihin yhtälöihin Yhtälöryhmän asemasta tarkastelemme täydennettyä kerroinmatriisia (A C) = a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c 2 a m1 a m2 a mn c m (8) m (n+1) 15

17 Nyt yhtälöryhmän (5) alkeismuunnoksia (a), (b) ja (c) vastaa täydennettyyn kerroinmatriisiin (8) kohdistuvat muunnokset: (a) vaakarivien järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman vaakarivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla (c) vaakarivin kertominen vakiolla ja sen lisääminen toiseen vaakariviin Näillä muunnoksilla matriisi (8) pyritään saamaan muotoon X = ( I ) ( A 1 C = I ) X, (9) josta saadaan ratkaisu X (Tapaus m = n ja yksikäsitteinen ratkaisu) Tai muotoon B, (10) joka avataan takaisin yhtälöryhmäksi (Tapaukset m n tai ei yksikäsitteistä ratkaisua) Esimerkki 115 Esimerkki 116 x + 3y z = 1 x 2y + z = 2 2x y + z = 3 x + 2y z = 10 2x + 4y 2z = 20 x + y + z = 6 16

18 18 Panos-tuotos malli Tunnetaan eräs panos-tuotos taulu: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Vaakarivillä toimialan i kokonaistuotannon x i käyttö välituotteina x ij toimialoilla j ja lopputuotteena y i Muodostetaan malli, joka kertoo yleisesti lopputuotteiden kysynnän perusteella toimialojen kokonaistuotannon: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Mallin muodostaminen tapahtuu vaakarivien perusteella: x i = n x ij + y i, missä n on toimialojen lukumäärä (11) j=1 Mallin kiinteät kertoimet lasketaan eräästä tunnetusta panos-tuotos taulusta seuraavasti: a ij = x ij x j x ij = a ij x j, missä 0 a ij 1 (12) 17

19 Panoskerroin a ij ilmaisee kuinka paljon toimialalla j tarvitaan toimialan i tuotantoa yhden tuoteyksikön tuottamiseen Sijoittamalla yhtälö (12) yhtälöön (11) saadaan: x i = n a ij x j + y i, missä i = 1,, n j=1 Eli x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + y 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + y 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + y n Matriisi muoto: eli x 1 x 2 x n n 1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a n1 a n2 a nn n n x 1 x 2 y 1 y 2 + x n y n 1 n n 1 X = A X + Ȳ, missä Ȳ = loppukysyntä X = kokonaistuotanto A = nk teknillinen matriisi Tästä saadaan ratkaistua toimialojen kokonaistuotannot x i, kun tunnetaan kertoimet a ij ja lopputuotteiden kysynnät y i, eli tiedetään halutut lopputuotemäärät ja suhde kuinka paljon toimiala tarvitsee toisten toimialojen tuotantoa välituotteina 18

20 Siis X = A X + Ȳ X A X = Ȳ I X A X = Ȳ (I A) X = Ȳ X = (I A) 1 Ȳ Näin johdettu yhtälö X = (I A) 1 Ȳ on panos-tuotos malli, joka ilmaisee toimialojen kokonaistuotannon riippuvuuden lopputuotteiden kysynnästä Esimerkki 117 Kahden teollisuudenalan tuotantoa kuvaa seuraava taulukko Muodosta sen avulla panos-tuotos malli (luvut milj euroa) kokonais- välikäyttö lopputuotanto A B kysyntä tuottaja A B

21 2 Yhden muuttujan funktion optimointi 21 Funktion f(x) ääriarvo Funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f suurin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f pienin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoa absoluuttiseksi minimiksi Piste x 0 D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen maksimiarvo Vastaavasti kohta x 0 D f on funktion f paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen minimiarvo Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaaleiksi ääriarvoiksi 20

22 22 Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen Lause 21 Derivoituvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät derivaatan f (x) nollakohdista Derivaatan nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Geometrisesti: f (x 0 ) = 0 jos ja vain jos käyrän pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin on nolla eli kyseinen tangentti on x-akselin suuntainen suora Lause 21 ei kuitenkaan päde kääntäen: Jos f (x 0 ) = 0, niin kriittinen piste x 0 ei ole välttämättä funktion f ääriarvokohta, vaan se voi olla myös ns satulapiste 21

23 Lause 22 Jatkuvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) derivaatan f (x) nollakohdat eli kohdat, joissa f (x) = 0 2) epäderivoituvuuskohdat eli kohdat, joissa derivaattaa f (x) ei ole olemassa Esimerkki 21 Etsi funktion f(x) = x 5 + 5x 3 + 8x + 1 mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat Lause 23 Jos funktion f(x) määrittelyjoukko on suljettu tai puoliavoin väli, niin paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä 22

24 Lause 24 Funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) funktion f(x) epäjatkuvuuskohdat 2) funktion f(x) epäderivoituvuuskohdat 3) funktion f(x) derivaatan f (x) nollakohdat 4) välin päätepisteet, mikäli funktio f(x) on määritelty suljetulla tai puoliavoimella välillä 23 Paikallisten ääriarvokohtien laatu Lause 25 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, derivaatan merkkikaavion käyttö) Olkoon funktio f(x) jatkuva ja olkoon lisäksi f (x 0 ) = 0 tai x 0 epäderivoituvuuskohta eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta Jos funktion f(x) derivaatta f (x) muuttuu kohdassa x 0 (i) positiivisesta negatiiviseksi, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi) (ii) negatiivisesta positiiviseksi, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi) (iii) Jos funktion f(x) derivaatta f (x) ei muuta merkkiään kohdassa x 0, niin funktiolla f(x) ei ole ääriarvokohtaa kohdassa x 0 23

25 Huomautus Lause 25 ei päde epäjatkuvuuskohdissa, vaan ne on tutkittava tarkemmin Huomautus Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x) x x Esimerkki 22 Määritä funktion f(x) = { x 3 + x, kun 2 x < 0 x, kun 0 x 3 ääriarvot Esimerkki 23 Määritä funktion f(x) = x 4 2x 2 ääriarvot välillä [0, 3] Esimerkki 24 Etsi funktion f(x) = x 3 paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot Esimerkki 25 Määritä funktion f(x) = x 4 8x ääriarvot Esimerkki 26 Määritä seuraavan funktion paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot f(x) = { x 2 + x, kun x < 0 x 2, kun x 0 Lause 26 Olkoon funktio f(x) derivoituva ja oletetaan, että x 0 on kriittinen piste eli että f (x 0 ) = 0 Tällöin 1) jos f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f ylöspäin kupera kohdassa x 0 ) 2) jos f (x 0 ) > 0, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f alaspäin kupera kohdassa x 0 ) 3) jos f (x 0 ) = 0, niin x 0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste eli ei voi päätellä mitään (ks derivaatan merkkikaavio Lause 25 tai Lause 27) 24

26 Esimerkki 27 Määrää funktion f(x) = 3x 4 4x 3 36x ääriarvokohdat Lause 27 Olkoon f(x) jatkuva funktio, joka on n kertaa derivoituva pisteessä x 0 Tällöin f(x 0 ) on paikallinen ääriarvo jos ja vain jos on olemassa sellainen parillinen kokonaisluku n, että f (k) (x 0 ) = 0 kaikilla k = 1, 2,, n 1 ja f (n) (x 0 ) 0 Kyseessä on lisäksi paikallinen minimi, jos f (n) (x 0 ) > 0 ja paikallinen maksimi, jos f (n) (x 0 ) < 0 Esimerkki 28 Määrää funktion f(x) = x 3 paikalliset ääriarvot Esimerkki 29 Määrää funktion f(x) = x 4 paikalliset ääriarvot 25

27 3 Kahden muuttujan funktion ääriarvoista 31 Normaalit ääriarvot (ei sidotut) 311 Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot Funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Vastaavasti funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Esimerkki 31 Olkoon z = f(x, y) = x + y Funktion kuvaaja on taso eikä sillä siksi ole suurinta eikä pienintä arvoa Esimerkki 32 Olkoon z = f(x, y) = x 2 +y 2 1 Funktion kuvaaja on paraboloidi Suurinta arvoa ei ole, mutta pienin arvo on f(0, 0) = 1 Piste (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen maksimikohta, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä Tällöin f(x 0, y 0 ) on funktion f(x, y) paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen minimikohta ja f(x 0, y 0 ) paikallinen minimiarvo, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä 312 Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat Lause 31 (KRP:n etsiminen) Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x, y) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli ratkaisemalla yhtälöpari { fx = 0 f y = 0 Huomautus KRP, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 33 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x, y) = x 2 y 2 26

28 313 Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu Lause 32 Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Tällöin funktio f(x, y) on ylöspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Vastaavasti funktio f(x, y) on alaspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Lause 33 Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva ja olkoon piste (x 0, y 0 ) funktion kriittinen piste Tällöin kriittinen piste (x 0, y 0 ) on (i) paikallinen minimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx > 0, f yy > 0 (ii) paikallinen maksimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx < 0, f yy < 0 (iii) satulapiste, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 < 0 (iv) Testi ei kerro mitään, jos jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 00 Tutki tarkemmin Huomautus Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvoja Esimerkki 34 Määrää funktion f(x, y) = x 3 y 3 + 3xy paikalliset ääriarvot 27

29 32 Sidotut ääriarvot 321 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa Oletetaan, että funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat jatkuvia ja derivoituvia Määrättävä funktion f(x, y) paikalliset ääriarvot ehdolla g(x, y) = 0 Sijoitusmenetelmä Ratkaistaan muuttuja x tai y ehtoyhtälöstä g(x, y) = 0 (jos mahdollista) ja sijoitetaan se optimoitavaan funktioon f(x, y), jolloin saadaan yhden muuttujan funktio, jolle lasketaan ääriarvot normaalisti Esimerkki 35 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = 24 Lagrangen menetelmä Muodostetaan kohdefunktio F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Määritetään kohdefunktion F (x, y, λ) kriittiset pisteet eli mahdolliset ääriarvokohdat ratkaisemalla yhtälöryhmä F x = f x λ g x = 0 F y = f y λ g y = 0 F λ = g(x, y) = 0 g(x, y) = 0 Ääriarvon laadun testaaminen kriittisessä pisteessä: Paikallinen maksimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx < 0 ja F yy < 0 Paikallinen minimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx > 0 ja F yy > 0 Testi ei anna tulosta, jos (tutkittava funktioita tarkemmin) = F xx F yy (F xy ) 2 0 Esimerkki 36 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = 24 28

30 322 Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa Etsittävä ääriarvot funktiolle f(x, y) ehdolla g(x, y) 0 Menetelmä on seuraava: 1 Ääriarvotetaan funktio f(x, y) ilman ehtoa g(x, y) 0 Ratkaistaan kuten normaali ääriarvotehtävä Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy funktion f(x, y) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) Jos kriittinen piste toteuttaa ehdon g(x, y) 0, niin se on myös tämän ehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy alueen sisältä, g(x, y) 0) 2 Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x, y) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x, y) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä Lagrangen menetelmällä, missä kohdefunktio on nyt muotoa F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy kohdefunktion F (x, y, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen menetelmän laatutarkastelu löydetylle kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) (Ääriarvokohta löytyy alueen reunalta, g(x, y) = 0) 3 Lopullinen päättely kohtiin 1 ja 2 perustuen Esimerkki 37 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 38 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 29

31 323 Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa Maksimoi/minimoi funktio f(x, y) usean ehdon määräämässä ehtoalueessa E = {(x, y) g i (x, y) 0, i = 1,, m} Ehdot toteuttavat absoluuttiset ääriarvot löytyvät joko paikallisista ääriarvokohdista ehtoalueen E sisältä, (g i (x, y) < 0), tai sidotuista ääriarvokohdista ehtoalueen E reunalta, (g i (x, y) = 0) Lause 34 Derivoituvan funktion f(x, y) mahdolliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla: 1 Osittaisderivaattojen 0 kohdat 2 Määrittely-/tarkastelujoukon E reunat (ja nurkat) Jos funktio on jatkuva ja derivoituva suljetussa joukossa E, niin mahdolliset ääriarvokohdat löytyvät kohtien 1 ja 2 avulla Näistä valitaan pienin ja suurin Esimerkki 39 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ääriarvot joukossa E = {(x, y) x 0, y 0, x + 2y 24} 30

32 324 Hyötyfunktion maksimi Kuluttajan oletetaan valitsevan hyödykkeitä siten, että niiden käytöstä saatava tyytyväisyys maksimoituu Oletetaan, että kuluttajan ostot rajoittuvat kahteen hyödykkeeseen Q 1 ja Q 2 Hyötyfunktio on U = f(q 1, q 2 ), missä q 1 ja q 2 ovat hyödykkeiden kulutusmäärät Siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) kuvaa hyödykkeiden kulutusmääristä aiheutuvaa tyytyväisyyttä Oletetaan, että hyötyfunktiolla U = f(q 1, q 2 ) on jatkuvat 1 ja 2 kertaluvun osittaisderivaatat olemassa Nämä osittaisderivaatat ovat hyödykkeiden rajahyötyjä Tyytyväisyys kasvaa kulutuksen kasvaessa eli U q 1 > 0 ja U q 2 > 0 Kuluttaja haluaa maksimoida hyötynsä, mutta kulutusta rajoittaa budjettirajoite y 0 = p 1 q 1 + p 2 q 2, missä y 0 on ostamiseen käytettävissä oleva rahamäärä ja p 1 ja p 2 ovat hyödykkeiden Q 1 ja Q 2 yksikköhintoja Maksimoidaan siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) budjettirajoitteella y 0 = p 1 q 1 +p 2 q 2 Budjettirajoitteesta saadaan Näin ollen hyötyfunktio on yhden muuttujan q 1 funktio U = f q 2 = y 0 p 1 q 1 p 2 ( q 1, y ) 0 p 1 q 1 p 2 31

33 Maksimoidaan hyötyfunktio U muuttujan q 1 suhteen Asetetaan ensin U q 1 = 0 (Etsitään siis KRP) Tämä ehto on välttämätön, muttei riittävä Toisen derivaatan negatiivisuus takaa maksimin olemassaolon Täytyy siis vielä olla 2 U q 2 1 < 0 Esimerkki 310 Maksimoi hyötyfunktio U = q 1 q 2, kun p 1 = 15, p 2 = 5 ja kuluttajan tulot y 0 = 150 Ratkaisu: Budjettirajoite on 15q 1 + 5q 2 = 150 5q 2 = q 1 q 2 = 30 3q 1 Tällöin saadaan hyötyfunktio Etsitään kriittinen piste: U = q 1 q 2 = q 1 (30 3q 1 ) = 30q 1 3q 2 1 6q 1 = 30 q 1 = 5 U q 1 = 30 6q 1 = 0 q 2 = 30 3q 1 = = 15 Koska kriittisessä pisteessä niin q 1 = 5 on maksimikohta 2 U q 2 1 = 6 < 0, Vastaava hyötyfunktion maksimiarvo on U max = q 1 q 2 = 5 15 = 75 32

34 4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista 41 Normaali ääriarvo (ei sidottu) Funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Vastaavasti funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Piste (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä Tällöin f(a 1,, a n ) on funktion paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen minimikohta ja f(a 1,, a n ) paikallinen minimiarvo, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä 411 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta Lause 41 (KRP:n etsiminen) Olkoon funktio f( X) = f(x 1,, x n ) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x 1,, x n ) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä f x1 = 0 f x2 = 0 f xn = 0 Huomautus Kriittinen piste, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 41 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x 1,, x n ) = x x 2 n 33

35 412 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu Olkoon f(x 1,, x n ) n muuttujan funktio Funktion f Hessin matriisi muodostetaan seuraavasti: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H = f xx = f n1 f n2 f nn n n, missä f ij = ( ) f x i x j Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Matriisi A on positiividefiniitti, jos sen alideterminantit A1 = a11, An = A A2 a = 11 a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 A3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a, 33 ovat kaikki arvoltaan positiivia Vastaavasti matriisi A on negatiividefiniitti, jos A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, eli kaikilla i = 1,, n ( 1) i A i > 0 34

36 Lause 42 Olkoon löydetty kriittinen piste X0 = (a 1, a 2,, a n ) ja olkoon H = H( X 0 ) funktion f( X) Hessin matriisi kriittisessä pisteessä X 0 Tällöin 1) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen maksimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee ( 1) i H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n eli Hessin matriisi H on negatiividefiniitti 2) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen minimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n eli Hessin matriisi H on positiividefiniitti 3) Kriittinen piste X 0 ei ole paikallinen ääriarvokohta, jos H i ( X 0 ) 0 kaikilla i = 1,, n, mutta ehdot 1) tai 2) ei toteudu 4) Jos H i ( X 0 ) = 0 jollakin i = 1,, n, niin testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 42 Etsi paikalliset ääriarvot funktiolle f(x, y) = x 2 y + y 3 y 35

37 42 Sidotut ääriarvot 421 n muuttujan ja m yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n Maksimoi/minimoi funktio f(x 1,, x n ) ehdoilla g i (x 1,, x n ) = 0, missä i = 1,, m Muodostetaan Lagrange funktio: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) missä λ j :t ovat Lagrange-kertoimia m λ j g j (x 1,, x n ), j=1 1 o Ääriarvon mahdollinen olemassaolo: (KRP) L = 0 x { i Lxi = 0, kaikilla i = 1,, n eli L g j = 0, kaikilla j = 1,, m = 0 λ j Näin saadaan mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 2 o Ääriarvon olemassaolo ja laatu: Määritellään laajennettu Hessin matriisi H = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x n g m x n g 1 g 1 x n x 1 g m x 1 g m x n L x1 x 1 L x1 x n L xnx1 L xnxn (m+n) (m+n) ) ( 0 = m m J m n J T n m H n n (n+m) (n+m) 36

38 Laajennetun Hessin matriisin tarvittavat alideterminantit H i ovat H i ( X 0 ) = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x i g m x i g 1 g 1 x i x 1 g m x 1 g m x i L x1 x 1 L x1 x i L xi x 1 L xi x i, missä i = m + 1,, n Eli determinantti H i on vasemmasta yläkulmasta i:nteen muuttujaan asti otettu alideterminantti Siis nollamatriisin lisäksi otetaan mukaan i kappaletta pystyja vaakarivejä Nyt ääriarvon laatu mahdollisessa paikallisessa ääriarvokohdassa X 0 määräytyy seuraavasti: 1) Jos ( 1) i H i > 0, kaikilla i = m+1,, n, niin KRP on paikallinen sidottu maksimikohta 2) Jos ( 1) m H i > 0, kaikilla i = m + 1,, n, niin KRP on paikallinen sidottu minimikohta 3) Jos kumpikaan ei toteudu, testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 43 Määritä funktion f(x, y, z) = x 2 7y 10z 3 paikalliset ääriarvot ehdoilla x + y + z = 0 ja x + 2y + 3z = 0 37

39 422 n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus Ääriarvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdolla g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seuraava: 1) Ääriarvotetaan funktio f(x 1,, x n ) ilman epäyhtälöehtoa g(x 1,, x n ) 0 Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis funktion f( X) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu kriittiselle pisteelle X 0 Hessin matriisin avulla Jos kriittinen piste toteuttaa ehdon g(x 1,, x n ) 0, niin se on myös epäyhtälöehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen sisältä, g(x 1,, x n ) 0) 2) Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x 1,, x n ) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x 1,, x n ) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä, missä Lagrange-funktio on nyt muotoa L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis Lagrange-funktion L( X, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen mukainen laatutarkastelu kriittiselle pisteelle X 0 laajennetun Hessin matriisin avulla (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen reunalta, g(x 1,, x n ) = 0) 3) Kohtiin 1) ja 2) perustuva päättely Esimerkki 44 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 45 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 38

40 5 Lineaarinen optimointi Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 (Lineaarinen!!!) rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 (Lineaariset!!!) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 j = 1,, n 51 Geometrinen ratkaisu Kahden päämuuttujan tapaus: Max/min f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 b m x 1, x 2 0, tämä ehto ei pakollinen Muodostetaan ratkaisumonikulmio eli etsitään ehtoalue, jossa rajoitteet toteutuvat Lause 51 Jos ratkaisumonikulmio on suljettu, niin optimointitehtävän yksikäsitteinen ratkaisu löytyy ratkaisumonikulmion kärjistä Jos ratkaisuja on useita, niin ainakin kaksi niistä löytyy ratkaisumonikulmion kärkipisteistä Jos ratkaisumonikulmio on avoin alue, tutki tarkemmin 39

41 Esimerkki 51 Max/min f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Ratkaisumonikulmio ei välttämättä ole suljettu rajoitteilla Esimerkiksi: { { 2x1 + x 2 6 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x x 1 + 4x 2 40 Esimerkki 52 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 Esimerkki 53 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 40

42 52 Kantaratkaisu menetelmä Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rajoite-epäyhtälöt muutetaan lisämuuttujien (x n+1,, x n+m ) avulla yhtälöiksi: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n x n+2 = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n + x n+m = b m x j 0 j = 1,, n + m Kantaratkaisu on eo yhtälöryhmän sellainen ratkaisu, jossa muuttujista x 1,, x n+m on n kappaletta arvoltaan nollia ja lisäksi positiivisuusehtoa ei huomioida Kantamuuttujat ovat ne m muuttujaa, joita ei aseteta nolliksi Hyväksyttävä kantaratkaisu on kantaratkaisu, joka toteuttaa myös positiivisuusehdon Optimaalinen kantaratkaisu on hyväksyttävä kantaratkaisu, joka antaa kohdefunktion optimiarvon 41

43 Lause 52 Jos kohdefunktiolla on äärellinen optimi, niin ainakin yksi optimaalinen ratkaisu löytyy hyväksyttävänä kantaratkaisuna Optimointi: 1) haetaan kantaratkaisut 2) valitaan hyväksyttävät kantaratkaisut 3) lasketaan funktion arvot kohdan 2) pisteissä 4) valitaan näistä haettu optimiarvo Esimerkki 54 Min/max f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Kantaratkaisu menetelmä ei toimi avoimessa alueessa Pienellä varovaisuudella kylläkin 42