LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

Transkriptio

1 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen on tapana yleensä arvioida jollain tavoin myös mittaustuloksen tarkkuutta Itse asiassa pelkkä tulos ilman mitään tietoa tarkkuudesta on harvoin käyttökelpoinen Siksi on tärkeää, että opit jo tämän kurssin ensimmäisessä laboratoriotyössä esittämään jonkinlaisen arvion tulostesi tarkkuudesta Jos varsinaista virheen arviointia ei kaikissa töissä vaaditakaan, joka kerta on hyvä kuitenkin pohtia tulosten tarkkuutta Seuraavassa tarkastellaan virheen arviointia lähinnä tämän kurssin ensimmäisen työn kannalta Laajempaa näkemystä saadaksesi voit tutustua esimerkiksi kurssin P Fysiikan laboratoriotyöt 1 luentoihin, jotka löytyvät osoitteesta ja siellä esitettyihin virheen arviointia koskeviin tietoihin Erityisesti luentomateriaalin sivut 1-8 ovat hyödyllisiä tässä yhteydessä Virheen arvioinnilla on kaksi päämäärää Sen avulla voidaan 1) Selvittää, mitkä tekijät vaikuttavat eniten mittaustulosten luotettavuuteen Kuvitellaanpa tilannetta, jossa joutuisit rutiininomaisesti määrittämään erilaisten metallikappaleiden tiheyksiä punnitsemalla ja pituusmittauksin Ajatellaan, että olisit valinnut massan määritykseen käyttöösi orsivaa an Tällöin huomaisit melko varmasti tiheyden virhettä arvioidessasi, että kappaleen massan virhe tuottaa myös lopputulokseen huomattavan suuren virheen Nyt voisit korjata mittausmenetelmääsi ottamalla käyttöön näissä mittauksissa käytettävän tarkemman vaa an ) Saada arvio mittaustulosten tarkkuudesta Fysiikan töissäkin saattaa joskus esiintyä tilanteita, joissa havaitaan virheen olevan niin suuri, että kyseisen suureen mittaustapa on kokonaan muutettava Tätä varten on hyvä jokaisessa työssä tarkastella myös virhettä jollakin tavalla ja esittää myös omia pohdintoja virheen suuruudesta Työn ohjaaja saa tätä kautta arvokasta tietoa ja voi tarvittaessa jopa muuttaa mittausmenetelmää Virheen arvioinnissa esiintyy kaksi erilaista tasoa, joilla käytettävää arviointimenetelmää on joka kerran mietittävä erikseen Taso 1: Välittömästi mitattavissa olevan suureen virheen arviointi Tämä tehdään joko arvioimalla suureen virhe suoraan mittalaitteen tarkkuuden perusteella tai mittaamalla suure useampaan kertaan, jolloin virherajana voidaan käyttää esimerkiksi suurinta poikkeamaa havaintoarvojen keskiarvosta Jos mitattava suure saadaan selville tekemällä vain yksi mittaus, arvioidaan mitatun suureen absoluuttisen virheen yläraja suoraan mittalaitteen lukematarkkuuden perusteella Esimerkiksi, jos mittaisit työohjeen kuvan 14 tilanteen mukaisesti metallisylinterin korkeuden mikrometriruuvilla vain kerran ja käytössäsi olisi kuvassa

2 esitetty mikrometriruuvi, olisi mittaustuloksen absoluuttisen virheen yläraja joko mitan lukematarkkuus 0,01 mm tai sen puolikas 0,005 mm Jos olet epävarma, kumpaa näistä kahdesta vaihtoehdosta tulisi käyttää, käytä aina suurempaa Virheen arvioinnissahan ajattelemme aina huonointa mahdollista tilannetta ja määritämme siksi suurimman mahdollisen virheen Näin tässä tilanteessa metallisylinterin korkeudeksi saataisiin (15,9 ± 0,01) mm Tässä työssä punnitset kappaleen vain kerran, jolloin massan absoluuttisen virheen yläraja saadaan selville vaa an lukematarkkuudesta Jos on mahdollista, mitattavasta suureesta pyritään aina tekemään useampia kuin yksi mittaus Tällöin lopullinen mittaustulos on näiden havaintoarvojen keskiarvo Keskiarvon virheenä voidaan tilanteesta riippuen käyttää keskihajontaa, keskiarvon keskivirhettä tai suurinta poikkeamaa keskiarvosta Tässä työssä mittaat metallisylinterin halkaisijat ja korkeuden kymmenen kertaa ja lasket keskiarvon näistä kymmenestä havainnosta Sen jälkeen lasket virheen arviointia varten suurimmat poikkeamat halkaisijoiden ja korkeuden keskiarvoista Usein tämä havaintoarvojen satunnainen virhe on kuitenkin niin pieni, että se jää mittalaitteen lukematarkkuuden rajoihin Siksi on muistettava tarkastaa, kumpi on suurempi laitteen lukematarkkuus vai suurin poikkeama keskiarvosta ja käyttää virherajana näistä suurempaa Taso : Suure ei ole välittömästi mitattavissa, vaan se on kahden tai useamman mitattavissa olevan suureen unktio Tällöin suureen absoluuttisen tai suhteellisen virheen yläraja saadaan selville sopivaa kokonaisdierentiaalimenetelmää soveltaen Tähän tapaukseen tutustumme jatkossa muutamien esimerkkien avulla Seuraavassa käytämme merkintöjä: on laskettava suure, joka riippuu mitattavista toisistaan riippumattomista suureista x, z,kyhtälön = ( x, z, K) mukaisesti, on suureen absoluuttinen virhe, on suureen suhteellinen virhe, joka tavallisesti ilmoitetaan prosentteina,, D Dz,Kovat mitattujen suureiden x, z, K absoluuttiset virheet, jotka on saatu selville esimerkiksi mittojen lukematarkkuuksista tai suurimpina poikkeamina keskiarvoista, x, Dy Dz z,kovat mitattujen suureiden suhteelliset virheet, jotka on saatu selville jakamalla em suureen absoluuttinen virhe suureen havaintoarvolla, a, b, c,k ovat vakioita, jotka voidaan tässä tarkastelussa olettaa virheettömiksi

3 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 Suureen absoluuttisen virheen arviointi kokonaisdierentiaalimenetelmän avulla Suureen = ( x, z, K) absoluuttisen virheen ylärajan määrittäminen perustuu unktion kokonaisdierentiaalin d laskemiseen Kokonaisdierentiaali d tarkoittaa suuretta d = dx + dy + dz +K (L11) x y z Virheen arvioinnissa on tärkeää kokonaisdierentiaalin sovellutuksena saatava tulos, jonka mukaan suureen absoluuttisen virheen D suurin mahdollinen arvo saadaan yhtälöstä +K (L1) x y z Kannattaa huomata, että yhtälössä (L1) tarkastelemme pahinta mahdollista tilannetta Ottamalla yhteenlaskussa käyttöön itseisarvot ajattelemme, että kaikki virheet vaikuttavat samaan suuntaan Tällä menetelmällä saamme siis selville suureen absoluuttisen virheen ylärajan Esimerkki 11 Tarkastellaan suuretta absoluuttisen virheen = bx - cy + az Määritä suureen yläraja sekä sen avulla suhteellisen virheen D yläraja Ratkaisu: Jotta päästäisiin soveltamaan yhtälöä (L1), on laskettava unktion ( x, z) osittaisderivaatat muuttujien x, y ja z suhteen eli suureet w, w = x, y tai z Nämä lasketaan aivan kuten tavalliset derivaatat, paitsi että derivoitaessa tietyn muuttujan (esim oletetaan vakioiksi Osittaisderivaatoiksi saadaan x : n ) suhteen muut muuttujat (esim y ja z ) x = bx ; = -cy; = a, y z jolloin yhtälöstä (L1) saadaan absoluuttisen virheen ylärajaksi bx + - cydy + adz = bx + cydy Suhteellisen virheen ylärajaksi saamme + adz

4 4 bx bx - cy + az + bx cydy - cy + az + bx adz - cy + az Suureen suhteellisen virheen ylärajan määrittäminen logaritmisen kokonaisdierentiaalin avulla Usein on helpompaa laskea ensin suureen suhteellisen virheen D yläraja käyttäen logaritmista kokonaisdierentiaalia ja laskea sitten tämän avulla absoluuttisen virheen yläraja Tämä menetelmä soveltuu käytettäväksi erityisesti silloin, kun määritettävä suure riippuu mitattavista suureista siten, että sen yhtälössä esiintyy vain tuloja ja/tai osamääriä Tässä menetelmässä lasketaan ensin suureen luonnollinen logaritmi ln ja muodostetaan tämän kokonaisdierentiaali Yhtälöä (L11) käyttäen saamme (ln ) d(ln ) = dx + dy + dz +K (L1) x y z Koska tiedämme, että d (ln ) = d, saamme suhteellisen virheen ylärajaksi (ln ) x y z +K (L14) Esimerkki 1 Määritä unktion = axy (bz) suhteellisen virheen D yläraja ja laske sen avulla absoluuttisen virheen yläraja Ratkaisu: Muodostetaan ensin unktion luonnollisen logaritmin lauseke æ axy ö ln = lnç = ln a + ln x + ln y - ln b - ln z è bz ø ja lasketaan sitten yhtälössä (L14) esiintyvät osittaisderivaatat ( ln ) 1 ( ln ) 1 ( ln ) 1 = ; = ; = - x x y y z z Yhtälön (L14) perusteella saadaan suhteellisen virheen ylärajaksi D (ln ) x y z Dy - Dz Dy Dz = + + = + + x y z x y z

5 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 5 Absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan siten = ay bz æ Dy Dz ö = ç + + x y z è ø ax axy bz bz axy bz Lopputulosten ilmoittaminen Laboratoriotöissä mittaustulokset kootaan työselostuksessa tavallisesti kohtaan Lopputulokset Siellä tulokset ilmoitetaan yleensä virherajoineen Lisäksi selostukseen kirjoitetaan mittaustulosten käsittelyä esitettäessä asian selkeyttämiseksi ja lukijan helpottamiseksi näkyviin mallisijoituksia ja erilaisia välituloksia Välituloksia ja lopputulosten laskemista ja ilmoittamista koskevat seuraavat säännöt: 1) Tee kaikki pyöristykset vasta lopputuloksiin Nykyisin mittaustulosten käsittelyssä tarvittavat laskut tehdään lähes poikkeuksetta joko laskimella tai tietokoneella, jolloin laskut voidaan helposti tehdä niin hyvällä tarkkuudella, että se ei aiheuta virhettä lopputuloksiin On vain muistettava käyttää lopputuloksen laskemisessa aina välitulosten pyöristämättömiä arvoja Tämä tilanne tulee esille jo tässä työssä, jossa varsinainen lopputulos on metallin tiheys Muista käyttää tiheyttä laskiessasi tilavuuden pyöristämätöntä arvoa ) Kirjoittaessasi välituloksia näkyviin selostukseen käytä tavanomaisia pyöristyssääntöjä eli a) Ota yhteen- ja vähennyslaskuissa välitulokseen mukaan niin monta desimaalia kuin on epätarkimmassa havaintoarvossa b) Ota kerto- ja jakolaskuissa välitulokseen mukaan niin monta merkitsevää numeroa kuin on epätarkimmassa havaintoarvossa ) Ilmoittaessasi lopputuloksen ja sen absoluuttisen virheen muodossa ± muuta ensin lopputulos ja virhe samanmuotoisiksi Jos toinen on esitetty kymmenen potenssin tai etuliitteen avulla ja toinen esimerkiksi desimaalilukuna tai erilaisen etuliitteen avulla, mieti kumpi esitystapa sopii tähän tilanteeseen paremmin ja ilmoita kummatkin samalla tavoin Ilmoita aina lopputulos ja virhe käyttäen samaa desimaalista tarkkuutta Esimerkki 1 Punnittaessa kappale sen massaksi saatiin m = 7,5 g ja massan virherajaksi määritettiin Dm = 0 mg Tässä tilanteessa massan yksikkönä voidaan hyvin käyttää grammaa (g), joten ilmoitetaan virhe muodossa Dm = 0,00 g Lopputulos voitaisiin siten ilmoittaa muodossa m = (7,5 ± 0,00) g Tämän

6 6 lisäksi olisi vielä tutkittava, toteutuuko seuraavassa käsiteltävä ns 15 yksikön sääntö 4) Kun olet saanut lopputuloksen ja virheen ilmoitetuksi samalla desimaalisella tarkkuudella, käytä 15 yksikön sääntöä määrittäessäsi, kuinka monta numeroa otat mukaan lopputulokseen ja virheeseen 15 yksikön säännön mukaan lopputulokseen otetaan mukaan kaikki ne numerot, joiden epätarkkuus on pienempi kuin 15 yksikköä Muista, että virhe pyöristetään aina ylöspäin ja lopputulos aivan tavallisten pyöristyssääntöjen mukaan 15 yksikön säännön mukaan virhe voi siis olla enintään 0,015, 0,15, 1,5 jne Heti, jos virheeksi saadaan esimerkiksi 0,16 täytyy sekä lopputuloksesta että virheestä pudottaa yksi numero pois, jolloin virhe tulisi olemaan 0, Tarkastele suhteelliseen virheeseen mukaan otettavien numeroiden määrä aina erikseen saman 15 yksikön säännön mukaan Myös suhteellisen virheen tapauksessa on muistettava, että se voi olla enintään 0,15 %, 1,5 %, 15 % jne Jos suhteelliseksi virheeksi saadaan esimerkiksi 1,6 %, se pyöristyy muotoon % Esimerkki 14 Eräässä laboratoriotyössä määritettiin kappaleen tilavuus V, jolle saatiin tulos V =18,476cm Tilavuuden absoluuttiseksi virheeksi saatiin DV =11,47 mm Ilmoita mittaustulos oikein virherajoineen Ratkaisu: Tilavuuden ilmoittamisessa käytetyt yksiköt ovat tässä parhaat, joten muutetaan ensin myös absoluuttinen virhe cm :ksi ja käytetään virheessä samaa desimaalista tarkkuutta kuin lopputuloksessa Tällöin saadaan Alustavaksi tulokseksi saadaan näin V = ( 18,476± 0,115) cm DV = 0,115cm Määritetään vielä oikea ilmoitustapa 15 yksikön säännön avulla Edellä annetussa tuloksessa viimeisessä mukana olevassa lopputuloksen numerossa 6 olisi virhettä peräti 115 yksikköä Jos pudotamme yhden numeron pois sekä tuloksesta että virheestä, saamme V = ( 18,47± 0,1) cm Tästäkin täytyy vielä pudottaa numeroita pois, koska viimeisessä tuloksen numerossa on edelleen 1 yksikköä virhettä Seuraava ehdotuksemme V = ( 18,47 ± 0,1) cm toteuttaa 15 yksikön säännön Suhteelliseksi virheeksi saadaan tässä DV V = ( 0,115 18,476) 100% = 0,6578% 15 yksikön säännön mukaan lopputulos ja suhteellinen virhe tulee ilmoittaa muodossa V =18,47 cm ± 0,7 % Kappaleen tilavuus olisi siis tämän mittauksen perusteella V = (18,47± 0,1) cm = 18,47 cm ± 0,7 %