Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta"

Transkriptio

1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta

2 Sisältö

3

4 Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman graafinen esitys: Diskreetti muuttuja: frekvenssijakauma ja pylväsdiagrammi. Jatkuva muuttuja: luokiteltu frekvenssijakauma ja histogrammi. Muita: piirakkadiagrammi, kumulatiivinen frekvenssi polygoni,...

5 Havaittujen arvojen jakauma Jakauman yleiset tunnusluvut: lukuja: keskiarvo, mediaani, moodi. lukuja: varianssi, vaihteluväli ja sen pituus, mediaanin keskipoikkeama (MAD). Muita: vinous, huipukkuus.

6

7 Yleisimmin käytettyjä lokaatiolukuja ovat keskiarvo, mediaani ja moodi.

8 Keskiarvo Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otoskeskiarvo x = 1 n n i=1 x i estimoi muuttujan x odotusarvoa E[x] = µ.

9 Mediaani Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Olkoot y 1 < y 2 <... < y n arvot asetettuna suuruusjärjestykseen. Tällöin otoksen mediaani on suuruusjärjestykseen asetettujen havaintojen keskimmäinen arvo. Jos havaintoja on parillinen määrä, otetaan kaksi keskimmäistä ja lasketaan näitten keskiarvo. Otosmediaani estimoi populaatiomediaania, joka määritellään seuraavasti. Satunnaismuuttujan x mediaani m x on luku joka toteuttaa ehdot P(x < m x ) 1 2, ja P(x m x) 1 2.

10 Kvantiili Satunnaismuuttujan x β-kvantiili k β, 0 < β < 1, on luku joka toteuttaa ehdot P(x < k β ) β, ja P(x k β ) β.

11 Moodi Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otoksen moodi on se muuttujan arvo, jolla on suurin frekvenssi. Moodi estimoi kvalitatiivisen muuttujan tai diskreetin kvantitatiivisen muuttujan sitä arvoa, jolla on suurin todennäköisyys muihin mahdollisiin arvoihin verrattuna.

12 Missä tilanteissa on perusteltua käyttää lokaatiolukuna keskiarvoa, entäpä mediaania tai moodia?

13 Muita lokaatiolukuja ovat esim. painotettu keskiarvo, vaihteluvälin keskipiste (midrange),...

14 Numeerinen esimerkki lokaatioluvuista Olkoot 3, 1, 2, 3, 7, 8, 3, 4, 4, 6 satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havainnot. Tällöin otoksen keskiarvo on x = 1 41 ( ) = = 4.1, mediaani ja moodi luku 3. m x = = 7 2 = 3.5

15

16 Yleisimmin käytettyjä hajontalukuja ovat varianssi, keskihajonta, mediaanin absoluuttinen keskipoikkeama (median absolute deviation, MAD) ja vaihteluväli.

17 Varianssi Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otosvarianssi s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 estimoi muuttujan x populaatiovarianssia E[(x E[x]) 2 ] = σ 2.

18 Keskihajonta Otoksen x 1, x 2,..., x n keskihajonta on sen otosvarianssin neliöjuuri. s = s 2.

19 Chebychevin epäyhtälö Olkoon x satunnaismuuttuja, jolla on äärellinen odotusarvo E[x] = µ ja äärellinen varianssi E[(x E[x]) 2 ] = σ 2. Olkoon k > 1. Tällöin P( x µ kσ) 1 k 2.

20 Chebychevin epäyhtälö Kun k = 2, niin 1 1 k 2 = 75%. Kun k = 3, niin 1 1 k 2 88, 9%.

21 Chebychevin epäyhtälö Käytännössä odotusarvo ja varianssi joudutaan estimoimaan, mutta Chebychevin epäyhtälöä käytetään, kun arvioidaan yksittäisen havaintoarvon yleisyyttä. Yleisesti havaintoja, jotka sijaitsee yli kahden keskihajonnan päässä keskiarvosta, pidetään harvinaisina ja havaintoja, jotka sijaitsevat yli kolmen keskihajonnan etäisyydellä keskiarvosta pidetään hyvin harvinaisina.

22 Chebychevin epäyhtälö Jos tiedetään, että havainnot tulevat normaalijakaumasta, niin saadaan Chebychevin epäyhtälöä tarkemmat rajat. Tällöin tiedetään, että todennäköisyys sille, että havainto sijaitsee yhden keskihajonnan sisällä odotusarvosta on noin 68 %. Todennäköisyys sille, että havainto sijaitsee kahden keskihajonnan sisällä odotusarvosta on noin 95 % ja todennäköisyys sille, että havainto sijaitsee kolmen keskihajonnan sisällä odotusarvosta on noin 99,7 %.

23 Mediaanin absoluuttinen keskipoikkeama Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot ja olkoon m x otoksesta laskettu mediaani. Tällöin mediaanin absoluuttinen keskipoikkeama, MAD, on otoksen x 1 m x, x 2 m x,..., x n m x mediaani kerrottuna vakiolla

24 Vaihteluväli Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Olkoon Max x otoksen suurin arvo ja olkoon Min x otoksen pienin arvo. Tällöin otoksen vaihteluväli on väli [Min x, Max x ] ja vaihteluvälin pituus on Max x Min x.

25 Missä tilanteissa on perusteltua käyttää hajontalukuna varianssia, entäpä mediaanin absoluuttista keskipoikkeamaa tai vaihteluväliä?

26 Numeerinen esimerkki hajontaluvuista Olkoot 3, 1, 2, 3, 7, 8, 3, 4, 4, 6 satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat ja samoin jakautuneet havainnoit. Otoskeskiarvo on 4.1. Tällöin otoksen varianssi s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 = 1 9 i=1 10 i=1 (x i 4.1) 2 = ja keskihajonta s 2 = = MAD on mediaani havaintojen ja havaintojen mediaanin erotuksista. Havaintojen mediaani on 3.5. MAD = median(x i 3.5) = Vaihteluväli saadaan havaintojen minimin ja maksimin avulla: [min(x), max(x)] = [1, 8]. Vaihteluvälin pituus on 8 1 = 7.

27

28 Parametrin estimaattiin on hyvä liittää väli, joka sisältää estimoidun parametrin todellisen, mutta tuntemattoman arvon tietyllä todennäköisyydellä. Tällaista väliä kutsutaan luottamusväliksi ja valittua todennäköisyyttä kutsutaan luottamustasoksi.

29 Olkoon x satunnaismuuttuja jakaumasta F x. Olkoon θ jokin jakauman F x parametri ja olkoon ˆθ tuon parametrin estimaatti. Olkoon (l, u) estimaattiin ˆθ liittyvä luottamustason p luottamusväli. Tällöin, ennen kuin otos on generoitu, estimaattiin ˆθ (joka on tässä satunnaismuuttuja) liittyvä satunnainen väli (l, u) sisältää parametrin θ todennäköisyydellä p. Kun otos on generoitu, estimaatin arvo ja luottamusväli laskettu, niin estimaattiin liitetty luottamusväli joko sisältää todellisen parametrin arvon tai sitten ei. Jos generoidaan sata otosta jakaumasta F x, ja lasketaan estimaatti ˆθ ja siihen liittyvä luottamusväli jokaisesta otoksesta, niin noin p 100 luottamusväleistä sisältää parametrin θ ja noin (1 p) 100 ei sisällä parametria θ. n pituus riippuu otoskoosta. Jos otoskoko on pieni, niin luottamusväli on pitkä. Otoskoon kasvaessa luottamusväli lyhenee.

30 , normaalijakauma Normaalijakautuneen muuttujan tiheysfunktio f (x) = 1 σ µ)2 exp( (x 2π 2σ 2 ). Normaalijakauman parametrit ovat odotusarvo µ ja varianssi σ. Kuva: Standardoitu normaalijakauma.

31 , normaalijakauma Normaalijakauman odotusarvon µ luottamusväli luottamustasolla (1 α) on muotoa ( s s x t n 1,α/2 n, x + t n 1,α/2 n ), missä t n 1,α/2 on Studentin t-jakauman, vapausasteella n 1, luottamuskerroin α/2, P(t > t n 1,α/2 ) = α/2. (Huomaa, että t-jakauman luottamuskerroin t n 1,α/2 on sen 1 t n 1,α/2 kvantiili.) Kun n on suuri, niin lukua t n 1,α/2 voidaan estimoida standardinormaalijakauman N(µ = 0, σ 2 = 1) luottamuskertoimella α 2 (kvantiililla 1 α 2 ). Kun α = 0.05, niin tämä luku on 1.96 ja kun α = 0.01, niin tämä luku on

32 t-jakauma You tube video

33 , normaalijakauma Normaalijakauman varianssin σ 2 luottamusvali luottamustasolla (1 α) on muotoa ( (n 1)s 2 (n 1)s 2, χ 2 n 1,α/2 χ 2 n 1,1 α/2 missä χ 2 n 1,α/2 on χ2 -jakauman, vapausasteella n 1, luottamuskerroin α/2 (kvantiili 1 α/2), ja missä χ 2 n 1,1 α/2 on luottamuskerroin 1 α/2 (kvantiili α/2). ),

34 χ 2 -jakauma Juttua χ 2 -jakaumasta esim. Wikipediasta Kuva: Eri vapausasteilla piirreetyjä χ 2 -jakaumia.

35 , Bernoulli jakauma Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Oletetaan, että P(x i = 1) = p ja että P(x i = 0) = 1 p. Tällöin sanotaan, että satunnaismuuttuja x noudattaa Bernoulli jakaumaa. Muuttujan x odotusarvo E[x] = p ja varianssi E[(x E[x]) 2 ] = p(1 p). Odotusarvon p harhaton estimaatti on keskiarvo ˆp = 1 n n x i. i=1

36 , Bernoulli jakauma Kun n on suuri, Bernoulli jakauman odotusarvon luottamusvälin estimaatti luottamustasolla (1 α) on muotoa ( ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z α/2 ), n n missä z α/2 on standardinormaalijakauman luottamuskerroin α 2 (kvantiili 1 α 2 ). (Kirjallisuudessa esitetään useita vaihtoehtoisia estimaatteja Bernoulli jakauman odotusarvon luottamusvälille. Jos otoskoko on pieni, pelastuksen tarjoaa esim. Wilson score interval, josta löytyy tietoa vaikkapa ihan googlettamalla.)

37 Numeerinen esimerkki luottamusväleille Kallen superkeksipakettien massa grammoissa noudattaa likimain normaalijakaumaa odotusarvolla µ. Kymmenen keksipakettia on valittu satunnaisesti ja valitut keksipaketit on punnittu. Keksipakettien massat grammoissa ovat seuraavat: 397.3, 399.6, 401.0, 392.9, 396.8, 400.0, 397.6, 392.1, 400.8, Massojen keskiarvo on g ja otoskeskihajonta s = 1 10 (x i ) i=1 Studentin t-jakaumasta vapausasteella ((10 1) = 9) 95%:n luottamustasolla kriittinen arvo on t = superkeksipakettien massan odotusarvolle on näin ollen s ( x ± t ) = (397.87g ± g ) = (395.6g, 400.3g) n 10

38

39 Vinous Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otosvinouskerroin missä m 3 = 1 n v = m 3 s 3, n (x i x) 3. i=1 Otosvinouskerroin estimoi populaatiosuuretta E[( x µ σ )3 ]. Kuva: Symmetrinen normaalijakauma ja vino χ 2 3-jakauma.

40 Vinous Jos vinouskerroin v > 0, niin jakauma oikealle vino. Jos taas v < 0, niin jakauma on vasemmalle vino. Oikealle vinon jakauman oikea häntä on vasenta häntää paksumpi, ja vasemmalle vinon jakauman vasen häntä on oikeaa häntää paksumpi. Puhutaan myös negatiivisesti vinoista ja positiivisesti vinoista jakaumista. Normaalijakautuneen muuttujan vinouskerroin on 0. Kuva: Oikealle ja vasemmalle vinot jakaumat.

41 Vinous Vaihtoehtoinen vinousluku v 2 : Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin myös v 2 = 3( x m x) s kertoo jakauman vinoudesta. (Tässä yhteydessä merkinnällä m x tarkoitetaan otosmediaania.) Symmetrisen jakauman tapauksessa otoskeskiarvo ja otosmediaani estimoivat samaa populaatiosuuretta!

42 Huipukkuus Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otoshuipukkuuskerroin missä m 4 = 1 n k = m 4 s 4 3, n (x i x) 4. i=1 Otoshuipukkuuskerroin estimoi populaatiosuuretta E[( x µ σ )4 3].

43 Huipukkuus Normaalijakautuneen muuttujan huipukkuuskerroin on 0. Jos huipukkuuskerroin k > 0, niin jakauma on normaalijakaumaa huipukkaampi. Jos taas k < 0, niin jakauma on normaalijakaumaa vähemmän huipukas. Huipukkaalla jakaumalla on yleensä terävä huippu ja paksut hännät, kun taas vähemmän huipukkaalla jakaumalla on usein pyöreähkö huippu ja ohuet hännät. Huipukkuuden voidaan myös ajatella mittaavan jakauman "hartioiden"vankkuutta (jos k > 0, niin hartiat uupuvat).

44 Huipukkuus Kuva: Kaksi normaalijakaumaa eri parametrein. Huipukkuus on kuitenkin molemmille sama.

45 Huipukkuus Kuva: Huipukas ja leveäharteinen jakauma.

46

47 Lineaarinen riippuvuus Olkoot (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ) kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (x, y) toisistaan riippumattomat havaitut arvot. Tällöin otoskovarianssi s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) i=1 estimoi populaatiokovarianssia E[(x E[x])(y E[y])] = σ xy, ja Pearsonin otoskorrelaatiokerroin ˆρ(x, y) = s xy s x s y = n i=1 (x i x)(y i ȳ) n i=1 (x i x) 2 n i=1 (y i ȳ) 2 estimoi Pearsonin korrelaatiokerrointa ρ(x, y) = σ xy σ x σ y.

48 Numeerinen esimerkki lineaarisesta riippuvuudesta Halutaan tutkia korrelaatiota Kallen superkeksien syömisen ja lasten pituuskasvun välillä. Tutkimukseen valittiin satunnaisesti kymmenen lasta. Otoksessa on ensin ilmoitettu syötyjen keksien määrä satunnaisesti valittuna viikonloppuna ja toisena on ilmoitettu pituuskasvu senteissä. Mittausparit ovat seuraavat: (2,3),(3,4),(4,8),(3,7),(5,2),(4,1),(5,3),(3,6),(7,4) ja (1,4).

49 Numeerinen esimerkki lineaarisesta riippuvuudesta Syötyjen keksien otoskeskiarvo on 3.7 keskiä ja kasvettujen senttien otoskeskiarvo on 4.2 senttimetriä Otosvarianssi kekseille s k = 9 i=1 (k i 3.7) Otosvarianssi pituuskasvulle s p = i=1 (p i 4.2) i=1 (k i 3.7)(p i 4.2) = 0.6 Otoskovarianssi s kp 1 9 Pearsonin otoskorrelaatiokerroin keksien määrän ja pituuskasvun välillä on näin ollen: ˆρ(k, p) = s kp 0.6 s k s p =

50 Onkohan negatiivinen korrelaatio lasten pituuskasvun ja keksien syönnin välillä sattumaa?

51

52 -, hajonta-, vinous- ja huipukkuuslukujen lisäksi aineistoista voidaan laskea monia muitakin tunnuslukuja, esimerkiksi momentteja,...

53

54 Esimerkkinä opiskelijoiden pituus.

55 Esimerkkinä opiskelijoiden silmien väri.

56 Esimerkkinä keskipalkka.

57 Esimerkkinä tuotantoprosessin viallisten tuotteiden osuus.

58 J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc J. Crawshaw, J. Chambers: A Concise Course in Advanced Level Statistics, Nelson Thornes Ltd R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. Ilkka Mellin: Tilastolliset menetelmät,

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 2 KVANTITATIIVISEN TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI Sisältö: 1. Frekvenssi- ja prosenttijakaumat.2

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON? SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?...7 TILASTO...7 TILASTOTIEDE...8 HISTORIAA...9 TILASTOTIETEEN NYKYINEN ASEMA...9 TILASTOLLISTEN MENETELMIEN ROOLIT ERI TYYPPISET AINEISTOT JA ONGELMAT...10

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33.

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33. Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä.

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä. Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 3 Tällä harjoituskerralla tarkastellaan harjoituksissa 2 tehtyjä SPSS-havaintoaineistoja KUNNAT, kyselya ja kyselyb. Aineistoihin tutustutaan mm. erilaisten

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä.

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä. Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 3 Tällä harjoituskerralla tarkastellaan harjoituksissa 2 tehtyjä SPSS-havaintoaineistoja KUNNAT, kyselya ja kyselyb. Jos epäilet, että aineistosi eivät

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011 Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja Aki Taanila 2.2.2011 1 Tilastokuviot Pylväs Piirakka Viiva Hajonta 2 Kuviossa huomioitavia asioita 1 Kuviolla tulee olla tarkoitus ja tehtävä (minkä tiedon haluat välittää

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU 10.3.2015 KAHDEN RYHMÄN VERTAILU Jouko Miettunen Center for Life-Course and Systems Epidemiology jouko.miettunen@oulu.fi Luennon sisältö Luokitellut muuttujat Ristiintaulukko, prosentit Khiin neliötesti

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail.

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Author(s): Karvanen, Juha; Luoto, Antti Title: Odottelua pysäkillä

Lisätiedot

Mitä tilastollinen analyysi on?

Mitä tilastollinen analyysi on? Mitä tilastollinen analyysi on? Tilastotiede (engl. statistics) on tieteenala, jonka kohteena ovat numeerisen tilastoaineiston keräämiseen ja muokkaamiseen, esittämiseen, tilastolliseen analyysiin ja tulosten

Lisätiedot

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-6.8 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Ratkaisut. Ti 7..4, 8:5-: Palautellaan mieliin todennäköisyyslaskuja Versio.. Todennäköisyyksistä ensimmäinen P( sana=lyhenne sana=kolmikirjaiminen ) =.8

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ Metsä- ja puuteknologia Pro gradu -tutkielman tulokset Kevät 2010 Petri Ronkainen petri.ronkainen@joensuu.fi 0505623455 Metsäntutkimuslaitos

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen.

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET 21.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 1.1 Tiekartta... 4 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 5 2.1 Keskiarvon luottamusväli... 5 2.2

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007 EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET L2 kevät 2007 mittaaminen Biostatistiikan näkökulmasta Janne Pitkäniemi VTM, MSc (biometry) HY, Kansanterveystieteen laitos 1 Perusjoukon ja otoksen käsitteet

Lisätiedot

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / 2009-2010 1.1 Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Tilastojen tulkintatehtäviä lukion 2. ja 3. vuosikursseille

Tilastojen tulkintatehtäviä lukion 2. ja 3. vuosikursseille Yhteystiedot: Tilastokeskus tilastokoulu@tilastokeskus.fi Tilastojen tulkintatehtäviä lukion 2. ja 3. vuosikursseille Oppilaan nimi: Vastaa suoraan tähän koepaperiin. Hyödynnä koepaperille jätettyjä vastausviivoja

Lisätiedot

Hoitotyön henkilöstövoimavarojen hallinnan mallintaminen kansallisesti yhtenäisillä tunnusluvuilla

Hoitotyön henkilöstövoimavarojen hallinnan mallintaminen kansallisesti yhtenäisillä tunnusluvuilla Hoitotyön henkilöstövoimavarojen hallinnan mallintaminen kansallisesti yhtenäisillä tunnusluvuilla Ehdotukset kansallisesti yhtenäisiksi hoitotyön henkilöstövoimavarojen hallinnan tunnusluvuiksi Erikoissairaanhoito

Lisätiedot

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 Luku 3: TILASTOLLINEN KUVAILU Tässä luvussa esittelemme menetelmiä, joilla havaintomatriisin yhden sarakkeen eli yhden muuttujan havaintojen sisältämä informaatio kuvaillaan

Lisätiedot

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA 1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA Insinööritieteissä suoritetaan usein erilaisia mittauksia tai kokeita, joiden tuloksena saadaan numeerisia havaintoaineistoja tutkittavasta ilmiöstä. Hyvinvointiteknologiassa

Lisätiedot

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 1 2 22.10.2001 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: http://www.uta.fi/~strale/p2syksy.html Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille.

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010. Tehtäväkokoelma

Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010. Tehtäväkokoelma Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010 Tehtäväkokoelma 1. Komponentit k 1,...,k n muodostavat rinnan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii aina, kun yksikin komponentti toimii. Komponentit muodostavat

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Pertti Vilpas Metropolia 1. KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS

Pertti Vilpas Metropolia 1. KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS 1 Pertti Vilpas Metropolia 1. KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS Tutkimuksen aineiston keräämisessä voidaan käyttää joko laadullista tai määrällistä tutkimusmenetelmää. Tutkimusmenetelmiä voidaan myös yhdistää,

Lisätiedot

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto HELI RAASSINA Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku.

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. 1/11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä johtuen mittarin tarkkuudesta tai häiriötekijöistä Mittarin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET Vastaukset on merkitty keltaisella, muuttujien mittaustasot muuttujan kuvauksen perässä ja muu osa vastauksesta kysymyksen perässä. Tehtävä 1. Talousmatematiikan kurssin

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Teoria Johdanto simulointiin Simuloinnin kulku -- prosessin realisaatioiden tuottaminen Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Johdanto ja pseudosatunnaislukujen generointi Eri menetelmiä satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Ratkaisuja luvun 15 tehtäviin

Ratkaisuja luvun 15 tehtäviin Tarja Heikkilä 1. Luettele hyvän tutkimuksen perusvaatimukset ja riskitekijät. Katso Hyvän tutkimuksen perusvaatimukset luvusta 1 ja Tutkimusraporttien arviointi luvusta 4. Esimerkkejä riskitekijöistä

Lisätiedot

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti 16.5.2012/1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Opintomoniste kurssille MAT-25 Todennäköisyyslaskenta, Tampereen teknillinen yliopisto Antti Perttula, Kimmo Vattulainen, Tia Suurhasko Versio 9/212 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1

Lisätiedot

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016 PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 06 HELSINGIN YLIOPISTO PSYKOLOGIAN VALINTAKOE 06 Tilastomatematiikan lisämateriaali Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos

Lisätiedot

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5.1 Omat funktiot R on lausekekieli: Kaikki komennot kuten funktiokutsut ja sijoitusoperaatiot ovat lausekkeita. Lausekkeet palauttavat jonkin arvon. Lausekkeita voidaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Hei SAS Forumilla 2013 mukana olleet!

Hei SAS Forumilla 2013 mukana olleet! Hei SAS Forumilla 2013 mukana olleet! Ottakaa minuun yhteyttä, jos ja kun haluatte keskustella kanssani dataan liittyvistä asioita. 040-5629192, virpi.hotti@uef.fi Ja verkostoidutaan eli tervetuloa LinkedInverkostooni

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

1. Laadulliset eli kvalitatiiviset muuttujat voidaan jakaa edelleen jatkuviin ja epäjatkuviin muuttujiin.

1. Laadulliset eli kvalitatiiviset muuttujat voidaan jakaa edelleen jatkuviin ja epäjatkuviin muuttujiin. TURUN YLIOPISTO VALINTAKOE Yhteiskuntatieteellinen tiedekunta 5.6.2003 Psykologia KYSYMYSLOMAKE Valintakoekirjat: Niemi, Keskinen (toim.): Taitavan toiminnan psykologia, Psykologian laitos, 2002. Revonsuo,

Lisätiedot

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI 18.5.2007 VARIANSSIANALYYSI 1 JOHDANTO...2 VARIANSSIANALYYSI...3 Yksisuuntainen varianssianalyysi...3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ilman toistoja...6 Kaksisuuntainen

Lisätiedot