Geodesia. Samizdat kustannus Oy toukokuuta :50

Transkriptio

1 Geodesia Martin Vermeer Samizdat kustannus Oy toukokuuta :50

2

3 Kurssiesite Klassinen geodesia Luvut 1-9 Laajuus 3 op (ECTS) Osaamistavoitteet Opiskelija saa yleiskatsauksen nykypäivän geodesiasta ja käytännön maanmittauksesta. Kurssin jälkeen opiskelija osaa selostaa Maan muoto ja sen määritys, sekä ymmärtää geodeettisten koordinaattien alkeet osaa ratkaista geodesian pää- ja käänteistehtävä ja suorittaa yhdenmuotoismuunnos (Helmert-muunnos), kaikki 2D-tasossa ymmärtää miten käsitteet geodeettinen korkeus, geopotentiaali, geoidi ja vertausellipsoidi liittyvät toisiinsa osaa selostaa eri runko- ja kartoitusmittausmenetelmät kurssin harjoitusten jälkeen opiskelija osaa käsitellä teodoliittejä, takymetrejä, vaaituskojeita ja GPS-antenneja ja suorittaa yksinkertaisia laskentoja mittausdatan perusteella. Sisältö Geodesian historia, Maan muoto ja painovoima, ellipsoidi, koordinaatit ja korkeudet, kkj- ja EUREF-FIN vertausjärjestelmien ja karttaprojektioiden alkeet; mittaamisen alkeet, yksiköt, virheet; Helmert-muunnokset, geodesian pää- ja käänteistehtävä; vaaituskojeet ja -menetelmät, korkeusjärjestelmät, geoidi; teodoliitit ja takymetrit, kulmamittaukset; etäisyysmittaus, heijastimet, säteen kulku ilmakehässä; runko- ja kartoitusmittauksen menetelmät; pinta-ala- ja massalaskenta. Moderni geodesia Luvut Laajuus 3 op (ECTS) Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija ymmärtää ja osaa käyttää moderneja geodeettisia havaintomenetelmiä, kuten ensisijaisesti GPS:ää, mutta myös satelliittilaseria, VLBI:tä ja muita ymmärtää laajasti geodesian koko Maapalloa koskevaa tutkimusta, satelliitti- ja avaruusgeodesia ja globaalisia koordinaattijärjestelmiä ymmärtää teoreettisesti geodynamiikkaa ja maankuoren liikkeiden, laattatektoniikan ja glasiaalisen isostaattisen palautusliikkeen tutkimusta on tietoinen GPS:n käytöstä sään, ilmakehän ja ilmaston tutkimuksessa i

4 Kurssiesite ymmärtää syvällisemmin teoreettiset taustat pienimmän neliösumman menetelmään mm. tarkkuus ja luotettavuus ja tilastollinen testaus osaa suorittaa joitakin yo. asioihin liittyviä laskentoja. Sisältö Kolmiulotteisten vertausjärjestelmien perusteet; hyperboliset paikannusjärjestelmät ja GPS, GPS-satelliitit, radat, signaalit, vastaanottimet; pseudoetäisyys- ja kantoaaltovaihemittaus, mittausgeometria, havaintojen erotukset, kokonaislukutuntemattomat ja niiden kiinnitys; GPS-havaintojen käsittely, relatiivinen paikanmääritys, differentiaali- ja tosiaikainen paikannus; pienimmän neliösumman menetelmän perusteet, jäännösvirheet, tilastollinen testaus, karkeiden virheiden etsintä, luotettavuus, mittausverkkojen suunnittelu; painovoiman mittaus, painovoima-anomaliat, gravimetrinen geoidi; avaruusgeodesia, Maan pyörähdys- ja rataliikkeet, satelliitiradat; geodesian rooli geofysiikan tutkimuksessa. ii

5 Sisältö Kurssiesite Johdanto i vii 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Maan muoto, aikaiset käsitykset Newtonin lait ja Maan muoto Maan matemaattinen muoto eli geoidi Geodeettinen viiva Maan litistyneisyys ja painovoima Vertauspinnat ja vertausjärjestelmät Geodesian osa-alueet Maastomittaus: maastosta kartaksi Geodeettisia mittauksia Mittausyksiköitä Mittausvirheitä ja epävarmuutta Stokastisia suureita Tilastollisia jakaumia Geodeettisia mittaustyyppejä Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Avaruus- ja tasokoordinaatteja Paikkakoordinaatit avaruudessa Karttaprojektioita Suomen eri koordinaattiratkaisut Suomen karttaprojektiot Tasokoordinaatteja Geodeettinen pää- ja käänteistehtävä Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Datumit ja datumimuunnokset Korkeus geodesiassa Karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät Aikakoordinaatti Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Ortometrinen korkeus Korkeuden määritys ja vaaitus Vaaituskoje Mittauskaukoputki Tasain Vaaituskojeen tarkistus ja säätö Itsetasaava koje iii

6 Sisältö 4.9 Digitaalivaaituskoje Vaaituslatta Vaaitusmenetelmät Teodoliitti ja kulmamittaus Vaaka- ja pystykulmat Teodoliitin akselit Teodoliitin rakenteelliset osat Teodoliitin käsittely maastossa Havaintojen lukeminen Elektroniset teodoliitit Teodoliitin kojevirheet Vaakakulmamittaus Pystykulmamittaus Pystykulmat ja refraktio Kojeen ja tähyksen korkeus Case: Leica robottitakymetri TCA Etäisyysmittaus Mekaaninen etäisyysmittaus Sähkömagneettinen säteily Väisälä-interferometria Elektroninen etäisyysmittaus Säteen kulku ilmakehässä Kaarevuuskorjaukset Geometriset reduktiot Etäisyyskorjausten yhteenveto Runko- ja kartoitusmittaus Runkomittauksen tehtävä ja suunnittelu Ohjeistus Verkkohierarkia ja -luokitus Maastosta, ellipsoidista ja karttatasosta Kartoitusmittaus Kartoitusmittauksen suorittaminen Rakentamisen mittaus Kaavat ja maastoonmerkintä Maastoonmerkintä ja infrastruktuuri Suorat, ympyränkaaret, kulmien pyöristys Siirtymäkaari Tien- ja kadunmittaus Rakennusmittaukset Muut mittaukset Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta Maastomallien mittaus, muodostaminen, esitystapa Maastomallien käyttö Pinta-alojen laskenta iv

7 Sisältö 9.4 Tilavuuksien laskenta Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä Geosentriset järjestelmät Toposentrinen koordinaatisto Kolmiulotteiset muunnokset Muunnos pienten kiertokulmien tapauksessa Muunnos kahden vertausellipsoidin välillä Perinteiset 2D + 1D koordinaatistot Case: ED50:n ja EUREF89:n välinen muunnos Case: ITRF:n ja ETRF:n välinen muunnos Global Positioning System (GPS) Radionavigaatio ja hyperbolisia järjestelmiä GPS-satelliitti GPS-järjestelmä GPS-signaalin sisältämät koodit GPS-vastaanottimia GPS:n havaintosuureita Mittauksen geometria Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys GPS-satelliittien radat GPS-havaintojen käsittely Erotushavaintojen muodostus Relatiivinen (staattinen) GPS Kokonaislukutuntemattomien kiinnitys Tosiaikainen paikannus SBAS (Satellite Based Augmentation Systems) -järjestelmät Tosiaikaisia GPS-tukipalveluja Suomessa Tasoituslasku geodesiassa Miksi tasoitus? Keskiarvo Lineaarinen regressio Pienimmän neliösumman tasoituksen teoria Pienimmän neliösumman menetelmän käytännön esimerkkejä Geodeettisten mallien linearisointi Varianssien kasautumislaki Geodeettinen päätehtävä virheiden Käytännön havaintosuureet ja havaintoyhtälöt Tilastolliset menetelmät geodesiassa Pienimmän neliösumman menetelmä Tasoituksen jäännösvirheet Testaus ja testaushypoteesit Kokonaisvalidointi Karkeiden virheiden löytäminen tietystä havainnosta Laskuesimerkki: lineaarinen regressio v

8 Sisältö 14.7 Testin merkitsevyystaso Luotettavuus Redundanssin merkitys Painovoima geodesiassa Painovoiman mittaus Painovoima ja geopotentiaali Painovoima-anomaliat Gravimetrinen geoidi Painovoimakenttä ja korkeudet Bouguer-anomaliat Tähtitieteellinen paikanmääritys Painovoimagradientin mittaus Avaruusgeodesia Maan pyörähdysliike, rataliike ja tähtiaika Taivaan ja Maan koordinaatit Väisälän tähtikolmiomittaus Maan pyörähdysliikkeen vaihtelu Maan prekessio ja nutaatio Maan pyörähdysakselin ja rataliikkeen vaihtelut Avaruussää Satelliitin rataliike Satelliittiradan valinta Satelliitiradan prekessio ja sun-stable rata Geodesia ja geofysiikka Geodynamiikka Maan painovoimakentän tutkimus kiertoradalta Ilmakehän tutkimus ja GNSS Mannerjään tutkimus, ilmastomuutos Geodeettinen merentutkimus Kirjallisuutta 343 Hakemisto 349 A Matriisien ominaisuudet 363 A.1 Matriisien yhteenlasku A.2 Matriiseja ja vektoreita A.3 Yksikkömatriisi A.4 Matriisien kertolasku A.5 Transpoosi A.6 Käänteismatriisi vi

9 Johdanto Vaikka Suomi on, ja on ollut jo itsenäisyydestään asti, suurvalta geodesian alalla, ei näytä olevan olemassa Suomen kielialueella moderni geodesian oppikirjaa. Suomenkielisiä oppikirjoja, ja populaarikirjojakin, löytyy, mutta ne ovat joko jo pahasti vanhentunut tai käsittelevät vain geodesian erästä osa-aluetta. Näistä voi mainita mittaus- ja laitetekniikan ja geodeettisen laskennan saralla Martti Tikan tuotanto Tikka (1991, 1985), nyt jo osin pahasti vanhentunut, sekä Salmenperä (1998). Satelliittipaikannuksesta kertova Poutanen (1998) on edelleen käyttökelpoinen vaikkakin uusi laitos olisi tervetullutta. Geodesiassa käytettävien pienimmän neliösumman tilastollisista laskentamentelmistä kertoo Kallio (1998). Kaikista lähteistä on ollut hyötyä tämän kirjan laatimisessa. Maailmassa löytyy selvästi enempää geodesian oppokirjoja ja avuksi ovat olleet Torge (2001), Vaníček ja Krakiwsky (1986), mittaus- ja laitetekniikassa Kahmen ja Faig (1988), fysikaalisen geodesian saralla Heiskanen ja Moritz (1967), ja satelliittigeodesian kanssa Hofmann-Wellenhof ym. (2001). Kiitokset Käsikirjoituksen eri versioiden laatimisessa T. Parmin ja M. Martikaisen laatimat luentokalvot ja muut materiaalit olivat suureksi avuksi. Mauri Väisäselle, Jaakko Santalalle, Panu Salolle, Markku Poutaselle, Henri Turtolle sekä monelle opiskelijolle olen kiitollinen monista hyödyllisistä kommenteista ja korjausehdotuksista. vii

10

11 Luku 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema 1.1 Maan muoto, aikaiset käsitykset Perinteisissä yhteiskunnissa vallitseva käsitys Maan muodosta oli epäilemättä, että Maa on litteä levy horisontiin saakka, ja että taivas kaartuu kupuna sen yläpuolella. Kuvun sisäpinnalla taivaankappaleet kiertävät monimutkaisissa radoissaan. Myös lapsilla on yleensä samanlainen käsitys. Vasta kouluopetuksen myötä tämä naiivi maailmanmalli väistyy. Psykologisesti, lapsen kehityksen kannalta, tämä ei ole mitenkään helppo prosessi, varmaan yhtä vaikeaa kuin se oli aikanaan koko yhteiskunnalle tieteen historiallisen kehityksen vaiheena. Kuitenkin jo muinaiset helleenit olivat tietoisia Maan pallonmuodosta. Ennakkoluulottomia kuin olivat, he olivat havainneet miten täydellisen kuunpimennyksen aikana maapallo heitti varjonsa Kuun pintaan. He havaitsivat myös, että kuunpimennys joka oli Välimeren toisessa päässä korkealla taivaalla, tapahtui toisessa päässä lähellä horizonttia. Olettaen, että oli kyse samasta tapahtumasta, seurasi tästä, että Maan pinta oli oltava ainakin länsi-itä-suunnassa kaareva. Eratosthenes eli ekr. 1. Hän oli ensimmäisiä, jotka mittasivat maapallon koon eli säteen olettamalla että se olisi pallon muotoinen. Mittaus oli periaatteessa samanlainen kuin myöhempien astemittausten: Mitataan tietyn kaaren pituus Maan päällä geodeettisin keinoin, ja pisteiden 1 Ennen Kristusta, tarkemmin, ennen kristillisen Euroopan ajanlaskun alkuvuotta. Kuva 1.1. Kuunpimennys. Ympyrän muotoinen varjo näyttää, että Maa on pallo. 1

12 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Auringon suunta Luotiviiva γ Aleksandria l Päiväntasaaja O Syene Kuva 1.2. Eratostheneen astemittaus. välinen luotiviivojen suuntaero tähtitieteellisin keinoin. Yhdistämällä kaaren pituus l ja kaaren päätepisteiden luotiviivojen suuntaero γ saadaan Maan säteeksi: Ks. Kuva 1.2. R = l γ. Tietoa luotiviivojen suunnista saatiin keskikesän Auringosta, joka Syenessä (nyk. Assuan) näkyi kaivon pohjalta. Aleksandriassa taas Aurinko ei silloin ollut zeniitissä vaan noin 1 /50 osaa ympyrää etelämpänä. Eratosthenes sai maapallon säteeksi km aika lähellä nykyarvoa 6371 km. Lisätietoja löytyy kirjasta Torge (2001, sivut 5-6). Geodesiassa tärkeän kolmiomittauksen periaate, että kolmioista koostuvan verkon geometria on yksiselitteisesti määritettavissä, jos kolmioiden kulmien lisäksi mitataan vain yksi etäisyys, keksi luultavasti Gemma Frisius 3 v (Crane, 2002, s ). Menetelmän käyttö astemittauksen yhteydessä tapahtuu ensimmäistä kertaa myös Alankomaissa käyttäen hyvinvoivan, mutta litteän maan runsaslukuisia kirkontorneja. Snellius 4 oli ensimmäisten joukossa jotka käyttivät kolmiomittausta kaaren pituuden l määrittämiseksi. Mittaamalla verkossa vain kulmia yhden tunnetun etäisyyden lisäksi, hän onnistui määrittämään kahden kaupungin, Bergen op Zoomin ja Alkmaarin, välisen etäisyyden, vaikka kaupunkien välillä on Reinin suiston leveitä jokihaaroja. Ks. kuva 1.3. Kolmiomittauksen salaisuutena on, että kulmamittausten avulla voi rakentaa, joko laskennallisesti tai graafisesti, koko mittausverkon mittakaavamalli, jossa kaikki suhteet ovat oikeita. Oikean mittakaavan määrittämiseksi riittää, että yksi mallissa oleva pituus mitataan myös todellisuudessa. 2 Itse asiassa hän sai tuloksensa yksikössä nimelta stadium, jonka pituus on vaihteleva. Eratostheneen käyttämä pituus on kiistanalainen. 3 Gemma Frisius ( ) oli hollantilainen monitieteilijä. 4 Willebrord Snell van Rooyen ( ) oli hollantilainen tähtitieteilijä ja matemaatikko. 2

13 1.1 Maan muoto, aikaiset käsitykset Pohjantähti Alkmaar Luotiviiva Alkmaar Suurennusverkko Amsterdam Leiden W V S Haag Perusviiva pq Gouda Rotterdam Utrecht Kaaren pituus Dordrecht Pohjantähti Bergen op Zoom Breda Bergen op Zoom Luotiviiva Kuva 1.3. Snelliuksen astemittaus. Perusviiva pq on 326,45 roedenin (1229 m) pituinen. Se johdettiin paikallisen suurennusverkon kautta ainoasta verkossa mitatusta pituudesta, 87,05 roedenin (328 m) pituisesta alkuperäisperusviivasta (henkilök. tied. L. Aardoom). Snelliuksen tapauksessa tämä oli etäisyys pq, niityllä Leidenin lähellä oleva, vain 326 roedenin perusviiva. Tähtitieteellisen paikanmäärityksen avulla saadaan mitatuksi kahden paikan luotiviivojen suuntien välinen ero, ks. kuva 1.4. Kun matkustetaan meridiaania pitkin etelä-pohjoissuunnassa, muuttuu paikallisen luotiviivan absoluuttinen suunta eli suunta tähtitaivaaseen nähden. Myös paikallinen horisonttitaso, joka on aina kohtisuora luotiviivaa eli paikallista painovoiman suuntaa kohtaan, kääntyy saman verran kun matkustetaan etelä-pohjoissuunnassa tai mihin suuntaan tahansa. Maan pyörähdysakselin suunta avaruudessa on hyvin vakaa (gyroskooppi-ilmiö). Se osoittaa taivaalla paikkaan, jonka läheltä löytyy tähti α Ursae Minoris eli Pohjantähti. Tähden avulla löytyy pohjoisen suunta. Paikan leveysastetta Φ saadaan määrittämällä tähtitieteellisesti tämän ns. taivaannavan korkeutta horisontin yläpuolella. Tämä käy helpoimmin juuri Pohjantähden avulla, vaikka tarkka mittaus on hieman mutkikkaampi. Mittaamalla näin tähtitieteellisin keinoin Alkmaarin ja Bergen op Zoomin luotiviivojen välinen suuntaero ja yhdistämällä se kolmiomittauksesta saadun metrisen etäisyyden kanssa, Snellius sai määritetyksi Maan kaarevuussäde. Menetelmä kutsutaan astemittaukseksi. 3

14 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema α UMi (Pohjantähti) Pohjois napa Napa- korkeus d Luotiviiva R Horisonttitaso ϕ Kuva 1.4. Luotiviivojen suunta-eron ϕ määritys tähtitieteellisesti. Suunta-erosta ja metrisesta etäisyydestä d voidaan laskea Maan kaavevuussäde R = d / ϕ. 1.2 Newtonin lait ja Maan muoto Maan muodon ymmärtäminen teki suuren harppauksen eteenpäin, kun Newton 5 julkaisi 1687 Pääteoksensa Principian (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Luonnonfilosofian [fysiikan] matemaattiset perusteet ). Tässä opuksessa hän loi koko klassisen mekaniikan, mukaanlukien taivaanmekaniikan, perusteet. Yleinen gravitaatiolaki: Kahden massan m 1, m 2 välillä toimii vetovoima, jonka suuruus on jossa r 12 on massojen välinen etäisyys. F = G m 1m 2, r 2 12 Tämä vetovoima toimii kaikkien kahden massan välillä. Siis Maan vetovoima ei vain vaikuta Kuuhun ja Auringon vetovoima Maahan, vain Kuun vetovoima vaikuttaa myös Maahan, jne. Geofysiikassa taas tiedetään, että vetovoima toimii myös kaikkien Maan eri osien välillä: meri, ilmakehä, vuoristot vaikuttavat kaikki Maan ympäröivään painovoimakenttään. Ja, koska maapallomme koostuu aineista, jotka vaikkakin vähemmän tai enemmän vastahakoisesti deformoituvat ulkoisen voiman vaikutuksesta, muovaa gravitaatiovoima myös maapallon fysikaalista muotoa. Principiassa Newton laski kuuluisten lakiensa avulla, että homogeeninen, nestemäinen, tasapainotilassa oleva, kerran 24 tunnissa pyörivä maapallo, jonka nestealkioiden välillä toimii gravitaatiovoima, olisi keskipakoisvoiman vaikutuksesta navoiltaan litistynyt pyörähdysellipsoidi (kuva 1.6). Litistyneisyyden (litistyksen) määritelmä on f = a b a, jossa a ja b ovat isoakselin ja pikkuakselin puolikkaat, toisin sanoen, ekvaattori- ja napasäde. 5 Sir Isaac Newton ( ) oli englantilainen fyysikko ja matemaatikko, klassisen mekaniikan isä. 4

15 1.2 Newtonin lait ja Maan muoto Newton: 1/230 Massa tasaisesti jakautunut Nykykäsitys: 1/298 Tiheämpi ydin vaipan keskellä, ohut kuori (vihreä) Huygens: 1/578 Kaikki massa ytimessä Kuva 1.5. Maapallon eri massajakautumamallit ja lasketut litistyneisyysarvot. Newton laski litistyneisyyden teoreettiseksi arvoksi f = 1 /230. Olettamus, että maapallo on tiheydeltään homogeeninen, ei ole oikea. Christiaan Huygens laski vuonna 1690, olettamalla että maapallon koko massa on keskittynyt sen keskipisteeseen, että litistyneisyys olisi vain f = 1 /578. Kuten nykyisin tiedetään on totuus näiden kahden ääriarvon välillä: maankuoren tiheys on luokkaa 2,7 g /cm 3, sen alla olevan vaipan tiheys on 3,0-5,4 g /cm 3, ja Maan rautaytimen tiheys on g /cm 3. Koko maapallon keskimääräinen tiheys on n. 5,4 g /cm 3. Eli, vaikka tiheys kasvaakin rajusti Maan keskipisteeseen mennessä, on kuitenkin huomattava osa Maan massasta kaukana sen keskipisteestä. Newtonin aikana oli vaikutusvaltaisia tiedemiehiä, mm. tähtitietelijä Cassini 6, jotka uskoivat, että maapallo oli itse asiassa pitkistynyt rugby-pallon tapaan, b > a, eikä litistynyt. Kysymykseen oli etsittävä empiirinen ratkaisu! Litistyneisyysongelma jäi ratkaisematta, kunnes puoli vuosisataa myöhemmin Ranskan tiedeaka- 6 Jean Dominique (Giovanni Domenico) Cassini ( ) oli italialais-ranskalainen tähtitieteilijä, matemaatikko ja insinööri. Meridiaani Asteen pituus Perussa r L Asteen pituus Lapissa b r P a a Kuva 1.6. Pyörähdysellipsoidin parametrit. 5

16 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema temia järjesti kaksi retkikuntaa, toinen Suomen silloin Ruotsin valtakunnan Lappiin ( ), toinen Etelä-Amerikkaan Peruun ( ). Retkikuntien tehtävänä oli mitata geodesian ja tähtitieteen mittauskeinoin yhden asteen kaaren pituus kahdella eri leveysasteella, toinen päiväntasaajan lähellä Perussa, toinen pohjoisnavan lähellä Lapissa Tornionlaaksossa. Kyse oli siis samanlaisesta astemittauksesta kuin se, joka Snellius suoritti yli vuosisataa aiemmin... mutta kaukana kotimaasta, vieraassa maassa eri ilmastovyöhykkeessä, toinen jopa valtameren takana. Mittausten idea on esitetty kuvassa 1.6. Tähtitieteellisten mittausten avulla perustetaan perusviiva pohjois-eteläsuunnassa, jonka päätepisteiden luotiviivojen suunnat eroavat toisistaan yhden asteen verran. Maan päällä mitataan paljonko on pisteiden välinen etäisyys metreissä 7. Jos Newton oli oikeassa, asteen pituus pohjoisnavan lähellä olisi suurempi kuin päiväntasaajan lähellä, toisin sanoen, Maan kaarevuussäde olisi navoilla pidempi kuin päiväntasaajalla: r L > r P. Molempien retkikuntien mittausten yhteiseksi tulokseksi saatiin empiirinen litistyneisyysarvo f = 1/210. Vertailun vuoksi nykyisin hyväksytty arvo Maan litistyneisyydelle on f = 1 /298,257. Pierre L.M. de Maupertuis n johtaman retkikunnan seikkailuista Tornionlaaksossa v on laajasti kirjoitettu 8. Myöhemmistä astemittauksista voidaan mainita Struven 9 venäläis-pohjoismaalainen astemittaus ( Struven ketju ) ( joka ulottui Norjan Atlantin rannikolta Mustalle merelle saakka. Joitakin ketjun pisteitä on säilynyt Suomenkin alueella. 1.3 Maan matemaattinen muoto eli geoidi Luotiviivan suunnan vaihtelua paikasta toiseen maanpinnan kaarta pitkin voidaan siis käyttää Maan todellisen muodon selvittämiseksi. Edellisessä osassa kuvattiin, miten Ranskan tiedeakatemian astemittausprojekti käytti tätä ilmiötä hyväksi Maan muodon määrittämiseksi, olettaen, että Maa olisi pyörähdysellipsoidin muotoinen. Tarkempien geodeettisten mittausten avulla huomattiin, että tämä oletus ei tarkasti pidä paikkansa. Jo Perun mittauksen yhteydessä Pierre Bouguer 10 huomasi, että luotiviivan suunnalla Andesvuorten molemmilla puolilla oli taipumus poiketa vuoristoon päin, ja hän tulkitsi tätä oikein vuoriston Newtonin mukaisen gravitaation eli vetovoiman ilmaisuksi. George Everest 11 Intiassa huomasi samaa ilmiötä Himalajan lähistöllä. Geodeettisten mittausten ja etenkin tähtitieteellisten luotiviivan määritysten edetessä syntyi käsitys, että Maan muoto on epäsäännöllinen. Alettiin puhua Maan matemaattisesta muodosta eli geoidista (J.F. Listing, 1873), keskimerenpinnan jatkeesta mannermassojen alle, pinta joka on kaikkialla kohtisuorassa luotiviivoja vastaan, ja jonka mukaiseksi lepotilassa oleva neste (esim. merivesi) asettuisi. Ks. kuva Oikeasti Ranskan tiedeakatemian mittauksissa käytettiin toisea mittausyksikkönä, koska metri ei ollut vielä keksitty Friedrich Georg Wilhelm von Struve ( ) oli venäläinen tähtitieteilijä ja geodeetti. 10 Pierre Bouguer ( ) oli ranskalainen monitieteilijä, lähinnä geofyysikko ja laivanrakentaja. 11 Sir George Everest ( ) oli walesiläissyntyinen geodeetti ja maantieteilijä, Survey of Indian ylijohtaja. Vuonna 1865 nimettiin Mount Everest hänen mukaan vastoin omaa toivomustaan. 6

17 1.3 Maan matemaattinen muoto eli geoidi Kittisvaara Meridiaani Pullinki Napapiiri Niemivaara Lapin astemittaus Ylitornion pappila perusviiva Luppio Horilankero Poiki-Torni Aavasaksa Huitaperi Kaakamavaara Nivavaara Perun astemittaus Tornio Kuva 1.7. Ranskan tiedeakatemian astemittausprojekti; Lapin astemittauksen verkko. Vuonna 1862 preussilaisen J.J. Baeyerin 12 johdolla perustettiin Mitteleuropäische Gradmessung ( Keski-Euroopan Astemittaus ), josta myöhemmin kehittyi maailmanlaajuinen järjestö IAG (International Association of Geodesy). Sen tehtävänä oli määrittää Maan muotoa, etenkin Euroopan alueella, ja yhdistää Euroopan geodeettiset verkot yhdeksi verkoksi. Tämä päämäärä saavutettiin kunnolla vasta vuonna 1950, kun ensimmäinen yhteiseurooppalainen verkkotasoitus ED50, European Datum 1950 ) valmistui, vaikkakin aluksi vain Länsi-Euroopan alueella. Myös muualla maailmassa, kuten Pohjois-Amerikassa, mitattiin mannerlaajuisia kolmioverkkoja Maan muodon ja Maan pinnalla olevien pisteiden sijainnin määrittämiseksi kartoitustyön tueksi. Maan yleisen muodon ja litistyneisyyden määrittäminen tarkasti maanpinnalta, klassisin geodeettisin menetelmin, on kuitenkin vaikea koska laajat verkot Maan pinnalla eivät ole geometrisesti vahvoja ja niiden yhdistäminen toisiinsä meren ylitse ei onnistu. Vasta satelliitit ovat tuoneet tähän apua. Satelliitimenetelmät ovat antaneet tarkkoja tietoja mm. Maan litistyneisyydestä käyttämällä hyväksi sen aiheuttamia satelliittiratahäiriöitä. Jo muutama viikko Sputnikin laukaisun jälkeen oli käytettävissä hyvin paljon tarkempi litistyneisyysarvo, ja amerikkalaisen Vanguard 1 -satelliitin ansiosta todettiin maapallo päärynänmuotoiseksi tosin hyvin, hyvin vähän. 12 Johann Jacob Baeyer ( ) oli preussilaisupseeri ja geodeetti. 7

18 Meri 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Kuva 1.8. Struven ketjun pohjoisin piste Fuglenesissa, Norjassa ( Wikimedia Commons). Geoidi Topografia (maasto) Luotiviiva Luotiviivan suunta Manner Vertausellipsoidi Keskimerenpinta Kuva 1.9. Luotiviivan poikkeamia ja geoidin muoto. 8

19 1.4 Geodeettinen viiva A B B B A A Kuva Geodeettinen viiva tasossa, pallolla ja pyörähdysellipsoidilla. Nuolet kuvaavat paikallinen normaali pintaa kohtaan. 1.4 Geodeettinen viiva Tasossa lyhin matka kahden pisteen välillä on suora. Pallon tai pyörähdysellipsoidin kaarevassa pinnassa lyhin matka on käyrä. Pallon tapauksessa se on suurympyrän kaari; ellipsoidin tapauksessa se on lievästi S-muotoinen pintakäyrä. Kuva 1.10 kuvaa tätä yleistä käsitystä lyhin matka pinnan sisällä eli geodeettinen viiva (en. geodesic). Kuvasta näkyy toinenkin kurioisiteetti: sekä tasopinnan että pallopinnan tapauksessa päätepisteiden A ja B luotiviivat eli normaalit pintaa kohtaan ovat yhteysviivan kanssa samassa leikkaustasossa, normaalileikkauksessa. Pyörähdysellipsoidin tapauksessa näin ei ole kuitenkaan asian laita: yleisessä tapauksessa ei ole olemassa normaalileikkausta joka sisältää molemmat normaalit. Tämä efekti on tosin erittäin pieni ja sitä voi unohtaa kaikissa paitsi tarkimmissa laskennoissa. Perinteiset geodeettiset mittausverkot Maan pinnalla, kuten kolmiomittausverkot, voidaan katsoa koostuvan mittausviivoista jotka ovat geodeettisia viivoja jollakin vertauspinnalla, yleensä vertausellipsoidilla. Käytännössä mittauskojeet ja tähykset eivät koskaan sijaitse tarkasti vertauspinnalla, vain jokin matka sen ylä- tai harvemmin alapuolella. Silloin on suoritettava raakahavaintojen reduktio tähän vertauspintaan. Tämä koskee sekä kulma- että etäisyyshavainnot. Yleensä tarvittavat korjaukset ovat pieniä. 1.5 Maan litistyneisyys ja painovoima Kuten yllä kuvattiin, jo kreikkalaisilla oli tiedossa maapallon pallonmuotoisuus ja jopa likimääräinen koko ja 1700-luvun aikana kehittyi idea maapallon litistyneisyydestä eli pyörähdysellipsoidista Maan muodon kuvaajana. Tähtitieteilijät havaitsivat Jupiterin litistyneisyyttä ja selittivät sen oikealla tavalla planeetan suuren pyörähdysnopeuden aiheuttamana dynaamisena ilmiönä. 9

20 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Litistyneen maapallon pinnalla tietysti myös painovoima vaihtelee leveysasteen mukaan; näin havaittiinkin heilurikellon avulla, jonka heiluria piti lyhentää matkustettaessa Cayenneen Ranskan Guyanassa (Jean Richer 13, 1672), jotta kello olisi käynyt oikein. Painovoima on päiväntasaajan lähellä heikompi kuin Ranskassa. Palattuaan Ranskaan hän joutui taas pidentämään heilurinsa, jotta se kulkisi ajassa. Newton ja Huygens laskivat teoreettisesti maapallon litistyneisyyden f = (a b) /a arvon, jossa a ja b ovat isoakselin puolikas ja pikkuakselin puolikas, eli ekvaattorisäde ja napasäde. A.C. Clairaut 14 toisaalta johti kuuluisan yhtälönsä joka antaa yhteyden litistyneisyyden f ja painovoimalitistyneisyyden β = (γ b γ a )/γ a välillä. Tässä γ α ja γ b ovat painovoimakiihtyvyydet päiväntasaajalla ja navoilla. Clairaut n lauseen likimääräinen mutta elegantti muoto on f + β = ω2 a γ a, jossa ω on Maan pyörähdysliikkeen kulmanopeus. 1.6 Vertauspinnat ja vertausjärjestelmät Korkeuksien vertauspintana käytetään geoidia, se Maan painovoimakentän potentiaalin tasopintaa eli ekvipotentiaalipintaa, joka on keskimäärin samalla tasolla kuin keskimerenpinta. Tämä on siis se pinta, potentiaalienergian minimitila, jonka merivesi saavuttaisi, jos valtameressä ei olisi virtauksia, suolaisuus- ja lämpötilaeroja, sen yläpuolella ei olisi ilmanpainevaihteluita, jne. Todellisuudessa kaikki nämä häiriötekijät ovat olemassa ja maailmanlaajuinen keskimerenpinta poikkeaa jopa toista metriä ekvipotentiaalipinnasta, sekä sen ylä- että alapuolella. Tästä poikkeamasta osa on ajassa vaihteleva, kuten esimerkiksi vuorovedet, osa on pysyvä, ns. meritopografia. Eri maiden vaaittuja korkeuksia voidaan ymmärtää korkeuksina tämän geoidipinnan yläpuolella. Käytännössä korkeudet sidotaan kuitenkin rannikolla toimivien vesiasteikkoiden eli mareografien merenpinnan havaintoihin, ja vertaustaso siirretään rannikolta sisämaahan vaaituksen avulla, näin luoden korkeusjärjestelmä. Geoidista ja korkeuksista lisää luvussa 4. Avaruusgeometrinen mittausmenetelmä, kuten GPS, antaa mahdollisuuden laskea pisteen korkeus vertausellipsoidista, koska ellipsoidi on yksinkertainen matemaattinen pinta avaruudessa. Vertausellipsoidi on muutenkin hyvä maapallon todellisen muodon approksimaatio, jota on perinteisesti myös käytetty vertauspintana kansallisten tai mannerlaajuisten kolmioverkkojen tasoituksissa. Hyvin pienellä alueella moneen tarkoitukseen kelpaa edelleen litteän Maan approksimaatio, oletus että Maan kaarevuuden voi jättää huomioimatta. Pisteiden sijainnin voi kuvata kahdella tasokoordinaatilla ja korkeuden yhdellä korkeuskoordinaatilla, pystyetäisyydellä metreinä vertaustasosta. Sovelluksesta riippuen pieni alue voi olla kaupunki tai koko Suomi tai erikoistilanteissa, harkiten, jopa Euroopan kokoinen alue, esim. Strang van Hees (1990). 13 Jean Richer ( ) oli ranskalainen tähtitieteilija. 14 Alexis Clairaut ( ) oli ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilija. 10

21 1.7 Geodesian osa-alueet 1.7 Geodesian osa-alueet Geodesia tieteenä määritellään Maan pinnan mittausten ja kartoituksen tieteenä (Helmert, 1880; ks. Torge (2001, sivu 1). Tämä määritelmä pitää edelleenkin paikkansa; geodesiaan kuuluu myös valtameren pohjan kartoitus, sekä Maan painovoimakentän eli geopotentiaalin määritys. Yhä enemmän myös maan muodon muutosten ja niiden fysikaalisten mekanismien tutkimuksesta, geodynamiikasta, on tullut osaksi geodesian tutkimuskenttää. Näin ollen geodesia, lähinnä fysikaalinen geodesia, kuuluu geotieteisiin. Kuitenkin geodesia kuuluu selvästi myös teknisiin tieteisiin. Suomessa geodesiaa opetetaan sekä Helsingin yliopistossa (dosentuurin ja tuntiopettajien voimin) että Aalto-yliopistossa (professuuri, dosentuureja, tuntiopettajia). Geodesia voidaan jakaa Torgen mukaan kolmeen osa-alueeseen: Globaalinen geodesia, myös maapallon mittaus (eng. geomensuration, saks. Erdmessung). Tarkemmin: Geodesian tehtävänä on Maan ja muiden taivaankappaleiden muodon ja koon määrittäminen ja näiden ajallisten muutosten tutkiminen; sekä Maan keskimääräisen vertausellipsoidin määrittäminen Maan pinnalla ja sen ulkopuolella havaituista parametreista. Maan muoto: 1. Maan fyysinen muoto: Maan kiinteä pinta eli rajapinta kiinteän ja kaasumaisten/nestemäisten aineiden (ilmakehä, valtameri) välillä kaikkine vuorineen ja syvänteineen. 2. Maan matemaattinen muoto: Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta joka keskimäärin yhtyy keskimerenpintaan. Tätä pintaa, jota voidaan pitää keskimerenpinnan jatkeena mannerten alla, kutsutaan J. B. Listingin mukaan geoidiksi. Geodeettinen maanmittaus, maanmittaustiede. Tavallinen maanmittaus ( plane surveying ). Tähän kuuluvat mm. topografiset mittaukset ja insinöörigeodesian mittaukset. Nämä mittaukset ovat alueelliselta laajuudeltaan ja tarkkuusluokaltaan sellaisia, että kaikissa laskussa voidaan maapallon kaarevuus jättää turvallisesti huomioimatta, tai ottaa huomioon yksinkertaisilla korjauskaavoilla. Nämä mittaukset suoritetaan paitsi geodeettisin keinoin, usein myös fotogrammetrisesti ilmakuvauksen avulla. Toiminnan päämäärä on aina geometrisesti tarkkojen ja oikeiden kartta-aineistojen tuottaminen yhteiskunnan käyttöön. Laskennat voidaan suorittaa käyttämällä tasokoordinaatteja x ja y, kartat voidaan piirtää ilman projektion käyttöä (plan-karttoja) ja erillinen korkeuskoordinaatti H voidaan olettaa puhtaasti metriseksi ( metrit merenpinnan yläpuolella ) ilman haitallisia seuraamuksia. 1.8 Maastomittaus: maastosta kartaksi Kirjasessa Maastomittaus ja Kartoitus (Heiskanen ja Härmälä, 1963) lausutaan: 11

22 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Maastomittauksen ja siihen liittyvän kartoituksen useimmin esiintyvänä päämääränä on antaa suuremmasta tai pienemmästä alueesta mahdollisimman oikea ja tarkka kuva kartan muodossa. Yhteiskunta tarvitsee karttoja ja paikkaan sidottuja tietoja moneen tarkoitukseen. Nyky-yhteiskunnassa kiinteistön omistaminen, sen ostaminen ja myyminen ja erityisesti sen panttaaminen (hypoteekki) rahoituksen vakuudeksi kiinteistön arvon ylläpitämiseksi ja sen kehittämiseksi, ovat modernin, korkean sijoitustason yhteiskunnan peruspilareita. Tähän tarkoitukseen on olemassa katasterijärjestelmä, joka rekisteröi mahdollisimman luotettavasti kiinteistöjen ja näihin sidottujen oikeuksien tilan. Kiinteistöjä ja tontteja on miljooneja ja niiden yhteinen rahallinen arvo on tähtitieteellinen 15. Toinen yhteiskunnalle tärkeä karttojen ja geotieteiden käyttötarkoitus on infrastruktuurin suunnittelu ja rakentaminen. Tiet, rautatiet, sillat, tunnelit, vesiväylät, lentokentät, satamat, voimalat, vesilaitokset, puhelin-, sähkö- ja tietoverkot jne. jne. Tämä on taloudellisen tuottavuuden kannalta elintärkeä julkinen toiminta. Jokaisessa kehittyneessä yhteiskunnassa rakentaminen on jollain tavalla rajoitettu. Ei saa rakentaa mitä ja miten haluaa edes omalla maalla. Kaavoitus (en. zoning) määrää koordinoidulla tavalla, mihin käyttötarkoituksiin maata saa ja ei saa käyttää. Nämä määräykset sisältyvät ns. kaavoihin, joiden hyväksymisprosessi on laissa säädetty, julkinen ja monivaiheinen. Syy tähän on, että kaavat vaikuttavat kiinteistön arvoon, ja siksi kiinteistönomistajan oikeudellinen asema edellyttää, että kaavojen demokraattinen hyväksymisprosessi sisältää riittäviä valituskeinoja. Kartat ja muut maanmittauksen tietolähteet ovat tämän prosessin olennaisia osia. Suomessa maan käytön ja siihen liittyvän paikallisen infrastruktuurin rakentamisen suunnittelu tapahtuu suurilta osin julkisessa hallinnossa, useimmiten kunnissa. Puhutaan yhdyskuntasuunnittelusta. Määrällisesti maastomittaus on ylivoimaisesti suurin maanmittauksen sovelluskenttä Yhdyskuntasuunnittelu Yhdyskuntasuunnittelu on jatkuva toiminta, johon kuuluu kaavoitus, maankäytön ja rakennetun ympäristön suunnittelu ja rakennustoiminnan ohjaus. Yhdyskuntasuunnittelussa suuri rooli on kunnalla. Kaupunkisuunnittelu ja aluesuunnittelu ovat yhdyskuntasuunnittelun muotoja. Yhdyskunnan tekninen suunnittelu ja rakentaminen tarvitsevat luotettavaa tietoa ympäristöstä jota suunnitellaan ja rakennetaan. Kuva 1.11 antaa käsityksen missä kaikissa rooleissa maastomittauksen antama paikkatieto on mukana jatkuvassa yhdyskuntasuunnittelu- ja rakentamisprosessissa. Maastomittaus on koko prosessissa mukana: Maastotiedot on mitattava kartalle tietyssä koordinaatistossa. Kun kaava on valmis, on se merkittävä maastoon. Kiinteistöt on mitattava ja kartoitettava. Tekniset rakenteet on sijoitettava maastoon. Maastomittauksella on seuraavat tavoitteet ja tehtävät: 15 Raportin (RAKLI ry, 2014) mukaan Suomen koko rakennuskannan arvo tontteineen on noin 480 miljardia euroa. Se merkitsee lähes sataa tuhatta euroa jokaista suomalaismiestä, -naista ja -lasta kohtaan. 12

23 . Geodeettiset mittaukset Maastomittaus Ilmakuvaus Topografinen kartoitus 1.8 Maastomittaus: maastosta kartaksi Karttojen ja geotietojen Päivitys ja ajantasaus Havaitseminen, mittaaminen Mittausten käsittely Vienti geotietojärjestelmään Kiinteistöt Yhdyskuntatekniikka Infrastruktuuri Maan käyttö Yhdyskuntarakentaminen Kiinteistöjen muodostus ja rekisteröinti Yhdyskuntasuunnittelu: Maan käytön suunnittelu jatkuvana prosessina Maankäytön hallinta ja suunnittelu Kaava, kaavan pohjakartta. Geotietojen hallinta Kartat Geotietojärjestelmät Kaavoitus Yhdyskuntasuunnittelu Tekninen suunnittelu (teiden, katujen, katukaluston, viemäri-, kaukolämpö-, puhelin- ja tietoverkkojen) Kuva Kartan ja maastomittauksen roolit yhdyskuntasuunnittelussa ja -rakentamisessa. rungon luominen kartoitukselle: saada mittaukset tiettyyn tunnettuun koordinaatistoon yksityiskohtien kartoitus runkopisteitä käyttäen: kartoitusmittaus maastoon merkitseminen: suunnitelmien siirtäminen maastoon, toteutettaviksi oikeilla paikoilla. Maastoon merkitseminen on tavallaan kartoituksen käänteistehtävä Maastomittauksen tehtävät Maastomittauksen tehtävien suorittaminen edellyttää, että maanmittari tuntisi seuraavat asiat: geodeettiset kojeet mittaustekniikka, mittauksen suunnittelu, mittausolosuhteet geodeettinen laskenta: koordinaatit ja -muunnokset, johdetut suureet, tarkkuuslaskenta kaavan laskenta, maastoon merkintä paikkatietojärjestelmät kartat, tulostus, raportointi. Prof. Matti Martikaiselta on peräisin kaunis kuvaus, taulukko 1.1, mittaussuunnitelman roolista ja maastomittauksen paikasta koko mittaus- ja kartoitusprosessissa. Tässä se esitetään hieman modernimpana. Taulukon eri osat kuuluvat geodesian, fotogrammetrian ja kartografian osa-alueisiin. 13

24 1 Geodesian historia ja yhteiskunnallinen asema Taulukko 1.1. Maastomittaus osana koko mittaus- ja kartoitusprosessista Mittaussuunnitelma Rungon mittaus, laskenta Tietojen Maastomittaus Olemassa Digitaali- Laser- Valokeruu (nyk. usein GPS-RTK) olevat kartat kuvat keilaus kuvat Tietojen Kuvan- Käsit- Stereokäsittely Geodeettinen laskenta Digitointi käsittely tely fotogrammetria Tietojen yhdistäminen Paikkatietojärjestelmä Graafiset Numeeriset Tekstuaaliset tuotteet tuotteet tuotteet Metatieto Tietojen Maastokartat Pistetietokannat Raportit esittäminen Teemakartat Korkeusmallit loppu- Erikoiskartat Digitaaliset käyttäjälle Asiakastulostukset CAD-mallit 3D-visualisointi Maastomittauksen lopputulos Maastomittauksen näkyvä lopputuote on kartta. Kartta on oltava ennen kaikkea oikea, mutta myös selvästi piiretty, on antava kaikki relevantti informaatio, ja sietää olla kauniskin (Heiskanen ja Härmälä, 1963). Kartalle valitaan sopiva mittakaava, joka määrittää esitetyn tiedon tarkkuustason. Mittakaava valitaan kartan tarkoitukseen sopivaksi. Esitettävät kohteet tulisi yleistää sopivalla tavalla: liian pienet yksityiskohdat tulisi poistaa, kuitenkin olennaiset yksityiskohdat selkeyttää 16. Nykyisin kartta voi olla myös digitaalisessa muodossa. Silloin mittakaavan merkitys ei ole yhtä selkeä. Tämän lisäksi on paljon paikkaan sidottua informaatiota numeerisessa muodossa (paikkatieto, joka koostuu sijainti- ja ominaisuustiedoista) ja metatietoa eli toista tietoa, esim. karttatietoa, kuvaavaa informaatiota. Paperikartassa oleva legenda on esimerkki metatiedoista. Seuraavat tiedot ovat tai voivat olla osana lopputuotetta: tasokoordinaatit, ilmoittavat sijainnin kunnassa, valtakunnassa, maapallolla. Kartalla koordinaattikäyrät, koordinaattiruudut korkeustiedot, esim. korkeuskäyrät, korkeuspisteiden korkeusarvot, mahdollisesti profiilit fysikaalisen maanpinnan muodot, eri tavalla esitettynä ominaisuustiedot. Mitatut kohteet kuvataan kartalle sovitun esitystavan mukaan. Jokaiselle tiedolle annetaan sopiva tunnus tai symboli 16 Esimerkiksi tiekartalle piirrettyjen teiden leveydet eivät ole missään suhteessa maastossa olevien teiden leveyksiin! Piirretty leveys ilmaisee tien tärkeyttä liikenteelle. Näin yleistys toimii. 14

25 1.8 Maastomittaus: maastosta kartaksi kartalle kuvatut tiedot voidaan myös jakaa luonto- ja kulttuuritietoihin. Osa kulttuuritiedoista ei näy maastossa, kuten omistussuhteet, kiinteistörajat, kaavoitus, historialliset seikat ym. 15

26

27 Luku 2 Geodeettisia mittauksia 2.1 Mittausyksiköitä Määritelmiä Kun puhutaan geodesiassa, kuten yleisemmin fysiikassa, käytettävistä mittausyksiköistä, tehdään ero yksiköiden ja suureiden välillä. Esimerkiksi pituus on suure, jonka mittausyksikkö voi olla vaikkapa metri [m]. Siis esim.: Matkan AB pituus on 15 metriä eli 15 m. a Suure Lukuarvo Yksikkö Lyhennea Pituus 15 metriä m Yksikön virallinen, SI-yksikön mukainen lyhenne kirjoitetaan aina pystykirjaimilla, siis ei kursiivina! Kursiiviä käytetään matemaattisiin symboleihin. Siis: E = mc 2, mutta J = kg m2 s 2. Kirjallisuudessa käytetään myös termiä dimensio, esim. tilavuuden dimensio on pituus3, kiihtyvyyden dimensio on pituus aika 2. Näin ilmaistaan millä tavalla tietyn suureen määritelmä riippuu toisten suureiden määritelmästä. Esim. jos halutaan mitata tarkasti kiihtyvyyksiä, on mitattava tarkasti sekä pituuksia että aikavälejä. Tämä kuuluu metrologian eli mittaustekniikan alaan. Suomessa, kuten useimmissa maissa maailmassa, käytetään SI-järjestelmää eli Kansainvälistä mittayksikköjärjestelmää (SI = Système International d Unités); myös SI-mittayksikköjärjestelmä. Järjestelmä koostuu perusyksiköistä, täydennysyksiköistä ja johdannaisyksiköistä. Kuva 2.1. Julkinen metri Pariisissa, 36 rue de Vaugirard, kuudes arrondissementti. 17

28 2 Geodeettisia mittauksia Taulukko 2.1. Suureet, yksiköt ja lyhenteet. Perusyksiköt Täydennysyksiköt Johdetut yksiköt Suure Yksikkö Lyhenne miten johdettu Pituus Metri m Massa Kilogramma kg Aika Sekunti s Sähkövirta Ampeeri A Lämpötila Kelvin K Valovoima Kandela cd Ainemäärä Mooli mol Tasokulma Radiaani rad Avaruuskulma Steradiaani sr Taajuus Hertsi Hz s 1 Voima Newton N kg m s 2 Paine Pascal Pa Nm 2 Energia Joule J Nm Teho Watti W Js 1 Jännite Voltti V WA 1 Vastus Ohmi Ω VA Perus-, täydennys- ja johdetut yksiköt Yksiköt radiaani ja steradiaani ovat tavallaan dimensiottomia lukuja ( paljaita lukuja ) koska ne ovat suhdelukuja. Esim. radiaani on ympyräkaaren pituuden ja sen säteen suhde ja näin ollen dimensioton. Kuitenkin on käytössä myös muita kulmayksikköitä, kuten aste ja gooni. Siksi on tavallaan järkevä käsitellä kaikkia radiaani, aste, gooni myös yksikköinä. Tilanne on hieman samanlainen logaritmisille asteikoille: Richter (maanjäristyksen kokonaisenergia), Beaufort (tuulen nopeus), tähtien magnitudiskaala, desibeli (db) -skaala, valokuvausemulsion valoherkkyyden DIN-skaala. SI-yksikköihin (muttei lisäyksikköihin! 1 ) voi laittaa suuruusluokkaa ilmaistavan etuliitteen taulukon 2.2 mukaan. Taulukko ei ole täydellinen.... eli 1 MHz = Hz. Perusyksiköistä sekä pituus että aika perustuvat atomaarisiin ilmiöihin. Metri on se matka, jonka valo kulkee tyhjössä 1 / sekunnissa. Käytännössä metri realisoidaan ns. jodistabiloidun helium-neon laserin avulla, jonka aallonpituus on hyvin tarkasti (2,5 osa 1 Näin kuitenkin laajasti tehdään, esim. kcal merkitsee kilocalorie, perinteinen kemiallisten aineiden ja ruuan energiasisällön yksikkö. Tietotekniikassa taas etuliite k, tai K, joskus ilmaisee epästandardin binäärisen suuruusluokan 1024 ( Taulukko 2.2. SI-järjestelmän suuruusluokkaa ilmaistavat etuliitteet. Arvo Liite Lyh. Arvo Liite Lyh. Arvo Liite Lyh. Arvo Liite Lyh. +1 deka da +6 mega M -1 desi d -6 micro µ +2 hehto h +9 giga G -2 sentti c -9 nano n +3 kilo k +12 tera T -3 milli m -12 pico p 18

29 2.1 Mittausyksiköitä Taulukko 2.3. SI-järjestelmän lisäyksiköt. Suure Perusyksikkö Lisäyksikkö Lyhenne Tunti, minuutti, sekunti h m s Aika s Vuorokausi d Vuosi a Tasokulma rad Aste, minuutti, sekunti Gooni gon Lämpötila K Celsiusaste C tilavuus Litra l Massa Tonni t :ssä) tiedossa. Sekunti taas on kertaa sellaisen säteilyn värähdysaikaa, joka vastaa 133 Cs-atomin perustilan ylihienorakenteen kahden tietyn energiatason välisessä siirtymässä syntyvän säteilyn värähdysaikaa [virallinen SI-määritelmä]: se perustuu kesiumkellon käyttöön Lisäyksiköt Taulukko 2.3 antaa usein käytettyjä lisäyksikköitä: Celsius-lämpötilan saa Kelvin-lämpötilasta vähentämällä siitä 273,15 K. Lämpöeroarvot ovat muuten samoja Celsius- ja Kelvin-asteikoissa: 1 C = 1 K. 0 C 273,15 K; 0 K 273,15 C Kulmayksiköistä Asteet Tavallisessa elämässä käytetään kulmayksikkönä astetta, symboli. Myös maantieteelliset, kartalta luettavat leveys- ja pituusasteet annetaan tavallisesti asteina. Suora kulma on 90. Asteen lisäksi on perinteisinä yksikköinä minuutit ( ) ja sekunnit ( ). Nämä käyttäytyvät samalla tavalla kuin ajanmittauksen kaimojaan: yksi aste on 60 minuuttia ja yksi minuutti 60 sekuntia. Laskuesimerkki: Muutetaan asteet, minuutit, sekunnit asteiksi ja desimaaleiksi: = = = , , = = 56,

30 2 Geodeettisia mittauksia Muutetaan takaisin toiseen suuntaan: 56, 7925 = 56 + (60 0,7925) = = ,55 = = ,55 = = (60 0,55) = = ,0. (Huomaa pyöristysvirhe!) Goonit Geodesiassa ja geodeettisissa instrumenteissa käytetään usein goonia (gon) mittausyksikkönä. Joskus käytetään nimitystä uusaste. Uusminuutti on 0,01 gon, uussekunti 0,0001 gon. Kirjoitustapa on 1,2345 gon = 1 g 23 c 45 cc. Gooneissa suora kulma on 100 g Radiaanit Täydessä ympyrässä on 2π radiaania, 360 astetta (360 ) ja 400 goonia (400 g ). Suorassa kulmassa on siis 2π /4 = π /2 radiaania. Tässä muutama käyttökaava joilla asteina annettu kulma muutetaan gooneiksi, asteiksi. Ks. Kahmen ja Faig (1988): Täysi ympyrä on 2π rad = 400 g = rad = 2π , = gon 2π 63 g, Arvoa 63, kutsutaan joskus ρ g α = 1 rad = 2π α = 2π α. Ja 400 g α = 360 α = 1,1111 α gon, 360 α g = 400 α = 0,9 α. 20

31 2.2 Mittausvirheitä ja epävarmuutta 2.2 Mittausvirheitä ja epävarmuutta Mikään mittaus ei ole absoluuttisen tarkka. Maanmittaus on myös inhimillisenä toimintana erehtyväistä. Aivan kuten tietokoneen ohjelmoinnissa, ei ole edes syytä yrittää mitata täysin virheettömästi. Realistisempi tavoite on, tavallisen huolellisuuden lisäksi, kehittää menetelmiä, millä 1. tietyn kokoiset virheet voidaan huomata ja poistaa havaintoaineistosta (tillastollinen testaus) 2. ei-havaittujen virheiden vaikutus lopputulokseen voidaan arvioida ja minimoida (tasoituslasku). Näillä menetelmillä voidaan havaintovirheet ottaa huomioon ja tuottaa mahdollisimman oikeelliset mittaustulokset, joiden laatu eli tarkkuus ja niissä mahdollisesti vielä piilevien virheiden suuruus tunnetaan tai ainakin voidaan arvioida. Mittausten käsittely eli tasoitus antaa seuraavat lopputulokset: 1. Tuntemattomien suureiden paras arvo mittausten perusteella. Tämä voi olla a) todennäköisin arvo b) tilastollinen odotusarvo c) arvo jonka suhteen odotettavissa olevat poikkeamat ovat mahdollisimman vähän vahingollisia. 2. Arvio yksittäisten alkuperäismittausten hyvyydestä eli tarkkuudesta (En. precision). Puhutaan dispersiosta (hajonnasta) tai standardipoikkeamasta eli keskivirheestä. Modernimpi termi on epävarmuus (En. uncertainty). 3. Samoin, arvio lopputulosten eli tuntemattomien suureiden laskettujen arvojen (estimaatioiden) hyvyydestä eli tarkkuudesta. 4. Arvio karkeiden virheiden mahdollisesta esiintymisestä ja niiden maksimisuuruudesta: luotettavuus = reliability). 5. Arvio mahdollisten systemaattisten virheiden esiintymisestä ja niiden suuruudesta. Mittausvirhe on ero mitattavan arvon 2 ja mittausarvon välillä. Mittausarvo on, usein monimutkaisen 3, mittausprosessin tulos. Voimme jakaa tästä mittaus- ja reduktioprosessista ulos tulevat virheet seuraaviin kategorioihin: Satunnaisia virheitä (sv. tillfälliga fel, en. random errors) Yleensä oletetaan, että havaintoprosessin luonnollisen epätarkkuuden kuvaamat satunnaiset virheet ovat normaalisti jakautuneet, eli virheiden jakauma on kaunis Gaussin kellokäyrä eli normaalijakauma josta myöhemmin lisää. Jos näin on (ja näin ei saisi olettaa enempää testaamatta!) on käytettävissä ns. pienimmän neliösumman tasoitusmenetelmää joka minimoi satunnaisten virheiden yhteisvaikutus lopputuloksessa. 2 Oikean arvon, vaikka filosofisesti voi kysyä, onko se edes olemassa. 3 Joskus mittausprosessi sisältää varsin monimutkaisen reduktioketjun tai mallinnuksen. 21

32 2 Geodeettisia mittauksia (a) Pieni satunnainen (b) Suuri satunnainen (c) Korreloitu (d) Systemaattinen (e) Karkea Kuva 2.2. Erityyppisiä virheitä. Satunnainen tarkka, satunnainen epätarkka, korreloitu, systemaattinen, karkea Karkeita virheitä (sv. grova fel, en. gross errors) Karkeat virheet johtuvat inhimillisistä erehdyksistä tai laiteviasta; ne sattuvat vain silloin tällöin eikä niitä voi kuvata tilastollisin keinoin. Esimerkki karkeasta virheestä on mittausarvon desimaalin väärin kirjoittaminen havaintokirjaan. Karkeita virheitä pyritään eliminoimaan tilastollisten testien avulla. Tilastollinen testaus on laaja tilastotieteen ala; nyrkkisääntönä mainittakoon, että jos mittaus poikkeaa tunnetusta odotusarvosta (esim. nolla) enemmän kuin kolme kertaa sen tiedossa olevaa, omaa standardipoikkeamaa (keskivirhettä) σ, on syytä epäillä, että mittaus on virheellinen. Tämä kutsutaan 3σ-kriteeriksi. Systemaattisia virheitä Systemaattiset virheet ovat merkki siitä, että mittausprosessia, havaintogeometriaa ja havaintotilanteen fysiikkaa kuvaavat teoriat ovat puutteellisia. Huomattavien systemaattisten virheiden esiintyminen pitäisi johtaa teoreettisten olettamusten tutkailuun ja kehittelyyn. Esimerkki: tiedetään, että kolmion kulmien summa on oltava 180. Jos tasokolmion mitattujen kulmien summa poikkeaa merkittävästi ja johdonmukaisesti tästä arvosta, on syytä epäillä muun muuassa sivuttaisrefraktio ilmakehässä kolmio on niin suuri, että kaarevalla Maan pinnalla ei ole enää kyse tasokolmiosta ja lause ei enää päde ynnä muuta. Myös epävarmuus, tieto kuinka suuria virheet mahdollisesti voivat olla, voidaan jakaa eri kategorioihin: Tyyppi A -epävarmuus: standardiepävarmuus eli standardivirhe laskettuna esim. toistuvista mittauksista. Tämä epävarmuustyyppi voidaan käsitellä tilastotieteen keinoin, eli se vastaa satunnaisiin virheisiin. Tyyppi B -epävarmuus: epävarmuutta jota ei voi määrittää tilastotieteellisin keinoin, vaan se on saatava selville toisella tavalla. Esim. systemaattiset virheet voidaan määrittää kalibroinnilla, laitevalmistajan ilmoituksesta, ym. Ei ole olemassa karkeisiin virheisiin vastaava epävarmuuskäsite. Niitä tulee välttää tai eliminoida. 22

33 2.3 Stokastisia suureita Taulukko 2.4. Nopanheiton tilastotiedettä. Kokonaismäärä Arvo Keskiarvo heittoja ± hajonta ± 2, 4 % 13,33 23,33 13,33 15,00 20,00 15,00 16, 67 ± 4, ± 9, 9 % 16,50 17,17 15,17 17,67 19,00 14,50 16, 67 ± 1, ± 28, 5 % 17,33 16,22 16,78 16,72 16,03 16,92 16, 67 ± 0, ± 89, 5 % 16,52 16,90 16,56 16,76 16,72 16,54 16, 67 ± 0, Stokastisia suureita Diskreettejä stokastisia suureita Mittausprosessi on ns. stokastinen suure. Stokastinen suure saadaan suorittamalla joku toimitus jonka tulos on satunnainen. Esim. nopan heitto luo stokastisen suureen n jonka realisaatiot ( heitot ) ovat n 1, n 2, n 3,.... Nopanheiton tapauksessa mahdolliset arvot ovat kokonaisluvut {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Samoin kolikonheitossa, jos arvoiksi otetaan kruunu = 0, klaava = 1. Sanotaan, että stokastisen suureen arvoavaruus eli domeeni on {0, 1}, diskreetti arvoavaruus. Kun suoritetaan nopanheitto yhä uudelleen ja uudelleen eli kerätään realisaatioita n i, i = 1, 2, 3,..., voidaan aina tietyn heittojen kokonaismäärän jälkeen taulukoida tulokset. Saadaan seuraava esimerkkitaulukko, joka ilmaistaa, montako heittoa kokonaismäärästä oli ykkösiä, montako kakkosia, jne. Kokemuksen mukaan mitä suurempi nopanheittojen määrä, sitä pienemmäksi näyttää olevan lopputuloksen poikkeama ihannetuloksesta, jossa jokaisen arvon esiintymistiheys prosenteissa olisi 16, %, eli 1 /6. Tätä empiiristä tulosta kutsutaan suurten lukujen laiksi Odotusarvo Tämän perusteella voidaan nopanheiton arvoille antaa teoreettinen todennäköisyysarvo, joka ilmaistaa, kuinka usein ko. arvo pitkän päällä toteutuu. Tasapainoisen ( rehellisen ) nopan tapauksessa todennäköisyysarvot ovat: p (1) = p (2) =... = p (6) = 1 6. Diskreettisessa tapauksessa odotusarvoa arvo, jonka ympäri heitot ryhmittyvät, niiden painopiste lasketaan kaavan E n N i p (i) (2.1) i=1 23

34 2 Geodeettisia mittauksia y-histogrammi y x-histogrammi x Kaksiulotteinen histogrammi Kuva 2.3. Esimerkki jatkuvan (ja kaksiulotteisen) arvoavaruuden stokastisesta suureesta. Piirretty on myös histogrammit x- ja y-argumentin mukaan erikseen, ja molempien mukaan yhdessä. Sininen katkoviiva on mahdollinen tiheysjakaumafunktio. mukaan, ja saadaan 21 /6 = 3, 5. Tässä N on vaihtoehtojen määrä. (Huomaa, että arvo 3,5 ei ole edes mahdollista nopanheiton tulosta!) Rehellisen kolikon tapauksessa meillä on ja odotusarvo saman kaavan mukaan 0,5. p (0) = p (1) = 0,5, 2.4 Tilastollisia jakaumia Reaaliarvoisia suureita ja tiheysjakaumia Geodeettiset mittaukset ovat yleensä stokastisia suureita joiden arvoavaruus eli domeeni on reaalilukujen osajoukko, eli jatkuva. Esim. etäisyysmittauksen tulos on etäisyys metreinä, ja se on reaaliluku. Samoin kulmamittausten tapauksessa. Arvoavaruus voi olla rajallinen, α [0, 360 ), mutta se on joka tapauksessa jatkuva. Jatkuvan arvoavaruuden tapauksessa puhutaan todennäköisyystiheysjakaumasta. Jos tehdään suuri määrä mittauksia samasta kohteesta, voidaan piirtä ns. histogrammi, joka näyttää mittaustulosten määrät jotka osuvat eri arvoavaruuden välille. Esimerkiksi jatkuvasta tilastollisesta jakaumasta kelpaa jalkapallopelissä tehtyjen maalien paikka maaliportissa (kuva 2.3). Miten enemmän mittauksia, sitä enemmän pylväitä voidaan piirtää, ja sitä kapeammiksi niitä voi tehdä. Limiitissä, jossa mittausten määrä on ääretön, saadaan jatkuva käyrä, tiheysjakauma, joka kuvaa todennäköisyyttä, millä mittaustulos osuu jonkun arvovälin [x 1, x 2 ] sisällä. Ks. kuva 2.4 viereisellä sivulla, jossa on piiretty yksiulotteisen reaaliarvoisen stokastisen suureen kaksi histogrammia (kahdelle eri mittausten määrälle), sekä (jatkuvana käyränä) tiheysjakauma p (x). Myös odotusarvo E x ja kahden mittaussarjan keskiarvot on piirretty. 24

35 2.4 Tilastollisia jakaumia E{x} x x p(x) x Kuva 2.4. Todennäköisyystiheysjakauma histogrammien limiittina. Jos tietyllä välillä [x 1, x 2 ] integraali ˆ x2 x 1 p (x) d x on nolla, sanotaan, että tämän välin sisällä olevan arvon x esiintyminen stokastisen suureen realisaationa on mahdoton. Jos integraali on 1, sanotaan että x [x 1, x 2 ] esiintyminen on varma. Kaikissa muissa tapauksessa integraalin arvo antaa todennäköisyyden, että stokastisen suureen realisaation arvo osuisi välin sisälle. Todennäköisyysarvo on siis aina nollan ja yhden välillä 4. Huomaa, että aina ˆ + p (x) d x = 1, koska yhdistetty todennäköisyys, että mittausarvo on edes joku, mikä tahansa reaaliluku, on 1: se on varma. Myös jatkuvalle stokastiselle suurelle voidaan laskea odotusarvo. Kaava on integraalikaava, joka on hyvin samannäköinen kuin diskreetti vastine ((2.1)): E x = ˆ + x p (x) d x. Odotusarvo on tiheysjakaumakäyrän p (x) alla olevan pinta-alan painopiste Gaussin kellokäyrä Geodesiassa käytetään lähes aina normaali- eli Gaussin jakaumaa ( kellokayrää ). Kuvassa 2.5 näkyy odotusarvo µ = E x, tulkittavissa havaitun suureen x todelliseksi arvoksi, joka ei ole itse mitattavissa, mutta jonka ympäri mittausarvot sijoittuvat satunnaisvirheittensä vaikutuksesta; ja keskivirhe 5 σ, joka kuvaa yksittäisen mittauksen taipumus poiketa odotusarvosta. Normaalijakauman tapauksessa keskivirheen poikkeamat µ ± σ sijoittuvat käyrän taittopisteissä. Usein käytetään myös käsitettä nimeltä varianssi 6, keskivirheen neliö: Var x = σ 2, 4 Matemaattisesti todennäköisyys on mitta, kuten myös esim. pinta-ala tai tilavuus eli standardipoikkeama, eli keskihajonta... nykyisin virallinen nimitys on standardiepävarmuus. 6 eli dispersio. 25

36 2 Geodeettisia mittauksia Odotusarvo E x Todennäköisyystiheys p (x) σ +σ Keskivirhe σ σ Arvoavaruus σ σ x σ σ Tarkempi Epätarkempi Kuva 2.5. Normaalijakauman ominaisuudet. jonka muodollinen määritelmä on 7 : Var x E Tässä E { } on yllä määritetty odotusarvo-operaattori. x E x 2. (2.2) Aivan odotusarvon tapaan on myös varianssi sellainen todellinen arvo joka on teoreettisesti olemassa, mutta ei koskaan tule oikein mitatuksi. Kun on käytettävissä rajallinen määrä tehtyjä havaintoja eli otos, voidaan laskea otoksen keskiarvo ja otosvarianssi, jotka havaintojen määrää kasvaessa menevät yhä vain lähemmäksi ja lähemmäksi odotusarvoa ja varianssia. Tätäkin ilmiötä kutsutaan suurten lukujen laiksi. Normaalijakauman matemaattinen kaava p (x) jota ei tässä käsitellä antaa integroinnin kautta seuraavat todennäköisyysarvot: Todennäköisyys, että x poikkeaa E x :stä enemmän kuin σ:n verran (puolella tai toisella): 32%. Todennäköisyys, että x poikkeaa E x :stä yli 2σ:n verran: 4, 5%. Todennäköisyys, että x poikkeaa E x :stä yli 3σ:n verran: 0, 27%. Käytännössä normaalisti jakautunut stokastinen suure ei juuri koskaan poikkea odostusarvostaan enemmän kuin kolme kertaa keskivirhettään eli stokastisen suureen hajonnan odotusarvonsa ympäri toisen potenssin odotusarvo. Tämä on jonkinlainen kustannusfunktio: jos virheen x E x kustannus on verrannollinen sen neliön kanssa, on Var x virheen odotettava kustannus. Pinta-ala yht. 32% Yht. 4.5% Yht. 0.27% σ σ 2σ 2σ 3σ 3σ Kuva 2.6. Normaalijakauman todennäköisyysarvoja. 26

37 2.4 Tilastollisia jakaumia y x (a) Olematon (b) Heikko (c) Vahva (d) 100% (e) Antikorrelaatio (f) -100% Kuva 2.7. Eri korrelaatioiden esimerkkejä. Tätä nyrkkisääntöä käytetään hyväksi tilastollisessa testauksessa. Monien tilastollisien jakaumien ominaisuudet on taulukoitu tässä: ac.uk/steps/glossary/probabilitydistributions.html Kovarianssi ja korrelaatio Kun on kyse kahdesta stokastisesta suureesta x ja y voidaan niiden yksittäisten käyttäytymisien lisäksi tutkia myös, miten ne käyttäytyvät yhdessä. Kutsutaan kovariansiksi ilmaisu Cov x, y E x E x y E y. (2.3) Tämä määritelmä on analoginen varianssin (kaava (2.2)) kanssa, mutta kuvaa suurien x ja y samalla tavalla käyttäytymistä eli niiden satunnaisen vaihtelun samanlaisuutta. Usein on järkevä skaalata tämä kovarianssi suureiden x ja y varianssien suhteen seuraavalla tavalla: Cov x, y Corr x, y Var x Var. y Näin on määritelty korrelaatio suureiden x ja y välillä. Korrelaatio on aina välissä [ 1, 1], eli vastaavasti välissä [ 100%, 100%]. Tilastollisesti riippumattomien suureiden x ja y välillä korrelaatio (ja kovarianssi) on 0. Korrelaation ei-häviäminen on merkki suureiden välisestä syy-seuraus-yhteydestä (kuitenkaan ei voida sanoa, että x on syy ja y seuraus! x:llä ja y:llä voi olla yhteinen syy.) Jos korrelaatio on 1 eli 100%, puhutaan täydellisestä korrelaatiosta. Tässä tapauksessa x:n ja y:n välillä on olemassa tarkka funktionaalinen yhteys. Jos toisen realisaatioarvo on annettu, voidaan laskea toisen vastaava realisaatioarvo tarkasti. Jos korrelaatio on -1 eli -100%, puhutaan antikorrelaatiosta. Siinä tapauksessa on suureiden x ja y välillä täydellinen korrelaatio. Kuvassa 2.7 on kuvattu muutama esimerkki korrelaatiosta. 27

38 2 Geodeettisia mittauksia Virheiden kasautumislaki Tärkeä keskivirheiden ominaisuus on virheiden kasautumislaki, myös propagaatiolaki. Jos stokastinen suure z on kahden muun stokastisen suuren x ja y lineaariyhdistelmä: z = ax + b y, voidaan myös kirjoittaa ja siis E z = ae x + be y, z E z = a x E x + b y E y. Tämä lienee intuitiivisesti selvä. Nyt yo. kaavan ((2.2)) mukaan seuraa Var z 2 = E z E z = = a E x E x + b 2 E y E y + + 2abE x E x y E y. Jos nyt ilmaisu Cov x, y E x E x y E y kutsutaan edellisen alaluvun mukaan kovarianssiksi, voidaan kirjoittaa Var z = a 2 Var x + b 2 Var y + 2ab Cov x, y. (2.4) Tätä kaavaa kutsutaan varianssien (tai virheiden) kasautumislaiksi. Siinä tapauksessa, että Cov x, y = 0 (eli suureet x ja y eivät korreloi), saadaan Var z = a 2 Var x + b 2 Var y, eli vastaavasti σ 2 z = a2 σ 2 x + b2 σ 2 y. Erikoistapaus: tilanne, jossa z on x:n ja y:n summa tai erotus, eli a = ±1, b = ±1, ja x ja y ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan. Silloin saadaan yksinkertainen Pytagorasta muistuttava, laajasti käytetty kaava: σ 2 z = σ2 x + σ2 y. Usein tätä erikoistapausta kutsutaan virheiden kasautumislaiksi Moniulotteisia jakaumia Usein, kuten yllä olevassa jalkapallo-esimerkissä, puhutaan stokastisista suureista jotka koostuvat useista komponentteista. Esimerkiksi, pisteen koordinaatit (x, y) tasossa. Samalla tavalla kuin yllä olevassa tapauksessa, voidaan piirtää kaksiulotteisia histogrammeja ja puhua todennäköisyystiheysjakaumasta p (x, y). 28

39 2.4 Tilastollisia jakaumia Standardiellipsi Läpileikkaus Kuva 2.8. Kaksiulotteinen todennäköisyystiheysjakauma. Kuvassa näkyy kaksiulotteinen normaalitiheysjakauma, ja miten on määritetty sen standardiellipsi eli virhe-ellipsi. So on kaksiulotteinen vastine keskivirheelle. Virhe-ellipsin läpileikkaus tuottaa taas aina yksiulotteisen Gaussin kellokäyrän, jonka keskivirhepisteet ovat juuri leikkausviivan ja ellipsin leikkauskohdat. Kun yksiulotteisen jakauman keskivirhepisteet ovat x = µ ± σ, on virhe-ellipsin kaava monimutkaisempaa. Stokastisen koordinaattiparin x, y odotusarvo ( todellinen arvo ) on itsekin koordinaattipari, µ x, µ y, virhe-ellipsin keskipiste. Yleisessä tapauksessa, jossa virhe-ellipsin akselit eivät ole koordinaattiakseleiden suuntaisia (ja eripituisia!) stokastiset suureet x ja y eivät enää voida käsitellä riippumattomina muuttujina: kuten sanotaan, ne korreloivat keskenään. Tämä merkitsee, että x:n todennäköisin arvo riippuu y:n todellisesta arvosta ja päinvastoin. y:n jonkinasteinen tietäminen auttaa x:n arvioimisessa ja toisinpäin. Tasoituslaskussa tämä tilastollinen riippuvuus on otettava huomioon, jotta saataisiin mahdollisimman hyviä (optimaalisia) estimaatioita sekä µ x :lle että µ y :lle. Korrelaatio on merkillinen asia. On aina hyvä muistaa, että tilastollinen riippuvuus ei välttämättä merkitsee, että suureiden välillä on olemassa suoranainen syy-yhteys, vain että havainnoilla on jotain yhteistä. Yhteys voi olla melko monimutkainen, kuten kuuluisassa tapauksessa jossa kesän jäätelömyynti korreloi hukkumiskuolemien lukumäärän kanssa. Kolmiulotteisessa avaruudessa löytyy kolmen argumentin todennäköisyystiheysjakaumia, joiden kuvaaja on (kolmiakselinen) ellipsoidi. 29

40 2 Geodeettisia mittauksia Varianssimatriisi Myös moniulotteisten stokastisten suureiden varianssit muuttuvat moniulotteisiksi eli varianssimatriiseiksi: olkoon 8 x x ; y silloin on varianssimatriisi: Var x Var x Cov Cov x, y Var x, y y = σ 2 x σ x y σ x y σ 2 y jossa pätee taas määritelmät Var x 2 E x E x, Cov x, y E x E x y E y, ja jossa näkyy usein käytetty kirjoitustapa 9 Var x = σ 2, x Cov x, y = σ x y. Liitteessä A löytyy lyhyt selostus matriisilaskennan perusteista. Σ xx, Itse asiassa virhe-ellipsi on tämän 2 2 varianssimatriisin graafinen esitystapa. Jos σ x y = 0, sanotaan, että x ja y eivät korreloi keskenään, tai (huolimattomasti 10 ) että ne on tilastollisesti riippumattomia toisistaan. Myös virheiden kasautumislakia (kaava (2.4)) Var z = a 2 Var x + b 2 Var y + 2ab Cov x, y voidaan kirjoittaa uuteen, yleisempaan muotoon: jos muodostetaan rivivektori a a b, ja vastaava sarakevektori 11 a T a b T = a b saadaan: Var z = a b Var x Cov Cov x, y Var x, y y, a b = a Var x a T ja tietysti odotusarvokin on vektori: E x = µx µ y! = m x y kun aikanaan kreikkalaisten kirjoitta- 9 Joskus vanhemmissa teksteissä kirjoitetaan Var x = m 2 x x,, Cov y minen oli hankalaa koska voi olla olemassa monimutkaisempi tilastollinen riippuvuus jota ei näy korrelaationa. 11 Transpoosi-merkintää käytetään usein vektorin kirjoittamisen helpottamiseksi juoksevassa tekstissä. 30

41 2.5 Geodeettisia mittaustyyppejä Tämän ymmärtäminen edellyttää matriisien kertalaskun (rivi sarake) hallitsemisen; kirjoittaminen auki antaa alkuperäinen kaava (2.4) takaisin. Tätä esitetään kirjallisuudessa symbolisesti hieman vaihtelevilla notaatioilla: σ 2 z = avar x a T = aσ xx a T. Varianssien kasautuminen monen muuttajan lineaarisissa malleissa käsitellään yleisemmin sektiossa 13.7 sivulla Geodeettisia mittaustyyppejä Kulmia, suuntia Suuret, maan- tai mannerlaajuiset geodeettiset verkot ovat perinteisesti olleet aina kolmioverkkoja. Verkon asemien välillä mitataan suunnat, ja mittaukset tasoitetaan, eli mittausarvoista poistetaan laskennallisesti mittausepävarmuuden aiheuttamat pienet ristiriidat, kolmiomittauksen ratkaisuksi. Aikanaan etäisyysmittaukset olivat vaikeita suorittaa suurilla etäisyyksillä, koska ainoa käypä menetelmä oli mittaus mekaanisten apuvälineitten, kuten mittanauhojen tai -sauvojen käyttöä. Kolmiomittauksessa menetellään näin, että mitataan verkosta vain kaikki suunnat, ja yksi ainoa etäisyys, ja lasketaan niistä kaikki muut etäisyydet, pisteiden sijainnit, jne. Näin Snellius suoritti kuluisa astemittauksensa Bergen op Zoomin ja Alkmaarin välillä, kaupungit joiden keskinäinen etäisyys on 100 km, mittaamalla suoraan vain niidyllä rakentamansa, 326 jalan perusviivan pituus! Samoin Lapin astemittaus: perusviiva rakennettiin talvella Torniojoen jään päällä, muut mittaukset olivat suuntahavaintoja kolmioverkon pisteiden välillä. Kolmiomittauksen periaate voidaan selittää mittapöydän 12 avulla. Laitetaan maastossa pisteessä A läpinäkyvä paperilehti mittapöydälle ja piirretään kaikki suunnat maastossa oleviin kohteisiin B, C, D ja E 13. Siirretään pisteeseen B, ja piirretään samanlainen suuntaruusu kohteisiin A, C, D ja E. Toimistossa paperiliuskat asetetaan päällekkäin, ja tulos on miniatyyrikuva maiseman todellisessa geometriassa mittakaavalla m = ab : AB! Eli, jos etäisyys AB maastossa on 3 km, ja päällekkäin olevilla papereilla ab = 30 cm, on näin saadun kartan mittakaava 1: Nykyisin suunnat mitataan teodoliitilla, tarkalla vaaka- ja pystykulmamittauslaitteella, ja kartan muodostaminen tapahtuu laskennallisesti. Fotogrammetriasta löytyy piirustuspöytämenetelmän kolmiulotteinen vastine, stereomallirestituutio, joka kuitenkin sekin nykyisin toteutetaan useimmiten täysin digitaalisesti. Kuva 2.10 seuraavalla sivulla näyttää, miten kahdesta ilmakuvasta muodostetaan stereomalli katselulaitteen avulla. Stereorestituutiolaitteissa muodostetaan samalla tavalla malli, jonka sisällä voidaan liikkuttaa merkki kolmiulotteisesti. Merkin koordinaatit tulostetaan jatkuvasti laitteeseen kytketylle tietokoneelle ja karttoja voidaan luonnostaa heti. Myös ilmakolmiointi perustuu stereomallien muodostamiseen. Suhteellisen moderni geodeettinen tekniikka joka perustuu mittapöydän ideaan mutta kolmessa ulottuvuudessa, on Yrjö Väisälän tähtikolmiomittaus. Tämä tekniikka, jossa käytetään tähtitaivaan taustaa suuntien mittaukseen, käsitellään luvussa Kiitos Heiskanen ja Härmälä (1963) s. 234 terminologiasta. En. plane table, saks. Meßtafel. 13 Piirtämistä helpottaa kiikariviivaimen (en. alhidade, saks. kippregel) käyttö. 31

42 2 Geodeettisia mittauksia C D A Päällekkäin: d c E B a e b Kuva 2.9. Kolmiomittaus mittapöydän avulla. Kuva 1 Kuva 2 Ilmakuvaus Maasto Stereokatselulaite Stereomalli Stereokuvapari Kuva Stereomallin muodostaminen fotogrammetriassa. 32

43 2.5 Geodeettisia mittaustyyppejä Etäisyyksiä, etäisyyseroja Aikanaan etäisyyksiä voitiin mitata vain mekaanisesti, mittanauhan, mittalangan tai mittatankojen avulla. Mittauksissa saavutettu tarkkuus oli usein vaikuttavaa huolellisten menettelytapojen ansiosta. Paikallisessa maastomittauksessa käytetään edelleen teräksisiä mittanauhoja, jotka ovat edullisia ja helppoa käyttää ja kuljettaa. Pitää vain muistaa puhdistaa ja rasvata ne käytön jälkeen. Pituudet ovat m. Entisaikojen tarkkuusmittalangat tehtiin invarista, terässeos jolla on hyvin pieni lämpölaajentamiskerroin. Nykyisin etäisyysmittaukset tehdään elektronisesti tai sähköoptisesti. Pisteiden välillä tarvitaan vain suora näköyhteys. Laitteet voivat käyttää mikroaaltoja (Tellurometer) tai useammin näkyvää valoa (Mekometer), laservaloa (Geodimeter) tai valodiodin tuottamaa infrapunavaloa (useimmat modernit etäisyysmittarit ja takymetrit). Ilmakehän (refraktion) vaikutus signaalin kulkuun on aina otettava huolellisesti huomioon havaintojen reduktiossa. Terrestriset geodeettiset mittauslaitteet osaavat nykyisin mitata sekä vaaka- ja pystykulmia että vinoetäisyyksiä. Niitä kutsutaan elektronisia takymetrejä 1415, ja ne yhdistävät siis teodoliitin ja etäisyysmittarin ominaisuudet yhdessä integroidussa, täyselektronisessa, pitkälle automatisoidussa laitteessa. Myös satelliittigeodesia käyttää elektronista etäisyysmittausta. Laajasti käytössä olevat GNSS (Global Navigation Satellite Systems) -järjestelmät kuten satelliittipaikannusjärjestelmä GPS, Global Positioning System, perustuvat mikroaaltojen avulla tehtyihin etäisyysmittauksiin tarkemmin, etäisyyseromittauksiin 16. Satelliittilaserit puolestaan (Metsähovi!) mittaavat laserpulssin kulkuaikaa havaintoasemasta valoa heijastavaan satelliittiin ja takaisin. Elektroniikan käytön suurena etuna on, että tajuusmittauksen uskomattoman suuri tarkkuus kääntyy näin etäisyyksien tarkkuuksiksi. Kun taajuusmittauksen tarkkuus voi hyvinkin olla 1 : 10 12, on ymmärrettävissä, että GPS:n avulla mitataan mannertenväliset etäisyydet jopa 1 : 10 9 :n suhteellisella tarkkuudella. Satelliittitekniikat ovat maan päällisiä etäisyysmittauksia vieläkin tarkempia, koska niin suuri osa signaalin kulusta tapahtuu ilmakehän ulkopuolella Potentiaalieroja, vaaitus Potentiaalierojen mittaus tapahtuu perinteisesti vaaituksen avulla: mitataan kahden pisteen välinen korkeusero metreissä ja muunnetaan tämä ero potentiaalieroksi paikallisen painovoiman g avulla. Jos korkeusero on h ja geopotentiaaliero C, käytetään 17 yhtälöä C = g h. Mittaukset tehdään linjaa pitkin ja erotukset C i summataan. Linjoista rakennetaan suljettu vaaitusverkko, jonka potentiaalierot silmukoiden ympäri on oltava nolla. Verkkoa tasoitetaan tätä ehtoa käyttäen. 14 Englanniksi nimi total station on suosittu. 15 Takymetri, kreik. nopea mittari. 16 Monet ns. hyperboliset paikannusjärjestelmät, kuten DECCA, Transit/Doppler ja myös GPS ja muut satelliittipaikannusjärjestelmät, perustuvat etäisyyseromittauksiin. 17 Tämä on vain esimerkki siitä, että tyo on voima kertaa matka. Työ (per massayksikkö) on C, matka h, ja voima (per massayksikkö, siis F = ma:n mukaan kiihtyvyys) on g. 33

44 2 Geodeettisia mittauksia Alaluvussa esitetään perinteistä vaaitusta eksoottisempia korkeuden mittauksen vaihtoehtoja, joista monet perustuvat geopotentiaaliarvojen suoraan fysikaaliseen vertailuun esimerkiksi nestepinnan avulla. 34

45 Luku 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Geodesiassa käytetään Maan muodon ja koon kuvaamiseksi ja Maan pinnalla ja sen läheisyydessä olevien pisteiden paikkojen määrittämiseksi koordinaatteja. Geodesiassa käytetyt koordinaattijärjestelmät ovat yleensä kolmiulotteisia, koska maapallo on olemassa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkinä voidaan mainita leveys- ja pituusaste ja korkeus (ϕ, λ, h), joiden avulla saadaan pisteen sijainnin kuvatuksi intuitiivisellä tavalla. Kaksiulotteiset koordinaattijärjestelmät ovat oikeastaan karttaprojektiokoordinaatteja eli johdannaissuureita, eivätkä geodesian suoran kiinnostuksen kohtana. Ne kuuluvat lähinnä kartografian alaan, vaikka niitä käytetään sovelletussa maanmittauksessa varsin laajasti. Esim. vanhemmilta Suomen topografikartoilta löytyy KKJ-koordinaatteja, jotka ovat karttatasossa (siis karttalehdeltä) suoraan viivoittimellä mitattavia (x, y)-koordinaatteja. Avaruuskoordinaattien lisäksi käytetään tietenkin myös aikaa, muutosprosessien kuvaamiseksi, ja fysikaalisessa geodesiassa eräänlaisena koordinaattina geopotentiaalia, Maan painovoimakentän potentiaalia, ks. alaluku Avaruus- ja tasokoordinaatteja Koska maapallo on kolmiulotteinen kappale, on geodesia kolmiulotteinen tiede. Maapallo ja sen yhteydessä olevat pisteet sijoittuvat kolmiulotteisessa avaruudessa, ja geodesian tehtävänä on niiden sijainnin kuvaus kolmiulotteisten koordinaattien (X, Y, Z) avulla. Nykyiset mittausjärjestelmät, kuten globaalinen satelliittipaikannusjärjestelmä GPS, osaavat suoraan mitata kolmiulotteisia koordinaatteja. Kuitenkin geodesia on myös geotiede ja ihmisiä palveleva, sovellettu tieteenala. Ihmiskunta asuu painovoiman pakottamana Maan pinnan välittömässä läheisyydessä, kvasi-kaksiulotteisessa aliavaruudessa jossa liikkumisen vapautta on lähinnä vain vaakasuunnassa, Maan pintaa pitkin. Tämän lisäksi tärkeä viestintäväline paperi on ehdottomasti kaksiulotteinen, ja kartathan piirretään tavallisesti paperille! Siksi geodesiassa ja maanmittauksessa käytetään varsin yleisesti tasokoordinaatteja, suorakulmaisia kaksiulotteisia, metrisiä koordinaatteja vaakatasossa. Maanmittaustyöhön sopivia, käytännön tasokoordinaattijärjestelmiä on olemassa monta. Pääerot niiden välillä ovat: 1. Origon sijainti ja akseleiden orientaatio. Origo, lähtöpiste jossa x = y = 0, on oltava tunnettu. Yleensä akselit ovat x pohjoiseen ja y itään, muttei aina eikä välttämättä tarkasti. 2. Määritystekniikka eli geosentrisyys: nykyaikaiset tasokoordinaatit on saatu GNSS:llä tuoduista geosentrisista, kolmiulotteisista koordinaateista. Tämä koordinaatistotyyppi on vielä aika uusi maanmittauskäytössä. 35

46 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Geodeettiset tasokoordinaatit ovat itse asiassa karttaprojektiokoordinaatteja: ne on saatu karttaprojektiokaavojen avulla lasketuksi alunperin kolmiulotteisista koordinaateista ellipsoidisen leveysja pituusasteen (ϕ, λ) kautta. Hyvin pienillä alueilla, kuten rakennustyömailla, ei varsinaista karttaprojektiota tarvita. Näillä tasokoordinaatit voidaan katsoa toposentristen (havaintopaikkakeskeisten) koordinaattien suorakulmaiseksi erikoistapaukseksi. 3.2 Paikkakoordinaatit avaruudessa Kolmiulotteiset koordinaatit voivat olla suorakulmaisia tai geodeettisia eli maantieteellisiä. Yleisin koordinaattijärjestelmä on kolmiulotteinen, suorakulmainen (X, Y, Z) -järjestelmä. Usein se on myös geosentrinen. Geosentrisyys tarkoittaa kirjaimellisesti, että origo on Maan massakeskipisteessä (tietyllä tarkkuudella). Tämän lisäksi yleensä geosentrisen järjestelmän Z-akseli on Maan pyörähdysakselin eli taivaan (pohjois-)navan suuntainen. Geosentrisessä koordinaattijärjestelmässä X -akselin suunta on periaatteessa mielivaltainen eli konventionaalisesti sovittu. Maan pinnan geosentrisissä järjestelmissä käytetään kansainvälisenä standardina Greenwichin observatorion luotiviivan suunnan sisältävää meridiaania X -akselin suunnan kiinnittämiseksi 1. X -akseli on sekä Greenwichin meridiaanitasossa että ekvaattoritasossa, siis kohtisuorassa Z-akselia kohtaan. Y -akseli puolestaan on kohtisuorassa Z- ja X -akselia kohtaan, eli kaikki kolme akselit ovat kohtisuoria toistensa kohtaan. Ks. kuva 3.2. Kolmiulotteiset, suorakulmaiset koordinaatit X, Y ja Z ovat ehkä yleispäteviä, mutta valitettavasti eivät kovin intuitiivisia. Esim. Metsähovin tutkimusaseman GPS-antennin koordinaatit ovat (suomalaisessa EUREF-FIN -vertauskehyksestä, ks. alaluku 3.4.3): X = , 1204 m Y = , 2621 m Z = , 9521 m Luvut ovat mielenkiintoisen näköisiä, mutteivät anna kovin valaisevaa, kansantajuista vastausta kysymykseen missä on Metsähovi?... Ensimmäisenä askeleena käytännöllisempiin koordinaatteihin konstruoidaan geodeettisia koordinaatteja. Ensin konstruoidaan matemaattisesti vertausellipsoidi, sopivasti litistynyt pyörähdysellipsoidi jonka mitat ovat kohtuullisen lähellä maapallon todellisia mittoja 2. Piste projisoidaan ellipsoidin normaalia pitkin pintaan; projektioetäisyys h on ellipsoidinen korkeus, projektioviivan eli ellipsoidin normaalin 3 suuntakulmat ϕ, geodeettinen leveysaste päivän- 1 Washington DC:n sopimus vuodesta 1884 teki Greenwichin meridiaanista maailman nolla- eli vertausmeridiaani. Samalla hyväksyttiin maailmanaika eli universaaliaika: Greenwich Mean Time, GMT. Kaikkien maiden siviiliajat eroavat GMT:stä tietyllä kokonaistuntien määrällä, joka Suomessa on +2 t (talvella, EET) tai +3 t (kesällä, EEST). Ilman tätä aikavyöhykejärjestelmää kansainvälinen kanssakäyminen (merenkulku, ilmailu, puhelin) olisi hankalaa. Ks. 2 Esim. GRS80-vertausellipsoidi: ekvaattorisäde ,0 m, napasäde ,3141 m (noin 21 km lyhyempi) ja litistyssuhde 1:298, Huomaa, että ellipsoidin normaali ei yleisesti mene ellipsoidin keskipisteen läpi! Ks. kuva

47 3.2 Paikkakoordinaatit avaruudessa Kuva 3.1. Greenwichin meridiaani. Wikimedia Commons. tasaajalta laskettuna, ja λ, geodeettinen pituusaste, laskettuna Greenwichin meridiaanista. Kolmikko (ϕ, λ, h) tai usein vain kaksikko (ϕ, λ) kutsutaan geodeettisiksi koordinaateiksi. Metsähovin geodeettiset koordinaatit ovat esimerkiksi: ϕ = , 89046, λ = , 13336, h = 94, 568 m,... ja tämä kertoo ihmisille jo aika paljon enemmän pisteen sijainnista! Suorakulmaisten ja geodeettisten koordinaattien välillä on yksinkertainen matemaattinen yhteys: ne voidaan muuntaa toisiinsa tarkkuutta menettämättä. Ne ovat samanarvoisia 4 pisteen sijainnin esitystapoja: (X, Y, Z) kaava kaava 1 (ϕ, λ, h)... ja molemmat geosentrisiä ja kolmiulotteisia. Niiden väliset erot ovat: 4 Eli, jos (X, Y, Z) on annettu, voidaan (ϕ, λ, h) laskea eksaktisti ja päinvastoin. 37

48 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Pohjoisnapa Z h P Ellipsoidinen normaali. ϕ. Y. λ. ϕ. X. Greenwichin observatorio Greenwichin meridiaani Kuva 3.2. Suorakulmaiset ja geodeettiset koordinaatit. suorakulmaiset koordinaatit on helpompaa käsitellä numeerisessa työssä geodeettiset koordinaatit ovat intuitiivisempia, ihmisläheisempiä. Geosentristen koordinaattien lisäksi tavataan usein toposentrisiä koordinaatteja, eli koordinaatteja laskettuna jonkun paikallisen origon suhteen. Toposentrisiä koordinaatteja saadaan luonnollisella tavalla mittauksista, joissa mittauspisteestä tulee koordinaatiston origo: Mitataan suunta (atsimuti eli vaakasuuntakulma ja korkeuskulma horisontin yläpuolella) ja etäisyys lähtöpisteestä mittauspisteisiin. 3.3 Karttaprojektioita Vaikka geodeettiset koordinaatit ovat jo aika paljon käyttökelpoisempia kuin suorakulmaiset loppukäyttäjän kannalta, on niissä vielä parantamisen varaa. Tässä tutkitaan, miten voidaan tuottaa vieläkin ihmisläheisempiä koordinaatteja. Menetelmä on karttaprojektio. Jo vanhastaan on ollut tapana kuvata maanpintaa kaksiulotteiseen tasoon eli karttaan. Kartografia on tämän taidon ympärille kasvanut tieteenala. Jos kuvattu alue on pieni, on kuvaustapa suoranainen ja virheetön: paikalliset vaakatason maisemakoordinaatit (x, y) voidaan kuvata mittakaavan kautta paperikarttatasoon. Puhutaan plan-kartasta. Useammissa maissa, myös Suomessa, x-akseli osoittaa pohjoiseen ja y-akseli itään. Suuremmilla alueella käytetään karttaprojektiota, matemaattista menetelmää pisteen sijainnin eli leveys- ja pituusasteen (ϕ, λ) kuvaamiseksi karttatasoon. Näin voidaan piirtä maanpinnasta graafinen esitys paperille, kartta. Monet digitaaliset sovellukset mm. CAD-ohjelmat jotka eivät varsinaisesti edes edellytä paperikartan käyttöä, perustuvat kuitenkin intuitiiviseen karttatason käyttöön. Yksinkertaisimillaan käytetään koordinaattiparia (ϕ, λ) suoraan karttakoordinaatteina x ja y (eli x = Sϕ, y = Sλ, S mittakaava). Tämä on onneton ratkaisu, koska koordinaatit ϕ ja λ ovat asteissa, kulmayksiköissä, kun karttakoordinaatit on oltava metrisissä yksiköissä 38

49 3.3 Karttaprojektioita x ϕ λ y Kuva 3.3. Maan kaarevan pinnan kuvaaminen karttatasoon eri projektioiden avulla. Aina jotain vääristyy! pituuden λ yhden asteen pituus kilometreissä mitattuna vähenee napoja kohti. Helsingin leveydellä yksi pituusaste on vain 55 km kun päiväntasaajalla se on 111 km. Hieman parempi ratkaisu on käyttää koordinaattiparia (ϕ, λ sin ϕ). Parempia ratkaisuja tarjoaa karttaprojektio-oppi. Näin voidaan kuvata ellipsoidipinnan parametripari (ϕ, λ) karttatasoon (x, y) järkevällä tavalla. Valitettavasti menetelmä joka kuvaa kaiken täsmälleen oikein ei ole olemassa. Aina jotain vääristyy. Jos kulmat ja etäisyyksien suhteet säilyvät, puhutaan konformisesta eli kulmatarkasta projektiosta. Tässä tapauksessa sekä lineaarinen mittakaava (etäisyydet) että pinta-alojen mittakaava vääristyvät, paitsi joissakin kartan erikoispisteissä. Jos pinta-ala säilyy, puhutaan ekvivalentista eli pinta-alatarkasta projektiosta. Tässä kulmat ja muodot väärentyvät, taas erikoispisteitä tai -viivoista lukuunottamatta. Jos etäisyydet säilyvät, puhutaan ekvidistantista eli etäisyystarkasta projektiosta. Projektio voi olla ekvidistantti vain tietyillä linjoilla, ei kaikkialla. Navigoinnissa on tärkeä, että kompassisuunnat säilyvät. Silloin loksodromit 5, saman kompassisuunnan käyrät, ovat suoria. Mercator-projektiolla on tämä ominaisuus. Jos suurympyrät kuvautuvat suoriksi, on kyse gnomonisesta projektiosta. Sitä käytetään ilmailussa ja meteorihavaintojen yhteydessä lentokoneen polku maapallon pinnalla tai meteorin polku taivaalla kuvautuu suoraksi viivaksi ja voidaan piirtää viivoittimella. On tärkeä ymmärtää, että ei ole olemassa oikea projektio! Valinta riippuu täysin käyttötarkoituksesta ja hyväksyttävissä olevista vääristymistä. Tavallaan ne ovat kaikki vääriä. Toisaalta ne ovat kaikki myös käyttökelpoisia 6. Filosofisesti voi katsoa, että karttakoordinaatit (x, y) eivät varsinaisesti ole geodeettisia suureita! Aidosti geodeettiset koordinaatit ovat aina kolmiulotteisia. Karttaprojektiokoordinaatit ovat johdannaissuureita Essentially, all models are wrong, but some are useful George E. P. Box ( ), tilastotieteilijä. 39

50 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Kuva 3.4. Systemaattinen siirtymä tieverkon ja ilmakuvapohjan välillä voisi liittyä eri koordinaatistojen käyttöön. Google Earth ; 2009 Google, Map Data 2010 Digital Globe, 2010 Tele Atlas, 2010 Europa Technologies. 3.4 Suomen eri koordinaattiratkaisut Suomessa, kuten kaikkialla maailmassa, on historiallisista syistä käytössä useita eri koordinaatistoja7. Tämä hankaloittaa paikkatietojen ja koordinaattiaineistojen käyttöä. Koordinaattiaineistojen käytön edellytyksenä on tietää, missä koordinaatistossa annettu aineisto on. Tarvittaessa aineisto muunnetaan järjestelmästä toiseen ennen käyttöä. Suurin periaatteellinen ero koordinaatistojen välillä on, onko järjestelmä perinteinen, siis luotu ennen satelliittiaikakautta käyttäen perinteisiä geodeettisia mittausmenetelmiä, vai moderni eli geosentrinen, luotu satelliittipaikannusteknologian avulla. Seuraavaksi kerromme lisää eri koordinaatistovaihtoehdoista ja niiden välisistä muunnoksista Kartastokoordinaattijärjestelmä (KKJ) Suomessa vanha, aikanaan virallinen ja nyt jo suurilta osin väistynyt koordinaatisto on KKJ, Kartastokoordinaattijärjestelmä, en. National Map Grid Coordinate System, (Parm, 1988). Järjestelmä luotiin valtakunnallisen kolmiomittaustyön tuloksia hyödyntäen (Parm, 1988). Se on myös hyvä esimerkki karttaprojektion käytöstä valtakunnallisen alueen kuvaamiseksi kaksiulotteiseen karttatasoon. Karttaprojektiosta lisää alaluvussa Vanha valtion järjestelmä VVJ Tätä järjestelmää kutsutaan myös Helsingin järjestelmäksi. 7 Tässä ei vielä tehdä selvää pesäeroa koordinaattijärjestelmien ja koordinaatistojen, eli modernimmassa terminologiassa, vertausjärjestelmien ja vertauskehysten, välillä. Tästä hieman lisää alaluvussa

51 3.5 Suomen karttaprojektiot VVJ oli KKJ:n edeltäjä. Valtakunnallinen kolmiomittaus oli valtava projekti, joka kesti yli puoli vuosisataa. Kuitenkaan tarkkojen koordinaattien käyttäjät eivät voineet odottaa. Niinpä luotiin lennossa VVJ käytännön kartoitustyön tueksi. Koordinaatit laskettiin vaihe vaiheelta Suomen kolmiomittauksen edetessä Etelä-Suomesta pohjoiseen. Vasta 1970-luvulla valtakunnallisen kolmiomittauksen valmistuttua ja kolmioverkon yhteistasoituksen tuloksena muodostettiin KKJ valtakunnallisesti yhtenäisenä järjestelmänä. Helsingin järjestelmän koordinaattien erot KKJ-koordinaateista ovat suurimmillaan muutama metri (Tikka, 1991, s.,193). Ikivanha kuin VVJ on, oli se edelleen monessa kunnassa käytössä vielä 2010-luvulla: esimerkiksi Tuusula siirtyi VVJ:stä pois (suoraan EUREF-FINiin) vasta v EUREF-FIN-vertauskehys Satelliittipaikannuksen yleistymisen myötä voitiin jo 1990-luvulla määrittää kaikkialla maapallolla kolmiulotteiset koordinaatit järjestelmässä, joka on muutaman senttimetrin tarkkuudella geosentrinen: kolmiulotteisten koordinaattien (X, Y, Z) origo on niin lähellä Maan massakeskipistettä. Tämän lisäksi koordinaatiston Z-akseli osoittaa Maan rotaatioakselin suuntaan kun X - ja Y -akselit ovat päiväntasaajan tason suuntaisia. Geosentriset järjestelmät ovat globaalisia. Euroopan alueella on Kansainvälisen Geodeettisen Assosiaation IAG:n (International Association of Geodesy) toimesta 8 luotu geosentrinen vertausjärjestelmä ETRS89, European Terrestrial Reference System Järjestelmä on realisoitu mittauksin monta kertaa: ensimmäinen Euroopanlaajuinen realisaatio eli vertauskehys oli EUREF89, joka perustui vuonna 1989 suoritettuun avaruusgeodeettiseen mittauskampanjaan (Overgaauw ym., 1994). Myöhemmin Suomi on luonut oma kansallinen realisaationsa nimeltä EUREF-FIN 9, jonka käyttöön maan kartoituslaitokset ja useimmat muut toimijat ovat viime vuosina siirtyneet. EUREF-FIN-vertauskehyksen karttaprojektioratkaisuista lisää alaluvussa Suomen karttaprojektiot Maapalloa ei voida kaarevana pintana kuvata tarkasti tasolle ilman vääristymiä. Pienellä alueella se vielä onnistuu tietyllä tarkkuudella: pohjapiirroksia voidaan laatia suoraan kuvaamalla Maan pinnan osaa suorakulmaisissa tasokoordinaateissa (x, y). Sellaiset kartat on laajasti käytössä monessa paikallisessa karttasovelluksessa. Kuitenkin koko Suomen tai vieläkin suurempien alueiden kuvaamiseksi karttatasoon tämä yksinkertainen menetelmä ei riitä. Kaarevan pinnan kuvaamiseksi litteään karttapaperiin tarvitaan karttaprojektio, ks. kuva 3.5. Karttaprojektiossa aina approksimoidaan. Kuten jo mainittiin osassa 3.3, aina menetetään jotain. Ei ole olemassa projektiot jotka eivät vääristäisi mitään, tai joiden mittakaava olisi kaikkialla karttatasossa sama. Projektio valitaan käyttötarkoituksen mukaan niin, että joku käyttäjälle tärkeä asia säilyy: kohteiden muoto, pinta-ala, jotkut etäisyydet, tai kompassisuunta. 8 Itse asiassa sen Euroopan vertauskehyksen alakomissio EUREF, Reference Frame Subcommission for Europe, http: // Nimi EUREF oli tanskalaisgeodeetti Knud Poderin esittämä. 9 Usein käytetty nimike WGS84 viittää Yhdysvaltain puolustusviranomaisten ylläpitämään järjestelmään joka on vain desimetrin tarkkuustasolla yhteneväinen EUREF-realisaatioiden kanssa. Usein nimikettä käytetään (virheellisesti) niiden synonyyminä. 41

52 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Projektio Greenwich- eli nollameridiaani λ 0 Päiväntasaaja Keskimeridiaani pituus λ 0 Kuva 3.5. Maan kuperan pinnan kuvaaminen kapeina kaistoina tasolla. Tämä on sekä Gauss- Krüger -projektion että UTM-projektion periaate. Vääristymät jäävät hyväksyttävän pieniksi vain rajatun kokoisella alueella. Suomessa kohdataan tällä hetkellä kaksi eri taso- eli projektiokoordinaattijärjestelmää: vanha KKJ ja uusi EUREF-FIN-pohjainen järjestelmä KKJ:n karttaprojektiojärjestelmä Maan pinnan kuvaamiseksi karttatasoon ilman suuria vääristymiä Suomi jaettiin kuuteen KKJprojektiokaistaan, joissa jokaisessa on oma projektiotason koordinaatisto. Kaistat numeroitiin : kaistojen keskimeridiaanit olivat pituusasteilla 18, 21, 24, 27, 30 ja 33 itään. Projektiotason koordinaattit ovat x (Northing) ja y (Easting). Käytetty projektio on konforminen projektio nimeltä Gauss-Krüger, eräs poikittainen Mercatorin projektio. Projektiolaskennoissa käytetty vertausellipsoidi oli Hayfordin eli kansainvälinen ellipsoidi vuodesta Kaistoissa toistuvat samat koordinaatit. Siksi, yksiselitteisten arvojen saamiseksi, y-koordinaatin eteen laitettiin kaistan numero, ensimmäisenä desimaalina (paitsi jos se oli 0). Ks. kuva 3.7. x-koordinaatin origo on päiväntasaajalla ja arvot kasvavat kaistan keskimeridiaania pitkin. Tästä johtuu, että x-koordinaatit Suomessa ovat arvoltaan luokkaa m. y-koordinaatti kuvaa etäisyyttä keskimeridiaanilta. Jotta vältettäisiin negatiivisiä y-koordinaatteja, lisättiin näihin 500 km, eli keskimeridiaanilla olevalla pisteellä on y-koordinaatti m (false Easting eli vale-itä). y-akseli on kohtisuorassa x-akselia vasten. y-koordinaatit voivat teoreettisesti olla välissä m, käytännössä kuitenkin arvoväli on m kaistojen kapeuden johdosta Suomen leveyksillä. Esimerkiksi kuvan 3.7 mukaan ensimmäisen kaistan vasen alanurkan koordinaatit olisivat Vastaavasti kolmannelle kaistalle: x = ,000 m, y = ,000 m. x = ,000 m, y = ,000 m. 42

53 3.5 Suomen karttaprojektiot 70 N x m 65 N m 60 N m 21 E 24 E 27 E 30 E y Kuva 3.6. Suomen KKJ-järjestelmän (väistymässä!) Gauss-Krüger -karttaprojektion kaistajako. Kaistat 0 (keskimeridiaani 18 ) ja 5 (33 ) on jätetty pois. Projektion keskimeridiaanilla vääristymä on nolla, eli kartan ilmoitettu mittakaava pätee tarkasti. Silloin kuin KKJ-koordinaatit käytettiin pienen alueen sisällä, jätettiin usein vasemmalla puolella olevat desimaalit pois, koska ne olivat aina samoja. Näin saatiin katkaistuja koordinaatteja, jollaisia voi tulla vastaan kuntien laskentapapereissa. VVJ:n käyttämä karttaprojektiojärjestelmä oli hyvin samanlainen kuin KKJ:n vastaava, paitsi, että merkintätapa oli y = , eli y-koordinaatin eteen laitettiin itse keskimeridiaanin pituusaste Kartastokoordinaattijärjestelmän yhtenäiskoordinaatisto KKJ:n lisäksi otettiin pienimittakaavaisille 10 kartoille käyttöön yhtenäiskoordinaatisto eli YKJ, jossa koko Suomen alue kuvattiin saman Gauss-Krüger-projektion mukaan käyttäen keskimeridiaanina 27. Tässä koordinaatistossa, joka on tarkoitettu käytettäväksi pienimittakaavaisissa (siis: suurta aluetta kuvaavissa) kartoissa ja joka on muuten identtinen KKJ:n kanssa, koko Suomi on projisoitu kaistaan 3 (keskimeridiaani 27 ). Koska on vain yksi kaista, y-koordinaattien eteen ei anneta kaistan numeroa. 10 Pienimittakaavainen kartta on kartta, jonka mittakaavaluku M on suuri, jos mittakaava on 1:M. Mittakaava 1: on pieni: suuretkin kohteet näyttävät pieniltä kartalla, mutta kuvattu alue on suuri. Mittakaava 1:2000 on suuri: pienetkin yksityiskohdat näkyvät hyvin, mutta kuvattu alue on pieni. 43

54 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita xnorthing Keskimeridiaani y O (False Easting) Easting Kuva 3.7. Suomen KKJ-koordinaattijärjestelmän yhden kaistan geometria (itä-länsisuunnassa venytetty) EUREF-FINin karttaprojektiot Uuden vertauskehyksen yhteydessä käytetään EUREF-FIN-karttaprojektiokoordinaatteja (JUH- TA, JHS 154), jotka ovat siis tasokoordinaatteja (x, y). Uudet karttaprojektiot, jotka käyttävät geosentristä GRS80-vertausellipsoidia, ovat, mittakaavasta riippuen, joko tuttu Gauss-Krüger tai UTM (Universal transverse Mercator), kansainvälisesti laajasti käytössä oleva, myös konforminen projektiotyyppi. sekä Gauss-Krüger että UTM. Pienimittakaavaisille kartoille, siis sellaisille, joissa kuvataan koko Suomi tai Suomen suuria osia, valitaan uusi ETRS-TM35FIN -projektiokoordinaatisto, joka perustuu kolmiulotteiseen EUREF-FIN koordinaatistoon ja UTM-projektioon keskimeridiaanilla 27 E. Tämä korvaa vanhan KKJ:n yhtenäiskoordinaatiston. Projektio on myös koko Suomen karttalehtijaon pohjana. Myös topografikartoille käytetään ETRS-TM35FIN -projektiota. Suurimittakaavaisille, paikalliseen käyttöön tarkoitetuille kartoille käytetään edelleen Gauss-Krüger-projektiota, mutta kaistaleveydellä 1. Tästä käytetään nimitystä ETRS-GKn, jossa n on keskimeridiaanin asteluku, esimerkiksi 23 E, jolloin projektion nimi on ETRS- GK23. Tästä poiketaan kuitenkin käytännön syistä, esim. koko kunnan kartoittamiseksi samaan kaistaan. Valinnan seurauksena nämä kartat soveltuvat käyttötarkoituksiin, joissa ei voida hyväksyä suurempia mittakaavavääristymiä, kuten kaavoitus ja infrarakentaminen, joissa karttakoordinaatteja siirretään suoraan rakennusprojekteihin maastokoordinaatteina. 44

55 3.6 Tasokoordinaatteja Pohjoinen (Northing) x P Kvadrantti IV x Kvadrantti I α s y O Origo y Itäinen (Easting) Kvadrantti III Kvadrantti II Kuva 3.8. Geodeettinen tasokoordinaatisto ja tason kvadrantit I-IV. Kansainvälisestikin käytetään paljon UTM (Universal Transverse Mercator) -järjestelmää. UTM eroaa Gauss-Krügeristä kahdella tavalla: Mittakaava keskimeridiaanilla on 0,9996 eikä 1,0. Tämä merkitsee, että keskimeridiaanilla kartta kuvaa yksityiskohtia noin 400 ppm (parts per million, miljoonasosaa) pienemmiksi kuin mitä ne kartan nimellismittakaavan perusteella pitäisi olla. Se on 40 cm kilometriä kohti. Projektiokaistojen leveys on 6 eikä 3. Tämä merkitsee että mittakaavavääristymä, joka keskimeridiaanilla on -400 ppm, kääntyy kaistan reunoihin asti positiiviseksi, n ppm, ainakin päiväntasaajalla. Suomen leveysasteilla vääristymä jää aika paljon pienemmäksi. Näillä kahdella valinnalla pyritään pitämään mittakaavavääristymä koko kaistan alueella tiettyjen rajojen sisällä kaistan suuresta leveydestä huolimatta. Sekä Gauss-Krüger että UTM ovat ns. konformisia projektioita: kulmat ja pituussuhteet säilyvät paikallisesti, pikkuneliöt muuttuvat pikkuneliöiksi, pikkuympyrät pikkuympyriksi. 3.6 Tasokoordinaatteja Geodesiassa käytetty tasokoordinaatisto poikkeaa hieman tutusta matematiikan x, y järjestelmästä. Ks. kuva 3.8. Kun matematiikassa x-akseli osoittaa oikeaan ja y-akseli ylös, on geodesiassa tapana että x-akseli osoittaa pohjoiseen ( Northing ) ja y-akseli itään ( Easting ). Suorakulmaisten koordinaattien (x, y) lisäksi käytetään napakoordinaatteja (α, s). Joskus käytetään symboleja (A, s). Geodesiassa atsimuti eli suuntakulma α (tai A) kulkee pohjoisesta myötäpäivään 11, siis idän kautta, toisinpäin kuin matematiikassa. s on etäisyys koordinaatiston origosta O. 11 Tähtitieteessä joskus atsimuti kulkee etelästä länteen, siis myös myötäpäivään. Myös geodesiassa käytäntö vaihtelee: asia on aina tarkistettava. Nimen atsimuti alkuperä on arab. as-sumût, suunnat. 45

56 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita x x = (Kaupungin alue) O y = y Kuva 3.9. Paikallinen koordinaatisto. Suorakulmaisten ja napakoordinaattien välillä pätevät seuraavat trigonometriset kaavat: y = s sin α sin α = y s x = s cos α cos α = x s tan α = sin α cos α = y x α = arctan y x + k 180. Viimeisessä kaavassa kokonaisluku k valitaan näin, että tulos α on suuntaympyrän sopivassa kvadrantissa; arctan y x on aina välissa π 2, + π 2, eli kvadrantissa I tai IV. Pythagoraan lause antaa etäisyyden s: s = x 2 + y Paikallinen koordinaatisto Paikallisia, usein vanhoja, koordinaatistoja käytettiin pitkään monessa Suomen kunnassa, ja ne tulevat vanhoissa asiakirjoissa vastaan. Origo on yleensä sijoitettu niin, että koko kunnassa esiintyy vain positiivisia x- ja y-koordinaatteja. Usein origo on vain laskennallinen piste, joka ei välttämättä ole edes olemassa merkkinä maastossa. Esimerkki: katkaistuja KKJ-koordinaatteja. Yhteys valtakunnalliseen järjestelmään voi olla, että tunnetaan esim. kirkon (tai muun maamerkin) koordinaatit myös KKJ:ssa. Tässä tapauksessa voidaan muuntaa paikalliset ja valtakunnalliset koordinaatit toisiinsa soveltamalla vakiosiirtymää kumpaankin koordinaattiin x ja y. Tarkempaan työhön yksi piste ei riitä ja tarvitaan riittävä määrä yhteisiä pisteitä, koordinaateiltaan tunnettuja sekä paikallisessa että valtakunnallisessa järjestelmässä Tilapäinen koordinaatisto Joskus on tarkoituksenmukaista käyttää mittauksissa tilapäistä, yleisestä järjestelmästä poikkeavaa koordinaatistoa. Jopa akseleiden suunnat voivat poiketa tavallisesta pohjois- ja itäsuunnasta. 46

57 3.7 Geodeettinen pää- ja käänteistehtävä x x O O y y Kuva Tilapäinen koordinaatisto. Tilapäistä koordinaatistoa käytetään vain mittauksen, tai esimerkiksi rakennusprojektin, aikana, laskennassa koordinaatit muunnetaan pysyvämpään, paikalliseen tai valtakunnalliseen, oikein orientoituneen järjestelmään. Origo ja akselien suunnat voidaan valita mittaustehtävän mukaisesti, esim. seinien suuntaisiksi. 3.7 Geodeettinen pää- ja käänteistehtävä Geodeettinen päätehtävä ( GPT ) tarkoittaa tuntemattoman pisteen koordinaattien määrittäminen, kun lähtöpisteen koordinaatit sekä suuntakulma ja etäisyys lähtöpisteestä tuntemattomaan pisteeseen ovat annettuina. Yleisessä tapauksessa, mielivaltaisella kaarevalla pinnalla, geodeettinen päätehtävä ei voida helposti ratkaista. Mutta jo pallon pinnalla suljettu (vaikkakin monimutkainen) ratkaisu on olemassa. Tasokoordinaatistossa, kaksiulotteisesti, geodeettinen päätehtävä on yksinkertaisempi, kuten tulemme seuraavaksi näkemään Geodeettinen päätehtävä tasossa Olkoon tasossa kaksi pistettä P 1 ja P 2 (kuva 3.11). Lähtöpisteen P 1 tasokoordinaatit (x 1, y 1 ), sekä vektorin P 1 P 2 atsimuti α 12 ja pituus s 12, ovat annettuina. Laskettava on tuntemattoman pisteen P 2 koordinaatit (x 2, y 2 ). Ratkaisu saadaan seuraavasti: sin α 12 = y s 12 y = s 12 sin α 12, cos α 12 = x s 12 x = s 12 cos α 12, 47

58 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita x P 2 α 12 s 12 x = x 2 x 1 P 1 y = y 2 y 1 y Kuva Geodeettinen päätehtävä tasokoordinaateissa. tämän avulla: Esimerkki: Ratkaisu: x 2 = x 1 + x =x 1 + s 12 cos α 12, y 2 = y 1 + y =y 1 + s 12 sin α 12. Annettuna piste A jonka koordinaatit ovat x A = m, y A = m. Jos etäisyys pisteeseen B on s = 2828, 428 m ja atsimuti (suuntakulma) α = 50 gon, ratkaise geodeettinen päätehtävä pisteille A, B. x = s cos α = 2828,428 m cos (50 gon) = 2000 m; y = s sin α = 2828,428 m sin (50 gon) = 2000 m. x B = x A + x = m m = m; y B = y A + y = m m = m Geodeettinen käänteistehtävä Geodeettinen käänteistehtävä ( GKT ) tarkoittaa kahden annetun pisteen välinen suuntakulman (atsimutin) ja etäisyyden määrittäminen. Olkoon taas tasossa kaksi pistettä P 1 ja P 2 (kuva 3.11). Olkoot niiden suorakulmaiset koordinaatit (x 1, y 1 ) ja (x 2, y 2 ). Laskettavana on α 12 ja s 12. Ratkaisu: s = x 2 + y 2 = tan α 12 = y x = y 2 y 1. x 2 x 1 (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, (Mielellään ei käytetä sin α 12 = y /s 12 tai cos α 12 = x /s 12. Esimerkiksi sinikaava on epätarkka kun α 12 ±90, ja kosinikaava kun α ± 90. Siellähän funktiot sin α 12 ja cos α 12 ovat stationaarisia: suuri muutos α 12 :ssa aiheuttaa vain pienen muutoksen funktioarvossa sin α 12 = y/s 12, ja siksi annetuista arvoista y, s 12, vaikkakin tarkkoja, voidaan laskea α 12 vain epätarkasti.) 48

59 3.7 Geodeettinen pää- ja käänteistehtävä s y α/2 s s + x α x Kuva Puolikulmakaava. Sitten: y2 y 1 α 12 = arctan + k 180, x 2 x 1 k = 0 jos (x2 x 1 ) 0 1 jos (x 2 x 1 ) < 0 Tässä on muistettava että arctan-funktion arvot ovat aina välillä ( π /2, + π /2)!). Kuitenkin oikea α-arvo voi olla tämän välin ulkopuolella, nimittäin tapauksessa (x 2 x 1 ) < 0. Siksi ehdollinen termi k 180. Elegantimpi ratkaisu 12 on käyttää puolikulmakaavaa: α α = 2 = 2 arctan y 2 x + s = 2 arctan y x + x 2 + y. 2 Ks. kuva Esimerkki: Ratkaisu: Annettuna piste A: x A = m, y A = m ja piste C jonka koordinaatit ovat x C = m, y C = m. Ratkaise pisteiden A, C geodeettinen käänteistehtävä. 1. Perinteinen menetelmä: x = x C x A = m m = 7000 m; y = y C y A = m m = m. α AC = arctan y + k 200 gon = x = arctan ( 1) + k 200 gon = = 50 gon + k 200 gon. 12 Monessa ohjelmointikielessä on tarjolla funktio atan2 (x, y) kahdella argumentilla, joka löytää myös oikean kvadrantin automaattisesti. 49

60 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Oikea ratkaisu on ilmeisesti α AC = 50 gon gon = 150 gon. 2. Puolikulmamenetelmä: y α AC = 2 arctan x + x 2 + y = = 2 arctan = 1 = 2 arctan 1 = 2 = 2 75 gon = 150 gon. s AC = x 2 + y 2 = 7000 m 2 = = 9899,495 m. 3.8 Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Ks. Kahmen ja Faig (1988, sivut ). Yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnos on muunnos kahden suorakulmaisen koordinaatiston välillä, tavallisesti tasossa eli kaksiulotteisesti. Se esiintyy varsin usein käytännön mittaus- ja laskentatehtävissä, kun pitää yhteiskäyttöä varten yhdistää kahdessa tai useammassa koordinaatistossa olevia koordinaattiaineistoja. Tämä on haastava tehtävä. Yleisessä tapauksessa etsitään alueelta riittävä määrä kiintopisteitä joiden koordinaatit tunnetaan molemmissa järjestelmissä, ja suoritetaan tasoitus. Yksinkertaisempi on erikoistapaus jossa on käytettävissä vain kaksi yhteistä kiintopistettä, mikä juuri riittää muunnoksen määrittämiseksi. Tunnetaan kahden kiintopisteen A ja B koordinaatit: (x A, y A ), (x B, y B ), (u A, v A ), (u B, v B ). Tämän lisäksi on annettu pistejoukon koordinaatit vain (u, v)-koordinaatistossa: (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ),..., (u i, v i ),..., (u n, v n ). Tehtävä on nyt laskea koko tämän pistekentän yhdenmuotoisuusmuunnos (u i, v i ) (x i, y i ), i = 1,..., n. Muunnos suoritetaan seuraavissa askeleissa: Origon siirto O uv O x y, siirtoparametrit (x 0, y 0 ), ks. kuva Koko (u, v)-koordinaatiston kierto kulman θ verran (kiertoparametri θ, ks. kuva 3.14). Muunnetaan (u, v)-koordinaatiston mittakaava samaksi kuin (x, y)-koordinaatistossa käyttämällä mittakaavasuhdetta K. 50

61 3.8 Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Kuva Friedrich Robert Helmert ( ) oli suuri saksalainen geodeetti ja tasoitusja todennäköisyyslaskennan kehittäjä. Helmert-muunnos kutsutaan myös neliparametriseksi muunnokseksi (x 0, y 0, θ, K). x u v AB y 0 θ O uv x AB A α uv α x y u AB y AB s x y = Ks uv B O x y x 0 v y Kuva Yhdenmuotoinen koordinaattimuunnos eli Helmert-muunnos tasossa. 51

62 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita K θ t Kuva Helmert-muunnoksen vaiheet: translaatiovektori t, skaalaus K, rotaatio θ. Helmert-muunnoksen yleinen muoto on: x = x 0 + K cos θ u K sin θ v, y = y 0 + K sin θ u + K cos θ v, eli matriisimuodossa (ks. liite A) x y = cos θ + K y 0 sin θ x0 sin θ cos θ u v. (3.1) Muunnosparametrien määritys Parametrien määrittäminen yksikäsitteisesti vaatii vähintään neljä havaintoa esimerkiksi kahden pisteen yhteensä neljä koordinaattia x A, y A, x B, y B. Silloin saadaan neljä yhtälöä: eli taas matriisimuodossa x A y A x B y B x A = x 0 + K cos θ u A K sin θ v A, y A = y 0 + K sin θ u A + K cos θ v A, x B = x 0 + K cos θ u B K sin θ v B, y B = y 0 + K sin θ u B + K cos θ v B, = 1 0 v A u A 0 1 u A v A 1 0 v B u B 0 1 u B v B x 0 y 0 K sin θ K cos θ Jos nyt samojen pisteiden vanhat koordinaatit u A, v A, u B, v B ovat myös tiedossa, voimme tästä ratkaista neljä muunnosparametria x 0, y 0 ja K sin θ, K cos θ K, θ yksiselitteisesti.. 52

63 3.8 Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Eromuunnoskaava Vähennyslasku tuottaa xab y AB = loogisilla määritelmillä xb x A (vb v = A ) y B y A u B u A v B v A K cos θ u B u A K sin θ vab u = AB K sin θ u AB v AB K cos θ, x AB = x B x A, u AB = u B u A, y AB = y B y A, v AB = v B v A. Järjestetään termit ovelasti uudelleen: xab y AB vab u = AB K sin θ u AB v AB K cos θ cos θ = K sin θ sin θ cos θ uab v AB. (3.2) Tämä kaava pätee mielivaltaisille pistepareille Mittakaavasuhde Mittakaavasuhde tai -kerroin saadaan Pythagoraan lauseen avulla: K = s x y x 2 AB = + y 2 AB s uv u 2 AB +. v2 AB Kiertokulma Kiertokulma 13 on: θ = α x y α uv = arctan y AB x AB arctan v AB u AB (3.3) Siirtoparametrit Siirtoparametrien laskemiseksi lähdetään Helmertin eromuunnoskaavasta, yhtälö (3.2). Tutkitaan pistepari A ja O uv, vanhan (u, v)-koordinaatiston origo. Pisteillä on uuden järjestelmän koordinaatit (x A, y A ) ja (x 0, y 0 ), ja alkuperäisen järjestelmän koordinaatit (u A, v A ) ja (u 0, v 0 ) = (0, 0). Silloin ja samalla u AO = u A u 0 = u A, v AO = v A v 0 = v A, x AO x A x 0, y AO y A y Unohdetaan hetkeksi kvadranttiongelma. Periaatteessa pitäisi lisätä termi k 180, jossa k kokonaisluku. 53

64 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Eromuunnoskaava antaa nyt xa x 0 cos θ = K y A y 0 sin θ eli x0 = y 0 xa cos θ K y A sin θ sin θ ua cos θ v A sin θ ua, cos θ v A juuri etsityt siirtoparametrit. Mielivaltaiselle pisteelle (x, y) Helmert-muunnoskaavat ovat nyt, kun kaikki muunnosparametrit on ratkaistu: eli jo yllä annetut kaavat (3.1). x = x 0 + K cos θ u K sin θ v, y = y 0 + K sin θ u + K cos θ v, Symbolinen matriisimuoto Helmert-muunnoskaavat matriisimuodossa on x y = x0 + K y 0 cos θ sin θ sin θ cos θ u v. Tätä voidaan kirjoittaa kompaktisti: jossa vektorien (sarakematriisien) ja matriisien määritelmät ovat x x0 x, x y 0, y 0 u cos θ sin θ u, R. v sin θ cos θ x = x 0 + KRu, (3.4) Usein kirjoitetaan K = 1+m, jossa m on mittakaavapoikkeama. Yleensä luku on pieni ja ilmaistaan yksikössä ppm (parts per million). Muunnoskaavat (3.1), (3.4) kutsutaan yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnokseksi tasossa. Esimerkki: 1. Annettuna pisteiden A, B koordinaatit (u, v) -koordinaattijärjestelmässä: ja (x, y) -koordinaattijärjestelmässä: u A = 0 m, v A = 0 m, u B = 1500 m, v B = 1500 m; x A = 2000 m; y A = 3000 m; x B = 3500,150 m; y B = 4500,150 m. Olettaen, että systeemien (u, v) ja (x, y) välinen muunnos on Helmert-muunnos: x cos θ sin θ u x0 = K +, y sin θ cos θ v y 0 laske sen parametrit K, θ, x 0 ja y 0. 54

65 3.9 Datumit ja datumimuunnokset 2. Annettuna pisteen C koordinaatit (u, v)-järjestelmässä: u C = 1000 m, v C = 2000 m; laske x C, y C. Ratkaisu: 1. Näemme heti, että u AB = 1500 m, v AB = 1500 m, x AB = 1500,150 m, y AB = 1500,150 m; tästä päätellään visuaalisesti, eromuunnoskaavan (3.2) avulla, että K = 1, 0001 ja θ = 0. Sen jälkeen pisteelle A: x A = x 0 + 1,0001 u A x 0 = x A 1,0001 u A = 2000 m; y A = y 0 + 1,0001 v A y 0 = y A 1,0001 v A == 3000 m. 2. Lasketaan x C = x 0 + 1,0001 u C = 2000 m ,1 m = 3000,1 m; y C = y 0 + 1,0001 v C = 3000 m ,2 m = 5000,2 m. 3.9 Datumit ja datumimuunnokset Geodeettiset koordinaatit eivät ole vain matemaattisia suureita. Pisteet mitataan maastossa ja niiden koordinaatit lasketaan annettujen lähtöpisteiden avulla. Lähtöpisteiden valinta on aina jossain määrin mielivaltainen; jokainen tehty valinta luo se, mitä geodeetit kutsuvat geodeettiseksi datumiksi. Toisin sanoen, kun geodeettiset mittaukset tehdään Maan pinnan osa-alueella käyttämällä tiettyä mittauspisteiden joukkoa ja antamalla sopimusperäisesti lähtökoordinaatteja näistä valittuihin lähtöpisteisiin, saadaan tosielämässä ratkaisu joka edustaa vain tietyn järjestelmän realisaatio eli toteutus. 14. Koordinaatisto, vertauskehys tai datumi muodostetaan yleisesti alueellisesti; kun se kohtaa toista, samalla tavalla muodostettua (mutta eri lähtöpisteistä lähtevää) raamia, samojen pisteiden koordinaattiarvot eivät yleensä ole samoja. Esim. siinä missä Suomen ja Ruotsin tarkkavaaitusverkot kohtaavat Tornionlaakson rajalla, saadaan samalle pisteelle kahdet eri korkeusluvut jotka ovat molemmat oikeita. Myös sijaintiverkkojen tapauksessa puhutaan datumeista: kun ne kohtaavat rajoilla, vaaka- eli sijaintikoordinaatit (ϕ, λ) eivät yleensä ole tarkasti samoja. Erot ovat klassisten kolmioverkkojen tapauksessa muutaman kaarisekunnin luokka. Eri datumeissa olevien pisteiden koordinaattien muuntamiseksi toisen datumin koordinaateiksi löytyy kirjallisuudesta (kohtalaisen monimutkaisia) muunnoskaavoja. 14 Englanniksi koordinaattijärjestelmä muodollisena määritelmänä on co-ordinate reference system, kun taas sen realisaatio maastossa, koordinaatisto, on co-ordinate reference frame. Esim. ETRS = European Terrestrial Reference System ja ETRF = European Terrestrial Reference Frame. Myös Suomessa vastaavat termit alkavat yleistyä: vertausjärjestelmä vastaan sen realisaatio eli vertauskehys. 55

66 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Kuva Metsähovin tutkimusasemalla sijaitseva N2000-korkeusdatumin pääkiintopiste. Taustalla radioteleskooppi, jolla suoritetaan myös geodeettisia pitkäkantointerferometrisia havaintoja Esimerkki: korkeusverkko Tutkitaan esimerkkinä korkeudenmittaus, vaaitus. Suomen virallinen korkeusjärjestelmä v syyskuun 25 päivään saakka, N60, perustuu tietyn pisteen korkeuteen. Tämä lähtöpiste on Helsingin tähtitornin pihalla sijaitsevan graniittipilarin tietty hiottu pinta. Tässä on mukana se historiallinen sattuma, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. Lähtöpisteen korkeusarvo on valittu niin, että korkeudet ovat melko tarkasti Helsingin vuoden 1960 alun keskimerenpinnan yläpuolella. Tieteellisesti Helsingin valinta oli mielivaltainen. Suomen uusi korkeusjärjestelmä N2000 käyttää lähtöpisteenään 40 km Helsingistä länteen sijaitsevan Metsähovin tutkimusasemalla olevaa kiintopistettä, jonka korkeusarvo on valittu niin, että korkeudet ovat Amsterdamin perinteikkään keskimerenpinnan N.A.P.:n suhteen. Myös Amsterdamin valinta oli historian eikä tieteen aikaansaama. Valtakunnallinen tarkkavaaitus on tuonut virallisia korkeuksia kaikkialle Suomeen. Selvä on, että pisteelle lasketun korkeuden tarkkuus tässä järjestelmässä riippuu sen etäisyydestä Helsingistä. Kevon korkeus on selvästi heikommin tiedossa kuin Jyväskylän. Ja Turun korkeus on jonkin verran epätarkka, koska mittaus Helsingistä Turkuun ei ollut absoluuttisen tarkka. Toisaalta Helsingin lähellä olevien pisteiden mitatut korkeudet ovat hyvinkin tarkkoja, koska datumipiste, Tähtitorninmäki tai Metsähovi, on lähellä. Kuvittele hetkeksi ettei Helsinki vaan Turku olisi Suomen pääkaupunki, ja että Suomen korkeusjärjestelmän datum-pisteeksi olisi valittu merkki Tuomiokirkon seinällä. Silloin kaikki Turun lähistöllä olevat korkeuspisteet olisivat hyvin tarkkoja, mutta Helsingin alueen pisteet olisivat saman verran epätarkkoja kuin nykyjärjestelmässä ovat Turun pisteet: onhan vaaitus Turun ja Helsingin välillä jonkin verran epätarkka. Tarkkuus riippuu näkökohdasta, valitusta datumista. Kuvassa 3.17 on esitetty neljän pisteen vaaitusverkko. Annettuna korkeuserot AB, BC, C D ja DA. Lisäksi on annettu rannikopisteissa A ja B korkeus keskimerenpinnasta, mitattu mareografin (vesiasteikon) avulla. 56

67 3.9 Datumit ja datumimuunnokset A D (+0.016) A D A D C B B B C A-datumi B-datumi C Keskivirhe 10 mm Kuva Vaihtoehtoisia korkeusdatumeita A ja B. Ensin tasoitetaan silmukkaa: Väli Havaittu Korjaus Tasoitettu AB -0,925-0,004-0,929 BC +0,548-0,004 +0,544 C D +0,321-0,004 +0,317 DA +0,072-0,004 +0,068 Sulkuvirhe +0, Käytetään pistettä A lähtöpisteenä ja lasketaan pisteiden korkeudet: Piste Korkeus Keskivirhe a A 3,443 ±0,000 B 2,514 ±0,010 C 3,058 ±0,014 D 3,375 ±0,010 a Nämä keskivirheet ovat keksittyjä, vaikkakin realistisen näköisiä. 2. Samalla tavalla, mutta käyttäen pistettä B lähtöpisteenä: Piste Korkeus Keskivirhe B 2,533 ±0,000 C 3,077 ±0,010 D 3,394 ±0,014 A 3,462 ±0,010 Kuten nähdään, on viimemainitussa tapauksessa kaikki lasketut korkeudet 0,019 m verran suurempia. Korkeuserot ovat tietenkin samoja. Ero 0,019 m on juuri pisteiden A ja B korkeuserojen ero kahden menetelmän välillä: (1) vaaitus plus tasoitus, ja (2) vesiasteikot. Ero johtuu mittausvirheistä ja siitä, että todellinen merenpinta ei ole taso. Datumiero A-datumin ja B-datumin välillä on 0,019 m. Datumimuunnos on H (B) i = H (A) i + 0, 019 m, 57

68 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita P PQ-datumi Q A AB-datumi B Kuva Tasoverkon kaksi eri datumia, AB- ja PQ-datumi datumipisteineen. Pistevirheellipsit ja pisteiden väliset (relatiiviset) virhe-ellipsit eri datumeissa on piirretty. Huomaa miten virhe häviää datumipisteissä, joiden koordinaatit ovat osaa datumin määrittelyä eli konventionaalisia. yleisemmin H (B) i = H (A) j + H (B) A H (A) A. Jokainen tasoituslaskenta tuottaa laskettujen arvojen tarkkuusarvioita eli keskivirheitä. Jos oletetaan, että annettuna arvona datum-pisteen korkeusarvo on virheetön (keskivirhe nolla), kasvavat pistekorkeuksien keskivirheet, kun etäisyys datum-pisteestä kasvaa. Yllä oleva taulukko sisältää (mielikuvituksellisia) standardipoikkeamia, jotka käyttäytyvät juuri tällä tavoin. Ne on myös kuvissa piirretty virhepylväiksi Sijaintikoordinaattien datumit Kuten sanottu, on myös sijaintiverkkojen tapauksessa olemassa eri datumit. Kuvassa 3.18 on kuvattu AB-datumi ja PQ-datumi. AB-datumi on luotu ottamalla pisteiden A ja B jo tiedossa olevat koordinaattiarvot muodolliseksi totuudeksi ja tasoittamalla koko verkko niitä muuttamatta. Näin saadaan lasketuksi muiden pisteiden, myös P:n ja Q:n, koordinaatit samassa AB-datumissa. PQ-datumi taas on luotu samalla tavalla kiinnittämällä pisteiden P ja Q koordinaatit etukäteen annetuille arvoille, ja tasoittamalla verkkoa niitä muuttumatta. Näin saadaan verkon muidenkin pisteiden sijainnit ratkaistuksi, nyt PQ-datumissa. Kuten kuvasta näkyy, ovat pisteen koordinaatit AB-datumissa ja PQ-datumissa erilaisia. Kuitenkin koko verkon muoto on samanlainen, riippumatta siitä, onko ratkaisuun valittu datumi AB vai PQ. Tässä tapauksessa datumien välinen muunnos on yhdenmuotoisuusmuunnos eli Helmert-muunnos. Pisteiden A, B, P, Q etukäteen tiedossa olevat koordinaatit ovat yleensä peräisin aiemmasta verkkotasoituksesta, tähtitieteellisesta paikanmäärityksestä tai on luettu kartalta: ne ovat koordinaattien likiarvot. Datumin määrittäminen on siis sama kuin lähtöpisteiden valitseminen, lähtöpisteet joiden likikoordinaatit otetaan muodollisena totuutena mukaan verkon tasoituslaskentaan. Olisi sattuma, jos verkon laskenta AB-datumissa tuottaisi samat koordinaatit kuin laskenta PQdatumissa. Erot eri tavalla laskettujen koordinaattien välillä ovat suuruuksiltaan verrattavissa 58

69 3.10 Korkeus geodesiassa käytettyjen likikoordinaattien tarkkuuteen. Erot ovat usein kuitenkin niin pieniä, että muunnosparametrit ovat lähellä nolla tai yksi: Helmert-kaavassa x = x 0 + K cos θ u K sin θ v y = y 0 + K sin θ u + K cos θ v kiertokulma θ on niin pieni, että sin θ θ ja cos θ 1; jos vielä kirjoitetaan K = 1 + m, m mittakaavapoikkeama, on myös m pieni luku, ja saadaan eli matriisikaavana x = x 0 + (1 + m) u (1 + m) θ v x 0 + u + mu θ v, y = y 0 + (1 + m) θu + (1 + m) v y 0 + θu + v + mv, x y u = v x0 m + + y 0 θ θ u m v elegantti kaava jonka toinen ja kolmas termi oikealla puolella ovat pieniä, koska sisältävät vain pienet muunnosparametrit x 0, y 0, m ja θ. Siis myös koordinaattierot x u ja y v ovat pieniä, kuten yllä jo todettiin., 3.10 Korkeus geodesiassa Geopotentiaali Fysikaalinen geodesia on geodesian haara, joka tutkii Maan painovoimakenttää ja painovoimapotentiaalia. Geopotentiaali W voidaan pitää viidentenä koordinaattina kolmen paikkakoordinaatin X, Y, Z ja ajan jälkeen. Se kuvaa pisteiden energiatasoa suhteessa merenpintaan. Tämä vastaa populaarikäsitteeseen korkeus. Meillä on tapana ilmaistaa korkeus metrisena suureena, mikä on useimmiten sopiva päivittäisessä elämässä... mutta mitä oikein kiinnostaa meitä on korkeuteen liittyvä, potentiaalinen, energia. Painovoiman vaikutus kaikkeen päivittäiseen toimintaan on niin vahva, että korkeuden määritys eli geopotentiaalin tutkimus, määritys ja esitys muodostaa suuren osan käytännön geodesiasta ja maanmittaustoiminnasta. Vesi: korkeus eli potentiaali edustaa energiaa. Energia voidaan ottaa talteen tai varastoida (vesivoima). Kyseessä voi olla myös tuhoisaa energiaa (tulvat) johon on varauduttava. Ilma: Ilman paine- ja tiheystasot seuraavat aika tarkasti geopotentiaalin tasoja. Ilmiötä käytetään hyväksi barometrisessa korkeuden määrityksessä. Myös lentokone mittaa korkeuttaan käyttämällä ilmanpaine-anturia. Liikenne: Painovoima vaikuttaa liikenneväylien suunnitteluun. Kaltevuudet eivät saa olla liian jyrkkiä; parasta on mahdollisimman vähäinen potentiaalin eli energiatason vaihtelu koko väylää pitkin. Vesiväylien tapauksessa tämä toteutuu itsestään luonnollisella tavalla. Geopotentiaali liittyy kiinteästi painovoimaan. Geopotentiaalin saman arvon pinnat, tasopinnat eli ekvipotentiaalipinnat ovat mitä kansanomaisesti kutsutaan vaakatasoiksi. Vapaasti virtaava neste merivesi, järvivesi, ilma asettuu ekvipotentiaalipinnan mukaiseksi. Meressä hydrostaattinen paine on vakio painovoimakentän ekvipotentiaalipinnalla, samoin kuin ilmakehässä sekä ilman tiheys ja barometrinen paine ovat vakioita tasopinnoilla ainakin likimäärin: häiriötekijät ovat veden suolaisuus- ja veden tai ilman lämpötila-erot ja niiden aiheuttamat virtaukset. Paikallinen painovoima on 59

70 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita Topografinen pinta Geoidi P C Geopotentiaalin tasopinta Ortometrinen H H H dyn Luotiviiva W Normaali Dynaaminen W 0 Kuva Eri korkeustyypit kuvaavat geopotentiaalilukuja C eri tavalla metrisiksi korkeuksiksi (erot liioiteltu). 1. aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja (myös merenpintaa!) kohtaan 2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eri ekvipotentiaalipinnat ovat Metriset korkeudet Korkeuksia yritetään inhimillistää samanlaisella tavalla kuin karttaprojektioiden kohdalla. Eli keksitään tapa, millä pisteen korkeus merenpinnan yläpuolella voidaan ilmaistaa metrisena suurena, korkeutena H jostain vertauspinnasta, tavallisesti keskimerenpintaa. Valitettavasti, aivan kuten karttaprojektioiden tapauksessa, ei ole olemassa ratkaisu joka olisi kaikissa suhteissa tyydyttävä. Aina jotain vääristyy. Samalla tavalla kuin karttaprojektiot, on myös olemassa eri korkeustyypit, kuten ortometriset korkeudet H normaalikorkeudet H dynaamiset korkeudet H dyn. Kaikilla on erilaiset hyvät ja huonot ominaisuudet. Aikaisemmin, geometristen koordinaattien kohdalla (luku 3.2), tutustuimme vertausellipsoidiin sidottuihin koordinaatteihin, joista yksi oli korkeus ellipsoidista h. Tämä koordinaatti kuvaa pisteen sijainti pystysuunnassa eli tavallaan sen korkeus. Se on kuitenkin mitattu vertausellipsoidista, pinta joka ei ole päivittäisessä elämässä fysikaalisesti käytettävissä vertauspintana. Se ei myöskään kuvaa energiatasoa merenpintaan verrattuna, kuten H, H ja H dyn (ja C) tekevät. Jos tämä kaikki tuntuu tässä vaiheessa vaikealta ja teoreettiselta, kannattaa palata myöhemmin kurssissa (luku 4.1) tähän lukuun ja lukea se uudelleen Karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät kolmiulotteisessa maailmassa Vaikka todellinen maapallomme ja sen painovoimakenttä ovat kolmiulotteisia ilmiöitä, joita voidaan kuvata ja käsitellä oikein vain kolmiulotteisesti, käytetään kuitenkin hyvin laajasti kuvaustapoja jotka perustuvat kaksi-plus-yksi-ulotteiseen ajatteluun. Kuten karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät, jotka yhdessä kuvaavat maailmaa 2+1 koordinaattin (x, y, H) avulla. 60

71 3.12 Aikakoordinaatti Kuva Yhteydet kolmiulotteisten, ellipsoidin ja karttatason koordinaattien välillä. (X, Y, Z) (vertausellipsoidi) (ϕ, λ, h) (ϕ, λ) (x, y) h H (karttaprojektio) (korkeustyyppi) (3.5) Vaikka tässä on kyse kolmesta koordinaatista, ei voida puhua kolmiulotteisista koordinaateista, koska toisaalta x, y ja toisaalta H eivät ole samanarvoisia. Tavallisten ihmisten ja jopa maanmittarien keskellä elää käsiteellinen malli kenkälaatikkomaailmasta : suorakulmainen, sivut pohjois- ja itäsuuntaan ja korkeuskoordinaatti on yksinkertaisesti etäisyys kenkälaatikon pohjalta, keskimerenpinnalta. On helppoa tuomita tämä ajattelutapa. Muista kuitenkin, että pienellä alueella kenkälaatikkomalli on (voi olla) hyväksyttävä approksimaatio. Esim. kaupunkien sisällä käytetään plan-karttoja ja suorakulmaisia koordinaatteja yleensä ilman pahoja sivuvaikutuksia. Se, onko tämä approksimaatiotaso hyväksyttävä, edellyttää huolellinen analyysi. Jos (x, y, H)-esitystapa on hyväksyttävä, on se sijainnin ja korkeuden esitystapana yksinkertaisempia kuin todellinen maan geometria, sijainnin suorakulmaisine geosentrisine koordinaatteineen ja korkeuden geopotentiaalilukuineen. Kuitenkin yleisessä tapauksessa se on itse asiassa monimutkaisempi sijainnin ja korkeuden esitystapa. Karttaprojektioiden ja painovoimakentän monimutkaisuus tunkeutuu kaikkiin näin määritettyihin koordinaatteihin. Väärinkäsityksistä aiheutuvia virheitä on varsin helppoa tehdä. Siksi: Aina tarkassa tieteellisessä työssä geodesiassa pitää pitäytyä geosentrisiin, kolmiulotteisiin koordinaatteihin ja geopotentiaalilukuihin. Tasokoordinaatit (ts. karttaprojektiokoordinaatit) ja metriset korkeudet on aina katsottava johdannaissuureiksi, joiden perusteella ei saisi tehdä tarkkoja laskelmia. Ks. kuvio 3.20 jossa merkit kuvaavat käytetyt operaatiot: Vertausellipsoidi: koordinaattikonversio on matemaattinen, eksakti operaatio. Ellipsoidin valinta on mielivaltainen, nykyisin GRS80, tai (Suomessa) vanhempi Hayford eli kansainvälinen ellipsoidi Karttaprojektio: matemaattinen, eksakti operaatio. On tarjolla monta eri vaihtoehtoa. Korkeustyyppi: ortometrinen, normaali (tai niiden kahden variantti) tai dynaaminen. Korkeustyypin lisäksi operaatio tarvitsee geoidimallia, ks. osa 4.1. Kaavassa (3.5) vasemmalla on abstraktimmat suureet, ihmisille vaikeita ymmärtää; oikealla on konkreettisemmat suureet, lähempänä päivittäistä elämää Aikakoordinaatti Geodesiassa käytetään kolmiulotteisten paikkakoordinaattien lisäksi muitakin koordinaatteja. Niistä ensimmäinen on aika. Aika kuvaa Maassa tapahtuvia muutoksia, joiden tutkimus kuuluu geo- 61

72 3 Koordinaatteja, muunnoksia, datumeita dynamiikan alaan, josta enempää alaluvussa Nykygeodesian mittaustarkkuudella maapallo elää ja muuttuu jatkuvasti: Kiinteän Maan vuoksen seurauksena Maa jalkojemme alla liikkuu jaksollisesti, Suomessa jopa parin desimetrin verran, pari kertaa vuorokaudessa ylös ja alas. Emmehän sitä huomaa vielä kiinteämmän vertailukohdan puuttuessa. Laattatektoniikan seurauksena kaikki mannerlaatat liikkuvat tasaisesti. Liikkeen nopeus on tyypillisesti muutama senttimetri vuodessa ja on GNSS-teknologian avulla tarkasti seurattavissa. Maan pyörähdysliike on epäsäännöllinen. Avaruusgeodeettisilla havaintomenetelmillä voidaan seurata pyörähdysakselin suunnan vaihteluita sekä kiinteän Maan suhteen (napaliike) että tähtitaivaan suhteen (prekessio, nutaatio), ja pyörähdysnopeuden vaihteluita (LOD, Length of Day). Fennoskandiassa, Kanadassa ja muualla Maan pinta nousee hitaasti viime jääkauden jälkeen, ns. postglasiaalinen palautusliike. Löytyy muitakin, paikallisempiä liikkeitä, osin ihmistoiminnan aiheuttamia. 62

73 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Luku Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Korkeudet ilmaisevat pisteiden sijainnit pystysuunnassa Maan paikallisen painovoimavektorin (vertikaalin eli luotiviivan) suuntaan. Intuitiivisesti tämä perustuu Maan muodon naiiviin kenkälaatikkomalliin, jossa korkeus on kolmas koordinaatti, suora, metrinen etäisyys kenkälaatikon pohjasta, merenpinnasta. Kenkälaatikkomallia kutsutaan myös litteän Maan approksimaatioksi : jossain mantereen pinnan alla on vertauspinta, oletettu tasoksi, joka yhtyy keskimerenpintaan. Korkeus on etäisyys metreinä tästä tasopinnasta. Todellisuudessa Maa ei ole litteä ja vertauspinta on kaareva, jopa kumpuileva. Vertauspintaa kutsutaan geoidiksi. Se on Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, sellainen pinta, jolla kaikilla pisteillä on sama geopotentiaali, Maan painovoimakentän potentiaali. Painovoiman suunta, luotiviiva, on kaikkialla kohtisuorassa tätä pintaa vasten. Pisteen etäisyyttä tästä pinnasta, mitattuna luotiviivaa pitkin, kutsutaan sen ortometriseksi korkeudeksi. Näin ollen ortometrisella korkeudella on yksinkertainen geometrinen tulkinta ja se on tietysti metrinen suure. 4.2 Ortometrinen korkeus Ortometriset (kreik. oikein mitattu ) korkeudet H vastaavat parhaiten käsitteeseen korkeudet merenpinnan yläpuolella. Ne ovat periaatteessa vain metrisiä korkeuksia geoidin yläpuolella. Geoidi on se painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, joka keskimäärin on samalla tasolla kuin keskimerenpinta. Toisin sanoen, keskimerenpinta jatkettuna mannermassojen alle. Jos voitaisiin kaivata mantereiden alle tunneliverkosto (kuva 4.1) merenpinnan tasolla, vesi leviäisi verkostoon niin, että sen pinta olisi geoidin fysikaalinen realisaatio. Pisteen ortometrinen korkeus olisi sen etäisyys tästä nestepinnasta. Tämä suora fysikaalinen tulkinta on syy, miksi monet geofyysikot, ja monet maat Suomi niiden joukossa vuoteen 2007 mennessä ovat valinneet käytettäväksi ortometrista korkeusjärjestelmää. Sellaisen tunneliverkoston rakentaminen ei ole tietenkään käytännöllistä. Sisämaassa geoidia realisoidaan laskennallisesti, laskemalla läpi korkeusmittaus- eli vaaitusverkko alkaen valitusta rannikkopisteestä tai -pisteistöstä. Näin saadaan ortometrisia korkeuksia koko maahan, kaikkialle, mihin vaaitusverkko ulottuu. Suomessa oli vuoteen 2007 saakka käytössä virallisena korkeusjärjestelmänä N60-järjestelmä eli -datumi, jonka nollataso on Helsingin keskivedenpinta vuoden 1960 alussa. N60-korkeudet ovat 63

74 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Luotiviiva P Kuilu H Topografia Tunneli Merenpinta, geoidi Vertausellipsoidi Kuva 4.1. Ortometriset korkeudet ovat metrisiä etäisyyksiä geoidista, siitä vesipinnasta, joka muodostuisi, jos merivesi pääsisi vapaasti liikkumaan topografian alla mielikuvituksellisen tunneliverkoston kautta. Ortometrista korkeutta voitaisiin siinä tapauksessa suoraan mitata luotiviivaa pitkin kuvatunlaisen kuilun kautta. Korkeus ellipsoidista (esim. GPS:llä mitattu) h Ortometrinen korkeus Luotiviiva H Luotiviiva Luotiviiva O Vertausellipsoidi Massakeskipiste Topografia Geoidi, korkeus ellipsoidista N h = H + N Kuva 4.2. Keskeiset vertauspinnat ja korkeuskäsitteet. 64

75 Korkeuden määritys ja vaaitus Oct 20 13:27:28 Kuva 4.3. Suomen geoidimalli FIN2000 (data Geodeettinen laitos). Yksikkö m. hyvällä tarkkuudella ortometrisia. Vuonna 2007 otettiin käyttöön N2000-järjestelmää, nollatasona Amsterdamin virallinen N.A.P. (Normaal Amsterdams Peil) -merenpintataso. N2000-korkeudet ovat normaalikorkeuksia, joiden määritelmä eroaa hieman ortometrisista korkeuksista. Ero on käytännön kannalta ilman suurta merkitystä. 4.3 Korkeuden määritys ja vaaitus Eksoottiset korkeusmääritysmenetelmät Suoranaisin tapa mitata korkeuseroja on realisoida painovoimakentän ekvipotentiaalipinta nestepinnan avulla. Näin voidaan siirtää geopotentiaaliarvoja paikasta toiseen. 65

76 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Tanskassa ja Hollannissa on käytetty hydrostaattista vaaitusta, jossa pitkää, tislatulla vedellä täytettyä putkea käytetään geopotentiaalin ( korkeuden ) tason siirtämiseksi saaresta toiseen tai mantereen ja saaren välillä. Mitatut matkat voivat olla kymmeniä kilometrejä pitkiä. Käyttämällä vesiasteikkoja sisävesillä voidaan myös siirtää korkeuksia hydrostaattisesti. Samoin kuin myös putkitekniikassa on otettava huomioon päätepisteiden välinen ilmanpaineero sekä tuulen ja virtausten vaikutus. Menetelmä on kokeiltu mm. Hollannissa ja Suomessa. Myös barometria eli ilmapuntaria on perinteisesti käytetty korkeuserojen mittaamiseen. Huolellinen menettelytapa joka ottaa huomioon sään mukana tuomat luonnolliset ilmanpainevaihtelut antaa parhaimmillaan noin metrin tarkkuutta. Ks. Heiskanen ja Härmälä (1963, ss ). Merivirtausten geofysikaalinen mallinnus on kokeiltu mm. Ahvenanmerellä. Trigonometrinen jonovaaitus on tässä mainittava, ks. kuva 5.36 sivulla 115 (Takalo, 1995). Eräs hi-tech-menetelmä potentiaalierojen mittaamiseksi käyttää tarkkoja atomikelloja ja yleisen suhteellisuusteorian ennustamaa painovoiman aiheuttamaa kellojen hidastusilmiötä. Kirjoittamisen hetkellä on laboratorioteknologiana olemassa ns. optisia hilakelloja, optisella taajuudella toimivia atomikelloja, joilla olisi senttimetrin tarkkuusvaatimusta vastaava noin 1 : suhteellista tarkkuutta. Realistisempi vaihtoehto, jota ollaan jo toteuttamassa 1, on tarkkojen, korkeaa erotuskykyä omaavien geopotentiaalimallien rakentaminen, joiden avulla voidaan laskea pisteen tarkka geopotentiaali heti, kun satelliittipaikannus on pisteen tarkan geosentrisen sijainnin mitannut. Jo päättänyt satelliittipainovoimamissio GOCE ( ) on avain tähän Vaaitus Jo mainittu vaaitus on vakiintunut menetelmä keskimerenpintaan referoitujen korkeuksien määrittämiseksi. Vaaituksella mitataan kahden pisteen välinen korkeusero, kuva 4.4. Yhdellä mittauksella mitattava pisteväli on lyhyt; ketjuttamalla pistevälejä linja- eli jonovaaituksena voidaan määrittää korkeuseroja kaukana toisistaan olevien pisteiden välillä ja näin suorittaa suurten alueiden korkeuskartoituksia. Suomessa, kuten muuallakin, vaaitusverkko kattaa koko maan ja antaa mahdollisuuden määrittää pisteiden korkeuksia verkon vertausjärjestelmässä. Vaaitusverkossa on hierarkia: Geodeettisen laitoksen mittaama ja ylläpitämä tarkkavaaitusverkko kattaa koko maan, mutta on harva: verkon silmukat ovat pituuksiltaan satoja kilometrejä. Maanmittauslaitoksen alemman luokan vaaitukset tihentävät tätä verkkoa, tuoden näin viralliset korkeudet kaikkien käyttäjien ulottuville, ja monet paikalliset toimijat kunnat, rakentajat kytkevät omia vaaitusverkkojaan tähän järjestelmään. Topografisilla kartoilla esiintyvät korkeuskäyrät ovat myös virallisessa järjestelmässä, aiemmin N60, nyt N

77 4.4 Vaaituskoje Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys t Vaaituskoje e t e Kuva 4.4. Vaaituksen geometria Korkeusjärjestelmän luominen Geometrisen linjavaaituksen antamat korkeuserot H saa summata yhteen vain pienen alueen sisällä, jossa paikallinen painovoima on vakio. Suuremmilla alueilla korkeuserot H on ensin muunnettava geopotentiaalieroiksi C: C = g H, jossa g on paikallinen painovoima. Sen jälkeen pätee geopotentiaalieroille sulj. silm. C = 0, vaikka raa oille korkeuseroille sulj. silm. H 0! B Toisin sanoen, kun korkeuserojen summa H riippuu valitusta matkasta A:sta B:hen eikä siis ole yksiselitteinen on taas potentiaalierojen summa A B C riippumaton matkan valinnasta. Yksiselitteisenä geopotentiaali sopii paremmin alueen korkeusjärjestelmän perusteeksi. A 4.4 Vaaituskoje Vaaitus (ns. geometrinen vaaitus, kuva 4.4), perustuu vaakasuoraan tähtäykseen: mittauskaukoputken optinen akseli on vaakasuora. Tämän aikaansaamiseksi vaaituskojeessa on tasain. Sekä tasain että kaukoputki ovat kytkettyinä kojeen runkoon. 67

78 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Säätöruuvi Pystyakseli Putkitasain Mittauskaukoputki Jalkaruuvit Nostoruuvi Kolmijalka Kuva 4.5. Vaaituskoje. Perinteinen vaaituskoje (kuva 4.5) koostuu mittauskaukoputkesta, rasiatasaimesta ja putkitasaimesta, ja siihen kuuluu jalusta (kolmijalka) ja jalkaruuvit. Hyvin säädetyllä vaaituskojeella kaukoputken optinen akseli, tähtäysakseli siis: linja jonka okulaarin hiusristikko määrittää on samansuuntainen tasaimen määrittämän vaakatason eli horisontin kanssa. Jokaisella kojeasemalla vaaituskoje on uudelleen tasattava. Monessa vaaituskojeessa on erillinen nostoruuvi tarkkaa tasausta varten. Tarkka tasaus suoritetaan ennen jokaista eteen- ja taaksemittausta. Tähtäysakselin ja putkitasaimen horisontin tarkkaa samansuuntaisuutta saadaan aikaan säätöruuvin avulla kojeen tarkistuksen yhteydessä Vaaituskojeiden luokittelu Vaaituskojeet luokitellaan tarkkuuden, käyttötarkoituksen ja rakenteen mukaan, kasvavan tarkkuuden järjestyksessä: Kojetyyppi Alemman luokan koje Keskiluokan koje Korkeamman luokan koje Korkeimman luokan koje Vaaitustyyppi Rakennusvaaitus Insinöörivaaitus Yleisvaaitus Tarkkavaaitus 68

79 4.5 Mittauskaukoputki Tähtäysakseli T Kuvataso = hiusristikko Fokusointilinssi Objektiivi Okulaari Liike (1) Liike (2) Kuva 4.6. Mittauskaukoputki. Tutkittava objekti on oikealla, havaitsijan silmä vasemmalla. Vaaituskojeista Tikka (1991, sivut 73 80). 4.5 Mittauskaukoputki Mittauskaukoputken tehtävänä on 1. antaa tarkka kuva tähtäyskohteesta 2. muodostaa tähtäysakseli projisoimalla okulaarissa oleva hiusviivaristikko 2 kaukana olevalle vaaituslatalle. Molemmat tehtävät edellyttävät tarkkaa fokusointia. Ks. kuva 4.6. Fokusointi suoritetaan seuraavasti: 1. Kierretään okulaaria siten, että viivaristikon kuva näkyy terävänä. 2. Kierretään kojeen fokusointiosaa siten, että myös kohteen kuva näkyy terävänä. Tällöin objektiivin ja okulaarin 3 polttotasot ja hiusviivaristikon taso yhtyvät. Vaaituksessa valitaan tavallisesti yhtäpitkät etäisyydet etu- ja taakse- lattoihin. Jos se ei ole mahdollista (maaston vuoksi) on syytä joka kojeasemalla fokusoida huolellisesti. Ellei, voi syntyä parallaksi: kaukoputken optisen akselin näennäinen suunta riippuu havaitsijan silmän asennosta okulaariin nähden. Havaitseminen huonosti fokusoidun putken kautta myös väsyttää silmiä. On aina fokusoitava tarkasti! Silmälasit voi jättää pois jos ne eivät ole ns. sylinterilasit (astigmatismi), koska liki- tai kaukonäköisyyden voi korjata okulaarin fokusoinnin avulla. 2 Hiusviivaristikko on nykyisin tavallisesti lasilevyyn kaiverrettu kuvio. Vielä 1930-luvulla käytettiin hämähäkin pesäverkosta saatua lankaa! 3 Tämä pitää paikkansa vain, jos kohde on äärettömyydessä ja havaitsijan silmä on virheetön. Tarkemmin sanottuna okulaari + mittaajan mahdolliset silmälasit + hänen silmänsä oma linssi projisoivat terävän kuvan hiusristikosta ja kohteen kuvasta verkkokalvolle. 69

80 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Kuva 4.7. Parallaksi. Jos kuva ja hiusviivaristikko eivät ole samassa tasossa, aiheuttaa silmän liike okulaarin takana niiden keskinäisen siirtymisen. 4.6 Tasain Putkitasaimen rakenne on selostettu kuvassa 4.8. Kuvassa näkyvää säätöruuvia käytetään vain kojeen säätämisessä, harvoin kentällä. Sen tarkoitus on saada tasaimen akseli L ja kaukoputken tähtäysakseli T tarkasti samansuuntaisiksi. Tämän lisäksi tasaimen akseli tulee olla vaakasuorassa kun kupla on keskellä. a L Säätöruuvi α Ei tasattu Tasattu Kuva 4.8. Putkitasain. Vasemmalla rakenne, oikealla kupla prismajärjestelmän kautta katsottuna. Pässin munat. 70

81 4.7 Vaaituskojeen tarkistus ja säätö e 2 e t 2 t t2 e 2 ν 3ν e 1 ν ν t 1 B l l A l Kuva 4.9. Kenttätarkistuksen geometria (Kukkamäki-menetelmä). Tasaimen tehtävä on auttaa havaitsijaa saamaan vaaituskojeen tähtäysakseli vaakatasoon, siis kohtisuoraan paikallista painovoimaa (luotiviivaa) vasten. Etäisyys a on tasaimen jakoviivojen väli. Yleensä a 2 mm. Tasaimen herkkyyttä ilmaisee kulma α eli osa-arvo. Kojeessa on pieni rasiatasain likimääräistä tasausta varten, ja tarkka putkitasain, jolla tasataan koje mittaussuunnassa jokaisen mittausarvon lukemisen yhteydessä. Heijastusprismajärjestelmällä saadaan kuplan vastakkaisten päiden puolikkaiden kuvat näkymään vierekkäin, jolloin tasauksen tarkkuus paranee. 4.7 Vaaituskojeen tarkistus ja säätö Kenttätarkistus Tietyin välein on tarkistettava, että tähtäysakseli T on samansuuntainen tasaimen akselin eli horisontin L kanssa. Ympäristön vaikutuksesta jokainen koje elää ja muuttuu mm. lämpötilan ja ilmanpaineen vaihtelujen sekä käsittelyn ja kulumisen seurauksena. Tarkistus vaaitushavaintojen avulla (kenttätarkistus): mittausetäisyydeksi l valitaan m, riippuen sääolosuhteista: mittaukset tulisi suorittaa pilvisen sään aikana. Tarkistusmenetelmä perustuu siihen, että keskipisteestä A mitattuna mittaustulos eli korkeusero on oikea, kun taas pisteestä B mitattuna mittaustulos sisältää virheen 2ν, kun ν on tähtäysakselin ja tasaimen akselin välisen suuntaeron aiheuttama virhe latan kohdalla etäisyydellä l. Saadaan helposti: h A = (t 1 ν) (e 1 ν) = t 1 e 1, h B = (t 2 3ν) (e 2 ν) = t 2 e 2 2ν. Nämä korkeuserot ovat samat. Tästä ehdosta ratkaistaan ν: t 1 e 1 = t 2 e 2 2ν ν = 1 2 [(t 2 e 2 ) (t 1 e 1 )]. 71

82 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje L Säätöruuvi Tasain Nostoruuvi (a) Kojeessa on putkitasaimen säätöruuvi L Kaukoputki T Säätöruuvi Nostoruuvi Runko (b) Kojeessa on kaukoputken säätöruuvi L T Hiusristikko (c) Kojeessa on hiusristikon säätö Kuva Vaaituskojeen horisontin säätö. Kuvassa näkyy, että e 2 = e 2 ν, t 2 = t 2 3ν, lukemat jotka ovat nyt laskettavissa. Se mahdollistaa täytäysakselin ja tasaimen horisontin välisen erisuuntaisuuden korjaamisen kentällä siihen tarkoitetun säätöruuvin avulla Vaaituskojeen säätö Kun kenttätarkistuksen tuloksena tiedetään, että lattalukema on ν:n verran pielessä, menetellään näin kojeen säätämiseksi oikein: 1. Kojeessa on putkitasaimen säätöruuvi, joka kallistaa tasaimen kaukoputken suhteen (kuva 72

83 4.8 Itsetasaava koje 4.10a edellisellä sivulla). Kaukoputken ja putkitasaimen yhdistelmä on kiinnitetty runkoon nostoruuvin välityksellä. a) Tasataan koje ensin karkeasti jalkaruuvien, sitten tarkasti nostoruuvin avulla, koko ajan katsellessa putkitasainta. b) Otetaan lattalukema e. c) Siirrytään nostoruuvin avulla lattalukemaan e e ν, jossa ν on saatu kenttätarkistuksesta. Huom! Jalkaruuvien käyttöä tulee välttää, koska silloin koje voi kallistua myös poikittaissuunnassa. Jalkaruuvithan eivät ole linjassa mittauskaukoputken kollimaatioakselin kanssa. d) Nyt putkitasaimen kupla ei ole enää keskellä. Käytä tasaimen säätöruuvi kuplan keskelle saamiseksi. Sen jälkeen L T. 2. Kojeessa on mittauskaukoputken säätöruuvi, eli mittauskaukoputki kallistuu tasaimen suhteen (kuva 4.10b viereisellä sivulla). Kaukoputken ja putkitasaimen yhdistelmä on taas kiinnitetty runkoon nostoruuvin välityksellä. Samanarvoinen, suosittu tekninen ratkaisu on säätöruuvi, joka siirtää hiusviivaristikkolasia pystysuunnassa kuvapinnan sisällä (kuva 4.10c edellisellä sivulla). a) Tasataan koje. b) Otetaan lattalukema e. c) Siirrytään kaukoputken (tai hiusviivaristikkolasin) säätöruuvin avulla lattalukemaan e e ν. d) Putkitasain on edelleen keskellä! 4.8 Itsetasaava koje Itsetasaavat kojeet eli automaattivaaituskojeet käyttävät painovoimaa hyväksi vaakasuuntaisen tähtäyksen saamiseksi. Vanhanaikaiset mallit käyttivät painovoimaa koko mittauskaukoputken tasaamiseksi heiluriperiaatteen mukaan (kuva 4.11). On selvä, että sellainen koje on hankala käyttää kenttäolosuhteissa tuulen ja havaitsijan läheisyyden aiheuttamien häiriöiden vuoksi. Nykyisin käytetään heilurina vain valonsädettä ohjaavaa prismaa tai peiliä. Se ripustetaan kaukoputken sisälle: kaukoputkeen rakennetaan heilurikompensaattori. Toimiakseen koje on oltava jo likimäärin tasattu rasiatasaimen avulla. Heilurikompensaattorin periaate näkyy kuvasta Kompensaattorin toiminta selitetään käsiteellisesti kuvassa 4.13, jossa säteen polku on taitettu auki. Kuva näyttää tilanteen mittauskaukoputkeen kiinnitetyssä koordinaatistossa. Kaukoputken pieni kallistus pois vaakatasosta aiheuttaa sisään tulevalle valosäteelle kallistuksen α. Jotta kohteen kuva kuitenkin jäisi samaan paikkaan kaukoputken kuvatasossa, taittaa kompensaattori valosäteen kulman 2α verran, olettaen että objektiivin ja kompensaattorin välinen 73

84 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Paino Kuva Vanhan itsetasaavan vaaituskojeen periaate. Täällä tavoin rakennettu koje ei ole kovin käytännöllinen. g etäisyys s on sama kuin kompensaattorin ja kuvatason välinen etäisyys, toisin sanoen, kompensaattori on juuri niiden keskellä. Vapaasti ripustettu peili kääntyy kaukoputken suhteen määrällä α ja valon heijastussuunta muuttuu määrällä 2α, juuri kuten oli tarkoitus. Ks. Kahmen ja Faig (1988, ss ). Kompensaattorikojeiden vahvuus on niiden käyttömukavuus. Kuitenkin alussa esiintyi teknisiä ongelmia, kuten peilin ripustuksen magneettisuus (Kukkamäki ja Lehmuskoski, 1984). Nämä ongelmat lienevät ratkaistu. 4.9 Digitaalivaaituskoje Nykyisin käytetään yleisesti digitaalivaaituskojeita koska niiden tuoma mittauksen automatisointi säästää kustannuksia. Mittaukset tallennetaan suoraan kojeen muistiin ja tarvittavat tarkistukset tehdaan heti. Prisma Optinen akseli Hiusristikko Kompensaattori Kuva Nykyaikainen itsetasaava vaaituskoje. Vaaka- taso g

85 4.9 Digitaalivaaituskoje Kuvataso 2α Kompensaattorin taso Objektiivi α s s Kuva Kompensaattorin toimintaperiaate. Digitaalivaaituskojeen kanssa käytetyn latan viivakoodi on periaatteessa samanlainen kuin kauppatavaroiden viivakoodi. Sen ansiosta voidaan koneellisesti lukea korkeusarvoa vaaituskojeen CCD-ilmaisimen nykyisin kauppahyllytavaraa ja prosessorijärjestelmän avulla. Sivutuloksena saadaan latan karkea etäisyys ja varoitusmerkki jos eteen ja taakse -etäisyydet eroavat toisistaan liikaa. Toisin kuin perinteinen vaaituslatta jolla mittaus aina kohdistuu yhteen tai korkeintaan kahteen viivan reunaan, käytetään digitaalilatasta aina kokonaista aluetta, kooltaan 30 cm Zeiss (Trimble) DiNi12 -kojeen tapauksessa. Tästä on sekä etuja että haittoja. Etu: Mittauksessa käytetään jonkinlaista usean lattaviivan reunan keskiarvoa. Siksi viivojen valmistustarkkuus ja latan kalibrointitarkkuus on vähemmän kriittinen. Latat kestävät kulumista käyttökelpoisina kauemmin. Haitat: Kuva Perinteinen vaaituslatta on mahdollista lukea jos se on oksien peitossa. Viivakoodilatta on häiriöalttiimpi. 75

86 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje cm cm 5 cm 5 cm Kuva Latta-asteikon jaotusvaihtoehtoja: E-jaotus, shakkilautajaotus, tarkkuuslatta, digijaotus (viivakoodi). Oikealla vaaitusmikrometri. Koko käytettävä lattaväli on oltava näkyvissä. Metsäisillä alueilla tämä voi aiheuttaa ongelmia. Kalibrointi on aina tehtävä järjestelmäkalibrointina: koje ja latat kalibroidaan mustana laatikkona, yhdessä. Toisaalta lattaviivakalibrointia ja järjestelmäkalibrointia yhdistämällä voidaan rekonstruoida miten koje painottaa käyttämiensä viivat, ja näin saada musta laatikko raolleen. Digitaalinen vaaitusmenetelmä on laajassa käytössä jopa tarkkavaaituksessa ja teknologia on ollut myös tutkimuksen aiheena (Takalo ym., 2001; Takalo ja Rouhiainen, 2004) Vaaituslatta Vaaituslatta on metrinen asteikko, jolla korkeuserot kahden pisteen välillä mitataan vaaituskojeen avulla. Asteikon jaotuksia löytyy monta vaihtoehtoa, kuva 4.15: E-jaotus. Kaiken yksinkertaisinta. E-jaotuksen heikkous on, että kirkas valkoinen pikkuneliö näyttää hieman suuremmalta kuin tumma punainen pikkuneliö Helmholtzin 4 kirkkausharha. Kun interpoloidaan millimetrit visuaalisesti, syntyy helposti pientä systematiikkaa. Šhakkilautajaotus. Tässä yllä mainittu heikkous on korjattu. Viivajaotus. Käytetään tarkkavaaituslatoissa. Viivojen jakoväli on 10 tai 5 mm. Tarkkavaaituskojeessa on optinen mikrometri, jolla saavutetaan suurempi tarkkuus kuin mikä silmämääräisesti jakoviivoja interpoloimalla olisi mahdollista. Mikrometri sisältää kierrettävän lasilevyn mittauskaukoputken edessä, jonka avulla saadaan huisristikon vaakaviiva latan erään jakoviivan päälle. Jakoviivan lukuarvo antaa karkean lukeman, mikrometrilevyn kiertoasteikko täydentää sen tarkaksi lukemaksi. Digitaalisten vaaituskojeiden kanssa käytettäväksi: viivakoodijaotus. 4 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz ( ) oli saksalainen lääkäri ja fyysikko ja näön tutkija. 76

87 4.10 Vaaituslatta Lattatyyppi Pituus (m) Muu Taulukko 4.1. Vaaituslattatyyppejä. Yksinkertainen 3-5 Kokoontaitettava tai -työnnettävä, puusta tai alumiinista, 2-4-osainen, E-jaotus Runkomittauslatta 3 Jäykkä, puusta tehty, šakkilautajaotus, kääntölatta a, rasiatasain Tarkkavaaituslatta 3 Puu- tai alumiinirunko ja invarnauha jossa kaksoisjaotus Viivakoodilatta 3 Alumiini, invarnauha. Käytetään digitaalivaaituskojeenkanssa Teollisuuslatta Kaksiasteikkoinen erittäin tarkka viivalatta Itselaskeva Ks. teksti a Latta jolla on jaotus molemmalla puolella, hieman siirrettynä toistensa nähden lukuvirheiden satunnaistamiseksi. Latat on usein valmistettu puusta, paremmat alumiinista. Tarkkavaaituksessa käytetään invarlattaa jossa jaotusviivat on maalattu invarnauhaan, joka on jousen 5 avulla kiinnitetty puu- tai alumiiniseoskehikkoon. Tarkkavaaituslatassa käytetään puolen cm:n jaotusta lattayksikkö (l.y.) on 5 mm. Latassa on kaksi jaotusta hieman siirrettynä toistensa nähden, lukukontrollia varten ja lukuvirheiden satunnaistamiseksi. Hienompaan vaaituslattaan on aina kiinnitetty rasiatasain. Latta on oltava tarkasti pystysuunnassa kun sitä luetaan! Latat luokitellaan käyttötarkoituksen mukaan, ks. taulukko 4.1. Itselaskeva latta eli pintavaaituslatta: jaotus kasvaa ylhäältä alas alapäässä aseteltava jalka, jota voidaan vetää ulos tunnetulla pisteellä, jotta saadaan oikea metrin osa-arvo näkyviin. Sen jälkeen lähdetään maastoon kartoittamaan pisteiden korkeuksia. Ks. Tikka (1991, s. 81). Tarkkuutta vaativassa työssä käytettävät latat tulisi kalibroida säännöllisesti, ainakin ennen ja jälkeen kenttäkautta. Digitaaliset vaaituskojeet ja niiden käyttämät viivakoodilatat tulisi kalibroida järjestelmänä. Sopiviksi latanalustoiksi kelpaavat kiintopisteen lisäksi väliaikaiset maahan nuijatut puukepit ym. Vakiintuneita latanalustoja on piiretty kuvassa Kiilaa käytetään kun maaperä on pehmeä, kun taas raidekenkää käytetaan rautatievaaituksen yhteydessä. Ensimmäisen ja toisen tarkkavaaituksen aikana monet vaaituslinjat kulkivat rautatietä pitkin, sittemmin on vaaittu enevässä määrin moottoriteitä pitkin. Vaaituslatoista Tikka (1991, sivut 80 82). 5 Jousen voima tunnetaan 200 N ja sen vaikutus invarnauhan pituuteen voidaan laskea. Invarin lämpölaajenemiskerroin on lähellä nollaa, ja metalli toisin kuin puu ei ole herkkä kosteudelle. 77

88 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje (Nuija) Suojakappale Latta Kahva Kuva Vaaituksen eri latanalustat: kilpikonna, kiila, raidekenkä Vaaitusmenetelmät Linjavaaitus Linja- eli jonovaaitusmenetelmää käytetään runkomittauksessa. Sen tarkoitus on tuoda virallinen korkeusjärjestelmä valtakunnan kaikkien käyttäjien lähelle mm. kartoitusmittausten vertaustasoksi. Tarkkavaaitus: valtakunnallinen korkeusrunko. Korkeudet on laskettu käyttäjäkuntaa varten valtakunnallisessa korkeusjärjestelmässä. Suomen viimeisen (kolmannen) tarkkavaaituksen korkeudet laskettiin N60-järjestelmään, nykyisin valtakunnallinen korkeusjärjestelmä on N2000. Kaikki vaaitusverkon laskennat suoritetaan kuitenkin ensin geopotentiaaliluvuissa, joista lasketaan joko ortometrisia (N60) tai normaalikorkeuksia (N2000). Perusvaaitus: käyttöpisteiden tihennys. Linjavaaitus tapahtuu peräkkäisten kojeasemien mittauksia (kuva 4.17) summaamalla: = (t 1 e 1 ) + (t 2 e 2 ) +... (t n e n ) = (t i e i ). Linja kulkee tunnetulta pisteeltä tunnettulle pisteelle. Joskus tämä on mahdotonta, silloin puhutaan piikistä. Tässä tapauksessa mitataan huolellisesti edestakaisin: kontrolli. t 1 e 1 t2 e2 t n e n Kuva Linjavaaitus. 78

89 4.11 Vaaitusmenetelmät e e e e e e e e Koje t t e e Kiintopiste Kuva Pintavaaitus. Yksi t-havainto, monta e-havaintoa. Hyvin suunniteltu vaaitusverkko sisällyttää kaikki mittaukset ja pisteet sulkeutuviin silmukoihin: kontrolli. Sää- ja laitevirheiden minimoimiseksi valitaan eteen ja taakse -tähtäysvälit mahdollisimman samanpituisiksi: l t = le. Tähtäysvälit eivät saa myöskään olla liian pitkiä: esim. tark-. kavaaituksessa 50 m, kuitenkin riippuen sääolosuhteista. Pilvisellä säällä voi käyttää pitempiä tähtäysvälejä; aurinkoisen sään vahvan värähtelyn aikana tähtäysvälit on lyhennettävä (Kääriäinen, 1966). Jos vaaituslinja kulkee rauta- tai moottoritietä pitkin, pitää turvallisuusjärjestelyt olla kunnossa Pintavaaitus Pintavaaitus on selostettu kuvassa Tällä menetelmällä kartoitetaan kokonaisen alueen korkeustilannetta käyttämällä yhtä tunnettua lähtöpistettä. Mitattavien pisteiden joukossa on oltava myös vähintään toinenkin tunnettu piste: kontrolli. Lähtöpisteessä menetellään seuraavasti: Vedetään latan jalka ulos, kunnes vaaituskojeessa näkyy oikea metrin desimaaliosa: jos pisteen korkeudeksi tiedetään 12,75 m, vedetään jalka ulos kunnes havaitsija näkee <jotain>,750 kiikarissaan. Jalka ruuvataan kiinni ja latta siirretään ensimmäiselle havaintopisteelle. Havaitsijan tulee muistaa kokonaiset metrit, murto-osat näkyvät suoraan. Pintavaaituksen tuloksia tarvitaan ja käytetään,75,38 12,75 Tunnettu, t 12,38 Uusi piste, e Kuva Itselaskeva latta. Miten lattajalka asetetaan oikeaan pituuteen. 79

90 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Kiintopiste Linja, esim. tien linjaus Poikkileikkaus Poikkileikkaus Kuva Profiili ja poikkileikkauksia. rakennustyömaan korkeustilanteen kartoituksessa ennen perustusten rakentamisen aloittamista numeerisia korkeusmalleja (DTM, Digital Terrain Model) luotaessa paikallisesti ja korkealla erotuskyvyllä siirrettävien maamassojen laskemiseen. Kunnon kontrolli on tärkeä: lähtöpisteen lisäksi olisi mittauksessa otettava mukaan muitakin korkeuksiltaan tunnettuja pisteitä. Väärä lähtökorkeus siirtyisi koko alueelle, esimerkiksi viemäröinnin kannalta kohtalokas ja kallis virhe Tekninen vaaitus Asennusmittaus teollisuudessa ja rakennustyömailla Tämä kuuluu insinöörigeodesian alaan. Ääritapaus: CERNin hiukkastörmäytin Genevessä, ympärysmitta 27 km, tarkkuus millimetrien luokkaa (Schrock, July 2, 2014) paperikoneet, telakat tierakentaminen, sillat, tunnelit, rautatiet ja niin edelleen Muodonmuutosten eli deformaatioiden mittaus Tähän tarkoitukseen vaaitus on yksi monesta menetelmästä: yleensä deformaatiot ovat kolmiulotteisia. Ks. alaluku Ääritapaus: postglasiaalinen maannousu kaasun, öljyn tai juomaveden pumppaamisen aiheuttamat muodonmuutokset, antropogeeni maan vajoaminen. Venetsia 80

91 4.11 Vaaitusmenetelmät Valotaso Laser (roikkuu vapaasti) Viiskulma- prisma Moottorg Kuva Lasertason toimintaperiaate. patojen, vesialtaiden deformaatiot vanhoja rakennuksia, Pisan torni ja niin edelleen Proilien ja poikkileikkausten vaaitus Profiileja ja poikkileikauksia mitataan rakennustöiden, erityisesti tie- rautatie- tai kanavarakennustöiden yhteydessä. Proili on maanpinnan pitkittäisleikkaus tiettyä reittiä, yleensä suunniteltua tietä, rautatietä tai vesiväylää 6 pitkin. Työ alkaa merkitsemällä linja maastoon. Merkit laitetaan 25, 50 tai 100 metrin välein, sekä taitekohtiin jne. Merkit numeroidaan; numerot laitetaan sivulle työmaasta. Korkeudet mitataan rakennusvaaituskojeella. Sidosmittauksia korkeusrungon kiintopisteisiin tehdään vähintään kaksi, alku- ja päätepisteen kohdalla. Jos kahden kiintopisteen käyttö ei ole mahdollista, on tarkistuksen vuoksi suljettava silmukka eli mitattava edestakaisin. Sulkuvirheet jaetaan vaaittujen matkojen suhteessa. 6 Tässä tapauksessa käytetään rinnakkaislinjaa. 81

92 4 Korkeuden mittaus ja vaaituskoje Poikkileikkaus on maanpinnan poikittaisleikkaus, kohtisuorassa profiililinjaa vasten. Taitekohdissa jaetaan kulma tasan. Poikkileikkaukset ovat tyyppillisesti m pitkiä. Poikkileikkausten tarkoitus on antaa tukea suunnittelutyölle ja mahdollistaa maansiirtovolyymien laskenta. Poikkileikkausten korkeusmittaus suoritetaan pintavaaituksen tavoin. Pisteiden tiheys valitaan maaston ja käyttötarkoituksen mukaan Lasertaso Nykyisin käytetään pintavaaitukseen usein lasertasoa, kuva Lasertasot ovat kompensaattoristabiloituja laitteita joissa laservaloa heitetään pyörivän ns. pentaprisman kautta ympäristöön vaakatasoa muodostamaan. Kojeet ovat käteviä rakennustyömailla, joilla ne realisoivat vaakatasoa, jota käyttäjä voi saada näkyviin kepin avulla. Hiekan levittäminen, lattian asennus tai seinän muuraaminen suoraksi helpottuu. Sopivalla digitaali-ilmaisimella varustettu latta antaa suoraan sen alla olevan pisteen korkeus. 82

93 Teodoliitti ja kulmamittaus Luku 5 Teodoliitin keksi luultavasti englantilainen Leonard Digges. Keksintöä julkaisi hänen poikansa Thomas maanmittausoppikirjassaan Pantometria vuonna Nimen alkuperä on epäselvä. Ensimmäisillä teodoliiteilla ei vielä ollut kiikaria, jonka mahdollisesti keksi oikeammin, yritti patentoida vasta vuonna 1608 Hans Lippershey Alankomaissa. Teodoliiti mittaa vaaka- ja pystykulmia paikallisen horisontin (vaakatason) ja luotiviivan suhteen. 5.1 Vaaka- ja pystykulmat Teodoliittimittaukset tehdään aina Maan painovoimakentässä. Teodoliitin pystyakseli tasataan paikallisen luotiviivan mukaan. Suunnat ja suuntaerot voidaan tässä luonnollisessa kojekoordinaatistossa ilmaista vaaka- ja pystykulmina. Mikroskooppi Kaukoputki Pystykehä Alhidaditasain (Epästandardi tasain) Indeksitasain Mikroskooppi Vaakakehä Kuva 5.1. Vanhanaikainen teodoliitti. Huomaa ulkoiset vaaka- ja pystykehät ja lukemamikroskoopit. Pohjakuva Wikimedia Commons. 83

94 5 Teodoliitti ja kulmamittaus z x α vaakakulma ζ pystykulma ζ B + A (projektio) O.. K ζ A α A Vaakataso Luotiviiva + B (projektio) B y Kuva 5.2. Vaaka- ja pystykulmat. Olkoon (kuva 5.2) pisteiden A ja B välillä suuntaero. Pisteet projisoidaan paikalliseen vaakatasoon (kohtisuorassa luotiviivaa vasten), tuloksena pisteet A, B. A :n ja B :n välinen suuntaero, kulma α, on pisteiden A ja B välinen vaakakulma. Kulmat ζ A, ζ B ovat pisteiden A ja B pystykulmat eli zeniittikulmat. Vaakakulma: säteiden KA ja KB projektioiden KA ja KB muodostama kulma (α) vaakatasossa. Vaakakulma on positiivinen myötäpäivään. Zeniittikulma: luotiviivan ja säteen KA (ζ A ) tai KB (ζ B ) muodostama kulma. Zeniittikulma on positiivinen zeniitistä alaspäin. Luotiviiva, luotinarun suunta, on Maan paikallisen painovoimavektorin suunta. Luotiviiva osoittaa Maan massakeskipisteeseen, mutta vain likimäärin 1. Näin määriteltynä vaaka-asentoisen kaukoputken tähtäysakseli muodostaa (x y)-tason suuntaisen tason ja luotiiva on kohtisuorassa x y-tasoa vastaan. 5.2 Teodoliitin akselit Teodoliitilla on kolme akselia (kuva 5.3), pystyakseli, joka on oltava paikallisen luotiviivan (painovoiman) suuntainen vaaka-akseli, jonka ympäri kaukoputki kääntyy tähtäysakseli eli kollimaatioakseli (sv. siktaxel), mittauskaukoputken akseli, joka kulkee okulaarin hiusviivaristikon läpi. Teoreettinen tavoite: 1 Likimäärin, koska on olemassa paikallisia luotiviivan poikkeamia, Suomessa suuruusluokkaa 5. Suuremman poikkeaman aiheuttaa kuitenkin Maan litistyneisyys, suurin arvo jopa 11 leveysasteella ±45. Luotiviiva on lievästi kaareva. 84

95 5.3 Teodoliitin rakenteelliset osat V Tähtäysakseli eli Okulaari kollimaatioakseli T.. Vaakakehä Vaakaakseli Pystykehä Pystyakseli P O Objektiivi Pystykulma 0,000 gon Vaakakulma Kuva 5.3. Teodoliitin akselit ja kehät. V, P ja T leikkaavat samassa pisteessä P V ; ellei, virhe kutsutaan tappikaltevuudeksi (sv. horisontalaxelns lutning) T V (Muttei T P! Miksei?). Virhettä kutsutaan kollimaatiovirheeksi V ja P kulkevat vaaka- ja pystykehän keskipisteiden kautta. Ellei, puhutaan epäkeskisyydestä. 5.3 Teodoliitin rakenteelliset osat Ks. kuva Mittauskaukoputki Teodoliitin mittauskaukoputki on periaatteessa samanlainen kuin vaaituskojeen (kuva 4.6), monimutkainen linsseistä, prismoista ja peileistä koostuva yhdistelmä. Putki kääntyy vaaka-akselin ympäri ja sen liikettä seuraa joko pystykehä itse, tai pystykehän indeksi ja lukemamikroskooppi, laitetyypistä riippuen. 85

96 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Pystykehän tasain Pystykehän hienoliikuntaruuvi Pystykehän mikroskooppi Pystykehä Lukemaoptiikka (mikrosk.) Vaaka-akseli (V) Alhidadi- tasain Pystykierron lukitus Pakkotys keskis- Vaakakehän mikroskooppi Vaakakehän hienoliikuntaruuvi Alhidadin, vaakakehän lukitus Rasiatasain Jalustan pöytälevy Alhidadi Pysty akseli (P) Luoti Vaakakehä Jalkaruuvit Runko Teodoliitin jalkalevy tribrach Kuva 5.4. Teodoliitin rakenne Alhidadi Alhidadi (arab. al-idhâdah, viivoitin) on teodoliitin keskeinen osa, joka kääntyy pystyakselin ympäri vieden kaukoputken mukanaan. Se sisältää seuraavat osat: Putkitasain (alhidaditasain) teodoliitin tasaamiseksi. Vaaka- ja pystykehän lukemalaitteet: usein kuvat johdetaan prismojen avulla mittauskaukoputken okulaarin viereiseen mikroskooppiokulaariin havaitsijan työn helpottamiseksi kohdistusmikroskoopissa lukema otetaan kahdesta vastakkaisesta paikasta vaaka- ja pystykehässä asteikkomikroskooppi, optinen mikrometri, ks. Tikka (1991, ss ). 86

97 5.3 Teodoliitin rakenteelliset osat Kuva 5.5. Pakkokeskistyslaite eli -alusta Runko Teodoliitin runko on kiinteä osa, johon vaakakehä on kiinnitetty ja johon alhidadi on laakeroitunut. Runko sisältää pakkokeskistys- eli jalkaruuvilaitteen (engl. tribrach) rungon yläosa istuu pakkokeskisesti tähän laitteeseen: sitä voidaan irroittaa ja palauttaa tarkasti samaan paikkaan pakkokeskistyslaite kiinnitetään jalustan pöytään ison ruuvin avulla; jalustan pöydän keskellä on iso pyöreä reikä ja mekanismi joka luo siirtymävaraa vaakasuuntaisesti keskistystä varten jalkaruuvit ovat teodoliitin tasausta varten: teodoliitin pystyakseli orientoidaan paikallisen luotiviivan suuntaiseksi rasiatasainta käytetään apuna likimääräistä tasausta varten, kun alhidaditasain auttaa tarkassa tasauksessa luotinarun kiinnitys tai optinen luoti. 87

98 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Kuva 5.6. Eri maastomerkkityyppejä. 5.4 Teodoliitin käsittely maastossa Yleistä Kalliina hienomekaanis-optisena laitteena teodoliittia tulee aina käsitellä sopivalla kunnioituksella: 1. kuljetus, etenkin pitemmällä matkalla, tapahtuu aina kantokotelossa 2. aurinkovarjo on kojetta, ei havaitsijaa varten. Se suojaa myös sateelta 3. kojetta ei koskaan osoiteta suoraan Aurinkoon päin: hiusviivaristikkolasi poksahtaisi ja laite olisi korjattava ja uudelleen kalibroitava. Tulee lisävahinkoa jos kojeessa on etäisyysmittari 4. huolellinen kirjanpito on tärkeää: kirjoitetaan ylös kaikkea mitä voi olla aiheellinen, esimerkiksi sääolot (ns. metatieto) Maastomerkit ja pistekortit Toisin kuin vaaituskoje, on teodoliitti laitettava tarkasti mitattavan pisteen yläpuolelle, jotta teodoliittimittaus kohdistuisi pisteeseen. Kuvassa 5.7 piste K on maastoon merkitty, keskusmerkillä varustettu mittauspiste. Kuva 5.6 näyttää muutaman esimerkin käytössä olevasta maastomerkkityypistä. Maastomerkin tyypin valinta on tehtävä näin, että piste on selkeästi ja yksiselitteisesti määritetty. Jos on tarkoitus tehdä sekä tarkka paikanmääritys että korkeuden mittaus, on sopivinta käyttää teräksistä pallopääpulttia jossa on pieni keskireikä merkki kestää sään ja ympäristön vaikutusta routaa! Kalliomerkki on paras. Rautaista merkkiä on syytä mönjätä (ruostesuojamaali, lyijymönjää ei enää saa myrkyllisyytensä vuoksi) merkki on helppoa löytää (pistekortti!) pistenumero on merkitty pisteen päälle tai maalattu (ja hakattu!) sen viereen. Aina kun luodaan maastomerkki myöhempää käyttöä varten, on laadittava pisteestä pistekortti, jonka avulla merkki löytyy kymmenienkin vuosien jälkeen. Pistekortti voi sisältää seuraavia tietoja: merkin etäisyys lähimaisemassa oleviin, vähintään kolmeen pysyviksi uskottuihin kohteisiin puut, rakennusten nurkat, jne. mitataan nauhalla. Pistekorttiin piirretään merkin ja vertauskohtien keskinainen sijainti 88

99 5.4 Teodoliitin käsittely maastossa Pystyakseli P V P.. T V Tähtäysakseli T O Luotiviiva Vaaka-akseli V K g Kuva 5.7. Teodoliitin akselit. K on maastoon merkitty piste. lähestymiskartta jossa auton kilometrilukemat, tienviitat, maiseman kuvaus ja muita hyödyllisiä yksityiskohtia tarkat koordinaatit käsi-gnss:ää varten. Jotta kulmat pisteeltä tulevat mitatuiksi oikein, suoritetaan kaksi toimenpidettä: keskistys ja tasaus. Keskistys: K:n ja O:n ovat oltava samalla pystysuoralla. Tasaus: Kun teodoliitti pyöritetään P:n ympäri, V muodostaa tason. Tämän tason on oltava kohtisuorassa paikallista vertikaalia vasten, ts. P on oltava paikallisen painovoimavektorin suuntainen. Keskistys ja tasaus suoritetaan useimmiten vuorottain, kunnes haluttu lopputulos on saavutettu Karkea keskistys jalusta pystytetään oikeaan paikkaan, silmämääräisesti ja jalkojen pituuksia muuttelemalla katsotaan myös silmämääräisesti, että jalustan pöytälevy on vaakasuorassa Tarkka tasaus Teodoliitin tarkka tasaus alhidaditasaimen avulla suoritetaan seuraavissa vaiheissa: 1. karkea tasaus rasiatasaimen avulla 2. tasataan ensin jalkaruuvien 1 2 suuntaan. Otetaan tarvittaessa huomioon tasaimen nollavirhe vaiheesta 4 3. käännetään alhidadi 100 gon, ja tasataan myös tähän suuntaan 4. käännetään alhidadi 200 gon. Jos alhidaditasain on säädetty oikein, pitäisi kupla taas olla keskellä. Ellei, tasataan kupla siirtymäkohdan puoleenväliin, siis tasapainoasemaan, jalkaruuveilla. Tasaimen nollavirhe on puolet kuplan siirtymästä vaiheiden 3 ja 4 välillä 89

100 5 Teodoliitti ja kulmamittaus 3 3 A 3 B B 2 A 1 2 Kuva 5.8. Teodoliitin tarkka tasaus alhidaditasaimen avulla. 5. toistetaan 2 4 kunnes tasaus ei enää muutu. Varmista, että kupla liikkuu vapaasti eikä sen pää ota tasaimen reunaan kiinni. Jos kohdassa 4 löytynyt poikkeama on kovin suuri, on alhidaditasain säädön tarpeessa Tarkka keskistys Menetelmä riippuu luodin tyypistä. Nykyisin yleisin luotityyppi on optinen luoti. Mitään luoti ei ole äärettömän tarkka. Myös kojeen korkeuden mittaaminen merkin yläpuolella on virhealtis toimitus. Näistä syistä käytetään erikoismittauksissa, kun tarkkuusvaatimus on alle millimetri, pysyvästi peruskalliolle tai syvälle alustalle (routa!) rakennettuja pilareita kolmijalkojen sijasta. 1. Riippuluoti Perinteinen kiinnitys siten, ettei keskistys tasattaessa muutu liikutetaan teodoliitin pakkokeskistyslaite jalustan pöytälevyä pitkin siten, että luodin kärki osoittaa keskusmerkkiin K; ruuvataan teodoliitin kiinnitysruuvi kiinni. Pöytälevyn keskusreikä antaa liikumavaraa tehdään tasaus teodoliitin jalkaruuveilla. Haittana: tuuliherkkä. 2. Sauvaluoti Teleskooppimainen putki, jonka yläpää kiinnitetään pakkokeskistyslaitteeseen (jalustan pöydässä olevan reiän läpi), ja alapää asetetaan tarkasti keskusmerkille sauvassa rasiatasain keskistys: siirretään pakkokeskistyslaite niin, että sauvan rasiatasaimen kupla on keskellä kierretään tasain 200 gon sauvan vastakkaiselle puolelle: jos kupla pysyy keskellä on keskistys suoritettu 90

101 5.4 Teodoliitin käsittely maastossa g Paino voima g Paino voima Tanko Naru Luoti Kärki 200 gon Kuva 5.9. Riippuluoti ja sauvaluoti. ellei, tasataan kupla siirtymäkohdan puoleen väliin, siis tasapainoasemaan sauvaluoti kuuluu osana tietyntyyppisiin jalustoihin (Kern), jollaisia käytetään usein tarkoissa insinöörimittauksissa. 3. Optinen luoti Tasain Siirto (ei kierto!) Merkki Kuva Optinen luoti 91

102 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Kuva Kiintopiste (putkipiste) nähtynä optisen luodin kautta. Fokusoinnin jälkeen sekä kohde että hiusviivaristikko näkyvät terävinä. Pakkokeskistyslaitteessa (tai teodoliitin alhidadissa) on pieni kaukoputki ja prisma. Kaukoputken okulaarin polttotasossa on hiusviivaristikko tai vastaava eli indeksi. Pakkokeskistyslaite on oltava tasattuna rasiatasaimella. Keskistys- ja tasausmenetelmä optista luotia käyttäen (kuva 5.12): a) pakkokeskistyslaitteen tasausruuveilla aluksi indeksi pisteen päälle (tasaus menetetään!) b) kahta jalustan jalan pituutta säätämällä saadaan rasiatasaimen kupla taas keskelle (pakkokeskistyslaite suorittaa kiertoliikettä kolmannen jalan kärjen ympäri ja indeksin paikka pisteen kuvan päällä muuttuu vain vähän) c) yhdensuuntaissiirrolla (löystetään hieman pakkokeskistyslaitteen isoa ruuvia) saadaan pakkokeskistyslaitteen indeksi pisteen päälle. Huom! Siirretään, ei saa kiertää, koska silloin tasaus muuttuu! Koska käytännössä sekä tasaus (3c) että indeksin paikka (3b) kuitenkin aina hieman muuttuvat, toistetaan menettely 3a 3c kunnes haluttu lopputulos on saavutettu. Onneksi se konvergoi nopeasti Ongelmatilanteita Normaalisti yllä kuvattu keskistys- ja tasausmenetelmä johtaa nopeasti tyydyttävään lopputulokseen. Tosielämän kenttätyössä tulee kuitenkin vastaan kaikenlaisia patologisia tilanteita, kuten kuvassa Ohjeistus näitä tilanteita varten jätämme sikseen. 92

103 5.4 Teodoliitin käsittely maastossa Kuva Optista luotia ja rasiatasainta käytetään yhtaikaa keskistyksen ja tasauksen aikaansaamiseksi Pakkokeskistys Tarkassa mittaustyössä käytetään pakkokeskistyslaitteita 2, eli koje ja tähys sopivat samaan kolmijalkaan, kuva Näin voidaan eliminoida useasta jalustan keskistämisestä johtuvat virheet. Tarkoissa mittauksissa, kuten insinöörigeodesian mittauksissa, käytetään erillistä optista luotia. Lyhyillä matkoilla keskistys voi olla suurin virhelähde. Mittauksessa huolehditaan siitä, että jokainen sivu mitataan molempaan suuntaan: kolmen pisteen verkossa menetelmä voi olla kuvan 5.15 mukaan. Jokaisesta kojeasemasta mitataan kaikkiin (lähellä oleviin) tähyksellä varustettaviin pisteisiin. Pakkokeskistys on myös käyttökelpoinen tilanteissa, joissa mitataan samalla pisteellä sekä satelliittitekniikalla (GNSS) että terrestrisellä kojeella. Antenni kiinnitetään silloin välikappaleen kautta pakkokeskistyslaitteeseen, kuva Optisen luodin tarkistus Nykyisin yleisin käytetty luoti on optinen luoti. Optisen luodin heikkous on, että sen täytyy säätää näin, että se katsoo todella suoraan alaspäin kun sen tasaimen kupla on keskellä samanlainen ongelma kuin vaaituskojeen tähtäysakselin ja tasaimen horisontin yhdensuuntaisuus, kuva 4.8. Tämä säädetty ominaisuus voidaan helposti menettää laitteen käsittelyssä. Siksi se on säännöllisin välein tarkistettava. Eräs tarkistusmenetelmä on kuvattu kirjassa Kahmen ja Faig (1988) sivuilla 95 96: 2 en. tribrach, sv. trefot. 93

104 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Kuva Ongelmatilanne. 1. Laitetaan pakkokeskistyslaite (tai koko teodoliitti, jos optinen luoti on sisäänrakennettu) kolmijalkaan, tasataan se, ja merkitään okulaarissa näkyvä piste lattialle teipattuun ruutupaperiin. 2. Pakkokeskistyslevyn ulkoreuna merkitään lyijykynällä tai liidulla kolmijalan pöytään. 3. Pakkokeskistyslevy irroitetaan kolmijalasta, käännetään 120, ja laitetaan huolellisesti takaisin piirretyn ulkoreunan sisään. Tasataan, ja merkitään lattialle okulaarin ristikon alla näkyvä piste. 4. Toistetaan Jos kohteissa 1, 3 ja 4 piirretyt pisteet lattialla ovat identtisiä, on luoti säädetty oikein. Ellei, okulaarin ristikko siirretään sen säätöruuveja käyttämällä kolmen pisteen painopisteeseen. 94

105 5.4 Teodoliitin käsittely maastossa GPS-antenni Tähys Mittauskoje Pakkokeskistyslaite Optinen luoti Tribrach Kiinnitysruuvi (ei avata!) Kuva Pakkokeskistyksen periaate. Koje ja tähys sopivat samaan kolmijalkaan. Ei-säädetyn optisen luodin käyttö tekee sen avulla kerätty havaintoaineisto arvottomaksi. Säädön säännöllinen tarkistus, vaikkapa ennen jokaista kenttätyötä on yhtä tärkeä kuin kojeen korkeuden mittaaminen merkin yläpuolella! Kuva Verkon mittaus pakkokeskistystä käyttäen. 95

106 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Kuva Kohdistamisen ihannetilanteita vaakasuunnassa Tähtäys ja kohdistus Fokusointi on, kuten vaaituskojeella, tehtävä aina huolellisesti okulaaria säätämällä hiusviivaristikko tarkennetaan havaintotyön alussa jos on ei-sylinteriset silmälasit (vain liki- tai kaukonäköisyys), ne voi jättää pois jokaisen kohteen kohdalla tarkennetaan tähys huolellisesti fokusointiruuvin avulla tarkoissa mittauksissa sarjahavaintojen aikana ei saa fokusoida, koska silloin kollimaatio muuttuu hieman. Tämä edellyttää, että kaikki kohteet ovat riittävän kaukaisia. Vaikeita tilanteita: tähys on ohut (esimerkiksi hyvin kaukana) ristikkoviivaan verrattuna. Tämä ei ole ongelma jos ristikko on kuvan 5.17 näköinen eri värit taittuvat eri lailla sekä ilmakehässä että kojeen optiikassa. Mustavalkoiset tähykset ovat aina parhaita ks. kuva Havaintojen lukeminen Hyvä käytäntö vaativissa teodoliittimittauksissa on mitata aina molemmassa kojeasennossa, kojeasento I ja kojeasento II. Kojeella on kaksi kojeasentoa koska sillä on kaksi akselia; kääntämällä molempien akselien ympäri 200 goonin verran saadaan mittauskaukoputki taas osoittamaan samaan kohteeseen. Tämä redundanssi mahdollistaa monen systemaattisen virheen eliminoinnin. Kuva Parempi hiusviivaristikko. Tässä voi valita yksinkertaisen ja kaksoisviivan välillä. 96

107 5.5 Havaintojen lukeminen Tähys Aurigonvaloa Hiusristikon viiva Varjo? Kuva Tähyksen aiheuttamat pulmat. Ykkösasento, face left, siis pystykehä kaukoputken vasemmalla puolella havaitsijasta katsottuna, antaa korkeuskulmia lähellä 100 gon jos tähtäys on lähellä vaakatasoa. Kakkosasento, face right, antaa arvoja lähellä 300 gon. Perinteistä sarjahavaintomenetelmää, jolla saadaan laitevirheet edelleen vähentymään, ei enää käytetä: 1. ensimmäisen luokan eli valtakunnallisten runkoverkkojen mittaus on siirtynyt kokonaan satelliittipaikannustekniikkaan 2. digitaaliset kulmamittaustekniikat suorittavat sarjahavaintomenetelmää vastaavan mittausmenetelmän automaattisesti ilman käyttäjän väliintuloa Jakokehät ja teodoliitin luokitus Teodoliittien jakokehät (en. graduation circles, sv. cirklar) valmistetaan yleensä lasista. Läpimitta on mm, tarkimpien kojeiden tapauksessa 250 mm. Pääasteikon jakoväli on 1, 0,5, 0,2 tai 0,1 gon, kojeen tarkkuusluokasta riippuen. Perinteinen menetelmä piirtää tiivis viivakuvio jaotuskoneella lasin päälle laitettuun vahakerrokseen, viivat syövytetään lasiin hapolla ja täytetään väriaineella. Tämä oli pitkään tarkasti varjeltu sveitsiläinen liikesalaisuus (Penry ja Ingram, 2013). Teodoliitit luokitellaan, perinteisesti ja hieman epävirallisesti, minuuttiteodoliiteiksi ( one-minute theodolite ), sekuntiteodoliiteiksi ( one-second theodolite ) ja tarkkuusteodoliiteiksi. Niiden tarkkuusrajat eivät ole selvästi määritelty, yksi lähde (Simonen, 2012) antaa > 1 mgon minuuttiteodoliiteille, 0,5 1,0 mgon sekuntiteodoliiteille ja < 0,5 mgon tarkkuusteodoliiteille Lukemalaite Lukemalaite suurentaa jakokehän asteikon kuvan mikroskoopin avulla. Sillä interpoloidaan hienolukema pääasteikon lukemien väliin Hienolukumenetelmät Lukemamikroskoopit jaetaan seuraaviin tyyppeihin (kuva 5.19): 97

108 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Arvio o 17.2 Arvio Kuva Lukemamikroskoopin eri tyypit. 1. Viivamikroskooppi: pääasteikon suurennus ja indeksiviiva hienolukemat arvioidaan visuaalisesti, tarkkuus 1 /10 jakoväliä. 2. Asteikkomikroskooppi: lisäasteikko, jonka pituus on sama kuin pääasteikon jakoväli: yleensä pääjakoväli 1 gon, lisäasteikon jakoväli 0.01 gon, 100 jakoviivaa lisäasteikon indeksinä käytetään pääasteikon jakoviivaa. Viivamikroskooppia voidaan varustaa optisella mikrometrillä hyvän lukematarkkuuden saavuttamiseksi, ks. kuva Kun lasia kierretään, siirtyy valonsäde yhdensuuntaisena matkan αd (1 1 /n) verran, jossa n on lasin taitekerroin. Lasilevyn kiertomekanismissa on asteikko, joka osoittaa kulman kulmayksiköissä. Yleensä pääasteikon jakoviivat ovat kaksoisviivoja; kohdistus on helppoa. Noonio (nonius 3 ) (engl. vernier) on vanhentunut eikä sitä enää käytetä. Ks. Kahmen ja Faig (1988) s Jakokehän lukeminen 1. Luetaan yksi kehäsegmentti. 2. Tarkkuusteodoliitissa luetaan samanaikaisesti kaksi vastakkaista kehäsegmenttiä. Näin kehän epäkeskisyysvirhe kumoutuu. Ks. kuva Karkea lukema otetaan kehältä, hienolukema mikrometristä, eli ,4 + 0,0417 (jossa 7 arvioitu) eli 244, Kirjassa Heiskanen (1943) kerrotaan, että portugalilainen Pedro Nunez (Nonius) keksi nooniota edeltävä laite jo 1542, ja ranskalainen Pierre Vernier nykynoonio v

109 5.5 Havaintojen lukeminen Indeksiviiva D Kuvataso Tasapaksu lasilevy Arvioitu desimaali a D Asteikko Kuva Optinen mikrometri ja sen lukeminen. Yhtä kehälukemaa käytetään minuuttiteodoliiteissa, kun kahden vastakkaisen lukeman menetelmä löytyy tavallisesti sekunti- ja tarkkuusteodoliiteissa. Vaaka- ja pystykehien lukemiseen käytetään samoja menetelmiä. Yleensä pystykehän läpimitta on pienempi kuin vaakakehän, joten lukematarkkuus on vastaavasti heikompaa. Lukemalaitteisiin kuuluu lisäksi: 1. Lukemamikroskooppi, johon optiikan kaikki lukemat ohjataan. Mikroskoopin näkökentässä useimmiten sekä vaaka- että pystylukemat näkyvät yhtaikaa. Pitää olla tarkkana, että kohdistaa oikeat ja halutut lukemat. Usein pystylukema on merkitty V-kirjaimella (Vertical) ja vaakalukema H-kirjaimella (Horizontal). Tässä on suomenkielisille sekoittamisen vaara! 2. Valaistusjärjestelmä: peili, jota kääntämällä valo ohjataan lukemaoptiikkaan peilin paikalle tai omaan istukkaan kiinnitettävä valaisin, hehkulamppu ja paristo. Okulaari Mikrometri Valaistuspeili Kehä Kuva Jakokehän lukeminen. Yksi kehäsegmentti. 99

110 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Lasilevyjen kytketty liike Vastakkaiset kehälukemat Ennen mikrometrin kohdistusta (7 arvioitu) ja kohdistuksen jälkeen. Kuva Jakokehän lukeminen. Optisista teodoliiteista Tikka (1991, sivut 21 35). 5.6 Elektroniset teodoliitit Elektronisissa teodoliiteissa kaikki lukemat saadaan näyttöön numeerisina, mikä helpottaa havaintotietojen automaattista tallennusta, tarkastusta jo mittausten yhteydessä, ja siirtoa eteenpäin. Rahalliset säästöt mittaustoiminnassa voivat olla huomattavia ei vain mittausajan säästönä vaan myös laadun parannuksena, kun virhealtis lukeminen ja käsin kirjoittaminen jää pois. Kuitenkin, vaikka elektroniset teodoliitit tosin tallentavat havaintojensa itse muistiin joskus raakadata ei edes tallenneta vaan jo käsitelty aineisto, on havaintojen oheistiedot ( metatieto ) edelleen kirjattava huolellisesti. Elektronisissa teodoliitteissa on jakokehien reunoihin kuvattu erityyppisiä viivakuvioita. 100

111 5.6 Elektroniset teodoliitit Kuva Gray-koodi Absoluuttiset viivakoodit Usein käytetään ns. Gray-koodia 4, joka koostuu bittisarjoista joista jokaisessa askeleessa vain yksi bitti muuttu. Kuvassa 5.23 on esimerkki nelibittisestä Gray-koodista, jolla on 16 eri arvoa. Tosisovelluksessa käytetään enemmän bittejä, esim. jos halutaan vaakakulman resoluutioksi 10 4 gon, on oltava = eri arvoa. Tämä vaatii jo 22 bittiä 5. Koodi on mustavalkoisena kuviona kehän pinnalla, jota valoherkkien diodien eli fotodiodien rivistö skannaa, kuva 5.24 vasemmalla. Gray-koodin etuna on, että koko ajan tiedetään yksiselitteisesti, missä kohdassa kehää ollaan, eli kehältä löytyy merkitty nollasuunta. Siksi nimitys absoluuttinen viivakoodi. Esimerkkitapauksessa tarvitaan neljä vierekkäistä diodiriviä, yksi jokaiselle bittikentälle. Kehäkuvioita havaitaan sähkö-optisesti, esimerkissämme diodirivistön, nykysovelluksissa integroidun mikropiirin, tavallisesti CCD-ilmaisimen avulla. Valoilmaisin havaitsee kehän mustien ja valkoisten kenttien väliset reunat. Karkeat, absoluuttiset lukemat syntyvät kehäkuvion reunoista, 4 Frank Gray ( ) oli amerikkalainen fyysikko ja elektronikko, televisioteknologian kehittäjä. Gray-koodi on osana hänelle v myöntämää patenttia koska 2 22 = > ,7 6 7,4,7 15 Kuva Vasemmalla absoluuttinen, oikealla inkrementaalinen koodauskehä. 101

112 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Prosessori Alhidadi Vaakakehä Runko Kuva Elektroninen vaakakehämittaus: lukemia otetaan kehän kaikilta osilta. Tämä korvaa optisilta teodoliitilta tuttua sarjahavaintomenetelmää. lisadesimaaleja saadaan diodirivistön tai kuvaavan valoilmaisimen interpoloivan toiminnan avulla Inkrementaaliset viivakoodit Kehältä ei löydy nollakohtaa. Tässä voidaan seurata vain laitteen asennon muutoksia laskemalla viivoja, kuva 5.24 oikealla. Inkrementaalisessa ratkaisussa tarvitaan vähintään kaksi diodiilmaisinta kiertosuunnan selvittämiseksi, kuvatussa esimerkissä on kymmenen. Inkrementaalinen menetelmä tietysti voi mitata vain suuntaeroja eli kulmia. Karkeat lukemat syntyvät kehän viivoista laskemalla, lisädesimaaleja saadaan taas interpoloimalla Modernit automaattilaitteet Nykyisissä elektronisissa teodoliiteissa käytetään yleisesti ns. ATR-ratkaisua, Automatic Target Recognition eli automaattinen kohdetunnistus. Tähän tarkoitukseen on mittauskaukoputken kuvakenttään sijoitettu CCD-kuvailmaisin. Kaukoputki suunnataan silmämääräisesti kohteeseen. Korjaamaton lukema tulee tavan mukaan digitaalisesti koodikehäjärjestelmästä. Lukemaan lasketaan ohjelmallisesti, kuvankäsittelyn keinoin, korjaus CCD-kuvasta. Elektronisesti luettaviin kehiin käytetään useita ilmaisimia joista jokainen lukee kehän koodia eri kehän paikasta. Kaikki mitatut arvot kerätään laitteen mikroprosessoriin, joka laskee niistä keskiarvo. Keskiarvossa kehän periodiset ja satunnaiset virheet on eliminoitu tai olennaisesti vähennetty, vrt. optisilla teodoliiteilla käytetty sarjahavaintomenetelmä, alaluku 5.8 sivulla 107. Elektronisella teodoliitilla on vaakakehän lukituksen irroittaminen ja sen kiertäminen ja siis sarjahavaintomenetelmän soveltaminen käsin tarpeetonta ja mahdotonta. Putken kääntäminen eli kahdessa kojeasennossa mittaaminen on kuitenkin edelleen tarpeen samoista syistä kuin optisillakin laitteilla (alaluku 5.5 sivulla 96). 102

113 5.7 Teodoliitin kojevirheet t = α /ω Prosessori Alhidadi Vaakakehä α ω Runko Kuva Pyörivä kehä muuntaa kulmamittaus aikaeromittaukseksi. Joissakin laitteissa käytetään nopeasti pyörivää kehää. Tässä ratkaisussa valoilmaisimet muuntavat kehässä olevan viivakuvion blokkisignaaliksi (kuva 5.26). Kahden blokkisignaalin välinen aikasiirtymä yhdessä kehän pyörimisnopeuden ω kanssa antaa suoraan ilmaisinten välisen kulman α (t) ajan funktiona plus tuntematon vakio joka ei riipu ajasta. Tästä syystä myös pyöriva kehä -menetelmä on inkrementaalinen: se voi mitata vain kulman muutokset. Menetelmän edut ovat: 1. Se muuntaa kulmamittaus elektroniseksi aikaeromittaukseksi, joka voi olla erittäin tarkka. 2. Kehän jakoviivojen tuotantotarkkuus ei ole krittinen, kehän tasainen pyörimisnopeus on. Elektronisten teodoliittien mittausjärjestelmien ja teknisten ratkaisujen kirjo on laaja ja nopeasti kehittyvä. Siksi kuvaamme seuraavassa vain yksi esimerkkitapaus tarkemmin. 5.7 Teodoliitin kojevirheet Teodoliitin kojevirheet jakautuvat seuraaviin ryhmiin: 1. Akselivirheet: akselit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan: kollimaatiovirhe ja tappikaltevuus, alaluvut seuraavalla sivulla ja sivulla 105 akselit eivät leikkaa samassa pisteessä. 2. Epäkeskisyysvirheet: jakokehien epäkeskisyys kaukoputken epäkeskisyys. 103

114 5 Teodoliitti ja kulmamittaus P Objektiivi Kollimaatiovirhe c = T T Kuvataso T 200 gon (pysty) T. Hiusristikko 200 gon (vaaka) Kuva Tähtäysakselin kääntäminen hiusviivaristikon siirtämisellä. V 3. Kehien jaotusvirheet. Epäkeskisyys- ja jaotusvirheet ovat nykyteodoliiteissa pieniä. Virheitä ei yleensä pystytä korjaamaan, määrittämään kyllä (kalibraatio) Kollimaatiovirhe Eniten vaikuttaa kollimaatiovirhe, joka on helppo määrittää ja korjata. Kollimaatiovirhe on se, että tähtäysakselin T ja vaaka-akselin V välinen kulma ei ole suora: T V. Tähtäysakselin T realisoi mittauskaukoputken hiusviivaristikko (tarkemmin, T on objektiivin optisen keskuksen ja hiusviivaristikon läpi menevä suora, kuva 5.27). Siksi hiusviivaristikkoa siirtämällä säädetään T V. Jos kollimaatiovirhettä ei ole (c = 0), ensimmäisessä ja toisessa kojeasennossa saman tähtäyskohteen A lukemat ovat a 1 ja a 2, missä a 1 = a 2 ± 200 gon. Jos on kollimaatiovirhettä (c 0) ja kaukoputki käännetään kakkosasentoon (200 gon sekä V -akselin että P-akselin ympäri), ei A näy hiusviivaristikon kohdalla vaan putki olisi vielä käännettävä 2c:n verran. Tähdätään likimain vaakasuoraan ensimmäisessä kojeasennossa kohteeseen A, otetaan lukema a 1, ja toisessa kojeasennossa otetaan lukema a 2. Oikeat lukemat, ilman kollimaatiovirhettä, olisivat A 1 ja A 2, ja tarkasti olisi A 1 = A 2 ± 200 gon. Todellisuudessa saadaan a 1 = A 1 + c ja a 2 = A 2 c. Niiden erotus a 1 a 2 = 2c ± 200 gon, mistä saa c = 1 2 (a 1 a 2 ± 200 gon). (5.1) Näin voidaan määrittää c, tavallisesti pieni luku. Koska c on niin pieni, olemme tässä kiinnostuneet vain goonien murto-osista, ei kokonaisista gooneista. Siksi käytämme seuraavaa kirjoitustapaa: 104

115 5.7 Teodoliitin kojevirheet Silloin [a] merkitsee lukeman a pyöristysjäännöstä, erotusta tarkan arvon ja kokonaisluvuksi pyöristetyn arvon välillä. Siis [127,4531] = 0,4531, [16,9850] = 0,0150 ja niin edelleen. Operaation tulos on aina arvojen 0,5 gon ja +0,5 gon välillä. c = 1 2 [a 1 a 2 ]. Tämä voidaan laskea myös havaintokirjasta, jos on mitattu samat kohteet molemmassa kojeasennossa. [a1 ] [a 2 ] [a1 ] [a 2 ] [a1 ] [a2 ] n [c] = 1 2 n ensimmäisessä asennossa havaittujen lukemien summa ilman gooneja = vastaava summa toisessa asennossa (vastaavuus tarkoittaa sekä sarja että suunta). lukemien lukumäärä (sarjat suunnat) Kollimaatiovirheen korjaus: Suoritetaan ensimmäisessä kojeasennossa tähtäys niin että lukema on esilaskettu oikea arvo A 1 = a 1 c. Siirretään 6 hiusviivaristikkoa (fokaalilevyä) tähtäyskohteen A kuvan päälle. Tarkistetaan toisessa kojeasennossa, että saadaan toinen oikea arvo A 2 = a 2 + c kun ristikko on kohteen päällä. Laskentaesimerkki havaintokirjasta (kaikki arvot gooneina): Kojeasento i [ai ] 2n [ai ] Ensimmäinen 1 4, Toinen 2 5, Havaintojen määrä per kojeasento n = 12, siis [c] = 0,13 mgon 24 = 0,00542 mgon = 0 cc,0542. Tämä on hyvä kenttätarkistus. Tässä tapauksessa ei käytännössä ole kollimaatiovirhettä Tappikaltevuus Toinen akselivirhe on tappikaltevuus (eng. trunnion axis error) i. Teodoliitin vaaka-akseli V koostuu kahdesta tapista kaukoputken molemmin puolin. Jos ne eivät kojeen tasauksen jälkeen ole samalla korkeudella, on niiden muodostama vaaka-akseli kallellaan: kulma sen ja pystyakselin P välillä ei ole suora, P V. Tappikaltevuus saadaan määritetyksi käyttämällä tähtäyskohdetta joka on kaukana vaakatasosta (ζ 100 gon). Silloin pätee: a 1 = A 1 + c + i cos ζ, a 2 = A 2 c i cos ζ, 6 Tämä on huollon tehtävä, ruuvit ovat pieniä ja piillossa. 105

116 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Tappikaltevuus V. V Kuva Tappikaltevuus. P joista voidaan määrittää yhdistelmätermi c + i cos ζ samalla tavalla kuin yllä selostettu c:lle. Virheiden c ja i erottaminen toisistaan edellyttää mittausta kahdella eri korkeuskulmalla ζ. Jos yksi niistä on ζ = 100 gon (cos ζ = 0), saadaan takaisin alkuperäinen kaava (5.1) kollimaatiovirheen määrittämiseksi Sarjahavaintomenetelmä Optisen teodoliitin vaakakehän jaotus on valmistettu suurella huolella, mutta on aina epätarkka. Jokainen jaotuksen gooni pitää olla samankokoinen, tarkasti yksi gooni, muttei todellisuudessa ole. Kuitenkin jaotuksen kaikkien goonien summa on aina tarkasti 400 gon. Siksi jaotusvirheiden vaikutus voidaan minimoida mittaamalla sama kulma eri vaakakehän sektoreiden avulla, ja ottaa näistä mittauksista keskiarvo. Tämä periaate toteutuu ns. sarjahavaintomenetelmässä. Tässä runkomittauksessa perinteisesti käytetyssä menetelmässä mitataan sama suuntavyyhti useita kertoja (sarjoja) sillä tavalla, että sarjojen välillä irroitetaan 7 vaakakehä ja käännetään se (määrällä noin 200 gon /n, jossa n on sarjojen lukumäärä). Näin saadaan käyttöön jakokehän eri sektorit ja systemaattiset virheet vähenevät kun sarjoista otetaan keskiarvo. Sarjamittauksessa myös aina käännetään kojeen kaukoputki läpi molemmat akselit 200 gon eli mitataan sekä ensimmäisessä että toisessa kojeasennossa. 7 Vaakakehän lukitusnappi on suojattu kannella. Näin ei vahingossa käännetä kehää mittauksen aikana. 106

117 5.8 Vaakakulmamittaus 63, ,643 2 sarjaa 3 suuntaa 2 kojeasentoa 360, ,962 0 I I 100 Sarja 1 Kojeasennot I ja II 263, , ,640 Kehän kierto 0 gon Vaakakehä Kehän kierto 100 gon 160, , ,960 Sarja 2 Kojeasennot I ja II II II , ,917 Kuva Sarjahavaintomenetelmä. Tässä tapauksessa suoritetaan kolmen suunnan kahden sarjan mittaus molemmassa kojeasennossa. Seuraavat virheet eliminoituvat kokonaan sarjahavaintomenetelmällä: kollimaatiovirhe ja tappikaltevuus, akseleiden leikkausvirhe, vaakakehän ja kaukoputken epäkeskisyys. Vaakakehän jakovirheet vähenevät olennaisesti. Tasaus- tai keskistysvirheet eivät eliminoidu! Ks. Tikka (1991), sivut Teknisempiä huomautuksia: Jos sarjahavaintomenetelmää käyttäessä sarjat eivät sovi keskenään yhteen, pitäisi kaikki uusia. Yksittäistä sarjaa ei saa hylätä, koska se väärentäisi aineiston tilastollisia ominaisuuksia. Yksittäisen tähtäyksen voi hylätä kaikista sarjoista. Elektronisella teodoliitilla ei tehdä sarjahavaintoja tarkemmin sanottuna, koje tekee ne itse, alaluku Vaakakulmamittaus Kartoitustyössä vaakakulmahavaintoja suoritetaan kolmesta syystä: 107

118 5 Teodoliitti ja kulmamittaus α α (a) Kolmiomittaus (b) Säteittäinen kartoitus α (c) Monikulmiojonomittaus Kuva Eri vaakakulmamittauksen käyttötilanteita. 1. Kolmiomittauksen osana, jossa kolmioverkon pisteiden välillä mitataan vaakakulmia ja sivunpituuksia. Kolmioiden sivut voivat pisimmillään olla kymmeniä kilometrejä pitkiä. Havainnoista lasketaan kolmiopisteiden geodeettiset koordinaatit, hierarkisesti verkon eri tihennysvaiheissa. Näin Geodeettisen laitoksen luoma ensimmäisen luokan kolmioverkko on tihennetty Maanmittauslaitoksen toimesta. 2. Kolmioverkon jatkotihennystä varten suoritetaan monikulmiojonomittaus. Tässä menetelmässä mitataan peräkkäisten jonopisteiden väliset sivunpituudet ja pisteiden taitekulmat (kuva 5.30c) pisteiden koordinaatien määrittämiseksi. Laskentaa varten jonon päätepisteet on oltava tunnettuja, esim. kolmiomittauksesta. 3. Monikulmiopisteistä käsin suoritetaan mm. säteittäistä kartoitusta (kuva 7.10) Eteen- ja taaksepäin leikkaus Usein käytetyt geometriat ovat eteen- ja taaksepäin leikkauksia, kuvat Ruotsiksi avskärning och inskärning, englanniksi intersection and resection. Eteenpäin leikkaus toimii näin: olkoon pisteiden A ja B koordinaatit (x A, y A ) ja (x B, y B ); pisteiden välinen, tuntemattoman pisteen C projektiopiste olkoon P, sen koordinaatit (x P, y P ). Silloin siis PC = AP tan α = PB tan β, AB = AP + PB = PC cot α + PC cot β = PC (cot α + cot β). Tästä AB PC = cot α + cot β 108

119 5.8 Vaakakulmamittaus C Tuntematon Tuntematon P θ 1 θ 2 C K 2 A α P Tunnettu β B A R 1 K 1 θ 1 M R 2 B Tunnettu (a) Eteenpäin leikkaus (b) Taaksepäin leikkaus Kuva Eteen- ja taaksepäin leikkaus. ja AB cot α AB cot β AP =, PB = cot α + cot β cot α + cot β. Nyt käytetään näitä janoja, eli kertoimia cot α, cot β, painoina pisteen P koordinaattien laskemiseksi pisteiden A ja B koordinaattien painotettuina keskiarvoina: x P = x A cot β + x B cot α cot α + cot β, y P = y A cot β + y B cot α. cot α + cot β Tämän jälkeen leikkauspisteen C koordinaattien suorat laskentakaavat ovat: y x C = x P + tan α (y P y A ) = x P + B y A cot α + cot β, y C = y P tan α (x P x A ) = y P x B x A cot α + cot β. Taaksepain leikkaus on vaikeampaa, koska on kyse käänteisestä ongelmasta. Olkoon (kuva 5.31b) M pisteiden A ja B keskipiste. Jos tuntemattomasta pisteesta P on mitattu kulma θ 1 pisteiden A ja B välillä, on tämän pisteen oltava ympyrän päällä, joka kulkee pisteiden A ja B kautta, ja jonka keskipisteestä K 1 katsottuna pisteiden A ja B välinen kulma on 2θ 1. Jana M K 1 on kohtisuorassa AB:ta vasten: pisteen M koordinaatit (x M, y M ) lasketaan yllä johdetun kaavan avulla erikoistapauksessa α = β. Pisteen K 1 koordinaatit lasketaan seuraavalla tavalla muista, että α:n roolissa on nyt 90 θ 1 : x K1 = x M cot θ 1 (y B y A ) = 1 2 (x A + x B ) cot θ 1 (y B y A ), y K1 = y M 1 2 cot θ 1 (x B x A ) = 1 2 (y A + y B ) 1 2 cot θ 1 (x B x A ). Ympyrän säde saadaan Pythagoraan avulla: R 1 = 1 (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. 2 sin θ 1 109

120 5 Teodoliitti ja kulmamittaus T Pystykehän indeksin tasain eli kollimaatiotasain II. kojeasennon indeksi I. kojeasennon indeksi Alhidadi P Tasaimen ja indeksin hienoliikuntaruuvi Kuva Pystykulman havaitseminen. Nyt, koska on toinenkin pistepari B, C, jonka kauttaa kulkee oma ympyrä, keskipisteenä K 2 ja säteenä R 2, meillä on kahta ympyrää kuvaava, kvadraattinen yhtälöpari: x xk1 2 + y yk1 2 = R 2 1, x xk2 2 + y yk2 2 = R 2 2. Tästä voidaan ratkaistaa tuntemattoman pisteen koordinaatit (x, y) ainakin periaatteessa. Ratkaisumenetelmiä on monta, mm. linearisointi likiarvoparin (x 0, y 0 ) suhteen ja iteratiivinen ratkaisu. Huomaa, etta kahdella ympyrällä on yleisesti kaksi leikkauspistettä, joista on valittava oikea ratkaisu eikä siis piste B... Singulaarisuus: taaksepäin leikkauksen tarkkuus riippuu pisteiden geometriasta. Jos pisteet A, B, C ja tuntematon piste sijaitsevat samalla ympyrällä, on ratkaisu jopa mahdoton: puhutaan singulaarisuudesta. Silloin sininen ja punainen ympyrä ovat identtisiä ja mikä tahansa ympyrän piste kelpaa ratkaisupisteeksi. Huomaa myös, että tilanne on käsitteellisesti sama kuin jos olisi mitattu kaksi etäisyyttä R 1 = K 1 P ja R 2 = K 2 P pisteistä K 1 ja K 2. Tässä P on tuntematon piste, koordinaatit (x, y). Etäisyysmittausta käyttäessa ei puhuta eteen- ja taaksepäinleikkauksesta; ne ovat tavallaan sama asia. 5.9 Pystykulmamittaus Pystykulman havaitseminen teodoliitilla edellyttää, että pystykehän indeksi paikka mistä luetaan pystykulma-arvot on vaakatasossa. Sitä varten teodoliitissa on oma säätöruuvi (ks. kuva 110

121 5.9 Pystykulmamittaus 200 gon P V gon y 200 y y 0 y Todellinen zeniittikulma: ζ 100 Todellinen zeniittikulma: ζ Lukema: ζ 1 98 Lukema: ζ 2 Indeksivirhe: y = ζ 1 ζ -2 Indeksivirhe: y = ζ 2 + ζ 400 "Oikea arvo": ζ = ζ 1 ζ Indeksivirhe-arvio: y = ζ 1+ζ Kuva Indeksivirhe. 5.32) millä liikutellaan kehys jossa pystykehän indeksi(t) ja kollimaatiotasain ovat kiinteästi kytketty toisiinsa. Kehys voi kuitenkin vapaasti kääntyä vaaka-akselin ympäri. Myös mittauskaukoputki ja pystykehä ovat samalla tavalla kytkeytynyt toisiinsa. Tasaimen ja indeksin hienoliikuntaruuvilla on ennen jokaista pystykulmamittausta varmistettava, että pystykehän indeksit ovat todella vaakatasossa. Tietenkään ei voi olettaa, että kollimaatiotasain on säädetty näin, että indeksi todella antaa tarkasti 100 ja 300 gon juuri kun mittauskaukoputken optinen akseli on vaakatasossa; tätä virhettä kutsutaan indeksivirheeksi ( y). Se saadaan eliminoiduksi mittaamalla molemmassa kojeasennossa I ja II. Kojeasennosta toiseen päästään kääntämällä koje läpi, eli käännetään kaukoputki 200 gon pystyakselin ja 200 gon vaaka-akselin ympäri. Kummassakin kojeasennossa saadut mittausarvot lasketaan yhteen: josta indeksivirhe y seuraa. ζ 1 + ζ 2 = y, Molemmat havainnot ζ 1 ja ζ 2 korjataan määrällä y, eli Tämän jälkeen ehto täyttyy tarkasti. ζ 1 = ζ 1 y, ζ 2 = ζ 2 y. ζ 1 + ζ 2 = 400 Ks. kuva 5.33, joka kuvaa (toisin kuin kuva 5.32) teodoliitti jolla pystykehä luetaan vaan yhdella paikalla. Kuvassa tähtäysakseli on vaakatasossa eli ζ = 100 gon. Kuitenkin alla annetut kaavat pätevät yleisesti. Vasemmassa kuvassa mitataan kulma ζ ja saadaan lukema ζ 1 = ζ + y, jossa y on indeksivirhe. Oikeassa kuvassa mitataan sama kulma ζ mutta toisessa kojeasennossa, ja saatu lukema on ζ 2 = 111

122 5 Teodoliitti ja kulmamittaus (400 ζ) + y. Saadaan: ζ ζ 2 = ζ + y + ζ y Kulma ζ: ζ = 1 2 (ζ 1 ζ ) Kulma y: ζ 1 + ζ = ζ + y ζ + y = y = 1 2 (ζ 1 + ζ 2 400). Korjattu lukema on ζ = ζ 1 y = 400 ζ 2 + y. Indeksivirheen poisto: Oletetaan kuvan 5.32 konstruktio. tähdätään kohteeseen, jonka oikea kulma ζ on laskettu kierretään indeksi ja kollimaatiotasain yhdessä hienoliikuntaruuvin avulla lukemaan ζ tasaimen kupla siirtyy, säädetään tasain sen säätöruuv(e)illa 8 kunnes kupla on taas keskellä. Kontrolli: havaitaan kojeasennossa I kohde (ζ 1 ) ja heti perään sama kohde kojeasennossa II (ζ 2 ) lasketaan summa ζ 1 + ζ 2. Jos indeksivirhe y = 0, ζ 1 + ζ 2 = 400. Tämä on myös hyvä kenttäkontrolli. Yleensä mitataan samaan kohteeseen kaksi sarjaa nopeasti peräkkäin. Sarjoista lasketaan sarjakeskiarvot, jotka viedään laskentaan. Kuvassa 5.32 on manuaalinen korkeusindeksi. Nykyisin käytetään useimmiten automaattista korkeusindeksiä. Periaate on sama kuin itsetasaavissa vaaituskojeissa: heilurikompensaattori nestekompensaattori, silikoniöljy. Ks. Kahmen ja Faig (1988) ss. 394, 395 elektronisissa teodoliiteissa tämäkin kompensaatiomekanismi on digitaalisesti toteutettu, digitaalisen kallistusmittarin avulla. Siis indeksiä ei säädetä vaan lukema korjataan laskennallisesti tasaimen lukuarvojen perusteella. Kojevirheet ovat pitkälti samanlaiset kuin vaakakulmien kohdalla. Osa eliminoituu mittaamalla molemmassa kojeasennossa. Sarjamittauksella ei saa ainakaan pystykehän virheitä pienennetyksi (koska pystykehää, toisin kuin vaakakehää, ei voi irroittaa ja kääntää, ks. sektio 5.7.3), se mahdollistaa kuitenkin mittausten oikeellisuuden tarkistamista. Ensimmäisen ja toisen kojeasennon havainnot tulee ottaa mahdollisimman nopeasti peräkkäin. Siksi zeniittikulmat on aina havaittava erikseen, ei vaakakulmien kanssa. 8 Säätöruuvit ovat pieniä ja saattavat olla hieman piilossa. Säätö on huollon tehtävä. 112

123 5.10 Pystykulmat ja refraktio 5.10 Pystykulmat ja refraktio Pystykulmien mittauksessa on ilmakehän kerrostuneisuudesta johtuen ylivoimaisen suurin virhelähde refraktio. On syytä olla tarkkana sään ja maaston suhteen ajan ja paikan valinnassa ja havaintojen käsittelyssä. Kuuma asfaltti kesällä on erityisen salakavalaa. Refraktion vaikutus ei näy kontrollissa ζ 1 + ζ 2 = 400, ks. luku 5.9. Siis mittaukset eri kojeasennossa eivät auta Refraktiokerroin Geodesiassa on muotoutunut tapa käyttää refraktion kuvaamiseksi suuretta nimeltä refraktiokerroin, symboli k. Tämä suure kuvaa mittaussäteen eli -polun kaarevuutta ilmakehässä maapallon kaarevuuteen verrattuna: jossa k = säteen kaarevuus maan kaarevuus = R ρ, (5.2) R Maan kaarevuussäde, eli 1 R on maanpinnan kaarevuus9 ρ mittaussäteen kaarevuussäde, eli 1 ρ on mittaussäteen kaarevuus. Tyypilliset k-arvot ilmakehälle ovat k L = 0,13 näkyvälle valolle, ja k M = 0,25 mikroaalloille, ks. Kahmen ja Faig (1988, s. 167)). Mittaussäteen kaarevuus on siis 4 8 kertaa heikompaa ja kaarevuussäde 4 8 kertaa suurempaa kuin maanpinnan kaarevuus ja kaarevuussäde. Kuitenkin ilmakehän inversion aikana voi syntyä poikkeuksellisen suuria k-arvoja, jopa 0,3... 0,4, ks. Grafarend ym. (1987) Refraktion yhtälö Kuvassa 5.34 näkyy vasemmalla puolella, miten zeniittikulmamittauksen avulla voidaan määrittää kahden pisteen A ja B korkeusero. Soveltuva trigonometrinen kaava on h B = h A + s cot ζ, jossa s on välimatka (vaakatasossa!) ja ζ on mitattu zeniittikulma. Kun tosiasiassa sekä Maan pinta että mittaussäteen polku ilmakehässä ovat kaarevia, pätee käytännössä oikeanpuoleinen kuva, jossa kuitenkin kaikki kulmat on liioiteltuja. Kuvan perusteella pitäisi yllä olevalle kaavalle lisätä kaksi korjaustermiä: Maan kaarevuuden aiheuttama korjaus, ja c 1 = s2 2R, c 2 = s2 s2 = k 2ρ 2R, 9 Muista, että kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisluku! 113

124 5 Teodoliitti ja kulmamittaus B B c 2 A ζ s h B A ζ s c 1 h A (a) Suora geometria Maan... (b) Ottaen kaarevuudet mukaan...keskipisteeseen Kuva Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus zeniittikulman mittauksessa. mittaussäteen kaarevuuden aiheuttama korjaus olettaen, että kulma ζ ei ole kovin jyrkkä. Kaikki yhdessä: h B = h A + s cot ζ + (1 k) s2 2R. Jos otetaan mukaan vielä teodoliitin korkeus i pisteestä A ja tähyksen korkeus t sen alla olevasta merkistä B, saadaan h B = h A + s cot ζ + (1 k) s2 + i t, (5.3) 2R trigonometrisen korkeusmittauksen perusyhtälö Yhtaikainen vastakkainen mittaus Jos suoritetaan zeniittikulmamittaus yhtaikaisesti pisteessä A ja pisteessä B, saadaan h B = h A + s cot ζ A + (1 k) s2 2R + i A i B, h A = h B + s cot ζ B + (1 k) s2 2R + i B i A, joissa nyt kutsumme i i A, t i B. Siis kojeen ja tähyksen korkeudet oletetaan samoiksi samalla pisteellä (helppo toteuttaa pakkokeskistyksen avulla). Silloin termien uudelleen järjestely ja vähennys antaa josta refraktiota kuvaava termi on hävinnyt. h B = h A s (cot ζ A cot ζ B ) + i A i B, (5.4) Tämä menetelmä pisteiden välisten korkeuserojen määrittämiseksi on hyväksi todettu ja paljon käytetty myös pitkille matkoille. Se edellyttää matkan s mittaaminen tai määrittäminen riittävän tarkasti. Tätä menetelmää käytetään trigonometrisessa vaaituksessa (kuva 5.36), joka voi korvata perinteinen vaaitus esim. maastossa jossa on suuria korkeusvaihteluja ja vaaituksen lattaväli kävisi kovin 114

125 5.10 Pystykulmat ja refraktio ζ H K Maasto H T H PK Geoidi, merenpinta H P T Kuva Kojeen ja tähyksen korkeus. lyhkäiseksi ja työskentely työlääksi. Menetelmässä käytetään kahta takymetria ja kahta tähystä/heijastinta, ja havaintodataa siirretään radioteitse laitteesta toiseen käsiteltäväksi, tarkistettavaksi ja tallennettavaksi. Pisteestä toiseen siirrytään autoin maaston salliessa. V. R. Ölanderin 10 jo 30-luvulla käyttämä refraktiomallinnusmenetelmä Suomen ensimmäisen luokan kolmioverkossa, varsin pitkillä tähtäyksillä, lähti siitä, ettei ole tehty yhtaikaisia vastakkaisia mittauksia jokaisella kolmioverkon sivulla, vain (likimäärin) yhtaikaisia mittauksia jokaiselta kolmiopisteeltä kaikille naapuripisteille. Ölander antoi verkon jokaiselle kolmiopisteelle oma refraktiokerroin, jotka kaikki ratkaistiin verkkotasoituksen keinoin (Ölander (1932); ks. myös Grafarend ym. (1987)). 10 Victor Rafael Ölander (1897-?) oli suomalainen geodeetti jolla oli keskeinen rooli Suomen ensimmäisen luokan kolmiomittauksessa. ζ ζ ζ t,2 t,1 e,2 s 2 ζ e,1 s 1 H Kuva Trigonometrinen vaaitusjono. 115

126 5 Teodoliitti ja kulmamittaus Kohdistinpalkki Kello Akun lataustila Syöttönäppäinlohko Otsikko Valikko Funktionäppäinten toiminto PÄÄVALIKKO : OHJELMAT 17:25 1 Orientointi 2 Kaarileikkaus 3 Maastoonmerkintä 4 Pisteiden välimatka EXTRA KALIB JÄRAS DATA F1 CODE F2 F3 F4 af... ASEMA MITT. F5 CONT F6 ON OFF Shift ESC CE. +/- Valo Elektroninen tasain Muut Kuva Leica TCA2003 ohjauspaneeli Kojeen ja tähyksen korkeus Nuolinäppäimet Vaikka koje onkin tasattu ja keskistetty pisteelle, se on kuitenkin aina epäkeskinen korkeussuunnassa. Mitattava zeniittikulma on luotiviivan ja kaukoputken tähtäysakselin välinen kulma, kuva On siis mitattava kojeen korkeus H K. Yleensä tähtäyskohde on tähys kolmijalalla eikä merkki (pultti) itse, joten myös tähyksen korkeus H T on mitattava. Siis aina on mitattava kojeen kohdalla pultin ja kojeen vaaka-akselin korkeusero tähyksen kohdalla pultin ja tähtäyskohteen korkeusero. Kuvatussa tilanteessa on tähtäyskohteena ollut valkoisen kolmion yläreuna ja sen kohdan korkeus H T on mitattava. Korkeussuunnassa sekä koje että tähys ovat epäkeskisiä. Täydellisyyden vuoksi on kuvaan piirretty myös tärkeät pulttien korkeudet laskennallisesta vertaustasosta ( merenpinnasta ), joita yritetään määrittää mittauksen avulla: kojekorkeus vertaustasosta: H PK + H K tähyskorkeus vertaustasosta: H P T + H T Case: Leica robottitakymetri TCA2003 TCA2003 Leica on hyvä esimerkki suhteellisen nykyaikaisesta elektronisesta teodoliitista eli takymetrista. Koje mittaa vaaka- ja zeniittikulmat sekä vinoetäisyydet. Laskutoimitukset ovat varsin monipuolisia sisäänrakennetun ohjelmistonsa ansiosta. Kojeen mittaustarkkuus on (valmistajan ilmoittamana) 0.5 eli 0,15 mgon vaaka- ja pystykulmamittauksissa ja 1 mm + 1 ppm etäisyysmittauksissa. Pisin mittausetäisyys on 3,5 km tavallisilla sääolosuhteilla. 116

127 5.12 Case: Leica robottitakymetri TCA2003 Kojeessa on koaksiaalinen ATR (Automatic Target Recognition, alaluku 5.6.3). Järjestelmä palvelee myös kulmamittauksia. CCD-ilmaisin mittaa prisman heijastaman lasersäteen poikkeamat pysty- ja vaakasuunnassa ja ohjaa moottorit niin, että hiusviivaristikko siirtyy melkein prisman päälle. Pieni jäljellä oleva poikkeama mitataan CCD-kuvassa ja mittauskulmat korjataan vastaavasti. ATR:iä voidaan myös ohjelmoida seuraamaan liikkuvaa kohdetta, tai systemaattisesti etsimään (skannaamaan) kohdetta jos se ei ole odotetussa paikassa. Kojeeseen sisältyy kalibrointiominaisuuksia, mittausohjelmia joilla voi määrittää korkeusindeksivirhe (alaluku 5.9), kollimaatiovirhe (tähtäysakseli ei ole kohtisuorassa vaaka-akselia vasten, alaluku 5.7), tappikaltevuus (vaaka- ja pystyakselit eivät ole keskenään kohtisuoria) sekä etäisyysmittarin ns. nollapiste- eli vakiovirhe (alaluku 6.4.4). Monet etäisyysmittauksen korjaukset eli reduktiot, kuten sääkorjaukset, reduktio vaakatasoon ja jopa karttaprojektioreduktio (Gauss-Krüger tai UTM) voidaan suorittaa jo kojeessa. Kojeessa on laserluoti, joka toimii samalla tavalla kuin optinen luoti (tarkkuuskin on samaa luokkaa, hieman parempi kuin ±1 mm), mutta valo kulkee toiseen suuntaan, teodoliitista alaspäin maanpintaan. Tasaus- ja keskistysmenettely on muuten sama kuin optisen luodin tapauksessa. Kojeessa on rasiatasaimen lisäksi tarkka elektroninen tasain. Näyttö on LCD ja samannäköinen kuin oikea rasiatasain. Se on itsekalibroiva ja kojeen kiertämistä 100 gon tai 200 gon jokaisen tasauksen yhteydessa (kuva 5.8) ei tarvita. Koje on pitkälle automatisoitu: tarjolla on esiohjelmoitu 50 pisteen seurantamittaus. Tämä on hyödyllistä etenkin deformaatiomittauksissa teollisuudessa ja rakennusprojekteissa. On jopa käytettävissä kahta ohjelmointikieltä: GSI yksinkertaiseen käyttöön, ja GeoCOM edistyneeseen käyttöön. Tämän lisäksi on olemassa GeoBasic -ympäristö, joka mahdollistaa lisäsovellusten kehittämisen PC-ympäristössä ja niiden siirtäminen kojeeseen. Datanvaihto kojeen ja tietokoneen välillä voi tapahtua kahdella tavalla: 1. sarjaliitännän (RS232) kautta (tämä tekniikka on vanhentunut, nykylaitteissa käytetään USB-porttia tai Bluetoothia) 2. pysyvää muistikorttia, ns. PCMCIA-korttia, käyttäen. Tallennuskapasiteetti voi olla 512 kb 4 MB. Kortin formaatti on MS-DOS tiedostojärjestelmä FAT. Myös tämä ratkaisu on USBmuistitikkujen myötä vanhentunut. Itse havaintoaineiston formaatti on Leican suunnittelema GSI (Geo Serial Interface), joka on dokumentoitu käsikirjassa. 117

128

129 Etäisyysmittaus Luku Mekaaninen etäisyysmittaus Etäisyyden, tarkemmin pituuden, SI-yksikkö on metri (luku 2.1). Tarkassa etäisyysmittauksessa jäljitettävyys metrin standardiin on tärkeä. Vaikka nykyisin jopa lyhyet etäisyydet mitataan elektronisesti tai optisesti, on hyvää ymmärtää vanhin 1 ja teknisesti yksinkertaisin pituudenmittausmenetelmä, nauhamittaus. Sitä käytetään edelleen paikallisessa mittauksessa, jos matkat ovat lyhyitä ja nauhamittauksen antama tarkkuus riittävä 2. Ja onhan tarvittava välineistö huokea! Nauhamittauksessa on otettava huomioon neljä korjausta: 1. Nauhakorjaus Nauhakorjaus on nauhakohtainen ja määritetään kalibraation avulla komparaattorissa, jonka todellinen pituus tunnetaan tarkasti vertailun ansiosta jäljitettävyysketjun kautta standardimetrin kanssa. Nauhakorjaus l 0 on nyt komparaattorin todellisen pituuden l 0 + l k ja sen kalibroitavalla nauhalla mitatun pituuden l 0 + l m välinen erotus 3 : l 0 = l k l m. Tässä l 0 on nauhan nimellinen pituus, esimerkiksi l 0 = 30 m. 1 Aikanaan Suomen ensimmäisen luokan kolmioverkon mittakaava saatiin siirretyksi Nummelan perusviivasta verkon pääsivuihin invar-lankojen avulla. Invar on seos jolla on hyvin pieni lämpölaajennuskerroin. Myös Maupertuis n mittaaman Lapin astemittauksen kolmioverkon mittakaava saatiin mekaanisesti mitatusta perusviivasta vuoden 1736 talvella Tornionjoen jäällä! 2 Huolellinen nauhamittaus on yllättävän tarkka! 3 Kysymys: miksi etumerkki näinpäin? Miksei l 0 = l m l k? v jana p kaari v b Kuva 6.1. Mittanauhan painumakorjaus. 119

130 6 Etäisyysmittaus 2. Lämpötilakorjaus Lämpötilakorjaus johtuu teräksen lämpölaajenemisesta ja edellyttää siis nauhan lämpötilan mittaamista. Nauhakorjaus ilmoitetaan standardilämpötilalla t 0 = 20 C. Jos teräksen lämpölaajenemiskerroin on α, on lämpötilakorjaus l t = αl 0 (t t 0 ). Tässä α ilmaistaan mikrometreissä metriä ja astetta kohti. Esimerkiksi erään terässeoksen lämpölaajenemiskerroin on 11,34 µm /m C eli α = 11, ( C) 1, koska µm /m = Jos mittanauha on 30 metriä pitkä ja lämpötila 28 C, seuraa, että 3. Painumakorjaus l t = 2,7 mm. Mittauksen aikana mittanauhaa jännitetään tunnetulla voimalla v. Vaikka tämä voima olisi kuinka suuri, nauha asettuu aina ns. ketjukäyrän (en. catenary, itse asiassa cosinus hyperbolicus (cosh) funktio) muotoon. Tähän tarvitaan siis nauhan jännitysvoiman mittaus, kuva 6.1. Ilmiön teoria on yllättävän monimutkainen, ks. Tikka (1985, sivut 75-77). Lopputuloksena painumakorjaus eli jänteen ja kaaren pituusero on l p = b2 24v 2 l3, verrannollinen nauhan pituuden kolmanteen potenssiin. Tässä kaavassa b on nauhan paino metriä kohti ja v nauhan jännitys. Vaiktoehtoisesti voidaan mitata nauhan painuma p keskellä ja käyttää kaavaa 4. Kaltevuuskorjaus l p = 8p2 3l. Tämä ei varsinaisesti ole korjaus, se on reduktio joka on tarpeen jos vinoetäisyyden sijasta halutaan pisteiden välinen vaakaetäisyys. Rutiininomaisessa nauhamittauksessa nauhakohtainen korjaus, lämpötilakorjaus ja painumakorjaus voidaan useimmiten jättää huomioimatta. Niiden seikkaperäinen kuvaus kaavoineen löytyy kirjallisuudesta, esimerkiksi Kahmen ja Faig (1988, sivut ). Kaltevuuskorjaus voi kuitenkin olla merkittävä: jos annettu on mitatun etäisyyden l päätepisteiden korkeusero h, on Pythagoraan lauseen mukaan vaakaetäisyys l v : l v = l 2 h 2. (6.1) Jos on tiedossa vain päätepisteiden välinen kaltevuuskulma α, sin α = h /l, saadaan vaakaetäisyys seuraavasti (kuva 6.2): l v = l cos α. Kaava (6.1) voidaan kirjoittaa usein riittävällä tarkkuudella h 2 κ 2 1 κ l v = l 1 = l 2 1 l l l l + l k, 120

131 6.2 Sähkömagneettinen säteily l h α l v Kuva 6.2. Vinoetäisyyden kaltevuuskorjaus. jossa kaltevuuskorjaus l k = lκ on esitetty kaltevuusprosentin κ funktiona. 6.2 Sähkömagneettinen säteily Valo, radioaallot ja monet muut säteilyn muodot ovat esimerkkejä sähkömagneettisesta säteilystä. Fysiikassa on mietitty pitkään, onko näkyvä valo aaltoliike (Huygens) vai hiukkasten virta (Newton). Interferenssi-ilmiöiden löytäminen ratkaisi kiistakysymyksen aaltoliikkeen eduksi. Siihen auttoi ratkaisevasti myös James Clerk Maxwellin kehittämä sähkömagnetismin kenttäteoria, joka osittaisdifferentiaaliyhtälöiden avulla kuvaa sähkömagneettiset aallot tämän kentän luonnollisena aaltoiluna. Maxwell onnistui jopa laskemaan teoreettisesti niiden etenemisnopeus c, joka oli lähellä jo havaittua valon nopeutta... Aaltoliikkeenä sähkömagneettisella säteilyllä on vaihe φ. Kun kuvataan aaltoliike tasaisen ympyräliikkeen projektiona yhteen ulottuvuuteen 4 (kuva 6.3), on φ se ympyrän keskipisteen kulma, joka mittaa tätä tasaista liikettä. Vaiheen φ ja taajuuden f välinen yhteys on φ (t) = φ (t 0 ) + 2π f (t t 0 ), jossa t on aika ja t 0 vertausaika. Ilmeisesti vaihe on periodinen ja toistuu 2π:n jälkeen. Siksi vaihekulma voidaan aina redukoida väliin [0, 2π). Nykyisin voidaan mitata eri sähkämagneettisten säteilymuotojen aallonpituudet ja taajuudet hyvin tarkasti (kuva 6.4); niiden välillä on yhteys λf = c jossa f on tajuus ja λ aallonpituus. Suure c on valon nopeus (tyhjiössä), joka Einsteinin (tai oikeastaan jo Maxwellin) mukaan on luonnonvakio. 4 Vastaavasti: kompleksisen aaltofunktion exp (iφ) = cos φ + i sin φ reaaliosuutena. φ t Kuva 6.3. Aaltoliikkeen vaihe. Nimi vaihe lienee tullut Kuun vaiheista. 121

132 6 Etäisyysmittaus f λ = c f 30 GHz 300 MHz 3 MHz 30 khz 10 nm 1 µm 100 µm 1 cm 1 m 100 m 10 km Pro- Elekγ tronin Ultravioletti Infra- puna Mikroaallot Vety 21 CO GPS L1 L2 2 IBM PC tonin Röntgen massa massa cm Radio E = hf 124 MeV 1.24 MeV 12.4 kev 124 ev 1.24 ev 12.4 mev 124 µev Kuva 6.4. Sähkömagneettinen säteilyspektri µev Kuitenkin kvanttiteoria on tehnyt hiukkasmallin taas ajankohtaiseksi. Valoa voidaan kuvata hiukkasten, fotonien, virraksi joiden energia on E = hf, jossa h on Planckin vakio. Hiukkasmalli on hedelmällinen etenkin korkeille energiatasoille, kuvan 6.4 vasen puoli. Sähkömagneettinen kenttä on vektorikenttä. Siksi sähkömagneettinen säteily on transversaalinen aaltoliike ja voidaan polarisoida 5. Kuvassa 6.5 on piirretty sekä lineaarisesti että sirkulaarisesti polarisoitua säteilyä. Voi valita kaksi riippumatonta polarisaatiosuuntaa, esim. ylös-alas ja vasenoikea, joista kaikki muut voidaan koostaa yhdistämällä. Esimerkiksi sirkulaarisesti polarisoitua säteilyä saadaan yhdistämällä kaksi keskenään kohtisuoraa lineaarisesti polarisoitua sädettä väiheerolla π /2. Tämä toimii myös toisiinpäin: yhdistämällä myötäpäivään ja vastapäivään sirkulaarisesti polarisoituja säteitä saadaan taas lineaarisesti polarisoitu säde. Lineaarisen ja sirkulaarisen polarisoinnin välimuotoa edustaa elliptisesti polarisoitu säde, jonka kenttävektori kiertää ellipsin muotoista polkua. Hiukkaskielellä voi sanoa, että sähkömagneettinen kenttä on fotonin kvanttiteoreettinen aaltofunktio, joka on siis vektoriarvoinen funktio. Fotoni on vektorihiukkanen, jolla on intrinsinen pyörähdysmomentti eli spin h /2π. Tämä spin voi olla orientoitunut joko lentosuunnan mukaisesti tai sen vastaisesti, mikä vastaa sirkulaariseen polarisaatioon joko myötä- tai vastapäivään. Lineaarisesti polarisoitu säteily taas on tasasekoitus molemmista spin-suunnista. Ks. wikipedia.org/wiki/photon_polarization. 5 Polarisaation oikea ymmärrys oli Thomas Youngin ( ) ja Augustin-Jean Fresnelin ( ) aikaansaama. Polarisaation tutkimuksessa eräs mineraali, kirkas kalsiitti (CaCO 3 ), islanninsälpä, oli keskeisessä roolissa. Kide on kaksoistaittoinen ja jakaa valoa kahteen polarisaatiosuunnan mukaan. Ilmeisesti viikingit käyttivät sitä navigoidessaan Auringon mukaan pilvisellä säällä. Hollantilainen Christiaan Huygens ( ), valon aaltoteorian isä, käytti runsaasti aikaa islanninsälvän kokeelliseen tutkimiseen. Toinen taustatarina liittää polarisaatio elämään. Kiraaliset (ei-peilisymmetriset, kätiset ) molekyylit kuten sokeri kääntävät läpikulkevan valon polarisaatiotasoa, ns. optinen aktiivisuus. Jo Louis Pasteur ( ) tutki eloperäisen viinihapon optisen aktiivisuuden taustaa, ja tiedämme nyt, että ilmiö liittyy itse elämän kiraalisuuteen eli kätisyyteen, kuten DNA-molekyylin kierteen suuntaan. Polarimetri on keskeinen apuväline lääke- ja elintarviketeollisuudessa, mistä syystä islanninsälpä oli pitkään luokiteltu stategiseksi aineeksi. 122

133 6.3 Väisälä-interferometria Kuva 6.5. Sähkömagneettisen säteilyn polarisaatio. Nuolet kuvaavat kentän E-vektoria. Vasemmalla lineaarisesti polarisoitu aaltoliike; oikealla sirkulaarisesti polarisoitu aaltoliike. Islanninsälvän kuva Wikimedia Commons. 6.3 Väisälä-interferometria Eräs klassinen etäisyysmittaustekniikka, joka on edelleen käytössä, on Yrjö Väisälän 6 jo luvulla keksimä valkoisen valon interferenssimenetelmä pitkien perusviivojen pituuden tarkkaan mittaukseen. Menetelmä toimii seuraavalla tavalla. Valkoinen valo kulkee lähteestä havaintolaitteeseen kahta polkua pitkin: 1. suoraan heijastumalla kaukaiselta peililtä 2. heijastumalla useita (kuvassa kolme) kertaa edestakaisin lähempien peilien välillä. Käytetty valo on valkoinen ja sisältää kaikki valkoisen valon eri aallonpituudet. Siksi valon koherenssipituus on hyvin lyhyt, vain 1,3 µm. Tästä syystä interferenssiviivat näkyvät vain, jos molemmat matkat ovat sillä tarkkuudella yhtäpitkät 7. Siis, jos kaukaisen peilin etäisyys on läheisten peilien välisen etäisyyden monikko. Tämä mahdollistaa annetun etäisyyden monistamisen. Oletetaan, että matka peilien 0 ja 1 välillä on tarkasti 1 m. Silloin voidaan interferenssin avulla saada kaukainen peili etäisyyteen 6 m tarkasti. Sen jälkeen otetaan 1-peili pois, ja samalla menetelmällä, käyttäen nyt peiliparia 0 ja 6 läheisinä peileinä, voidaan saada kaukainen peili etäisyyteen 24 m. Ja niin edelleen... Käytännössä tämä ei toimi aivan näin. Kulkumatkojen välille jää aina pieni ero, joka eliminoidaan, siis mitataan, kierrettävän tasapaksun lasilevyn, kompensaattorin, avulla. (Tämä on itse asiassa analoginen, optinen korrelaattori. Ks. kuva 6.7. Korrelaatiolaskennasta laajemmin alaluvussa sivulla 193 GPS:n yhteydessä.) 6 Yrjö Väisälä ( ), Tuorlan taikuri, oli suomalainen tähtitieteilijä, fyysikko, geodeetti, metrologi, teleskooppien rakentaja, komeettojen ja pikkuplaneettojen löytäjä, huvipurjehtija ja esperantisti. 7 Siksi laservalo ei kelpaa! Se tuottaisi interferenssirenkaita silloinkin kun matkat ovat eripitkiä. 123

134 6 Etäisyysmittaus Valolähde Interferenssirenkaat Peili 0 l Kompensaattorilevy Peili l Peili Kuva 6.6. Väisälän interferenssimenetelmä. Alkuperäinen yhden metrin etäisyyden realisoiminen 0- ja 1-peilien väliin ei ole myöskään aivan yksinkertaista. Tähän käytetään metrin pituista kvartsimittaa 8, jonka annetaan koskea toisen peilin pintaa. Toisen peilin ja kvartsimitan pään välisessä ilmaraossa näkyy nyt Newtonin interferenssirengaskuvio. Renkaita laskemalla natriumvalossa voidaan määrittää ilmaraon leveys. Väisälä-menetelmä on erittäin aikavievä. Mittausolosuhteet ovat vain hyvin harvoin sopivia pisimman matkan, 864 m:n, mittaamiseksi. Myös peilien pystytys, suuntaus ja niiden mitattujen paikkojen siirtäminen projektiomittauksin maanalaisiin pysyviin merkkeihin, monimutkainen operaatio joka vaatii oma aikansa. Mittauksen aikana mitataan ilman lämpötilaa jatkuvasti koko linjaa pitkin, mikä työllistää kaksi mittausapulaista. 8 Niiden tarkka kalibrointi on taas ihan oma lukunsa... Analogiat geodesiassa: - Väisälän valkoisen valon interferometria - GPS-mittaus pseudosatunnaiskoodeilla - VLBI (pitkäkantainterferometria) - Mannerliike / paleomagnetismi Kaadettu v Korrelaatiofunktio Kuva 6.7. Puun iänmääritys vuosirenkaiden avulla. 124

135 6.4 Elektroninen etäisyysmittaus Valonlähde. 35 km Modulaatio: Valon intensiteetti Aika Havaitsija Heijastin Kuva 6.8. Fizeaun menetelmä. Menetelmää on käytetty jopa metriä pitkien perusviivojen mittaamiseen Suomen Nummelassa ja monessa paikassa eri maailman kolkissa. Saavutettava tarkkuus on parhaillaan ±0,02 mm. Itse interferenssimittaus on tätä vieläkin tarkempaa, pullonkaula on projektiomittaus, peilien mittausarvojen siirtäminen maanalaisiin merkkeihin. 6.4 Elektroninen etäisyysmittaus Valon nopeus Valon nopeus tyhjiössä on luonnonvakio. Ilmeisesti jo Galilei ( ) yritti mitata sen ennen vuotta 1638 kahden lampun ja apurin avulla: lampusta otettiin suoja pois ja apuri toisella kukkulalla vastasi samalla tavalla. Tietysti tulos oli käyttökelvoton: valon nopeus olisi kokeen mukaan ääretön, tai ainakin hyvin suuri. Ensimmäiset maanpäälliset etäisyysmittarit kehitettiin valon nopeuden määrittämiseksi. Menetelmän prototyyppi on Fizeau 10 n koje, joka koostuu valonlähteen ja heijastimen lisäksi nopeasti pyörivästä hammaspyörästa. Jos pyörä pyörii oikealla nopeudella, valo, joka lähtee yhden hampaiden välisen aukon kautta, palaa seuraavan aukon kautta. Hieman suuremmalla tai pienemmällä pyörimisnopeudella kuitenkin palaava valonsäde osuu hampaaseen. Fizeaun kokeissa mittausmatka oli 35 km. Fizeaun hammaspyörä oli alkeellinen modulaattori. Nykyisin käytetään elektronisia tai sähköoptisia modulaattoreita, joiden tehtävä on vaihdella eli moduloida lähtevän valon intensiteettiä jaksollisesti tietyllä taajuudella = Armand Hippolyte Louis Fizeau ( ) oli ranskalainen fyysikko. Hän mittäsi myös valon nopeutta virtaavassa vedessä ja löysi siihen poikkeaman, joka vasta ertityinen suhteellisuusteoria osasi selittää. Hän on yksi niistä 72 ranskalaisesta tiedemiehesta ja insinöörista, jotka ovat saaneet nimejään Eiffel-torniin, ensimmäisen kerroksen parvekkeen ulkopuolella. 125

136 6 Etäisyysmittaus Elektronisia etäisyysmittauskojeita Kun valonnopeuden määrittämiseksi kehitettyjen laitteistojen ylivoimainen tarkkuus tuli selväksi, kuvio muuttui. Tällä hetkellä valon nopeutta ei enää mitata; se on metrin ja sekunnin määritelmien (ks. luku 2.1) perusteella saatava suure, jonka arvoksi on sovittu täsmälleen m s 1 tyhjössä. Elektroniset etäisyysmittauslaitteet voivat olla rakenteeltaan kolmeä tyyppiä: 1. Erillisiä: kiinnitetään pakkokeskistyslaitteeseen. Ratkaisu on käynyt harvinaiseksi laitteiden pienentymisen myötä. 2. Erillinen osa joka kytketään teodoliitin mittauskaukoputken päälle. Tämäkin ratkaisu on käynyt epäkäytännölliseksi. Haittoina voi mainita a) kojeen kallistuskorjaus on tehtävä, ks. luku b) esimerkiksi klassinen Distomat-etäisyysmittari istuu teodoliitin putken päällä, estäen sen kääntäminen toiseen kojeasentoon. 3. Integroitu teodoliitin kanssa. Puhutaan koaksiaalisesta ratkaisusta: valo kulkee molempiin suuntiin teodoliitin mittauskaukoputken läpi ja käyttää samaa optiikkaa. Elektroninen etäisyysmittaus jakautuu käytetyn taajuusalueen mukaan kahteen päätyyppiin: 1. Sähkömagneettinen (mikroaaltoja käyttävä). Vanhentunut (mutta GPS käyttää myös mikroaaltoja!). 2. Sähköoptinen a) näkyvä valo, valkoinen: Mekometer b) laservalo tai valodiodi, näkyvä tai lähi-infrapuna. Monokromaattinen. Laitetyypistä riippumatta mittaus tapahtuu moduloimalla joko valo (tai infrapuna) tai radioaallot (mikroaallot) tietyllä taajuudella, ja mittaamalla vaihe-eron lähtevän ja kohteesta heijastuvan säteilyn välillä. Vaihemittaus voi olla äärimmäisen tarkka, mutta se ei kerro montako kokonaisia aallonpituuksia mahtuu matkan sisälle, ns. ambiguiteettiongelma. Signaalin kulkuaika on t = φ 1 2π + n f, jossa f on taajuus, φ mitattu vaihe-ero radiaaneissa, ja n tuntematon ns. ambiguiteettiluku. Koska mitattu vaihe-ero on aina välissä [0, 2π), ei mittaus vielä riitä t:n määrittämiseen. Voisimme kyllä laskea yksi mahdollinen kulkuaika mutta se ei ole yksiselitteinen. t = φ 2π Vaihemittaus tapahtuu tarkan aikaeromittauksen avulla: kun vertaussignaali menee nollan läpi positiiviseen suuntaan, se käynnistää laskurin, ja kun saapuva mittaussignaali tekee samoin, laskuri pysähtyy ja arvo luetaan. Ks. kuva 6.9. Vaihemittauksesta ϕ lasketaan etäisyys: s = 1 2 c t = f, c t + nλ, 126

137 6.4 Elektroninen etäisyysmittaus Lähetetty vaihe = 0 Vastaanotettu vaihe = 0 t t = t t 0 Lähetetty Vastaanotettu Start t 0 Kello Stop t Kuva 6.9. Digitaalisen vaihemittauksen periaate: nollavaihe käynnistää / pysähtyy elektroninen laskuri eli kello. jossa λ = c /f on aallonpituus ja n tuntematon määrä kokonaisia aallonpituuksia. Kokonaistuntemattomien eli ambiguiteettien n määrittäminen on ongelma, jonka tulemme näkemään myös GPS:n kantoaaltovaihemittausten yhteydessä. Etäisyysmittareissa käytetään useita eri modulaatiotaajuuksia f i (eli vastaavasti aallonpituuksia λ i = c /f i ), jotka on valittu niin että vain yksi etäisyys s, ja vastaava kulkuaika t, on yhteensopiva kaikkien aallonpituuksien kokonaistuntemattomien n i kanssa. Nykyisin on saatava pieniä ja edullisia, käsikäyttöisiä etäisyysmittareita jotka toimivat joko infrapunasäteen tai akustisen (ultraääni-) säteen avulla. Ne ovat käteviä rakennusprojekteissa, ja jopa asunnonvälittäjät käyttävät niitä Heijastimia Sähköoptiset laitteet tarvitsevat toimiakseen kohteeseen sijoitettavan heijastimen. Tyyppillisesti käytetään ns. kulmaprismaa (corner cube prism). Ks kuva Kulmaprisman toiminta perustuu kolmeen keskenään kohtisuorassa olevaan heijastuspintaan, joista ensimmäinen kääntää valosäteen x-koordinaatin x-suuntaan, toinen y-koordinaatin y:hyn ja kolmas z-koordinaatin z:n λ 1 λ 2 λ 3 Kulkuaika t t 0 Yhteinen ratkaisu Kuva Ambiguiteetit eli kokonaislukutuntemattomat ratkaistaan käyttämällä useita aallonpituuksia. Kuvassa on kolmella eri aallonpituudella vastaanotetut signaalit. Oletetaan, että lähetettyjen signaalien vaihekulmat ovat kaikki nolla lähetyshetkellä t 0. Ainoa mahdollinen kulkuaika on se, jolla kaikki kolmen vastaanotetun signaalin vaihekulma on myös nolla. Se on merkitty nuolella. 127

138 6 Etäisyysmittaus z y x Kuva Kuutioprisma. suuntaan. Lopputulos on täydellinen inversio: x y z Prismaan osuva valosäde heijastuu takaisin juuri vastakkaiseen suuntaan, riippumatta siitä, mistä suunnasta se tuli ainakin prisman avauskulman sisällä. Lyhyillä kantomatkoilla voi käyttää myös heijastavia tarroja, tai itse kohteen heijastamaa valoa ilman apukeinoja. Tällöin mittaustarkkuus ei välttämättä ole paras mahdollinen! Pidemmillä matkoilla voi yhden prisman sijasta käyttää kolmen prisman rykelmää. Hyvin pitkillä matkoilla (kymmeniä kilometrejä) voidaan laittaa useat prismat yhteen patteriin. Nykyisin sellaiset etäisyydet (vektorit) mitataan kuitenkin GNSS:lla. Prismakokoonpano sopii pakkokeskistyslaitteeseen. Huom: Kun käyttää prismalla varustettua tähystä, teodoliittia ei saa kohdistaa prisman ristikkoon! Se voi olla (ja varmaan onkin) vinossa eikä tähän tarkoitettu. Käytä tätä varten tehdyt reunamerkit! Ks. kuva x y z Elektronisten etäisyysmittareiden kojevirheet Elektronisen etäisyysmittarin systemaattinen kojevirhe jaetaan kahteen osaan: 1. nollapistevirhe eli vakiovirhe 2. mittakaavavirhe eli taajuusvirhe Kuva Prismojen patteri pitkille etäisyyksille. 128

139 6.4 Elektroninen etäisyysmittaus (a) Ei näin... (b)...vain näin. Kuva Väärä ja oikea kohdistus prismalla varustettuun tähykseen. Vakiovirhe on laitevakio joka määritetään kalibroinnin avulla. Taajuusvirhe on mittakaavavirhe joka sekin määritetään kalibroinnin avulla (taajuuskalibraatio). Vakiovirhe (nollapistevirhe) johtuu siitä, että kojeen sähköinen keskus on eri paikassa kuin sen nimellinen paikka. Laitteen sisällä signaali kulku voi sisältää tuntemattomia viiveitä. Vakiovirhe voi riippua lämpötilasta, muuttua hitaasti ajassa ( ryömiä ) ja se voi muuttua korjaustoimenpiteiden yhteydessä. Siksi säännöllinen kalibrointi on suositeltava käytäntö. Myös heijastimella on vakiovirhe, ja usein ilmoitetaan kojeen ja heijastimen yhteenlaskettu vakiovirhe. 1. Taajuusvirhe määritetään laboratoriossa käyttäen tarkkaa taajuusstandardia. Näin saadaan etäisyysmittauksen laitekorjaus: s = a + s + V s, jossa s s a V korjattu etäisyys mitattu etäisyys kojeen vakiokorjaus (nollapistekorjaus) kojeen taajuuskorjaus: V = f mitattu f annettu f mitattu. (6.2) Taulukko 6.1. Vakio- ja taajuusvirheen laskeminen lineaariregressiolla. Vakiovirheen a ja taajuusvirheen V laskemiseksi (estimoimiseksi) käytetään seuraavaa lineaarisen regression standardikaavaparia: V = n n s i=1 i s i n s n i=1 i s i=1 i n n i=1 s 2 n i s 2, a = 1 n n s i V s i. n i=1 i i=1 i=1 Tässä n on käytettyjen pisteiden määrä, vähintään

140 6 Etäisyysmittaus Tässä f mitattu on laboratoriomittauksesta saatu taajuusarvo, f annettu on valmistajan ilmoittama (ja kojeen sisään ohjelmoitujen korjauskaavojen pohjana oleva) taajuusarvo. 2. Vakio- ja taajuusvirhe saadaan selville kalibroimalla laite tarkalla perusviivalla: jossa s i = s i + a + V s i, s s i perusviivan antama oikea etäisyys kalibroitavan kojeen mittaama etäisyys mittauspisteen numero perusviivalla, esim. pilarin numero. Kirjoitetaan s i s i s i = a + V s i ja ratkaistaan a ja V lineaarisen regression avulla, ks. taulukko 6.1. Tietenkin hyvän kalibrointituloksen aikaansaaminen edellyttää riittävän pitkän kalibrointiviivan käyttöä. Lyhyellä viivalla voidaan määrittää ainoastaan a riittävällä tarkkuudella. Etäisyysmittauksen satunnainen kokonaisvirhe, ts. mittausarvojen hajonta, riippuu yleensä myös mitatusta etäisyydestä. Usein käyttökelpoinen kaava on σ = α + βs, jossa α on nollamatkan satunnaisvirhe, β on matkasta riippuva satunnaisvirhe ja σ on näistä laskettu mittauksen keskivirhe. Tässä oletetaan että systemaattiset virheet kuten vakiovirhe ja taajuusvirhe ja tarvittavat reduktiot ovat jo otettu huomioon korjauksina. 6.5 Säteen kulku ilmakehässä Ilmassa, kuten muussakin väliaineessa, valo (ja muu sähkömagneettinen säteily kuten infrapuna tai radioaallot) kulkee hitaammin kuin tyhjiössä. Väliaineen hidastava vaikutus ilmaistaan taitekertoimen n avulla, jonka määritelmä on n c 0 c, jossa c on valon nopeus ilmassa ja c 0 valonnopeas tyhjiössä, luonnon vakio. Koska ilma on kaasu, siis ohut väliaine, ovat n:n arvot aina hyvin lähellä lukua yksi. Siksi käytetään myös määritelmää, joka antaa taitekertoimen poikkeaman arvosta yksi, yksikkönä miljoonasosa: N 10 6 (n 1) Ilman taitekerroin näkyvän valon aallonpituuksille on seuraavan, Kansainvälisen Geodeettisen Assosiaation (IAG:n) v yleiskokouksessaan Birminghamissa hyväksymän, likimääräisen kaavan mukaan (Rüeger, 1990, s. 55): jossa N L = N 0 (λ) 273,15 K T p 1013,25 hpa 11,27 K /hpa, (6.3) T 130

141 6.5 Säteen kulku ilmakehässä N 0 (λ) käytetyn valon (aallonpituus λ) taitekerroin standardiolosuhteissa (NTP), siis T = 273,15 K = 0 C, P = 1013,25 hpa T p e lämpötila, yksikkö kelvin (K), eli absoluuttinen lämpötila ilmanpaine, yksikkö hehtopascal (hpa) eli millibaari (mbar) ilmakehän vesihöyryn osapaine ( absoluuttinen kosteus ), yksikkö myös hehtopascal. N 0 riippuu vain käytetyn valon aallonpituudesta. Likiarvokaava sen laskemiseksi on N 0 = 287, ,8866 µm2 0,0680 µm4 +. (6.4) λ 2 λ 4 Tämä on ns. ryhmätaitekerroin, joka eroaa vaihetaitekertoimesta 11. Elektronisten ja sähköoptisten etäisyysmittauslaitteiden yhteydessä tulee käyttää ryhmätaitekerrointa, koska informaatio kulkee kantoaallon modulaatiossa, joka etenee ryhmänopeudella. Esimerkki: helium-neon-laserilla (aallonpituus λ = 632,8 nm) kaava (6.4) antaa N 0 = 300,231. Mikroaaltojen taitekerroin taas on N M = 77,624 K /hpa T (p e) + 64,70 K /hpa T K T e. (6.5) Toisin kuin valon ja infrapunan taitekerroin, mikroaaltojen taitekerroin ei ole troposfäärissä riippuvainen aallonpituudesta. (Kuitenkin mikroaaltojen kulku ionosfäärissä on aivan toinen, satelliittipaikannukselle relevantti asia). Mielenkiintoisena yksityiskohtana voidaan vielä todeta, että mikroaaltojen refraktiokaavassa (6.5) lämpotilassa T = 273,15 K, e:n vaikutuksen suhde p:n vaikutukseen on yli sataa kertaa suurempi kuin optisessa refraktiokaavassa (6.3)! Kerroin p e Suhde Optinen 0, , ,13925 Mikroaalto 0, , ,374 Mikroaallot ovat siis herkkiä vesihöyrylle 12 mikä on tämän mittaustekniikan eräs haittapuoli. Ongelma tulee esille myös GNSS-mittauksissa. Taitekerroin vaikuttaa mitattuun etäisyyteen seuraavalla tavalla: 11 Itse asiassa vaihetaitekerroin on vastaavasti s s = (n 1) s, (6.6) N 0 = 287, , 62887µm2 0, 01360µm4 +. λ 2 λ 4 12 Tämä johtuu vesimolekyylien epäsymmetrisyydestä ja suuresta dipolimomentista eli poolisuudesta: H 2 O- molekyylissä kahden O H sidoksen välinen kulma on 104, 5. Tämä on samalla syy miksi vesi on neste huonelämpötilassa, ja niin hyvä liuotin, ja miksi mikroaaltouuni on niin kelpo ruuanlaittoväline. Kaikki muut ilmakehän molekyylit, N 2, O 2, CO 2, Ar, O 3, CH 4, ovat poolittomia, ja kaasuja. Poolisuus. 131

142 6 Etäisyysmittaus jossa s on mitattu etäisyys ja s todellinen etäisyys joka mitattaisiin tyhjiössä. Refraktiokorjaus sovelletaan nyt seuraavasti: s = s + K 1, jossa K 1 = (n 1) s on refraktiokorjauksen perinteinen merkintätapa. Koska korjaus on niin pieni, saa matkalle s käyttää likiarvoa. 6.6 Kaarevuuskorjaukset Etäisyysmittauksessa kaarevuuskorjaukset ovat toisen luokan korjauksia: ne ovat merkittäviä vasta, kun mittausetäisyys ylittää monta kilometria. Näin ollen ne eivät vaikuta kartoitus- tai alemman luokan runkomittauksiin. Koska nykyisin runkomittaus tapahtuu lähes yksinomaan GNSS:n avulla, ovat nämä korjaukset vain historiallisesti kiinnostavia, ja esittelemme ne vain lyhyesti, seikkaperäisemmät selostukset löytyvät kirjallisuudesta (Rüeger, 1990, 2002). Kaarevuuskorjauskaavoissa esiintyy taas jo pystykulmamittauksen yhteydessä (luku ) tutuksi tullut refraktiokerroin k. Korjaukset ovat neljänlaisia: 1. Sädepolun kaarevuuskorjaus Mittaussäteen kaareutuminen aiheuttaa matkan pitenemisen. Mitattu etäisyys on siis tästä geometrisesta syystä todellista matkaa pitempi. Korjauksen kaava on K 3 = k 2 s 3 jossa k on refraktiokerroin, ks. alaluku Maan pinnan kaarevuuskorjaus 24R 2 Eri reduktiovaiheiden jälkeen saadaan yleensä kahden vertaustasolla olevan projektiopisteen välinen, suora etäisyys. Halutaan kuitenkin etäisyys kaarevan Maan pintaa pitkin, joka on pitempi. Tämän korjauksen kaava on 3. Toinen nopeuskorjaus K 5 = s3 24R 2. Yleensä refraktion vaikutus mittaussäteen kulkuun lasketaan matkan molemmissa päätepisteessä suoritettujen paine- lämpötila- ja kosteusmittausten perusteella. Hyvin pitkillä matkoilla nämä mittaukset eivät enää ole edustavia koko sädepolun kannalta. Toinen nopeuskorjaus on systemaattinen efekti joka johtuu siitä, että säteen kaarevuus eroaa Maan pinnan kaarevuudesta, yhdessä ilmanpaineen ja näin taitekertoimen vahvan pystygradientin kanssa. Kun säteen polun kaarevuus on pienempi kuin Maan pinnan, sukeltaa polku pitkillä matkoilla syvemmin Maan ilmakehään kuin mitä polun päätepisteet 132

143 6.7 Geometriset reduktiot A P B n P 1 2 (n A + n B ) Kuva Toinen nopeuskorjaus: kaarevalla maapallolla mittauspolun päätepisteiden taitekertoimet eivät ole edustavia. kertovat. Ks. Rüeger (1990, s. 81.). Perinteinen nimitys ja laskukaava jonka johtaminen on työläs ovat s 3 K 2 = k (1 k) 12R. 2 Kaikki kolme korjausta voidaan yhdistää yhdeksi kaavaksi: K 235 = K 2 + K 3 + K 5 = (1 k) 2 s 3 Lasketaan joitakin arvoja olettaen, että k = 0,2: 24R 2. s 1 km 3 km 10 km 30 km 100 km K 235 0,65 µm 18 µm 0,65 mm 18 mm 0,65 m Efekti on siis tavallisesti todella pieni. 4. Maastokorjaus J. Kakkurin tutkima maastokorjaus (kuva 6.15) johtuu siitä, että ilmakehän saman lämpötilan pinnat, isotermiset pinnat, yleensä seuraavat maaston muotoja. Siksi, samalla tavalla kuin toisen nopeuskorjauksen tapauksessa, säämittaukset pisteissä A ja B eivät edustaa mittauspolun keskiarvoa. Tähän ilmiöön ei löydy yksinkertaista kaavaa. 6.7 Geometriset reduktiot Reduktio vertauspintaan Yllä kuvattujen kaarevuuskorjausten ansiosta alkuperäinen mittaus redukoitiin sekä mittausäteen että maapallon pinnan kaarevuuden vuoksi. Korjausten K 1 ja K 2 ansiosta myös ilmakehän Isotermiset pinnat A P B Maasto n P 1 2 (n A + n B ) Kuva Etäisyysmittauksen maastokorjaus. Maastomuotojen vuoksi mittauspolun päätepisteiden taitekertoimet eivät ole edustavia. 133

144 6 Etäisyysmittaus K 3 B A s 0 Kartta- A B taso A s K 5 B Kuva Etäisyysmittauksen reduktio vertaustasoon, kaava (6.7). refraktio on otettu huomioon. Mittauspolku on kuitenkin edelleen kalteva ja Maan pinnan yläpuolella. Korjaus eli reduktio valittuun vertauspintaan korjaa sekä mitatun avaruusetäisyyden kaltevuuden että sen korkeuden valitun lähtötason yläpuolella. Vertauspinnaksi kelpaa: merenpinta vertausellipsoidin pinta paikallisesti annetun vertaustason ( nollatason ) korkeus. Reduktio suoritetaan seuraavasti: s 2 = s 2 0 h2 (1 + h A/R) (1 + h B/R), (6.7) jossa s 0 on (mitattu) vinoetäisyys avaruudessa, s redukoitu etäisyys (siis etäisyys vertauspinnalle projisoitujen pisteiden A, B välillä, ks. kuva 6.16), h A = AA ja h B = BB pisteiden korkeudet vertauspinnasta, h = h A h B, ja R (likimääräinen) Maan kaarevuussäde. Korkeuksiin h A, h B sisältyy kojeen ja tähyksen korkeudet. Taulukossa 6.2 joitakin esimerkkejä korjausten arvoista s s 0. Kyten näkyy, voi tämä korjaus olla jo huomattava myös lyhyillä matkoilla. Nykyiset teodoliitit ja takymetrit osaavat laskea itse laitteistokohtaisten korjauksien lisäksi ainakin mitatun etäisyyden kaltevuuskorjausta. Taulukko 6.2. Etäisyysreduktion esimerkkejä. s 0 = 100 m 1 km 10 km 100 km h A = 0, h B = 10 m 0,50 m 51 mm 13 mm 79 mm h A = 0, h B = 100 m - 5,0 m 0,58 m 0,83 m h A = 0 m, h B = 1000 m m 13 m h A = 100 m, h B = 100 m 1,6 mm 16 mm 0,16 m 1,6 m h A = 1000 m, h B = 1000 m 16 mm 0,16 m 1,6 m 16 m 134

145 6.7 Geometriset reduktiot B Etäisyysmittari A Teodoliitti Heijastinprisma A Tähys Kuva Kojeen kallistuskorjaus etäisyysmittauksessa Karttaprojektioreduktio Karttaprojektioreduktiota tarvitaan jos halutaan vertausellipsoidille redukoidun kaaren pituuden s ell sijasta pituus karttatasossa, projisoitu pituus s proj. Esimerkiksi Suomessa käytetyn Gauss-Krüger -projektion tapauksessa likimääräinen reduktio tehdään seuraavasti: s GK = s ell 1,0 + y 2 A + y A y B + y 2 B 6R 2, (6.8) jossa etäisyys s on pisteiden A ja B (karttakoordinaatit 13 (x A, y A ) ja (x B, y B )) välillä. Tämä reduktio riippuu valitusta karttaprojektiosta ja on siis erilainen eri karttaprojektioille. Esimerkiksi Universal Transverse Mercatorin eli UTM-projektion kaava on muuten sama kuin kaava (6.8), mutta vakio mittakaava keskimeridiaanilla on 0,9996 eikä 1, Kojeen kallistuskorjaus Harvinaisiksi käyneillä epäkeskisillä etäisyysmittareilla on tehtävä teodoliitti-etäisyysmittari-yhdistelmän epäkeskisyydestä (tähys-prisma-yhdistelmän ei-kallistumisen yhteydessä!) johtuva kallistuskorjaus. Ks. kuva Korjaus on K 4 = Atan B, (6.9) jossa A on teodoliitin ja etäisyysmittarin optisten akselien etäisyys pystysuunnassa ja B on kallistuskulma, B = ζ 100 gon jossa ζ on mitattu zeniittikulma. Tässä on oletettu, että heijastimen ja tähyksen välinen korkeusero on sama kuin teodoliitin ja etäisyysmittarin optisten akselien välinen korkeusero, A. Koaksiaalisella laitteistolla on A = Tässä y on raakaetäisyys keskimeridiaanista, ilman vale-itää (false Easting) m! 135

146 6 Etäisyysmittaus 6.8 Etäisyyskorjausten yhteenveto Kartoitusmittauksissa ja yleensä mittauksissa, missä mitattu matka ei ylitä muutama kilometri, eli valtaosassa mittauksista riittävät hyvinkin seuraavat korjaukset ja reduktiot: vakiokorjaus a ja taajuuskorjaus V kalibrointitietojen perusteella refraktiokorjaus K 1 säämittausten perusteella kojeen kallistuskorjaus K 4, ellei etäisyysmittari ole koaksiaalinen (keskistyskorjaus, ellei pääse mittaamaan itse pisteeltä ja joudutaan mittaamaan apupisteeltä) yhdistetty reduktio mittaussäteen kaltevuudesta ja korkeudesta vertaustasosta, kaava (6.7) sivulla 134 mahdollisesti karttaprojektiosta johtuva reduktio karttatasoon (korjaukset Maan ja mittaussäteen kaarevuudesta, toinen nopeuskorjaus ja maastokorjaus voidaan jättää huomioimatta). 136

147 Runko- ja kartoitusmittaus Luku Runkomittauksen tehtävä ja suunnittelu Runkomittauksen tehtävä on luoda, verkkohierarkian avulla, geometrinen perusta maan kartoitukseen. Tähän tarkoitukseen luodaan pysyvä, riittävän tiheä ja tarkka kiintopisteistö johon eri käyttäjäryhmien paikalliset mittaukset sidotaan. Kiintopisteiden koordinaatit on tiedossa kansallisessa koordinaattijärjestelmässä ja käyttämällä ne saadaan myös paikallisesti mitatut pisteet ja laaditut kartat samaan järjestelmään. Kiintopisteitä käytetään sekä yksityiskohtien mittauksissa kartoitusmittauksissa että suunnitelmien maastoon merkitsemisessä käänteisessä kartoitustehtävässä. Runkomittauksen suunnittelu lähtee olemassa olevan tilanteen inventoinnista ja tarpeiden analyysista. Tavoite on rakentaa riittävän tarkka ja tiheä kiintopisteverkko ja tehdä se mahdollisimman vähin kustannuksin. Kuitenkin se kannattaa suunnitella tulevaisuutta varten, erityisesti kiintopistealustaa valittaessa ja monumentoinnissa. Paikanvalinnassa otetaan huomioon mahdollisesti tulevaa rakennustoimintaa, joka saattaa tuhota pisteitä tai tehdä ne käyttökelvottomiksi tuhoamalla mittauksen näkyvyysehdot: teodoliittimittauksen tapauksessa pisteiden keskinäinen näkyvyys, satelliittimittauksen tapauksessa taivaan riittävä näkyvyys pisteiltä. Verkon yksityiskohtaiseen suunnitteluun kuulu rekognosointi: tarkistetaan paikan päällä, että mittaukset voidaan suorittaa kuten on suunniteltu. Rekognosointia edeltää karttarekognosointi, jossa jo toimistossa arvioidaan tilannetta. Jos luodaan uusia pisteitä, on laadittava pisteille selkeä ja käyttökelpoinen pistekortti jonka avulla muutkin voivat löytyä perille. Tarkkuuden lisäksi luotettavuuteen on kiinnitettävä huomiota: luotettavuus on se, että mahdolliset karkeat virheet huomataan mahdollisimman suurella varmuudella, ja että suurimman mahdollisen huomaamatta jääneen virheen vaikutus lopputulokseen (koordinaattiratkaisuun) on mahdollisimman pieni. Tätä varten verkossa on oltava riittävästi redundanssia: aina on suunnitelmassa oltava riittävästi ylimääräisiä mittauksia välttämättömän minimimäärän lisäksi. Perinteisen ratkaisun kolmioverkko jonoverkolla tihennettynä sijasta käytetään nykyisin laajasti GNSS-verkkoja. Niitäkin on suunniteltava oikein eli hierarkisesti ja mittaukset on suunniteltava niin että tavoitetarkkuus ja -tiheys saavutetaan taloudellisella tavalla. Runkomittaukselle löytyy seuraavat menetelmävaihtoehdot: satelliittipaikannus (GNSS) perinteinen terrestrinen mittaus takymetrillä fotogrammetrinen ilmakolmiointi. Valinta perustuu käyttötarkoitukseen (alueen koko ja tarkkuusvaatimukset) ja pisteiden näkyvyysolosuhteisiin. 137

148 7 Runko- ja kartoitusmittaus Runkomittauksen mittausteknologia on viime aikoina kokenut mullistuksen. Perinteisesti runkomittaus on tehty kolmiomittauksen ja monikulmiojonomittauksen avulla vaakatasoon, ja tarkkavaaituksen ja alemman luokan vaaituksen avulla kun oli kyse korkeusmittauksesta. Nykyisin käytetään aina GNSS:ää jos vaan mahdollista. Kuitenkin on käyttötilanteita, joissa perinteiset tekniikat edelleen loistavat, esimerkiksi tunneli- ja kaivosmittauksissa joissa ei näy taivasta. 7.2 Ohjeistus Geodeettisen mittaustyön laadun ja tehokkuuden varmistamiseksi on olemassa monenlaiset standardit ja ohjeet. Tässä esitetään vain virallisimmat. Tärkeä ohjeistus on Maanmittauslaitoksen laatimat Kaavoitusmittausohjeet (Maanmittauslaitos, 2003). Ohjeistus koskee runkoverkkomittaus, kartoitusmittaukset, ilmakuvaus ja kaavan pohjakartan laadinta, sekä työn dokumentointi. Runkomittausta, vertausjärjestelmiä, karttaprojektioita ja kaavoitusmittausta on viime aikana ohjeistanut JUHTA, Julkisen Hallinnon Tietohallinnon Neuvottelukunta, joka julkaisee sarjan JHS, Julkisen Hallinnon Suositukset. Vuonna 2013 päätettiin jatkossa julkaista kaavoitusmittausta koskevat ohjeet JHS-sarjassa (Ollikainen, 2013). Aiheisiin liittyvistä suosituksista voi mainita seuraavat verkkojulkaisut: JHS 153: ETRS89-järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa (JUHTA, JHS 153). JHS 154: ETRS89 -järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako (JUHTA, JHS 154). JHS 163: Suomen korkeusjärjestelmä N2000 (JUHTA, JHS 163). JHS 178: Kunnan paikkatietopalvelurajapinta. Määrittelee rajapinnan nimeltä kuntagml (Geography Mark-up Language) (JUHTA, JHS 178). JHS 184: Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä (JUHTA, JHS 184). JHS 185: Asemakaavan pohjakartan laatiminen. Tämä korvaa osittain aiemmin Maanmittauslaitoksen laatimat Kaavoitusmittausohjeet ja Kaavan pohjakartta (JUHTA, JHS 185). Suositukset 153 ja 154 ovat (2015) päivitystyön alla. Tärkeää standardointityötä on myös sanastotyö. Mainittakoon Maanmittauslaitoksen ja Sanastokeskus TSK:n yhdessä laatima Geoinformatiikan sanasto. Ohjeistus ja standardointi on jatkuva työ. 7.3 Verkkohierarkia ja -luokitus Jo viime parin vuosikymmenen aikana lähes kaikki runkomittaustyö tehdään GNSS-tekniikan avulla lukuunottamatta osaa tarkkavaaitusta, teknisista syistä (geoidi-ongelma). Taulukossa 7.1 seuraavalla sivulla on luetteloitu mitkä tekniikat käytettiin silloin ja käytetään nyt runkomittauksen yhteydessä. Taulukko kuvaa myös hyvin käsitettä verkkohierarkia: paikallisemmat verkot sidotaan aina laajempiin verkkoihin, jotka ovat niiden muodollinen totuus. Työskentelyjärjestys on aina suuresta pieneen, ensin mitataan kaiken laajimmat verkot, joita sitten tihennetään supeamman alueen mittausten avulla. Tällä tavoin saadaan kiintopisteistö joka on 138

149 7.3 Verkkohierarkia ja -luokitus Taulukko 7.1. Runkomittauksen menetelmät. Mitta- Luokitus kaava vanha uusi Perinteiset menetelmät Nykyaikaiset menetelmät Globaali - - GNSS, VLBI, satelliittilaser, DORIS 1000 km - E1 - GNSS, pysyvä verkko (FinnRef TM ) 100 km I. E1b,E2 I. luokan kolmiomittaus GNSS, EUREF-FIN -tihennys 10 km II, III E3 alemman lk. GNSS, staattinen kolmiomittaus 1 km IV, V E4 monikulmiojonot, ilmakolmiointi GNSS, ilmakolmiointi. RTK ei suositella (a) Hierarkian taso unohtuu väliltä (b) Kahden eri hierarkiapolun käyttö yhdessä mittauksessa Kuva 7.1. Verkkohierarkian merkitys. Ei näin... vaan näin. 139

150 7 Runko- ja kartoitusmittaus Kevo 70 Kilpisj"arvi 68 Hetta Savukoski 68 Sodankyl"a 66 Tornio Oulu Kuusamo Pyh"ajoki Kivetty Vaasa Romuvaara Joensuu 62 Rauma Orivesi Mikkeli 60 Finnstr"om Tuorla Mets"ahovi Degerby Masala Virolahti Kuva 7.2. Suomen pysyvä GNSS-verkko FinnRef. Mittausasemat keräävät jatkuvasti GNSSmittausaineistoa. Laskentakeskus sijaitsee Maanmittauslaitoksen paikkatietokeskuksessa FGI Masalassa. koko Suomen kattava riittävän tiheä: rakennustoiminta vaatii lähtöpisteitä riittävän lähellä, korkeintaan muutaman sadan metrin etäisyyksillä projektialueelta ja toisiltaan laadultaan homogeeninen. Hierarkkisen menetelmän avulla pyritään välttämään se hankala tilanne, missä vierekkaisilla pisteillä on eri polkujen kautta saatu määritetyksi koordinaatteja, joiden keskinäinen relatiivinen sijaintitarkkuus on heikko. Taulukossa mainitut uudet mittausteknologiat käsitellään laajemmin myöhemmissä luvuissa. Taulukossa mainitun ensimmäisen luokan kolmiomittauksen verkko käsittää 364 pistettä ja kattaa koko Suomen alueen; sen mittasi Geodeettinen laitos vuosina Alemman luokan kolmiomittauksia ja monikulmiojonomittauksia suoritti Maanmittaushallitus/Maanmittauslaitos. 140

151 7.3 Verkkohierarkia ja -luokitus P"assil"anvuori Kaskinen V"a"att"ainen Degerby K"okar Samminmaja Isoviita Karhunoja Perni"o Dragsfj"ard 24 Pettuvuori Vastinki IsoLehtom"aki Nummikangas Hanko Mutala Siikaneva Pohjalahti Aulanko Vaaterinm"aki Rokokallio H"ark"ap"a"a Porlammi Helsinki Bredberg Puolakka 62 Haukkam Hevosoja Kymi Kuva 7.3. Suomen EUREF-FIN ensimmäisen vaiheen tihennysverkko, osa. Nämä pisteet yhdessä FinnRef -pisteiden kanssa muodostavat E1-luokan. 24 Paikallisia mittauksia suorittivat monet tahot, mm. kunnat. Vastaavalla tavalla (JUHTA, JHS 184) E1 ja E1b -luokan pisteet mittasi Geodeettinen laitos, kun taas E2 ja E3 ovat Maanmittauslaitoksen mittaamia. E4 ja käyttöpistemittausluokat E5 ja E6 mittaavat kunnat. Nykyisin Suomessa valtakunnallisen GNSS-verkkojen ylintä tasoa muodostaa pysyvä GNSS-verkko eli FinnRef. jonka asemat mittaavat jatkuvasti. Aikanaan se koostui 13 asemasta, vuosina suoritetun uudistuksen jälkeen sillä on 20 asemaa. Havaintoaineistoa kerää Maanmittauslaitoksen Paikkatietokeskus FGI, entinen Geodeettinen laitos. Vuosina GL suorittii kaksivaiheinen EUREF-FIN tihennysmittaukset staattisella GPS-tekniikalla, käsittäen yhteensä n. 450 pistettä. Ensimmäinen vaihe käsitti 100 pistettä, ks. kuva 7.3 ja JUHTA (JHS 153). Se mitattiin vuosina Yhdessä pysyvän GNSS-verkon FinnRefin kanssa se muodostaa modernin luokan I eli E1. Yhdessä ne määrittävät EUREF-FIN -koordinaatiston. Toinen EUREF-tihennysvaihe, jota mitattiin vuosina , käsittää 350 pistettä ja on tarkoitettu helpommin saavutettavaksi pisteistöksi käytännön mittauksiin. Sen luokitus on E1b. Maanmittauslaitos on suorittanut jo monta vuotta runkomittauksia staattisella GPS-tekniikalla: luokan E2 pisteitä, joiden mittaukset ovat suoraan sidottuja E1 ja E1b luokan pisteisiin, on olemassa n Viime aikoina kinemaattinen GNSS-mittaus (RTK, real-time kinematic) on yleistynyt alemman luokan runkomittauksissa, vaikka sen soveltuvuus tähän on uskottavasti kyseenalaistettu. Hyvän kuvauksen Suomessa käytetyistä koordinaattiratkaisuista ja niiden välisistä yhteyksistä antaa Häkli ym. (2009). 141

152 7 Runko- ja kartoitusmittaus Paikallinen luotiviiva Pysty Vaaka Kolmiomittausverkko Vaaka- ja pystykulmamittaukset Monikulmiojono Kuva 7.4. Kolmioverkko ja monikulmiojono avaruudessa. 7.4 Maastosta, ellipsoidista ja karttatasosta Geodeettiset mittausverkot, kuten kolmiomittausverkko ja monikulmiojono, ovat itse asiassa kolmiulotteisia verkkoja, kuva 7.4. Looginen ajatus on suorittaa myös verkon laskenta eli tasoitus kolmiulotteisesti: pisteiden sijainnit kirjoitetaan kolmiulotteisesti suorakulmaisten koordinaatien muodossa ja jokainen havaintosuure kuvataan näiden pisteiden koordinaattien funktioina, joiden välillä mittaus tapahtuu. Näin saadaan havaintyhtälöt joihin verkon laskenta perustuu. Kolmiulotteinen verkkotasoitus on houkutteleva ajatus, lähinnä sen perusidean yksinkertaisuuden vuoksi. Kuitenkin havaintoyhtälöiden muodostus on monimutkainen, koska mittaukset tehdaan jokaisessa pisteessä kojekoordinaateissa, siis sellaissa koordinaatistossa, jonka z-akseli osoittaa paikallista luotiviivaa pitkin ylöspäin. Luotiviivan suunta, jonka voi mitata tähtitieteellisin menetelmin, on erilainen jokaisessa pisteessä, kuten kuvasta 7.4 näkyy. Tämä merkitsee, että ainakin vaaka- tai pystykulmien havaintoyhtälössä molemman päätepisteen luotiviivan suunnan on oltava mukana. Se tekee näistä huomattavan monimutkaisia. Vinoetäisyysmittauksilla sen sijaan on yksinkertainen havaintoyhtälö. Toisaalta terrestriset geodeettiset mittaukset tehdään aina Maan fysikaalisen pinnan läheisyydessä, yleensä pinnan päällä olevien pisteiden välillä. Näin ollen tämä verkkogeometria voidaan kutsua kvasi-kaksiulotteiseksi ja tuntuu järkevältä yrittää suorittaa myös laskennat kaksiulotteisesti, sopivasti valitun, Maan pintaa lähellä olevan, matemaattisesti yksinkertaisen laskentapinnan avulla. Kuitenkin Maan fysikaalinen pinta vuoristoineen syvyyksineen on liian rosoinen laskentapinnaksi. Sopivammat laskentapinnat ovat vertausellipsoidi tai (pienehköllä alueella) karttaprojektiotaso, kuva 7.5. Laskentaa varten havainnot redukoidaan tähän laskentapintaan Tasoitus vertausellipsoidilla Vertausellipsoidi yhtyy suhteellisen hyvin Maan pintaan ja yksinkertaisena matemaattisena pintana se sopii laskentapinnaksi. Taulukko (7.2) kuvaa kiinteän Maan fysikaalisen pinnan ja vertausellipsoidin välisten erojen suuruutta 1. Ja huomautetaan vielä, että ihmiskunta elää kiinteän 1 Vertailun vuoksi: Mars-planeetan vuori Olympus Mons on 22 km korkea, 0,648 % Marsin säteestä. Marsin painovoimakiihtyvyys onkin vain kolmasosa Maan arvosta. 142

153 7.4 Maastosta, ellipsoidista ja karttatasosta B A B C A C (a) Mittaus maastossa Z B A C Y x B X A C y (b) Projisoitu vertausellipsoidille (c) Karttaprojektiotasossa suorat kaareutuvat Kuva 7.5. Vertausellipsoidin ja projektiotason käyttö maan kartoituksessa. Maan pinnan läheisyydessä maa-alueilla, mutta merenpinnan läheisyydessä merialueilla: taulukon antama vaikutelma on liian pessimistinen. Vertailun vuoksi GRS80-vertausellipsoidin päiväntasaaja- ja napasäteiden välinen erotus on jo 21,4 km. Vertauspallo olisi jo selvästi heikompi approksimaatio. Vertausellipsoidia käytettiin laskentapintana jo laajasti 1800-luvulla, ennen tietokoneiden ja satelliittipaikannuksen olemassaoloa. Tarvittava matematiikka on mutkikas, mutta menetelmä on intuitiivisempi: terrestriset geodeettiset mittausverkot ovat Maan pinnalla lähellä vertausellipsoi- Taulukko 7.2. Maan fysikaalisen pinnan ja vertausellipsoidin välinen etäisyys, kilometreissa ja suhteessa Maan säteeseen. Yksikkö Korkein Syvin Maan Meren (Mt. Everest) (Mariaanien hauta) keskikorkeus keskisyvyys km +8, ,84 3,8 % +0,138 0,17 +0,013 0,06 143

154 7 Runko- ja kartoitusmittaus dia ja paikalliset luotiviivat, joiden suuntaisesti mittauslaitteiden pystyakselit orientoidaan, ovat lähellä vertausellipsoidin normaalia. Nykyisin runkoverkkoja mitataan satelliittitekniikan avulla ja perinteinen menetelmä on jäänyt historiaan. GNSS-mittausverkkoja tasoitetaan aina aidosti kolmiulotteisesti Tasoitus karttatasossa Pienten, paikallisten verkkojen, esimerkiksi monikulmiojonojen, tasoitus voidaan, ilman merkittävää virhettä, suorittaa suoraan karttaprojektiotasossa. Karttaprojektio toteutetaan aina näin, että ensin maaston pisteille lasketaan geodeettiset koordinaatit ϕ ja λ vertausellipsoidin pinnalla. Näin suoritetaan projektio ellipsoidin pintaan. Tämän jälkeen ellipsoidilla olevat pisteet projisoidaan karttaprojektiotasoon. Tietenkään ellipsoidin kuperaa pintaa ei voida kuvata virheettömästi tasolle. Projisoidut kohteet vääristyvät: suunnat ja etäisyydet, ja siis myös pinta-alat ja tilavuudet, ovat vääriä karttatasossa. Karttaprojektio valitaan niin, että jotkut, tärkeäksi katsotut asiat eivät vääristy. Jotkut muut asiat silloin vääristyvät, joskus pahasti. Esim. konforminen projektio kuvaa kulmat ja pituussuhteet oikein, mutta, kuten klassinen Mercator-projektio näyttää, se voi kuvata pinta-aloja hyvinkin väärin. Konformisessa projektiossa pienet kohteet kuitenkin kuvautuvat oikean muotoisina: niiden mittakaava ja absoluuttinen orientointi voivat olla pielessä, mutta muoto on oikein. Suuremmissa kohteissa ellipsoidista projisoidut suorat viivat ovat karttatasossa kaarevia. Karttatasossa suunnat voivat olla erilaisia kuin ellipsoidin pinnalla 2 vaikka kulmat ovat konformisessa projektiossa identtisiä. Karttaprojektiotasossa tasoitusongelman ilmaisu ja ratkaisu on suhteellisen yksinkertaista, kuitenkin se edellyttää, että 1. etäisyydet on redukoitu ensin vertaustasoon, sen jälkeen karttaprojektiotasoon (siis karttaprojektion mittakaavareduktio on tehty) 2. karttaprojektio on konforminen, jolloin mitatut vaakakulmat ovat suoraan käyttökelpoisia ilman reduktioita. Yleiskartoille käytetyt karttaprojektiot ovat konformisia, kuten Suomessa käytetty Gauss-Krüger ja UTM. Suomessa karttakoordinaatit siis kelpaavat suoraan 3. zeniittikulmat kahden mittauspisteen A ja B välillä on mitattu molempaan suuntaan, ja käytettävä kulma on mittausten keskiarvo ζ = (ζ A+ζ B )/2. Silloin voidaan laskea korkeuksia vertaustasosta suorakulmaisen geometrian mukaan 4. koordinaateiltaan tunnetut pisteet, kuten monikulmiojonon tapauksessa alku- ja loppupisteet sekä alku- ja loppuliitospisteet, on projisoitu karttaprojektiotasoon käyttämällä eksakteja projektiokaavoja. Tämän lähestymistavan visuaalinen selostus löytyy kuvassa 7.6. Monikulmiojono- eli polygonimittauksessa kojeena käytetään elektronista takymetriä. Mittaus on yleensä viimeinen vaihe tuodessaan koordinaatteja (x, y) mitattavien yksityiskohtien välittömässä läheisyydessä oleviin asemapisteisiin. 2 Klassisessa Mercator-projektiossa ne ovat kuitenkin identtisiä, mikä on sen arvostettu ominaisuus merenkulussa. 144

155 7.5 Kartoitusmittaus Luoti- viiva ζ A s ζ B B ζ A ζ B B A h A α C h B A h A Projektiotaso α C s proj h B Kuva 7.6. Pienen verkon tasoitusgeometrian siirtäminen karttaprojektiotasoon. 7.5 Kartoitusmittaus = Kahmen ja Faig (1988, pp ) Kartoitusmittaus on runkomittauksiin perustuva, yksityiskohtien kartoitukseen tähtäävä mittausprosessin vaihe. Se on koko kartoitusprojektin työläin vaihe. Kartoitusmittaus koostuu tietojen keruusta ja aineiston käsittelystä halutun lopputuotteen, kartan tai digitaalisen paikkatietoaineiston, aikaansaamiseksi. Kartoitusmittaus perustuu runkomittaukseen: käsittelyvaiheessa on mukana runkomittauksen tulokset, jotka varmistavat tuotteen geometristä oikeellisuutta. Seuraavassa käsitellään yksityiskohtaisemmin neljää klassista menetelmää, suorakulmainen kartoitus, sidoslinjamittaus, säteittäinen kartoitus ja vapaan asemapisteen mittaus. Paikallisissa kartoitusmittauksissa on suosittu menetelmä myös tosiaikainen kinemaattinen satelliittipaikannusmenetelmä (en. RTK, real-time kinematic), joka on monesti kilpailukykyinen. Sen käyttö on kuitenkin hankalaa esimerkiksi korkearakenteisessa kaupunkimaisemassa, katukanjonissa, ja mahdotonta maan alla kaivos- tai tunnelimittauksissa Suorakulmainen kartoitus (prismamittaus) Tähän tarvitaan välineiksi mittanauha, suorakulmaprisma (kaksoisprisma), linjaseipäitä karttalinjojen viitoittamiseksi ja ruutupaperia, kuva 7.7. Mittaus suoritetaan kuvan 7.8 mukaan. A ja B ovat tunnettuja pisteitä, yleensä alimman mittaustarkkuusluokan monikulmiojonopisteitä. Suorakulmat luodaan suorakulmaprisman avulla: Kun seisoo linjalla AB, näkyvät molemmat päätepisteet (eli näillä pystytetyt seipäät) päällekkäin laitteessa joka sisältää kaksi prismaa. Toinen katsoo kulman 100 gon verran oikeaan suuntaan, toinen saman kulman verran vasempaan eli vastakkaiseen suuntaan. Etäisyydet b saavat olla enintään yhden nauhamitan (50 m) pituisia. Kuvan oikealla puolella näkyy, miten rakennus mitataan suorakulmaisella menetelmällä. Aina on huolehdittava siitä, että on riittävästi redundanssia eli kontrollia mahdollisten erehdysten löytämiseksi. Tässä esimerkissä voitaisiin mitata talon seinämitat. Mittaukset numeroarvoineen kirjoitetaan käsipiirrokseen, eksteriööriin, mielellään siististi ja järjestelmällisesti, tavalla josta muutkin kuin itse piirtäjä piirtämisen hetkellä saavat selvää. Ks. Tikka (1991, sivut ). 145

156 7 Runko- ja kartoitusmittaus Linjaseiväs gon Pentagooniprisma (2x) Eksteriööri Tasain Kaksoisprisma Mittanauha Kuva 7.7. Suorakulmaisen mittausmenetelmän apuvälineet Sidoslinjamittaus Joskus käytetään menetelmää, missä mittaus suoritetaan pelkkänä etäisyysmittauksena useissa tihennysvaiheissa ( Tie-in survey, Kahmen ja Faig (1988)), kuva 7.9. Tässä esimerkissä on mitattu lavistäjälinja ja talon mitat tarkistukseksi. Näin voidaan jo kentällä huomata, jos mittauksissa on virhe. Karkea tarkastus voidaan tehdä graafisesti. Useammin käytetään sekamuotoa, missä sidoslinjamenetelmä täydentää suorakulmaista menetelmää Säteittäinen kartoitus Säteittäinen kartoitus eli sädekartoitus (Tikka, 1991, sivut ) on selostettu kuvassa Pisteiden i = 1, 2,..., n tasosijainnin määritys tapahtuu mitattavien kulmien α i ja (vino-) etäisyyk- x Mittanauha x i a i P b B i a P b P B A Kaksoisprisma A y y Kuva 7.8. Suorakulmainen kartoitus. 146

157 7.5 Kartoitusmittaus B A C D Kuva 7.9. Sidoslinjamittaus. Lävistäjämittaus ja talon seinämitat toimivat tarkistuksiksi. sien s i avulla. Kuvassa esimerkkipiste on i = 2. Koordinaateiltaan tunnetulla pisteellä yleensä jonopisteellä A mitataan vaakakulma toisen tunnetun liitospisteen B ja määritettävän pisteen P välillä. Orientaatiosuunta t AB lasketaan geodeettisen käänteistehtävän avulla pisteiden A ja B annetuista sijaintikoordinaateista. Sen jälkeen x i = x A + s i cos (t AB + α i ) = s i sin ζ i cos (t AB + α i ), y i = y A + s i sin (t AB + α i ) = s i sin ζ i cos (t AB + α i ), Tässä mitattu vinoetäisyys on redukoitu vaakaetäisyydeksi s i = s i sin ζ i, jossa ζ i on korkeus- eli zeniittikulma, joka tulee myös mitata. Käytettävä laitteisto on elektroninen takymetri, sopivalla ohjelmistolla varustettuna. Koje valitaan tulevan kartoituksen tavoitetarkkuuden mukaan. Sädekartoituksen etuna on, että samalla saadaan korkeusmittaus kaupanpäälliseksi trigonometrisena määrityksenä: Jos laite mittaa sekä korkeuskulman ζ i että vinoetäisyyden s i, saadaan vaakaetäisyyden s i lisäksi myös kolmas koordinaatti 3 : z i = z A + s i cos ζ i. Joko pisteen A tai pisteen B korkeuden on oltava tunnettu korkeuslaskennan lähtöarvoksi. Jos pisteen B korkeus on annettu, ei tarvitse edes mitata takymetrin korkeutta merkin A yläpuolella, koska prismasauvan korkeus ei muutu mittauksen aikana. Säteittäinen kartoitus on numeerinen kartoitusmenetelmä, jossa karttatuote tehdään laskennallisesti numeeristen kartoitusmittojen α i ja s i pohjalta niiden metatietojen avulla. Kun mittaukset kerätään elektronisesti, on tämä edullinen ja helposti automatisoitava silloin, kun mitattavien pisteiden määrä on suuri ja tarkkuusvaatimukset korkeat. 3 Käytämme korkeuskulmalle symbolia ζ ja korkeuskoordinaatille symbolia z sekaannuksen välttämiseksi. 147

158 7 Runko- ja kartoitusmittaus B Takymetri t AB 1 B A α 2 s 2 2 A Prismasauva 4 3 (a) Mittausgeometria 2 (b) Suoritustapa Kuva Säteittäinen kartoitusmenetelmä. Erityisesti kaupunkialueiden mittauksissa sädekartoitus on käyttökelpoinen, koska suorakulmaisen menetelmän vaatima kartoituslinjojen viitoittaminen voi olla liikenteen vuoksi hankalaa. Myös sellaiset kohteet joissa tarvitaan sekä taso- että korkeustietoja (tekniset erikoismittaukset, rakennusja johtokartoitukset) ja ruuhkaiset työmaat ovat sädekartoitukselle sopivia Vapaan asemapisteen mittaus Vapaan asemapisteen menetelmällä takymetri pystytetään mielivaltaiseen paikkaan maastossa, josta on hyvä nykyvyys mitattaviin pisteisiin sekä vähintään kahteen, mieluummin kolmeen-neljään, koordinaateiltaan tunnettuun pisteeseen. Menetelmän etuna on, että kojetta ei tarvitse pystyttää tarkasti tunnetun pisteen eli maastomerkin yläpuolella: keskistyksen, ja kojekorkeuden mittaamisen, tarve väistyy. Työskentely nopeutuu. Menetelmä on yleistynyt elektronisten takymetrien saatavuuden ja laskentatehon kasvun myötä. Periaatteessa kuitenkin menetelmää voitaisiin käyttää jopa teodoliitin ja mittanauhan avulla. Ks. kuva Huomaa, että takymetrin alla ei ole maastomerkkiä! Olkoon koordinaateiltaan tunnettuja pisteet A(x A, y A ) ja B (x B, y B ). Koje pystytetään merkitsemattomaan pisteeseen O. Havaitaan pisteille A, B ja tuntemattomille pisteille i = 1, 2, 3,..., n (kuvan esimerkkipiste i = 2) vaakakulmat α i = t i t A etäisyydet s i. Mittaus antaa paikallisessa eli kojekoordinaatistossa (u, v) : u A = s A, v A = 0, u i = s i cos α i, v i = s i sin α i. Nyt voidaan geodeettisen päätehtävän avulla laskea kaikille pisteille A, B, 1, 2,..., i,..., n koordinaatit (u A, v A ), (u B, v B ), (u i, v i ) koordinaatistossa jonka u-akseli on OA. 148

159 7.6 Kartoitusmittauksen suorittaminen x 4 A u s A O. α 2 1 Takymetri O A 3. B s 2 (a) Mittausgeometria v 2 y B Prismasauva (b) Suoritustapa perspektiivikuvana 2 Kuva Vapaan asemapisteen kartoitus. Helmert-muunnoksella (alaluku 3.8) muunnetaan nyt kojekohtaiset (u i, v i )-koordinaatit maastokoordinaateiksi (x i, y i ). Helmert-muunnoksen tuntemattomat parametrit voidaanhan ratkaista kahden pisteiden, A:n ja B:n, koordinaattien avulla molemmissa koordinaatistoissa. 7.6 Kartoitusmittauksen suorittaminen Kartoitusmittausta voidaan suorittaa maastomittauksena, jolloin se usein rajoittuu suppealle alueelle. Silloin käytettävä koje on elektroninen takymetri. Vaihtoehdoksi tarjoutuu GNSS esimerkiksi tosiaikainen kinemaattinen eli RTK-menetelmä tai ilmakuvaus, jotka eivät kuitenkaan aina sovi yksinään maaston peitteisyyden vuoksi. Paikallisessa mittauksessa perinteinen prismaja mittanauhamittaus tulee kysymyksiin, mutta tehdään nykyisin harvemmin sen alhaisemman tuottavuuden vuoksi Mitattavat tiedot ja työskentely Mitataan jokaisesta mittausasemasta kolmiulotteisesti jokaisen mitattavan pisteen vaakasuunta (t), zeniittikulma (ζ) ja etäisyys (s). Laite itse laskee suorakulmaiset koordinaatit (x, y, z) ja suorittaa yksinkertaisia tarkastuksia. Kun koko kohde on kartoitettu, otetaan konseptitulostus työmaatoimistossa ja suoritetaan kokonaisvaltainen laaduntarkastus. Seuraavat tiedot kerätään: Yleistiedot: työmaa, päivämäärä, kellonaika, sää, havaitsija. Tunnuksia, koodeja tarpeen mukaan (alaluku 7.6.2). Jokaiselta asemapisteeltä: asemapiste (numero, laji), kojekorkeus liitospisteet (numero, laji), vaakakulma, zeniittikulma, etäisyys, prismakorkeus 149

160 7 Runko- ja kartoitusmittaus Maasto Takymetri Tiedon keruu Tallennus Työmaa Käsittely mikrotietokoneessa Käsittely tallentimessa Havaintokirjan tms. tulostus Tallennus (tikku, DVD,...) x,y Karttatulostus Toimisto Tallenne Palvelin Siirto verkkoon x,y Tietokantaan Lopullinen karttatulostus Kuva Kartoitusmittauksen työskentelykaavio. Kuvassa entisajan teknologioita kuten kynäpiirturit ja levykkeet, joista aika on jättänyt vaikka työvaiheet pysyvät. kartoituspisteet (numero, laji), vaakakulma, zeniittikulma, etäisyys, prismakorkeus. Työskentelyvaiheet: Maastopisteet valitaan maaston ja mittauksen tavoitteen mukaisesti. Esim. jos halutaan muodostaa epätasaisen alueen tarkka maastomalli, on kerättävä pisteitä sopivan tiheästi. Suoritetaan mittaus: kerätään ja esikäsitelään havaintotietoja. Aineisto käsitellään. Tulos esitetään ja arkistoidaan. Tulos on mittaustyön raportti sisältäen mm. käytettyjen menetelmien kuvaus, mittausolosuhteet, pistekoordinaatit ja niiden tarkkuusarvio, konseptikartta, ja mahdollisesti pinta-ala- tai tilavuuslaskennat tai muut relevantit mittaustulokset. Nykyisin työskentelytapa on täysin digitaalinen. Laitteisto ja ohjelmisto Tallentimet voivat olla erityyppisiä kannettavia laitteita joissa pyörii mittavatkin ohjelmistot standardiympäristössä. Kuitenkin laitteiden on oltava kenttäolosuhteita kestäviä. Tietotekniikan kehitys on johtanut kahdenlaiseen trendiin: 150

161 7.6 Kartoitusmittauksen suorittaminen Maastomittaus Projektin laskenta: koodaus määrälaskenta mallit Tallennus projektitietokantaan Tallennettavien pisteiden valinta: muunnos (Helmert) uudelleenkoodaus Tallentaminen yleiseen tietokantaan Kuva Koodausprosessi. Tiedot viedään harkinnanvaraisesti yleiseen tietokantaan myöhempää käyttöä varten. takymetrien kasvavan tietojenkäsittelykyvyn vuoksi erilliset tallentimet ovat osin väistymässä, kuitenkin yhä tavallisempi on nähdä standardi tabletti tms. ohjaamassa takymetriä langattomasti. Ohjelmistot ohjaavat koko havaintotyöskentelyä maastossa. Ohjelmistot mahdollistavat keruun, tarkastuksen, käsittelyn ja raportoinnin maastossa. Maastomittauksessa on myös laskennan osalta erotettava erillisinä vaiheina runkomittaus ja kartoitus. Molempia varten on kehitetty omat rutiinit Maastotietojen koodaus Maastotietojärjestelmä on paikkatietojarjestelmän eräs erikoistapaus. Se palvelee maastotietojen tehokasta keräämistä geodeettisin keinoin jatkokäsittelyä varten ja eroaa siten yleispaikkatietojärjestelmistä. Maastomittaukset kerätään numeerisina ja näihin kuuluu pistekohtaisten mittaustietojen lisäksi myös ns. metatietoa eli metadataa: dataa kuvaava dataa. Metatiedon käsite voidaan kuvata maastokartan avulla: karttaan on kuvattu paljon enempää kuin vain mitattuja pisteitä. Pisteet muodostavat kohteita, lineaarisia (tiet, kadut, vesitiet,... ) alueen muotoisia (tonttien rajat, rakennukset, metsät ja pellot,... ) tai kolmiulotteisia (kukkulat ja laaksot, maaston muodot). Kaikki kuvataan eri tavalla kartalle ja käytetty kuvaustapa dokumentoidaan kartan legendassa 4. Legenda on siis tavallisen paperikartan metatieto. Mittausten dokumentointi jo mittausvaiheessa edellyttää, että samalla rekisteroidään myös metatiedot: kuuluuko tämä piste tontin rajaan, onko se tien reuna, onko se puu (ja mikä laji), vai onko se vain maaston korkeuspiste, josta tullaan laskemaan korkeuskäyriä tai maan tilavuuksia. Tarkoitukseen on kehitetty eri maastotietojen koodausmenetelmiä, joiden avulla tiedot siirtyvät helpommin ja mahdollisimman automaattisesti. Tietyt asiat on koodattava maastossa maastomittausta tehtäessä: 4 Legenda, lat. mitä on luettavissa. 151

162 7 Runko- ja kartoitusmittaus Kuva Kohteiden ominaisuudet eri kerroksina. Paikkatietojärjestelmän avulla paikkatietoja voidaan tehokkaasti yhdistellä, analysoida, jalostaa. maastossa mitattujen pisteiden pistenumerot. Niitä voidaan generoida myös (puoli-)automaattisesti pisteiden lajikoodit muiden, pisteistä koostuvien, kohteiden, kuten viivojen ja alueiden, lajikoodit tietyt yksilöivät ominaisuustiedot. Laskennan ja tietokantoihin talletuksen yhteydessä koodausta voidaan tietyltä osin täydentää, esim. topologiatiedolla. Maastossa suoritettu koodaus ei myöskään ole lopullinen seuraavista syistä: 1. kaikkia maastopisteitä ei viedä yleisiin tietokantoihin 2. projektikohtainen koodaus ei sovi yleiseen käyttöön. Usein projektikohtaisia tietoja ei tallenneta yleiseen tietokantaan lainkaan, vaan alue kartoitetaan uudestaan, kun työ on valmis as-built -kartoitus. Idea on, että kartoitetaan valmis tilanne, jolloin ei voi tulla sekaannuksia sen välillä, mikä on toteutettu ja mikä oli vain suunniteltu, mutta eriävän toteutuksen jälkeen ei mitattu uudelleen. Ks. kuva Vanhat, laajassa käytössä olevat koodaukset perustuvat kaavoitusmittausohjeiden luokitukseen, tavoitteena karttatuotteen tulostaminen. Nykyisin päälähtökohtana on paikkatietojen yhteiskäyttö alan eri toimijoiden välillä. Paikkatietotekniikka antaa mahdollisuudet tähän ja moneen muuhun tehokkaaseen käyttöön, muun muassa Kohteiden sijainnit on annettu samassa yhteisessä koordinaattijärjestelmässä. Ennen tämä järjestelmä oli KKJ (tai YKJ), ks. alaluvut ja Nykyisin se on aina EUREF-FIN ja sen eri karttaprojektiokoordinaatistot, ks. alaluku ja Tämä helpottaa eri kohteiden yhdistäminen samaan järjestelmään ja antaa lisäarvoa. Käytettävissä on monia menetelmiä ja työkaluja eri tietojen yhdistelyyn, analyysiin ja jalostukseen. 152

163 7.6 Kartoitusmittauksen suorittaminen Taulukko 7.3. Maastotiedon luokitteluja. Luontotiedot Kulttuuritiedot Maan pintakerroksen Kiinteistöt laatu Maan pinnan muodot Rakennukset, rakennelmat Maaperä, kallioperä Katu- ja johtoverkostot Kasvillisuus Kaavoitus Vesistöt... Sijaintitiedot Koordinaattitiedot (missä) Geometriatiedot (minkä muotoinen) Topologiatiedot (suhteet naapureihin) Ominaisuustiedot Yksilöivät o. Paikantavat o. Ajoittavat o. Kuvailevat o. Usein eri ominaisuudet esitetään digitaalisen kartan eri tietokerroksina, joita voi käsitellä yhdessä käyttäen erilaisia operaattoreita: kartta-algebra. Ks. kuva Kohteiden tietoja voidaan lajitella ja luokitella eri ominaisuuksien perusteella, esimerkiksi karttalehden kaikki GNSS-pisteet ruudussa (x a, y a ) (x b, y b ) olevat kairauspisteet kunnan viemäriverkon kaivonkannet. Paikkatietoja voidaan visualisoida ja näin saattaa myös ei-kartta-ammattilaisten käyttöön. Sisällön mukaan maastotiedot voidaan jakaa kahteen tietotyyppiin: luontotietoihin ja kulttuuritietoihin (Salmenperä, 1998, s ). Toinen maastotiedon luokittelutapa on joko sijaintitietona tai ominaisuustietona. Ks. taulukko 7.3. Osa kultuuritiedoista (paikannimet!) ei ole havaittavissa maastossa, kuten ei myöskään maan omistussuhteet. 153

164

165 Rakentamisen mittaus Luku Kaavat ja maastoonmerkintä Maankäyttö- ja rakennuslain (1999/132) mukaisia kaavamuotoja ovat asemakaava (aikaisemmat asema-, rakennus- ja rantakaava) ja yleiskaava. Molemmat hyväksyy kunta. Tämän lisäksi on vielä maakunta- ja seutukaava, jotka ovat korkeamman tason kaavoja. Yleiskaava on kunnan alueiden pääpiirteinen maankäyttösuunnitelma. Kaavoihin kuuluu pohjakarttoja, joiden mittakaava vaihtelee 1: : ja 1:5000 1:4000 välillä. Uusien kaavoitusmittausohjeitten (JUHTA, JHS 185) mukaan määritellään kolme mittausluokkaa. Jokaisella mittausluokalla on vastaava pohjakartan suositusmittakaava. Digitaalisella karttatuotteella ei ole varsinaista mittakaava, mutta kerätyn karttatiedon tarkkuus on oltava suositusmittakaavaa vastaava. Koordinaatti- ja korkeusjärjestelmät ovat uudet EUREF-FIN ja N2000 ja karttaprojektioksi käytetään Gauss-Krügeriä (ETRS-GKn, jossa n on kunnan pituusaste kokonaislukuna). 1. Ensimmäiseen mittausluokkaan kuuluvat asemakaava-alueet ovat taajama-alueet, joilla maa on erittäin arvokasta ja joilla on voimassa sitovan tonttijaon asemakaava tai rakennuskielto tällaisen asemakaavan laatimista varten. Asemakaavan pohjakartan mittakaava on 1:500 tai 1:1000. Kartoituksissa, joita on tarkoitus käyttää osana kunnan paikkatietojärjestelmää ja hyödyntää suurta tarkkuutta edellyttävässä teknisessä suunnittelussa, voidaan käyttää vieläkin tarkempaa mittausluokkaa 1e. 2. Toiseen mittausluokkaan kuuluvat asemakaava-alueet (aik. rakennuskaava-alueet) ovat taajama-alueita, joille laadittavassa asemakaavassa ei edellytetä sitovaa tonttijakoa. Pohjakarttojen mittakaava on 1:1000 tai 1: Kolmanteen mittausluokkaan ranta-asemakaava-alueet ja ranta-alueet sekä muut sellaiset alueet, joilla maa on maa- ja metsätalousmaata selvästi arvokkaampaa, esimerkiksi ns. hajaasutusalueet. Pohjakartat laaditaan mittakaavassa 1:2000 tai erityistapauksissa 1:4000 tai 1:5000. Kaavan mm. rajamerkkien maastoonmerkintä (paalutus) on suoritettava tarpeen mukaan ennen rakennustöiden alkua. Maastoonmerkinnässä käytettävien merkkien laadusta ja kiintopisteiden tarkkuudesta sekä töiden suoritustavasta on kaavoitusmittausohjeissa tarkat ohjeet. Kaava-alueen runkoverkko on tarpeen vaatiessa täydennettävä. Maastomerkinnässä käytetään automaattista takymetriä, tosiaikaista kinemaattista GNSS-mittausta (RTK, real-time kinematic) tai muuta riittävän tarkkaa mittaustekniikkaa. Kojeen muistiin viedään sekä tunnettujen pisteiden että maastoon merkittävien pisteiden koordinaatit. Käytetty menetelmä on säteittäinen mittaus tai vapaa asemapiste -menetelmä. Koje itse laskee paalutusmitat. Maastossa voidaan joustavasti päättää mihin koje sijoitetaan: kartalta ei aina näy pisteiden välistä näkyvyyttä. 155

166 8 Rakentamisen mittaus Kartoitus Kaavoitus Kiinteistönmuodostus Suunnittelu Rakentaminen Koepaalutukset Rajapisteiden merkitseminen Rakennuksen paikan merkintä Rakennusvalvonnan katselmukset (kartoitus) Katujen ja muun infrastruktuurin rakentaminen, rakentamisen mittaukset Kuva 8.1. Maastoonmerkintä eli paalutus. Prosessikuvaus. 8.2 Maastoonmerkintä ja infrastruktuuri Kaavoituksen yhteydessä suoritetaan kaavoitetun alueen tekninen (infrastruktuurin) suunnittelu: Kaavalla osoitetaan alue tiettyyn käyttötarkoitukseen. Kiinteistönmuodostus järjestää maan omistussuhteet ja -rajat sekä rasitteet ynnä muuta. Suunnittelu ja rakentaminen toteuttavat kaavassa ilmoitetun käyttötarkoituksen ja alue otetaan käyttöön. Tekniikan eli infrastruktuurin (katujen, teiden, katukaluston, johtojen, kaapeleiden ym.) rakentamisen mittaukset ovat oma mittaamisen osa-alue. Kaavanlaskenta: Kaavan piirros, graafinen esitys, esitetaan numeerisessa muodossa. Kaava tulkitaan ympyränkaareina ja janoina lähtien tunnetuista elementeistä, kuva 8.2. Lasketaan ensin murtoviivakulmio A 1,..., A 7, ja sovitetaan siihen ympyräkaaret K 1,..., K 7. Maastoon merkittäviä ovat kaavarajat: kortteleiden, tonttien, tilojen, yleisen liikenteen ja virkistysalueiden sekä rakennusalojen rajat. Maastoon merkittäville kohteille lasketaan koordinaatteja. Ks. kuva 8.3. Geodeettisella päätehtävällä lasketaan merkittäville pisteille suuntia ja etäisyyksiä kojeen sijaintipaikasta. Säteittäistä menetelmää käyttäessä kojeen paikaksi valitaan tunnettu piste. Säteittäinen mittaus (alaluku 7.5.3) maastoonmerkinnässä toimii näin: Kulma α i ja etäisyys s i lasketaan kaavan mukaisesta pisteen P i koordinaateista. Koje asetetaan pisteelle A ja suunnataan tähykselle B, molemmat tunnettuja. Käännetään kaukoputki niin, että lukemaksi tulee α i. Heijastinprisma siirretään niin, että sen etäisyyslukemaksi A:sta tulee s i. Lyödään paalu, tarkka merkki, jonka kohdalle rakennetaan rajamerkki. Myös vapaan asemapisteen menetelmää ja suorakulmaista merkintää käytetään. 156

167 8.2 Maastoonmerkintä ja infrastruktuuri C A 2 B T 21 T 12 D T 32 T 23 R 2 R 1 A 1 A 3 K 7 K 1 R 3 T 34 T 43 A 4 R 4 K 5 K 3 A 6 K 4 R 5 T 56 K 2 R 7 T 67 R 6 A 7 T 71 E T 45 K 6 A 5 A F Kuva 8.2. Kaavan tulkinta esimerkki. B P i α i s i Tunnetut koordinaatit Tuntemattomat koordinaatit Koordinaateiltaan tunnettu piste eli merkki ("pyykki") Laskettavia pisteitä 10 m R = 10 m A 8 m R = 25 m Kuva 8.3. Maastoon merkintä, (vasemmalla) säteittäinen mittausmenetelmä, (oikealla) sovellus tiealueelle. 157

168 8 Rakentamisen mittaus C P D C P 1 P 2 P 3 P 4 D b C A a C a P b P (a) Periaate B a D b D b C b 1 A a C a1 a 2 (b) Useita pisteitä b 2 b 3 b 4 b D a 3 B a 4 ad Kuva 8.4. Suora merkitsemistapa. 8.3 Suorat, ympyränkaaret, kulmien pyöristys Suoran merkitseminen On saatava tuntemattoman pisteen P merkitsemismitat a P, b P annetusta suorasta AB. Jos tiedetään, että piste P on suoralla C D, voidaan P:n merkitsemismitat johtaa suoraan pisteiden C, D merkitsemismitoista a C, b C ja a D, b D ja P:n etäisyydestä suoraa C D pitkin (eli etäisyys C P): a P = a C + C P C D (a D a C ), b P = b C + C P C D (b D b C ). Tämä on ns. suora merkitsemistapa, esim. mittanauhan ja suorakulmaprisman avulla. Vaihtoehtoisesti käytetään koordinaatteja. Tätä varten on tunnettava pisteiden A, B koordinaatit kartalta. Lasketaan C, D:n koordinaatit ja niistä P:n koordinaatit. Tämän jälkeen lasketaan P:n merkitsemismitat. Standardiohjelmistot osaavat tämän. Tulos on helppo yleistää käytännön tapaukseen, jossa suoralla C D on useita pisteitä P i joille kaikille lasketaan merkitsemismitat a i, b i Ympyräkaari Ympyräkaareja käytetään yksinkertaisuutensa vuoksi paljon suunnittelussa. Ympyräkaari on neljän parametrin määrittämä, kuva 8.5: tangenttien välinen kulma α kaaren huippukulman puolisko θ kaaren säde r tangentin pituus t. Parametrien välillä on neljä riippuvuutta: θ = 100 gon α 2 α = 200 gon 2θ, t = r tan θ r = t cot θ. 158

169 8.3 Suorat, ympyränkaaret, kulmien pyöristys T 2 K r θ B θ r.. a 1 P 1 b 1 t t α A T 1 Kuva 8.5. Kulmien pyöristys ympyräkaarella. Kaaren merkitseminen maastoon sujuu seuraavasti: 1. Tavallisesti jo suorien laskemisen yhteydessä on kahden tangentin leikkauspiste A ja kulma α saatu määritetyksi. 2. Määritetään yksi lisäparametri, esim. säde r, ja lasketaan muut yllä annettujen kaavojen avulla. 3. Mitataan A:sta tangentteja pitkin etäisyys t, jolloin saadaan tangenttipisteet T 1 ja T Molemmista määritetään prisman avulla kaaren keskipiste K (redundanssi!) 5. Linjalla KA merkitään nyt keskitangenttipiste B. 6. Keskipisteestä K käsin voidaan merkitä riittavan määrän kaaripisteitä etäisyyden r avulla. Kuvaan on merkitty yksi esimerkkipiste P Myös pisteen P 1 suorakulmaiset merkitsemismitat a 1, b 1 on helppo saada. Kulmien pyöristäminen tapahtuu yleensä ympyränkaaren avulla. Suorien ja ympyränkaarien yhdistäminen on varsin tavallista asema- ja rakennuskaavoissa. Viivat yhdistetään tilanteen mukaan eri ehtojen avulla, joilla saadaan aikaan jatkuvuuden ja tasaisen kaareutumisen vaikutelman. Tässä esitetään muutama esimerkkitapaus Korikäyrä Eräs esimerkkitapaus on kahden suoran yhdistäminen kahden, erisäteisen ympyränkaaren avulla, ns. korikäyrä, kuva 8.6. On siis kyse kahdesta suorasta ja kahdesta ympyränkaaresta, jotka liitospisteissään niitä on kolme ovat samansuuntaisia. Kuvan 8.6 tilanteessa on olemassa seuraavat parametrit: tangenttien pituudet t 1 = AT 1, t 2 = AT 2 käyrien säteet r 1, r 2 tangenttien leikkauskulma τ käyrien keskuskulmat θ 1, θ

170 8 Rakentamisen mittaus C T 2 r 2 l 2 D l 2 t 2 T 1 l 1 A 1 l 1 K 2 K 2 K 1 θ F 2 τ A θ 1 l 1 T 2 r 1 T 1 l 1 E t 1 K 1 l 2 B (a) Korikäyrä A 2 (b) S-käyrä l 2 T 3 Kuva 8.6. Kulman pyöristäminen korikäyrällä; S-käyrä on korikäyrän erikoistapaus. Parametrien välillä on olemassa useita yhteyksiä. 1. Kolmiossa ADE nähdään heti, että ADE = θ 2, koska K 2 F DE ja K 2 T 2 AC; ja samoin DEA = θ 1. Siksi: τ + θ 1 + θ 2 = 200 gon. Lisäksi T 1 E = EF = l 1 ja T 2 D = DF = l Ja l 1 = r 1 tan 1 2 θ 1, l 2 = r 2 tan 1 2 θ 2 3. Sinikaavan mukaan on ja sijoittamalla AD = AE = DE sin θ 1 sin θ 2 sin τ = t 2 l 2 = t 1 l 1 = l 1 + l 2 sin θ 1 sin θ 2 sin τ t 2 r 2 tan 1 2 θ 2 = t 1 r 1 tan sin θ 1 sin θ θ 1 = r 1 tan 1 2 θ 1 + r 2 tan 1 2 θ 2 sin τ Näin ollen voidaan laskea kaikkea yllä luetteloitua seitsemän parametriä, jos on annettuna 1. kolmesta kulmasta τ, θ 1, θ 2 kaksi, ja 2. neljästä pituudesta r 1, r 2, t 1, t 2 kaksi. Kuvan mukaisessa tapauksessa maastoon merkintä suoritetaan näin: 1. Mitataan A:sta tangentteja pitkin etäisyydet t 1 l 1 ja t 2 l 2, jolloin saadaan pisteet E ja D. 2. Yksittäisten ympyräkaarien tangenttien leikkauskulmat pisteissä D, E ovat T 1 EF = 200 gon θ 1 ja T 2 DF = 200 gon θ Tämän jälkeen maastoon merkitseminen sujuu erikseen ympyränkaareille 1 ja 2 yllä jo selostetulla tavalla. Vaihtoehtoinen tapaus, jossa ympyräkaaret kaartuvat vastakkaisiin suuntiin (mutta muuten kaikki on samanlaista) on S-käyrä. Tilannetta hankaloittaa hieman suorien 1 T 1 A 1 ja T 3 A 2 leikkauspisteen A mahdollinen olemattomuus jos suorat ovat samansuuntaisia. 1 S-käyrän kuvassa käytetty notaatio ei vastaa suoraan korikäyrän kuvan notaatioon.. 160

171 8.4 Siirtymäkaari L Klotoidi I P 1 R R P 2 Klotoidi II P 3 Kaarevuus ( 1 /R) P 2 P 1 Matka (L) P 3 Kuva 8.7. Klotoidin periaate. 8.4 Siirtymäkaari Siirtymäkaaria eli klotoidia käytetään rautateiden ja nopeiden moottoriteiden suunnittelussa. Nopeassa liikenteessä on itse tien keskiviivan lisäksi myös sen kaarevuus 2 oltava jatkuva, seuraavista syistä: Esimerkiksi täysperävaunullisen rekan liikkeiden hallinta ohjauspyörän avulla on hidas. Tien tai rautatien pinta kallistetaan sivusuunnassa keskipakoisvoimaa vastaan. Tämä poikittaiskaltevuus, joka on verrannollinen tien kaarevuuteen, saa muuttua vain hitaasti tien pitkittäissuunnassa. Näistä syistä on suorien ja ympyräkaarien yhdistelmä sopimaton: parempi ratkaisu on spiraali eli klotoidi. Klotoidin kaava on RL = A 2 jossa A on klotoidin parametri, L on matka klotoidia eli tietä pitkin, ja R on paikallinen kaarevuussäde. Kuten näkyy, muuttu kaarevuussäde matkan jatkuvana funktiona 2 Kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisluku! R = A2 L. 161

172 8 Rakentamisen mittaus Vakionopeudella keskipakoisvoima 3 F on kääntäen verrannollinen kaarevuussäteelle: F = v2 R = v2 L, (8.1) A2 eli, olettaen että tien suunnittelunopeus v on vakio, keskipakoisvoima, ja myös tarvittava tienpinnan poikittaiskaltevuus, on matkan lineaarinen funktio. Tämä selittää klotoidikäyrän sopivuutta teiden ja rautateiden kaarien muodoksi. Tietysti on huolehdittava siitä, että klotoidikäyrä täyttää alku- ja loppupisteessä kaarevuussäteen jatkuvuusehdon joko toisen klotoidikäyrän tai suoran (A = R = ) kanssa. Ks. kuva 8.7, jossa suora liittyy klotoidiin I (P 1 P 2 ), joka liittyy klotoidiin II (P 2 P 3 ) joka taas jatkuu suorana pisteestä P 3 eteenpäin. Juna saapuu pisteeseen P 1 pystysuorassa asennossa; välillä P 1 P 2 se kääntyy sivusuunnassa lineaarisesti ja saavuttaa maksimikaltevuuskulmansa pisteessä P 2. Välillä P 2 P 3 kaltevuus vähenee lineaarisesti ja pisteessä P 3 juna on taas pystysuorassa asennossa ja jatkaa matkansa suoraan eteenpäin. Jos junan nopeus on poikkittaiskaltevuuksien suunnittelunopeus v kaavan (8.1) mukainen, on painovoiman ja keskipakoisvoiman yhteisvaikutus aina kohtisuorassa junan lattiaa vasten ja matkustajat eivät huomaa mitään. Myös moottoriteiden suunnittelussa käytetään klotoidia, vaikka siellä kulkuneuvojen tosiasialliset nopeudet vaihtelevat. 8.5 Tien- ja kadunmittaus Tietekniikkaan kuuluvat seuraavat mittaus- ja laskentatehtävät: tiesuunnitelman pohjakartan laatiminen, tiesuunnittelu, apuvälineenä ilmakuvaus (fotogrammetria) ja tietotekniikka tielinjojen laskeminen koordinaatteina ja merkitsemismittoina tien rakenteiden ja erityiskohteiden (sillat, tunnelit, alikulut jne.) koordinaattien, merkitsemismittojen ja tarvittaessa volyymien yms. laskeminen tietyömaan mittaukset. Muissakin suurimittakaavaisissa rakennusprojektien teknississä mittaustöissä löytyy samoja työvaiheita. Ks. Tikka (1991, sivut ). 8.6 Rakennusmittaukset Rakennusmittaukseen kuuluu rakennusten, rakennusosien, siltojen, tunneleiden, patojen, koneiden yms. rakenteiden paikalleenmittaukset. Mittaus lähtee runkoverkosta. Kiintopisteiksi käytetään peruspisteitä ja luodaan tarvittaessa tihennyspisteitä. Varsinaiset mittaukset suoritetaan käyttöpisteistä. On luotu kansainvälisiä standardeja mittausten normittamiseksi tarkemmin, kulkuneuvon matkustajien kokema pseudovoima, joka toimii kuitenkin heidän kannaltaan täysin samalla tavalla kuin painovoima. 162

173 8.7 Muut mittaukset Rakennuksen paikan merkitseminen Kun rakennuslupa on saatu, voi rakentaja hakea viranomaisilta päätös rakennuspaikan maastoon merkitsemisestä. Menettelyllä on kaksi tavoitetta: 1. rakennuksen sijainnin merkitseminen 2. rakennuksen seinämittojen oikeellisuuden tarkistaminen, rakentajan kannalta tärkeä tieto. Maanmittausviranomaiset mittaavat vain rakennuspaikan osoittamista varten, ellei muuta on sovittu, ja tarkkuus ja pisteiden määrä ei välttämättä riitä itse rakentamista varten. Rakentaja voi jatkaa työtä varsinaisen rakennustyön yhteydessä. Asemapisteeksi valitaan joko jonopiste tai rajamerkki. Ellei niitä löydy lähistöltä riittävästi ja tarkkuuksiltaan sopivia, joudutaan ensimmäisenä työnä mittaamaan uusia peruspisteitä. Näille lasketaan karttakoordinaatit (x, y) ja ne merkitään asemapiirrokseen. Tarkistusmittauksiksi käyvät: seinämitat, ristimitat, etäisyydet rajoista ja etäisyydet muista rakennuksista. Rakennuksen korkeusasema saadaan jonovaaituksen avulla, joka kulkee yleisestä korkeuskiintopisteestä toiseen. Rakennuspaikan lähelle luodaan vähintään kaksi korkeusperuspistettä myöhempää työtä varten, ellei lähistöltä löydy jo ennestään sopivia yleisiä pisteitä. Oikea korkeussijainti on kriittinen viemäreiden toimivuuden ja tulvaturvallisuuden kannalta Rakennuksen sijaintikatselmus Sijaintikatselmuksessa todetaan, että rakennus on oikealla paikalla ja korkeudella. Tämä sijaintikatselmus suoritetaan kun rakennuksen kivijalka tai muu perustus on valmistunut. Hyväksymisen jälkeen rakennustyö voi jatkua. 8.7 Muut mittaukset Tekniset mittaukset, deformaatiomittaus Tekniset mittaukset eli insinöörigeodesia muodostuvat oman erikoisalansa. Tähän kuuluvat myös tarkat deformaatiomittaukset. Deformaatioiden monitorointi rakentamisen aikana ja/tai sen jälkeen. Kohteina padot, tunnelit, sillat, suuret rakennukset, jne. nykyisin usein monitorointi eli seuranta automaattilaitteistolla teollisuusmittaukset sisätiloissa tai ulkona, suurkoneiden asennusmittaukset, paperikoneet, telakat insinöörimittaukset ( engineering surveying ) tunneli- ja kaivosmittaukset. Tälle mittaustyypille on ominaista käytettävän mittausgeometrian tiukka rajoittuneisuus sekä GNSS-menetelmän soveltamattomuus. Näissä mittauksissa mitattujen suureiden jäljitettävyys on keskeinen. Huolellisella (järjestelmä-) kalibroinnilla ja hyvällä metrologisella menettelytavalla on suuri merkitys. 163

174 8 Rakentamisen mittaus Kuva 8.8. Koneohjaus. AGA/Minilir infrapunaseurantalaite ranskalaista sotilasteknologiaa! käytössä Itä-Schelden myrskytulvasuojan rakennustyömaalla v Nicolàs de Hilster, sat-sagem_fennel-minilir.php Koneohjaus GNSS-teknologiaa käytetään laajasti, perinteisemmän paikannusteknologian lisäksi, työkoneiden ohjaamiseksi tosiajassa. Ohjauksen luottettavuusvaatimukset ovat ilmeisen kovia jos monen miljoonan työkone ohjataan levittämään esimerkiksi mottoritien asfalttia. Seisokit ovat kalliita, virheet vieläkin kalliimpia. Patojen, siltojen ja tunneleiden rakentamisessa käytetään tavallisesti paikallista tosiaikaisohjausta. Hollannin Itä-Schelden myrskytulvasuojan (kuva 8.8) ja Tanskan Ison Beltin ja Juutinrauman silta-tunneliratkaisujen rakennusvaiheissa käytettiin tämän tyyppistä teknologiaa, kuten monessa muussa vastaavassa projektissa. Myös satama-alueiden kontit ja nosturit paikannetaan tosiajassa GNSS:llä tehokkuuden lisäämiseksi (Pitkä, 2009). Maa- ja metsätalouskoneet voidaan ohjata tosiaikaisella GNSS:llä ( precision farming ), jonka avulla siemenet, lannoitteet ja torjunta-aineet voidaan annostaa tarkasti hyvin paikallistenkin tarpeitten mukaan Johtokartoitus Maanalaisista johdoista, kuten puhelin-, data- ja sähkökaapeleista sekä viemäreistä, vesi- ja kaukolämpöjohdoista, vain osa on kartoitettu tyydyttävällä tavalla. Suurin osa on kaupunkien eri 164

175 8.7 Muut mittaukset laitosten valmistamilla kartoilla, jollaisia voi olla useita kaupunkia kohti. Kun johtokartoitus on näin hajautetusti toteutettu, on karttojen geodeettinen taso vaihteleva. Kaupungit käyttävät yleisesti vuoden 1974 johtokarttastandardin SFS 3161 esitys- ja valmistustapaa. Standardi uusittiin vuonna Johtokarttoja tarvitaan moneen tarpeeseen: kaavoitukseen teknisen huollon ja verkoston suunnitteluun, rakennustöitä varten, johtojen kunnossapitoa varten omistajalaitoksen toimesta, sekä vahingonkorvauksia ja kriisitilanteiden hallitsemista varten. Mittakaava on useimmiten 1:500. Kartoitusmenetelmät: Mittaus tulee perustua alueella oleviin yleisiin kiintopisteisiin, jotta tulos saadaan samaan järjestelmään. Tarvittaessa suoritetaan tihennys eli luodaan uusia runkopisteitä kaavoitusmittausohjeen mukaisesti. Käytetään samoja mittausmenetelmiä kuin yleisemmin kartoitusmittauksessa, ks. osa 7.5. Uusien johtojen kartoitus suoritetaan rakennusvaiheessa kun johdot ovat vielä näkyvissä. Vanhojen johtojen näkyvät osat (kaivojen kannet, jakokaapit) kartoitetaan. Maanalaiset osat voidaan joskus paikantaa metalli-ilmaisimen avulla. Kartoituksen työketju on täysin digitaalinen. Johtojen näyttöpalvelu: rakentajille näytetään missä johdot sijaitsevat, kaivuutyön aiheuttamien, kalliiden vaurioiden välttämiseksi. Palvelun tarjoaa useimmiten johtojen omistaja, esimerkiksi voimalaitos. 165

176

177 Luku 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta Rakentaminen ja sen suunnittelu sekä näiden yhteydessä tehtävät tekniset mittaukset käyttävät laajasti numeerisia korkeus- ja maastomalleja. Numeerisella korkeusmallilla (Digital Height Model, DHM, tai Digital Elevation Model, DEM) tai numeerisella maastomallilla (Digital Terrain Model, DTM) tarkoitetaan maanpinnan pisteistä muodostettua tiedostoa, joka kuvaa paremmin tai huonommin maanpinnan muotoa. Korkearesoluutioiset maastomallit ovat suurille alueille kalliitta tuottaa, kuitenkin ne ovat useille maille saatavilla. Suomen maastomallit tuottaa Maanmittauslaitos. Tietoa maanpinnasta ja sen muodoista hankitaan maastomittauksien avulla, fotogrammetrisesti (ilmakuvaus) ja skannauksen avulla lentokoneiden tai satelliittien avulla. Skanneri voi olla laserpohjainen tai voi olla mikroaaltotutka, ns. SAR eli Synthetic Aperture Radar, jossa interferometrisesti saadaan hyvin korkea resoluutio aikaan. 1. Globaaliset maastomallit: a) Vanhempi malli GTOPO30 (U.S. Geological Survey, alkup. 1997) 1. Resoluutio on 30 eli noin kilometri. Päivitettiin käyttämällä SRTM dataa, ks. alla. Malli ei sisällä merien syvyystietoja. b) GLOBE malli (Global One-km Base Elevation project (NOAA ja monet muut) 2. Myös 30 = 1 km. Malli ei sisällä syvyystietoja, mutta tämä voi muuttua tulevaisuudessa. c) ETOPO5, ETOPO2 (NOAA ja monet muut) 3. Resoluutio on 5 / 2 (n. 9 km / 3,6 km), mallit sisältävät syyvyystietoa korkeustiedon lisäksi. d) Shuttle Radar Topography Mission (SRTM) kuvasi Maapallon topografiaa leveysasteen 60 N ja 56 S välillä. Lento tapahtui helmikuussa Resoluutio on yksi kaarisekunti Maan pinnalla, noin 30 m. Vuoden 2014 aikana kaikki SRTM:n dataa julistettiin julkiseksi 4. Data ei sisällä merien syvyystietoja. 1. Valtakunnallinen maastomalli: Uudet teknologiat, kuten laserkeilaus ilmasta, ovat olleet jo monta vuotta operationaalisia ja laajassa käytössä. Myös Suomessa Maanmittauslaitos on jo pitkään keilannut eri alueita Suomessa uuden tarkan valtakunnallisen maastomallin rakentamiseksi. Malli on tällä hetkellä valmis spatiaalisella resoluutiolla 10 m 5, ja osittain valmis resoluutiolla 2 m 6. Inspiredirektiivin 7 perusteella data on ilmainen

178 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta Oct 21 10:08:11 Kuva 9.1. Globaalinen maastomalli ETOPO2 v. 2 Suomen alueella. 9.1 Maastomallien mittaus, muodostaminen, esitystapa Nykyisin suunnittelu ja rakentaminen sekä näiden yhteydessä tehtävät tekniset mittaukset perustuvat numeeriseen korkeus- ja maastomalliin. Mittaus: mitataan alueelle pisteitä, joiden paikat ovat vapaavalinteisia, siis eivät muodosta säännöllistä kuviota. hajapistemenetelmällä: paljon sinne missä maaston muoto vaihtelee paljon taiteviivoille, siis maaston taitekohtiin pisteet mitataan fotogrammetrisesti, kuitenkin runko ja ilmakuvauksen katvealueet mitataan geodeettisesti. Mitatusta pistedatasta lasketaan joko kolmioverkko tai neliöverkko. 168

179 9.1 Maastomallien mittaus, muodostaminen, esitystapa Yhdistetään mitatut pisteet kolmiointi Interpoloidaan korkeudet säännöllisen ruutuverkon solmupisteille. griddaus Kuva 9.2. Kolmiointi vai pistehila. Maastomalleissa käytetään erilaisia esitystapoja 8 : Pistehila-esitystapa. Sopii hyvin tietokoneen työskentelytapaan: suureidenkin aineistojen käsittely on suoranaista ja helppoa. Säännöllinen hila voi ola neliön muotoinen, suorakulmainen, tai monimutkaisempi kuten heksakuvio ( mehiläiskenno ) tai kolmiotyyppinen. Kolmiointi-esitystapa. Tässä valitaan maaston muotoja edustavia pisteitä ja kytketään ne yhteen väliviivojen avulla muodostaen kolmioiden peite. Yksi tunnettu matemaattinen kolmiointitapa on Delaunay 9 -kolmiointidelaunay, Boris, joka antaa kauniita, mahdollisimman tasasivuisia, kolmioita. Kolmiointityyppinen maastoesitys on vaikeampi käsitellä, mutta se osaa esittää vaikeatkin maaston muodot, kuten terävät reunat, paremmin kuin hilaesitys, pienemmällä pisteiden määrällä. Myös jos maastomallin erotuskyky vaihtelee alueittain, on kolmiointiesitys parempi, koska kolmioiden koot vaihtelevat erotuskyvyn mukaan. Kirjallisuudessa puhutaan TIN-menetelmästä: Triangulated Irregular Network. CAD- ohjelmistot (CAD = Computer Aided Design) jotka ovat suunnittelutoimistoissa käytössä, osaavat käyttää digitaalisia maastomalleja ja esittää ne monin eri tavoin mm. perspektiivikuvana. Myös suunnitelmat ovat digitaalisessa muodossa ( numeerinen konstruktiomalli ) ja voidaan yhdistää tähän. Mainitaan tässä yhteydessä myös moniresoluutioiset kaakelointi -menetelmät, jotka perustuvat diskreettiin aallokemuunnokseen (DWT, Discrete Wavelet Transform 10 ) ja ovat tarkoitettu aineistojen interaktiiviseen esittämiseen 11. Myös kuvaformaatti jpeg2000 sekä Google Earth perustu- 8 Kuvankäsittelyssä puhutaan täysin vastaavalla tavalla pikseli- ja vektorigrafiikasta. 9 Boris Nikolajevitš Delaunay ( ) oli venäläinen matemaatikko ja vuorikiipeilijä. Ei saa sekoittaa ranskalaisen taivaanmekaanikon Charles-Eugène Delaunay n ( ) kanssa Esimerkiksi 169

180 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta vat tähän tekniikkaan. Tämä esitystapa mahdollistaa äärimmäisen nopeita katselupaikan siirtoja ja zoomauksia. Se soveltuu Delaunay-kolmiointia vieläkin paremmin suuresti vaihtelevan resoluution aineistojen esittämiseen interaktiivisesti. 9.2 Maastomallien käyttö Maastomalleja sovelletaan mm. seuraaviin käyttötarkoituksiin: ilmakuvien ortorektifikaatio, ilmakuvauskameran projektiovirheiden poistaminen ortokarttojen tuotannossa kartassa esitettyjen korkeuskäyrien laskeminen väylän (tien, kadun, vesiväylän, sähkölinjan,... ) reitin suunnittelu. Minimoidaan (muiden reunaehtojen rajoittamana, kuten maksimikallistukset tai minimikaarevuussäteet): 1. siirettävien maamassojen määrä, alaluku 9.3 sivulla poistettavien ja lisättävien maa-ainesmäärien erotus 3. polttoaineen ja/tai ajan kulutus väylää käyttävälle tyypilliselle kulkuneuvolle. kolmiulotteisten maisemamallien luominen ja visualisointi, suunnittelun ja suunnitelmien julkisen käsittelyn avuksi näkyvyyskysymysten ratkaiseminen, esimerkiksi matkapuhelin- tai radiomastojen sijoittamisen yhteydessä laskettelurinteiden suunnittelu sotilaallinen sovellus on risteilyohjusten, mutta myös hävittäjälentokoneiden, automaattiohjaus matalalennolla maastomassojen painovoimavaikutuksen (maastokorjauksen) laskeminen painovoimakentän ja geoidin laskennassa monet muut. Tarkasti ottaen numeerinen korkeusmalli kuvaa vain maaston korkeudet, kun taas numeerinen maastomalli sisältää myös tietoa maan eri kerroksista. Kuitenkin sanat käytetään usein synonyymeina. 9.3 Pinta-alojen laskenta Pinta-alojen määritys on käsitelty kirjassa Kahmen ja Faig (1988, luvussa 8.6). Kätevä määritystapa on käyttää merkitsemismittoja tietyn kantaviivan suhteen. kuvassa 9.3, merkitsemismitat muodostuvat trapetsoideja. Alue I lasketaan seuraavasti: A I = 1 2 (a 2 a 1 ) (b 1 + b 2 ), 170

181 9.3 Pinta-alojen laskenta III + b 3 a b 2 II b 4 4 a 2 I a 4 b 1 a 1 1 Kuva 9.3. Merkitsemismittojen käyttö. ja alue II seuraavasti: A II = 1 2 a4 a 3 b3 + b 4, joissa on kiinnitettävä huomio etumerkkeihin. Myös alue III saadaan vastaavalla tavalla, vaikka se onkin kahden pinta-alan erotus (se on kuitenkin muodollinen trapetsoidi). A III = 1 2 (a 3 a 2 ) (b 2 + b 3 ). Kaikki yhtälöt saadan yhteensopiviksi sopimalla esimerkiksi, että b-arvot ovat positiivisia a-kulkusuuntaan nähden oikealla puolella, ja negatiivisia vasemmalla puolella. Samalla a-indeksit seurataan numerojärjestyksen mukaan eli esimerkkitapauksessa vastapäivään. Silloin saadaan kokonaispintaala summaamalla A = A I + A II + A III +... ja kaikki etumerkit, myös pienien kumoutuvien kolmioiden, ovat automaattisesti oikeita. Jos on käytettävissä koordinaatteja, on muitakin pinta-alan laskennan tapoja. Kokonaispinta-ala saadaan trapetsoidien summana (i-indeksi on sirkulaarinen, eli n + 1 on sama kuin 1): ja vaihtamalla x ja y: Yhtälöstä (9.1) saadaan A = 1 2 A = A = 1 2 n (x i+1 x i ) (y i+1 + y i ), (9.1) i=1 n (y i+1 y i ) (x i+1 + x i ). (9.2) i=1 n x i (y i+1 + y i ) i=1 n x i+1 (y i+1 + y i ), ja uudelleen numeroimalla toinen termi kun i-indeksi on sirkulaarinen: A = 1 2 n x i (y i+1 + y i ) i=1 i=1 n x i (y i + y i 1 ) = 1 2 i=1 n x i (y i 1 y i+1 ). i=1 171

182 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta x x 1 x 2 Pinta-ala on III+IV - I +II+V (= 0) IV III (= 6) V I II y 1 (a) Suorakulmainen y 2 y x Pinta-ala on II+III+IV I +V (= 0) IV III V 1(= 6) II r 1 I r 2 θ 12 y (b) Napakoordinaateissa x dθ r rdθ Integraatio (c) Jatkuva integraatio y Kuva 9.4. Pinta-alan laskenta. Vastaavasti saa yhtälöstä (9.2) A = 1 2 n y i (x i+1 x i 1 ). i=1 Nämä kaavat tunnetaan Gaussin kolmioyhtälöinä. Jos yhtälöt (9.1) ja (9.2) lasketaan yhteen ja jaetaan kahdella, saadaan: A = 1 n (x i+1 y i y i+1 x i ). 2 i=1 Tämä yhtälö laskee monikulmion pinta-ala origosta lähtevien kolmioiden summana. Voidaan näyttää graafinen todistus kuvassa 9.6, että sellaisen kolmion (kuvassa esimerkki) pinta-ala on A i,i+1 = 1 2 (x i+1 y i y i+1 x i ) = 1 2 r i r i+1 sin θ i,i+1. (9.3) Kuva 9.5. Polaariplanimetri vuodesta 1908 (Wikipedia). Pinta-ala mitataan piirtämällä kuvion ulkoreunaa pitkin. 172

183 9.4 Tilavuuksien laskenta y 1 x 2 y 1 x 1 y (x 2 y 1 x 1 y 2 ) (x 1 y 2 ) r 1 θ12 x r 2 Kuva 9.6. Planimetriyhtälön graafinen todistus. Tämä yhtälö (9.3) on polaariplanimetrin toimintaperiaate 12. Tietysti yhtälöä voidaan käyttä suoraan myös numeerisesti, jos kuvio on annettu napakoordinaatistossa: A = 1 n r i r i+1 sin θ i,i+1. 2 i=1 9.4 Tilavuuksien laskenta Maa-aineksen määrälaskennasta on selostettu kirjassa Kahmen ja Faig (1988, luvuissa 14.2, 14.3). Usein on kyse siirrettävän soran, hiekan tms. rakennusaineen määrän laskennasta esimerkiksi tierakentamisen yhteydessä. Mittauksen tai määrityksen välineet ovat 1. pintavaaitus tai lasertason käyttö (vain pienet kohteet, työintensiivinen) 2. fotogrammetria ilmasta tai terrestrisesti pekkaniskalta 3. laserkeilaus, ilmasta tai terrestrinen 4. korkeuskäyrät kartalta. Menetelmän laskenta on verrattavissa pinta-alan määritykseen, alaluku digitaalinen maastomalli Simpsonin sääntö ja neliöinti Kätevä tapa integroida numeerisesti maa-aineksen tilavuutta profiilitiedoista on Simpsonin sääntö (Kahmen ja Faig, 1988, luku ) 13. Yhtälö on V = 1 6 (F 1 + 4F m + F 2 ) l, (9.4) 12 Planimetri integroi mekaanisesti ilmaisun 1 r 2 (ϕ)dθ, 2 joka on suljetun kuvion pinta-ala. 13 Thomas Simpson ( ) oli englantilainen kutojan poika ja itseoppinut matemaatikko, Royal Societyn fellow. Hän ei itse asiassa keksinyt Simpsonin sääntöä, vaikka se esiintyi hänen oppikirjassaan: sääntö oli jo Johannes Keplerin tiedossa. 173

184 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta F m F 2 F 1 l Kuva 9.7. Simpsonin integrointisääntö tilavuuslaskennassa. jossa F 1, F 2 ovät ääripäiden läpileikkausten pinta-alat, F m on keskimmäisen leikkauksen pinta-ala ja l on koko kappaleen pituus. Simpsonin sääntöä voidaan todistaa seuraavasti. Olkoon integroitava funktio f (x), ja olkoon käytettävissä funktion arvot pisteissä ( x, 0, x): f 1 = f ( x), f 0 = f (0), f 1 = f ( x). Approksimoidaan funktio f neljännen asteen polynomilla: f (x) = a + bx + cx 2 + d x 3 + ex 4. Polynomin integraali on ˆ + x x f (x) d x = ax + 12 bx cx d x x ex5 = x = 2a x c x e x 5. (9.5) Kirjoita myös f 1 = a b x + c x 2 d x 3 + e x 4, f 0 = a, f 1 = a + b x + c x 2 + d x 3 + e x 4, jolloin lineaariyhdistelmällä I = p 1 f 1 + p 0 f0 + p 1 f1 = a (p 1 + p 0 + p 1 ) + + b x + d x 3 ( p 1 + p 1 ) + c x 2 + e x 4 (p 1 + p 1 ). (9.6) Vertaamalla kaavat (9.5) ja (9.6) nähdään, että, saadakseen I mahdollisimman lähelle integraalia (9.5) on valittava p 1 + p 0 + p 1 = 2 x, p 1 + p 1 = 0, p 1 + p 1 = 2 3 x, 174

185 9.4 Tilavuuksien laskenta Kuva 9.8. Neliöinnin vaihtoehdot. Vasemalla, matemaattisesti hyvin käyttäytyvä funktio (musta), Simpson (punainen) toimii parhaiten. Oikealla, rosoinen funktio. Trapetsoidisääntö (sininen) toimii yhtä hyvin. Realistinen maasto on näiden ääripäiden välillä. jolloin saadaan p 1 = p 1 = 1 3 x ja p 0 = 4 3 x. Sijoittamalla tämä kaavaan (9.6) saadaan ja ero integraalin kanssa on ˆ + x x I = 2a x c x 3, (9.7) f (x) d x I = 2 5 e x 5, viidennen asteen pistevälin x funktio. Tämä merkitsee, että valitsemalla x sopivan pieneksi, saadaan ilmaisua (9.7) hyvin nopeasti lähestymään polynomin oikeaa arvoa. Voimme kirjoittaa I = p 1 f 1 + p 0 f0 + p 1 f1 = 1 3 f 1 x f 0 x f 1 x = 1 6 f f 0 + f 1 2 x. Tähän sijoitetaan funktion oikeat arvot f 1, f 0, f 1 ja l = 2 x ja saadaan Simpsonin sääntö (9.4). Jos integroitava funktio f ei ole patologinen mutta maaston muodot saattavat hyvinkin olla patologisia!, konvergoi Simpsonin sääntö myös hyvin nopeasti siihen Vaihtoehtoiset neliöintisäännöt Usein yksinkertaisempi sääntö V = 1 2 (F 1 + F 2 ) l ( trapetsoidisääntö ) kelpaa, tai jopa V = F m l ( suorakulmasääntö ). Ne eivät konvergoi kuitenkaan yhtä kauniisti kuin Simpsonin kaava: molemmille virhe on verrannollinen pisteväliin x, siis l. Jos Simpsonin säännön tarkkuus ei ole riittavä, koska kappale on liian rosoinen eli patologinen, voidaan saavuttaa parempaa tarkkuutta jakamalla kappale viipaleisiin, soveltamalla joku yksinkertaisempi neliöintisääntö jokaiseen niistä ja summaamalla termit. 175

186 9 Numeerisia maastomalleja ja määrälaskenta 3 2 P P 2 1 h 2 h 2 h 1 h 4 h3 h 1 h 3 P P Kuva 9.9. Tilavuuslaskenta digitaalisista maastomalleista. Tilavuuslaskenta kolmiointi- tai hilatyyppisten maastomallien tapauksissa on kuvattu kuvassa 9.9. Kolmiointimallin tapauksessa pinta-alkion tilavuus lasketaan yhtälön V = P h 1 + h 2 + h 3 3 mukaan. Hilamallin tapauksessa käytettävä yhtälö on V = P h 1 + h 2 + h 3 + h 4. 4 Yleistys: pinta-alkion pinta-ala P kerrottuna n nurkkapisteistä lasketulla keskimääräisellä korkeudella n i=1 h h i. n Nämä kaavat ovat likimääräisiä mutta useimmiten riittäviä. 176

187 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä Luku Geosentriset järjestelmät Modernissa geodesiassa satelliitti- ja avaruusgeodeettiset mittausmenetelmät ovat maailmanlaajuisen geodeettisen havaintojärjestelmän ( integroitua osaa. Toisin kuin perinteiset geodeettiset havaintomenetelmät, jotka suorittavat mittauksiaan Maan pinnalla tai sen lähellä, ovat nämä mittaukset aidosti kolmiulotteisia, ja niiden käsittely vaatii kolmen ulottuvuuden käyttöä myös laskennassa. Lisäksi ainakin satelliittimittausten alustat ovat Maata kiertävässä radassa, jolloin Maan massakeskipiste astuu luonnollisella tavalla käytetyn koordinaatiston origon rooliin. Siksi käytetään satelliittigeodesiassa geosentrisia, kolmiulotteisia koordinaattijärjestelmiä. Ks. kuva Geosentristen koordinaattien symboleiksi käytetään usein versaaleja, esim. X, Y, Z. Geosentrinen: Origo on Maan massakeskipisteessä ja Z-akseli on Maan pyörähdysakselin suuntainen. On olemassa kahdenlaiset geosentriset järjestelmät: Inertiaalinen: Pyörähdysliikettä ei ole. Akselien suunnat ovat kiinteitä tähtitaivaaseen nähden. X -akseli osoittaa (tavallisesti) kevättasauspisteeseen, tähtitaivaan Greenwichiin. Terrestrinen: mukana pyörivä, en. co-rotating, myös ECEF: Earth Centred, Earth Fixed: akselien suunnat ovat kiinteitä kiinteään Maahan nähden. X - akseli osoittaa Greenwichin meridiaanin suuntaan. Inertiaalisen ja terrestrisen järjestelmän välillä on kiertokulma nimeltä Greenwichin tähtiaika. Se muuttuu nopeasti ajan mukaan, samalla kulmanopeudella kuin maapallon pyörähdysliike tähtitaivaan suhteen. Oikeakätinen koordinaattikolmikko: Korkkiruuvi, joka pyörimällä edistyy positiiviseen x-akselin suuntaan, kiertää y-akselin suunnasta z-akselin suuntaan. Geosentrinen järjestelmä on oikeakätinen, jos X -akseli osoittaa Greenwichin mediaanin ja päiväntasaajan leikkauspisteelle, Z-akseli pohjoisnavalle, ja Y -akseli 90 itään. Geosentriset koordinaatit voivat olla suorakulmaisia (X, Y, Z), pallokoordinaatteja, geodeettisia eli maantieteellisiä koordinaatteja, tai ellipsoidisia koordinaatteja. Niiden välillä on olemassa seuraavia yhteyksiä: X Y Z = R cos φ cos λ cos φ sin λ sin φ, 177

188 10 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä Z Pyörähdysliike Greenwich Y X Kevättasauspiste X Y Greenwichin tähtiaika θ Kuva Inertiaalinen (X, Y, Z) ja mukana pyörivä eli ECEF (X, Y, Z) koordinaattijärjestelmä. jossa (R, φ, λ), eli säde, geosentrinen leveys- ja pituusaste, ovat pallokoordinaatteja, ja X (N (ϕ) + h) cos ϕ cos λ Y = (N (ϕ) + h) cos ϕ sin λ, Z b 2 /a 2 N (ϕ) + h sin ϕ jossa (h, ϕ, λ) eli korkeus vertausellipsoidista, geodeettinen leveysaste ja pituusaste ovat geodeettisia eli maantieteellisiä koordinaatteja. Suureet a ja b ovat maaellipsoidin iso- ja pikkuakselin puolikkaat (ts. ekvaattorisäde ja napasäde) ja poikittaiskaarevuussäde N (ϕ) = a 2. a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ z y O x Kuva Oikeakätinen koordinaatisto. y z korkkiruuvi etenee x:n suuntaan. 178

189 10.2 Toposentrinen koordinaatisto Z R h O φ ϕ N (ϕ) X / Y Kuva Geosentrinen ja geodeettinen leveysaste ja poikittaiskaarevuus. Kolmas geosentrinen koordinaattityyppi, ellipsoidiset koordinaatit, käytetään joskus tieteellisessä työssä, mutta maanmittauksessa niillä ei ole käytännön merkitystä, ks. Heiskanen ja Moritz (1967). Suorakulmaisten koordinaattien etuna on, että niiden kanssa on helppo laskea. Esimerkiksi kahden pisteen (X 1, Y 1, Z 1 ) ja (X 2, Y 2, Z 2 ) välinen matka s on yksinkertaisesti 1 s 12 = (X 2 X 1 ) 2 + (Y 2 Y 1 ) 2 + (Z 2 Z 1 ) 2. Jos pisteet on annettu muodossa (h 1, ϕ 1, λ 1 ), (h 2, ϕ 2, λ 2 ), on vastaava kaava aika lailla monimutkaisempi! 10.2 Toposentrinen koordinaatisto Käytännön mittaustyössä käytetään useimmiten paikallista eli toposentrista 2, kolmiulotteista koordinaatistoa, jonka origo on itse mittauspaikka eli koje (kojekoordinaatisto). On luonnollista käyttää pallokoordinaatteja (s, A, ζ), jossa s on vinoetäisyys kojeesta, A on atsimuti eli (vaaka-) suuntakulma, ja ζ on zeniittikulma. Niistä laskee helposti tähyksen suorakulmaisia koordinaatteja: x y z = s sin ζ cos A sin ζ sin A cos ζ Nykyiset elektroniset takymetrit osaavat antaa ulos juuri nämä kojekoordinaatit joko pallokoordinaatteina (s, A, ζ) tai suorakulmaisina (x, y, z). Kuvassa 10.4 on piirretty sekä toposentrisen (x, y, z) -järjestelmän koordinaattiakselit, että geosentrisen järjestelmän akselit (X, Y, Z). Tässä kuvassa tähys T voi olla Maan päällä oleva, mitattava piste, mutta myös Maata kiertävä satelliitti. Joka tapauksessa mittaukset saadaan ensin aina toposentrisesti eli havaintopaikan K ja paikallisen horisontin (harmaan ympyrän) suhteen. Muunnos näiden kahden suorakulmaisen, kolmiulotteisen järjestelmän välillä on kolmiulotteinen yhdenmuotoismuunnos eli Helmert-muunnos; sitä käsitellään seuraavaksi. 1 Tietenkin tämä on suora matka avaruudessa, joka menee usein Maan kiinteän kappaleen läpi. Yleensä kiinnostaa enemmän matkaa Maan pintaa pitkin. 2 Kr. topos = paikka; vrt. utopia = olematon paikka. 179

190 10 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä z s T Z x K T y z y K ζ A x O Y X Kuva Toposentrinen eli kojekeskeinen koordinaatisto sekä geosentrinen koordinaatisto. Koje on K, Maan massakeskipiste O ja mitattu paikka eli tähys T Kolmiulotteiset muunnokset Kaksiulotteinen yhdenmuotoismuunnos on, jos Y -akseli on X -akselista katsottuna α:n suunnassa: X cos α sin α Y = µ sin α cos α jossa α on rotaatiokulma, µ on mittakaavasuhde, ja X 0 koordinaatit vanhassa järjestelmässä kirjoitettuina. X X0 Y Y 0, Y 0 T ovat uuden järjestelmän origon Vastaava kolmiuloitteinen muunnoskaava saadaan lisäämällä Z-akseli ja pitää se muuttamattomana: X cos α 3 sin α 3 0 X X 0 Y = µ sin α 3 cos α 3 0 Y Y 0. Z Z Kaavassa näkyvä 3 3 matriisi voidaan kutsua R 3 (α 3 ). Samalla tavalla kuin Z-akselin ympärillä voi myös Y - tai X -akseleiden ympärillä tapahtua rotaatiota. Siinä tapauksessa saadaan analogisesti matriisit R 1 (α 1 ) = cos α 1 sin α 1 0 sin α 1 cos α 1 ja R 2 (α 2 ) = cos α 2 0 sin α sin α 2 0 cos α 2 Yleisen yhdenmuotoismuunnoksen kaava joka sisältää kaikki kolme rotaatiota on nyt R = µr (R R 0 ), (10.1). 180

191 10.4 Muunnos pienten kiertokulmien tapauksessa jossa R = X Y Z, R = X Y Z, R 0 = X 0 Y 0 Z 0, ja R = R 3 (α 3 ) R 2 (α 2 ) R 1 (α 1 ) on kolmen rotaation yhdistelmä. Kaavaa (10.1) kutsutaan (kolmiulotteiseksi) Helmert- eli yhdenmuotoismuunnokseksi. R-matriisin alkiot ovat monimutkaisia kulmien α 1, α 2, α 3 trigonometrisia ilmaisuja emmekä laske ne tässä Muunnos pienten kiertokulmien tapauksessa Usein kahden koordinaatiston akselit ovat hyvin lähellä toisiaan. Siinä tapauksessa kiertokulmat ovat pieniä ja voidaan tehdä approksimaatio, että sin α α ja cos α 1. Silloin kaavat yksinkertaistuvat. Jos lisäksi oletetaan että mittakaavasuhde µ on lähellä ykköstä, voidaan kirjoittaa µ = 1 + µ. Lisäksi R 1 (α 1 ) α 1 0 α 1 1, R (α 2 ) 1 0 α α 2 0 1, R 3 (α 3 ) 1 α 3 0 α Kun kaikki α i ovat pieniä, saa myös olettaa, että kaikki α i α j 0 jos i j, ja seuraa R = R 3 (α 3 ) R 2 (α 2 ) R 1 (α 1 ) = jossa I on 3 3 yksikkömatriisi ja R = on antisymmetrinen matriisi: R T = R. 1 α 3 α 2 α 3 1 α 1 α 2 α α 3 α 2 α 3 0 α 1 α 2 α 1 0 = I + R, Tästä seuraa koordinaattien korjauskaava R R = ( µ + R) (R R 0 ) = µ α 3 α 2 α 3 µ α 1 α 2 α 1 µ (R R 0 ), (10.2) jossa µ, α 1, α 2, α 3 ja R R ovat kaikki pieniä (mutta R R 0 on iso). Esitystapa (10.2) on yleisen yhdenmuotoismuunnoksen esitystapa kahden lähellä olevan koordinaattijärjestelmän toteutuksen välillä, kuten esim. ITRS:n eri realisaatioiden välillä. Silloin kiertokulmat α i ovat luokkaa kaarisekunnin murto-osa ja siirtymävektori R 0 alle 10 cm. 181

192 10 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä 10.5 Muunnos kahden vertausellipsoidin välillä Klassinen tapaus on muunnos kahden geodeettisen datumin välillä, jotka ovat määriteltyjä kahdella eri ei-geosentrisellä vertausellipsoidilla. Esimerkiksi Euroopassa ED50-datumin Hayfordellipsoidin ja Itä-Euroopan Krasovsky-ellipsoidin välillä. Raaka voima -menetelmä on silloin ensin muuntaa geodeettiset koordinaatit (ϕ, λ, h) suorakulmaisiksi (X, Y, Z), suorittaa kolmiulotteinen muunnos kahden datumin välillä, ja muuntaa takaisin geodeettisiksi koordinaateiksi (ϕ, λ, h). Jos ero kahden datumin välillä on pieni ja vain vertausellipsoidin keskipisteen siirto, olisi hyvä tietää mikä yhteys on olemassa keskipisteen siirron ja geodeettisten koordinaattien muutosten välillä. Onneksi tähän löytyy helppo kaava. Ks. kuva Olkoon pisteen suorakulmainen sijaintivektori toisen ellipsoidin keskipisteestä R 1, ja toisesta R 2, ja ero X 2 X 1 dx dr = R 2 R 1 = Y 2 Y 1 Z 2 Z 1 = dy dz. Pisteen ympärillä määritetään paikalliset toposentriset koordinaatit (x, y, z) yksikkövektorikannalla {N, E, U} ( North, East, Up ). Pisteen paikassa vertausellipsoidin pääkaarevuussäteet ovat M meridiaanikaarevuus ja N poikittaiskaarevuus. Nyt toposentriset siirtymät ovat ja Matriisinotaatiossa tämä on dx dy = N E U dz x = M (ϕ) dϕ, y = N (ϕ) cos ϕdλ, z = dh, dr = Nx + E y + Uz = NM dϕ + EN cos ϕdλ + Udh. M dϕ N cos ϕdλ dh = N x E x U x N y E y U y N z E z U z M dϕ N cos ϕdλ dh, jossa matriisi on ortogonaalinen: N x E x U x R = N y E y U y N z E z U z = sin ϕ cos λ cos λ cos ϕ cos λ sin ϕ sin λ sin λ cos ϕ sin λ cos ϕ 0 sin ϕ. Ortogonaalisen matriisin kääntäminen on helppoa: R 1 = R T. Eli M dϕ sin ϕ cos λ sin ϕ sin λ cos ϕ N cos ϕdλ = cos λ sin λ 0 dh cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ dx dy dz. Näin voidaan helposti laskea, mitkä ovat vertausellipsoidin keskipisteen siirtymisen vaikutukset geodeettisiin koordinaatteihin ϕ, λ, h laskettuna ellipsoidilla: ϕ 2 ϕ 1 λ 2 = λ 1 + M 1 (N cos ϕ) 1 1 X 2 X 1 R T Y 2 Y 1. h 2 h 1 Z 2 Z 1 182

193 Meridiaani 10.5 Muunnos kahden vertausellipsoidin välillä Nx dλ Uz Leveyspiiri dϕ N cos ϕ Meridiaanikaarevuussäde M R dh Poikittaiskaarevuussäde N Ey 90 ϕ cos ϕdλ Kuva Differentiaalinen yhteys suorakulmaisten ja vertausellipsoidin koordinaattien välillä. Ja kun geodeettiset koordinaatit (ϕ, λ, h) muuttuvat, niin muuttuvat myös luotiviivan poikkeamat ja geoidin korkeudet: niiden määritelmäthän ovat ξ = Φ ϕ, η = (Λ λ) cos ϕ, N = h H, jossa (Φ, Λ) ovat tähtitieteellisesti määritetyt leveys- ja pituusasteet,(ξ, η) luotiviivan poikkeamat pohjois- ja itäsuuntaan, h on korkeus ellipsoidista ja H merenpinnasta, kun N on geoidin korkeus ellipsoidista. Tästä saa suoraan M (ϕ) dξ N (ϕ) dη dn = sin ϕ cos λ sin ϕ sin λ cos ϕ cos λ sin λ 0 cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ dx dy dz, koska Φ, Λ ja H ovat suoraan laskettavissa mittauksista ilman vertausellipsoidin käyttöä. Ks. kuva

194 10 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä Ellipsoidin normaali ϕ 1, λ 1 ϕ 2, λ 2 h 1 h 2 H 1 2 ξ 1 ξ 2 Luotiviiva Φ, Λ N 2 N 1... Geoidi Ellipsoidi 1 Ellipsoidi 2 Datumimuunnos Kuva Datumimuunnoksen (vertausellipsoidin siirron) vaikutus geodeettisiin leveys- ja pituusasteisiin ϕ, λ, luotiviivan poikkeamiin ξ, η, geoidikorkeuksiin N ja pisteiden ellipsoidikorkeuksiin h Perinteiset 2D + 1D koordinaatistot Entuudestaan on laajassa käytössä koordinaatistoja joissa vaakasijainti ja korkeus ilmoitetaan erikseen. Esimerkki tästä on Suomessa pitkään käytössä ollut, mutta nyt väistyvät, Kartastokoordinaattijärjestelmä KKJ, ja korkeusjärjestelmä N60. KKJ antaa vaakakoordinaatteja Gauss-Krüger -projektiossa Hayford-ellipsoidilla eli vuoden 1924 Kansainvälisellä ellipsoidilla. Koordinaatit perustuvat ns. ED50 (European Datum 1950) -järjestelmään, jota luotiin v kaikkien länsi- Euroopan maiden kolmioverkkojen yhteistasoituksen avulla. Tämä on perinteinen, ei-geosentrinen datumi. N60-järjestelmä antaa ortometrisia korkeuksia, ts. korkeuksia geoidista eikä siis vertausellipsoidista. Geoidi (josta myöhemmin lisää, luku 15.4) on kumpuileva, keskimerenpinnan kaltainen vertauspinta. Kansainvälisen ellipsoidin kanssa on käytettävä ns. Bomfordin geoidimalli, jota laskettiin aikanaan European Datum projektin yhteydessä. Pisteen kolmiulotteisen sijainnin ilmaiseminen muodossa (x, y, H), missa (x, y) on KKJ-koordinaattipari ja H ortometrinen N60-korkeus, on ongelmallinen: yhteys satelliittipaikanmäärityksen käyttämiin järjestelmiin on mutkikas. (x, y, H):n muuntamiseksi geosentrisiksi (X, Y, Z) koordinaatteiksi sisältää seuraavat askeleet: 1. KKJ-koordinaatit (x, y) sisältävät jo kaksiulotteisen Helmert-muunnoksen likimääräisen yhteensopivuuden aikaansaamiseksi vieläkin vanhemman VVJ:n (Vanhan valtion järjestelmän, Helsingin järjestelmän ) kanssa. Tämä muunnos, dokumentoitu julkaisussa Ollikainen (1993), on käännettävä takaisin (x, y) (x, y ). 2. Gauss-Krüger -projektion käänteinen laskenta (x, y ) (ϕ, λ), Kansainvälinen eli Hayfordellipsoidi. 3. Ortometrisen korkeuden H muuntamiseksi ellipsoidikorkeudeksi h tarvitaan vertausellipsoidin kanssa yhteensopiva geoidimalli. Geoidin korkeus N = h H tarvitaan jokaisessa 184

195 10.7 Case: ED50:n ja EUREF89:n välinen muunnos pisteessä. 4. (ϕ, λ, h):n muuntaminen suorakulmaiseksi (X, Y, Z)-koordinaateiksi. Nämä kolmiulotteiset koordinaatit ovat nyt European Datum järjestelmässä. KKJ on väistymässä karttaprojektiojärjestelmien hyväksi jotka perustuvat joko Gauss-Krüger tai UTM (Universal Transverse Mercator) -projektioon GRS80-vertausellipsoidilla, ja EUREF-FIN - datumiin, ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989) -järjestelmän Suomen kansalliseen realisaatioon. Korkeusjärjestelmänä käytetään uutta N2000 -järjestelmää, jonka yhteys ellipsoidisiin korkeuksiin antaa geoidimalli, FIN2005N00, ks. Bilker-Koivula ja Ollikainen (2009). Yllä olevat kohdat 2-4 pätevät periaatteessa edelleen, vain nimet muuttuvat Case: ED50:n ja EUREF89:n välinen muunnos Tämä on muunnos, tyyppi (10.1), tarkasti geosentriseen järjestelmään. Koska Hayford-ellipsoidi ei ole (tarkasti) geosentrinen, on koordinaatiston origo siirrettävä ellipsoidin keskipisteestä Maan massakeskipisteeseen. Siirrot (translaatiot) ovat luokkaa sata metriä, ja myös rotaatiot ja mittakaavan muutos ovat huomattavia, ks. Ollikainen (1993, s. 15 ja taulukko 2 s. 13): X 2 Y 2 Z 2 = (1 + m) 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 X 1 Y 1 Z 1 + jossa EUREF89 ED50 tapauksessa muunnosparametrit ovat Matti Ollikaisen ratkaisun mukaan Suomen alueella seuraavia: X Y Z, Parametri Arvo Tarkkuus Yksikkö Parametri Arvo Tarkkuus Yksikkö X 93,477 ±3,345 m e x -0,246 ±0,168 Y 103,453 ±5,534 m e y 0,109 ±0,106 Z 123,431 ±2,736 m e z 0,068 ±0,112 m -2,062 ±0,417 ppm ED50 (European Datum 1950) on perinteinen eurooppalainen datumi johon KKJ perustuu; se luotiin ennen satelliittiaikakautta. Kuten taulukosta nähdään, on se ei-geosentrinen. EUREF89 on nykyaikainen GPS-pohjainen eurooppalainen vertauskehys. Taulukossa annetut tarkkuusluvut ovat isoja lähinnä siksi, että perinteisellä tavalla laajalle alueelle määritetyt koordinaatit eivät ole kovin tarkkoja. Tuoreempi tieto koordinaatti- ja muunnosasioista Suomen alueella löytyy julkaisusta Häkli ym. (2009) Case: ITRF:n ja ETRF:n välinen muunnos Suomessa on käytössä kolmiulotteinen, satelliittipohjainen eli geosentrinen vertauskehys nimeltä EUREF-FIN. Se on ETRS89:n eli European Terrestrial Reference Systemin valtakunnallinen realisaatio Suomen alueella. Muissa maissa on olemassa vastaavanlaisia realisaatioita. 185

196 10 Kolmiulotteisia vertausjärjestelmiä Kuitenkin geodeettiset satelliittimittaukset antavat sijaintiratkaisun samassa järjestelmässä kuin missä GPS-satellittien rata-alkiot on annettuna, vaikkapa ITRF2005. Silloin tarvitaan seuraava muunnos vastaavalle ETRS89-realisaatiolle ETRF2005: X Y Z ETRF2005 (t) = + X Y Z ITRF Ṙ 3 Ṙ 2 Ṙ 3 0 Ṙ 1 Ṙ 2 Ṙ 1 0 (t) + T 1 T 2 T 3 ETRF2005 ITRF2005 ETRF2005 ITRF (t ) X Y Z ITRF2005 jossa piste R-parametrien päällä merkitsee derivointia ajan suhteen. Ṙ-parametrit tässä kaavassa sisältävät Euraasian laatan tektonisen liikkeen. Parametrien arvot ovat (Boucher ja Altamimi, 2007, taulukot 3 ja 4): (t), Parametri Arvo Yksikkö Parametri Arvo Yksikkö T 1 5,6 cm Ṙ 1 0, /y T 2 4,8 cm Ṙ 2 0, /y T 3-3,7 cm Ṙ 3-0, /y Kuten näkyy ovat muunnosparametrien arvot tässä tapauksessa useita suuruusluokkia pienempiä kuin aiemmin kuvatussa EUREF-FINin ja ED50:n välisessä tapauksessa. Molemmat vertauskehykset, ETRF2005 ja ITRF2005, ovet senttimetritasolla geosentrisiä. 186

197 Global Positioning System (GPS) Luku 11 Maanmittauksessa GPS:n, Global Positioning Systemin, rooli on viime parin-, kolmenkymmenen vuoden aikana kasvanut hallitsevaksi, sekä Suomessa että maailmanlaajuiseksi. Ammattikirjallisuus etenkin englannin kielellä on laaja. Suomen kielellä alan merkittävä teos on Poutanen (1998). Englanninkielisesta kirjallisuudesta Hofmann-Wellenhof ym. (2001) on hyvä perusteos. Seuraavassa keskitymme GPS-järjestelmään, joka on jo pitkään ollut täydessä voimassa. Tämän Yhdysvaltain sotilasviranomaisten hallinoiman järjestelmän rinnalle on viime vuosina ilmaantunut muiden maiden vastaavia järjestelmiä. Erityinen mainita ansaitsee venäläinen GLONASS, joka alennuskauden jälkeen on taas kasvanut operationaaliseksi. Maanmittaustyössä käytetään jo molempien järjestelmien satelliittejä rutiininomaisesti yhdessä. Eurooppalaiset kehittävät oman Galileo-järjestelmänsä, kuten myös kiinalaiset BeiDou ( Compass ) -järjestelmänsä. Molempien järjestelmien ensimmäiset satelliitit ovat jo toimivina radoissaan. Nämä järjestelmät kutsutaan yhdessä GNSS-järjestelmiksi eli Global Navigation Satellite Systems. Kuitenkin alkuperäisen GPS-järjestelmän toiminta on yksinkertaisuutensa vuoksi opettamiseen sopiva malli, ja tulemme keskittymään siihen. GPS on alunperin navigaatiojärjestelmä. Se ei ole ensimmäinen satelliittikäyttöinen radionavigaatiojärjestelmä: aikaisempi satelliittinavigaatiojärjestelmä oli Transit-järjestelmä eli NNSS (Navy Navigation Satellite System), epävirallisemmin Doppler-paikannusjärjestelmä. Tämä vuosina toimiva järjestelmä koostui viidestä matalilla radoilla Maata kiertävistä satelliitteista. Geodeettisesti hyödyllisen paikannuksen suorittaminen vaati satelliitien useiden ylikulun, käytännössä vähintään vuorokauden, verran havaintoja. GPS-satelliitit ovat paljon korkeammilla radoilla ja niistä näkyy taivaalla missä päin maapalloa tahansa, lähes millä hetkellä tahansa, ainakin neljä kappaletta. Tavallisemmin näkyy kuudesta yli kymmeneen 1. Siksi GPS-paikannus voidaan tehdä lähes heti, muutaman sekunnin tai minuutin sisällä Radionavigaatio ja hyperbolisia järjestelmiä Vanhemmista, terrestrisista merenkulun radionavigaatiomenetelmistä mainittakoon v lopetettua DECCA-järjestelmä, joka on esimerkki hyperbolisesta järjestelmästä. Muita mainittamisen arvoisia järjestelmiä ovat LORAN-C (edelleen käytössä Yhdistyneessä Kuningaskunnassa) ja OME- GA. DECCA lähetti ei-moduloituja kantoaaltoja taajuusalueella khz, mikä vastaa aallonpituuksiin 2,3 4,3 km. Se vaati ainakin kolme lähetintä, yksi master ja vähintään kaksi slave 1 Monijärjestelmäiset paikannuslaitteet, jotka osaavat käyttää sekä GPS- että GLONASS-satelliitteja, näkyvät vielä enemmän satelliitteja jopa peitteisessä paikassa kuten keskellä suurkaupunkia. 187

198 11 Global Positioning System (GPS) Red Slave Blue lane s r RED Red lane BLUE s m s b Master Satama Blue Slave Kuva DECCA-järjestelmä. -asemaa. Tukiasemien lähetykset olivat tarkasti synkronoituja, vaikka lähettävät kaikki eri taajuuksilla. Nimitys hyperbolinen järjestelmä perustuu siihen, että alus, jolla ei ole lähetinten kanssa synkronoitu kello, voi havaita vain kahden lähettimen lähettämien aaltojen välinen saapumisaikaero. Ks. kuva Kartalla on piirretty kahdella eri värillä hyperbeleitä, käyriä joiden pisteiden etäisyysero masterilta Kuva DECCA-vastaanotin Wikimedia Commons / Stahlkocher, GNU Free Documentation License. 188

199 11.2 GPS-satelliitti (a) GPS (Block II) (b) GLONASS (c) Galileo Kuva Paikannussatelliitteja. ja eräältä slavelta on vakio. Esim. punaisille hyperbeleille pätee s r s m = vakio ja sinisille hyperbeleille s b s m = vakio. Jokaisella käyrällä on oma vakio; valitettavasti tätä vakiota ei voida havaita, koska kaikki kantoaallot ovat samannäköisiä 2. Siksi laivan on asetettava DECCA-laitteensa lane-laskurit oikeille lähtöarvoille tunnetussa paikassa, esim. lähtösatamassa. Sen jälkeen risteilyn aikana ne seuraavat lane-vakioiden kehitystä ajassa: jokaisen vaihe-erotaulun lane-viisari seuraa, montako täydet kierrokset vaiheviisari on tehnyt ks. kuva Edellytys on, että radio-yhteys tukiasemille säilyy katkeamattomana 3. Millä hetkellä tahansa voi laitteen antaman kahden 4 lane-numeron (kokonaisluku) ja jäännösvaihe-eron murtoluvun [0, 2π) avulla saada omaa paikkaa luetuksi merikartalta, jossa hyperbelit on piirretty valmiiksi GPS-satelliitti GPS-paikannusjärjestelmälle on, alunperin sotilaallisena järjestelmänä, ominaista että satelliitit ovat aktiivisia ja käyttäjät passiivisia. Siis käyttäjien käyttämät paikannuslaitteet eli GPS-vastaanottimet ovat hiljaisia, kun satelliitit sisältävät radiolähettimiä. GPS-satelliitti on tavallaan lentävä DECCAtukiasema. GPS-satelliitti on iso, kuvan 11.3 näköinen kapine. Se sisältää mm. seuraavat komponentit: 2 GPS-järjestelmän yhteydessä tätä kutsutaan ambiguiteettiongelmaksi. 3 Tätä kutsutaan kinemaattiseksi menetelmäksi. Ei mitata missä ollaan, vaan seurataan jatkuvasti mihin liikutaan tunnetun lähtöpisteen suhteessa. 4 Itse asiassa Decca käyttää kolme väriä: red, blue ja purple. 189

200 11 Global Positioning System (GPS) tarkka kello, joko kesium-, rubidium- tai vetymaserkello. Tämä kello synkronoi kaikki signaalit (kantoaallot ja modulaatiot) jotka satelliitti lähettää radiolähettimet. Satelliitin antennit osoittavat koko ajan Maahan. Lähetysteho on merkittävä suuntakartion sisällä, johon Maapallo mahtuu kokonaan; kokonaisteho on n. 50 W. Käytetään kahta kantoaaltotaajuutta, 1575,24 MHz (L 1 ) ja 1227,60 MHz (L 2 ), mikä mahdollistaa ionosfäärin vaikutuksen poiston. Kantoaaltoihin on moduloitu erilaiset koodit joita käytetään paikannuksessa sekä sisältävät rata- ja muuta informaatiota käyttäjille tietoliikennekanavat. Satelliitti vastaanottaa GPS-ohjauskeskuksen lähettämää telemetriadataa. Ohjauskomentojen lisäksi tämä data sisältää tietoja kaikkien GPS-satelliittien radoista, kellokorjauksista, terveydestä jne. Tiedot tallennetaan satelliitin muistiin ja lähetetään eteenpäin käyttäjille radiosignaalin eri modulaatioina Aurinkopaneelit, 7, 25 m 2 (Block I), tuottavat laitteiden tarvitsemaa sähköä. Välillä satelliitti menee Maan varjon läpi; tätä varten on akkuja rakettimoottorit asennon ja radan hallintaa varten, sekä ajoainevaranto. Ratahäiriöiden vuoksi tarvitaan säännöllisin välein radankorjauksia satelliitit ovat kolmiakselistabiloituja; antennit osoittavat Maahan, aurinkopaneelit Aurinkoon. Stabilisaatioon käytetään vauhtipyörejä. Kun GPS-järjestelmän elinaikana elektroniikka-ala on valtavasti kehittynyt, on satelliittisukupolveja olemassa useita: Block I, Block II/IIA, Block IIR, Block IIR-M ja uusin Block IIF (joista ensimmäinen laukaistiin v. 2010), ks. Misra ja Enge (2001). Tällä hetkellä toimivat satelliitit ovat kaikki Block II tai korkeampaa. Satelliittien massat ovat 845 kg (Block I), 1500 kg (Block II) ja 2000 kg (Block IIR-M). Satelliittien suunniteltu elinikä (jota rajoittaa radanhallintaa varten mukana oleva polttoainevaranto, aurinkokennojen ja akkujen heikkenevä teho sekä kellojen ja tietoliikennelaitteiden vikaantuminen ulkoisessa säteilyvyöhykkeessä) on 4,5 (Block I), 7,5 (Block II) tai nykyisin jopa 10 vuotta. Satelliitit ovat säännöllisesti ylittäneet suunniteltua elinaikaansa GPS-järjestelmä Segmentit GPS-järjestelmä koostuu kolmesta segmentistä eli lohkosta: Avaruuslohko (Space Segment): satelliitit itse. Valvontalohko (Control Segment): valvontakeskus, seuranta-asemat, aikasynkronointi, ratalaskenta, ohjaus. GPS-järjestelmän päävalvonta-asema on Colorado Springsissä. Rataseuranta-asemia on neljä: Hawaii, Kwajalein, Ascension ja Diego Garcia. Kuten koko GPS-järjestelmä on myös valvontalohko Yhdysvaltain puolustusministeriön alaisena. Jokainen valvonta- ja seuranta-asema on asianmukaisesti varustettu mm. tarkkaa kesiumkelloa käyttävällä GPS-vastaanottimella. Kerran vuorokaudessa ladataan uudet ratatiedot ( broadcast ephemeris ) ja satelliitin atomikellon korjausinformaatio satelliitteihin. Satelliitit sisällyttävät nämä rata- ja kellotiedot lähettämäänsä radiosignaaliin, kaikkien käyttäjien käyttöön. 190

201 . GPS-järjestelmän kolme lohkoa Kolme lohkoa eli segmenttiä: - Avaruuslohko - Valvontalohko - Käyttäjälohko 11.3 GPS-järjestelmä Valvontalohko: - Ohjauskeskus - Aikasynkronointi - Seuranta-asemat Avaruuslohko: - Taajuudet L1, L2 - Tarkka aika - Rata-ennusteet Satelliitti- signaalin vastaanotto Käyttäjälohko: Maalla, merellä ja ilmassa Kuva GPS-järjestelmän kolme segmenttiä. Käyttäjälohko (User Segment): kaikki käyttäjät, maalla, merellä ja ilmassa (ja yhä enemmän myös avaruudessa, matalilla kiertoradoilla) vastaanottimineen. Ks. kuva Konstellaatio GPS-järjestelmän suunniteltu konstellaatio koostuu 24 satelliitista sekä kolmesta aktiivisesta varasatelliitista, ns. active spares jotka voidaan ottaa käyttöön heti jos aktiivinen satelliitti menee epäkuntoon. Satelliitit ovat kuudessa eri ratatasossa, jokaisessa tasossa on neljä satelliittia. Todellissuudessa on tällä hetkellä yli 30 satelliittia toimimassa. Ratojen korkeus Maan pinnalta on km. Kiertoaika maapallon ympäri on 11 h 58 m, eli maapallon pyörähdettyä kerran akselinsa ympäri (23 h 56 m ) satelliitit näkyvät taas samassa paikassa 191

202 11 Global Positioning System (GPS) Kuva GPS-konstellaatio. Radat ja satelliittien paikat ovat realistisia maapallon suhteen. taivaalla kuin edellisenä päivänä. GPS-satelliittigeometria toistuu joka päivä 4 minuuttia aikaisemmin, koska kellojemme käyttämän aurinkoajan mukainen vuorokauden pituus on 4 minuuttia pitempi kuin Maan pyörähdysaika. Ratatason kaltevuus eli inklinaatio on 5 i = 55. Tämän seurauksena korkean leveysasteen alueella GPS-konstellaation geometria ei ole kovin vahva, satelliitit ovat pääasiassa eteläisellä taivaalla. Järjestelmä on tällä hetkellä niin kattava, että on vähintään neljä satelliittia näkyvissä (ts. ovat korkeuskulman 15 yläpuolella) kaikkialla maailmalla millä hetkellä tahansa. Näkyvien satelliittien määrä on lähes aina, ja usein huomattavasti, tätä suurempaa GPS-signaalin sisältämät koodit GPS-satelliittien lähettämiin kahden eri taajuuden kantoaaltoihin moduloidaan kaksi ns. pseudosatunnaiskoodia: C/A koodi ja P-koodi. Tämän lisäksi on vielä navigaatioviesti (joka sisältää broadcast ephemeris ja almanakkatiedot), joka sekin moduloidaan kantoaaltoihin 6. Ks. taulukko Block I -ryhmän satelliitteilla oli eri inklinaatio i = 63. Näistä satelliitteista ei ole enää yhtään toimimassa. 6 GPS-modernisoinnin yhteydessä signaaliin lisätään L 5 -taajuus, 1176,45 MHz. Se on tarkoitettu lähinnä pelastuspalvelujen käyttöön (SoL, Safety of Life). Tämän lisäksi myös L 1 - ja L 2 -taajuuksiin ollaan lisäämässä uusia siviilikoodeja. 192

203 11.4 GPS-signaalin sisältämät koodit Taulukko GPS-signaalin sisältämät koodit. Lyhennys Nimi Modulaatiotaajuus Toistojakso Kantoaalto C/A Coarse / Acquisition 1,023 Mb/s 1 ms L 1 P Precise / Protected 10,23 Mb/s 1 viikko L 1, L 2 Y P:n ja salaisen 10,23 Mb/s L 1, L 2 W-koodin yhdistelmä - Navigaatioviesti 50 bittiä/s jatkuva L 1, L 2 Käytetty modulointitapa on vaihemodulaatio 7 : kantoaallon vaihe kääntyy 180 :n eliπ:n verran kun koodin tila vaihtuu 0:n ja 1:n välillä. Modulaation seurauksena GPS-satelliittien lähettämä signaali on kohtalaisen laajakaistainen. Kaistan leveys on pari-kolme kertaa P-koodin bittitaajuutta eli muutama kymmenen MHz. Kun jo yhden satelliitin lähettämän taajuuskaistan leveys on niin suuri, voisi ajatella, että koko konstellaation taajuuskaistatarve olisi valtavaa. Kuitenkaan näin ei ole: kaikki satellitit käyttävät samoja kantoaaltotaajuuksia L 1 ja L 2. Vastaanotin osaa erota eri satelliittien signaalit toisistaan niiden erilaisten pseudosatunnaiskoodien (C/A ja P) avulla. Jokaisella satelliitilla on oma koodi eli sormenjälki, samalla tavalla kuin merenkulussa jokaisella majakalla on oma välähdyssekvenssinsä. Teknista ratkaisua kutsutaan nimellä CDMA eli Code Division Multiple Access. Navigointiviesti on bittivirta joka sisältää kaikkien satelliittien ratatiedot. Yhden satelliittin signaalin lukitseminen (lock-on) riittää kaikkien satelliittien ratatietojen vastaanottamiseen. Pseudosatunnaiskoodit generoidaan dokumentoidun matemaatisen menetelmän avulla. Koodit eivät siis ole aidosti satunnaisia: ne voidaan eksaktisti rekonstruoida samaa menetelmää käyttämällä. Ne käyttäytyvät kuitenkin tilastollisesti aidosti satunnaisen bittisekvenssin tavoin GPS:n vuosirenkaat Maan pinnalla oleva GPS-vastaanottimen antenni vastaanottaa signaaleja kaikista havaintohetkellä taivaalla olevista satelliiteista. Koko tämä soppa kulkee kaapelia pitkin vastaanottimen 7 Muut olemassa olevat modulaatiotyypit ovat amplitudimodulaatio missä kantoaallon vahvuus eli amplitudi vaihdellaan rytmikkäästi siirrettävän signaalin mukaisesti ja taajuusmodulaatio missä kantoaallon taajuus vaihtelee. Tavalliset radioasemat käyttävät amplitudimodulaatiota ja ULA-asemat taajuusmodulaatiota. Periaate: Kantoaalto... Vaihe-inversio (180 vaihesiirto)...moduloituna Modulaatio +1 = 1 = koodi 1 = 0 +1 = 1 Kuva Vaihemodulaation periaate. 193

204 11 Global Positioning System (GPS) Satelliittisignaalissa oleva koodi Vastaanottimen generoima, sama koodi t Korrelaation tuottama aikaviive Kuva Korrelaatiomenetelmä GPS-signaalin kulkuajan t määrittämiseksi. elektroniikkaan 8. Tässä suoritetaan ensimmäiseksi seuraavat kaksi tehtävää: 1. Erotetaan eri satelliitien signaalit toisistaan niiden oman pseudosatunnaiskoodin eli sormenjäljen perusteella Määritetään jokaisen satelliitin signaalin kulkuaikaa satelliitista vastaanottimelle. Molemmat tehtävät suorittaa korrelaatiomenetelmä, jolla etsitään satelliitista vastaanotetun signaalin ja vastaanottimen generoiman, samanmuotoisen signaalin ( replikan ) välistä aikasiirtymää t, joka tekisi niistä identtisiksi. Sekvenssejä siirretään edestakaisin kunnes syntyy vahva korrelaatio, kuvion samanlaisuus eli vastaavuus. Saatu aikaero on GPS-havaintojen mittaussuure. Käytetyn korrelaatiomenetelmän hyvä vertauskuva on vuosirenkäiden käyttöä puisten esineiden iänmäärityksessä eli dendrokronologia, jota jo selostettiin lyhyesti osassa I kuvassa 6.7 sivulla 124 ja josta lisää tekstitaulussa Yleensä antennin esivahvistimessa analogista signaalia käsitellään siten, että sen kantoaallon taajuus alennetaan huomattavasti modulaatioihin koskematta. Tämä helpottaa jatkokäsittelyä, kuten signaalin digitalisointi A-D (analogi-digitaali) -muuntimen avulla. 9 Eri satelliittien käyttämät pseudosatunnaiskoodit on huolellisesti suunniteltu ortogonaalisiksi, ts. toisen satelliitin oikea signaali korreloi mahdollisimman heikosti vastaanottimessa generoidun toisen satelliitin koesignaalin kanssa. Taulukko Miten dendrokronologia toimii? Menetelmä toimii seuraavasti: laboratoriossa on vertaussekvenssi puunrenkaista, joka on rakennettu osittain päällekkäisten puusekvenssien avulla. Sateiset vuodet näkyvät paksuina, kuivat vuodet kapeina renkaina. Vertaussekvenssissa tunnetaan jokaisen renkaan oikea, absoluuttinen vuosiluku. Vertaussekvenssin rakentaminen on haastava. Sen jälkeen kuitenkin voidaan minkä tahansa puuesineen ikää määrittää vertaamalla sen vuosirenkaat vertaussekvenssiin, kunnes löytyy kohta jossa ne täsmäävät (korreloituvat). Menetelmä toimii, koska kosteiden ja kuivien vuosien vaihtelu on pitkälti satunnainen. Vastaavanlaiset menetelmät ovat monessa tieteenalassa käytössä: jääkairausytimien tai geologisten kerrostumien iänmääritys ja korrelointi, merenpohjan magnetisointivyöhykkeiden korrelointi, jne. 194

205 11.4 GPS-signaalin sisältämät koodit Navigaatiokoodi 50 Hz C/A koodi 1,023 MHz = 300 m Toisto 1 msec = 1023 chippiä = 300 km P-koodi 10,23 MHz = 30 m Korrelaatiotarkkuus 1% = ±0,3 m Kantoaalto. 19/24 cm = 1,4/1,2 GHz Vaihemittaustarkkuus 1% = ±2 mm Kuva GPS-järjestelmän pseudosatunnaiskoodit, niiden taajuudet ja aallonpituudet. Tavallaan myös GPS:n vastaanotetun koodin vertaaminen vastaanottimen generoimaan replikakoodiin on iänmääritys : satelliitistä Maahan lähteneen signaalin ikä... Kun korrelaatiolaskenta on antanut kulkuajan t = t vast t läh, antaa sen kertominen signaalin kulkunopeudella c satelliitin pseudoetäisyyden, GPS-mittauksen perusmittaussuureen. Sitä kutsutaan pseudoetäisyydeksi, koska se sisältää muutakin kuin geometrinen etäisyys, mm. kellovirheet. Palaamme tähän hetken kuluttua C/A koodi ja P-koodi Koska yhden millisekunnin pituinen C/A koodi koostuu vain 1023 bitistä, on tutkittava vain 1023 vaihtoehtoista siirtymäarvoa t. Tämä käy hyvin nopeasti. Jokaisella satelliitilla on oma henkilökohtainen C/A koodinsa; siksi on aluksi tehtävä N 1023 eri vertailua, jossa N on satelliittien määrä. C/A koodin avulla saadaan pseudoetäisyys määrittyä 300 kilometrin sisällä, koska koodi toistuu joka millisekunti, aika, jossa signaali kulkee 300 kilometriä. Tämä riittää jos vastaanottimen alustava paikka on jo sillä tarkkuudella tiedossa. C/A koodin modulaatiotila vaihtuu, jos vaihtuu, 1µs välein ( chip rate ), aika, jossa radiosignaali kulkee n. 300 m. C/A koodin mittaustarkkuus on tätäkin pienempää: jos vastaanottimen elektroniikka osaa mitata modulaation vaihetta 1% tarkkuudella, on muodollinen tarkkuus ±3 m. Suurempaa tarkkuutta antaa P-koodi. Sekin on pseudosatunnaiskoodi, mutta sen pituus on peräti 267 päivää. Jokainen satelliitti käyttää tästä pitkästä jaksosta omaa, satelliittikohtaista, viikon mittaista osajaksoa. Vastaanottimen on tässäkin tapauksessa osattava generoida koodin. Koska kuitenkin C/A koodin avulla suure t on jo saatu millisekunnin tarkkuudella, on tutkittava vain tätä tarkemmat desimaalit. P-koodin chip rate eli bittitaajuus on kymmenen kertaa suurempaa kuin C/A koodin, 10,23 Mb/s, mikä vastaa 30 m:n kulkumatkaa 10, ja, taas olettaen 1%:n vaihemittaustarkkuus, pseudoetäisyyshavainnon tarkkuutta noin 30 cm. 10 Tämä on P-koodin tehollista aallonpituutta. Se lasketaan seuraavasti: λ eff = c /f, jossa f on chip rate, taajuuden kaltainen suure, yksikkönä s 1, ja c on valon nopeus. Siis jos c = m ja f = s 1, seuraa λ = 30 m. 195

206 11 Global Positioning System (GPS) P-koodi on salattu siviilikäyttäjiltä. Salaus on toteutettu moduloimalla P-koodin päälle W-koodi, jonka generoivaa algoritmia ei ole julkaistu. Kantoaaltotaajuudella L 1 on siis moduloituna sekä P- että C/A -koodi. Koodien erottaminen toisistaan on tehty helpommaksi käyttämällä ns. vaihekvadratuuri: kun P-koodin bitit moduloidaan vaihesiirroilla 0 (bittiarvo 0) ja π (bittiarvo 1), on C/A-koodi vastaavasti moduloituna vaihesiirroilla +π/2 ja π/2. Puhutaan in-phase ja quadrature -modulaatioista. Navigaatioviestin vaihekulmat ovat samoja kuin C/A koodin GPS-vastaanottimia Tarkkaan geodeettiseen työhön tarkoitetut vastaanottimet ovat aina kaksitaajuuskojeita, jotka osaavat mitata GPS-signaalin kantoaallon vaihetta. Toisin kuin huokeilla käsikäyttöisillä laitteilla on antenni yleensä erillinen ja sitä kytketään koaksiaalikaapelin avulla vastaanottimeen. Satelliittien heikko signaali vahvistetaan jo antennin sisällä esivahvistimen avulla 11. Antenni voidaan laittaa standardin mukaiseen pakkokeskistyslaitteeseen geodeettisella kolmijalalla; tosiaikaisessa kartoitusmittauksessa käytetään kuitenkin pitkää mittaustankoa, jonka päähän antenni on ruuvattu kiinni ja johon on kiinnitetty GPS-vastaanotin lisälaitteineen. Antennin alapinnassa on samanlainen standardi 5 /8 tuuman reikä ruuvikierteineen kuin useimmissa geodeettisissa kojeissa. Jokaiseen vastaanotintyyppiin kuuluu oma antennityyppi; eri laitemerkkien antennit ja vastaanottimet eivät yleensä ole keskenään sähköisesti yhteensopivia. Tarkkaan geodeettiseen työhön tarkoitettu choke ring -antennimalli (kuva) on kuitenkin saatavilla monelta eri laitevalmistajalta. Vaimennusrenkaat lieventävät radioaaltojen heijastusongelmaa Maan pinnalta, ns. monitietä eli multipath. Antennin sähköinen keskus, piste, jossa geometrisessa tulkinnassa radioaallot näennäisesti vastaanotetaan, ei ole sama kuin antennin virallinen vertauspiste (ARP, Antenna Reference Point). Se ei ole edes yksiselitteisesti määritetty, vaan riippuu jonkin verran käytetystä havaintojen rajakorkeuskulmasta, ks. kuva Vertauskuvana kelpaa veden alla olevan kalan näennäinen paikka, joka sekin riippuu katselukulmasta. Puhutaan antennin vaihekeskipisteen vaihtelusta, ks. Poutanen (1998, s. 139). Kun suoritetaan mittauksia pienellä alueella käyttäen vain yksi ja sama antennityyppi, häviää vaihekeskipisteen vaihtelun vaikutus lopputuloksesta eri pisteiden välissä lasketuista sijaintierovektoreista. Kuitenkin jos sekoitetaan eri antennityypit, tai mitataan laajoja verkkoja satoja tai tuhansia kilometrejä läpimitaltaan on syytä kalibroida antennien vaiheensiirtokuviot, jotka ovat sekä elevaatiokulman η että atsimutisuunnan A kohtalaisen mutkikkaita funktioita. Kalibraatio, jossa siis määritetään tämä vaiheensiirtokuvio φ (η, A), voidaan suoritta joko laboratoriomittauksena keinotekoisen GPS-signaalin avulla, tai kenttäkalibraationa jossa vertaillaan aina kaksi erityyppistä antenniä keskenään. Kenttäkalibraatio on siis aina relatiivinen, suhteessa sovittuun vertausantennityyppiin. Erityisen tarkoissa geodynaamisissa deformaatiomittauksissa on nykyisin tapana kalibroida, ei vain antennityyppejä, vaan yksittäisiä antenniyksilöitä. 11 Esivahvistimen tarvitsema tasavirta tulee vastaanottimelta myös koaksiaalikaapelin kautta. Tämä mutkistaa tai estää erimerkkisten vastaanottimien ja antennien yhteiskäyttöä. 196

207 11.5 GPS-vastaanottimia c WGS GMT:21:14:27 LAT 61: N LON 25: E PDOP: 001 HDOP: 00 ALT COG M Tr VDOP: 01 TDOP: 01 SOG 0.30 Km/h SVS : 08 FOM 1 AGE : 000 Press ^/v to toggle page 2 e [ ] NO WEST SOUTH <MENU> NORTH EAST YES [+] Kuva Ashtech Z-12:n ohjauspaneeli. Kupu (muovi) Ristidipoli Choke rings Esivahvistin Coax antennikaapeli Jalustan kiinnitys (ruuvikierre) Kuva Ns. choke ring -GPS-antenni tarkkaan geodeettiseen työhön. Laitevalmistajien toimittamat antennit ovat yksinkertaisempia ja ennen kaikkea pienempiä ja kevyempiä. Näennäinen A Näennäinen B B A Rajakulma 30 Rajakulma 15 Sähköinen keskipiste Todellinen paikka Ristidipolin keskus Antennin vertauspiste Kuva Antennin sähköisen keskuksen paikka ei ole itsestäänselvä asia! 197

208 11 Global Positioning System (GPS) GPS-satelliittien lähettämät radioaallot ovat sirkulaarisesti polarisoituja oikeaanpäin eli kulkusuunnassa myötäpäivään; heijastuksen jälkeen polarisaatiosuunta vaihtuu vasempaan päin. Antenni (kuvassa esimerkkinä ristidipoli) on rakennettu niin, että se välittää vain oikeaanpäin polarisoitua signaalia eteenpäin vastaanottimelle. Näin heijastusten haitta minimoidaan. Teknologian kehitys menee suuremman integroinnin suuntaan. Nykyiset geodeettisetkin GPSpaikannuslaitteet ovat niin pieniä, että ne integroidaan antennin kanssa. Koska laitteet on hyvin autonomisia, niissä ei enää ole edes kunnon näyttöruutua. Toinen kehityssuunta on ohjelmistopohjaisten vastaanottimien eteenmarssi: nykyiset henkilökohtaiset tietokoneet alkavat olla rittävän tehokkaita suorittamaan sitä digitaalista käsittelytyötä jota nykyvastaanottimissa tehdään rautatasolla. Silloin tarvitaan yleis-pc:n lisäksi vain tyhmä analoginen radiolaite antenneineen (Lázaro, 2012) GPS:n havaintosuureita Geodeettinen GPS-vastaanotin tallentaa tekemiensä havainnot muistiinsa pitkänä, monta lukua sisältävänä taulukkona. Taulukossa olevat luvut edustavat etäisyyksiä vastaanottimen ja eri havaittujen satelliittien välillä. On helppo ymmärtää miksi lukujen määrä kasvaa niin suureksi: jos esimerkiksi mittausten välinen aika on 30 sekuntia ja havaintopaikan taivaalla näkyy viisi satelliittiä, ja yksitaajuusvastaanottimella havaitaan sekä C/A-koodi että P-koodi, on jo yhdessä minuutissa saatujen havaintoarvojen määrä ( 60 /30) 5 2 = 20. Tunnissa tämä merkitsee jo 1200 havaintoarvoa; jos ne tallennetaan muistiin tavallisina kaksoistarkkuuden reaalilukuina (kahdeksan tavua per luku), tarvitaan 9,6 kilotavua. Vuorokaudessa tallennustilan tarve on silloin jo 230,4 kb. Usein käytetty formaatti kansainvälisessä tieteellisessä GPS-datanvaihdossa on RINEX, Receiver Independent EXchange format, Gurtner ja Estey (2007). Tämä on tekstiformaatti, siis ihmisille lukukelpoinen, jolla useimpien geodeettisten vastaanotintyyppien havaintoaineistot voidaan siirtää, lukea ja käsitellä laitevalmistajalta riippumattomalla tavalla. Ks. esimerkki taulukossa Pseudoetäisyydet havaintosuureina Miksi puhutaan pseudoetäisyyksistä? Etuliite pseudo tulee siitä, että havaintosuureen numeroarvoon vaikuttaa, satelliitin ja vastaanottimen välisen geometrisen etäisyyden lisäksi, myös satelliitin ja vastaanottimen kellovirheet t ja T, sekä ionosfäärin ja troposfäärin väliaineiden aiheuttamat kulku- eli propagaatioviiveet. Näin saadaan pseudoetäisyyden havaintoyhtälöksi jossa p ρ pseudoetäisyys (en. pseudorange) p = ρ + c ( t T) + d ion + d trop, (11.1) luonnollinen (geometrinen) etäisyys. Pythagoraan mukaan ρ = (x X ) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2, x jossa satelliitin paikka avaruudessa on y z ja vastaanottimen paikka X Y Z 198

209 11.6 GPS:n havaintosuureita Taulukko RINEX-tiedoston alku. Laite kerää viisi havaintotyyppiä: kantoaallon vaihekulmahavaintoja ja P-koodihavaintoja molemmilla taajuuksilla L 1 ja L 2, sekä C/A koodin havaintoja taajuudella L 1. Havainnot tallennetaan 30 sekunnin välein. Satelliitteja on ensimmäisellä epookilla, 1. tammikuuta 2000 klo 0:00:00, yksitoista, ja toisellakin epookilla, klo 0:00:30, yksitoista. Ne ovat kaikki GPS-satelliitteja (G). Havaintoasema on DGAR, Diego Garcia Intian valtamerellä ( Garcia) OBSERVATION DATA G (GPS) RINEX VERSION / TYPE teqc 1999Oct8 gpsops :13:37UTCPGM / RUN BY / DATE OSF1 V Alpha cc =+ = COMMENT DGAR MARKER NAME 30802M001 MARKER NUMBER GNOG JPL OBSERVER / AGENCY T341U AOA SNR-8000 ACT REC # / TYPE / VERS 250 AOAD/M_T ANT # / TYPE APPROX POSITION XYZ ANTENNA: DELTA H/E/N 1 1 WAVELENGTH FACT L1/2 5 L1 L2 P1 P2 C1 # / TYPES OF OBSERV INTERVAL COMMENT This data is provided as a public service by NASA/JPL. COMMENT No warranty is expressed or implied regarding suitability COMMENT for use. For further information, contact: COMMENT Dave Stowers, NASA/JPL m/s COMMENT 4800 Oak Grove Drive, Pasadena CA USA COMMENT COMMENT GPS TIME OF FIRST OBS END OF HEADER G21G23G17G30G 1G31G29G22G15G25G G21G23G17G30G 1G31G29G22G15G25G c T t d ion d trop valon nopeus tyhjössä vastaanottimen kellon poikkeama GPS-ajasta (kellokorjaus = T) satelliitin kellon poikkeama GPS-ajasta ionosfäärin aiheuttama propagaatioviive troposfäärin aiheuttama viive. 199

210 11 Global Positioning System (GPS) ρ d trop d ion x, y, z, t Broadcast ephemeris X, Y, Z, T Tuntemattomat Kuva Pseudoetäisyyshavainto. Satelliitin kellopoikkeama t sisältyy satelliitien lähettämään broadcast ephemeris-viestiin. Vastaanottimen kellopoikkeama T taas jää tuntemattomaksi; sitä joudutaan estimoimaan yhtenä tuntemattomana yhdessä vastaanottimen koordinaattien kanssa. Näin ollen meillä on neljä tuntematonta jokaista GPS-vastaanotinta kohtaan: kolme koordinaattia X, Y, Z ja kellopoikkeama T jos unohdetaan hetkeksi ilmakehän tuntemattomat d ion ja d trop. Neljän tuntemattoman määrittämiseen riittää neljä pseudoetäisyyshavaintoa, eli havaintoja neljään eri satelliittiin. Ks kuva Kantoaallon vaihekulma havaintosuureena C/A-koodin chip rate eli lähetettyjen bittien lukumäärä sekunnissa, 1,023 MHz, vastaa aallonpituuteen 300 m, P-koodin vastaava luku, 10,23 Mhz, vastaa aallonpituuteen 30 m. Jos käytettäisiin modulaation sijasta itse kantoaalto, olisi relevantti aallonpituus 19 cm (L 1 ) tai 24,4 cm (L 2 ), reilun suuruusluokan verran lyhyempi matka. Tähän perustuu geodeettinen GPS-paikanmääritys, missä kaksitaajuusvastaanottimet havaitsevat GPS-satelliittien lähettämien kantoaaltojen vaihetta. Elektroninen vaihemittaus on suhteellisen helppoa ja tarkkaa, mutta kun markkinat ovat pieniä ja erikoistuneita, ovat laitteiden hinnat kuitenkin täysin muiden geodeettisten mittauskojeiden hintojen tasolla: vähintään tuhansia euroja. a Perustaajuuden (10,23 MHz:n) monikko Kanto- Taajuus Aallon- Kerroin a aalto (MHz) pituus (cm) L ,42 19, L ,60 24, Kuten myös elektronisten etäisyysmittareiden tapauksessa, liittyy vaihemittaukseen aina ambiguiteettiongelma. Mitatusta vaiheen arvosta vain osalla välillä [0, 2π) on merkitystä. Vastaava pseudo-etäisyys satelliittin ja vastaanottimen välillä saadaan siis vain kokonaislukua vailla. Jos tietty pseudoetäisyys P on yhteensopiva aallonpituudella λ tehdyn mittauksen kanssa, niin ovat myös pseudoetäisyydet P + λ, P λ, P + 2λ, P 2λ,

211 11.6 GPS:n havaintosuureita φ P = λ φ/2π N Kuva GPS:n kantoaallon vaiheen mittaus. Mitattu vaihekulma φ [0, 2π), metrinen pseudoetäisyys P, ja kokonaislukutuntematon N, tässä esimerkissä 2. Kantoaallon vaiheen havaintoyhtälö on (vaihekulmana, yksikkö radiaani) ρ + c ( t T) + Dion + D trop φ = 2π + N λ tai (matkana metreissä 12 ) P λ φ 2π = ρ + c ( t T) + D ion + D trop + λn. (11.2) Havaintosuure on joko vaihekulma φ tai vastaava (pseudo-)etäisyys P λ φ 2π, ks. kuva Tässä kaavassa D ion D trop λ N ionosfäärin aiheuttama kantoaallon propagaatioviive (joka on itse asiassa negatiivinen, D ion = d ion ) troposfäärin aiheuttama viive, D trop = d trop kantoaallon aallonpituus yo. taulukon mukaan kokonaislukutuntematon eli ambiguiteetti. Kaavoissa (11.1) sivulla 198 ja (11.2) olemme käyttäneet eri symboleja kantoaallon vaiheen ionosfääri- ja tropisfääriviiveille kuin vastaaville koodimittauksen viiveille, koska ne ovat itse asiassa erilaisia. Sanotaan, että ionosfääri on radioaalloille dispersiivinen: kulkunopeus riippuu taajuudesta, eli vastaavasti aallonpituudesta. Koodimodulaatioiden kulkunopeus on ryhmänopeus, joka on aina pienempi kuin valonnopeus tyhjössä. Kantoaaltovaiheen kulkunopeus on vaihenopeus. Dispersiivisessä väliaineessa nämä kahdet nopeudet eroavat toisistaan Ionosfäärin ja troposfäärin vaikutus Ionosfääri on dispersiivinen väliaine radioaalloille: eri tajuudet kulkevat eri nopeuksilla. Tämä johtuu vapaiden elektronien suuresta määrästä. Dispersion seurauksena radiaaltojen kulun vaihe- 12 Jatkossa jätetään yläpalkki pois. 201

212 11 Global Positioning System (GPS) Aika Ryhmä Vaihe (Kulkunopeus tyhjiössä) Kuva Aaltopaketin kulku dispersiivisessä väliaineessa, vaihe- ja ryhmänopeus. Kantoaalto kulkee vaihenopeudella, modulaatiot myös GPS-signaalin PRN-koodit kulkevat ryhmänopeudella. ja ryhmänopeudet ovat erilaisia. Vaihenopeudelle taitekerroin on: n p = 1 f 2 p f c 2 f 2 + c 4 f 4 + c 6 f (11.3) Tässä kaavassa vakiot c i, kuten myös plasmataajuus f p, eivät riipu radioaaltojen taajuudesta; ne riippuvat ionosfäärissä olevasta kokonaiselektronitiheydestä TEC, n e. Hyvä likimääräinen kaava, joka selittää yli 99,9% koko ionosfäärin propagaatiovaikutuksesta, on Seeber (1989): n p = 1 C f 2, C = 40,3n e m3 /s 2, jossa elektronitiheys n e ilmaistaan elektroneina per m 3. Tyypilliset luvut ovat m 3. Elektronitiheys vaihtelee päivän ja yön suurempi päivällä, vuodenajan suurempi kesällä, Auringon aktivisuuden ja tietysti paikan leveysasteen ja korkeuden mukaan. Ryhmäkulkunopeus, tarkemmin, ryhmätaitekerron, saadaan n p f :n taajuusderivaattana 13 : n g = d n p f d f = 1 + C f 2, C sama. Koska ionosfäärin taitekerroin riippuu signaalin taajuudesta f, on mahdollista eliminoida ionosfäärin vaikutus yhdistämällä kahdella eri taajuudella tehdyt mittaukset. Tässä perimmäinen syy miksi GPS-järjestelmä käyttää kahta eri taajuutta L 1 ja L kun propagaationopeus on c = c 0/n, jossa c 0 on valon nopeus tyhjiössä, seuraa että vaihepropagaationopeus on valonnopeutta suurempi. Kantoaaltovaihe ei kuitenkaan voi kuljettaa informaatiota, joten termodynamiikan mukainen ajan yksisuuntaisuus säilyy... jos olisi mahdollista kuljettaa informaatiota valoa nopeammin, olisi erityisen suhteellisuusteorian mukaan myös mahdollista kuljettaa sitä takaisin ajassa! 202

213 11.7 Mittauksen geometria Jos muodostetaan koodihavaintojen lineaariyhdistelmä ja vastaavasti p 3 f 2p 1 1 f 2p 2 2 f 2 1 f 2 2 n g;3 f 2 1 n g;1 f 2 f 2 1 f n g;2 saadaan ionosfääriefektiksi f C f C 1 f f 2 2 n g;3 = f 2 1 f 2 2 mistä nähdään, että ionosfäärin vaikutus on hävinnyt 14., = f 2 f f 2 1 f 2 2 Troposfääri tarkemmin, neutraali ilmakehä, mukaan lukien myös stratosfääri ja korkeampien kerrosten neutraaliosuudet sen sijaan ei ole radioaalloille dispersiivinen. Kuitenkin sen erikoisuutena on taitekertoimen vahva riippuvuus vesihöyrysisällöstä. Kaava, sama kaava (6.5) joka pätee myös elektronisten etäisyysmittausten yhteydessä, on (Rüeger, 1990, 2002): N M = 10 6 (n M 1) = 77,624 K /hpa T (p e) + 64,70 K /hpa T = 1, K T e (11.4) jossa n M on mikroaaltojen taitekerroin. Tässä p:n ja e:n yksikkö on hpa (hehtopascal) eli millibar. T on absoluuttinen lämpötila kelvineinä. Huomaa, että vesihöyryn osapaineen e kerroin tässä kaavassa on huoneenlämmössä on jopa 18 kertaa ilmanpaineen p kerrointa! Koska sekä ionosfääri että troposfääri vaikuttavat GPS-radioaaltojen kulkuun, voidaan GPS-havaintoja käyttää ionofäärin ja troposfäärin tutkimukseen. Sää- ja ilmastotutkijat ovat tästä suuresti kiinnostuneet, ks. luku Mittauksen geometria Olkoon satelliitin S paikkavektori geosentrisessa järjestelmässä r S, ja havaintoaseman A paikkavektori samassa järjestelmässä R A, sekä noiden välinen etäisyys ρ S. Ks. kuva Tällöin pätee A seuraava vektorikaava: r S = R A + e S A ρs, A jossa e S on satelliitin S suunta (yksikkövektori) havaintoasemasta A. GPS-mittauksen tehtävänä A on laskea R A kun ρ S on annettuna riittävän monelle satelliittille S. A Pythagoraan lause antaa ρ S = A r S R A = (x S X A ) 2 + (y S Y A ) 2 + (z S Z A ) 2, (11.5) jossa r S = x S i + y S j + z S k, R A = X A i + Y A j + Z A k 14 Tulos ja sen todistus ovat samoja jos otetaan ryhmätaitekertoimen sijasta vaihetaitekerroin n p. 203

214 11 Global Positioning System (GPS) Z R GPS-vastaanotin Origo, Maan massakeskipiste Y ρ X r GPS-satelliitti Kuva GPS-mittauksen geometria. ovat satelliitin S ja havaintopaikan A geosentriset paikkavektorit. Vektorit i, j ja k ovat geosentristen koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit, eli {i, j, k} on ortonormaalinen kanta euklidisessa avaruudessa. Usein kirjoitetaan (kuten tässäkin) vektorit huolimattomasti niiden komponenttien eli paikkakoordinaattien sarakevektoreina, eli x S X A r S y S z S ja R A = Y A Z A. Havainnoista ei kuitenkaan saada todellista etäisyyttä ρ vaan pseudoetäisyyksiä p kaava (11.1) tai P kaava (11.2). Myös ilmakehä-efektit d ion, d trop, D ion, D trop on jollain tavalla otettava huomioon. Vaihtoehdot ovat eliminointi havaintyhtälöistä kuten alaluvussa esitettiin ionosfääri-efektille d ion, D ion laskenta hyvän, ulkopuolelta saadun ilmakehämallin avulla mallinnus tuntemattomien parametrien avulla, estimoitaviksi samoista havaintoyhtälöistä kuten tulemme esittämään troposfääri-efektille d trop, D trop alaluvussa Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys Kuten yllä jo huomautettin, ovat GPS:n havaintosuureet pseudoetäisyyksiä, joiden havaintoyhtälö on tämän muotoinen: p = ρ + c ( t T) + d ion + d trop. Jätetään ilmakehän vaikutus pois ja oletetaan myös että satellittirata ja radasta ja kellonajasta laskettu satelliitin hetkellinen paikka avaruudessa ja satelliitin kellovirhe t ovat tunnettuja eli 204

215 11.8 Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys jo eliminoituja: p = ρ c T, jossa ρ on geometrinen etäisyys satelliittin ja vastaanottimen välillä, ja T on vastaanottimen kellovirhe. Kirjoitetaan kaava (11.5) sivulla 203 yksinkertaisemmin: ρ S A = ρ = (x X ) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2, jossa x y z T on tunnettu satelliitin paikka avaruudessa, laskettu ratatiedoista eli efemerideistä. X Y Z T on havaintopaikka. Nyt p = jossa on neljä tuntematonta, X, Y, Z ja T. (x X ) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 c T, Neljän tuntemattoman ratkaisemiseksi riittää havainnot neljälle satelliitille. Jos käytettävien satelliittien määrä on suurempi, saadaan redundanssi ja tasoitustehtävä. Kysymys: Miten pienet häiriöt vastaanottimen paikassa vaikuttavat erääseen mittaukseen p? Vastaus: Tutki satelliitin paikka taivaalla. Ks. kuva Olkoon satelliitin suuntavektori havaintopaikasta kastsottuna e. Tämä on yksikkövektori, ts. sen pituus on e = e e2 2 + e2 3 = 1. Jos satelliittin paikka taivaalla on atsimuti A, korkeuskulma η, on e e 1 i + e 2 j + e 3 k = e 1 e 2 e 3 = cos Acos η sin Acos η sin η = (x X )/ρ (y Y )/ρ (z Z)/ρ. Suoritetaan herkkyysanalyysi. Millä tavalla havaintopaikan pienet koordinaattisiirrot X, Y tai Z vaikuttavat havaintosuureeseen p? Jos paljon, niin havainto p auttaa määrittämään kyseinen tuntematon eli koordinaatti. Jos ei yhtään, niin ko. tuntematonta ei saada määritetyksi havainnon p avulla. Miten suurempi herkkyys, sitä parempi on tuntemattoman ratkaisun tarkkuus. Intuitiivisesti: havaintoon p vaikuttaa eniten, suhteessa yksi yhteen, havaintopaikan siirtymä satelliitin suuntavektorin e suunnassa. Havaintopaikan siirtymät, jotka ovat kohtisuorassa suuntavektoria kohtaan, eivät vaikuta lainkaan. Kaavana: Vaikutus = R e = X e 1 + Ye 2 + Ze 3. Tämä intuitiivinen tulos voidaan johtaa myös muodollisemmin linearisoinnin avulla. Ks. taulukko 11.4 seuraavalla sivulla ja alaluku 13.6 sivulla

216 11 Global Positioning System (GPS) Taivaan- pallo Zeniitti e 3 k e GPS-satelliitti W e 1 i Havaintopaikka η N A e 2 j E S Kuva GPS-satelliitin ja havaintopaikan välinen geometria. Taulukko Vaikutuskaavan eksaktimpi johtaminen linearisoinnin avulla. Valitaan havaintoasemalle X Y Z likimääräinen paikka T = 0. Silloin voidaan konstruoida likimääräinen pseudoetäisyyshavainto p 0 = X 0 Y 0 Z 0 (x X 0 ) 2 + (y Y 0 ) 2 + (z Z 0 ) 2. ja likimääräinen kellopoikkeama Suoritetaan Taylor-kehitelmä likimääräisen paikan lähistöllä, arvon p 0 ympäri. Ensimmäiset, lineaariset termit antavat p p 0 + p X (X X 0) + p Y (Y Y 0) + p Z (Z Z 0) c T p = p p 0 p X X + p Y Y + p Z c T. (11.6) Z Tässä kertoimet, osittaisderivaatat, saadaan seuraavasti: p X = x X ρ, p Y = y Y ρ, p Z = z Z ρ. (11.7) Kertointen arvot lasketaan likimääräisellä paikalla X 0 Y 0 Z 0 T todellisen, mutta tuntemattoman paikan sijasta. Tämä riittää, koska kaavassa (11.6) arvot p, X, Y, Z ovat pieniä erotussuureita todellisten arvojen (p, X, Y, Z) ja likiarvojen (p 0, X 0, Y 0, Z 0 ) välillä. Huomaa, että osittaisderivaatat (11.7) ovat suuntakosinit jotka yhdessä kuvaavat satelliitin suunnan taivaalla havaintoasemasta nähtynä, projisoituna koordinaattiakseleihin X, Y ja Z. 206

217 DOP-suureet ja havaintoyhtälöt 11.8 Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys Paikallisella taivaalla olevien GPS-satelliittien mittausgeometrian laadun mitta on DOP, Dilution of Precision, tarkkuuden laimennus. Yllä tehdyn geometrisen herkkyysanalyysin avulla voimme laskea DOP:n eri variantteja. Suurempi DOP-luku merkitsee huonompi mittausgeometria! DOP kuvaa satelliittigeometrian laatua, eli kuinka paljon huonommin tai paremmin koordinaatit saadaan ratkaistuksi standardilaatuisesta havaintoaineistosta, taivaalla tarjolla olevien satelliitien huonommasta tai paremmasta geometriasta johtuen. Tämä on arvokas tieto mittaustyön suunnitteluvaiheessa. Lyhenne Nimi Kuvattu suure GDOP Geometric DOP Paikka+aika PDOP Position DOP Paikka HDOP Horizontal DOP Vaakasijainti VDOP Vertical DOP Korkeus TDOP Time DOP Aika Nyrkkisääntö on, että mittausgeometria on hyväksyttävä jos GDOP < , riippuen käyttötarkoituksesta. Jos nyt havaintopaikan koordinaattien vaihtelua kuvataan (pienellä) korjaussuureella R = X Y Z T, ja vastaanottimen kellon vaihtelua (myös pienellä) korjaussuureella T, voidaan havaintosuureen p (i) riippuvuutta näistä yhteensä neljästä tuntemattomasta ilmaista näin: p (i) = e (i) 1 e (i) 2 e (i) 3 c X Y Z T = cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i c jossa A i ja η i ovat satelliitti i:n atsimuti ja korkeuskulma paikallisella taivaalla. Tämä kirjoitustapa kutsutaan linearisoinniksi. Tämä yhtälö voidaan tulkita havaintoyhtälöksi. Jos havaintoyhtälö kirjoitetaan symbolisesti, kuten geodesiassa on tapana, muotoon 15 l + v = Ax, (11.8) X Y Z T, silloin tuntemattomien vektorin x alkiot (estimaattorit) ovat X, Y, Z ja T, havaintojen vektori l koostuu arvoista p (i), ja rakennematriisi (en. design matrix) A on cos A 1 cos η 1 sin A 1 cos η 1 sin η 1 c cos A 2 cos η 2 sin A 2 cos η 2 sin η 2 c.... cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i c.... cos A n cos η n sin A n cos η n sin η n c. (11.9) 15 Jäännösvirheet eli residuaalit v tarvitaan mittausepävarmuutta sisältävien havaintojen l yhteensovittamiksi kun on enemmän havaintoja kuin tuntemattomia. Ks. alaluku

218 11 Global Positioning System (GPS) Tämä on itse asiassa alkuperäisen havaintoyhtälön (11.1) linearisoitu versio. Tämä rakennematriisi sisältää kaiken, mitä tiedämme satelliittien havaintogeometriasta 16. Tästä voidaan laskea kaikki DOP-suureet, käyttämättä yhtään todellista havaintoa riittää, että satelliitien paikat voidaan laskea. Matriisin koko on n 4: n riviä ja neljä saraketta, missä n on käytettävissä olevien satelliittien lukumäärä. Tilanne on aivan sama kuin terrestrisen geodeettisen verkon rekognosoinnin tapauksessa: verkon laatua voidaan jo arvioida pisteiden sijainnin ja suunniteltujen mittausten geometrian avulla, ennen kuin yhtään mittaus on vielä tehty. Tämä on verraton suunnitteluväline. Havaintoyhtälöistä ja pienimmän neliösumman tasoituksesta kerromme lisää alaluvussa Tässä emme tule laskemaan pienimmän neliösumman ratkaisua, vaan tutkitaan ainoastaan tuntemattomien X Y Z T T tarkkuutta! Oletetaan tätä laskua varten, että kaikki havainnot ovat yhtä tarkkoja niiden tarkkuus oletetaan 1 ja että ne eivät ole tilastollisesti riippuvaisia toisistaan. Silloin seuraavassa kuvattu yksinkertainen laskentatapa pätee. Se antaa kuvan GPS-satelliittien geometrian roolista mittaustulosten lopullisessa tarkkuudessa. Muut tekijät, kuten itse vastaanottimen ja antennin tekninen suorituskyky, mittauksen kesto, ilmakehä ym., voidaan tarkastella erikseen Virhe-ellipsoidit mittaustarkkuuden esitystapana Voimme rakennematriisista A konstruoida normaalimatriisi eli tuntemattomien painomatriisi seuraavalla tavalla: P A T A. (11.10) Painomatriisin P käänteismatriisi Q = P 1, on painokerroinmatriisi: q x x q x y q xz q x t q Q = Q xx = y x q y y q yz q y t q z x q z y q zz q. zt q t x q t y q tz q t t Tämä matriisi, kuten painomatrisi P tai rakennematriisi A, kuvaa edelleen ainoastaan mittauspaikan ja satelliittien välistä geometriaa eikä mitään muuta. Nyt tuntemattomien vektorin eli ratkaisun x = X Y Z T T varianssimatriisi on q x x q x y q xz q x t Σ xx = σ 2 Q 0 xx = σ 2 q y x q y y q yz q y t 0 q z x q z y q zz q. zt q t x q t y q tz q t t Vakio σ 2 0 kutsutaan painoyksikön varianssiksi. Sen neliöjuuri, painoyksikon keskivirhe σ 0, on yhden havaintosuuren, siis yhden havaitun pseudoetäisyyden, vakioksi oletettu, keskivirhe. Koordinaattiratkaisun varianssimatriisi on tuntemattomien varianssimatriisin 3 3 alkion kokoinen alamatriisi Σ rr. Sen alkiot ovat q x x q x y q xz Σ rr = σ 2 q 0 y x q y y q yz. (11.11) q z x q z y q zz 16 Kuten sisältää myös ns. skyplot, esim

219 11.8 Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys DOP-suureet lasketaan suoraan painokerroinmatriisista Q: PDOP = q x x + q y y + q zz, HDOP = q x x + q y y, VDOP = q zz, TDOP = q t t, GDOP = q x x + q y y + q zz + q t t = PDOP 2 + TDOP 2. Koordinaattikeskivirheet saadaan varianssimatriisin (11.11) päälävistäjäalkioiden neliöjuureina: σ X = σ 0 qx x, σ Y = σ 0 q y y, σ Z = σ 0 qzz. Tuttu pistekeskivirhe tasossa liittyy nyt suoraan HDOP-suureeseen: tarkkuus } {{ } σ P laiteteknologia ym. σ 2X + σ2y = } {{ } σ 0 geometria } {{ } HDOP. Koordinaattivarianssimatriisia voidaan graafisesti esittää kolmiulotteisena virhe-ellipsoidina. Virhe-ellipsoidi mittauspisteen ympärillä kuvaa koordinaattien epävarmuutta yo. määritelmien perusteella. Vastaava DOP-ellipsoidi saadaan jättämällä vakio σ 0 pois; se on samanmuotoinen kuin virhe-ellipsoidi mutta erikokoinen. Yleisessä tapauksessa ellipsoidin parametrien laskeminen matriisin alkioista ei ole yksinkertaista. Tarkastellaan yksinkertaisempi erikoistapaus, jolla on kuitenkin käytännön relevanssi. Jos mittausgeometria on symmetrinen eli, satelliitit ja niiden korkeuskulmat ovat tasaisesti jakautuneita atsimutin mukaan horisontin ympärillä, seuraa, että DOP-ellipsoidi on orientoitunut koordinaattiakselien mukaan: q x y = q x y = q yz = 0 (ja q x x = q y y!), ja matriisi on Σ rr = σ 2 0 q x x q y y q zz Tässä erikoistapauksessa DOP-ellipsoidin akselit osoittavat paikallisia koordinaattiakseleita pitkin, ja pisin akseli osoittaa pystysuuntaan. Käytännön mittaustilanteissa koordinaattien varianssimatriisi on usein lähellä tätä. Virhe-ellipsoidin pisin akseli on melkein aina lähellä pystysuuntaa, mikä kuvaa, että korkeus on heikommin määritetty kuin vaakasijainti 17. Tässä tapauksessa ovat 17 Syyt tähän ovat: Vain horisontin yläpuolella olevat satelliitit osallistuvat korkeuden määritykseen, eli on kyse ekstrapolaatiosta. Vaakatasossa taas sekä idässä että lännessä, ja sekä pohjoisessa että etelässä olevat satelliitit osallistuvat paikannukseen: interpolaatio. Myös samasta epäsymmetriasta johtuen pystysuuntainen sijaintituntematon Z ja kellotuntematon T kilpailevat samasta informaatiosta kun ne estimoidaan yhtaikaa samasta havaintodatasta. Myös ilmakehän aiheuttama signaalin kulkuviiveiden epävarmuus vaikuttaa lähinnä pystysuuntaisesti, kun myös ilmakehän vaakakerrostuksen johdosta tilanne vaakatasossa on symmetrisempi.. 209

220 11 Global Positioning System (GPS) σ 0 σ 0 DOP ellipsoidi Z Y X Virhe ellipsoidi 1 Virhe ellipsoidi 2 Kuva DOP-ellipsoidin ja virhe-ellipsoidin välinen yhteys ja painoyksikön keskivirhe σ 0. DOP-ellipsi kuvaa vain geometrian vaikutusta, kun virhe-ellipsoidi riippuu myös mittauksen tarkkuudesta, siis laitetyypistä. koordinaattien keskivirheet σ X = σ Y = σ HDOP, 2 σ Z = σ 0 VDOP, yo. määritelmien perusteella. Puoliakselien pituudet ovat q x x, q y y ja q zz. Symmetrisessa tapauksessa on siis q x x = q y y = 1 2 H DOP2 vaakatasossa, ja aina on qzz = VDOP pystysuunnassa DOP ja mittausten suunnittelu Yleisesti voi sanoa, että mittausgeometria on parempi jos HDOP ja VDOP (ja siis PDOP) ovat pienempiä. Se taas edellyttää, että riittävän monta satelliittia on horisontin yläpuolella ja mittauspaikasta havaittavissa ne ovat sijoitettuneet tasaisesti ympäri taivasta. 210

221 11.8 Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys qzz Z qy y qx x Y X Kuva GPS-paikanmäärityksen DOP-ellipsoidi jos sen pääakselit ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tietysti tämä onnistuu vain, jos mittauspisteestä on riittävän vapaa näkyvyys ylöspäin taivaalle. Käytännössä on aina olemassa esteitä, joita tulee kartoittaa horisonttipiirroksen muodossa mittauksen sunnittelua varten. Monet suunnitteluohjelmat antavat käyttäjän piirtää horisonttipiirros ja ottavat sen huomioon DOP:n laskennassa. Tilanne paranee, jos käytettävät vastaanottimet osaavat hyödyntaa sekä GPS- että GLONASSjärjestelmää: silloin näkyy enemmän satelliitteja ja hyvä mittausgeometria syntyy helpommin. Tietysti satelliittien havaintogeometria on vain yksi asia muiden joukossa. Muut tekijät ovat mm.: vastaanottimen ja antennin suorituskyky paikallisia häiriöitä, kuten monitie ( multipath ) eli maaheijastuksia Auringon aktiivisuus, ionosfääriset olosuhteet mittausmoodi: staattinen vai kinemaattinen, absoluuttinen (esim. Precise Point Positioning, PPP) vai relativinen, ym. relatiivisessa GNSS-mittauksessa mittauspisteiden välinen etäisyys tai etäisyys tukiasemasta. Geodeettiset mittaukset ovat (lähes) aina relatiivisia ja suoritetaan verkkomittauksina staattisessa GNSS-mittauksessa mittauksen kesto, mitattujen epookkien lukumäärä. Geodeettiset runkomittaukset ovat (lähes) aina staattisia, vaikka menetelmä on aikaa vievä, sen robustiuden ansiosta. Vain paikallisissa mittauksissa, kuten kartoitusmittauksissa, käytetään nopeampaa kinemaattista tekniikkaa (RTK, Real-Time Kinematic) ynnä muuta Esimerkki 1: atsimutisymmetrinen geometria Oletetaan, että satelliitit on tasaisesti jaettu ympäri taivasta eli atsimutiarvojen A mukaan, jokaiselle korkeuskulmalle η. Silloin yllä olevassa matriisissa 1. kaikki ei-päälävistäjän arvot häviävät, koska niissä on joko sin A tai cos A, tai jopa sin Acos A. Ainoastaan sin η ei häviä. 211

222 11 Global Positioning System (GPS) 2. n cos 2 A i cos 2 η i = 1 2 i=1 n sin 2 A i cos 2 η i = 1 2 i=1 n cos 2 η i, i=1 n cos 2 η i. i=1 Siksi A T A:stä tulee melkein diagonaalinen matriisi joka olisi suhteellisen helppo kääntää vaikkemme edes yritä sitä: 1 n 2 i=1 cos2 η i n P = A T 0 A = 2 i=1 cos2 η i 0 0 n 0 0 i=1 sin2 η i c n sin ηi i=1 0 0 c. n sin i=1 ηi nc 2 Muunnetaan nyt havaintoyhtälö (11.8) ja rakennematriisi (11.9) seuraavalla tavalla: l = AΛΛ 1 x + v = Ax + v, jossa ja koska 18 A = AΛ = Λ = x = X Y Z T = Λ 1 x = T X Y Z sin η nc Z cos A 1 cos η 1 sin A 1 cos η 1 sin η 1 1 n sin η c cos A 2 cos η 2 sin A 2 cos η 2 sin η 2 1 n sin η c. cos A i cos η i. sin A i cos η i. sin η i 1 n sin η. c. cos A n cos η n. sin A n cos η n. sin η n 1 n sin η. c sin η nc 1, Λ 1 = sin η nc 1, (11.12) Nyt saadaan siisti lävistäjämatriisi: 1 n 2 i=1 cos2 η i n 0 P = A T A = 2 i=1 cos2 η i 0 0 n 0 0 sin η i 1 n 2 i=1 n sin η j 0, j= nc 2 18 Tarkista, että ΛΛ 1 = Λ 1 Λ = I! 212

223 11.8 Havaintogeometria ja havaintojen herkkyys Kirjoitetaan tämän virhe- eli kuvaaja-ellipsoidin kaava: jossa x kuten kaavassa (11.12). Tulos on x T Px = 1, p 11 X 2 + p 22 Y 2 + p 33 Z 2 + p 44 T 2 = X 2 q x x + Y 2 q y y + Z 2 q zz T + 2 = 1, q t t mistä näkyy heti määritelmän mukaiset, varianssimatriisin Q xx = A T A 1 alkiot: q x x = q y y = 2 cos2 η, mistä HDOP = q x x + q y y = 2 cos2 η. Samalla, hieman uudelleen järjestämisen jälkeen, ja VDOP on sen neliöjuuri 19. q zz = n n sin 2 η sin η 2, Esimerkki 2: singulaarinen tapaus Tarkastellaan taas rakennematriisia A (kaava (11.9)) ja kirjoitetaan se muotoon e (1) T e (2) T A =. e (n) T olettaen, että on n satelliittia. Jos satelliitit ovat kaikki samalla ympyrällä, on satelliitin i yksikkösuuntavektori e (i) = ae 0 + b i e 1 + c i e 2 jossa arvot b i ja c i täyttävät ehdon b 2 i + c2 i = 1 a 2, kaikille satelliitteille i = 1,..., n. Tässä ae 0 on vektori havaitsijasta ympyrän keskipisteeseen. Näin ollen on vain kolme riippumatonta vektoria e (i) kun tarvitaan neljä. Ks. kuva Tilanne on myös geometrisesti selvä: jos havaintopaikka siirretään vektoria e 0 pitkin, minkä tahansa pseudoetäisyyksien erotus kahden satelliitin välillä ei muutu. Tässä onkin kyse siitä, että vastaanottimen kellotuntematon T ja havaintopaikan sijainnin e 0 -suuntainen komponentti (eli projektio e 0 -suuntaan) ei saa erotetuksi toisistaan tässä geometriassa. 19 Huomaa, että jos η on vakio siis kaikki η i, i = 1... n, ovat samoja, niin nimittäjä haviää! Eli, korkeuden määritys GPS:llä edellyttää, että on satelliitteja eri korkeuksilla taivaalla. c c. c, 213

224 11 Global Positioning System (GPS) e 2 e1 Erotushavainto e 0 R Havaitsija Kuva Ympyräsingulariteetti DOP-suureiden laskuesimerkki Ks. kuva Olkoon yksi satelliitti zeniitissä (η = 90 ) ja kolme satelliittia korkeuskulmalla η = 30 atsimuteilla A = 0, 120, 240. Lasketaan ensin rakennematriisi A kaavan (11.9) mukaan. Annettuna on A 1 = 0, η 1 = 90, A 2 = 0, η 2 = 30, A 3 = 120, η 3 = 30, A 4 = 120, η 4 = 30. Numeroarvoja saadaan muistamalla, että Tulos on sin (90 ) = 1, cos (90 ) = 0, sin (30 ) = 1 /2, cos (30 ) = 1 2 3, sin (120 ) = sin ( 120 ) = 1 2 3, cos (120 ) = cos ( 120 ) = 1 /2. A = c /2 c /2 c /2 c = c /2 c /2 c Seuraavaksi lasketaan tuntemattomien painomatriisi, kaava (11.10): 9/ P = A T 0 9/8 0 0 A = 0 0 3/4 3 2 c /2c 4c 2 4 1/2 c Tämän matriisin kääntäminen antaisi Q xx, tuntemattomien painokerroinmatriisi. Tässä käännämme matriisia vain osittain: 8/ q x x 0 Q xx = P 1 8/9 0 0 = 0 0 3/4 3 2 c 1 = q y y q zz q. (11.13) zt c 4c2 q tz q t t. 214

225 11.9 GPS-satelliittien radat N 3 W E S Kuva DOP-suureiden laskuesimerkki. Tästä luemme suoraan, että koordinaattien X ja Y painokertoimet ovat q x x = q y y = 8 /9 = 0,889..., ja siis HDOP = q x x + q y y = 16/9 = 4 /3 = 1, Kaavasta (11.13) näkyy, että Z-koordinaatti ja kellotuntematon T ovat sotkeutuneet toisiinsä (q zt 0) ja niiden painokertointen laskeminen jätetään sikseen GPS-satelliittien radat GPS-satelliitin rata Maan painovoimakentässä on likimain Keplerin lakien mukainen ellipsi. Käytännössä se on lähes ympyrä, jonka säde 21 on km, ja kiertoaika 11 h 58 m. Ratatasojen kaltevuus päiväntasaajaan nähden (inklinaatio) on i = 55, mitä merkitsee, että Suomen leveysasteella GPS-satelliitit eivät koskaan kulje zeniitin läpi. Kuitenkin suuren korkeutensa ansiosta satelliitit näkyvät myös pohjoisnavan yli pohjoisella taivaanpuoliskolla, vaikkakin hyvin matalalla. Ks. kuva Itse asiassa, jos tuntemattoman T sijasta tarkastellaan tuntematonta c T suositeltava temppu, koska nyt matriisin kunto on parempi, eli se on vähemmän häiriöaltis ja laskennan pyöristysvirheet vaikuttavat vähemmän, käännettävänä oleva osamatriisi on 3/4 3 /2 3 / /3 2 = 2 1 ja Q xx = 8/9 8/9 16/ Tämä on nyt X Y Z c T T :n varianssimatriisi. Tässä tuloksessa näkyy myös, miten Z ja T kilpailevat samasta informaatiosta: VDOP = q zz = 16/3 2,309, kun olisi ilman kellotuntematonta VDOP = 4/3 1, Siis: etäisyys Maan pinnalta on noin km km = km, jossa maapallon säteenä on käytetty 6378 km. 215

226 11 Global Positioning System (GPS) Pohjois- napa Zeniitti Kuva GPS-satelliittien ratatasot Helsingin taivaalla. Huomaa, että zeniittiä sisältävän ovaalin sisälle ei koskaan pääse GPS-satelliitteja, vaikka niitä näkyy pohjoisellakin taivaalla, tosin hyvin matalalla. Satelliittiradan kuvaamiseksi tarvitaan kuusi rata-alkiota. Rata-alkioiksi voitaisiin valita esimerkiksi kolme paikkakomponenttia r (t 0 ) = x (t 0 ) i + y (t 0 ) j + z (t 0 ) k = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) ja kolme nopeuskomponenttia ṙ (t 0 ) = ẋ (t 0 ) i + ẏ (t 0 ) j + ż (t 0 ) k = ẋ (t 0 ) ẏ (t 0 ) ż (t 0 ) tietyllä hetkellä t 0, käyttäen Newtonin pistenotaatio aikaderivaatalle, ja {i, j, k} on ortonormaalinen kanta. Näistä voi laskea paikan ja nopeuden r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, ṙ (t) = ẋ (t) i + ẏ (t) j + ż (t) k, jollekin myöhemmälle hetkelle t, vain laskemalla pieni askel kerrallaan eteenpäin ajassa, sekä korjaamalla nopeuden gravitaatiokaavan, ja paikan nopeuden avulla. (kuva 11.22): Maan vetovoimakenttähän tunnetaan kaavan muodossa: vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys voidaan laskea kun tunnetaan satelliitin paikka avaruudessa. Satelliittiradan geometria kuvataan tavallisesti kuuden Keplerin rata-alkion 22 avulla, Ω, i, ω, a, e ja ν, ks. kuva Lisää yksityiskohtia antaa Poutanen (1998) s. 97 ja luku Keplerin rata- 22 Siis jokaisella satelliitilla on kuusi Keplerin rata-alkiota jotka kuvaavat sen satelliitin radan muotoa ja sijaintia, sekä satelliitin paikkaa radallaan, avaruudessa. 216

227 11.9 GPS-satelliittien radat Liike Maan painovoimakentässä Uusi paikka r(t) Uusi nopeus ṙ(t) ṙ(t 0 ) Nopeus r(t 0 ) Paikka x Kuva Satelliitin rataliike kuvattuna paikka- ja nopeusvektorin avulla. alkioiden ja yllä kuvatun paikka- ja nopeusvektoriesitystavan välillä on suora (vaikkakin monimutkainen) yksi-yhteen vastavuus: Kepler : Ω, i, ω, a, e, ν r, ṙ. Tämä merkitsee, että annetuista Keplerin alkioista voidaan laskea satelliitin paikka avaruudessa sekä sen nopeus. Kaikki GPS-laskentaohjelmistot suorittavat tämän laskutoimituksen Satelliittien lähettämä navigaatioviesti Kuten jo huomautettiin, lähettävät kaikki GPS-satelliitit navigaatioviestin (navigation message) lähettämänsä radiosignaalin kantoaaltoon moduloituna. Nav-viestin modulaatiotaajuus on 50 Hz, eli se sisältää 50 bittiä sekunnissa. Koko nav-viesti koostuu 25 paketista (frames) joista jokainen sisältää 1500 bittiä ja kestää 30 sekuntia. Näin ollen kokonaispituus on bittiä ja lähetyksen kesto on 12,5 minuuttia. Kun GPS-vastaanotin kytketään päälle ensimmäistä kertaa, alkaa satelliittien etsiminen. Heti kun ensimmäinen satelliitti on saatu kiinni (lock-on), alkaa nav-viestin lukeminen. Lock-on voi hyvinkin kestää useita minuutteja, etenkin jos vastaanottimelle syötetty likimääräinen paikka on pahasti pielessä tai laite on kuljetettu mantereelta toiseen. Sen jälkeen kuitenkin muiden satelliittien löytäminen käy yleensä nopeasti. Navigaatioviesti ladataan satelliitteihin valvontalohkon toimesta säännöllisin välein, tyypillisesti kerran vuorokaudessa. Sen jälkeen tiedot ovat GPS-satelliittien signaalin osana kaikkien GPSjärjestelmän käyttäjien käytettävissä. Navigaatioviesti koostuu seuraavasta kolmesta osasta: 1. Ajanpitoon liittyvät tiedot kuten satelliittien kellokorjaukset; satelliittien terveystiedot eli kuinka laadukkaita satelliittien lähettämät paikannussignaali ja ratatiedot ovat; nav-viestin tuoreus. 2. Kaikkien satelliitien ratatiedot (broadcast ephemeris), eli satelliittien itse radioteitse levittämät ratatiedot. Nämä perustuvat viiden amerikkalaisten sotilasviranomaisten hallinnassa olevan, virallisen seuranta-aseman jatkuvasti tuottamaan havaintoaineistoon. Havainnoista lasketut kaikkien satelliittien rata-alkiot ladataan satelliitteihin valvontalohkon toimesta 217

228 11 Global Positioning System (GPS) typillisesti kerran vuorokaudessa. Satelliittien muistista ne lähetetään radiosignaaliin moduloituina bittivirtana kaikkien käyttäjien käyttöön. Rata-alkiot ovat Keplerin alkiot täydennettyinä Maan litistyneisyyden aiheuttamien sekä lyhytperiodisten (puolet satelliitin periodista) että sekulaaristen (lineaaristi ajassa kasvavien) häiriöiden kuvaavilla, yhteensä yhdeksällä kertoimella, joita ei GPS-satelliittien tapauksessa voida jättää huomioimatta. Käytetyn teorian juuret juontavat Yoshihide Kozai n klassiseen artikkeliin (Kozai, 1959). Broadcast ephemeris käytetään navigointisovelluksissa ja tosiaikaisessa paikannuksessa. Se on kätevää käyttää myös GPS-maanmittauksessa ja relatiivisessa paikannuksessa suhteellisen pienillä alueilla. Efemerideistä lasketaan jokaisen satelliitin havaintohetken paikka avaruudessa, jotta niitä voitaisiin käyttää majakkoina maan päällisen havaintoaseman paikan estimoimiseksi, sekä satelliitin nopeus 23. Käytetyistä laskentamenetelmistä selostetaan lisää kirjassa Poutanen (1998) ss Kaikkien satelliitien almanakka. Almanakan tarkoitus on antaa kaikista satelliiteista likimääräiset ratatiedot, jotka kuitenkin riittävät mm. mittauskampanjoitten suunnitteluun tai auttavat vastaanotinta löytämään satelliitteja. Almanakan voimassaolo on monta viikkoja. Almanakka sisältää myös karkean globaalin ionosfäärimallin Tarkat ratatiedot Precise ephemeris eli tarkat ratatiedot saadaan jälkeenpäin Internetin kautta. Ratatiedot tulevat kolmiulotteisina paikka- ja nopeusvektoreina, x (t i ) ẋ (t i ) y (t i ), z (t i ) ẏ (t i ), ż (t i ) jokaiselle epookille t i. Nopeusvektori on optionaalinen. Tiedot on taulukoituna 15 minuutin aikavälein, eli t i+1 t i = 15 m. Näistä interpoloidaan satelliitin paikka r (t) ja nopeus ṙ (t) mittaushetkellä t Lagrange 24 -interpolaation avulla. Näiden tietojen lisäksi löytyy kellon käyttäytymistä kuvaavat ja ratatietojen tarkkuuteen liittyvät tiedot ynnä muuta. Datan jakelulle käytetään standardiformaattia nimeltä SP3 ( Standard Product 3 ), alunperin Yhdysvaltain National Geodetic Survey n suunnitelema. Nykyversio on SP3-c, joka mahdollistaa myös GLONASS-satelliittien ratatietojen jakelun. Se on tekstiformaatti, siis ihmisille lukukelpoinen. Tunnetuin lähde on ollut International GNSS Service (IGS) jo vuodesta Heidän tuottamat tarkat radat julkaistaan Internetiin parin viikon havaintohetken jälkeen. Viime aikoina on alettu tuottaa myös rapid orbits -ratkaisuja jotka ovat lähes yhtä tarkkoja kuin precise ephemeris, mutta jotka perustavat huomattavasti tuoreempaan havaintoaineistoon. 23 Satelliitin nopeutta tähän ei välttämättä tarvittaisiin, mutta se tarvitaan signaalin taajuuden doppler-siirtymän laskennassa. Vastaanottimen on tunnettava jokaisen satelliitin doppler-siirtymä satelliitin signaalin kiinni saamiseksi ja pitämiseksi. 24 Joseph-Louis Lagrange ( ) oli ranskalainen matemaatikko, tähtitieteilijä, klassisen mekaniikan kehittäjä, yksi Eiffel-tornin 72 nimestä. 218

229 11.9 GPS-satelliittien radat Taulukko Precise Ephemeris alkuperäisessä SP3-formaatissa. Satelliittien numerot, paikkavektorit, nopeusvektorit, kellokorjaus ja kellon käynti, päivämäärä ja aika, jne. Esimerkki U.S. National Geodetic Survey. V d ITR92 FIT NGS ## %c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc %c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc %f %f %i %i /* CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC /* CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC /* CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC /* CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC * P V P V P V * * * P V P V * P V P V * * Uusimmat ultra rapid -ratkaisut ovat satelliittien rataennusteita 24 h eteenpäin, jolloin niitä voidaan käyttää tosiaikaisiin sovelluksiin. Tarkat ratatiedot, toisin kuin broadcast ephemeris, jakellaan Internetin välityksellä eikä siis GPSsatelliittien kautta. Yllä mainitut tahot ovat riippumattomia Yhdysvaltain puolustusviranomaisilta. Toisin kuin broadcast ephemeris, kuvaavat precise ephemeris satelliittien todelliset radat, missä ne todella olivat sillä hetkellä. Broadcast ephemeris ovat ennusteita ja siksi epätarkkoja International GNSS Service International GNSS Service (IGS) perustettiin 1990 IAG:n (International Association of Geodesy) toimesta, ja siitä tuli IAG:n virallinen palvelu v Palvelun päätavoitteena on tuottaa tarkkoja ratatietoja geodynamiikan (kiinteän maan liikkeiden) tutkimuksen tueksi. Kuitenkin sen tuotteet 219

230 11 Global Positioning System (GPS) Nov 09 17:26:59 Kuva IGS:n seuranta-asemat, tilanne 2010 (aineisto IGS). käytetään paljon laajemmin monella geofysiikan alalla. IGS:n toimintaa johtaa Central Bureau, toimipaikkana JPL (Jet Propulsion Laboratory) Yhdysvalloissa. Vuonna 2015 IGS käytti maailmanlaajuisesti noin 500 GPS-aseman havaintoja rataennusteidensa laskemiseksi. Luku on kasvanut vain hitaasti viime vuosien aikana. Varsinaisen laskennan suorittaa seitsemän eri laskentakeskusta; ratatiedot on käytettävissä pari viikkoa mittausajankohdan jälkeen. Laskettuihin tietoihin kuuluu myös satelliittien kellokorjausparametrit, ja erikseen Maan pyörähdysliikkeen parametrit (EOP, Earth Orientation Parameters) eli napaliike ja vuorokauden pituuden vaihtelut. IGS:n Central Bureau Information Service on osoitteella 220

231 GPS-havaintojen käsittely 12.1 Erotushavaintojen muodostus Luku 12 Geodeettisissa GPS-mittauksissa ja GPS:n maanmittaussovelluksissa halutaan tavallisesti mitata kahden pisteen välinen sijaintiero. Pisteiden välinen etäisyys voi olla esimerkiksi 100 km tai 1000 km; tämä on paljon lyhyempi matka kuin etäisyys GPS-satelliiteille, jotka kiertävät korkeudella noin km. Ks. kuva Satelliitista nähtynä havaintopisteiden välinen kulma α on hyvin pieni, esimerkkitapauksessa (Helsinki ja Sodankylä) vain 2! Siksi monet virheet ovat molemmille paikoille osittain yhteisiä, samanlaisia ja suunnilleen yhtä suuria. Satelliitin kellon poikkeama eli kellovirhe on jopa identtinen. Ratavirheen vaikutus on likimäärin sama geometriasta johtuen, ionosfäärin ja troposfäärin aiheuttamat virheet ovat myös samanlaisia, geometrian samanlaisuuden sekä ilmakehän olosuhteiden pitkän matkan spatiaalikorrelaation 1 ansiosta. Pitää kuitenkin muistaa että Helsingin ja Sodankylän luotiviivojen suuntien ero on jo 7, siis satelliitin korkeus paikallisen horisontin yläpuolella on erilainen. Yhteinen virhe -olettamuksen perusteella muodostetaan kahden havaintopisteen ja yhden satelliitin havaintojen erotuksia. Näissä erotuksissa monet virheet häviävät kokonaan tai pienenevät 1 Tällä tarkoitetaan, että olosuhteet muuttuvat vain hitaasti paikan mukaan. Helsinki ja Sodankylä ovathan melkein samassa ilmastovyöhykkeessä, ja jos Pohjois-Euroopan yllä on korkea- tai matalapaine, vaikuttaa se varmaan sekä Helsinkiin että Sodankylään. Sääilmiöiden synoptinen mittakaava ( Synoptic_scale_meteorology) on luokkaa 1000 km. Sodankylä α Helsinki Kuva Yhteinen virhe -olettamus. 221

232 12 GPS-havaintojen käsittely Satelliitti 1 Satelliitti 2 Vastaanotin 1 Vastaanotin 2 (a) Yksinkertaiset erotukset vastaanotinten välillä (b) Yksinkertaiset erotukset satelliittien välillä Epookki 1 Epookki 2 δ (c) Kaksinkertaiset erotukset (d) Kolminkertaiset erotukset Kuva Eri erotussuureiden muodostaminen ja niille käytetyt symbolit. olennaisesti. Erotuksen muodostaminen on suoranaista: vähennetään vain kaksi raakahavaintoa toisistaan, kumpikin poimittuna taulukon 11.3 näköisestä havaintotiedostosta. Erotukset voivat olla yksinkertaisia joko kahden vastaanottimen tai kahden satelliitin välillä, joissa tapauksissa käytetään visuaalisesti osuvat symbolit tai, kaksinkertaisia, tai kolminkertaisia. Ks. kuva Eri erotustyyppien muodostumisen vaikutus virheiden suuruuteen se mitä tässä kiinnostaa! on luetteloitu taulukossa Esimerkki: yksinkertainen erotus Selostetaan kaavojen avulla, miten yksinkertainen erotus lasketaan alkuperäishavainnoista, ja miksi jotkut systemaattiset virheet eliminoituvat kokonaan, ja jotkut toiset pienenevät rajusti. 222

233 12.1 Erotushavaintojen muodostus Taulukko GPS-havainnoista erotussuureiden muodostumisen vaikutuseri virheiden suuruuteen. Virhelähde \ erotuksen tyyppi δ Satelliittirata r S, ṙ S - a b Satelliitin kello t - 0 c 0 0 Vastaanottimen kello T Ionosfääri d ion, D ion - Troposfääri d trop, D trop - Kokonaislukutuntemattomat N d a Virhe pienenee olennaisesti, etenkin jos mittauspisteiden välimatka on pieni b Virhe pienenee vieläkin rajummin c Virhe eliminoituu kokonaan d Ellei tapahdu ns. cycle slip Yksi vastaanotin (havaitsija) A, kaksi satelliittia S, T: Kirjoitetaan yhtälö(11.1): ST p A = p S A pt A, ST P A = P S A P T A. p S A = ρs A + c t S T A + d S ion,a + ds trop,a, p T A = ρt A + c t T T A + d T ion,a + d T trop,a. Tässä on otettu huomioon, että kellovirheistä t on satelliittikohtainen, T taas havaitsija- eli vastaanotinkohtainen. Vähentämällä saadaan jossa ST p A = ST ρ A + c ST t + ST d ion,a + ST d trop,a, ST ρ A = ρ S A ρt A, ST t = t S t T, ST d ion,a = d S ion,a d T ion,a, ja ST d trop,a = d S trop,a d T trop,a. Näistä on kadonnut vastaanottimen A kellovirhe T A, koska vastaanottimen ominaisuutena se on sama eri satelliiteille ja kumoutuu kun lasketaan satelliittien välinen erotussuure. Tämä on käytännössä tärkeä, koska vastaanottimet sisältävät tavallisesti halvan kvartsioskillaattorin jonka käyntivirhe voi olla huomattava. Samanlainen yhtälö pätee myös kantoaallon vaiheelle: ST P A = ST ρ A + c ST t + ST D ion,a + ST D trop,a + λ ST N A, 223

234 12 GPS-havaintojen käsittely jossa ST N A = N S A N T A on ambiguiteettien erotus satelliittien S ja T välillä Kaksi vastaanotinta A, B, yksi satelliitti S: AB p S = p S A ps B, AB P S = P S A PS B. (12.1) Tästä eliminoituu samalla tavalla kokonaan satelliitin kellovirhe t: se on satelliitin eikä vastaanottimen ominaisuus ja häviää kun lasketaan saman satelliitin eri vastaanottimien välinen erotussuure. Lisäksi ratavirheiden, ionosfäärin ja troposfäärin vaikutukset ovat huomattavasti vähentyneet: lyhyillä vastaanotinten välisillä matkoilla koska AB d = d S A ds B 0, 1. havaintogeometria on lähes sama A:ssa ja B:ssa, ks. kuva ilmakehän olosuhteet eivät paljon muutu pisteiden A ja B välillä, eli mittaussäde kulkee lähes samanlaisen ilmamassan läpi 3. satelliitin S korkeuskulma taivaalla on A:ltä katsottuna lähes sama kuin B:ltä katsottuna Muut erotussuureet Samalla tavalla, yhdistämällä yllä kuvattuja toimintoja, voi laskea myös kaksinkertaisia ja kolminkertaisia erotuksia. Kaavat ovat monimutkaisen näköisiä mutta menettelytapa suoranainen, ks. yhteenveto taulukossa Taulukon kaavat johdetaan suoraan alkuperäisistä havaintoyhtälöistä (11.1) ja (11.2) yhteen- ja vähennyslaskulla Relatiivinen (staattinen) GPS Kahden havaintopaikan A ja B välinen sijaintiero eli vektori R AB = R B R A voidaan ratkaista tarkemmin kuin kummankin paikan absoluuttinen sijainti R A, R B Maan massakeskipisteen suhteen. Ks. kuva Syy tähän on eri virhelähteiden vaikutuksen kumoutuminen tai lähes kumoutuminen, kun ovat melkein samoja molemmassa pisteessä. Laskentaa varten käytetään kahden havaintopaikan välisiä erotushavaintoja AB p, AB P, joissa tämä kumoutuminen jo tapahtuu. Kuten jo aiemmin näytettiin kuvassa 12.1, ovat satelliittien S ja T paikat taivaalla melkein samoja havaintopaikoista A ja B nähtynä, ja myös ilmakehä on A:n ja B:n yläpuolella varmaan aika samanlainen. 224

235 12.2 Relatiivinen (staattinen) GPS Taulukko GPS:n havainto- ja erotussuureet, yhteenveto. Kaavoissa on käytetty notaatiot d = d ion + d trop, D = D ion + D trop. Huomaa johdonmukainen deltojen ja nablojen käyttö. Pseudoetäisyys p Kantoaaltovaihe φ; vastaava pseudoetäisyys P p S A = ρs A + c( ts T A ) + d S A P S A = ρs A + c( ts T A ) + D S A + λn S A Yksinkertainen erotus, satelliittien välillä: ST p A = ST ρ A + c ST t + ST d A ST P A = ST ρ A + c ST t + ST D A + λ ST N A Yksinkertainen erotus, vastaanotinten välillä: AB p S = AB ρ S + c AB T + AB d S AB P S = AB ρ S + c AB T + AB D S + λ AB N S Kaksinkertainen erotus: ST AB p = ST AB ρ + ST AB d ST AB P = ST AB ρ + ST AB D + λ ST AB N Kolminkertainen erotus: δ 12 ST AB p = δ 12 ST AB P = = δ 12 ST AB ρ + δ 12 ST AB d = δ 12 ST AB ρ + δ 12 ST AB D + λ (cycle slips) Paljonko esimerkiksi satelliittien S ja T ratavirhe vaikuttaa vektorin eli sivun AB määritykseen? Katso kuva Suuruusluokan nyrkkisääntö sanoo, että, ratavirheen aiheuttama pisteen B paikannusvirhe δ pisteen A:n suhteen on δ d s, jossa on oletettu ratavirhe. Tämä on vain karkea suuruusluokka-arvio. Ks. alla oleva taulukko. Tiedetään, että s km. Taulukossa 12.3 annetut arvot ratavirheelle, 1 m ja 2 cm, vastanevat tämän hetken broadcast 2 ja precise -ratatietojen tarkkuuksiin. Johtopäätös on, että Maanmittaustyössä pienillä alueilla (1-100 km) rata voidaan yleensä olettaa tunnetuksi. 2 Tämä on karkea arvio. Broadcast-ratojen laatu on GPS-järjestelmän alkuajoista parantunut, hitaasti mutta varmasti. Muut GNSS-järjestelmät, kuten GLONASS, Galileo ja BeiDou, suoriutuvat suunnilleen samalla tasolla, tai ehkä hieman huonommin (Montenbruck ym., 2015). S T s A d δ B Kuva Kaksoiserotus, lyhyt sivun pituus. 225

236 12 GPS-havaintojen käsittely Taulukko Ratavirheen, sivun pituuden ja paikannusvirheen välinen yhteys. Sivun pituus d (km) Ratavirhe (m) Paikannusvirhe δ (mm) 1 1 0, , ,02 0, ,02 0, ,02 0, ,02 1 Geodeettisessa työssä lasketaan havainnoista pisteessä A ja B ensin kaksinkertaisia erotuksia ST AB P. Kun on kyse kantoaallon vaiheen havainnoista, on ambiguiteetit eli kokonaistuntemattomat ST AB N ensin ratkaistava. Sen jälkeen havainnoista lasketaan vektori R AB = X AB Y AB Z AB pisteiden välillä. Siksi nimitys relatiivinen GPS. = X B X A Y B Y A Z B Z A Tämä kuvaus on helposti yleistävissä usean mittauspisteen eli verkon mittaukseen Kokonaislukutuntemattomien kiinnitys Kokonaislukutuntemattomien ( ambiguiteettien ) ratkaiseminen on GPS:n kantoaaltovaihehavaintojen käytön edellytys. Menetelmiä löytyy useita. 1. Etäisyysmittauslaitteet ratkaisevat kokonaislukutuntemattomat mittaamalla usealla eri aallonpituudella. Kuvassa 12.4a kuvataan, miten tätä palapeliä voi ratkaistaa. GPS-satelliitti lähettää kahdella eri aallonpituudella L 1 ja L 2. Kun aallonpituuksia on kaksi, voidaan ne yhdistää tavalla, joka helpottaa ambiguiteettien ratkaisua lyhyillä matkoilla. Lasketaan vaihe-ero φ w = φ 1 φ 2 vaihemittausten L 1 ja L 2 välillä. Se on kuin käyttäisi kantoaaltoa, jonka taajuus on f w = f 1 f 2 = 347,82 MHz ja, vastaava aallonpituus λ w = c/f = 86 cm. Tätä menetelmää kutsutaan leveäkaistaratkaisuksi (en. wide-laning ). Leveäkaistaratkaisu toimii vain lyhyillä matkoilla, koska muuten ionosfäärin vaikutuksen erotus kahden mittauspaikan välillä kasvaa liian suureksi ja sekoitaa pakan. Koodihavainto antaa pseudo-etäisyys jo noin metrin tarkkuudella, jonka jälkeen leveäkaistamenetelmä antaa kokonaistuntemattomat, ja vaihe-erosta φ w saadaan ambiguiteettivapaa pseudoetäisyys senttimetrien tarkkuudella. 2. Käytetään useita satelliitteja. Tällä hetkellä Maata kiertää yli 30 GPS-satelliittia, mielivaltaisella hetkellä niistä näkyy Tämä on monimutkaisempi menetelmä, koska, toisin kuin etäisyysmittauksessa, geometria on kolmiulotteinen. Tähän löytyy tehokkaita algoritmeja. 226

237 12.3 Kokonaislukutuntemattomien kiinnitys Yhteinen ratkaisu Mahdollinen λ 1 -ratkaisu λ 1 λ 2 Mahdollinen λ 2 -ratkaisu (a) Yksiulotteinen Etsintäalue Esim. koodipaikannus) Yhteinen ratkaisu Liike a Etsintäalue 1b 1a -> 1b a a-2a 2a -> 2b Liike 2b Yhteinen ratkaisu (b) Kolmiulotteinen (c) Kolmiulotteinen plus aika Kuva Eri ambiguiteettiratkaisumenetelmiä 3. Käytetään samat satelliitit pidemmäksi aikaa. Koska satelliittien havaintogeometria ehtii muuttua, saadaan enemmän ehtoja. Ks. kuva Viime vuosina on tullut GPS:n lisäksi muitakin globaalisia satelliittipaikannusjärjestelmiä. Venäläinen GLONASS jonka jokaisella satelliitilla on oma kantoaallon lähetystaajuus, mikä mutkistaa kokonaislukutuntemattomien raskaisemista on pitkän alennustilan jälkeen aktiivisesti nostanut toimivien satelliittiensa lukumäärää, eurooppalainen tuleva Galileo-järjestelmä on saanut muutama koesatelliitti jo radalleen, ja myös kiinalaiset ovat tulossa Beidou-2 -järjestelmänsä kanssa. Järjestelmien yhteiskäyttö samassa vastaanottimessa on teknisesti monimutkainen mutta lupaa erittäin nopeaa ja luotettavaa kokonailukutuntemattomien ratkaisua. Helpotusta voi tulla ohjelmistopohjaisilta vastaanottimilta ( software defined GNSS receiver ), jossa kaikki käsittelytyö antennin ja sen analogisen elektroniikan jälkeen on totetutettu digitaalisesti ohjelmistossa kauppa- 227

238 12 GPS-havaintojen käsittely hyllyltä ostettavan tietokoneen sisällä Tosiaikainen paikannus Yllä kuvattu relatiivinen staattinen menetelmä perustuu jälkilaskentaan. Geodeettiseen käyttöön tämä on yleensä ongelmaton. Tarkkojen satelliittiratojen käyttö välttämätön jos haluaa geodeettista tarkkuutta pitkille vektoreille edellyttää myös tietyn odotusajan: pari viikkoa precise ephemerisin tapauksessa. Joskus kuitenkin tarvitaan uusien pisteiden koordinaatit heti, ja on myös tilanteita joissa tämä olisi hyödyllistä tai kätevää. Silloin puhutaan tosiaikaisesta 3 paikannuksesta (engl. real time). Navigointi on laaja sovelluskenttä. Tosiaikaisuutta voidaan toteuttaa siirtämällä pisteellä A tehdyt havainnot pisteelle B lennossa, esim. radioteitse Dierentiaali-GPS (DGPS) Differentiaali-GPS on koodihavaintoihin perustuva tosiaikainen paikannusmenetelmä, jossa käytetään vertaus- eli tukiasemaa. Se on siis relatiivinen mittaus tukiaseman A ja liikkuvan vastaanottimen eli roverin B välillä. Kuten aina kahden vastaanottimen välisessä mittauksessa, ovat monet virhelähteet samoja tai lähes samoja molemassa vastaanottimessa: satelliitin rata- ja kellovirheet sekä ilmakehän aiheuttavat virheet kumoutuvat A:n ja B:n välisessä erotusmittauksessa kokonaan tai lähes kokonaan. DGPS-menetelmässä ei siirretä A:n raakahavainnot B:hen se olisi turhan paljon tietoa siirrettävänä. Sen sijaan lasketaan havainnoista ensin mitatun ja lasketun pseudoetäisyyden erotus. Voidaan laskea jokaiselle havainnolle p A havaintopaikan A geometrinen etäisyys satelliitista ρ (0) A A:n ja satelliitin S välillä. Tämä vertausetäisyys perustuu pisteen A tunnetuun paikkaan ja satelliitien lähettämiin ratatietoihin. Silloin saadaan pseudoetäisyyspoikkeama jokaisella taivaalla olevalle satelliitille: dp A p A ρ (0) A. Samat satelliittien ratatiedot ovat myös liikkuvan pisteen B käytettävissä, joka voi itse laskea niistä sama ρ (0) A tunnetaanhan tukiaseman A paikkaa. Siis poikkeamien dp A informaatiosisältö on sama kuin kokonaisten mittausarvojen p A, ja voivat korvata ne jakelussa. Pseudoetäisyyspoikkeamien käytöllä on seuraavat edut: Arvot ovat paljon pienempiä. Tyyppillisesti poikkeamat ovat olleet ±100 m silloin, kun Selective Availability (SA, rata- ja kellotietojen keinotekoinen huonontaminen) oli vielä päällä. Kun vuonna 2000 SA kytkettiin pois, poikkeamien koko putosi tasoon ±5 m. Arvot vaihtelevat hitaammin. Ne ryömivät tuntien mittaan satunnaisen näköisellä tavalla. Niiden ekstrapolointi muutaman sekunniin tai minuutin verran tulevaisuuteen onnistuu paremmin kuin raa oilla havainnoilla. 3 Tosiaikaisuuden (reaaliaikaisuuden) muodollinen määritelmä on taattu vasteaika. Se saa olla pitkäkin, jos se vaan on taattu. Vasteaika (latency) on se aika, joka kuluu mittaustapahtuman ja aineiston käytettäväksi tulemisen välillä. 228

239 12.4 Tosiaikainen paikannus Ilman korjausta Laskettu paikka d p B dp A Korjauksella B Korjaukset Todellinen paikka A Kuva DGPS-menetelmän toimintaperiaate, hieman yksinkertaistettuna. Näistä molemmista syistä tarvittava tietoliikennekapasiteetti on paljon pienempi, ja kanavaksi riittää matkapuhelin. Nykyiset dataverkkoyhteydet (3G, 4G) ovat huomattavan nopeita. Mobiili Internet radiomodeemi (lyhyt matka) ULA-taajuuden sivumodulaatiokaista (RDS), kuten Suomessa FOKUS-palvelu käytti ennen kuin siirtyi myös mobiilin Internetiin merenkululle pitkäaaltosignaali. Poikkeaman arvot vaihtelevat myös hitaasti paikan funktiona. Siksi voidaan, jos etäisyys AB on riittävän pieni ( km), rekonstruoida riittävällä tarkkuudella d p B dp A + c ( T A + T B ), jossa T A, T B ovat vastaanottimien kellovirheet. Alkuperäishavaintojen lisäksi voimme myös konstruoida erotushavaintoja ST p B kahden satelliitin S ja T välillä: dp S B d ps A + c ( T A + T B ) dp T B d pt A + c ( T A + T B ) = ST (dp B ) = dp T B dps B = dpt A dps A, 229

240 12 GPS-havaintojen käsittely Kaksoiserotusten arvopinnat Liikkuva vastaanotin Tunnettu päätepiste Tietolinkki Tunnettu lähtöpiste Tukiasema Kuva RTK-menetelmän toimintaperiaate. Vrt. Decca-kuvan 11.1 kanssa! jakelussa olevien suurien erotus, josta on eliminoitu molempien vastaanottimien kellovirheet. Nyt voidaan laskea pisteen B etäisyyksien yksinkertainen erotus kahden satelliitin välillä: ST ρ (0) B = ST p B ST (dp B ), puhtaasti geometrinen suure pisteen ja satelliittien S ja T ratatiedoista laskettujen, siis käyttäjän tiedossa olevien, avaruussijaintien välillä. Näistä voidaan ratkaista pisteen B tuntematon sijainti, ilman satelliittien rata- tai kellovirheiden vaikutusta. Kolme erotushavaintoa eli neljä satelliittia riittää. Differentiaalisella GPS-paikannuksella ja -navigoinnilla ( DGPS ) tarkoitetaan yleensä juuri tämä tosiaikainen menetelmä jossa käytetään GPS-signaalin modulaatioita eli C/A- ja P-koodeja Kinemaattinen (tosiaikainen) paikannus (RTK) Jos käytetään tosiaikaisesti kantoaallon vaihemittauksia, puhutaan RTK:stä (en. Real Time Kinematic). Tässä tarkkuus on paljon parempi, vaikkakin vain lyhyemmällä matkalla. Toisin kuin DGPS, tämä on inkrementaalinen menetelmä: mittaus on aloitettava käymällä koordinaateiltaan tunnetulla pisteellä, ja mieluummin lopetettavakin tunnetuun pisteeseen varmuuden vuoksi. Välillä mitattujen pisteiden koordinaatit saadaan suhteessa näihin tunnetuihin pisteisiin. Ks. kuva Jos käytetään kaksoiserotuksia, kahden satelliitin sekä tukiaseman ja liikkuvan aseman eli roverin välillä, ovat ainoat tuntemattomat roverin kolme koordinaattia X, Y ja Z. Tässä tuntemattomien avaruudessa 3 jokaisen kaksoiserotushavainnon kanssa yhteensopivat pisteet muodostavat pyörähdyshyperboloidien kimpun. Hyperboloidien välinen matka vastaa yhteen aallonpituuteen. Kuvassa hyperboloidit on piiretty läpileikkauksena käyrinä erivärisinä kahdelle eri satelliittiparille. Kuten aina GPS-mittauksissa on satelliittien minimimäärä neljä. 230

241 12.4 Tosiaikainen paikannus Tunnetulle pisteelle A installoidaan pysyvä (tai puolipysyvä) GPS-vertaus- eli tukiasema. Roverin hetkellinen sijainti olkoon B. Kaksoiserotukset ovat: ST AB P = P S A PS B P T A + P T B. Jos sijoitetaan tähän yhtälö (11.2) sivulla 201, saadaan ST AB P = ST AB ρ+ + ST AB Dion + D t rop + + λ ST AB N. Unohdetaan hetkeksi ilmakehätermit: ST AB P = ST AB ρ + λ ST AB N. Jos roverin antenni pystytetään koordinaateiltaan tunnettuun pisteeseen 4 B, on kaikki koordinaatit tunnettu: Satelliittien S ja T koordinaatit voidaan laskea rata-alkioista 5. Asemien A ja B koordinaatit oletettiin tunnetuksi. Siksi sen hetken geometrinen kaksoiserotus ST AB ρ (t 0 ) on laskettavissa. Sen jälkeen voidaan havainnoista ratkaistaa myös kokonaislukutuntemattomat 6 : ST AB N = ST AB P (t 0 ) ST AB ρ (t 0 ). λ Tämän jälkeen lähdetään roverin kanssa pois tunnetulta pisteeltä mittausmatkalle. Liikkutaan maastossa ja mitataan sopiva määrä tuntemattomia pisteitä mutta sillä tavalla että yhteys satelliitteihin ei katkea. Silloin nimittäin myös kokonaistuntemattomien arvot N ST eivät muutu ja AB kenttäpisteen P mittauksista ST AB P (t P ) voidaan suoraan laskea geometrinen kaksoiserotus ST AB ρ (t P ) = ST AB P (t P ) λ ST AB N. Tämä on kinemaattisen GPS-paikannuksen olemus. Oikea paikka saadaan heti, jopa millimetritarkkana. Tietysti vain vertausaseman suhteen, ei absoluuttisesti. Siksi tukiaseman paikan tarkka geodeettinen määritys on olennainen. RTK toimii parhaiten lyhyellä matkoilla, sadoista metreistä kymmeniin kilometreihin. Tosiaikaisuus edellyttää tietolinkin käytön. Mahdolliset tietolinkkiratkaisut ovat periaatteessa samoja kuin DGPS:n tapauksessa. 4 Tai määritetään roverin lähtöpisteen koordinaatit ennen liikkeelle lähtöä, ns. on-the-fly menetelmä. Ks. seuraava alaluku. 5 Rata-alkioiden tarkkuus ei ole rajoittava tekijä koska RTK-teknikalla matka AB on aina lyhyt. 6 Nämä arvot pitää siis olla kokonaislukuja tai lähellä niitä, jolloin ne saa pyöristää. Elleivät ole lähellä kokonaisarvoja, pitää epäillä ongelmaa. Esimerkiksi, että pisteiden A ja B käytetyissä koordinaateissa on virhe. Tai että ilmakehän vaikutus on sittenkin liian suuri ja etäisyys tukiasemalta liian pitkä. 231

242 12 GPS-havaintojen käsittely On-the-y (OTF) kokonaistuntemattomien ratkaisu Edellisessa oletettiin, että liikkuva vastaanotin lähtee pisteestä, jonka koordinaatit tunnetaan geodeettisella tarkkuudella. Kuitenkin sellainen piste voidaan myös luoda lennossa, viipymallä lähtöpisteeseen niin kauan, että satelliittigeometria muuttuu ja kokonaislukutuntemattomien kiinnittäminen onnistuu. Yhteys tukiasemaan, ja tukiaseman kanssa yhteisiin satelliitteihin, on oltava auki. Paikan ratkaisemiseen GPS:n avulla riittää yleensä neljä satelliittia. RTK-tekniikka kuitenkin vaatii vähintään viidettä satelliittiä, kokonaislukutuntemattomien ratkaisemiseksi. Ilman ylimääräisyyttähän voidaan ambiguiteettiluvut ST AB N jokaiselle kaksoiserotushavainnolle vapaasti valita ja laskea kolmesta arvosta ST AB ρ täysin mielikuvituksellinen vektoriratkaisu R AB, ilman, että syntyy ristiriitoja. Ja mitä enemmän satelliitteja on käytettävissä, sitä nopeammin kokonaislukutuntemattomat ratkeavat. Siksi kiinnostus laitteisiin jotka osaavat käyttää yhtaikaa sekä GPSsatelliittien että venäläisten GLONASS-satelliittien signaalit. Lyhyellä matkalla (alle km) satelliittien määrä tehollisesti tuplaantuu, koska voidaan käyttää L 1 - ja L 2 -taajuuden erotusta, leveäkaistaa (en. widelane), jonka tehollinen aallonpituus on 86 cm. Nykyiset RTK-laitteet osaavat älykkäästi hyödyntää useita tunnettuja pisteitä mittausalueen ympäri. Ennen mittausta ja mittauksen jälkeen käydään pisteille, ja laite muodostaa mitattujen ja tunnettujen pistesijaintien avulla paikallisen muunnoskaavan. Kaavan avulla muunnetaan kaikki mitatut pisteet koordinaatit samaan järjestelmään kuin missä tunnetut pisteet on annettu. Tämä on kätevä, mutta myös vaarallinen ominaisuus: muunnettujen koordinaattien tarkkuus ei voi olla tämän paikallisen järjestelmän sisäista tarkkuutta parempaa. Jos se on esimerkiksi vanha, perinteiseen mittaustekniikkaan perustuva KKJ (ks. alaluku 3.4.1), menetetään GPS-mittauksen suuri etu, sen ylivoimainen geometrinen tarkkuus! Verkkomoodin tosiaikaiset palvelut Viime vuosina on laajasti rakennettu tukiasemaverkkoja differentiaali-gps:n (DGPS) ja tosiaikaisen kinemaattisen (RTK) tukipalvelujen tarjoamiseksi. Yhden tukiaseman käytön pääongelma on, että sen jakelemat korjaukset ovat hyviä tukiaseman lähellä, mutta huononevat nopeasti kun liikkuvan vastaanottimen etäisyys tukiasemasta kasvaa. On intuitiivisesti selvä, että korjaukset muuttuvat vain hitaasti, ja lähes lineaarisesti, paikan mukaan. Satelliitin kellovirheen aiheuttama korjaus on jopa vakio. Satelliitit ovat niin korkealla, että jopa Euroopan kokoisella alueella geometria on kutakuinkin sama mantereen eri osissa. Myös ilmakehä on yleensä melko samanlainen kaikkialla pienen alueen sisällä. Tämä avaa interpoloinnin mahdollisuuden, ja tukiasemaverkot tekevät juuri tämän. Realistisia korjaussignaalien jakeluvaihtoehtoja: 1. terrestrisia radioverkkoja (ULA-radion sivumodulaatiokaista) ei enää käytetä kun siirtokapasiteettia on niukasti 2. geostationaarisia tietoliikennesatelliitteja. Näiden etuna on suurien alueiden homogeeninen peittävyys, haittana Suomen leveydellä satelliittien matala korkeuskulma 3. Mobiilin Internetin käyttö matkapuhelinverkon kautta. Internet ei ole tosiaikainen, mutta käytännössä niin nopea, että sen kanssa voi elää. Edut ovat a) helppo mahdollisuus laskuttaa palvelusta 232

243 12.5 SBAS (Satellite Based Augmentation Systems) -järjestelmät MSAS km WAAS EGNOS Kuva Satellite Based Augmentation Systems (SBAS). b) mahdollisuus toimittaa vastaanottimen paikkaan räätälöidyt korjaukset virtuaalitukiasema -ajatus c) nykyisin suuri siirtokapasiteetti pienellä rahalla 4. vanhan navigointijärjestelmän LORAN-C signaaliin moduloituna: Eurofix-järjestelmä. Sen tulevaisuus on epävarma. Verkkomoodin palvelujen käyttö edellyttää myös ohjelmallista tukea. Korjausten interpoloinnin geometrinen osuus on helppoa, ongelmaksi muodostuu ilmakehän, lähinnä ionosfäärin, mallinnus: korjaussignaalin mukana jakellaan myös ionosfäärimalli. Hyvän tarkkuuden saavuttamiseksi tukiasemien verkko (johon ionosfäärimallin laskenta perustuu) on oltava riittävän tiheä. Tämä mutkikas ongelmakenttä on aktiivisen tutkimustoiminnan kohteena SBAS (Satellite Based Augmentation Systems) -järjestelmät Järjestelmätyyppiä kutsutaan myös Wide Area DGPS:ksi (WADGPS). Se käyttää geostationaarisia satelliitteja GPS-differentiaalikorjausten jakelemiseksi. Maailmanlaajuisesti on olemassa kolme keskenaan yhteensopivaa järjestelmää: WAAS (Wide Area Augmentation Service, Yhdysvallat) EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay System) MSAS (Multi-functional Satellite Augmentation System, japanilainen). Nämä ovat jo laajassa käytössä vaikka niiden kehitys jatkuu. Palvelut ovat mannerlaajuisia ja perustuvat useiden GPS-tukiasemien yhtäaikaiseen käyttöön verkkomoodissa. Näin saadaan tarkat differentiaalikorjaukset sille alueelle, jonka tukiasemaverkko kattaa. Satelliittien signaalirakenne ja käyttämät taajuudet ovat samanlaisia kuin GPS-satelliittien, jonka ansiosta on suhteellisen helppoa modifioida olemassa oleva GPS-vastaanotin SBAS:n käyttöön. 233

244 12 GPS-havaintojen käsittely Järjestelmään kuuluu RIMS, Remote Integrity Monitoring System, joka varoittaa jos paikannuksen laatua ei voida taatta. Tämä on tärkeä turvakriittisissä sovelluksissa 7 kuten lentokoneiden paikannus laskeutumisen aikana Tosiaikaisia GPS-tukipalveluja Suomessa DGPS-palvelu Tämä nykyisin Indagon Oy:n ( com) ylläpitämä differentiaali-gps palvelu on käytettävissä lähes koko Suomen alueella. Tarkkuus vaihtelee lähimmän tukiaseman etäisyyden mukaan, luvattu tarkkuus on 0, 6 2 m. Verkolla on 18 tukiasemaa ympäri Suomea. DGPS-korjaukset ovat yleisesti käytössä olevan RTCM-SC104 standardin mukaisia. Korjaukset jakellaan Internetin kautta NTRIP 8 -standardin mukaan. Uuden järjestelmän nimi Merenkulkulaitoksen palvelu Tämä palvelu käyttää pitkät aallot (287,5 314,5 khz) jakelukanavaksi. Se kattaa Itämeren merialueet ja Suomessa myös Saimaa. Maksuton. VRSnet tai GNSSnet Tämä on Geotrim Oy:n ylläpitämä, aluksi Maanmittauslaitoksen käyttöön suunniteltu, tosiaikainen kinemaattinen paikannus (RTK, real-time kinematic) verkkomoodissa, osoite Tekniikka kutsutaan VRS-RTK eli Virtual Reference Station RTK ja se perustuu siihen, että jokaiselle käyttäjälle perustetaan laskennallisesti virtuaalinen tukiasema hänen lähellä, johon generoidaan RTCM-SC104-formaattissa olevaa korjausdataa, jota laitetyyppi kuin laitetyyppi osaa käyttää hyväksi. Verkko kattaa koko Suomea yli 80 asemalla ja tukee myös GLONASSin käyttöä. Korjauksia jakellaan kaupallisesti mobiilin Internetin kautta: palvelinrykelmä sijaitsee Geotrimin tiloissa Vantaalla, ja yhteys niihin saa maksullisen puhelinnumeron kautta. Saadut korjaukset on räätälöity jokaiselle käyttäjälle; saavutettava tarkkuus on luokkaa senttimetri vaakatasossa, hieman huonommin pystysuunnassa. SmartNet Leica Oy:n ylläpitämä tosiaikaisen kinemaattisen paikannuksen (RTK) tukiverkko, Tekniikka on muuten sama kuin VRSnetin. Suomessa on tällä hetkellä n. 60 tukiasemaa. Monessa muussa maassa on vastaavanlaiset verkko-rtk palvelut. Molemmista tukiverkoista saa sopimuksesta myös arkistoitua havaintodataa ns. RINEX 9 -muodossa staattista jälkilaskentaa varten. Maanmittauslaitoksen kokeellinen palvelu Palvelu, joka on tällä hetkellä kokeellinen, ilmainen mutta rekisteröintiä vaativa, tarjoaa sekä differentiaali-gnss että verkko-rtk. Tukiasemat ovat FinnRefin 20 uutta asemaa ( 7 SoL, Safety-of-Life 8 Networked Transport of RTCM via Internet Protocol, NetworkedTransportofRTCMviaInternetProtocol 9 Receiver Independent EXchange format, kätevä, laiteriippumaton tekstiformaatti jota ihminenkin osaa lukea. Kaikille laitemerkille löytyy konvertteriohjelma 234

245 12.6 Tosiaikaisia GPS-tukipalveluja Suomessa GDGPS-järjestelmä Globaalinen tosiaikainen DGPS-palvelu joka käyttää Internet jakelukanavanaan. NASA:n Jet Propulsion Laboratoryn kehittämä ja operoima. net/. Eurox-järjestelmä Eurofix käyttää hyväksi LORAN-C pitkäaaltonavigaatiojärjestelmän (http: //en.wikipedia.org/wiki/loran) ylimääräistä tietoliikennekapasiteettia DGPS-korjausten jakeluun. Kuten LORAN-C, on myös tämän järjestelmän tulevaisuus epävarma. 235

246

247 Tasoituslasku geodesiassa Luku Miksi tasoitus? Geodesiassa kuten tieteessä yleensä tiedetään, että kaikki mittaukset ovat vääriä. Siksi kerätään aina enemmän mittauksia kuin välttämätön minimimäärä, jotta voitaisiin arvioida mittaustulosten epävarmuudet edes jotenkin realistisesti. Käytäntö kutsutaan redundanssiksi. Hyvä esimerkki on geodeettisen verkon mittaukset. Kolmioverkossa mitataan kolmiopisteiden suunnat toisiin kolmiopisteisiin. 1 α 1 2 α 2 α 3 3 Pisteissä 1,2,3 tehdyistä suuntamittauksista naapuripisteisiin lasketaan kulmat α 1, α 2, α 3. Kulmille pätee kolmioehto 1 : α 1 + α 2 + α 3 = 180. Kolmioehto mahdollistaa seuraavat tarkastukset: 1. Ne mittaukset joista kulmat α 1, α 2, α 3 on laskettueivät sisällä karkeita virheitä. Esimerkiksi jos saadaan kulmien summaksi α 1 + α 2 + α 3 = 173,6742, voimme heti päätellä, että havaintoarvoista ainakin yksi sisältää karkean virheen, koska käytettyjen mittauslaitteiden tarkkuudet ovat asteen murto-osan luokkaa. 2. Saadun summan poikkeamasta teoreettisesta arvosta 180 voi päätellä mittauksen tarkkuuden. Esim. jos saadaan summaksi α 1 +α 2 +α 3 = 179,9958, on sulkuvirhe = α 1 +α 2 +α = 0,0042, ja päätelmä on, että käytetyn mittausmenetelmän tarkkuus on luokkaa muutama tuhannesosaa astetta. 1 Kaarevan Maan pinnalla summa ei ole tarkasti 180 vaan hieman suurempaa. Tämä on esimerkki ei-euklidisesta geometriasta. 237

248 13 Tasoituslasku geodesiassa Pieni korjaus Suuri korjaus Suuri paino Pieni paino Kuva Vertauskuva: suuri paino merkitsee pieni korjaus ja päinvastoin. Jos tehdään tällä tavoin ylimääräisiä mittauksia, tarvitaan menetelmä mittausten välisten, pientenkin ristiriittojen poistamiseksi ja mittausten saattamiseksi keskenään yhteensopiviksi. Raaka temppu olisi yksinkertaisesti heittää mittausarvo α 3 pois ja laskea sille taatusti yhteensopivan, korvaavan arvon kaavan α 3 = 180 α 1 α 2 avulla. Kuitenkin voi oikeutetusti kysyä, miksi α 3 eikä α 1 tai α 2? Näin mielivaltaisesti ei saisi menetellä. Oikea ratkaisu on verkkotasoitus. Yksinkertaisessa kolmion tapauksessa jaetaan sulkuvirhe tasan kulmien kesken: tasoitetut kulmaarvot ovat demokraattisesti jonka jälkeen α 1 + α 2 + α 3 = 180 tarkasti. α 1 = α 1 /3, α 2 = α 2 /3, α 3 = α 3 /3, Jos kuitenkin tiedetään, että kulma α 3 on mitattu vaikkapa kaksi kertaa (ja mittausarvo α 3 on mittausten keskiarvo), mutta kulmat α 1 ja α 2 vain kerran samalla laitteella, voidaan tämä ottaa huomioon tasoittamalla seuraavalla tavalla: α 1 = α 1 2 /5, α 2 = α 2 2 /5, α 3 = α 3 1 /5, jossa edelleen = α 1 + α 2 + α Tässä tapauksessa puhutaan mittausten painotuksesta. Mittausarvo α 3 saa kaksinkertaisen painon ja siis puolittaisen korjauksen mittausten α 1, α 2 verrattuna. Suuri paino merkitsee pieni korjaus ja päinvastoin. Ks. kuva Painojen suhteet ovat 1:1:2, korjausten suhteet ovat käänteiset 2:2:1 ja korjaussuhteiden summa on 5. Näin saadaan yllä annetut korjauskertoimet ( painokertoimet ) 2 /5, 2 /5, 1 /5. Todellisen, monimutkaisen kolmioverkon (tai minkä tahansa geodeettisen verkon) tasoitus on matemaattisesti paljon monimutkaisempaa, mutta tämä on sen perusajatus. Yleensä oletetaan, että havaintojen satunnaiset mittausvirheet ovat C.F. Gaussin mukaan nimetyn kellokäyrän (kuva 14.1 sivulla 261) eli normaalijakauman mukaisesti jakautuneita. Ainakin siinä 238

249 13.2 Keskiarvo tapauksessa teoreettisesti parhaan ratkaisun antaa pienimmän neliösumman tasoitus. Yksinkertaisin esimerkki tästä menetelmästä on keskiarvon laskeminen Keskiarvo Olkoon havaittuna sama suure n kertaa (siis: meillä on stokastinen suure l), havaintoarvot l i, i = 1,..., n. Havainnolla on tilastollinen odotusarvo µ ja kaikilla on sama hajonta (standardipoikkeama eli keskivirhe) σ. 2 Havaintojen keskiarvo on 3 l = 1 n l1 + l l n = 1 n n l i. i=1 Voidaan osoittaa, että tämä on µ:n estimaattorina paras mahdollinen havaintojen lineaariyhdistelmä. Voidaan myös näyttää, että tämä lineaariyhdistelmä minimoi jäännösvirheiden 4 (residuaalien) v i = l l i neliöllisen summan eli n v 2 = v 2 + i 1 v v2 = min. n i=1 Tästä ominaisuudesta nimi pienimmän neliösumman menetelmä juontaa juurensa. Voimme myös estimoida yhden havainnon standardipoikkeamaa eli keskivirhettä σ otoskeskivirheellä n i=1 s = v2 i n 1. Tästä taas seuraa keskiarvon l laadun eli epävarmuuden mittana sen standardipoikkeaman (keskivirheen) estimaatio s n = s n. Tämä keskiarvon epävarmuutta kuvaava arvo on siis sitä pienempää, mitä pitempi on mittausarvojen sarja, eli mitä suurempi n. Jos tunnetaan yhden havainnon keskivirhe σ a priori, voi myös suoraan käyttää kaava s n = σ n, jossa tulos ei ole estimaatio vaan laskettu arvo Lineaarinen regressio Lineaarisessa regressiossa estimoidaan kaksi parametriä a ja b jos on annettu havainnot y jotka riippuvat lineaarisesti parametrista x: y i + v i = a + bx i, 2 Teoreettisemin sanottuna, jos odotusarvon operaattori kirjoitetaan E { }, voidaan kirjoittaa: E l = µ ja σ 2 = E (l µ) 2. 3 Tässä kirjoitetaan arvot l i stokastisina, koska keskiarvon muodostusta voidaan toistaa, stokastisen suureen l eri realisaatioiden muodostamiseksi. 4 Havainnon jäännösvirhe l l i ei ole sama kuin sen havainnon virhe l i µ! Jäännösvirhe voidaan laskea, virhe ei. 239

250 13 Tasoituslasku geodesiassa y Pienimmän neliösumman lineaariregressio: Σ minimoidaan! x Kuva Lineaarisen regression idea. jossa v i on taas havainnon i jäännösvirhe eli residuaali. Parametrit a ja b kuvaavat suoraa joka kulkee mahdollisimman hyvin siis: mahdollisimman pienin jäännösvirhein mitatun pistepilven x i, y i läpi. Ks. kuvat 13.2, Lineaarinen regressio on pienimmän neliösumman menetelma, ks. kuva Jäännösvirheiden neliöiden summa minimoituu. Pienimmän neliösumman ratkaisu on a = y b x n n x y x y, b = n (x 2 ) x, 2 jossa on käytetty kirjoitustapa ( ) n ( ), i=1 summaus kaikkien n pisteiden eli koordinaattiparien (x i, y i ) yli. Hattutyyli (a, b) on usein käytetty kirjoitustapa estimaattoreille. y Havainto i y i Jäännösvirhe v i arctan b a x Kuva Lineaarinen regressio, muuttajat. x i 240

251 13.4 Pienimmän neliösumman tasoituksen teoria 13.4 Pienimmän neliösumman tasoituksen teoria Ratkaisun laskeminen havainnoista Pienimmän neliösumman menetelmää käytti luultavasti ensimmäisenä C.F. Gauss, vaikka Adrien- Marie Legendre 5 on väitetty menetelmän keksijäksi. Gauss suoritti myös mittavia geodeettisia verkkolaskentoja 6 Hannoverissa keksimänsä menetelmän avulla. Tähtitieteessä menetelmän ensimmäinen sovellus oli pikkuplaneettojen ja komeettojen ratojen laskeminen havainnoista. Tämä ja geodeettisten verkkojen tasoittaminen ovat erikoistapauksia tilanteista, jotka syntyvät koko ajan havaintojen tekijän elämässä: Meillä on käytettävissä tietty havaintoaineisto, ja haluamme laskea siitä tietyt kiinnostavat tuntemattomat, tavalla, joka käsittelee kaikki havainnot samanarvoisina tekee kiinnostavien tuntemattomien hajonta-arvot mahdollisimman pieniksi. Tämän lisäksi olisi vielä toivottavaa, että havainnoissa vielä luuraavat karkeat virheet löydetään ja poistetaan. Tätä varten käytetään pienimmän neliösumman tasoitusmenetelmän parametrista muotoa, joka perustuu havaintoyhtälöiden muodostamiseen Havaintoyhtälöt Havaintoyhtälöiden eli virheyhtälöiden 7 muodostaminen käy seuraavasti. Kirjoitetaan havainnot tuntemattomien lineaarisina 8 funktioina: l 1 + v 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m ; l 2 + v 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m ; l n + v n = a n1 x 1 + a n2 x a nm x m, jos on n havaintoa l i, n jäännösvirhettä eli residuaalia v i, ja m tuntematonta x j. Yhtälöryhmä kirjoitetaan kätevästi matriisiyhtälön muotoon (13.1) l + v = Ax, (13.2) jossa l = l 1 l 2. l n, A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm, x = x 1 x 2. x m, v = v 1 v 2. v n. 5 Adrien-Marie Legendre ( ) oli ranskalainen matemaatikko, yksi Eiffel-tornin 72 nimestä. 6 Verkkotasoituksen numeerisen työn suoritti käsilaskijoiden armeja Gaussin komennon alla. Silloin computer oli ihminen! 7 Suomen kielellä nimitys virheyhtälöt on vakiintunut. Kuitenkin englanninkielinen observation equations tuntuu järkevämmältä, koska jäännösvirheet v i eivät ole suinkaan virheitä. 8 Usein tosielämän havaintoyhtälöt eivät ole lineaarisia. Silloin useimmiten linearisointi on mahdollinen. Aihe käsitellään geodesian yleiskurssissa. 241

252 9 Jos kirjoitetaan η Aξ, on η v = (Aξ) v = ξ T A T v = 0 13 Tasoituslasku geodesiassa Matriisi A on suorakulmainen, ts. n > m, korkeus on suurempi kuin leveys. On enemmän havaintoja, siis yhtälöitä, kuin on tuntemattomia: redundanssi. Havainnot l, tuntemattomat x ja jäännösvirheet v ovat ns. abstrakteja vektoreita, abstraktin vektoriavaruuden alkioita: l, v n, x m. Usein saa olettaa, että kaikilla havainnoilla l i, i = 1,... n on sama keskivirhe σ, ja että havainnot ovat keskenään tilastollisesti riippumattomia, mitä merkitsee myös, että havainnot eivät korreloi keskenään. Oletusta kutsutaan englannin kielellä i.i.d. ( independent, identically distributed ) Normaaliyhtälöt Matriisiyhtälöstä (13.2) lasketaan pienimmän neliösumman ratkaisu ensin kertomalla vasemmalta matriisilla A T, A:n transpoosi: A T Ax = A T l + A T v. Asetetaan 9 A T v = 0 mistä saadaan pienimmän neliösumman ratkaisulle x: A T A x = A T l. (13.3) Nyt meillä on yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja m tuntematonta x; kerroinmatriisi A T A on neliön muotoinen Normaaliyhtälöiden ratkaisu Ratkaisu eli estimaattori saadaan esimerkiksi seuraavalla tavalla: x = A T A 1 A T l, olettaen että matriisia A T A voidaan todella kääntää, siis että se ei ole singulaarinen. Yhtälöt (13.3) tunnetaan normaaliyhtälöinä. Tässä on oletettu, että kaikilla havainnoilla on sama keskivirhe σ (eli sama varianssi σ 2 ), ja että ne eivät korreloi keskenään. Tietysti yhtälöryhmän ratkaiseminen perinteisin keinoin, ilman matriiseja, x:n alkioiden eli tuntemattomien laskemiseksi on myös käypä menetelmä: kirjoitetaan normaaliyhtälöt (13.3) seuraavalla tavalla, joka soveltuu hyvin tietokoneohjelmointiin: m n n a ji a jk x i = a jk l j, k = 1,..., m. i=1 j=1 j=1 mielivaltaiselle vektorille ξ; sanotaan, että vektoreiden Aξ havaintosuureiden avaruuden aliavaruus ( ratkaisuavaruus, A:n sarakkeiden virittämä) on kohtisuora jäännösvirheiden aliavaruuta kohtaan. Tästä nimi normaaliyhtälöt juontaa juuriaan. 242

253 13.5 Pienimmän neliösumman menetelmän käytännön esimerkkejä Tämä on m:n lineaarisen yhtälön ryhmä m:ssä tuntemattomassa x i, jonka rakaisemiseksi löytyy numeerisia standardimenetelmiä ja ohjelmakirjastoja. Suurin haaste yleensä on löytää sopivat havaintoyhtälöt (13.1) konkreettisessa mittaustilanteessa. Yllä annetut keskiarvo- ja lineaariregressioratkaisut (luvut 13.2 sivulla 239 ja 13.3 sivulla 239) ovat yleisen tasoitusratkaisun erikoistapauksia, kuten tullaan näyttämään Tarkkuuden arvioiminen Kun lasketaan pienimmän neliösumman ratkaisu kaavalla x = A T A 1 A T l, voidaan ns. varianssien kasautumislailla heti saada myös estimaattorin x tarkkuutta. Oletetaan, että havaintosuureiden l varianssimatriisi on Var l = σ 2 I, eli havainnot ovat tilastollisesti riippumattomia ja kaikki yhtä tarkkoja. Jos kutsutaan L A T A 1 A T, saadaan lineaarisen riippuvuussuhteen perusteella Var (x) = Σ xx = LVar l L T = = A T A 1 AT σ 2 I A A T A 1 = σ2 A T A 1. Tämä mielenkiintoinen tulos kertoo, että matriisisuure A T A 1 edustaa havaintojen keskivirheen σ kulkemista tasoituksen lopputuloksen x variansseihin. Matriisi Q xˆx = A T A 1 kutsutaan tuntemattomien painokerroinmatriisiksi (Baarda, 1981) Pienimmän neliösumman menetelmän käytännön esimerkkejä Sekä keskiarvo että lineaarinen regressio ovat oivia esimerkkejä pienimmän neliösumman tasoitusmenetelmästä, käytännöllisiä ja vielä suhteellisen yksinkertaisia. Seuraavassa käydään ne askel kerrallaan läpi ja näytetään, miten ne ovat yleisen pienimmän neliösumman menetelmän erikoistapauksia Keskiarvo pienimmän neliösumman menetelmänä Havaitaan sama suure x suoraan n kertaa: x 1 + v 1 = x x 2 + v 2 = x.. (13.4) x n + v n = x 243

254 13 Tasoituslasku geodesiassa Tässä x 1, x 2,..., x n ovat yksittäiset havainto-arvot, x on tuntemattoman suureen x estimaattori, ja v 1, v 2,..., v n havaintojen jäännösvirheet. Sopivan tasoitusmenetemän formuloimisen salaisuus on: löytää havaintoyhtälöryhmän virallinen muoto l + v = Ax. Tässä tapauksessa se onnistuu valitsemalla x 1 v 1 x 2 v 2 l =. x n, v =. v n, x = [x], ja A = Tarkista, että tämä todella on yhtenevä kaavojen (13.4) kanssa. Normaaliyhtälöt ovat jossa ja A T A = A T l = Siis ratkaisua saadaan heti seuraavasti: klassinen keskiarvon kaava! A T Ax = A T l n kertaa { }} { n kertaa { }} { nx = n x i x = 1 n i= n kertaa = n x 1 x 2. x n = n x i, i=1 n x i. i=1 n kertaa. Myös ratkaisun tarkkuuden eli keskivirheen johtaaminen ei ole ylivoimaista. Olkoon kaikkien havaintojen x i, i = 1,..., n, keskivirheet samoja eli σ (keskiarvokaavan käytön edellytys), sillon koko havaintovektorin l varianssimatriisi on Var l = σ n n-kokoinen matriisi. Alaluvun mukaan tuntemattomien vektorin varianssimatriisi 10 on Var (x) = σ 2 0, A T A 1 = 1 n σ2 0, 10 Vektorilla x on tässä vain yksi alkio, ja vastaavasti myös matriisillä Var (x). 244

255 13.5 Pienimmän neliösumman menetelmän käytännön esimerkkejä ja tuntemattoman keskivirhe on tämän neliöjuuri: σ x = σ 0 n, aivan kuten pitää Lineaarinen regressio pienimmän neliösumman menetelmänä Kirjoitetaan havainnot muotoon y + v i i = a + bx i, jossa jokainen pari x i, y, i = 1,..., n on yksi havainto, ja sovitettavan suoran kertoimet a, b i on määritettävinä. Jos nimitetään l = y 1 y 2. y n a, x = b ja taas (olennaista!) rakennematriisi A = 1 x 1 1 x x n, voidaan tämä ryhmä kirjoittaa havaintoyhtälön muotoon 11 Normaaliyhtälöissä on A T A = x 1 x 2 x n l + v = Ax. A T Ax = A T l 1 x 1 1 x x n = n n x i=1 i n x i=1 i n x 2 i=1 i, varianssi, ja A T l = x 1 x 2 x n y 1 y 2. = n i=1 y i n i=1 x i y i. y n 11 Kirjaimen x käyttö tässä voi aiheuttaa sekaannusta, ja sillä ei ole mitään tekemistä x i :n kanssa! 245

256 13 Tasoituslasku geodesiassa Taulukko Mittaustulokset lineaaarista regressiota varten. i x i 1,51 2,44 3,34 4,41 5,05 16,75 y i 2,32 3,12 3,57 3,93 4,15 17,09 x 2 2,28 5,95 11,16 19,45 25,50 64,34 i x i y 3,50 7,61 11,92 17,33 20,96 61,32 i Tästä saadaan ratkaisua kääntämällä yllä oleva 2 2 matriisi. Kuitenkin ratkaisu onnistuu myös yksinkertaisesti eliminoimalla ja takaisinsijoittamalla. Yhtälöryhmä on n n n a + x i b = y, i i=1 n n x i a + i=1 i=1 x 2 i b = i=1 n x i y. i Vähennetään ensimmäinen yhtälö toisesta kerrottuna kertoimella 1 n n i=1 x i, tuloksena josta i=1 n x 2 1 n 2 b x i i b = x i y 1 n i n i=1 i=1 i=1 n n n x i=1 i y n x n i i=1 i y i=1 i b = n n x 2 i=1 i n x 2. i=1 i Nyt saadaan a takaisinsijoituksella: a = 1 n n y x n i i b. i=1 i=1 x i i=1 i=1 n y, i Löytyneet ilmaisut ovat samanarvoisia luvussa 13.3 annettujen kaavojen kanssa Lineaarisen regression laskuesimerkki Olkoon annettuna taulukon 13.1 esittämät mittaustulokset. Mittausten graafinen esitys on kuvassa Taulukossa on laskettu tarvittavat summat n x i, i=1 n y, i i=1 n i=1 x 2 i ja n x i y. i i=1 Tästä 5 61,32 16,75 17,09 b = = 20, ,34 16, ,1375 = 0,495, a = , 09 16, 75 b = 1,

257 13.6 Geodeettisten mallien linearisointi y 5 4 y = 1, , 495x 3 2 Havaintojen keskivirhe x Kuva Lineaarisen regression laskuesimerkki. Tämä ratkaisu on piirretty kuvaan Normaalimatriisi saadaan seuraavaksi: n A T A = n x i=1 i n i=1 x i n i=1 x 2 i = 5, 00 16, 75 16, 7564, 34 ja sen käänteismatriisi on Qˆxˆx = A T A 1 = 1, 564 0, , , 1215, ns. painokerroinmatriisi. Tästä varianssimatriisi σ 2 σ Σ xx = a ab = σ ab σ 2 b = σ 2 0 Qˆxˆx = σ 2 0 1, 564 0, , , 1215 josta saadaan keskivirheet σ a ja σ b lävistäjäalkioiden neliöjuureina: a = 1,76 ± 1,25σ 0, b = 0,495 ± 0,349σ0. tässä σ 0 on yhden pisteen y-arvon a priori (ennalta annettu) keskivirhe eli painoyksikön keskivirhe., 13.6 Geodeettisten mallien linearisointi Geodesiassa, kuten monessa muussakin tieteissä, on usein olemassa kahden suuren väliset yhteydet jotka käyttäytyvät epälineaarisesti. Esimerkit tästä ovat havaintosuureiden ja tuntemattomien välinen yhteys, tai kahden eri koordinaattijärjestelmän koordinaattien välinen yhteys. 247

258 13 Tasoituslasku geodesiassa Kuitenkin monet teoriat, kuten esim. pienimmän neliösumman (PNS) tasoitusmenetelmä, perustuvat lineaarisiin kaavoihin, joiden matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa. Myös virheiden (varianssien) kasautumislaki pätee vain lineaarisille riippuvuussuhteille suureiden välillä. Käytännössä usein muodollisesti epälineaarinen yhteys, esim. pistekoordinaatin ja pisteeseen mitatun suunnan välillä, on melkein lineaarinen pisteen sijainnin epävarmuusalueen sisällä. Onhan mittaustarkkuus geodesiassa varsin suuri: pisteen sijainnin epävarmuus voi olla senttimetrien luokkaa kun pisteiden välinen etäisyys voi olla satoja metrejä tai kilometrejä. Silloin voidaan tutkia, alkuperäisten suureiden sijasta, yhteyttä niiden pienten erotussuureiden välillä joka on lähestulkoon lineaarinen. Asia näytetään Taylor-sarjakehitelmän avulla Skalaaritapaus Yleensä jos on kaksi suurta, jonka välinen on funktionaalinen yhteys: y = f (x), voidaan linearisoida valitsemalla likiarvo x 0 ja kehittämällä funktio sarjakehitelmään (Taylorsarjaan) likiarvon lähistöllä. Saadaan: y = f (x 0 ) + d f (x x 0 ) +... d x x=x 0 eli y y 0 a (x x 0 ), (13.5) jossa y 0 f (x 0 ) ja a = d f. Tätä voidaan kirjoittaa muotoon x=x 0 mitä usein lyhennetään seuraavan muotoon d x y = a x y = ax, kun vain muistetaan että x, y ovat linearisoidut (siis: x 0, y 0 suhteen lasketut erotus-)arvot Vektoritapaus Jos on kaksi vektorisuurta, x = x 1 x 2 x n n ja y = jonka välillä on olemassa funktionaalinen yhteys y 1 y 2 y m y = F (x) = F (x 1, x 2,..., x n ), m, 248

259 13.6 Geodeettisten mallien linearisointi y väli y = f (x) y 0 Linearisointiy = y 0 + a (x x 0 ) x x 0 Kuva Yksiulotteinen kuvaus ja linearisointi. eli y 1 y 2. y m = F 1 (x) F 2 (x). F m (x) = F 1 (x 1, x 2,..., x n ) F 2 (x 1, x 2,..., x n ). F m (x 1, x 2,..., x n ), tilanne mutkistuu. Tässäkin tapauksessa voidaan valita likiarvovektori x 0 = x (0) 1 x (0) 2 x (0) n ja vastaava likiarvovektori y 0 F (x 0 ), jonka jälkeen taas y = y 0 + F (x 1, x 2,..., x n ) x x1 x (0) x=x 0 + F (x 1, x 2,..., x n ) x x2 x (0) x=x 0 + F (x 1, x 2,..., x n ) x xn x (0) n, n x=x 0 eli, y i = y (0) i + F i (x 1, x 2,..., x n ) x x1 x (0) x=x 0 + F i (x 1, x 2,..., x n ) x x2 x (0) x=x 0 + F i (x 1, x 2,..., x n ) x xn x (0) n, n x=x 0 i = 1,..., m. 249

260 13 Tasoituslasku geodesiassa x 2 F : 2 2 y 2 x 1 y 1 Kuva Kaksiulotteinen kuvaus. Tässä kaavassa on m eri riviä, ja jokaisella rivillä on n eri (lineaarista) termiä. Tämä yhtälöryhmän yhteenvedoksi kirjoitetaan seuraava matriisiyhtälö: jossa matriisi A on y = y 0 + A(x x 0 ) +..., A = F 1 F 1 x 1 F 2 F 2 x 1. F m x 1 x 2 F 1 x n F 2 x n x F m x 2 Tämä matriisi on kahden abstraktisen vektoriavaruuden n ja m välisen vektorikuvauksen F : n m ns. Jakobin 12 matriisi. Matriisi kuvaa paikallisesti, siis pisteen x = x 0 lähistöllä, millä tavalla pienet häiriöt x-vektorissa kulkevat y-vektoriin: F m x n. y y y 0 A(x x 0 ) = A x, jos määritetään x = x x 0 ja y = y y 0. Siis erotussuureiden x, y välillä kuvaus on paikallisesti lineaarinen. Tämä on ns. linearisointi. Yleisessä tapauksessa m n. Erikoisessa tapauksessa, että m = n, voidaan ajatella, että kuvauksella F olisi käänteiskuvaus G = F 1, jolla x = G (y). Paikallisesti, likipisteen x 0 ympäristössä, voidaan tästä sanoa: Jos matriisi A on singulaarinen, ts. sen determinantti det (A) = 0, merkitsee tämä, että kuvauksella F ei ole olemassa paikallisesti (siis pisteessä x 0, ja mahdollisesti ei myöskään sen sopivan pienellä lähialueella) käänteistä kuvausta. Tämä merkitsee taas, että voi olla useita (itse asiassa äärettömän useita) eri arvoa x joilla on kaikki sama kuva y = F (x). Toisaalta jos det A 0, sellainen käänteiskuvaus on (sopivan pienikokoisella likipisteen x 0 lähistöllä) olemassa. 12 Carl Gustav Jacob Jacobi, , juutalaissaksalainen matemaatikko, Königsbergin yliopisto

261 13.6 Geodeettisten mallien linearisointi Tulkinta det A kuvaa, miten tilavuudet kuvautuvat F-kuvauksen alla: esim. jos n = m = 2, se kuvaa, miten pikkuneliön pinta-ala n -avaruudessa kuvautuu parallellogrammin pinta-alaan m -avaruuteen, eli niiden kahden pinta-alan suhde. Jos n = m = 3, se kuvaa vastaavasti suhde n -avaruuden kuution ja sen m -avaruuden parallellepipeedin tilavuuksien välillä. Jos suhde on nolla, niin ilmeisesti neliö litistyy viivapätkäksi ja kuutio taso-parallellogrammiksi, ja kuvaus on ilmeisen singulaarinen Havaintoyhtälöiden linearisointi Käsitellään esimerkkina funktionaalinen yhteys tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä, joka on todellisessa havaintogeometriassa harvoin lineaarinen. Joudutaan linearisoimaan: olkoon ei-lineaariset havaintoyhtälöt l + v = F (x), (13.6) jossa F ( ) on moniulotteinen, yleensä ei-lineaarinen havaintofunktio. Mallit linearisoidaan kehittämällä ne taas Taylor-sarjaan karkeasti arvioitujen ratkaisukoordinaattien ( likiarvojen ) ympärillä, ja käyttämällä sarjasta vain ensimmäisen asteen termit. jos käytetyt likikoordinaatit eivät ole riittävän hyviä, joudutaan laskemaan ratkaisu iteratiivisesti. Valitaan likiarvot x 0 ja yhteensopivasti l 0 joille siis pätee l 0 = F (x 0 ) (13.7) eli (kun tuntemattomien määrä on m ja havaintosuureiden määrä n): l (0) (0) i = F i x 1, x (0) 2,... x (0) m 1, x (0) m, i = 1... n. Tämä vähennetään kaavasta ((13.6)) ja tehdään sarjakehitelmä: Kutsutaan li l (0) (0) i + vi = F i (x 1, x 2,... x m ) F i x 1, x (0) 2,... x m (0) m j=1 A i j = F i x j F n x 1 x j =x (0) j ns. second order design matrixin 13 alkiot. Itse matriisi on silloin F 1 F 1 F x 1 x 2 1 x m F 2 F 2 F x A = 1 x 2 2 x m F n x 2 13 Suom. (toisen kertaluvun) rakennematriisi. F i x j x j =x (0) j x j x (0) j., i = 1... n, j = 1... m, (13.8) F n x m x 1 =x (0) 1, x 2=x (0) 2, x m=x (0) m,

262 13 Tasoituslasku geodesiassa Tässä n on havaintojen, m tuntemattomien määrä. Jos kutsutaan l F (x0 ) l (x x 0 ) x ( korvaavat eli linearisoidut havaintosuureet ja tuntemattomat), saadaan linearisoiduiksi havaintoyhtälöiksi: l + v = A x. (13.9) Tästä laskettava pienimmän neliösumman ratkaisu minimoi jäännösvirheiden neliöllinen summa v T Q 1v, mistä syystä sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi. Matriisi Q ll ll, lyhyesti Q, on havaintojen tarkkuutta ja mahdollista keskinaista tilastollista riippuvuutta (korrelaatiota) kuvaava havaintovektorin varianssimatriisi 14, ks. alaluku Yhtälöstä (13.9) jätetään usein myös pois yksinkertaisuuden vuoksi. -suureet ovat tyypillisesti paljon pienempiä kuin kokonaiset suureet. Siksi numeriikka onnistuu hyvin vaikka A-matriisin elementit eivät olisi eksakteja. Kuitenkin kaava (13.7) on aina laskettava eksaktisti Varianssien kasautumislaki Jos stokastinen suure y on stokastisen suureen x lineaarinen funktio, ts. voidaan kirjoittaa myös y = Lx, σ y = Lσ x, jossa σ x, σ y ovat suureiden x ja y keskivirheet. Samalla voidaan kirjoittaa E y = E Lx = LE x ( odotusarvojen kasautumislaki ), jossa E { } on odotusarvo-operaattori, lineaarinen operaattori. Jos määritetään varianssi seuraavasti: seuraa, että Var x = σ 2 x E x E x 2, σ 2 y = L2 σ 2 x. Tämä on varianssien kasautumislaki yksinkertaiselle stokastiselle suureelle. Jos stokastisella suureella x = x 1 x 2 x n ja y = 14 Tarkemmin: havaintovektorin painokerroinmatriisi. Yleisesti kirjoitetaan Σ ll = σ 2 0 Q ll, jossa Σ ll on varianssimatriisi ja σ 0 ns. painoyksikön keskivirhe. y 1 y 2 y m 252

263 13.7 Varianssien kasautumislaki on useita komponentteja (abstrakti vektorisuure ), pätee y = Lx, (13.10) E y = LE x ja Var y = LVar x L T, (13.11) jossa nyt L ja varianssit ovat matriiseja. L = L 11 L 12 L 1n L L m1 L mn, m n-kokoinen matriisi; Var x = Σ x x = σ 2 x 1 σ x1 x 2 σ x1 x n σ x2 x 1 σ 2... x σ xn x 1 σ 2 x n, n n-kokoinen, neliönmuotoinen matriisi; ja Var y = Σ y y = σ 2 y 1 σ y1 y 2 σ y1 y m σ y2 y 1 σ 2... y σ ym y 1 σ 2 y m, m m-kokoinen neliömatriisi. Tässä varianssit: σ 2 x i = Var x i = E x i E x i 2, ja kovarianssit: σ xi x j = Cov x i, x j = E x i E x i x j E x j, ja samoin y:n komponenteille. Yhtälö (13.11) kutsutaan yleiseksi varianssien kasautumislaiksi. Se on jo alaluvussa sivulla 30 johdetun yhtälön (2.4) yleistys mielivaltaisille muuttajien määrille. Kaavan (13.10) ilmaisema lineaarisuusominaisuus saadaan tarvittaessa aikaan linearisoimalla, josta puhuttiin aikaisemmin. 253

264 13 Tasoituslasku geodesiassa 13.8 Geodeettinen päätehtävä virheiden kasautumisen esimerkkinä Varianssien kasautumislain sovelluksena tarkastetaan geodeettinen päätehtävä, jossa suunta- ja etäisyysmittauksen tunnetut epätarkkuudet kulkevat eli kasautuvat tuntemattoman pisteen koordinaattien epätarkkuuksiksi. Geodeettinen päätehtävä: annettuna mittaussuureet s, A sekä lähtöpisteen P koordinaatit x P, y P, määritä tuntemattoman pisteen koordinaatit x = x P + s cos A, y = y P + s sin A. Ongelma ratkaistaan seuraavalla tavalla. Otetaan likiarvot s (0), s = s (0) + s ja A (0), A = A (0) + A ja kirjoitetaan Taylor-sarjakehitelmä: ja samalla tavalla x = x P + s (0) cos A (0) + s cos A (0) (0) cos A + s A A = = x (0) { }} { x P + s (0) cos A (0) + y = y (0) + x { }} { cos A (0) s (0) sin A (0) s A y { }} { sin A (0) s (0) cos A (0) s. A Nyt meillä on (jättämällä, mutta muistamalla, 0-indeksit, ja tekemällä x- ja y-vektorit stokastisiksi eli satunnaismuuttujiksi): x s y, x, y A ja sekä cos A L = sin A Var x = ja yllä olevat kaavat voidaan nyt kirjoittaa: s sin A s cos A σ 2 s 0 0 σ 2 A y = Lx. Varianssimatriisi on Var y = σ 2 x σ x y cos A = sin A σ x y σ 2 y s sin A s cos A = LVar x L T = σ 2 s 0 0 σ 2 A cos A sin A, s sin A s cos A 254

265 13.8 Geodeettinen päätehtävä virheiden... N σ x Q sσ A A s σ y σ s P Kuva Virhe-ellipsin geometria. ja alkiot ovat σ 2 x = σ2 y = σ2 s cos2 A + σ 2 A s2 sin 2 A, σ x y = cos Asin A σ 2 s s2 σ 2 A, laskettuna varianssien kasautumislain (13.11) avulla 15. Sijoittamalla vielä saadaan vaihtoehtoinen muoto cos A = x x P, sin A = y y P s s jossa x x P = s cos A, y y P = s sin A. σ 2 = Var x x x 2 = P σ 2 x s s + (y y P) 2 σ 2, A y σ 2 = Var yp 2 y = σ 2 y s s + (x x P) 2 σ 2, A σs 2 σ x y = Cov x, y = σ 2 (x x A P ) (y y P ), (13.12) s Näin havaintojen keskivirheet σ s, σ A muunnetaan koordinaattikeskivirheiksi σ x, σ y. Tarkkuuteen vaikuttavat sekä havaintojen tarkkuudet σ s, σ A että geometria A, s. Virhe-ellipsi on pisteen sijaintiratkaisun (x, y) tilastollinen epävarmuusalue. Tämä voidaan käyttää tilastollisissa testeissä. 15 Jos ilmaistaan suunnan A varianssi gooneissa, voidaan sijoittaa kaikkiin alla oleviiin kaavoihin σ 2 A = σa [g] 2, ρ jossa ρ on radiaanin suuruus käytetyssä asteyksikössä, tässä tapauksessa ρ =63, Samoin kun käytetään kaarisekunteja: silloin σ 2 A = σa [ 2 ], ρ jossa nyt ρ = 57, = ,

266 13 Tasoituslasku geodesiassa Pisteen tarkkuuden mitaksi löytyy sopivampi suure joka ei riipu koordinaattiakseleiden suunnasta. Virhe-ellipsi on oikeastaan varianssimatriisin kuvaaja. Pisteen P koordinaattien, tai kahden pisteiden P, Q, koordinaattierojen, x, y varianssimatriisi voidaan kirjoittaa V = Var x y = Var x Cov Cov x, y Var x, y Tämän matriisin invariantit ovat sen ominaisarvoja ja -vektoreita: ominaisarvotehtävän (V λi) x = 0 ratkaisuja (λ i, x i ). Jos käännetään koordinaatiston akselit näin, että ne ovat samansuuntaisia ellipsin pääakseleiden kanssa, saadaan ja selvästi λ 1 = s 2 σ 2 A ja λ 2 = σ 2 s. s 2 σ 2 0 V = A 0 σ 2 s Huomautus Yleisemmin ratkaistaan determinanttiyhtälö V 11 λ V 12 V 21 V 22 λ = 0, Tämä on ns. karakteristinen polynomi: siis (V 11 λ) (V 22 λ) V 2 12 = 0, y λ 2 (V 11 + V 22 ) λ + V 11 V 22 V 2 12 = 0, standardi kvadraattinen yhtälö. Ominaisarvot ovat nyt λ 1,2 = 1 (V 11 + V 22 ) 2 V 11 + V 22 ± 2 4 = V 11 V 22 V 2 12 = 1 V 11 + V 22 ± (V 11 V 22 ) 2 + 4V 2 12 = 2 = 1 2 (V V 22 ) ± 2 (V 11 V 22 ) + V 2 12, ja ellipsin isoakselin ja pikkuakselin puolikkaat ovat λ 1, λ 2. Myös akseleiden suunnat voidaan määrittää: tutki koordinaattien lineaariyhdistelmä joka on suuntakulman θ funktio. Varianssien kasautumislain avulla saadaan z (θ) = x sin θ + y cos θ, Var z = V 11 sin 2 θ + V 22 cos 2 θ + 2 sin θ cos θ V 12 ; ellipsin akselit ovat tämän θ-funktion stationaariset arvot, d dθ Var z = 0.. Differentioimalla eli 2 sin θ cos θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2 θ sin 2 θ V 12 = 0 sin 2θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2θ V 12 = 0 256

267 13.9 Käytännön havaintosuureet ja havaintoyhtälöt ja θ = 1 2 arctan 2V 12 V 12 + k 100 gon = arctan V 11 V 22 V (V 11 V 22 ) + k 100 gon, 2 + V 2 12 käyttämällä arctangentin puolikulmakaavaa. Saadaan λ 1 + λ 2 = V 11 + V 22 = Var x + Var y = σ 2 + x σ2 (13.13) y ja λ 1 λ 2 = V 11 V 22 V 2 12 = det V = σ2 x σ2 y σ2 x y (13.14) (jossa σ 2 lasketaan kaavan (13.12) mukaan). Suureet (13.13), (13.14) ovat invariantit (siis: aina x y sama, koordinaattiakseleiden orientoinnista riippumatta) ja etenkin suure (13.13), jota kutsutaan pisteen P pistevarianssiksi σ 2, on sopiva pistetarkkuuden mitta: P σ 2 P = σ2 x + σ2 y. Pistekeskivirhe σ P on tämän pistevarianssin neliöjuuri Käytännön havaintosuureet ja havaintoyhtälöt Tässä esitetään klassisen geodesian havaintosuureita: vaaka- ja pystysuuntamittaukset sekä vinoetäisyysmittaukset, linearisoitujen havaintoyhtälöiden muodossa. Jo käsitelleeksi tulleet GPShavaintosuureet, yhtälöt (11.1) ja (11.2), ovat vinoetäisyysmittauksen erikoistapauksia Vinoetäisyys avaruudessa Olkoon kojeen ja tähyksen koordinaatit (x 1, y 1, z 1 ) ja (x 2, y 2, z 2 ). Silloin funktionaalimalli (yhtälö (13.6)) on s = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. (13.15) Ensin oletetaan, että piste 1, koordinaatit x 1 y 1 z 1 T on tunnettu. Silloin tuntemattomien abstrakti x vektori koostuu vain toisen pisteen koordinaateista, x = T. x 2 y 2 z 2 Havaintojen abstraktilla vektorilla l on vain yksi alkio, l = (s) ja rakennematriisi A (yhtälö (13.8)) koostuu tämän yhden havaintosuureen osittaisderivaatoista kaikkien tuntemattomien x 2, y 2, z 2 suhteen: s s s A =. x 2 y 2 z 2 Alkiot lasketaan differentioimalla (13.15), esimerkiksi s = x 2 x 1 x 2 s ja niin edelleen. Lopputulos on x2 x 1 A = s y 2 y 1 s z 2 z 1 s. 257

268 13 Tasoituslasku geodesiassa Huomaa, että matriisin A alkiot ovat yksikkövektorin alkioita! Käyttämällä suuntakulma (atsimuti) α ja zeniittikulma ζ voimme kirjoittaa A = cos α 12 sin ζ 12 sin α 12 sin ζ 12 cos ζ 12 tai symbolisesti A = e T 12 jossa e 12 on pisteen 1 ja 2 välinen suuntavektori, jolle pätee e 12 = 1. Yleisempi tapaus, missä molemmat pisteet ovat tuntemattomia, käsitellään seuraavaksi. Tuntemattomien vektoriksi muodostetaan x = T, x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ja havaintovektori on taas l = (s). Rakennematriisi A (yhtälö (13.8)) on: s s s s s s A =. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 Edellisen perusteellla on lopputulos A = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 s s s = e T e T = e T e T x 2 x 1 s y 2 y 1 s z 2 z 1 s = Linearisoitu havaintoyhtälö on nyt siis (stokastinen): jossa x2 x 1 e 12 = s y 2 y 1 s s + v = e T 12 e T 12 z 2 z 1 s r i = x i y i z i T, i = 1, 2 x i = x i x (0) i, i = 1, 2 s s s (0), jne. Tässä yläindeksi (0) kertoo, että on kyse likiarvosta. T r 1 r 2 Likiarvoille pätee funktionaalimalli tarkasti: s (0) = f x (0) x (0) = 2 x (0) 2 (0) 1 + y 2 y (0) 2 (0) z 2 z (0) 1, Atsimutimittaus Jos atsimuti 16 α mitataan pisteiden 1 ja 2 välillä: y2 y 1 α = α 12 = arctan + kπ, x 2 x 1 16 Käytetään α eikä A sekaannuksen välttämiseksi rakennematriisin A kanssa. 258

269 13.9 Käytännön havaintosuureet ja havaintoyhtälöt x x 2 α x x α α y y 1 y y Kuva Atsimutimittauksen geometria (katsottuna ylhäältä) ja rakennematriisi. silloin x = x 1 y 1 x 2 y 2 T. Rakennematriisi saadaan taas ketjusäännön avulla, esimerkiksi (lyhennetään x 12 = x 2 x 1 jne.): arctan y12 x 12 x 1 = = arctan y12 x 12 y12 x 12 1 x y 12 y12 x 12 x 12 = x 12 x 1 y 12 x 2 12 ( 1) = = y 12 x y 2 12 = y 12 ρ 2 = sin α 21 ρ. Koko matriisi: A = = sin α 21 ρ + cos α 21 ρ sin α 12 ρ + cos α 12 ρ + y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 + x 2 x 1 ρ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 2 =, jossa ρ = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, kojeen ja tähyksen välinen vaakatasoon projisoitu etäisyys. Tästä linearisoitu havaintoyhtälö: α + v = + y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 + x 2 x 1 ρ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 2 x 1 y 1 x 2. y 2 259

270 13 Tasoituslasku geodesiassa Zeniitti z z ζ z z ζ ζ ρ ρ α ρ x ρ Zeniittikulmamittaus Kuva Zeniittikulmamittauksen geometria. Mitataan pisteiden 1 ja 2 välinen zeniittikulma ζ = arccos z 2 z 1 s jossa ρ = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Nyt x = T x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ja ζ A = ρ ρ ζ x 1 ρ ρ cos ζ 21 y 1 s cos ζ21 cos ζ 21 = ( cos α 21 ) sin α 21 ρ ρ = (x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ 12 s 2 tan ζ 12 Tässä osittaisderivaatta ζ ρ Nyt havaintoyhtälö on ζ + v = (x 2 x 1 ) s 2 tan ζ y = arctan ζ ρ ρ x 2 π 2 z 2 z 1, ρ ζ ρ ρ cos ζ 12 y 2 s ρ cos ζ 12 ( cos α s 2 12 ) ρ ρ + (x 2 x 1 ) (y 2 y 1 ) ρ s 2 s 2 tan ζ 12 s 2 tan ζ 12 s 2 = cos ζ 12 sin α 12 ρ ρ s 2 =. on laskettu lieriökoordinaateissa (ρ, α, z). Silloin ζ = ζ (ρ, z). + (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ ρ + (x 2 x 1 ) s 2 s 2 tan ζ (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ ρ s 2 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z

271 Luku 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa 14.1 Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimman neliösumman tasoitusmenetelmän selostaminen käy helpoiten jos oletetaan, että kaikki havaintosuureet ovat stokastisina suureina normaalisti jakautuneita (kuva 14.1), sekä yksitellen että yhdessä: ne muodostuvat ns. moninormaalisen jakauman. Jos havaintosuureet ovat toisistaan tilastollisesti riippumattomia esimerkiksi jos ne ovat rippumattomien mittausprosessien tuottamina tämä on automaattisesti totta. Olemme aiemmin käsitelleet pienimmän neliösumman menetelmä tapana minimoida satunnaiset virheet estimoiduissa suureissa, mm. pistekoordinaateissa. Alaluvussa 13 käsiteltiin parametrinen tasoitusmenetelmä, jossa havainnot kirjoitetaan etsittyjen tuntemattomien funktiona. Vaihtoehto, ehtotasoitus, sopii mm. monikulmiojonon laskentaan. Tässä käsitellään parametrista menetelmää hieman perusteellisemmin. Olkoon havainnot, vektorina l, tuntemattomien x lineaarisia funktioita 1 : l = A x + n = + [n] = n m [m] + [n] Tässä havainnot, l-vektorin alkiot, ovat stokastisia suureita. Oletetaan, että ne ovat normaalisti jakautuneita oikean arvonsa ympäri. Silloin havaintovirheiden vektorin n alkiot ovat myös normaalisti jakautuneet 2. 1 Tässä on esitettynä graafisesti myös vektoreiden ja matriisien koot. n on havaintojen, m tuntemattomien määrä. 2 Tavallisesti ne ovat myös toisistaan riippumattomia. Kuitenkaan tasoituksen tuloksena saadun ratkaisuvektorin x eivätkä jäännösvirheiden vektorin v alkiot ole toisistaan rippumattomia. Odotusarvo E x Todennäköisyystiheys p (x) σ +σ Keskivirhe Arvoavaruus x Kuva Normaali- eli Gaussin todennäköisyystiheysjakauma. 261

272 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa Tässä aika yleisessä tapauksessa voidaan laskea pienimmän neliösumman ratkaisu seuraavalla yksinkertaisella tavalla: x = A T Q 1A 1 ll A T Q 1 ll 1 = l (14.1) [m] = [m m] 1 [m n] [n] jossa Q ll on havaintojen painokerroinmatriisi ([n n]): q 11 q 12 q 1n q Q ll = 21 q 22 q 2n q n1 q n2 q nn Tästä saa varianssimatriisi seuraavasti: σ 2 σ Var l 1 12 σ 1n Σ ll = σ 2 Q σ 0 ll = 21 σ 2 σ 2 2n σ n1 σ n2 σ 2 n eli σ 2 = Var l i i = E li E 2 l i = σ 2 q 0 ii, σ i j = Cov l i, l j = E li E l i l j E l j = σ 2 q 0 i j. Ratkaisun varianssimatriisi saadaan varianssien kasautumislain avulla: olkoon x = Ll jossa Silloin L A T Q 1 A 1 ll A T Q 1 ll. Q xx = LQ ll L T = A T Q 1 A 1 ll A T Q 1 ll Q ll Q 1 ll A A T Q 1 ll A 1 = A T Q 1 ll A 1, sopivasti eliminoiden. Eli x-vektorin varianssimatriisi saadaan joka tapauksessa ratkaisun laskemisen (kaava (14.1)) sivutuotteena! 14.2 Tasoituksen jäännösvirheet Havaintojen ja tuntemattomien pienimmän neliösumman estimaattorit l ja x ovat yhteensopivia funktionaalimallin kautta l = Ax ja alkuperäishavainnoista l = Ax + n 262

273 14.2 Tasoituksen jäännösvirheet lasketaan ns. jäännösvirheet 3 eli residuaalit: v Ax l = l l = A(x x) n. Jäännösvirheet ovat keskeisiä geodeettisten verkkoratkaisujen laadunvalvonnassa. 1. Jäännösvirheiden suuruus kertoo jotain verkkoratkaisussa olevista ristiriidoista, mahdollisista karkeista virheista tai jopa mallivirheista. 2. Tietyn havainnon jäännösvirhe voi kertoa, piileekö tässä havainnossa mahdollisesti karkea virhe. 3. Verkko on oltava luotettava, ts. on oltava redundanssia, havaintoaineiston ylimääräisyyttä. Esim. kaikenlaiset sulkuvirheet tarjoavat tarkistusmahdollisuuksia. Ilman redundanssia jäännösvirheet voivat hyvinkin olla pieniä, mutta se ei merkitse mitään! Usein käytetty havaintoyhtälöiden muoto on l + v = Ax. Pienimmän neliösumman laskennan jäännösvirheillä on neljä kaunista ominaisuutta, tässä ilman todistusta: 1. Kvadraattinen muoto = v T Q 1 v minimoituu (tästä pienimmän neliösumman menetelmä sai nimensä). Itse asiassa tämän neliöjuuri on jäännösvektorin v normi eli pituus Q ll - ll metriikassa, joka siis minimoidaan: v 2 =. 2. Tuntemattomien x mielivaltaisen lineaariyhdistelman λ = Λx varianssi Σ λλ (ja keskivirhe Σλλ ) minimoituu. 3. Tasoitetut havaintosuureet l ja jäännösvirheet v ovat keskenään ortogonaalisia Q ll -metriikassa, eli jos skalaarituloksi määritetään a b a T Q 1b: ll l v = Ax v = (Ax) T Q 1 v = ll xt A T Q 1 v = 0, ll koska a T i Q 1v = 0, i = 1... m ll eli jäännösvirhevektori on ortogonaalinen rakennematriisin kaikkia sarakkeita a i kohtaan. Kuva 14.2 antaa geometrisen tulkinnan: tuntemattomat ovat ne kertoimet A-matriisin sarakkeiden lineaariyhdistelmässä, jotka minimoivat jäännösvektorin normi. 4. Tuntemattomien x ja jäännösvirheiden v välinen kovarianssimatriisi häviää: Σ xv = σ 2 0 Q xv = 0. Eli ne ovat korreloimattomia. Koska l = Ax v, seuraa varianssien kasautumislain ja yllä mainitun ominaisuuden 3 perusteella, että Q ll = AQ xx A T + Q vv = Q vv = Q ll AQ xx A T, hyödyllinen ilmaisu jäännösvirhevektorin painokerroinmatriisin ja varianssimatriisin Σ vv = σ 2 0 Q vv laskemiseksi. 3 Jäännösvirhevektori v ei ole sama kuin havaintovirheiden eli -kohinan vektori n! Jäännösvirhe on alkuperäishavainnon ja tasoitetun havainnon ero, ts. korjaus. Kuitenkin tasoitettukaan havainto tai tuntematon ei ole totuutta. Totuutta ei tunneta ja vektorin n alkioiden arvoja, toisin kuin vektorin v arvoja, ei voida laskea. 263

274 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa a 1 a 2 Nolla-avaruus Ha- vainto- l ava- v minimaalinen ruus O ˆl sub-opt. Parametriavaruus. v ˆl optimaalinen Kuva Pienimmän neliösumman tasoitus ortogonaalisena projektiona Testaus ja testaushypoteesit Havaintoaineistossa voi olla karkeita virheitä. Tosielämän tasoituslaskun yhteydessä on voitava sanoa, tietojamme havaintojen tilastollisesta jakaumasta perusteella 1. jotain karkeiden virheiden mahdollisesta esiintymisesta 2. kuinka suuria karkeat virheet olisi oltava, jotta ne voidaan havaita ja poistaa. Karkeiden virheiden etsiminen kuluu tilastollisen testauksen alaan. Löytyneet karkeat virheet poistetaan havaintoaineistosta ja ko. mittaukset toistetaan. Jälkeenpäin tämä on vaikeaa ja kallista, mistä syystä ainakin osa tilastollisesta testauksesta suoritetaan jo kentällä, tai yksinkertaisesti jätetään pois (edellyttää että mittaus on suunniteltu alunperin redundantisti, eli on tehty niin monta mittausta että on varaa heittää (pieni) osa pois. Tilastollista testausta varten on aina formuloitava hypoteeseja. Yksi hypoteeseista on aina Nollahypoteesi: Kaikki verkon havainnot ovat korrekteja, niisä ei ole karkeita virheita. Tätä hypoteesiä kutsutaan H 0 (en. null hypothesis). Tämän lisäksi on oltava ainakin yksi Vaihtoehtoinen hypoteesi: Verkossa esiintyy joku karkea virhe, tai karkeiden virheiden yhdistelmä, tai tietty karkea virhe. Tätä hypoteesia kutsutaan H a (en. alternative hypothesis). Yleensä halutaan tietää, tai arvioida, kaksi asiaa: 1. Onko yleensä tässä havaintoaineistossa karkeita virheitä jäljellä? 2. Onko tämä tietty havainto virheellinen? Kuva 14.3 näyttää testauksen rooli koko suunnittelu- ja mittausprosessissa. Seuraavissa alaluvuissa nämä kysymykset käsitellään erikseen. 264

275 14.4 Kokonaisvalidointi Verkon suunnittelu Paljonko epävarmuutta, epätarkkuutta tulee koordinaateissa olemaan? Tarkkuus Luotettavuus Jos tapahtuu karkea virhe, kuinka hyvin voimme sen huomata testauksessa? Verkkogeometria ja laadun mitat Verkon mittaus Onko tulokset järkeviä? Pätevätkö käytetyt mallit? Onko karkeita virheitä? Yleistestaus Havaintojen testaus Jokaiselle havainnolle: Onko tämä tietty havainto OK? Lopputulos Lopputulos on: - Tasoitettu verkko - Tarkkuus - Luotettavuus - Varmuus, että käytetyt menetelmät ovat joten kuten OK Kuva Suunnittelu- ja mittausprosessi Kokonaisvalidointi Ensimmäisenä valitaan seuraava vaihtoehtoinen hypoteesi: H a : jossain mittausaineistossa (emme vielä tiedä missä) esiintyy karkea virhe. Tällainen hypoteesi voidaan testata ns. χ 2 -menetelmän avulla. Menetelmä ja siihen kuuluvat taulukot löytyvät tilastotieteen oppikirjoista ja Internetistä. Testattava suure on juuri jäännösvirhevektorin pituus Q ll -metriikassa, sen normi toiseen potenssiin: = v T Σ 1 v = ll σ 2 0 v T Q 1 v = ll v 2. Suure on jakautunut χ 2 n m -jakauman mukaan, siis: χ2 -jakauma n m vapausasteella (kuva 14.4, vapausaste on havaintojen ja tuntemattomien määrien erotus eli redundanssi n m). Testaamalla 265

276 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa 0,2 χ 2 -jakauma 4:llä vapausasteella epäkeskinen χ 2, epäkeskisyysparametri 3 0,1 Testausraja α χ β χ , Kuva χ 2 -jakauma neljälle vapausasteelle. tämä suure voidaan päätellä, onko aineistossa joku karkea virhe vai ei 4, sanomatta vielä, missä havainnossa se voisi esiintyä. χ 2 -menetelmän käyttämät taulukot löytyvät kirjallisuudesta ja Internetiltä. MatLab sisältää menetelmän valmiita rutiineja. Suure 5 on jakautunut χ 2 :n mukaan ainoastaan siinä tapauksessa, että aineisto ei sisällä karkeita virheita, eli nollahypoteesi H 0 pätee. Silloin :n odotusarvo n m on: E H 0 = E χ 2 n m = n m. Oletetaan nyt kuitenkin, että havainnoissa on yksi tai useampi karkeita virheitä, yhteensä l; vaihtoehtoinen hypoteesi H a pätee. Tämän virhevektorin vaikutus residuaaleihin on v. Tässä tapauksessa :n jakauma on ns. epäkeskinen χ 2, kuvassa 14.4 punainen katkokäyrä. Mielenkiintoinen kysymys on nyt, paljonko l pääsee vaikuttamaan v:hen. Toivottavasti paljon, koska silloin verkko on luotettava 6. Yleensä ei koko l pääsee v:n osaksi; tasoituksen myötä osa menee tuntemattomien vektoriin x karkean virheen vaikutuksena 7. Ks. myös alaluku Koska tässä tilanteessä meillä on jäännösvirhe v + v, on (ilman todistusta): = v 2 + v 2 = v T Σ ll v + v T Σ 1 ll v. Vaikutus suureen odotusarvoon on E H a = E χ 2 n m + v T Σ 1 v. ll 4 χ 2 -menetelmä ei osaa erottaa todellisten karkeiden virheiden ja näihin mittauksiin sovelletun funktionaalimallin l = Ax sopimattomuuden välillä. Jos käy niin, että χ 2 -testi hylkää nollahypoteesin, mutta kaikki havainnot näyttävät olevan kunnossa, voi olla, että funktionaalimallissa on joku vika. Joku systemaattinen efekti lienee unohtunut. 5 Baardan nimityksen mukaan: siirtosuure. 6 Sisäinen luotettavuus. 7 Tämä kutsutaan ulkoiseksi luotettavuudeksi. Pieni vaikutus merkitsee suuri ulkoinen luotettavuus. 266

277 14.5 Karkeiden virheiden löytäminen tietystä havainnosta Toinen termi kutsutaan χ 2 -jakauman epäkeskisyysparametriksi. Kvadraatinen suure on aina positiivinen. Siksi χ 2 -testi on yksipuolinen, toisin kuin myöhemmmin esitettävä normaalijakauman testi. Siis, koska on kvadraattinen suure, tulee jokainen karkea virhe ja jopa systemaattisia virheitä tai virheitä käytetyssä funktionaalimallissa vaikuttamaan kasvattavasti. Joka ikinen virhe tekee χ 2 suuremmaksi ja tekee virheen havaitseminen todennäköisemmäksi. Tämä tekee χ 2 -testistä niin hyödyllinen yleistesti. Itse asiassa χ 2 -testi validoi paljon muutakin kuin itse havainnot. Se varmistaa, että 1. havaintoaineistossa ei esinny (ylen suuria) karkeita virheitä 2. käytetty funktionaalimalli (lähinnä havaintoyhtälöt) pitää riittävällä tarkkuudella paikkansa 3. havaintojen oletetut keskivirheet (ja mahdollinen korreloimattomuuden oletus) ovat realistisia Karkeiden virheiden löytäminen tietystä havainnosta Jos olemme päätelleet, että aineistossa on luultavasti yksi tai useampi karkea virhe, haluamme seuravaksi selvittää, mitkä havainnot ovat epäiltyinä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että karkea virhe on vaan yhdessä havainnossa, vaikka niitä voi hyvinkin olla useissa havainnoissa yhtaikaa. Yksinkertaisin tapa etsiä karkeita virheitä (engl. outlier detection) on katsella jäännösvirheet. Olkoon jäännösvirhevektori v 1 v 2 v 3 v =. v. i. v n 1 v n Alkio v i on havainnon numero i eli l i :n jäännösvirhe. Sillä on varianssi ja v i :n keskivirhe on tämän neliöjuuri. σ 2 v i = σ 2 0 [Q vv] ii Olettakaamme, että jäännösvirheet v i ovat normaalisti jakautuneita. Silloin voimme testata jokaisen havainnon i = 1,..., n: vi > 1, 96 σ 2 vi l i lienee virheellinen vi 1, 96 σ 2 vi l i on luultavasti oikein Tämä kaksipuolisen normaalijakauman testi käyttää signifikanssi- eli merkitsevyystasoa 95%: Vaikka ei olisikaan karkeaa virhettä, on kuitenkin todenäköisyys 100% 95% eli 5%, että testin perusteella havainto l i tulee hylätyksi. 267

278 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa Taulukko Lineaarisen regression esimerkki. i x i 1,51 2,44 3,34 4,41 5,05 16,75 y i 2,32 3,12 3,57 3,93 4,15 17,09 a + bx i 2,51 2,97 3,41 3,94 4,26 v i +0,19 0,15 0,16 +0,01 +0,11 0 v 2 i 0,0361 0,0225 0,0256 0,0001 0,0121 0,0964 Seuraavassa taulukossa on luetteloitu eri merkitsevyystasojen hylkäysrajat kaksipuolisessa normaalijakaumaan perustavassa testissä. Merkitsevyystaso (%) Hykäysraja 95 1,96 97,5 2, ,57 99,9 3,29 Tässä kuvattu menetelmä toimii oikein vain siinä tapauksessa, että havainnot eivät korreloi keskenään, eli Q ll on lävistäjämatriisi. Ellei näin ole, löytyy kirjallisuudesta sopivasti muunneltu 8 testausmenetelmä nimeltä data snooping (Baarda, 1968) Laskuesimerkki: lineaarinen regressio Palataan siihen lineaarisen regression esimerkkiin jota käytettiin jo luvussa , ks. taulukko Muistakaamme, että löytynyt pienimmän neliösumman ratkaisu oli a = 1,76 ± 1,25σ 0, b = 0,495 ± 0,349σ0. Laskemme sovitun viivan funktioarvot a+bx i ja jäännösvirheet v i = (a + bx i ) y i. Ehto n i=1 v i = 0 on hyvä tarkistus. Jos havaintojen y i varianssimatriisi on Σ ll = σ 2 I, on siirtosuure 0 = v T Σ 1 ll v, jossa v on jäännösvirheiden v i muodostama vektori. Saadaan = n i=1 v2 i σ Temppu on yksinkertaisesti se, että jäännösvirheiden v sijasta otetaan painotettuja jäännösvirheitä w = Q 1 ll v ja niiden variansseja.. 268

279 14.6 Laskuesimerkki: lineaarinen regressio Taulukko χ 2 -jakauman arvot. 3 x x 0 χ2 3 (ξ) dξ x χ 2 3 (ξ) dξ 4,642 0,80 0,20 6,251 0,90 0,10 7,815 0,95 0,05 9,837 0,98 0,02 11,345 0,99 0,01 12,838 0,995 0,005 14,796 0,998 0,002 16,266 0,999 0,001 Jos on annettu a priori, että σ 0 = ±0, 15, seuraa = 0,0964 0,0225 = 4,28. Suure on jakautunut χ 2 :n mukaan: on n = 5 havaintoa ja m = 2 tuntematonta (a ja b), siis 3 vapausasteiden määrä (redundanssi) on n m = 3. Taulukon mukaan todennäköisyys, että χ 2 > 3 4,642 on 20%, eli arvo 4,28 on ainakin 80%:n merkitsevyystasolla täysin hyväksyttävissä. Testataan seuraavaksi yksittäiset jäännösvirheet. Lasketaan ensin jäännösvirheiden vektorin painokerroinmatriisi seuraavan kaavan mukaan: jossa Q xx = laskettiin jo luvussa , Q ll = I, ja A = Q vv = Q ll AQ xx A T, 1,564 0,4072 0,4072 0, x 1 1 x x n = 1 1, , , , , 05 Työlään laskennan (Matlab!) jälkeen saamme matriisin Q vv, joka löytyy taulukossa 14.3 seuraavalla sivulla. Tästä matriisistä kiinnostavat lähinnä lävistäjäalkiot:, σ v1 = σ 0 [Qvv ] 11 = 0,15 0,623 = 0,0935, σ v2 = σ 0 [Qvv ] 22 = 0,1255, jne. (muista σ 0 = 0,15.) Ks. taulukko 14.3 seuraavalla sivulla 9. 9 Huomaa, miten jäännösvirheiden keskivirheet alittavat systemaattisesti havaintojen keskivirhettä σ = ±0, 15, etenkin reunimmaisilla pisteillä! Suurella pistemäärällä tämä ilmiö häviää ja voidaan kirjoittaa Q vv Q ll. Usein tehdään niin joka tapauksessa. Silloin karkeat virheet reunapisteillä eivät tule huomatuksi riittävän herkästi. 269

280 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa Taulukko Lasketaan jäännösvirheet, niiden varianssi-kovarianssimatriisi ja normalisoidut jäännösvirheet. i v i +0,19 0,15 0,16 +0,01 +0,11 +0,3887-0,4032-0, , ,1807-0, ,6998-0,2006-0,0821-0,0112 Q vv -0,2019-0, ,8007-0,1978-0, ,0375-0,0821-0, ,6646-0, ,1807-0,0112-0,1969-0, ,4502 σ vi 0,0935 0,1255 0,1342 0,1223 0,1006 v i σ vi 2,03 1,20 1,19 0,08 1,09 Kuten näkyy ovat kaikki havainnot hyväksyttäviä, paitsi y 1, joka 95% merkitsevyystasolla juuri ja juuri hylätään (hylkäysraja 1,96). Kuitenkin jo 97,5% merkitsevyystasolla sekin hyväksytään. Seuraavaksi lisätään havaintoarvolle y 3 karkea virhe +1, 0. Pienimmän neliösumman ratkaisuksi saadaan nyt taulukon 14.4 tulos seuraavalla sivulla: 5 64,66 16,75 18,09 b = = 20, ,34 16, ,1375 = 0,493. a = 1 18,09 16,75 b = 1, 97, 5 Taulukossa 14.4 viereisellä sivulla σ vi -arvot eivät muuttuneet. Lasketaan siirtosuure = Tässä on jotain hyvin, hyvin mätää... n i=1 v2 i σ 2 0 = 1,1973 0,0225 = 53,21! Katso nyt taulukko 14.4 seuraavalla sivulla. Ylivoimaisesti suurin testausarvo, 7,08, esiintyy virheellisellä havainnolla 3. Mutta myös havainnot 1 ja 5 tulevat hylätyksi 95% merkitsevyystasolla! Siksi on syytä olla varovainen. Testin perusteella saa vain hylätä yksi havaintoarvo kerrallaan, jonka jälkeen koko pienimmän neliösumman laskenta on suoritettava uudelleen Testin merkitsevyystaso Kun testataan tietty vaihtoehtoinen hypoteesi nollahypoteesia vastaan käyttämällä esim. normaalisti jakautunutta testisuuretta, on valittava sopiva testiraja. Jos testattava suure ylittää tämän rajan, hylätään H 0 ja hyväksytään H a. Testirajan valitseminen on tärkeä strateginen kysymys. Ks. kuva Kuvassa testausrajaksi on valittu h = 2, 5σ, eli jos testisuure ylittää 2,5 kertaa omaa standardivirheensä, hylätään nollahypoteesi H 0 ja hyväksytään vaihtoehtoinen hypoteesi H a. Nyt strategia voi johtaa kahdenlaiseen virheeseen: 270

281 14.7 Testin merkitsevyystaso Taulukko Karkea virhe pisteessä 3; lähtödata, lineaarinen regressio, jäännösvirheet, testaus. i x i 1,51 2,44 3,34 4,41 5,05 16,75 y i 2,32 3,12 4,57 3,93 4,15 18,09 x 2 i 2,28 5,95 11,16 19,45 25,50 64,34 x i y i 3,50 7,61 15,26 17,33 20,96 64,66 a + bx i 2,71 3,17 3,62 4,14 4,46 v i +0,39 +0,05-0,95 +0,21 +0,31 0,01 v 2 i 0,1521 0,0025 0,9025 0,0441 0,0961 1,1973 σ vi 0,0935 0,1255 0,1342 0,1223 0,1006 v i σ vi 4,17 0,40 7,08 1,72 3,08 Hylkäys? ** * * 1. Nollahypoteesi hylätään vaikka se onkin oikein. Tätä kutsutaan ensimmäisen lajin virheeksi 10. Tämän virheen tapahtumisen todennäköisyys on pystyviivatun (sininen) alueen pintaala. Normaalijakauman tapauksessa se on α = 1, 24% (kaksipuolinen), jos hylkäysraja on h = 2, 5σ. Suuretta α kutsutaan testin merkitsevyydeksi eli signifikanssiksi. 10 Myös hylkäämisvirhe, ruotsiksi fel av första slaget el. förkastelsefel, en. error of the first kind or rejection error. y y = 1, , 493x 2 Havaintojen keskivirhe x Kuva Lineaarinen regressio, havainnossa 3 on karkea virhe. 271

282 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa Karkea virhe β σ Testausraja 2, 5σ Kuva Tilastollinen testaus α h σ α, % (yksip.) α, % (kaksip.) 2,0 2,28 4,56 2,5 0,62 1,24 3,0 0,13 0,27 3,5 0,02 0,05 2. Nollahypoteesi hyväksytään vaikka onkin kyse karkeasta virheesta eli H 0 väärä, H a totta. Tämä on toisen lajin virhe 11. Sen todennäköisyys riippuu karkean virheen koosta k, tarkemmin, erotuksesta k h /σ. Sen vastakohtaa kutsutaan testin erotuskyvyksi β 12. Kuvassa se on vaakaviivatun (punaisen) alueen pinta-ala. k h σ k (h = 2, 5) β, % σ 0,5 3,0 69,1 1,0 3,5 84,1 1,5 4,0 93,3 2,0 4,5 97,7 2,5 5,0 99,4 3,0 5,5 99,9 3,5 6,0 99,98 Testausstrategian eli h:n valitseminen on siis aina kompromissi. Se riippuu siitä, mitkä ovat ensimmäisen ja toisen lajin virheiden suhteelliset kustannukset sisäänlukien ei-rahalliset kustannukset. h = 3σ on usein käytetty empiirinen ratkaisu kolmen sigman sääntö. Huomaa myös, että mittausaineiston testauksessa on olemassa kytkentä yleisvalidoinnin ja havaintokohtaisten testien välillä! Kytkentä menee merkitsevyystasojen kautta, ks. kuva 14.7: Jos χ 2 -testin merkitsevyystaso on α χ 2 ja yhden havainnon testin taso on α, on yhteys 1 α χ 2 = (1 α) n m. Toisin sanoen, yhteinen todennäköisyys että kaikki havainnot erikseen menevät testinsä läpi, on oltava sama kuin yleisvalidoinnin läpi menemisen todennäköisyys. Vain sillä ehdolla voi odottaa, että, jos yhteinen χ 2 -testi löytää jotakin mätää, myös yksittäisten havaintojen testit tulevat 11 Myös hyväksymisvirhe, ruots. acceptansfel el. fel av andra slaget, en. error of the second kind, acceptance error. 12 Eli toisen lajin virheen todennäköisyys on 1-β eli 100%-β. 272

283 14.8 Luotettavuus Hav. 2 Hyvaksymisalue 1 Hyvaksymisalue 3 Hav. 1 Yleinen hyväksymisalue Hyvaksymisalue 2 Hav. 3 Havaintojen yhteinen hyväksymisalue Kuva Kokonaisvalidoinnin ja havaintokohtaisen testien merkitsevyystasojen harmonisointi. osoittamaan syyllistä havaintoa. Tämän havainnon poistamisen tai korjaamisen jälkeen menettely toistetaan kunnes χ 2 -testi menee läpi Luotettavuus Periaate Mittausverkon luotettavuus on se ominaisuus, että karkeat virheet löytyvät helposti ja että he löytyvät jopa, jos ne ovat suhteellisen pieniä. Luotettavuus vastaa sitä, että verkko on vahva ; se ei ole kuitenkaan samanlainen vahvuus kuin se, joka antaa suurinta mahdollista tarkkuutta. Ks. kuva Pisteistä A, B ja C mitataan suuntaa neljänteen pisteeseen. Piirretty on virhe-ellipsit kolmessa eri tapauksessa: I Kun piste on kaukana pisteistä A, B II kun piste on paikassa missä suunnat pisteisiin A ja B ovat kohtisuoria toisiinsa nähden, ja III kun piste on pisteiden A ja B välillä. Kuten nähdään, tarkin tulos saadaan tapauksessa III. Virhe-ellipsi on pienin. Kuitenkin luotettavuus on heikko (olematon) tapauksessa III. Jos pisteestä C tehdyssä mittauksessa on karkea virhe (katkoviiva) saadaan tapauksessa III vielä näennäisesti hyvä (tarkka) mutta virheellinen tulos. Ks. katkoviivalla piirretty virhe-ellipsi ellei vieläkään mene läpi, on syytä tarkistaa muut käytetyt mallit, kuten havaintojen tarkkuusoletukset jne. 273

284 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa A C III II I B Kuva Luotettavuus. Tapauksissa I ja II karkea virhe C-havainnossa johtaa ristiriitaiseen tulokseen. Ei ole mahdollista löytää tähtäyspisteen sijaintia, joka olisi yhteensopiva kaikkien kolmen suuntahavainnon kanssa. Tämähän on hyvä asia, koska se mahdollistaa karkean virheen löytämisen. Verkkoa kutsutaan silloin luotettavaksi. Verkkojen suunnittelutyössä on syytä kiinnittää huomiota luotettavuuteen, tietysti tarkkuuden lisäksi. Verkko on suunniteltava sopivasti redundantiksi, eli on sisällyttävä mittauksia jotka kontrolloivat toisiaan. Terve järki auttaa tässä paljon. On myös olemassa matemaattisia ja ohjelmallisia työkaluja verkon luotettavuuden arvioimiseksi. Nämä työkalut eivät kuitenkaan saa koskaan korvata tervettä maalaisjärkiä! Aina on kysyttävä mitä jos... tämä tai tuo havainto olisi virheellinen... huomaisinko? Esimerkki Tässä esimerkissa havaintopaikat A, B, C sijaitsevat ympyrän reunalla, ja piste P, jonka suuntaa havaitaan, sijaitsee origon (ympyrän keskipiste) O lähistöllä. Ks. kuva. Havaintyhtälöt saadaan geometrisen tarkastelun avulla: t AP t AO v 1 t BP t BO + v 2 = t C P t CO v R xp y P. Symbolisesti: jossa A = 1 R l = l 1 l 2 l 3 l + v = Ax, =, t AP t AO t BP t BO t C P t CO. 274

285 14.8 Luotettavuus x B A R O P σ 0 R σ 0 R 2 C y Kuva Luotettavuus; esimerkki. Pienimmän neliösumman ratkaisu on x = A T A A T l = R 0 1 Tästä saadaan jäännösvirheet: 1 l3 l 1 l 2 1 = R 2 l3 l 1 l 2. v = Ax l = l3 l 1 l 2 l3 l 1 l 1 l 2 l 3 = 1 2 l l l l 3. Huomautus 1: kuten näkyy, on havaintosuure l 2 hävinnyt jäännösvirheistä! Jos l 2 = t BP t BO sisältää karkean virheen, emme tule koskaan huomaamaan sitä ylisuurena jäännösvirheenä. Huomautus 2: jäännösvirheistä ei näy, onko karkea virhe havainnosta l 1 vai havainnosta l 3. Jäännösvirheissä niiden kertoimet ovat identtisia. Lasketaan seuraavaksi siirtosuure = v T Σ 1 ll v. Tässä Σ ll on havaintojen varianssimatriisi. Oletetaan, että kaikki kolme havainnot ovat korreloimattomia ja niiden keskivirhe on σ 0. Silloin 1 Σ ll = σ Saadaan (H 0 on nollahypoteesi): H 0 = 1 σ i=1 v 2 = 1 2 l1 l i 2σ

286 14 Tilastolliset menetelmät geodesiassa Huomaa, että, koska sekä l 1 :n että l 3 :n keskivirheet ovat σ 0 ja ne eivät korreloidu, on erotuksen l 1 l 3 keskivirhe σ 0 2 ja sen varianssi 2σ 2. Vapausasteiden määrä on 1 ja suure on jakautunut 0 mukaan, kuten teorian mukaan pitääkin olla. χ 2 1 Vertaamalla havaintoaineistosta laskettu arvo χ 2 -taulukon arvojen kanssa, voidaan 1 testata, onko havainnoissa mahdollisesti karkea virhe. Jos kaikki havainnot ovat virheettömiä, on :n odotusarvo 1. Kuitenkin, kuten yllä jo huomautettu, emme voi havaita l 2 :ssa olevat karkeat virheet lainkaan. Sanotaan 14, että mittausgeometria on luotettava havaintojen l 1 ja l 3 suhteen, mutta epäluotettava havainnon l 2 suhteen. Jos havainnossa l 2 olisi karkea virhe suuruudeltaan, livahtaisi se kokonaisuudessaan koordinaattiin y P virheeksi R! Sanotaan myös 15, että mittausgeometria on epäluotettava tuntemattoman y P, mutta luotettava tuntemattoman x P suhteen. Riittävän suuri karkea virhe havainnoissa l 1 tai l 3 taas huomattaisiin ylisuurena arvona (vaihtoehtoinen hypoteesi H a ): H a = 1 l1 l 2σ , 0 jonka odotusarvo on ( /σ 0 ) 2. Jos σ 0, tätä huomataan kohtalaisen varmasti. Huomaa, että luotettavuudella ei ole mitään tekemistä tarkkuuden kanssa! Tuntemattomien x = x P y P T tarkkuutta kuvaa niiden varianssimatriisi Var (x) = σ 2 0 A T Q 1 ll A 1 = σ 2 0 R eli x P :n keskivirhe on 1 2 σ 0R 2 ja y P :n keskivirhe on σ 0 R, ja ne eivät korreloidu keskenään. Kuitenkaan hyvä keskivirhe ei lohduta, jos koordinaattiratkaisu y P sisältää karkean virheen..., 14.9 Redundanssin merkitys Vaikka mittausverkon luotettavuus olisi hyvä, voidaan kysyä, onko helppo selvittää missä havainnossa karkea virhe on tapahtunut? Jos tämä ei ole helppoa, joudutaan mittaamaan kaikki epäilyksenalaiset havainnot uudelleen, tai heittämään ne pois. Tämä ei ole toivottavaa. Sekä hyvän luotettavuuden että karkeiden virheiden erotettavuuden kannalta geodeettisen mittausverkon redundanssiaste ei saa olla liian pieni. Jos mittausten määrä on n ja tuntemattomien määrä m, on ehtojen eli vapausasteiden määrä n m. Redundanssiaste on silloin n m /n. Sitä usein ilmaistaan prosenttilukuna. Esim. lineaarinen regressio viiden pisteen kautta: n = 5, m = 2, siis redundanssiaste on 3 /5 = 60%. Toisaalta, kymmenen pisteen vaaituslinja kahden tunnetun pisteen välillä: n = 11, m = 10, redundanssiaste on 1 /11 = 9% heikkoa, mutta valitettavan tavallista. Mittaamalla edestakaisin saadaan n = 22, m = 10 eli redundanssiaste on 12 /22 55%, mikä on jo hyvä. Hyvä johtosääntö on, että 50% redundanssi on toivottavaa. 14 Tätä kutsutaan sisäiseksi luotettavuudeksi. 15 Ns. ulkoinen luotettavuus. 276

287 15.1 Painovoiman mittaus Painovoima geodesiassa Luku 15 Gravitaatio on maailmankaikkeuden perusvoima. Se on kaikkien taivaankappaleiden välillä toimiva vetäävä voima, joka Newtonin gravitaatiolain mukaan on verrannollinen kummankin kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen niiden väliseen etyisyyden toiseen potenssiin. Galileo Galilei oli ensimmäinen, joka näytti kokeellisesti, että kaikki kappaleet putuavat yhtä nopeasti, eli niiden putoamiskiihtyvyys on sama, riipumatta niiden massasta m. Tätä voidaan ymmärtää näin, että massan kasvaessa gravitaatiovoima kasvaa, mutta samalla myös esineen inertia m, joka esiintyy kaavassa F = ma, kasvaa. Sanotaan, että kappaleiden painava massa on sama kuin niiden hidas massa. Kuitenkin laajempi katsomistapa, joka on teoreettisesti tyydyttävämpi ja yleisempi, on, että painovoiman ja kaikenlaisten ei-säännöllisten liikkeiden aiheuttamien pseudovoimien (kuten keskipakoisvoima) välillä ei ole periaatteellista eroa olemassa. Jo unkarilianen paroni, geofyysikko Loránd Eötvös 1 teki lukuisia hyvin tarkkoja kokeita tutkiakseen, onko löydettävissä eroja painavan ja hitaan massan välillä, esim. ainekoostumuksen yhteydessä. Vastaus oli johdonmukaisesti ei 2. Tästä Albert Einstein ( ) veti loogisen johtopäätöksensä, että painovoima on aika-avaruuden geometrinen ominaisuus joka liittyy sen kaarevuuteen, ja kehitti kuuluisat kenttäyhtälöt 3 jotka kytkevät yhteen aika-avaruuden kaarevuustensori ja aika-avaruuden sisältämän aineen energiaimpulssitensori. Paikallisesti, esim. pienen suljetun hissin sisällä, emme voi tietää onko painovoima hissin sisällä Maan vetovoiman vai hissin pohjassa olevan rakettimoottorin tuottaman kiihdytyksen seurauksena! Painovoiman kiihtyvyyden mittaukseen ja tutkimukseen erikoistunut tieteenala on nimeltään gravimetria. Painovoima on vapaan putoamisen putoamiskiihtyvyys ja se mitataan yksikössä m /s 2. Maan pinnalla painovoima on noin 9, 8 m /s 2. Kuitenkin gravimetriassa tarvitaan pienempiä yksiköitä, ja näin on keksitty milligal (mgal) ja mikrogal (µgal). Hyvin tarkassa työssä tavataan vielä nanogal (ngal). Yk- SI-yksikkönä Painovoiman sikkö ( m /s 2 ) murto-osana (noin!) mgal µgal ngal Baron Loránd Eötvös de Vásárosnamény ( ), unkarilainen geofyysikko. 2 Eötvösin kokeet on toistettu vielä paljon suuremmalla tarkkuudella. Vastaus ei muuttunut. 3 Teoria tunnetaan yleisena suhteellisuusteoriana. 277

288 15 Painovoima geodesiassa Tyhjiöpumppujärjestelmä Suojahäkin kuljetusjärjestelmä Prisman suojahäkki Putoava prisma g Superjousi Vertausprisma Puoliläpäisevä peili Peili Laser Interferenssin havaintolaite Kuva Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri. Painovoiman mittaamiseen on rakennettu mittauslaitteet eli gravimetrit. Tavallinen kenttägravimetri on periaatteessa vain herkistynyt jousivaaka (kuva 15.2). Sen mittaustarkkuus voi olla 0, , 1 mgal. Tämän lisäksi on olemassa ballistisia gravimetreja (mittaavat interferometrisesti putoavan kappaleen kiihtyvys; kuva 15.1) jotka ovat absoluuttisia. Kenttägravimetrit eivät ole absoluuttisia: niillä on käynti. Siksi niiden mittaukset lähtevät aina tunnetusta pisteestä ja päättyvät aina tunnetuun pisteeseen. Mittausarvot tasoitetaan pisteiden välllä näin määritetyn käyntikäyrän mukaan. δ(ɛ) α F(ɛ) F(ɛ) cos(α + δ + ɛ) mg ɛ. mg Kuva Relatiivi- eli jousigravimetrin toimintaperiaate: herkkyyden lisäys vinoratkaisun avulla eli astatointi. 278

289 15.2 Painovoima ja geopotentiaali s s + h(x, y) + s i + x y j Kuva Maaston korkeus h (x, y) korkeuskäyrillä kuvattuna ja korkeusgradientit (nuolet). Oikealla maaston perspektiivikuva Painovoima ja geopotentiaali Yleinen kuvaus Kuvassa 15.3 nähdään, miten maaston muodot kuvataan kartalla korkeuskäyrillä. Kuvassa esimerkkinä käytetyn maaston korkeuden h (x, y) sijasta kelpäisi mikä tahansa kahden muuttujan funktio. Kuvaan on piirretty nuolina korkeuskentän gradientti, vektorikenttä h (x, y) h (x, y) v (x, y) = i + j, x y jossa i ja j ovat x- ja y-suuntaiset yksikkövektorit. Tämä on vektoriarvoinen kenttä, jonka arvo jokaisessa pisteessä (x, y) koostuu kahdesta komponentista, paikan osittaisderivaatat h x ja h y. Gradienttivektori kuvaa maanpinnan kaltevuutta: se on sitä pitempi, miten jyrkempi on maanpinnan kaltevuus. Ja vektorin suunta on tietenkin se suunta, mihin maasto kallistuu 4. Gradientti on aina kohtisuora korkeuskäyrää kohtaan, joka on samaa korkeusarvoa omaavien pisteiden joukko eli ekviarvokäyrä. Sitä pitkin korkeusarvo on vakio. Korkeuskentän h (x, y) tavalla voidaan kuvata myös geopotentiaalia W (x, y, z) kolmiulotteisessa avaruudessa, korkeuskäyrien eli ekvipotentiaalipintojen ja kolmiulotteisen gradientin avulla. Ekvipotentiaalipinnoilla geopotentiaalin arvo on vakio. Kuva 15.4 on vastaava geopotentiaalin visualisointi pöydän kaarevana pintana. Pinnan etäisyys lattialta vastaa geopotentiaaliin eli pinnan päällä olevan objektin energiatasoon. Pöydällä piirretyt ympyrät kuvaavat Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipintoja (todellisuudessa kaksiulotteisia) ja maapallolta säteilevät kaaret, voimaviivoja joiden mukaan potentiaalin gradienttivektori siis painovoimavektori on kaikkialla suuntautunut Normaalipainovoima ja häiriöpotentiaali Painovoima koostuu kahdesta osasta: 4 Itse asiassa nuolet on piirretty väärään suuntaan, eli suuntaan, mihin maan pinta menee alaspäin. Ne siis kuvaavat vektorikenttää v. 279

290 15 Painovoima geodesiassa W (x, y, z) Kuva Geopotentiaalipöytä. Tällaiset pöydät löytyvät monessa tiedekeskusksessa. Pöydän pinnan korkeus kuvaa Maan painovoimapotentiaalia, tosin vain kahdessa ulottuvuudessa. Nuolet kuvaavat taas geopotentiaalin gradienttia eli pöydän pinnan kaltevuutta. Geopotentiaalipöydällä lasikuulaa voidaan saada kiertämään maapallon ympäri elliptisessä Kepler-radassa, jos pinnan muoto on riittävän realistinen eli Newtonin painovoimakaavan mukainen. Maan massan vetovoima Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama keskipakois(pseudo-)voima. Keskipakoisvoiman osuus koko painovoimasta on alle prosentti, samaa suuruusluokkaa kuin painovoiman vaihtelu päiväntasaajan ja napojen välillä. Maan painovoimakenttä on hyvin epäsäännöllinen. Suurin osa painovoimakentästä voidaan kuitenkin kuvata pyörähdysellipsoidin kenttänä. Tällaista matemaattisesti määritettyä, säännöllistä mallikenttää, jossa on otettu huomioon Maan litistyneisyys ja pyörähdysliike, kutsutaan normaalikentäksi. Normaalikentän kenttäviivat ja potentiaalin tasopinnat (ekvipotentiaalipinnat) on kuvattu kuvassa Vertausellipsoidi on normaalipainovoimakentän eräs ekvipotentiaalipinta, samalla tavalla kuin geoidi (luku 15.4) on todellisen painovoimakentän ekvipotentiaalipinta. Taulukko Normaalipotentiaali ja -painovoima GRS80-ellipsoidin mukaan (Heikkinen (1981), yksinkertaistettu). Kaavassa 9,78... on itse painovoima ja 0, painovoiman pystygradientti päiväntasaajalla vertausellipsoidin pinnalla normaalimallin mukaan. Yksiköt m, m /s 2 ja m2 /s 2 U = , , , sin 2 ϕ 0, sin 4 ϕ 0, sin 6 ϕ h+ + +0, , sin 2 ϕ 0, sin 4 ϕ 10 4 h , , sin 2 ϕ 10 8 h 3 + 0, h du dh = 9, , sin2 ϕ 0, sin 4 ϕ 0, sin 6 ϕ+ + +0, , sin 2 ϕ 0, sin 4 ϕ 10 4 h+ + 0, , sin 2 ϕ 10 8 h 2 + 0, h

291 15.2 Painovoima ja geopotentiaali Normaalipainovoima Ellipsoidiset luotiviivat eli normaalit γ γ γ Normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat Vertausellipsoidi (litistyneisyys liioiteltu) Kuva Maan normaalipainovoimakenttä. Normaalipainovoimakentän potentiaali merkitään symbolilla U (x, y, z). Itse normaalipainovoima on tämän potentian gradientti. Painovoimavektori on geopotentiaalin W (x, y, z) gradientti 5 : g = W = gradw = W x i + W y j + W z k, jossa i, j, k ovat x, y ja z suuntaiset yksikkövektorit. Samalla tavalla on myös normaalipainovoimavektori U γ = U = gradu = x i + U y j + U z k, normaalipainovoimapotentiaalin U gradientti. Vähentämällä todellisesta painovoimapotentiaalista normaalipotentiaali saadaan häiriöpotentiaali: T W U. Normaalipainovoiman suuruutta merkitään symbolilla γ γ, samalla tavalla kuin todellisen painovoiman suuruus g g. Koska molemmat vektorit ovat melkein samansuuntaisia suoraan alaspäin voidaan myös kirjoittaa g = dw dh, γ = du dh. Normaalikentän painovoimaa voidaan eksaktisti laskea, jos on tiedossa pisteen P leveysaste ϕ P ja korkeus vertausellipsoidista h P : γ P = γ (ϕ P, h P ). Normaalipainovoima, kuten todellinenkin painovoima, vähenee nopeasti korkeuden mukaan. Vähennys on n. 0,3 mgal jokaista metriä kohti. Riippuvuus leveysasteesta on paljon heikompaa. 5 Symbolin nimi on nabla eli harppu hepreaksi. 281

292 15 Painovoima geodesiassa Geopotentiaalikenttä Normaalipotentiaali Ekvipotentiaalipinta Voimaviiva (luotiviiva) Vertausellipsoidi Geoidi Kuva Geopotentiaalin ja normaalipotentiaalin tasopinnat ja voimaviivat Ekvipotentiaalipintojen välinen etäisyys Koska normaalipainovoimakenttä on tarkoitettu todellisen painovoimakentän idealisoiduksi esitystavaksi, kulkevat niiden saman potentiaalin ekvipotentiaalipinnat W = vakio ja U = vakio, samalla vakio-arvolla, lähellä toisiaan. Ks. kuva Pisteet P ja Q ovat samalla luotiviivalla: P sijaitsee W -kentän arvopinnalla W = W P ja Q on U-kentän vastaavalla arvopinnalla U = U Q = W P. Siis: ja (linearisointi korkeuden h mukaan): Vähentämällä saadaan häiriöpotentiaali W P = U Q U P U Q + ζ U h P = U Q + ζγ P. T P W P U P = ζγ P ζ = T P γ P. (15.1) Kaava ((15.1)) on kuuluisa Brunsin kaava. Suuretta ζ kutsutaan (pisteen P) korkeusanomaliaksi; se on etäisyys painovoimakentän ekvipotentiaalipinnan ja normaalikentän vastaavan pinnan välillä. Brunsin kaava liittää se suoraan häiriöpotentiaaliin. Kun piste P sijaitsee geoidilla, on W P = W 0 ja Q sijaitsee vertausellipsoidilla, eli U Q = U 0 = W 0. Tässä tapauksessa kirjoitetaan ζ N, geoidi-undulaatio eli geoidin etäisyys vertausellipsoidista. Brunsin kaava tässä tapauksessa: N = T 0 γ 0, jossa sekä T 0 että γ 0 otetaan pisteen alapuolella geoidilla. Käytännössä N ζ, paitsi vuoristoissa. 282

293 15.3 Painovoima-anomaliat W P = U Q U P U Q H Geoidi W 0 = U 0 N U 0 Vertausellipsoidi Luotiviiva (Φ P, Λ P )... P ζ Q Ellipsoidin normaali (ϕ P, λ P ) h Kuva Todellisen ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat Painovoima-anomaliat Käytännössä pisteen korkeus h vertausellipsoidilta on harvoin saatavissa, ellei käytetä GPS 6. Siksi kirjoitetaan, käyttäen h P = H P + N H P + ζ, ks. kuvat 15.7 ja 15.8: d T = g P γ P = g P γ (ϕ P, h P ), dh jossa (Taylor-kehitelmä): P γ (ϕ P, h P ) γ (ϕ P, H P ) + dγ dh ζ + ζ 2, siis d T dh P g P γ (ϕ P, H P ) dγ dh N = g P γ (ϕ P, H P ) dγ dh TP γ P. Tästä g P γ (ϕ P, H P ) = dt dh P dγ + dh Tätä ilmaisua kutsutaan painovoima-anomaliaksi, määritelmänä 1 γ P T P. (15.2) g P g P γ (ϕ P, H P ). (15.3) Painovoima-anomalia g P voidaan laskea, jos on mitattu 6 Nykyisin on GPS:n ansiosta helpompi saada suure δg P g P γ (ϕ, h P ), jota kutsutaan painovoimahäiriöksi. Gravimetristen mittauspisteiden korkeudenmääritys on Suomessa käytössä mm. Geologian tutkimuskeskuksen kenttätyössä. 283

294 15 Painovoima geodesiassa Luotiviiva (Φ P, Λ P ) P g P Q γ P Kuva Todellisen ja normaalipainovoiman vektorit. γ Q 1. pisteen P painovoima-arvo g P gravimetrisista mittauksista 2. pisteen korkeus H P geoidilta eli merenpinnan yläpuolella. Useimmiten (ja ennen satelliitiaikakautta aina) määritetään painovoimamittausten yhteydessä mittauspisteen korkeus joko lukemalla kartalta, fotogrammetriselta stereomallilta, käyttämällä ilmapuntari, tai linjavaaituksen avulla. Kaikissa tapauksessa saadaan juuri korkeus H P merenpinnalta. Korkeuksien mittaustarkkuus vaihtelee muutamasta sentistä n. metriin; virhe kulkee suoraan anomalia-arvoihin g, normaalipainovoiman pystygradienttiarvon dγ /dh 0, 3 mgal /m mukaan. Painovoima-anomalia g on empiirisesti määritettävä suure. Maan painovoimakentän paikalliset, geofysikaalisesti mielenkiintoiset vaihtelut tutkitaan juuri painovoima-anomalioiden avulla. Käytetyin painovoima-anomalia on ns. ilma-anomalia g, jonka määritelmä on juuri yllä ((15.3)) annettu. Painovoima-anomaliat vaihtelevat arvoltaan välillä ±100 mgal, harvoin (vuoristoissa) ±200 mgal. Suomessa vaihteluväli on ±60 mgal. Anomaliat kuvaavat Maan sisäisen massajakauman epäsäännöllisyyksiä ja ovat näin ollen geofysikaalisesti ja geologisesti erittäin kiinnostavia. Kuriositeettina mainittakoon, että hollantilainen tutkija Vening-Meinesz Jaavan saaren eteläpuolella, Jaavan (nykyinen nimi Sundan) syvänmeren haudan kohdalla, löysi suuri painovoiman vaje. Nykyisin tiedetään, että syvanmeren haudat ovat ne maanpinnan paikat, joissa laattaliikkeen osana merellinen maankuori sukeltaa Maan vaippaan geologiseen uusiokäyttöön: subduktio, ks. kuva Gravimetrinen geoidi Yllä olevasta kaavasta (15.2) määritelmän (15.3) kanssa saadaan geoidin pinnalla g = dt dh + dγ 1 dh γ T, (15.4) jota kutsutaan fysikaalisen geodesian perusyhtälöksi (engl. fundamental equation of physical geodesy). Siis: painovoima-anomalia g on häiriöpotentiaalin T ja sen pystysuuntaisen paikkaderivaatan dt /dh lineaariyhdistelmä. 284

295 15.4 Gravimetrinen geoidi g N Massa-ylijäämä Massaalijääma -N Kuva Maan painovoima-anomalioiden ja geoidin korkeusvaihtelujen välinen yhteys. Suure dγ /dh 0, 3 mgal m 1 on jo aiemmin mainittu normaalipainovoiman pystygradientti. Geoidi, Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta joka kuvaa koko kentän muotoa ( Maan matemaattista muotoa, Gauss), voidaan määrittää gravimetrisin keinoin, lähtökohtana fysikaalisen geodesian perusyhtälö (15.4). Oletetaan, että Maa on pallo. Silloin ja differentioimalla josta seuraa γ = GM R 2 dγ dh = dγ dr = 2GM, R 3 g = dt dh 2 R T, kaava joka pätee pallon muotoisen Maan pinnalla. Intuitiivisesti on selvä, että jonkinlainen yhteys on olemassa Maan pinnan painovoiman vaihteluiden ja geopotentiaalin vaihteluiden välillä. Molemmathan johtuvat Maan sisällä olevien massojen epätasaisesta jakaumasta. Kuten kuva 15.9 näyttää, johtavat Maan sisällä olevat ylimääräiset massat sekä painovoima-ylijäämään (geopotentiaalin eri tasopinnat ovat lähempänä toisiaan) että geoidin nouseminen vertausellipsoidin pinnan yläpuolelle, kun toisaalta Maan sisäiset massavajaukset johtavat sekä painovoima-alijäämään ja geoidin painumaan ellipsoidin alapuolelle. 285

296 15 Painovoima geodesiassa Laskenta- N piste S(ψ) ψ Maan keskipiste gdσ Liikkuva integrointipiste Kuva Stokes-integraalikaavan geometria. Kuitenkaan yhteys painovoima-anomalioiden g ja geoidikorkeuksien N välillä ei ole yksinkertainen. Suureet yhdistää integraaliyhtälö, ns. Stokesin kaava. George Gabriel Stokes 7 johti vuonna 1849 seuraavan integraalikaavan 8 : N = R S (ψ) gdσ. (15.5) 4πγ Kaavan avulla voidaan laskea geoidin korkeuksia globaalisesta painovoima-anomaliakentästä. Kaavassa R on Maan keskimääräinen säde, γ on Maan pinnan keskimääräinen painovoimakiihtyvyys, ja S (ψ) on Stokesin funktio, myös Stokesin ydin. Se riippuu vain N-suureen laskentapisteen ja g-anomalian mittauspisteen välisestä kulmaetäisyydestä ψ Maan keskipisteestä nähtynä: S (ψ) = 1 6 sin ψ sin ψ / cos ψ 3 cos ψ ln sin ψ 2 + ψ sin2. 2 Tutkitaan kaava (15.5) lähemmin. Suure dσ on yksikkösäteisen pallon ns. avaruuskulma-alkio, pallokoordinaateissa dσ = cos φ dφdλ. Kirjoitetaan kaava auki seuraavalla tavalla: N (φ, λ) = R 4πγ ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 S ψ φ, λ, φ, λ g φ, λ cos φ dφ dλ. Tässä (φ, λ) ovat pisteen koordinaatit (tarkasti ottaen, geosentrinen leveys- ja pituusaste) jossa geoidikorkeus N lasketaan. Koordinaatit (φ, λ ) taas ovat pisteen koordinaatit, jossa painovoimaanomalia g on annettu, ja joka kaksoisintegraalin laskemisen myötä liikkuu koko maapallon pinnan yli. Kulma ψ on niiden kahden pisteen välinen kulmaetäisyys nähtynä maapallon keskipisteestä 9. 7 George Gabriel Stokes ( ) oli etevä englantilainen matemaatikko, fyysikko ja geofyysikko. 8 Kaavan johtaminen on vaikea ja käyttää fysikaalisen geodesian perusyhtälöa (15.4) reunaehtona Laplacen kenttäyhtälön ratkaisemiseksi maapallon ulkopuolisessa avaruudessa. Ks. esim. Heiskanen ja Moritz (1967, luku 2). 9 Laskentakaava on cos ψ = sin φ sin φ + cos φ cos φ cos λ λ. 286

297 15.4 Gravimetrinen geoidi Kuva Maailman geoidimalli EGM08. Geoidikorkeudet GRS80-vertausellipsoidista 107 m (sininen) +86 m (punainen). {} U.S. National Geospatial-Intelligence Agency. Tästä nähdään, että yhdenkin N-arvon laskemiseksi tarvitaan kaikkialta Maan pinnalta g-arvoja, ylläolevan integraalin evaluoimiseksi kokonaan. Jaetaan maapallon pinta 1 1 -kokoisiin soluihin eli blokkeihin yhteensä = kappaletta ja lasketaan integraalin arvo numeerisesti summana 360 N (φ, λ) = +90 i=1 j= 89 jossa λ = i 0.5 ja φ = j 0.5. R 4πγ π S φ, λ, φ, λ g φ, λ cos φ, Nyt ymmärrät myös, miksi tiivis kansainvälinen yhteistyö on niin olennainen Maan painovoimakentän tutkimuksessa! Käytännössä suurin vaikutus geoidikorkeuteen on paikallisilla painovoima-anomalioilla. Funktio S (ψ) pienille ψ:n arvoille on likimain S (ψ) 2 ψ. Siis anomalia-arvot laskentapisteen välittömässä läheisyydessä hallitsevat laskentatulosta. Kaukaisemmat alueet vaikuttavat nekin, mutta niiden huomioon ottamiseksi riittää satelliittigeodesian tuottama, suurpiirteisempi ns. globaalinen painovoimamalli. Globaalisesti geoidin pinta poikkeaa vertausellipsoidista ±100 m. Globaalinen keskimerenpinta puolestaan seuraa geoidia, koska se on ekvipotentiaali- eli tasapainopinta; keskimerenpinta poikkeaa geoidista korkeintaan ±2 m. Poikkeamasta pysyvää osaa kutsutaan meritopografiaksi. Tämän lisäksi on olemassa ajassa vaihtelevia poikkeamia, kuten mm. vuoksi-ilmiö ja tuulten ja ilmanpaineen vaihtelujen aiheuttamat poikkeamat. 287

298 15 Painovoima geodesiassa z Piste P. Ekvipotentiaalipinnat W = vakio.. W = W 0 3 W W = W 0 2 W W = W 0 W W = W 0 W z k O j i y W y W x x Painovoimavektori g = W x i + W y j + W z k Kuva Painovoimavektori on geopotentiaalin gradientti, eli derivaatta kolmen paikkakoordinaatin mukaan Painovoimakenttä ja korkeudet Geopotentiaali ja gradientti Kuvassa 15.3 nähdään, miten maaston muodot voidaan kuvata kartalla korkeuskäyrillä. Korkeuskentän h (x, y) sijasta voidaan kuvata mitä tahansa kenttää, myös geopotentiaalia W (x, y, z) kolmiulotteisessa avaruudessa, korkeuskäyrien ja gradientin avulla. Kolmiulotteisessa tapauksessa meillä on käyrien sijasta ekvipotentiaalipintoja, joilla geopotentiaalin arvo on vakio. Kaiken luonnollisin korkeuden mitta, geopotentiaali, ei ole metrinen suure. Se on energian mitta, se kuvaa koekappaleen (yksikkömassan) potentiaalinen energiataso Maan painovoimakentän sisällä. Siksi se on geofysikaalisesti järkevä suure. Geopotentiaali liittyy painovoimaan, sillä tavalla, että painovoimavektori, g, on geopotentiaalin W paikkaderivaatta eli gradientti, ks. kuva 15.12: g = W = gradw = W x i + W y j + W k, (15.6) z jossa taas i, j, k ovat (x, y, z)-koordinaatiston akseleiden suuntaiset yksikkövektorit. Tästä syystä paikallinen painovoima on 1. aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan 2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eri ekvipotentiaalipinnat ovat. Painovoimakenttä on konservatiivinen kenttä. Tämä merkitsee, että kun kuljetetaan koemassa suljetun polun ympäri, ei tehdä työtä. Konservatiivista voimakenttää voidaan aina kirjoittaa potentiaalin gradienttina kuvassa (15.12) esitetyllä tavalla. 288

299 15.5 Painovoimakenttä ja korkeudet W = vakio W B B x 4 g 4 x 3 x 2 x 1 g 3 g 2 W A g 1 A Kuva Työn polku-integraali. W A W B = A B g dx 4 i=1 g i x i. Potentiaaliero pisteiden A ja B välillä on nyt sama kuin tehtävä työ yksikkömassan siirtämiseksi A:sta B:hen, ja seuraava integraali (s on matka polkua AB pitkin): ˆ B ˆ B dw W B W A = dw = A A ds ds = ˆ B W = x d x + W y d y + W z dz = A ˆ B A gradw dx = ˆ B A = g dx. (15.7) Tästä näkyy, että työ on painovoimavektorin g ja polun suuntaisen matkavektori-alkion dx = d x d y d x T skalaaritulo. Käytännössä käytetään usein itse geopotentiaalin W sijasta sen ero C (W W 0 ) keskimerenpinnan potentiaalista W 0. Tätä potentiaalieroa, joka kasvaa ylöspäin, kutsutaan geopotentiaaliluvuksi ja yo. integraalikaavasta tulee Suljetun polun tapauksessa meilla on C B C A = ˆ B A g dx = 0. g dx. Geopotentiaalilukuja lasketaan maan yli ulottuvan vaaituksen mittaustuloksista. Kaikki metriset korkeudet, kuten esimerkiksi ortometrinen korkeus, lasketaan geopotentiaaliluvuista Geopotentiaaliyksikkö, GPU Painovoimaa, vapaan putoamisen kiihtyvyyttä, voidaan ilmaista yksikössä m /s 2. Painovoimasta lisää luvussa 15. Geopotentiaalin mittausyksikkönä käytetään usein geopotentiaaliyksikkö eli GPU (GeoPotential Unit). Geopotentiaalin SI-yksikkö on m2 /s 2 : matka voima / massa = matka kiihtyvyys = 289

300 15 Painovoima geodesiassa g g W P P H 3 H 2 H H 2 O H 1 W 0 H 1 Geoidi Kuva Korkeudet ja ekvipotentiaalipinnat. Huomaa, että mitä suurempi (vahvempi) painovoima g (aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan), sitä lähempänä toisiaan ovat ekvipotentiaalipinnat. m m /s 2. Maan painovoimakentässä Maan pinnan lähellä, jossa painovoiman kiihtyvyys on g = 9,8 m /s 2, vastaa yhden metrin korkeusero n. 9,8 m2 /s 2 potentiaalieroon. Määritetään 1 GPU 10 m2 /s 2, niin yhden metrin korkeusero vastaa n. 0,98 GPU potentiaalieroon; vastaavasti, 1 GPU potentiaaliero vastaa n. 1,02 m korkeuseroon. Näin voidaan, kiitos siitä, että g sattuu olemaan noin 10 m /s 2, ilmaistaa geopotentiaalierot yksikössä, joka on hieman intuitiivisempi kuin vastaava SI-yksikkö! Ortometrisia korkeuksia Ortometriset korkeudet H ovat jo tuttuja. Tutkitaan ne lähemmin. Kuvassa pisteen P ortometrinen korkeus on H; tässä yksinkertaisessa esimerkissä se se on kolmen korkeuseron summa: H = H 1 + H 2 + H 3, (15.8) jossa H i ovat ekvipotentiaalitasojen väliset etäisyydet pisteen luotiviivalla. Kuitenkin vaaitus antaa korkeuserot H 1, H 2, H 3 maastossa, maanpinnalla pisteen ja rannikon välillä. Tässä tapauksessa on suoritettu vaaitus rannikkopisteestä O, jonka korkeus oletetaan nollaksi. Nyt H H 1 + H 2 + H 3! Vaaituksesta saatuja korkeuseroja ei saa noin vaan ynnätä pisteen korkeuden saamiseksi. Tästä opimme se, että korkeus, vaikkakin metrinen suure, ei ole kovin kauniisti käyttäytyvä suure. Siksi käytetään tieteellisessä työssä metristen korkeuksien sijasta aina jo esitettyjä geopotentiaalilukuja C = (W W 0 ), jossa W on pisteen geopotentiaali ja W 0 keskimerenpinnan (tai muun vertaustason) geopotentiaali. 290

301 15.5 Painovoimakenttä ja korkeudet Voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa (huomaa, että yksikötkin täsmäävät): [ m2 /s 2 ] C = [ m/s 2 ] g [m] H jossa C on (kahden mielivaltaisen pisteen) geopotentiaaliero, eli työ jota on tehtävä yhden yksikkömassan kuljettamiseksi pisteiden korkeuseron H yli. Jos pisteessä O pätee W = W 0, seuraa, että C O = 0. Silloin kuvan esimerkkitapauksessamme 10 pisteen P geopotentiaaliluku on C = C 1 + C 2 + C 3 = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3, (15.9) mikä on laskettavissa, jos vaaituksen yhteydessä on mitattu myös paikallinen painovoima g. Kuitenkin myös C = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3, jossa g i ovat painovoima-arvoja kallion sisällä pisteen P luotiviivalla. Määritetään luotiviivan keskipainovoima seuraavalla kaavalla 11 : Nyt g g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3 H 1 + H 2 + H 3 C = gh H = C g, = g 1 H + 1 g 2 H + 2 g 3 H 3. H klassinen ortometrisen korkeuden määritelmäkaava. Kaava kertoo juuri, että työ, joka tarvitaan koemassan siiirtämiseksi geoidista pisteeseen, on voima matka: työ C = voima g matka H. Ongelmaksi tässä jää g:n, painovoiman keskiarvon luotiviivaa pitkin, määritys. Arvojen g i mittaaminen maankuoren sisällä onhan tavallisesti mahdotonta... siksi käytännössä määritys lähtee maanpinnalla mitatusta arvosta g P, olettamalla, että painovoima kasvaa alaspäin, maankuoren sisällä, tietyn kaavan mukaisesti 12. Näin saadaan ortometrisen korkeuden likiarvo, jonka tarkkuus ainakin Suomen alueella on täysin riittävä. Ortometrinen korkeus on vain yksi tapa rakentaa metrinen korkeusjärjestelmä. Muitakin on olemassa, kuten normaalikorkeus ja dynaaminen korkeus. Kaikki ovat korkeuksia merenpinnan yläpuolellä, mutta määrittely- ja laskentatavat ovat hieman erilaisia. Ja kaikilla kolmella on omat hyöty- ja haittapuolensa. Ortometriset korkeudet eivät ole ongelmattomia. Tunneliverkostoa ei ole olemassa ja painovoiman mittaus kallion sisällä paikallista luotiviivaa pitkin ei ole tavallisesti mahdollista. Käytännössä ortometriset korkeudet määritetään vaaituksen avulla rannikolta lähtien, maanpintaa pitkin. Jos vaaituksesta halutaan laskea ortometrisia korkeuksia, tarvitaan sen laskutoimituksissa valitettavasti hyvin yksityiskohtaisia tietoja 10 Yleisessä tapauksessa kaava on 11 Yleinen kaava on taas ˆ H C = g (z) dz. 0 g = 1 H ˆ H 0 g (z) d x. 12 Esimerkiksi Poincaré-Prey reduktio, ks. Heiskanen ja Moritz (1967) 291

302 15 Painovoima geodesiassa kallion tiheydestä korkeuspisteen alapuolella maaston muodoista korkeuspisteen ympärillä, eli maastomalli. Siis, vaikka ortometriset korkeudet ovat fysikaalisesti elegantteja, niiden tarkka määritys voi olla käytännössä hankala. Tieteellisesti sanotaan, että ortometriset korkeudet eivät ole hypoteesivapaita. Vaadittavat hypoteesit ovat juuri maankuoren tiheys ja maaston paikalliset muodot. Käytännön laskuissa jätetään usein maaston vaikutus pois ja käytetään tiheysarvoja geologiselta kartalta. Näin tehty virhe on yleensä pieni Normaalikorkeuksia Normaalikorkeudet H ovat, yksinkertaisesti sanottuna, ortometriset korkeudet laskettuina geopotentiaaliluvuista C niinkuin Maan todellinen painovoimakenttä olisi säännöllinen, pyörähdysellipsoidin matemaattinen mallikenttä eli normaalikenttä. Siksi ei vaadita todelliseen, monimutkaiseen painovoimakenttään liittyviä tietoja. Normaalikorkeudet lasketaan helposti ja tarkasti ilman mitään tietoa paikallisesta kallion tiheydestä tai maastomallia. Normaalikorkeuden kaava on H = C γ, jossa γ on normaalipainovoiman keskiarvo, laskettuna taas pisteen luotiviivaa pitkin. Kuitenkaan, toisin kuin ortometrisillä korkeuksilla, normaalikorkeuksilla ei ole suoraa fysikaalista tulkintaa. Suomen alueella erot ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä ovat luokkaa millimetrejä. Vuoristossa ne voivat olla useita desimetrejä. Monissa maissa (mm. Venäjä, Ruotsi, nykyisin myös Suomi) käytetään normaalikorkeuksia ortometristen korkeuksien sijasta. Niiden tarkka laskenta on helpompaa. Kun ortometriset korkeudet tulkitaan korkeuksiksi geoidista, normaalikorkeudet lasketaan vastaavanlaisesta pinnasta nimeltä kvasi-geoidi. Merialueilla sekin yhtyy keskimerenpintaan, mutta mannerten, ja varsinkin vuoristojen, kohdalla se eroaa geoidista. Esitetty tunneliverkostovertauskuva ei ole toimiva kvasigeoidille Dynaamisia korkeuksia Dynaamisia korkeuksia käytetään harvoin. Ne lasketaan yksinkertaisesti jakamalla geopotentiaaliluku C leveysasteen 45 maanpinnan normaalipainovoimalla γ 45, joka on vakio: H dyn = C γ Eri korkeustyyppien ominaisuudet Kaikille korkeustyypeille yhteistä on se, että metrinen korkeus saadaan jakamalla geopotentiaaliluku jollakin sopivalla painovoima-arvolla: geopotentiaalilukujen yksikkö on m2 /s 2, painovoimakiihtyvyyden yksikkö m /s 2, siis metrisen korkeuden yksikkö on todella m2 /s 2 = m, kuten pitääkin. m/s 2 292

303 15.6 Bouguer-anomaliat Taulukko Eri korkeustyyppien ominausuudet. Korkeus- Oikeellisuus Hypoteesi- Kaava tyyppi Metrinen Energeettinen vapaus Geopotentiaaliluku + + C Ortometrinen + H = C /g Normaali + H = C /γ Dynaaminen + + H dyn = C /γ 45 Korkeustyypistä riippumatta kaikki metriset korkeudet lasketaan pisteen energiatasosta, jo mainitusta geopotentiaaliluvusta C. Ainoat korkeudet jotka saadaan mitatuksi ja lasketuksi tarkasti, ovat geopotentiaalilukuja C = (W W 0 ). Kaikki muut korkeudet ovat johdannaissuureita. Niiden laskemisessa menetetään aina joitakin hyödyllisia ominaisuuksia, samalla tavalla kuin kaarevan pinnan projektiossa tasopintaan. Korkeusarvojen käyttäjä toivoo käytännön korkeuksista monta hyvää asiaa, jotka ovat tuttuja geometrisista korkeuksista pienen alueen sisällä: Metrinen oikeellisuus Tämä merkitsee, että jos on kaksi pistettä P ja Q toistensa suoraan yläpuolella, ja niiden välinen etäisyys on 1 m, niin myös H P H Q on tarkasti 1 m. Vain ortometrisilla korkeuksilla on tämä ominaisuus. Dynaamisten korkeuksien metrinen oikeellisuus on varsin heikko. Metrinen oikeellisuus on sitä parempaa, miten lähempänä todellista keskimääräistä painovoimaa luotiviivaa pitkin kaavan nimittäjässä oleva ilmaisu on. Energeettinen oikeellisuus Tämä merkitsee, että vesi virtaa aina alaspäin kyseessä olevassa korkeustyypissä. Kolmesta mainitusta tyypistä vain dynaamiset korkeudet ovat energeettisesti oikeellisia koska ovat suoraan verrannollisia geopotentiaalilukuihin C. Tarkka laskettavuus, riippumattumuus epävarmoista hypoteeseista Normaalikorkeudet ja dynaamiset korkeudet ovat tarkasti laskettavissa teorian perusteella. Normaalikorkeuksien kanssa on kuitenkin ilmoitettava mikä normaalikenttä on valittu laskennoissa. Ortometriset korkeudet edellyttävät sekä todellisen painovoimakentän että topografian muodon ja tiheyden tuntemusta. Käytännössä kuitenkin näiden tekijöiden aiheuttama epävarmuus on suhteellisen pieni Bouguer-anomaliat Aiemmin huomautettiin, että ilma-anomaliat (kaava (15.3)) kertovat jotain Maan sisäisistä massajakaumista. Kuitenkin pisteen ilma-anomaliassa g on myös mukana koko pisteen alla olevan topografian vaikutus. Topografian muodot merenpinnan yläpuolella ovat näkyvissä ja yleensä hyvin tunnettu; tuntuu loogiselta poistaa laskennallisesti ilma-anomalioista maastomuotojen vaikutus, jotta jaisi suure, joka kertoo ainoastaan jotain Maan massajakaumasta merenpinnan tason alapuolella. 293

304 15 Painovoima geodesiassa Kuva Ilma- ja Bouguer-anomaliat Etelä-Suomessa laskettuna EGM08-geopotentiaalimallista. Bureau Gravimétrique International (BGI) / International Association of Geodesy. Näin syntyy Bouguer-anomalia: g B = g FA g top, jossa g FA g on ilma-anomalia, g B Bouguer-anomalia ja g top topografian aiheuttama, pisteessä toimiva vetovoima. Bouguer-anomalioita voidaan laskea tarkasti tai likimääräisesti. Ensimmäisessä tapauksessa käytetään topografian numeerinen malli, ns. digitaalinen maastomalli (DTM). Käytetään myös maankuoren tiheysmalli jos saatavissa. Karkeassa laskennassa otetaan huomioon vain ns. Bouguerlaatan vaikutus, yksinkertaisena suljettuna kaavana: jossa g top G ρ d laatan vetovoima (pystysuunnassa) g top = 2πGρd, Newtonin universaalinen painovoimavakio, 6, kg 1 m 3 s 2 laatan aineen tiheys laatan paksuus. Jos tiheys on ρ = 2, 67 g /cm 3 = 2670 kg /m 3, saadaan g top = 0, 1119 d, jossa d on metreinä ja g milligalleina. Milligal-yksikkö selostettiin luvun alussa Tähtitieteellinen paikanmääritys Paikallinen luotiviiva eli paikallisen painovoimavektorin suunta on kohtisuora ekvipotentiaalipintaa kohtaan. Luotiviivan suunnan määrittäminen absoluuttisesti on ollut mahdollista perinteisillä tähtitieteen keinoilla. 294