Johdanto geodesiaan. Martin Vermeer 8. tammikuuta 2013

Transkriptio

1 Johdanto geodesiaan Martin Vermeer tammikuuta 2013 Kiitokset: Käsikirjoituksen eri versioiden laatimisessa T. Parmin ja M. Martikaisen laatimat luentokalvot ja muut materiaalit olivat suureksi hyödyksi. Mauri Väisäselle, Jaakko Santalalle, Panu Salolle, Markku Poutaselle sekä monelle opiskelijolle olen kiitollinen monista hyödyllisistä kommenteista ja korjausehdotuksista.

2

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso III-IV Osaamistavoitteet Opiskelija saa yleiskatsauksen nykypaivan geodesiasta ja käytännön maanmittauksesta. Kurssin jälkeen opiskelija osaa selostaa Maan muoto ja sen määritys, sekä ymmärtää geodeettisten koordinaattien alkeet. osaa ratkaista geodesian pää- ja käänteistehtävä ja suorittaa yhdenmuotoismuunnos (Helmert-muunnos), kaikki 2D-tasossa. ymmärtää miten käsitteet geodeettinen korkeus, geopotentiaali, geoidi ja vertausellipsoidi liittyvät toisiinsa. osaa selostaa eri runko- ja kartoitusmittausmenetelmät. Kurssin harjoitusten jälkeen opiskelija osaa käsitellä teodoliitit, takymetrit, vaaituskojeet ja GPS-antennit ja suorittaa yksinkertaisia laskentoja mittausdatan perusteella. Sisältö Geodesian historia, Maan muoto ja painovoima, ellipsoidi, koordinaatit ja korkeudet, kkj - ja EUREF-FIN vertausjärjestelmien ja karttaprojektioiden alkeet; mittaamisen alkeet, yksiköt, virheet; Helmert-muunnokset, geodesian pää- ja käänteistehtävä; vaaituskojeet ja -menetelmät, korkeusjärjestelmät, geoidi; teodoliitit ja takymetrit, kulmamittaukset; etäisyydenmittaus, heijastimet, säteen kulku ilmakehässä; runko- ja kartoitusmittauksen menetelmät; pinta-ala- ja massalaskenta. Esitiedot Ei ole. Korvaavuudet Kohderyhmä Suoritustavat Kokonaissuoritus koostuu tentistä (tai luentokuulustelusta), laskuharjoituksista, laboratorioharjoituksista, sekä kenttäharjoituksista.. Työmäärä toteutustavoittain Luennot 12 2 t = 24 t Materiaalin itsenäinen opiskelu 34 t Laskuharjoitukset 4 2 t = 8 t (itsenäinen työskentely) Laboratorioharjoitukset 4 2 t = 8 t Kenttäharjoitukset 1 4 t = 4 t Luentokuulustelu2 t Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste. Opetuskieli Suomi

4 Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309, Vastaanottoajat Sovitaan CEFR-taso Lisätietoja ii

5 Sisältö 1 Geodesian historia ja peruskäsitteet Maan muoto, aikaiset käsitykset Newtonin lait ja maan muoto Maan matemaattinen muoto eli geoidi Geodeettinen viiva Maan litistyneisyys ja painovoima Vertauspinnat ja vertausjärjestelmät Koordinaatit geodesiassa Karttaprojektiot Korkeus geodesiassa Karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät Geodesian osa-alueet Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Mittausyksiköt Mittausvirheet ja epävarmuus Stokastiset suureet Tilastolliset jakaumat Geodeettiset mittaustyypit Maastomittaus: maastosta kartaksi Yhdyskuntasuunnittelu Maastomittauksen tehtävät Maastomittauksen lopputulos Koordinaatit, muunnokset, datumit Avaruus- ja tasokoordinaateista Karttaprojektiot Tasokoordinaatit Geodeettinen päätehtävä Geodeettinen käänteistehtävä Erilaisia geodeettisia koordinaatistoja Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos iii

6 Sisältö 3.8 Datumit ja datum-muunnokset Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Ortometrinen korkeus Korkeudenmääritys ja vaaitus Vaaituskojeet Mittauskaukoputki Tasain Vaaituskojeen tarkastus ja säätö Itsetasautuvat kojeet Digitaalivaaituskojeet Vaaituslatat Vaaitusmenetelmät Teodoliitit ja kulmamittaukset Vaaka- ja pystykulmat Teodoliitin akselit Teodoliitin rakenteelliset osat Teodoliitin käsittely maastossa Havaintojen lukeminen Elektroniset teodoliitit Teodoliitin kojevirheet Vaakakulmamittaus Pystykulmamittaus Pystykulmat ja refraktio Kojeen ja tähyksen korkeushavainnot Case: Leica robottitakymetri TCA Etäisyysmittaus Mekaaninen etäisyysmittaus Sähkömagneettinen säteily Väisälä-interferometria Elektroninen etäisyysmittaus Säteen kulku ilmakehässä Geometriset reduktiot Yhteenveto Runko- ja kartoitusmittaus Runkomittauksen tehtävä ja suunnittelu Standardit ja ohjeet Verkkohierarkia ja -luokitus Kartoitusmittaus ja sen menetelmät Kartoitusmittauksen suorittaminen Rakentamisen mittaukset Ohjeet ja standardit Kaavat ja maastoonmerkintä Tekninen suunnittelu ja rakentaminen iv

7 Sisältö 8.4 Suorat, ympyränkaaret, kulmien pyöristys Siirtymäkaaret Numeeriset maastomallit ja määrälaskenta Mittaus, muodostaminen, esitystapa Sovelluksia Pinta-alojen laskenta Tilavuuksien laskenta Kirjallisuutta 161 Hakemisto 162 A Matriisien ominaisuudet 171 v

8

9 1 Geodesian historia ja peruskäsitteet 1.1. Maan muoto, aikaiset käsitykset Perinteisissä yhteiskunnissa vallitseva käsitys maan muodosta oli epäilemättä, että maa on pannukakku ja taivas kupu sen yläpuolella, jonka sisäpinnalla taivaankappaleet kiertävät monimutkaisissa radoissaan. Myös lapsilla on yleensä samanlainen käsitys. Vasta kouluopetuksen myötä tämä naiivi maailmanmalli väistyy. Psykologisesti, lapsen kehityksen kannalta, tämä ei ole mitenkään helppo prosessi; varmaan yhtä vaikea kuin se oli aikanaan koko yhteiskunnalle tieteen historiallisen kehityksen vaiheena. Kuitenkin jo muinaiset helleenit olivat tietoisia Maan pallonmuodosta. Ennakkoluulottomia kuin olivat, he olivat havainneet miten täydellisen kuunpimennyksen aikana maapallo heitti varjonsa Kuun pintaan. He havaitsivat myös, että kuunpimennys joka oli Välimeren toisessa päässä korkealla taivaalla, tapahtui toisessa päässä lähellä horizonttia. Olettaen, että oli kyse samasta tapahtumasta, seurasi tästä, että Maan pinta oli oltava ainakin länsi-itä-suunnassa kaareva. Eratosthenes eli e. Kr. Hän oli ensimmäinen, joka mittasi maapallon koon eli säteen olettamalla että se olisi pallon muotoinen. Mittauksen periaate on sama kuin astemittauksessa: Mitataan tietyn kaaren pituus maan päällä geodeettisin keinoin, ja pisteiden välinen luotiviivojen suuntaero tähtitieteellisin keinoin. Kaaren pituudesta l ja luotiviiva-erosta γ saadaan Maan säteeksi: R = l γ. Kuva 1.1.: Kuunpimennys. Ympyrän muotoinen varjo näyttää, että Maa on pallo 1

10 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Auringon suunta γ luotiviiva N Aleksandria l päiväntasaaja O Syene Kuva 1.2.: Eratostheneen astemittaus S Ks. Kuva 1.2. Tietoa luotiviivan suunnasta saatiin keskikesän Auringosta, joka Syenessä (nyk. Assuan) näkyi kaivon pohjalta. Aleksandriassa Aurinko ei silloin ollut zeniitissä vaan n. 1 /50 osa ympyrää etelämpänä. Eratosthenes sai maapallon säteeksi 6267 km aika lähellä nykyarvoa 6371 km. Lisätietoja löytyy kirjasta Torge [1980, sivu 4]. Kolmiomittauksen periaate, että kolmioista koostuvan verkon geometria on täysin tunnettu, jos kolmioiden kulmien lisäksi mitataan vain yksi etäisyys, keksi luultavasti Gemma Frisius v [Crane, 2002, s ]. Menetelmä sovellettiin käytännössä ensimmäisenä myös Alankomaissa käyttäen hyvinvoivan, mutta litteän maan runsaita kirkontorneja. Snellius (Willebrord Snell van Rooyen, ) oli ensimmäinen joka käytti kolmiomittausta kaaren pituuden l määrittämiseksi. Mittaamalla verkossa vain kulmia yhden tunnetun etäisyyden lisäksi, hän onnistui määrittämään kahden kaupungin, Bergen op Zoomin ja Alkmaarin, välisen etäisyyden, vaikka kaupunkien välillä on Reinin suiston leveitä jokihaaroja. Ks. kuva 1.3. Kolmiomittauksen salaisuutena on, että kulmamittausten avulla voi rakentaa, joko laskennallisesti tai graafisesti, koko verkon mittakaavamalli, jossa kaikki suhteet ovat oikeita. Oikean mittakaavan määrittämiseksi riittää, että yksi mallissa oleva pituus mitataan myös todellisuudessa. Snelliuksen tapauksessa tämä oli etäisyys pq, niityllä Leidenin lähellä oleva, vain 326 roedenin perusviiva. Tähtitieteellisen paikanmäärityksen avulla saadaan mitatuksi kahden paikan luotiviivojen suuntien välinen ero, ks. kuva 1.4. Kun matkustetaan meridiaania pitkin etelä-pohjoissuunnassa, muuttuu paikallisen luotiviivan absoluuttinen suunta eli suunta tähtitaivaan nähden. Myös paikallinen horisonttitaso, joka on aina kohtisuora luotiviivaa eli paikallista painovoi- 2

11 1.1. Maan muoto, aikaiset käsitykset Pohjantähti Alkmaar Luotiviiva Alkmaar Amsterdam Leiden W Suurennusverkko V S Haag Perusviiva pq Rotterdam Gouda Utrecht Kaaren pituus Dordrecht Pohjantähti Breda Bergen op Zoom Luotiviiva Bergen op Zoom Kuva 1.3.: Snelliuksen astemittaus. Perusviiva pq on roedenin (1229 m) pituinen. Se johdettiin paikallisen suurennusverkon kautta ainoasta verkossa mitatusta pituudesta, roedenin (328 m) pituisesta alkuperäisperusviivasta (henkilök. tied. L. Aardoom) man suuntaa kohtaan, kääntyy saman verran kun matkustetaan etelä-pohjoissuunnassa tai mihin suuntaan tahansa. Maan pyörähdysakselin suunta avaruudessa on hyvin vakaa (gyroskooppi-ilmiö). Se osoittaa taivaalla paikkaan, jonka läheltä löytyy tähti α Ursae Minoris eli Pohjantähti. Tähden avulla löytyy pohjoisen suunta. Paikan leveysastetta Φ saadaan määrittämällä tähtitieteellisesti tämän ns. taivaannavan korkeutta horisontin yläpuolella. Tämä käy helpoimmin juuri Pohjantähden avulla. Mittaamalla näin tähtitieteellisin keinoin Alkmaarin ja Bergen op Zoomin luotiviivojen välinen suuntaero ja yhdistämällä se kolmiomittauksesta saadun metrisen etäisyyden kanssa, Snellius sai määritetyksi Maan kaarevuussäde. Menetelmä kutsutaan astemittaukseksi. 3

12 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet α UMi (Pohjantähti) Pohjois napa d Napakorkeus Luotiviiva R Horisonttitaso ϕ Kuva 1.4.: Luotiviivojen suunta-eron ϕ määritys tähtitieteellisesti. Suunta-erosta ja metrisesta etäisyydestä d voidaan laskea Maan kaavevuussäde R = d / ϕ Newtonin lait ja maan muoto Maan muodon ymmärtäminen teki suuri harppaus eteenpäin, kun Sir Isaac Newton julkaisi 1687 Pääteoksensa Principian (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Luonnonfilosofian [fysiikan] matemaattiset perusteet ). Tässä opuksessa hän loi koko klassisen mekaniikan, mukaanlukien taivaanmekaniikan perusteet. Yleinen gravitaatiolaki: Kahden massan m 1, m 2 välillä toimii vetovoima, jonka suuruus on F = G m 1m 2, r12 2 missä r 12 on massojen välinen etäisyys. Tämä vetovoima toimii kaikkien kahden massan välillä. Siis maapallo ei vain vedä Kuuta ja Aurinko maapalloa, vain Kuu vetää myös maapalloa jne. Geofysiikassa taas tiedetään, että vetovoima toimii myös kaikkien maan eri osien välillä: meri, ilmakehä, vuoristot vaikuttavat kaikki Maan ympäröivään painovoimakenttään. Ja, koska maapallomme koostuu aineista, jotka joskin vähemmän tai enemmän vastahakoisesti deformoituvat ulkoisen voiman vaikutuksesta, muovaa gravitaatiovoima myös maapallon fysikaalista muotoa. Principiassa Newton laski kuuluisten lakiensa avulla, että homogeeninen, nestemäinen, tasapainotilassa olevan, kerran 24 tunnissa pyörivä maapallo, jonka nestealkioiden välillä toimii gravitaatiovoima, olisi keskipakoisvoiman vaikutuksesta navoiltaan litistynyt pyörähdysellipsoidi (kuva 1.6). Litistyneisyyden (litistyksen) määritelmä on f = a b a, missä a ja b ovat pitkä ja lyhyt akselipuolukkaat, toisin sanoen, ekvatoriaali- ja polaarisäde. 4

13 1.2. Newtonin lait ja maan muoto Newton: 1/230 Massa tasaisesti jakautunut Nykykäsitys: 1/298 Tiheämpi ydin vaipan keskellä, ohut kuori (vihreä) Huygens: 1/578 Kaikki massa ytimessä Kuva 1.5.: Maapallon eri massajakautumamallit ja lasketut litistysarvot Newton laski litistyneisyyden teoreettiseksi arvoksi f = 1 /230. Olettamus, että maapallo on sisällä tiheydeltään homogeeninen, ei ole oikea. Huygens laski v. 1690, olettamalla että maapallon koko massa on keskittynyt sen keskipisteeseen, että litistyneisyys olisi f = 1 /578. Kuten nykyisin tiedetään on totuus näiden kahden ääriarvon välillä: maankuoren tiheys on luokkaa 2.7 g cm 3, sen alla olevan vaipan tiheys on g cm 3, ja Maan rautaytimen tiheys on g cm 3 ; koko maapallon keskimääräinen tiheys on n. 5.4 g cm 3. Eli, vaikka tiheys kasvaakin rajusti Maan keskipisteeseen mennessä, on kuitenkin huomattava osa Maan massasta kaukana sen keskipisteestä. Newtonin aikana oli vaikutusvaltaisia tiedemiehiä, mm. tähtitietelijä Jean Dominique Cassini, jotka uskoivat, että maapallo oli itse asiassa pitkistynyt rugby-pallon tapaan, b > a, eikä litistynyt. Kysymykseen oli etsittävä empiirinen ratkaisu! Litistyneisyysongelma jäi ratkaisematta, kunnes puoli vuosisata myöhemmin Ranskalainen tiedeakatemia järjesti kaksi retkikuntaa, toinen Suomen Lappiin ( ), toinen Etelä- Amerikkaan Peruun ( ). Retkikuntien tehtävänä oli mitata maanmittaus- ja tähtitieteen mittauskeinoin yhden asteen kaaren pituus kahdella eri leveysasteella, toinen päiväntasaajan lähellä Perussa, toinen pohjoisnavan lähellä Lapissa Tornionlaaksossa. Kyse oli siis samanlaisesta astemittauksesta kuin se, joka Snellius suoritti yli vuosisataa aikaisemmin. Mittausten idea on kuvattu kuvassa 1.6. Tähtitieteellisten mittausten avulla perustetaan perusviiva pohjois-eteläsuunnassa, jonka päätepisteiden luotiviivojen suunnat eroavat toisistaan yhden asteen verran. Maan päällä mitataan, paljonko on pisteiden välinen etäisyys metreissä 1. Jos Newton oli oikein, asteen pituus pohjoisnavan lähellä tulisi olemaan suurempi kuin päiväntasaajan lähellä; toisin sanoen, maan kaarevuussäde on navoilla pidempi kuin ekvaattorilla: r L > r P. Molempien retkikuntien mittausten tulokseksi saatiin empiirinen litistyneisyysarvo f = 1 /210. Mainittakoon vertailun vuoksi, että nykyisin hyväksytty arvo Maan litistyneisyydelle on f = 1 / Oikeastaan Ranskalaisen tiedeakatemian mittauksissa käytettiin toise mittausyksikkönä, koska metri ei ollut vielä keksitty. 5

14 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Asteen pituus Perussa Meridiaani r L Asteen pituus Lapissa b r P a a Kuva 1.6.: Pyörähdysellipsoidin parametrit Kittisvaara Meridiaani Pullinki Napapiiri Ylitornion pappila perusviiva Luppio Poiki-Torni Aavasaksa Huitaperi Niemivaara Horilankero Lapin astemittaus Kaakamavaara Nivavaara Perun astemittaus Tornio Kuva 1.7.: Ranskalaisen tiedeakatemian astemittausprojekti; Lapin astemittauksen verkko 6

15 1.3. Maan matemaattinen muoto eli geoidi Kuva 1.8.: Struven ketjun pohjoisin piste Fuglenesissa, Norjassa ( c Wikimedia Commons) Pierre L.M. de Maupertuis n johtaman retkikunnan seikkailuista Tornionlaaksossa v on laajasti kirjoitettu; tutustua kannattaa esim. Rovaniemen kaupungin varsin kauniiseen www-sivustoon ( Myöhemmistä astemittauksista voidaan mainita Friedrich Georg Wilhelm von Struven Venäläis-pohjoismaalainen astemittaus ( Struve-ketju ) ( org/wiki/struven_ketju). Joitakin ketjun pisteitä on säilynyt Suomen alueella Maan matemaattinen muoto eli geoidi Luotiviivan suunnan vaihtelu paikasta toiseen kaarta pitkin voidaan siis käyttää Maan todellisen muodon selvittämiseksi. Edellisessä osassa kuvattiin, miten Ranskalaisen tiedeakatemian astemittausprojekti käytti sitä ilmiötä hyväksi Maan muodon määrittämiseksi, olettaen, että se olisi pyörähdysellipsoidin muotoinen. Tarkempien geodeettisten mittausten avulla huomattiin, että tämä oletus ei tarkasti pidä paikkansa. Jo Perun mittauksen yhteydessä Pierre Bouguer huomasi, että luotiviivan suunnalla Andes-vuorten molemmilla puolilla oli taipumus poiketa vuoristoon päin, ja hän tulkitsi tätä oikein vuoriston Newtonin mukaisen gravitaation eli vetovoiman ilmaisuksi. George Everest Intiassa huomasi samaa ilmiötä Himalaijien lähistöllä. Geodeettisten mittausten 7

16 Meri 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Geoidi Topografia (maasto) Luotiviiva Luotiviivan suunta Manner Vertausellipsoidi Keskimerenpinta Kuva 1.9.: Luotiviivan poikkeamat ja geoidin muoto ja etenkin tähtitieteellisten luotiviivan määritysten edetessä syntyi käsitys, että maan muoto on epäsäännöllinen. Puhuttiin maan matemaattisesta muodosta eli geoidista (J.F. Listing, 1873), keskimerenpinnan jatkeesta mannermassojen alle, pinta joka on kaikkialla kohtisuora luotiviivoja kohtaan, ja jonka mukaiseksi lepotilassa oleva neste (esim. merivesi) asettuisi. Ks. kuva 1.9. Vuonna 1862 preussilaisen J.J. Baeyerin johdolla perustettiin Mitteleuropäische Gradmessung, josta myöhemmin kehittyi maailmanlaajuinen järjestö IAG (International Association of Geodesy). Sen tehtävänä oli määrittää Maan muoto, etenkin Euroopan alueella, ja yhdistää Euroopan geodeettiset verkot yhdeksi verkoksi. Tätä päämäärää saavutettiin vasta vuonna 1950, kun ensimmäinen yhteiseurooppalainen verkkotasoitus ED50, European Datum 1950 ) valmistui. Myös muualla maailmassa mitattiin mannerlaajuisia kolmioverkkoja, mm. Pohjois-Ameriikassa, Maan muodon ja Maan pinnalla olevien pisteiden sijainnin määrittämiseksi. Maan yleisen muodon ja litistyneisyyden määrittäminen tarkasti maan pinnalta, klassisin geodeettisin menetelmin, on kuitenkin vaikea, mm. koska mannerkohtaisten verkkojen yhdistäminen toisiinsä ei onnistu. Vasta satelliitit ovat tuoneet tähän apua. Satelliitimenetelmät ovat antaneet mm. tarkat tiedot Maan litistyneisyydestä käyttämällä hyväksi ilmiön aiheuttamat satelliittiratahäiriöt. Jo muutama viikko Sputnikin laukaisun jälkeen oli käytettävissä hyvin paljon tarkempi litistyneisyysarvo, ja amerikkalaisen Vanguard 1 -satelliitin ansiosta todettiin maapallo päärynänmuotoiseksi tosin hyvin, hyvin vähän Geodeettinen viiva Tasossa lyhyin matka kahden pisteen välillä on suora. Pallon tai pyörähdysellipsoidin kaarevassa pinnassa lyhyin matka on käyrä. Pallon tapauksessa se on suurympyrän kaari; ellipsoidin tapauksessa se on lievästi S-muotoinen pintakäyrä. Kuva 1.10 kuvaa tätä yleistä käsitystä lyhyin matka pinnan sisällä eli geodeettinen viiva. Huomaa, että sekä tasopinnan että pallopinnan tapauksessa päätepisteiden A ja B luotiviivat 8

17 1.5. Maan litistyneisyys ja painovoima A B B B A A Kuva 1.10.: Geodeettinen viiva tasossa, pallolla ja pyörähdysellipsoidilla. Nuolet kuvaavat paikallinen normaali pintaa kohtaan eli normaalit pintaa kohtaan ovat yhteysviivan kanssa samassa tasopinnassa, normaalileikkauksessa. Pyörähdysellipsoidin tapauksessa ei kuitenkaan ole näin: yleisesti ei ole olemassa normaalileikkaus joka sisältää molemmat normaalit. Perinteiset geodeettiset mittausverkot Maan pinnalla, esim. kolmiomittausverkot, voidaan katsoa koostuvan mittausviivoista jotka ovat geodeettisia viivoja jollakin vertauspinnalla, yleensä vertausellipsoidilla Maan litistyneisyys ja painovoima Kuten yllä kuvattiin, jo kreikkalaisilla oli tiedossa maapallon pallon muoto ja jopa likimääräinen koko ja 1700-luvun aikana kehittyi idea maapallon litistyneisyydestä eli pyörähdysellipsoidista Maan muodon kuvaajana. Tähtieteilijät havaitsivat Jupiterin litistyneisyyttä ja selittivät sen oikealla tavalla planeetan suuren pyörähdysnopeuden aiheuttamana dynaamisena ilmiönä. Litistyneen maapallon pinnalla tietysti myös painovoiman pitää vaihdella leveysasteen mukaan; näin havaittiinkin heilurikellon avulla, jonka heiluria piti lyhentää matkustettaessa Cayenneen (Jean Richer, 1672), jotta kello olisi käynyt oikein. Painovoima on päiväntasaajan lähellä heikompi kuin Ranskassa. Newton ja Huygens laskivat teoreettisesti maapallon litistyneisyyden f = (a b) /a arvon, missä a ja b ovat pitkä akselipuolikas ja lyhyt akselipuolikas, eli ekvatoriaalinen ja napasäde. A.C. Clairaut toisaalta johti kuuluisan yhtälönsä joka antaa yhteyden litistyneisyyden f ja painovoima-litistyneisyyden β = (γ b γ a)/γ a välillä. Tässä γ α ja γ b ovat painovoimakiihtyvyydet päiväntasaajalla ja navoilla. Clairaut n lauseen likimääräinen mutta elegantti muoto 2 Käytännössä mittauskojeet ja tähykset eivät koskaan sijaitse tarkasti vertauspinnalla, vain jokin matka sen ylä- tai harvemmin alapuolella. Silloin on suoritettava raakahavaintojen reduktio tähän vertauspintaan. 9

18 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet on f + β = ω2 a γ a, missä ω on Maan pyörähdysliikkeen kulmanopeus Vertauspinnat ja vertausjärjestelmät Korkeuksien vertauspintana käytetään yleisesti geoidia eli se Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipintaa, joka on maailmanlaajuisesti keskimäärin samalla tasolla kuin keskimerenpinta. Tämä on siis tasapainopinta jonka merivesi saavuttaisi, jos ei olisi virtauksia, suolaisuus- ja lämpöeroja, ilmanpainevaihteluja jne. Eri maiden vaaittuja korkeuksia voidaan ymmärtää korkeuksina tämän geoidipinnan yläpuolella. Käytännössä korkeusarvot saadaan kuitenkin rannikolta sisämaahan suoritettujen vaaitusten avulla. Geoidista ja korkeuksista lisää luvussa 4. Avaruusgeometrinen mittausmenetelmä, kuten GPS, antaa mahdollisuuden laskea pisteen korkeus vertausellipsoidista, koska tämä on puhtaasti matemaattisesti määritelty, säännöllinen pinta avaruudessa. Vertausellipsoidi on muutenkin hyvä maapallon todellisen muodon approksimaatio, jota on perinteisesti myös käytetty vertauspintana kansallisten tai mannerlaajuisten kolmioverkkojen tasoituksissa. Hyvin pienellä alueella moneen tarkoitukseen kelpaa edelleen litteän maan approksimaatio eli oletus että Maan kaarevuutta voi jättää huomioimatta. Pisteiden sijaintia voi kuvata kahdella tasokoordinaatilla ja korkeutta yhdellä korkeuskoordinaatilla, pystyetäisyys metreinä vertaustasosta. Sovelluksesta riippuen pieni alue voi olla kaupunki tai koko Suomi tai joissakin erikoistilanteissa jopa Euroopan kokoinen alue Koordinaatit geodesiassa Geodesiassa käytetään maan muodon ja koon kuvaamiseksi ja maan pinnalla ja sen ympäristössä olevien pisteiden paikkojen määrittämiseksi koordinaatteja. Geodesiassa käytetyt koordinaattijärjestelmät ovat yleensä kolmiulotteisia, koska Maapallo elää kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkinä mainittakoon leveys- ja pituusaste ja korkeus (ϕ, λ, H), joiden avulla saadaan pisteen sijainnin kuvatuksi intuitiivisellä tavalla. Kaksiulotteiset koordinaattijärjestelmät ovat oikeastaan karttaprojektiokoordinaatteja eli johdannaissuureita, eikä geodesian suoran kiinnostuksen kohtana. Ne kuuluvat lähinnä kartografian alaan, vaikka niitä käytetään sovelletussa maanmittauksessa varsin laajasti. Esim. vanhemmilta Suomen topografikartoilta löytyy kkj-koordinaatteja, jotka ovat karttatasossa (siis karttalehdeltä) suoraan viivoittimellä mitattavat (x, y)-koordinaatit. Avaruuskoordinaattien lisäksi käytetään tietenkin myös aikaa (muutosprosessien kuvaamiseksi) ja fysikaalisessa geodesiassa eräänlaisena koordinaattina geopotentiaalia, eli Maan painovoimakentän potentiaali, ks. luku

19 1.7. Koordinaatit geodesiassa Paikkakoordinaatit Kolmiulotteiset koordinaatit voivat olla suorakulmaisia tai ellipsoidisia. Yleisin koordinaattijärjestelmä on kolmiulotteinen, suorakulmainen (X, Y, Z)-järjestelmä. Usein se on myös geosentrinen. Geosentrisyys tarkoittaa kirjaimellisesti, että origo on Maan massakeskipisteessä (tietyllä tarkkuudella). Tämän lisäksi yleensä geosentrisen järjestelmän Z-akseli on maan pyörähdysakselin eli taivaan (pohjois-)navan suuntainen. Geosentrisessa koordinaattijärjestelmässä X-akselin suunta on periaatteessa mielivaltainen eli konventionaalisesti sovittu. Maan pinnan geosentrisissä järjestelmissä käytetään kansainvälisenä standardina Greenwichin observatorion läpi kulkeva meridiaani X-akselin suuntana 3. X-akseli on sekä Greenwichin meridiaanitasossa että ekvaattoritasossa, siis kohtisuorassa Z- akselia kohtaan. Y -akseli puolestaan on kohtisuorassa Z- ja X-akselia kohtaan, eli kaikki kolme akselit ovat kohtisuoria toistensa kohtaan. Ks. kuva Kolmiulotteiset, suorakulmaiset koordinaatit X, Y ja Z ovat ehkä yleispäteviä, mutta valitettavasti eivät kovin intuitiivisia. Esim. Metsähovin tutkimusaseman GPS-antennin koordinaatit ovat (EUREF-FIN järjestelmässä; EUREF on eräs Euroopassa laajasti käytetty geosentrinen järjestelmä): X = m Y = m Z = m Luvut ovat mielenkiintoisen näköisiä, mutta eivät anna kovin valaisevaa, kansantajuista vastausta kysymykseen missä on Metsähovi?... Ensimmäinen askel käytännöllisempiin koordinaatteihin on ellipsoidiset koordinaatit. Konstruoidaan matemaattisesti vertausellipsoidi, sopivasti litistynyt pyörähdysellipsoidi jonka mitat ovat kohtuullisen lähellä maapallon todellisia mittoja 4. Piste projisoidaan ellipsoidin normaalin mukaan pintaan; projektioetäisyys h on ellipsoidinen korkeus, projektioviivan eli ellipsoidin normaalin 5 suuntakulmat ϕ, ellipsoidinen leveysaste päiväntasaajalta laskettuna, ja λ, ellipsoidinen pituusaste, laskettuna Greenwichin meridiaanista. Kolmikko ϕ, λ, h kutsutaan ellipsoidisiksi koordinaateiksi. Metsähovin ellipsoidiset koordinaatit ovat esimerkiksi: ϕ = λ = h = m... ja tämä kertoo ihmisille jo aika paljon enemmän pisteen sijainnista! 3 Washingtonin sopimus v teki Greenwichin meridiaanista maailman nolla- eli vertausmeridiaani. Samalla hyväksyttiin maailmanaika eli universaaliaika: Greenwich Mean Time, GMT. Kaikkien maiden siviiliajat eroavat GMT:stä tietyllä kokonaistuntien määrällä, joka Suomessa on +2 t (talvella, EET) tai +3 t (kesällä, EEST). Ilman tätä aikavyöhykejärjestelmää kansainvälinen kanssakäyminen (merenkulku, ilmailu, puhelin) olisi hankala. Ks. 4 Esim. GRS80 vertausellipsoidi: ekvatoriaalisäde m, polaarisäde m (siis: n. 21 km vähemmän) ja litistyssuhde 1: Huomaa, että ellipsoidin normaali ei yleisesti mene ellipsoidin keskipisteen läpi! Ks. kuva

20 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Kuva 1.11.: Greenwichin meridiaani. c Wikimedia Commons Huomaa, että suorakulmaisten ja ellipsoidisten koordinaattien välillä on yksinkertainen matemaattinen yhteys: ne voidaan muuttaa toisiinsa tarkkuutta menettämättä, eli ne ovat samanarvoisia 6 pisteen sijainnin esitystapoja: (X, Y, Z) kaava kaava 1 (ϕ, λ, h)... ja molemmat geosentrisia ja kolmiulotteisia. Niiden väliset erot ovat: Suorakulmaiset koordinaatit on helpompaa käsitellä numeerisessa työssä. Ellipsoidiset koordinaatit ovat intuitiivisempia, ihmisläheisempiä. Geosentristen koordinaattien lisäksi tavataan usein toposentrisia koordinaatteja, eli koordinaatteja laskettu jonkun paikallisen origon suhteen. Toposentrisia koordinaatteja saadaan luonnollisella tavalla mittauksista, missä mittauspisteestä tulee koordinaatiston origo: Mitataan suunta (atsimuti eli vaakasuuntakulma ja korkeuskulma horisontin yläpuolella) ja etäisyys lähtöpisteestä mittauspisteisiin. 6 Eli, jos (X, Y, Z) on annettu, voidaan (ϕ, λ, h) laskea tarkasti ja päinvastoin. 12

21 1.8. Karttaprojektiot Pohjoisnapa Z h P Ellipsoidinen normaali. λ ϕ.. Greenwichin meridiaani Kuva 1.12.: Suorakulmaiset ja ellipsoidiset koordinaatit. ϕ X.. Y Greenwichin observatorio Aikakoordinaatti Geodesiassa käytetään kuitenkin enemmän kuin kolme koordinaattia. Yksi tärkeä koordinaatti on nykyisin aika, joka kuvaa maassa tapahtuvia muutoksia. Nykyisella mittaustarkkuudella maapallo ei ole suinkaan vakio, se elää ja muuttuu jatkuvasti: Kiinteän maan vuoksi. Liike on muutama desimetri, pääjakso 12 tuntia. Laattatektoniikka. Kaikki mannerlaatat liikkuvat muutaman cm:n vuosinopeudella, liike joka nykyteknologian avulla voidaan varsin tarkasti seurata. Epäsäännöllinen pyörähdysliike. Satelliitti- ja avaruustekniikan avulla voidaan havaita ja seurata sekä pyörähdysakselin liikkeet kiinteän maan suhteen (napaliike) että tähtitaivaan suhteen (prekessio, nutaatio), sekä pyörähdysnopeuden vaihtelut (LOD, Length of Day). Postglasiaalisia palautusliikkeitä mm. Fennoskandiassa. Muita paikallisia liikkeitä, osin ihmistoiminnan aiheuttamia. Tieteenhaara, joka tutkii näitä maan muodonmuutoksia, on geodynamiikka Karttaprojektiot Vaikka ellipsoidiset koordinaatit ovat jo aika paljon käyttökelpoisempia kuin suorakulmaiset loppukäyttäjän kannalta, on niissä vielä parantamisen varaa. Tässä tutkitaan, miten voidaan tuottaa ihmisläheisempiä koordinaatteja. Menetelmä on karttaprojektio. Jo vanhastaan on ollut tapana kuvata maan pinta kaksiulotteiseen tasoon eli karttaan. Kartografia on tämän taidon ympärille muotoutunut tieteenala. Mikäli kuvatta alue on pieni, on kuvaustapa suoranainen ja virheetön: paikalliset vaakatason maisemakoordinaatit x, y voidaan kuvata mittakaavan kautta paperikarttatasoon. Puhutaan plan-kartasta. Useammissa maissa, myös Suomessa, x osoittaa pohjoiseen ja y itään. 13

22 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet x ϕ λ y Kuva 1.13.: Maan kaarevan pinnan kuvaaminen karttatasoon eri projektioiden avulla. Aina jotain vääristyy! Suuremmilla alueella käytetään karttaprojektio, matemaattinen menetelmä pisteen sijainnin eli latitudin ja longitudin (ϕ, λ) kuvaamiseksi karttatasoon. Näin voidaan piirtä maan pinnasta graafinen esitys paperille, kartta. Monet digitaaliset sovellukset mm. CAD-ohjelmat jotka eivät varsinaisesti edes edellytä paperikartan käyttöä, perustuvat kuitenkin intuitiiviseen karttatason käyttöön. Yksinkertaisimillaan käytetään ϕ ja λ suoraan karttakoordinaatteina x ja y (eli x = Sϕ, y = Sλ, S mittakaava). Tämä on onneton ratkaisu, koska ϕ ja λ ovat asteissa, kulmayksiköissä, kun karttakoordinaatit on oltava metrisissä yksiköissä λ:ssä yksi aste vastaa kilometrimäärään, joka vähenee napoja kohti. Helsingin leveydellä yksi pituusaste on vain 55 km kun päiväntasaajalla se on 111 km. Hieman parempi ratkaisu on käyttää (ϕ, λ sin ϕ). Parempia ratkaisuja tarjoaa karttaprojektio-oppi. Näin voidaan kuvata ellipsoidipinnan parametripari (ϕ, λ) karttatasoon (x, y) järkevällä tavalla. Valitettavasti menetelmä joka kuvaa kaiken täsmälleen oikein ei ole olemassa. Aina jotain vääristyy. Jos kulmat ja etäisyyksien suhteet säilyvät, puhutaan konformisesta projektiosta. Tässä tapauksessa sekä lineaarinen mittakaava (etäisyydet) että pinta-alojen mittakaava vääristyvät, paitsi joissakin kartan erikoispisteissä. Jos pinta-ala säilyy, puhutaan ekvivalentista projektiosta. Tässä kulmat ja muodot väärentyvät, taas erikoispisteitä lukuunottamatta. Jos etäisyydet säilyvät, puhutaan ekvidistantista projektiosta. Projektio voi olla ekvidistantti vain tietyilla linjoilla, ei kaikkialla. Navigoinnissa on tärkeä, että kompassisuunnat säilyvät. Mercator-projektiolla on tämä ominaisuus. Jos suurympyrät kuvautuvat suoriksi, on kyse gnomonisesta projektiosta. Niitä käytetään ilmailussa ja meteorihavaintojen yhteydessä lentokoneen polku Maapallon pinnalla tai meteorin polku taivaalla kuvautuu suoraksi viivaksi. 14

23 1.9. Korkeus geodesiassa On tärkeä ymmärtää, että ei ole olemassa oikea projektio! Valinta riippuu täysin käyttötarkoituksesta ja hyväksyttävissä olevista vääristymistä. Tavallaan ne ovat kaikki vääriä. Toisaalta ne ovat kaikki myös käyttökelpoisia. On myös tärkeä painottaa, että karttakoordinaatit (x, y) eivät varsinaisesti ole geodeettisia koordinaatteja! Alkuperäiset geodeettiset koordinaatit ovat aina kolmiulotteisia. Karttaprojektiokoordinaatit ovat johdannaissuureita Korkeus geodesiassa Geopotentiaali Geodesiaan kuuluu fysikaalinen geodesia, Maan painovoimakentän ja painovoimapotentiaalin tutkimus. Geopotentiaali W voidaan kutsua viides koordinaatti (kolmen paikkakoordinaatin X, Y, Z ja ajan jälkeen), joka kuvaa pisteiden energiatila suhteessa merenpintaan. Tämä vastaa populaarikäsitteeseen korkeus. Meillä on tapana ilmaistaa korkeus metrisena suureena, mikä on useimmiten sopiva päivittäisessä elämässä... mutta mitä oikein kiinnostaa meitä on korkeuteen liittyvä, potentiaalinen, energia. Painovoiman vaikutus kaikkeen päivittäiseen toimintaan on niin vahva, että korkeudenmääritys eli geopotentiaalin tutkimus, määritys ja esitys muodostaa suuren osan käytännön geodesiaa ja maanmittaustoimintaa. Vesi: korkeus eli potentiaali edustaa energiaa. Energia voidaan ottaa talteen tai varastoida (vesivoima). Kyseessä voi olla myös tuhoisa energia (tulvat) johon on varauduttava. Ilma: Ilman paine- ja tiheystasot seuraavat aika tarkasti geopotentiaalin tasoja. Ilmiö käytetään hyväksi barometrisessa korkeuden määrityksessä. Myös lentokoneet mittaavat korkeuttaan käyttämällä ilmanpaine-antureita. Liikenne: Painovoima vaikuttaa liikenneväylien suunnitteluun. Kaltevuudet eivät saa olla liian jyrkkiä; parasta on mahdollisimman vähäinen potentiaalin eli energiatason vaihtelu koko väylää pitkin. Vesiväylien tapauksessa tämä toteutuu itsestään luonnollisella tavalla. Geopotentiaali liittyy kiinteästi painovoimaan. Geopotentiaalin saman arvon pinnat eli ekvipotentiaalipinnat ovat mitä päivittäisessä elämässä kutsutaan vaakatasoiksi. Vapaasti virtaava neste merivesi, järvivesi, ilma asettuu ekvipotentiaalipinnan mukaiseksi. Meressä hydrostaattinen paine on vakio painovoimakentän ekvipotentiaalipintoja pitkin, samalla tavalla kuin ilmakehässä sekä ilman tiheys ja barometrinen paine 7. Paikallinen painovoima on 1. aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan (myös merenpinta!) 2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eri ekvipotentiaalipinnat ovat Metriset korkeudet Korkeuksia yritetään inhimillistää samanlaisella tavalla kuin karttaprojektioiden kohdalla. Eli keksitään tapa, millä pisteen korkeus merenpinnan yläpuolella voidaan ilmaistaa metrisena suurena, korkeutena H jostain vertauspinnasta, tavallisesti keskimerenpintaa mikäli jätetään huomioimatta meressä ja ilmakehässä olemassa olevat lämpötila-erot ja niiden aiheuttamat virtaukset. 15

24 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Topografinen pinta Geoidi P C Geopotentiaalin tasopinta Ortometrinen H H H dyn Luotiviiva W Normaali Dynaaminen W 0 Kuva 1.14.: Eri korkeustyypit kuvaavat geopotentiaaliluvut C eri tavalla metrisiksi korkeuksiksi (erot liioiteltu) Valitettavasti, aivan kuten karttaprojektioiden tapauksessa, ei ole olemassa ratkaisu joka olisi kaikissa suhteissa tyydyttävä. Aina jotain vääristyy. Samalla tavalla kuin karttaprojektiot, on myös olemassa eri korkeustyypit: ortometriset korkeudet H normaalikorkeudet H dynaamiset korkeudet H dyn, joilla on erilaiset hyvät ja huonot ominaisuudet. Aikaisemmin, geometristen koordinaattien kohdalla (luku 1.7.1), tutustuimme ellipsoidisiin koordinaatteihin, josta yksi oli ellipsoidinen korkeus h. Tämä koordinaatti kuvaa pisteen sijainti pystysuunnassa eli tavallaan sen korkeus. Se on kuitenkin korkeus vertausellipsoidista, pinta joka ei ole päivittäisessä elämässä fysikaalisesti käytettävissä vertauspintana. Se ei myöskään kuvaa energiatasoa merenpintaan verrattuna, kuten H, H ja H dyn (ja C) tekevät. Jos tämä kaikki tuntuu tässä vaiheessa vaikealta ja teoreettiselta, kannattaa palata myöhemmin kurssissa (luku 4.1) tähän lukuun ja lukea se uudelleen Karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät kolmiulotteisessa maailmassa Vaikka todellinen maapallomme ja sen painovoimakenttä ovat kolmiulotteisia ilmiöitä, joita voidaan kuvata ja käsitellä oikein vain kolmiulotteisesti, käytetään kuitenkin hyvin laajasti kuvaustapoja jotka perustuvat kaksi-plus-yksi-ulotteiseen ajatteluun. Kuten karttaprojektiot ja korkeusjärjestelmät, jotka yhdessä kuvaavat maailmaa 2+1 koordinaattin (x, y, H) avulla. Vaikka tässä on kyse kolmesta koordinaatista, ei voida puhua kolmiulotteisista koordinaateista, koska toisaalta x, y ja toisaalta H eivät ole samanarvoisia. Tavallisten ihmisten ja jopa maanmittarien keskellä elää käsiteellinen malli kenkälaatikko-maailmasta : suorakulmainen, sivut pohjois- ja itäsuuntaan ja korkeuskoordinaatti on yksinkertaisesti etäisyys kenkälaatikon pohjalta, keskimerenpinnalta. 16

25 1.11. Geodesian osa-alueet On helppoa tuomita tämä ajattelutapa. Muista kuitenkin, että pienellä alueella kenkälaatikkomalli on (voi olla) hyväksyttävä approksimaatio. Esim. kaupunkien sisällä käytetään plankarttoja ja suorakulmaisia koordinaatteja yleensä ilman pahoja sivuvaikutuksia. Se, onko tämä approksimaatiotaso hyväksyttävä, edellyttää huolellinen analyysi. Mikäli (x, y, H)-esitystapa on hyväksyttävä, on se sijainnin ja korkeuden esitystapana yksinkertaisempia kuin todellinen maan geometria, sijainnin suorakulmaisine geosentrisine koordinaatteineen ja korkeuden geopotentiaalilukuineen. Kuitenkin yleisessä tapauksessa se on itse asiassa monimutkaisempi sijainnin ja korkeuden esitystapa. Karttaprojektioiden ja painovoimakentän monimutkaisuus tunkeutuu kaikkiin näin määritettyihin koordinaatteihin. Väärinkäsityksistä aiheutuvia virheitä on varsin helppoa tehdä. Siksi: Kuviona: Aina tarkassa tieteellisessä työssä geodesiassa pitää pitäytyä geosentrisiin, kolmiulotteisiin koordinaatteihin ja geopotentiaalilukuihin. Tasokoordinaatit (ts. karttaprojektiokoordinaatit) ja metriset korkeudet on aina katsottava johdannaissuureiksi, joiden perusteella ei saisi tehdä tarkkoja laskelmia. (X, Y, Z) (vertausellipsoidi) (ϕ, λ, h) { (ϕ, λ) (x, y) h H missä merkit kuuvaavat käytetyt operaatiot: (karttaprojektio) (korkeustyyppi) (1.1) (Vertausellipsoidi) matemaattinen, exakti operaatio; periaatteessa ellipsoidin valinta mielivaltainen, nykyisin GRS80 tai (Suomessa) vanhempi Hayford eli kansainvälinen ellipsoidi 1924 (Karttaprojektio) matemaattinen, exakti operaatio; monet eri vaihtoehdot (Korkeustyyppi): ortometrinen, normaali (tai niiden kahden variantit) tai dynaaminen. Korkeustyypin lisäksi operaatio tarvitsee geoidimallia, ks. osa 4.1. Kaavassa 1.1 vasemmalla on abstraktimmat suureet, ihmisille vaikeita ymmärtää; oikealla on konkreettisemmat suureet, lähempänä päivittäistä elämää Geodesian osa-alueet Geodesia tieteenä määritellään Maan pinnan mittausten ja kartoituksen tieteenä (Helmert, 1880; ks. Torge [1980]. Tämä määritelmä pitää edelleenkin paikkansa; geodesiaan kuuluu myös valtameren pohjan kartoitus, sekä maan painovoimakentän eli geopotentiaalin määritys. Yhä enenevässä määrin myös maan muodon muutokset ja niiden fysikaaliset mekanismit ovat tulleet osaksi geodesian tutkimuskenttää. Näin ollen geodesia, lähinnä fysikaalinen geodesia, kuuluu geotieteisiin. Kuitenkin geodesia kuuluu selvästi myös teknisiin tieteisiin. Suomessa geodesiaa opetetaan sekä Helsingin yliopistossa (dosentuurin ja tuntiopettajien voimin) että TKK:lla (professuuri, tuntiopettajat). Geodesia voidaan jakaa Torgen mukaan kolmeen osa-alueeseen: 17

26 1. Geodesian historia ja peruskäsitteet Globaalinen geodesia, myös maapallon mittaus (eng. geomensuration, saks. Erdmessung). Tarkemmin: Geodesian tehtävänä on Maan ja muiden taivaankappaleiden muodon ja koon määrittäminen ja näiden ajallisten muutosten tutkiminen; sekä Maan keskimääräisen vertausellipsoidin määrittäminen Maan pinnalla ja sen ulkopuolella havaituista parametreista. Maan muoto: 1. Maan fyysinen muoto: Maan kiinteä pinta eli rajapinta kiinteän ja kaasumaisten/nestemäisten aineiden (ilmakehä, valtameri) välillä kaikkine vuorineen ja syvänteineen. 2. Maan matemaattinen muoto: Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta joka keskimäärin yhtyy keskimerenpintaan. Tätä pintaa, jota voidaan pitää keskimerenpinnan jatkeena mannerten alla, kutsutaan J. B. Listingin mukaan geoidiksi. Geodeettinen maanmittaus, maanmittaustiede. Tavallinen maanmittaus ( plane surveying ). Tähän kuuluvat mm. topografiset mittaukset ja insinöörigeodesian mittaukset. Nämä mittaukset ovat alueelliselta laajuudeltaan ja tarkkuusluokaltaan sellaisia, että kaikissa laskussa voidaan maapallon kaarevuus jättää turvallisesti ottamatta huomioon. Laskennat voidaan suorittaa käyttämällä tasokoordinaatteja x ja y, kartat voidaan piirtää ilman projektion käyttöä (plankarttoja) ja erillinen korkeuskoordinaatti H voidaan olettaa puhtaasti metriseksi ( metrit merenpinnan yläpuolella ) ilman haitallisia seuraamuksia. 18

27 2 Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus 2.1. Mittausyksiköt Määritelmät Kun puhutaan geodesiassa, kuten yleisemmin fysiikassa, käytettävistä mittausyksiköistä, tehdään ero yksiköiden ja suureiden välillä. Esimerkiksi pituus on suure, jonka mittausyksikkö voi olla vaikkapa metri [m]. Siis esim.: Matkan AB pituus on 15 metriä eli 15 m. suure lukuarvo yksikkö virallinen lyhenne a pituus 15 metriä m a Yksikön lyhenne kirjoitetaan aina pystykirjaimilla, siis ei kursiivina! Kursiivi käytetään matemaattisissa symboleissa. Siis: E = mc 2, mutta J = kg m 2 s 2. Kirjallisuudessa käytetään myös termi dimensio, esim. tilavuuden dimensio on pituus 3, kiihtyvyyden dimensio on pituus aika 2. Näin ilmaistetaan, millä tavalla tietyn suureen määritelmä riippuu toisten suureiden määritelmästä. Esim. jos halutaan mitata tarkasti kiihtyvyyksiä, on mitattava tarkasti sekä pituuksia että aikavälejä. Tämä kuuluu metrologian eli mittaustekniikan alaan. Suomessa, kuten useimmissa maissa maailmassa, käytetään SI-järjestelmää eli Kansainvälistä mittayksikköjärjestelmää (SI = Système International d Unités). Myös SI-mittayksikköjärjestelmä. Järjestelmä koostuu perusyksiköistä, täydennysyksiköistä ja johdannaisyksiköistä Perus-, täydennys- ja johdetut yksiköt Yksiköt radiaani ja steradiaani ovat tavallaan dimensiottomia lukuja ( paljaita lukuja ) koska ne ovat suhdelukuja. Esim. radiaani on ympyräkaaren pituuden ja sen säteen suhde ja 19

28 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Taulukko 2.1.: Suureet, yksiköt ja lyhenteet Suure Yksikkö Lyhenne miten johdettu Perusyksiköt pituus metri m massa kilogramma kg aika sekunti s sähkövirta ampeeri A lämpötila kelvin K valovoima kandela cd ainemäärä mooli mol Täydennysyksiköt tasokulma radiaani rad avaruuskulma steradiaani sr Johdetut yksiköt taajuus hertsi Hz s 1 voima newton N kg m s 2 paine pascal Pa Nm 2 energia joule J Nm teho watti W Js 1 jännite voltti V WA 1 vastus ohmi Ω VA 1 näin ollen dimensioton. Kuitenkin on käytössä myös muita kulmayksikköitä, kuten aste ja gon. Siksi on tavallaan järkevä käsitellä kaikkia radiaani, aste, gon myös yksikköinä. Tilanne on hieman samanlainen logaritmisille asteikoille: Richter (maanjäristyksen kokonaisenergia), Beaufort (tuulen nopeus), tähtien magnitudiskaala, desibeli (db) -skaala, valokuvausemulsion herkkyyden DIN-skaala. SI-yksikköihin (muttei lisäyksikköihin!) voi laittaa suuruusluokkaa ilmaistavan etuliitteen seuraavasti (taulukko ei ole täydellinen): arvo liite lyh. arvo liite lyh. arvo liite lyh. arvo liite lyh. +1 deka da +6 mega M -1 desi d -6 micro µ +2 hehto h +9 giga G -2 sentti c -9 nano n +3 kilo k +12 tera T -3 milli m -12 pico p... eli 1 MHz = Hz. Perusyksiköistä sekä pituus että aika perustuvat atomaarisiin ilmiöihin. Metri on se matka, jonka valo kulkee tyhjössä 1 / sekunnissa. Käytännössä metri realisoidaan ns. jodistabiloidun helium-neon laserin avulla, jonka aallonpituus on hyvin tarkasti (2,5 osa :ssä) tiedossa. Sekunti taas on kertaa sellaisen säteilyn värähdysaikaa, joka vastaa 133 Csatomin perustilan ylihienorakenteen kahden tietyn energiatason välisessä siirtymässä syntyvän säteilyn värähdysaikaa [virallinen SI-määritelmä]: se perustuu cesium-kellon käyttöön. 20

29 2.1. Mittausyksiköt Lisäyksiköt Usein käytetyt lisäyksiköt: Suure perusyksikkö lisäyksikkö lyhenne aika s tunti, minuutti, sekunti h m s päivä d vuosi a tasokulma rad aste, minuutti, sekunti gooni gon lämpötila K celsiusaste C tilavuus litra l massa tonni t Celsius-lämpötilan saa Kelvin-lämpötilasta vähentämällä siitä 273,15 K. Lämpöeroarvot ovat muuten samoja Celsius- ja Kelvin-asteikkoissa, eli 1 C = 1 K. 0 C 273, 15 K; 0 K 273, 15 C Kulmayksiköistä Asteet Tavallisessa elämässä käytetään kulmayksikkönä aste, symboli. Myös maantieteelliset, kartalta luettavat leveys- ja pituusasteet annetaan tavallisesti asteina. Suora kulma on 90. Asteen lisäksi on perinteisinä yksikköinä minuutit ( ) ja sekunnit ( ). Nämä käyttäytyvät samalla tavalla kuin ajanmittauksen kaimojaan: yksi aste on 60 minuuttia ja yksi minuutti 60 sekuntia. Laskuesimerkki: = ( ) ( ) = = , , = 56, , 7925 = 56 + (60 0, 7925) = , 55 = = , 55 = (60 0, 55) = = , 0. (Huomaa pyöristysvirhe!) 21

30 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Goonit Geodesiassa ja geodeettisissa instrumenteissa käytetään usein goonia (gon) mittausyksikkönä. Joskus käytetään myös nimitystä uusaste. Uusminuutti on 0, 01 gon, uussekunti 0, 0001 gon. Kirjoitustapa on 1, 2345 gon = 1 g 23 c 45 cc. Gooneissa suora kulma on 100 g. Radiaanit Täydessä ympyrässä on 2π radiaania, 360 astetta (360 ) ja 400 goonia (400 g ). Suorassa kulmassa on siis 2π = π radeaania. 4 2 Seuraavassa käyttökaavoja joilla asteina annettu kulma muutetaan gooneiksi, asteiksi. Ks. Kahmen and Faig [1988]: Täysi ympyrä on 2π rad = 400 gon = rad = ( ) 360 2π 57, = ( ) 400 2π gon 63, gon. Arvoa 63, kutsutaan joskus ρ:ksi. α rad = ( 360 2π α) = ( 400 2π α) gon. Ja α = ( α) gon = 1, α gon ja α gon = ( α) = 0, 9α Mittausvirheet ja epävarmuus Mikään mittaus ei ole absoluuttisen tarkka. Maanmittaus on myös inhimillisenä toimintana erehtyväistä. Aivan kuten tietokoneen ohjelmoinnissa, ei ole edes syytä yrittää mitata täysin virheettömästi. Realistisempi tavoite on, tavallisen huolellisuuden lisäksi, kehittää menetelmiä, millä 1. tietyn kokoiset virheet voidaan huomata ja poistaa havaintoaineistosta (tillastollinen testaus), ja 2. ei-havaittujen virheiden vaikutus lopputulokseen voidaan arvioida ja minimoida (tasoituslasku). Näillä menetelmillä voidaan havaintovirheet ottaa huomioon ja tuottaa mahdollisimman oikeelliset mittaustulokset, joiden laatu eli tarkkuus ja niissä mahdollisesti vielä piilevien virheiden suuruus tunnetaan tai ainakin voidaan arvioida. Mittausten käsittely eli tasoitus antaa seuraavat lopputulokset: 1. Tuntemattomien suureiden paras arvo mittausten perusteella; tämä voi olla a) todennäköisin arvo, b) tilastollinen odotusarvo, tai c) arvo jonka suhteen odotettavissa olevat poikkeamat ovat mahdollisimman vähän vahingollisia. 2. Arvio yksittäisten alkuperäismittausten hyvyydestä eli tarkkuudesta (En. precision). Puhutaan dispersiosta (hajonnasta) tai standardipoikkeamasta eli keskivirheestä. Modernimpi termi on epävarmuus (En. uncertainty). 22

31 2.2. Mittausvirheet ja epävarmuus 3. Samoin, arvio lopputulosten eli tuntemattomien suureiden laskettujen arvojen (estimaatioiden) hyvyydestä eli tarkkuudesta. 4. Arvio karkeiden virheiden mahdollisesta esiintymisestä ja niiden maksimisuuruudesta: luotettavuus = reliability) 5. Arvio mahdollisten systemaattisten virheiden esiintymisestä ja niiden suuruudesta. Mittausvirhe on ero mitattavan arvon 1 ja mittausarvon välillä. Mittausarvo on, usein monimutkaisen 2, mittausprosessin tulos. Voimme jakaa tästä mittaus- ja reduktioprosessista ulos tulevat virheet seuraaviin kategorioihin: Satunnaiset virheet (sv. tillfälliga fel, en. random errors) Yleensä oletetaan, että havaintoprosessin luonnollisen epätarkkuuden kuvaamat satunnaiset virheet ovat normaalisti jakautuneet, eli virheiden jakauma on kaunis Gaußin kellokäyrä josta myöhemmin lisää. Mikäli näin on (ja näin ei saisi olettaa enempää testaamatta!) on käytettävissä ns. pienimmän neliösumman tasoitusmenetelmää joka minimoi satunnaisten virheiden yhteisvaikutus lopputuloksessa. Karkeat virheet (sv. grova fel, en. gross errors) Karkeat virheet johtuvat inhimillisistä erehdyksistä tai laiteviasta; ne sattuvat vain silloin tällöin eikä niitä voi kuvata tilastollisin keinoin. Esimerkki karkeasta virheestä on mittausarvon desimaalin väärin kirjoittaminen havaintokirjaan. Karkeita virheitä pyritään eliminoimaan tilastollisten testien avulla. Tämä on laaja tilastotieteen ala; nyrkkisääntönä mainittakoon, että jos mittaus poikkeaa tunnetusta odotusarvosta (esim. nolla) enemmän kuin kolme kertaa sen tiedossa oleva standardipoikkeama (keskivirhe) σ, on syytä epäillä, että mittaus on virheellinen. Tätä kutsutaan 3σ-kriteeriksi. Systemaattiset virheet Systemaattiset virheet ovat merkki siitä, että mittausprosessia, havaintogeometriaa ja havaintotilanteen fysiikkaa kuvaavat teoriat ovat puutteellisia. Huomattavien systemaattisten virheiden esiintyminen pitäisi johtaa teoreettisten olettamusten tutkailuun ja kehittelyyn. Esimerkki: tiedetään, että kolmion kulmien summa on oltava 180. Jos tasokolmion mitattujen kulmien summa poikkeaa merkittävästi ja johdonmukaisesti tästä arvosta, on syytä epäillä mm. sivuttaisrefraktio ilmakehässä kolmio on niin suuri, että kaarevalla Maan pinnalla ei ole enää kyse tasokolmiosta ja lause ei enää päde jne. Myös epävarmuus, se tieto kuinka suuria virheet mahdollisesti voivat olla, voidaan jakaa eri kategorioihin: 1 oikean arvon, vaikka filosofisesti voi kysyä, onko se edes olemassa 2 Joskus mittausprosessi sisältää varsin monimutkaisen reduktioketjun tai mallinnuksen 23

32 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus (a) Pieni satunnainen (b) Suuri satunnainen (c) Korreloitu (d) Systemaattinen (e) Karkea Kuva 2.1.: Erityyppiset virheet. Satunnainen tarkka, satunnainen epätarkka, korreloitu, systemaattinen, karkea Tyyppi A -epävarmuus: standardiepävarmuus eli standardivirhe laskettuna esim. toistuvista mittauksista. Tämä epävarmuustyyppi voidaan käsitellä tilastotieteen keinoin, eli se vastaa satunnaisiin virheisiin. Tyyppi B -epävarmuus: epävarmuutta jota ei voi määrittää tilastotieteellisin keinoin, vaan se on saatava selville toisella tavalla. Esim. systemaattiset virheet voidaan määrittää kalibroinnilla, laitevalmistajan ilmoituksesta, ym. Ei ole olemassa karkeisiin virheisiin vastaava epävarmuuskäsite. Niitä tulee välttää tai eliminoida Stokastiset suureet Diskreetit stokastiset suureet Mittausprosessi on ns. stokastinen suure. Stokastinen suure saadaan suorittamalla joku toimitus jonka tulos on satunnainen. Esim. nopan heitto luo stokastisen suureen n jonka realisaatiot ( heitot ) ovat n 1, n 2, n 3,.... Nopanheiton tapauksessa mahdolliset arvot ovat kokonaisluvut {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Samoin kolikonheitossa, mikäli arvoiksi otetaan kruunu = 0, klaava = 1. Sanotaan, että stokastisen suureen arvoavaruus eli domeeni on {0, 1}, diskreetti arvoavaruus. Kun suoritetaan nopanheitto yhä uudelleen ja uudelleen eli kerätään realisaatioita n i, i = 1, 2, 3,..., voidaan aina tietyn heittojen kokonaismäärän jälkeen taulukoida tulokset. Saadaan seuraava esimerkkitaulukko, joka ilmaistaa, montako heittoa kokonaismäärästä oli ykkösiä, montako kakkosia, jne. Kuten nähdään, miten suurempi nopanheittojen määrä, sitä pienemmäksi näyttää olevan lopputuloksen heitto ihannetuloksesta, jossa jokaisen arvon prosentuaalinen esiintyminen olisi 16, % eli 1 /6. Tätä empiiristä tulosta kutsutaan suurten lukujen laiksi Odotusarvo Tämän perusteella voidaan nopanheiton arvoille antaa teoreettinen todennäköisyysarvo, joka ilmaistaa, kuinka usein ko. arvo pitkän päällä toteutuu. Tasapainoisen ( rehellisen ) nopan 24

33 2.4. Tilastolliset jakaumat Kokonaismäärä Arvo Keskiarvo heittoja ± Hajonta ± 2, 4 % 13,33 23,33 13,33 15,00 20,00 15,00 16, 67 ± ± 9, 9 % 16,50 17,17 15,17 17,67 19,00 14,50 16, 67 ± ± 28, 5 % 17,33 16,22 16,78 16,72 16,03 16,92 16, 67 ± 0, ± 89, 5 % 16,52 16,90 16,56 16,76 16,72 16,54 16, 67 ± 0, 15 Taulukko 2.2.: Nopanheiton tilastotiede tapauksessa todennäköisyysarvot ovat: p (1) = p (2) =... = p (6) = 1 6. Diskreettisessa tapauksessa odotusarvoa arvo, jonka ympäri heitot ryhmittyvät, niiden painopiste lasketaan kaavan E {n} N i p (i) (2.1) i=1 mukaan, ja saadaan 21 /6 = 3, 5. Tässä N on vaihtoehtojen määrä. (Huomaa, että arvo 3.5 ei ole edes mahdollista nopanheiton tulosta!) Rehellisen kolikon tapauksessa meillä on p (0) = p (1) = 0, 5, ja odotusarvo saman kaavan mukaan 0, Tilastolliset jakaumat Reaaliarvoiset suureet ja tiheysjakaumat Geodeettiset mittaukset ovat yleensä stokastisia suureita joiden arvoavaruus eli domeeni on reaalilukujen R osajoukko, eli jatkuva. Esim. etäisyysmittauksen tulos on etäisyys metreinä, ja se on reaaliluku. Samoin kulmamittausten tapauksessa. Arvoavaruus voi olla rajallinen, α [0, 360 ), mutta se on joka tapauksessa jatkuva. Jatkuvan arvoavaruuden tapauksessa puhutaan todennäköisyystiheysjakaumasta. Jos tehdään suuri määrä mittauksia samasta kohteesta, voidaan piirtä ns. histogrammi, joka näyttää mittaustulosten määrät jotka osuvat eri arvoavaruuden välille. Esimerkiksi jatkuvasta tilastollisesta jakaumasta kelpaa jalkapallopelissä tehtyjen maalien paikka maaliportissa (kuva 2.2). Miten enemmän mittauksia, sitä enemmän pylväitä voidaan 25

34 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus y-histogrammi y x-histogrammi x Kaksiulotteinen histogrammi Kuva 2.2.: Esimerkki jatkuvan (ja kaksiulotteisen) arvoavaruuden stokastisesta suureesta. Piirretty on myös histogrammit x- ja y-argumentin mukaan erikseen, ja molempien mukaan yhdessä. Sininen katkoviiva on mahdollinen tiheysjakaumafunktio. E{x} x x p(x) x Kuva 2.3.: Todennäköisyystiheysjakauma histogrammien limiittina piirtää, ja sitä kapeammiksi niitä voi tehdä. Limiitissä, missä mittausten määrä on ääretön, saadaan jatkuva käyrä, tiheysjakauma, joka kuvaa todennäköisyyttä, millä mittaustulos osuu jonkun arvovälin [x 1, x 2 ] sisällä. Ks. kuva 2.3, missä on piiretty yksiulotteisen reaaliarvoisen stokastisen suureen kaksi histogrammia (kahdelle eri mittausten määrälle), sekä (jatkuvana käyränä) tiheysjakauma p (x). Myös odotusarvo E {x} ja kahden mittaussarjan keskiarvot on piirretty. Jos tietyllä välillä [x 1, x 2 ] integraali x2 x 1 p (x) dx on nolla, sanotaan, että tämän välin sisällä olevan arvon x esiintyminen stokastisen suureen realisaationa on mahdoton. Jos integraali on 1, sanotaan että x [x 1, x 2 ] esiintyminen on varma. Kaikissa muissa tapauksessa integraalin arvo antaa todennäköisyyden, että stokastisen suureen realisaation arvo osuisi välin sisälle. Todennäköisyysarvo on siis aina nollan ja yhden välillä 3. Huomaa, että aina + p (x) dx = 1, 3 Matemaattisesti todennäköisyys on mitta, kuten myös esim. pinta-ala tai tilavuus. 26

35 2.4. Tilastolliset jakaumat Odotusarvo E(x) Todennäköisyystiheys Keskivirhe p(x) σ σ σ σ σ σ σ σ Arvoavaruus x Tarkempi Kuva 2.4.: Normaalijakauman ominaisuudet Epätarkempi koska yhdistetty todennäköisyys, että mittausarvo on edes joku, mikä tahansa reaaliluku, on 1: se on varma. Myös jatkuvalle stokastiselle suurelle voidaan laskea odotusarvo. Kaava on integraalikaava, joka on hyvin samannäköinen kuin diskreetti vastine (2.1): E {x} = + x p (x) dx. Odotusarvo on tiheysjakaumakäyrän p (x) alla olevan pinta-alan painopiste Gaußin kellokäyrä Geodesiassa käytetään lähes aina normaali- eli Gaußin jakaumaa ( kellokayrää ). Kuvassa 2.4 näkyy odotusarvo µ = E {x}, tulkittavissa havaitun suureen x todelliseksi arvoksi, joka ei ole itse mitattavissa, mutta jonka ympäri mittausarvot sijoittuvat satunnaisvirheittensä vaikutuksesta; ja keskivirhe 4 σ, joka kuvaa yksittäisen mittauksen taipumus poiketa odotusarvosta. Normaalijakauman tapauksessa keskivirheen poikkeamat µ ± σ sijoittuvat käyrän taittopisteissä. Usein käytetään myös käsite nimeltä varianssi 5, keskivirheen neliö: Var (x) = σ 2, jonka muodollinen määritelmä on 6 : Var (x) E { (x E {x}) 2}. (2.2) Tässä E { } on yllä määritetty odotusarvo-operaattori. Aivan odotusarvon tapaan on myös varianssi sellainen todellinen arvo joka on teoreettisesti olemassa, mutta ei koskaan tule oikein mitatuksi. Kun on käytettävissä rajallinen määrä tehtyjä havaintoja eli otos, voidaan laskea otoksen keskiarvo ja otosvarianssi, jotka havaintojen määrää kasvaessa menevät yhä vain lähemmäksi ja lähemmäksi odotusarvoa ja varianssia. Tätäkin ilmiötä kutsutaan suurten lukujen laiksi. Gaußin käyrän matemaattinen kaava p (x) jota ei tässä käsitellä antaa integroinnin kautta seuraavat todennäköisyysarvot: 4... eli standardipoikkeama, eli keskihajonta... nykyisin virallinen nimitys on standardiepävarmuus. 5 eli dispersio eli stokastisen suureen hajonnan odotusarvonsa ympäri toisen potenssin odotusarvo. Tämä on jonkinlainen kustannusfunktio: jos virheen x E (x) kustannus on verrannollinen sen neliön kanssa, on Var (x) virheen odotettava kustannus. 27

36 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Pinta-ala yht. 32% Yht. 4.5% Yht. 0.27% σ σ 2σ 2σ 3σ 3σ Kuva 2.5.: Gaußin käyrän todennäköisyysarvoja Eli: Todennäköisyys, että x poikkeaa E {x}:stä enemmän kuin σ:n verran (puolella tai toisella): 32% Todennäköisyys, että x poikkeaa E {x}:stä yli 2σ:n verran: 4, 5% Todennäköisyys, että x poikkeaa E {x}:stä yli 3σ:n verran: 0, 27%. Käytännössä normaalisti jakautunut stokastinen suure ei juuri koskaan poikkea odostusarvostaan enemmän kuin kolme kertaa keskivirhettään. Tätä nyrkkisääntöä käytetään hyväksi tilastollisessa testauksessa. Monien tilastollisien jakaumien ominaisuudet on taulukoitu tässä: ac.uk/steps/glossary/probability_distributions.html Kovarianssi ja korrelaatio Kun on kyse kahdesta stokastisesta suureesta x ja y voidaan niiden yksittäisten käyttäytymisien lisäksi tutkia myös, miten ne käyttäytyvät yhdessä. Kutsutaan kovariansiksi ilmaisu Cov ( x, y ) E { (x E {x}) ( y E { y })}. (2.3) Tämä määritelmä on analoginen varianssin (kaava 2.2) kanssa, mutta kuvaa suurien x ja y samalla tavalla käyttäytymistä eli niiden satunnaisen vaihtelun samanlaisuutta. Usein on järkevä skaalata tämä kovarianssi suureiden x ja y varianssien suhteen seuraavalla tavalla: Corr ( x, y ) Cov ( x, y ) Var (x) Var ( y ). Näin on määritelty korrelaatio suureiden x ja y välillä. Korrelaatio on aina välissä [ 1, 1], eli, kuten myös sanotaan, välissä [ 100%, 100%]. Tilastollisesti riippumattomien suureiden x ja y välillä korrelaatio (ja kovarianssi) on 0. Korrelaation ei-häviäminen on merkki suureiden välisestä syy-seuraus-yhteydestä (kuitenkaan ei voida sanoa, että x on syy ja y seuraus! x:llä ja y:llä voi olla yhteinen syy.) Jos korrelaatio on 1 eli 100%, puhutaan täydellisestä korrelaatiosta. Tässä tapauksessa x:n ja y:n välillä on olemassa tarkka funktionaalinen yhteys. Jos toisen realisaatioarvo on annettu, voidaan laskea toisen vastaava realisaatioarvo tarkasti. Jos korrelaatio on -1 eli -100%, puhutaan antikorrelaatiosta. Siinä tapauksessa on suureiden x ja y välillä täydellinen korrelaatio. Kuvassa 2.6 on kuvattu muutama esimerkki korrelaatiosta. 28

37 2.4. Tilastolliset jakaumat y x (a) Olematon (b) Heikko (c) Vahva (d) 100% (e) Antikorrelaatio Kuva 2.6.: Eri korrelaatioiden esimerkkejä (f) -100% Virheiden kasautumislaki Tärkeä keskivirheiden ominaisuus on virheiden kasautumislaki, myös propagaatiolaki. Mikäli stokastinen suure z on kahden muun stokastisen suuren x ja y lineaariyhdistelmä: z = ax + by, voidaan myös kirjoittaa ja siis E {z} = ae {x} + be { y }, {z E {z}} = a {x E {x}} + b { y E { y }}. Tämä lienee intuitiivisesti selvä. Nyt yo. kaavan (2.2) mukaan seuraa Var (z) = E { (z E {z}) 2} = = a 2 E { (x E {x}) 2} { (y { }) } + b 2 2 E E y + Jos nyt ilmaisu +2abE { (x E {x}) ( y E { y })}. Cov ( x, y ) E { (x E {x}) ( y E { y })} kutsutaan edellisen osion mukaan kovarianssiksi, voidaan kirjoittaa Var (z) = a 2 Var (x) + b 2 Var ( y ) + 2abCov ( x, y ). (2.4) Tätä kaavaa kutsutaan varianssien (tai virheiden) kasautumislaiksi. Siinä tapauksessa, että Cov ( x, y ) = 0 (eli suureet x ja y eivät korreloi), saadaan Var (z) = a 2 Var (x) + b 2 Var ( y ), eli vastaavasti σ 2 z = a 2 σ 2 x + b 2 σ 2 y. Erikoistapaus: tilanne, jossa z on x:n ja y:n summa tai erotus, eli a = ±1, b = ±1, ja x ja y ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan. Silloin saadaan yksinkertainen Pytagorasta muistuttava, laajasti käytetty kaava: σ 2 z = σ 2 x + σ 2 y. Usein tätä erikoistapausta kutsutaan virheiden kasautumislaiksi. 29

38 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Standardiellipsi Läpileikkaus Kuva 2.7.: Kaksiulotteinen todennäköisyystiheysjakauma Moniulotteiset jakaumat Usein, kuten yllä olevassa jalkapallo-esimerkissä, puhutaan stokastisista suureista jotka koostuvat useista komponentteista. Esimerkiksi, pisteen koordinaatit (x, y) tasossa. Samalla tavalla kuin yllä olevassa tapauksessa, voidaan piirtää kaksiulotteisia histogrammeja ja puhua todennäköisyystiheysjakaumasta p (x, y). Kuvassa näkyy kaksiulotteinen normaalitiheysjakauma, ja miten on määritetty sen standardiellipsi eli virhe-ellipsi. So on kaksiulotteinen vastine keskivirheelle. Virhe-ellipsin läpileikkaus tuottaa taas aina yksiulotteisen Gaußin kellokäyrän, jonka keskivirhepisteet ovat juuri leikkausviivan ja ellipsin leikkauskohdat. Kun yksiulotteisen jakauman keskivirhepisteet ovat x = µ ± σ, on virhe-ellipsin kaava monimutkaisempaa. Stokastisen koordinaattiparin ( x, y ) odotusarvo ( todellinen arvo ) on itsekin koordinaattipari, (µ x, µ y ), virhe-ellipsin keskipiste. Yleisessä tapauksessa, jossa virhe-ellipsin akselit eivät ole koordinaattiakseleiden suuntaisia (ja eripituisia!) stokastiset suureet x ja y eivät enää voida käsitellä riippumattomina muuttujina: kuten sanotaan, ne korreloivat keskenään. Tämä merkitsee, että x:n todennäköisin arvo riippuu y:n todellisesta arvosta ja päinvastoin. y:n jonkinasteinen tietäminen auttaa x:n arvioimisessa ja toisinpäin. Tasoituslaskussa tämä tilastollinen riippuvuus on otettava huomioon, jotta saataisiin mahdollisimman hyviä (optimaalisia) estimaatioita sekä µ x :lle että µ y :lle. Korrelaatio on merkillinen asia. On aina hyvä muistaa, että tilastollinen riippuvuus ei välttämättä merkitsee, että suureiden välillä on olemassa suoranainen syy-yhteys, vain että havainnoilla on jotain yhteistä. Yhteys voi olla melko monimutkainen, kuten kuuluisassa tapauksessa missä kesän jäätelömyynti korreloi hukkumiskuolemien määrän kanssa. Kolmiulotteisessa avaruudessa löytyy kolmen argumentin todennäköisyystiheysjakaumia, joiden kuvaaja on (kolmiakselinen) ellipsoidi. 30

39 2.4. Tilastolliset jakaumat Varianssimatriisi Myös moniulotteisten stokastisten suureiden varianssit muuttuvat moniulotteisiksi eli varianssimatriiseiksi: olkoon 7 [ ] x x ; y silloin on varianssimatriisi: Var (x) [ E { (x E {x}) 2} E { (x E(x)) ( y E { y })} E { (x E {x}) ( y E { y })} { (y { }) } 2 E E y = [ ( ) ] [ ] Var (x) Cov x, y Cov ( x, y ) Var ( y ) σ 2 = x σ xy Σ xx, σ xy σ 2 y ] = mistä näkyy taas kovarianssin määritelmä: Cov ( x, y ) E { (x E {x}) ( y E { y })}, sekä usein käytetty vaihtoehtoinen kirjoitustapa 8 Var (x) = σx, 2 Cov ( x, y ) = σ xy. Liitteessä A löytyy lyhyt selostus matriisilaskennan perusteista. Itse asiassa virhe-ellipsi on tämän 2 2 varianssimatriisin graafinen esitystapa. Mikäli σ xy = 0, sanotaan, että x ja y eivät korreloi keskenään, ne on tilastollisesti riippumattomia toisistaan. Myös virheiden kasautumislakia (kaava 2.4) Var (z) = a 2 Var (x) + b 2 Var ( y ) + 2abCov ( x, y ) voidaan kirjoittaa uuteen muotoon: jos muodostetaan rivivektori a [ a sarakevektori 9 a T [ a b ] [ ] T a =, saadaan: b b ], ja vastaava Var (z) = [ a b ] [ Var (x) Cov ( x, y ) Cov ( x, y ) Var ( y ) ] [ a b ] = a Var (x) a T. Tämän ymmärtäminen edellyttää matriisien kertalaskun (rivi sarake) hallitsemisen; kirjoittaminen auki antaa alkuperäinen kaava 2.4 takaisin. Tätä esitetään kirjallisuudessa symbolisesti hieman vaihtelevilla notaatioilla: σz 2 = avar (x) a T = aσ xx a T. [ ] 7 µx... ja tietysti odotusarvokin on vektori: E (x) =! µ y 8 Useinkin kirjoitetaan myös Var(x) = m 2 x, Cov(x, y) = m xy ; aikanaan kreikkalaisten kirjoittaminen oli hankalaa. 9 Transpoosi-merkintää käytetään usein vektorin kirjoittamisen helpottamiseksi juoksevassa tekstissä. 31

40 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus 2.5. Geodeettiset mittaustyypit Kulmat, suunnat Suuret, maan- tai mannerlaajuiset geodeettiset verkot ovat perinteisesti olleet aina kolmioverkkoja. Kolmioverkkojen asemien välillä mitataan suunnat, ja mittaukset tasoitetaan kolmiomittausverkon ratkaisuksi. Syy tähän oli, että etäisyysmittaukset olivat vaikeita suurilla etäisyyksillä, koska ne edellyttivät mekaanisten apuvälineitten, kuten mittanauhojen tai -sauvojen käyttöä. Kolmiomittaus mahdollistaa se, että mitataan verkosta vain kaikki suunnat, ja yksi ainoa etäisyys, ja lasketaan niistä kaikki muut etäisyydet, pisteiden sijainnit, jne. Näin Snellius suoritti kuluisa astemittauksensa Bergen op Zoomin ja Alkmaarin välillä, kaupungit joiden keskinäinen etäisyys on 100 km, mittaamalla suoraan vain niidyllä rakentamansa, 326 jalan perusviivan pituus! Samoin Lapin astemittaus: perusviiva rakennettiin talvella Torniojoen jään päällä, muut mittaukset olivat suunnanmittauksia. Kolmiomittauksen periaate voidaan helpoimmin selittää mittapöydän 10 avulla. Laitetaan maastossa pisteessä A läpinäkyvä paperilehti mittapöydälle ja piirretään kaikki suunnat maastossa oleviin kohteisiin B, C, D ja E 11. Siirretään pisteeseen B, ja piirretään samanlainen suuntaruusu kohteisiin A, C, D ja E. Toimistossa paperiliuskat asetetaan päällekkäin, ja tulos on miniatyyrikuva maiseman todellisessa geometriassa mittakaavalla m = ab : AB! Eli, jos etäisyys AB maastossa on 3 km, ja päällekkäin olevilla papereilla ab = 30 cm, on näin saadun kartan mittakaava 1: Todellisuudessa mitataan nykyisin suunnat teodoliitilla, tarkalla vaaka- ja pystykulmamittauslaitteella, ja kartan muodostaminen tapahtuu laskennallisesti. Fotogrammetriasta löytyy piirustuspöytämenetelmän kolmiulotteinen vastine, stereomallirestituutio, joka kuitenkin sekin nykyisin toteutetaan useimmiten täysin digitaalisesti. Kuvassa 2.9 näkyy, miten kahdesta ilmakuvasta voidaan muodostaa stereomalli katselulaitteen avulla. Stereorestituutiolaitteissa muodostetaan samalla tavalla malli, jonka sisällä voidaan liikkuttaa merkki kolmiulotteisesti. Merkin koordinaatit tulostetaan jatkuvasti laitteeseen kytketylle tietokoneelle ja karttoja voidaan luonnostaa heti. Myös ilmakolmiointi perustuu stereomallien muodostamiseen. Suhteellisen moderni geodeettinen tekniikka joka perustuu samaan periaatteesseen kuin piirustuspöytä, mutta kolmessa ulottuvuudessa, on Yrjö Väisälän tähtikolmiointi. Tämä tekniikka, jossa käytetään tähtitaivaan tausta suuntien mittaukseen, ei tässä käsitellä yksityiskohtaisemmin Etäisyydet, etäisyyserot Aikanaan etäisyydet voitiin mitata vain mekaanisesti, mittanauhan, mittalangan tai mittatankojen avulla. Mittauksissa saavutettu tarkkuus oli usein vaikuttavaa huolellisten menetelmien käytön ansiosta. 10 Kiitos Heiskanen and Härmälä [1963] s. 234 terminologiasta. En. plane table, saks. Meßtafel. 11 Piirtämistä helpottaa kiikariviivaimen (en. alhidade, saks. kippregel) käyttö. 32

41 2.5. Geodeettiset mittaustyypit C D A Päällekkäin: d c E B a e b Kuva 2.8.: Kolmiomittaus mittapöydän avulla Paikallisessa maastomittauksessa käytetään edelleen laajasti mittanauhoja, jotka ovat edullisia ja helppoa käyttää ja kuljettaa. Pituus on m ja ne on tehty teräksestä. Entisaikojen tarkkuusmittalangat tehtiin invarista, terässeos jolla on hyvin pieni lämpölaajentamiskerroin. Nykyisin etäisyysmittaukset tehdään elektronisesti tai sähköoptisesti. Pisteiden välillä ei tarvitse enää olla ihmisille kelpaava matka, mutta suora näköyhteys tarvitaan. Laitteet voivat käyttää mikroaaltoja (Tellurometer) tai useammin näkyvää valoa (Mekometer), laservaloa (Geodimeter) tai valodiodin tuottamaa infrapunavaloa (useimmat modernit etäisyysmittarit, takymetrit, total stations ). Ilmakehän (refraktion) vaikutus signaalin kulkuun on aina otettava huolellisesti huomioon havaintojen reduktiossa. Myös satelliittigeodesia käyttää elektronista etäisyysmittausta, mm. laajasti käytetty GPSpaikannusjärjestelmä perustuu mikroaaltojen avulla tehtyihin etäisyysmittauksiin tarkemmin, etäisyyseromittauksiin 12. Satelliittilaserit puolestaan (Metsähovi!) mittaavat laserpulssin kulkuaikaa havaintoasemasta valoa heijastavaan satelliittiin ja takaisin. Elektroniikan käytön suurena etuna on, että tajuusmittauksen uskomattoman suuri tarkkuus kääntyy näin etäisyyksien tarkkuuksiksi. Kun taajuusmittauksen tarkkuus voi hyvinkin olla 1 : 10 12, on ymmärrettävissä, että GPS:n avulla mitataan mannertenväliset etäisyydet jopa 1 : 10 9 :n suhteellisella tarkkuudella. Satelliittitekniikat ovat maan päällisiä etäisyysmittauksia vielä tarkempia, koska niin suuri osa signaalin kulusta tapahtuu ilmakehän ulkopuolella. 12 Monet ns. hyperboliset paikannusmenetelmät, kuten Decca, Transit/Doppler ja myös GPS, perustuvat etäisyyseromittauksiin. 33

42 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Kuva 1 Kuva 2 Ilmakuvaus Maasto Stereokatselulaite Stereokuvapari Stereomalli Kuva 2.9.: Stereomallin muodostaminen fotogrammetriassa Potentiaalierot Potentiaalierojen mittaus tapahtuu vaaituksen avulla: mitataan kahden pisteen välinen korkeusero metreissä ja muunnetaan tämä ero potentiaalieroksi paikallisen painovoiman g avulla. Jos korkeusero on h ja geopotentiaaliero C, käytetään 13 C = g h. Mittaukset tehdään linjaa pitkin ja erotukset C i summataan. Linjoista rakennetaan suljettu vaaitusverkko, jonka potentiaalierot silmukoiden ympäri on oltava nolla. Verkkoa tasoitetaan tätä ehtoa käyttäen. Vaihtoehtoisia keinoja potentiaalierojen (tai vastaavasti, korkeuserojen) mittaamiseksi on olemassa: pitkien nesteputkien käyttö vesitason siirtämiseksi leveiden vesistöjen yli on kokeiltu Hollannissa ja Tanskassa; järvien rannoilla olevien vesiskaalojen käyttö on kokeiltu mm. Hollannissa ja Suomessa; merivirtausten geofysikaalinen mallinnus on kokeiltu mm. Ahvenanmerellä. Yksi hi-tech menetelmä potentiaalierojen mittaamiseksi käyttää tarkkoja atomikelloja ja yleisen suhteellisuusteorian ennustama painovoiman kellojen hidastamisefekti; kuitenkin tarvittava tarkkuus ei ole vielä olemassa. Realistisempi vaihtoehto on hyvin tarkkojen, korkeaa 13 Tämä on vain esimerkki siitä, että tyo on voima kertaa matka. Työ (per massayksikkö) on C, matka h, ja voima (per massayksikkö, siis F = ma:n mukaan kiihtyvyys) on g. 34

43 2.6. Maastomittaus: maastosta kartaksi erotuskykyä omaavien geopotentiaalimallien rakentaminen, joiden avulla voidaan laskea pisteen tarkka geopotentiaali heti, kun GPS on antanut pisteelle tarkan geosentrisen sijainnin. Uudet satelliittipainovoimamissiot (mm. GOCE) tulevat mahdollistamaan tätä Maastomittaus: maastosta kartaksi Kirjasessa Maastomittaus ja Kartoitus Heiskanen and Härmälä [1963] sanotaan: Maastomittauksen ja siihen liittyvän kartoituksen useimmin esiintyvänä päämääränä on antaa suuremmasta tai pienemmästä alueesta mahdollisimman oikea ja tarkka kuva kartan muodossa. Yhteiskunta tarvitsee karttoja ja maanmittaustietoja moneen tarkoitukseen. Nyky-yhteiskunnassa kiinteistön omistaminen, sen ostaminen ja myyminen ja erityisesti sen panttaaminen (hypoteekki) rahoituksen saamiseksi kiinteistön arvon ylläpitämiseksi ja sen kehittämiseksi, ovat modernin, korkean sijoitustason yhteiskunnan peruspilareita. Tähän tarkoitukseen on olemassa katasterijärjestelmä, joka rekisteröi mahdollisimman luotettavasti kiinteistöjen ja näihin sidottujen oikeuksien tila. Tontteja ja muita kiinteistöjä on miljooneja ja niiden yhteinen rahallinen arvo on tähtitieteellinen. Toinen yhteiskunnalle tärkeä karttojen ja geotieteiden käyttötarkoitus on infrastruktuurin suunnittelu ja rakentaminen. Tiet, sillat, vesiväylät, lentokentät ja satamat, voimalat, vesilaitokset, puhelin- ja tietoverkot jne. jne. Tuottavuuden kannalta elintärkeä julkinen toiminta. Jokaisessa kehittyneessä yhteiskunnassa rakentaminen on jollain tavalla rajoitettu. Ei saa rakentaa mitä ja miten haluaa edes omalla maalla. Kaavoitus (en. zoning) määrää koordinoidulla tavalla, mihin käyttötarkoituksiin maata saa ja ei saa käyttää. Nämä määräykset sisältyvät ns. kaavoihin, joiden hyväksymisprosessi on laissa säädetty, julkinen ja monivaiheinen. Syy tähän on, että kaavat vaikuttavat kiinteistön arvoon, ja siksi kiinteistönomistajan oikeudellinen asema edellyttää, että kaavojen demokraattinen hyväksymisprosessi sisältää riittävät valituskeinot. Kartat ja muut maanmittauksen tietolähteet ovat tämän prosessin olennaisia osia. Suomessa maan käytön ja siihen liittyvän paikallisen infrastruktuurin rakentamisen suunnittelu tapahtuu suurilta osin julkisessa hallinnossa, useimmiten kunnissa. Puhutaan yhdyskuntasuunnittelusta. Määrällisesti maastomittaus on ylivoimaisesti suurin maanmittauksen sovelluskenttä Yhdyskuntasuunnittelu Yhdyskuntasuunnittelu on jatkuva toiminta, johon kuuluu kaavoitus, maankäytön ja rakennetun ympäristön suunnittelu ja rakennustoiminnan ohjaus. Yhdyskuntasuunnittelussa suuri rooli on kunnalla. Kaupunkisuunnittelu ja aluesuunnittelu ovat yhdyskuntasuunnittelun muotoja. Yhdyskunnan tekninen suunnittelu ja rakentaminen tarvitsee luotettavaa tietoa ympäristöstä jota suunnitellaan ja rakennetaan. Kuva 2.10 antaa käsityksen missä kaikissa rooleissa 35

44 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus Geodeettiset mittaukset Maastomittaus Ilmakuvaus Topografinen kartoitus Karttojen ja geotietojen päivitys ja ajantasaus Havaitseminen, mittaaminen Mittausten käsittely Vienti geotietojärjestelmään Kiinteistöt Yhdyskuntatekniikka Infrastruktuuri Maan käyttö Yhdyskuntasuunnittelu: Maan käytön suunnittelu jatkuvana prosessina Geotietojen hallinta Kartat Geotietojärjestelmät Yhdyskuntarakentaminen Kiinteistöjen muodostus ja rekisteröinti Maastoon merkintä Maankäytön hallinta ja suunnittelu Kaava Kaavan pohjakartta Kaavoitus Yhdyskuntasuunnittelu Tekninen (teiden, katujen, katukaluston, vesi-, viemari-, kaukolämpo- puhelinja tietoverkkojen) suunnittelu Kuva 2.10.: Kartan ja maastomittauksen roolit yhdyskuntasuunnittelussa ja -rakentamisessa. maastomittauksen antama paikkatieto on mukana jatkuvassa yhdyskuntasuunnittelu- ja rakentamisprosesseissa. Maastomittaus on koko prosessissa mukana: maastotiedot on mitattava kartalle tietyssä koordinaatistossa kun kaava on valmis, on se merkittävä maastoon kiinteistöt on mitattava ja kartoitettava tekniset rakenteet on sijoitettava maastoon. Maastomittauksella on seuraavat tavoitteet ja tehtävät: luoda runko kartoitukselle: saada mittaukset tiettyyn tunnettuun koordinaatistoon yksityiskohtien kartoitus runkopisteitä käyttäen: kartoitusmittaus maastoon merkitseminen: suunnitelmien siirtäminen maastoon, toteutettavaksi oikeilla paikoilla. Maastoon merkitseminen on tavallaan kartoituksen käänteistehtävä Maastomittauksen tehtävät Maastomittauksen tehtävien suorittaminen edellyttää, että maanmittari tuntisi seuraavat asiat: Geodeettiset kojeet 36

45 2.9. Maastomittauksen lopputulos Mittaussuunnitelma Rungon mittaus, laskenta Tietojen Maastomittaus Olemassa Digitaali- Laser Valokeruu (usein RTK) olevat kartat kuvat scan kuvat Tietojen Geodeettinen Digitointi Kuvan- Käsit- Stereokäsittely laskenta käsittely tely fotogrammetria Tietojen yhdistäminen Paikkatietojärjestelmä Graafiset Numeeriset Tekstuaaliset tuotteet tuotteet tuotteet Metatieto Tietojen Maastokartat Pistetietokannat Raportit esittäminen Teemakartat Korkeusmallit loppu- Erikoiskartat Digitaaliset käyttäjälle Asiakastulostukset CAD-mallit 3D-visualisointi Taulukko 2.3.: Maastomittaus osana koko mittaus- ja kartoitusprosessista Mittaustekniikka, mittauksen suunnittelu Geodeettinen laskenta: koordinaatit ja -muunnokset, johdetut suureet, tarkkuuslaskenta Kaavan laskenta, maastoon merkintä Paikkatietojärjestelmät Kartat, tulostus, raportointi. Prof. Matti Martikaiselta on peräisin kaunis kuvaus (2.3) mittaussuunnitelman roolista ja maastomittauksen paikasta koko mittaus- ja kartoitusprosessissa. Tässä se esitetään hieman modernimpana. Taulukon eri osat kuuluvat geodesian, fotogrammetrian ja kartografian osaalueisiin Maastomittauksen lopputulos Maastomittauksen näkyvä lopputuote on kartta. Kartta on oltava ennen kaikkea oikea, mutta myös selvästi piiretty, on antava kaikki relevantti informaatio, ja sietää olla kauniskin Heiskanen and Härmälä [1963]. Kartalle valitaan sopiva mittakaava, joka määrittää esitetyn tiedon tarkkuustason. Mittakaava valitaan kartan tarkoitukseen sopivaksi. Esitettävät kohteet tulisi yleistää sopivalla 37

46 2. Geodeettiset mittaukset ja maastomittaus tavalla: liian pienet yksityiskohdat tulisi poistaa, kuitenkin olennaiset yksityiskohdat selkeyttää 14. Nykyisin kartta voi olla myös digitaalisessa muodossa. Silloin mittakaavan merkitys ei ole yhtä selkeä. Tämän lisäksi on paljon paikkaan sidottua informaatiota numeerisessa muodossa ( paikkatieto, koostuu sijainti- ja ominaisuustiedoista) ja metatietoa eli toista tietoa, esim. karttatietoa, kuvaavaa informaatiota. Paperikartassa oleva legenda on esimerkki metatiedoista. Seuraavat tiedot ovat tai voivat olla osaa lopputuotetta: Tasokoordinaatit, ilmoittavat sijainnin kunnassa, valtakunnassa, maapallolla Korkeustiedot, esim. korkeuskäyrät, korkeuspisteiden korkeusarvot, mahdollisesti profiilit Fysikaalisen maanpinnan muodot Ominaisuustiedot. Mitautut kohteet kuvataan kartalle sovitun esitystavan mukaan. Jokaiselle tiedolle annetaan sopiva tunnus tai symboli. 14 Esim. tiekartalle piirrettyjen teiden leveydet eivät ole missään suhteessa maastossa olevien teiden leveyksiin! Piirretty leveys ilmaistaa tien tärkeyttä liikenteelle. Näin yleistys toimii. 38

47 3 Koordinaatit, muunnokset, datumit 3.1. Avaruus- ja tasokoordinaateista Koska maapallo on kolmiulotteinen kappale, on geodesia kolmiulotteinen tiede. Maapallo ja sen yhteydessä olevat pisteet sijoittuvat kolmiulotteisessa avaruudessa, ja geodesian tehtävä on niiden sijainnin kuvaus kolmiulotteisten koordinaattien (X, Y, Z) T avulla. Nykyiset mittausjärjestelmät, kuten mm. globaalinen satelliittipaikannusjärjestelmä GPS, mahdollistavat jopa kolmiulotteisten koordinaattien suoraa määrittämistä. Kuitenkin geodesia on myös geotiede ja ihmisiä palveleva, sovellettu tieteenala. Ihmiskunta asuu painovoiman pakottamana Maan pinnan välittömässä läheisyydessä, kvasi-kaksiulotteisessa aliavaruudessa jossa liikkumisen vapautta on käytännössä vain vaakasuunnassa, Maan pintaa pitkin. Tämän lisäksi tärkeä kommunikaatioväline paperi on ehdottomasti kaksiulotteinen, ja kartathan piirretään tavallisesti paperille! Siksi geodesiassa ja maanmittauksessa käytetään varsin yleisesti tasokoordinaatit, suorakulmaiset kaksiulotteiset, metriset koordinaatit vaakatasossa. Maanmittaustyöhön sopivia, käytännön tasokoordinaattijärjestelmiä on olemassa monta. Pääerot niiden välillä ovat: 1. Origon sijainti ja akseleiden orientaatio. Origo, lähtöpiste jossa x = y = 0, on oltava tunnettu. Yleensä akselit ovat x pohjoiseen ja y itään, muttei välttämättä tarkasti. 2. Määritystekniikka eli geosentrisyys: nykyaikaiset tasokoordinaatit on saatu GPS:llä tuoduista geosentrisista, kolmiulotteisista koordinaateista. Tämä koordinaatistotyyppi on vielä uusi eikä laajassa maanmittauskäytössä. Geodeettiset tasokoordinaatit ovat itse asiassa karttaprojektiokoordinaatteja: ne on saatu karttaprojektiokaavojen kautta alunperin kolmiulotteisista koordinaateista ellipsoidisen leveys- ja pituusasteen ϕ, λ kautta. Hyvin pienillä alueilla, kuten rakennustyömailla, ei varsinaista karttaprojektiota tarvita. Näillä tasokoordinaatit voidaan katsoa toposentristen (havaintopaikankeskeisten) koordinaattien suorakulmaiseksi erikoistapaukseksi. 39

48 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Projektio Greenwich- eli nollameridiaani λ 0 Päiväntasaaja Keskimeridiaani pituus λ 0 Kuva 3.1.: Maan kuperan pinnan kuvaaminen kapeina kaistona tasolla. Tämä on sekä Gauß- Krüger että UTM projektion periaate. Vääristymät jäävät hyväksyttävän pieniksi vain rajatulla alueella Karttaprojektiot Maapalloa ei voida kaarevana pintana kuvata tarkasti tasolle ilman vääristymiä. Pienellä alueella se vielä onnistuu tietyllä tarkkuudella; pohjapiirroksia voidaan laatia suoraan kuvaamalla Maan pinnan osaa suorakulmaisissa tasokoordinaateissa (x, y). Sellaiset kartat on laajasti käytössä monessa paikallisessa karttasovelluksessa. Kuitenkin koko Suomen tai vieläkin suurempien alueiden kuvaamiseksi karttatasoon tämä yksinkertainen menetelmä ei riitä. Kaarevan pinnan kuvaamiseksi litteään karttapaperiin tarvitaan karttaprojektio, ks. kuva 3.1. Karttaprojektiossa aina approksimoidaan. Kuten jo mainittiin osassa 1.8, aina menetetään jotain. Ei ole olemassa projektiot jotka eivät vääristäisi mitään, tai joiden mittakaava olisi kaikkialla karttatasossa sama. Projektio valitaan käyttötarkoituksen mukaan niin, että joku käyttäjälle tärkeä asia säilyy: kohteiden muoto, pinta-ala, jotkut etäisyydet, tai kompassisuunta. Suomessa on tällä hetkellä kaksi eri taso- eli projektiokoordinaattijärjestelmä käytössä: vanha eli kkj, ja uusi eli EUREF-FIN. Suomen kkj -järjestelmän käyttämä projektio on Gauß-Krüger, mikä on eräs ns. poikittainen Mercator-projektio. Keskimeridiaanilla vääristymä on nolla, eli kartan ilmoitettu mittakaava pätee tarkasti. Projektiota käytetään Suomessa kuudella kaistalla, joiden keskimeridiaanien pituusasteet ovat kolmen asteen välein. Tämän lisäksi on pienimittakaavaisille 1 kartoille käytössä yhtenäiskoordinaattijärjestelmä, jossa koko Suomen alue on projisoitu Gauß-Krügerin mukaan käyttäen keskimeridiaanina 27. Vertausellipsoidina karttaprojektion laskemiseksi käytetään kkj :n kanssa Hayford- eli kansainvälinen ellipsoidi vuodesta Uudet tasokoordinaatit Suomessa perustuvat EUREF-FIN järjestelmään Anon. [2008b], joka on kolmiulotteinen geosentrinen (X, Y, Z)-järjestelmä. Uuden järjestelmän käyttämät karttaprojektiot ovat sekä Gauß-Krüger että UTM. 1 Pienimittakaavainen kartta on kartta, jonka mittakaavaluku M on suuri, jos mittakaava on 1:M. Mittakaava 1: on pieni: suuretkin kohteet näyttävät pieniltä kartalla, mutta kuvattu alue on suuri. Mittakaava 1:2000 on suuri: pienetkin yksityiskohdat näkyvät hyvin, mutta kuvattu alue on pieni. 40

49 3.2. Karttaprojektiot m x 70 N 65 N 60 N 24 E 30 E 21 E 27 E m Kuva 3.2.: Suomen kkj -järjestelmän (väistymässä!) Gauß-Krüger -karttaprojektion kaistajako. Kaistat 0 (keskimeridiaani 18 ) ja 5 (33 ) jätetty pois y Pienimittakaavaisille kartoille käytetään UTM keskimeridiaanilla 27 E; tämän tasokoordinaatiston nimi on ETRS-TM35FIN. Tämä ratkaisu on hyvin samanlainen kun yllä mainittu yhtenäiskoordinaatijärjestelmä. Projektio on myös koko Suomen karttalehtijaon pohjana. Suurimittakaavaisille kartoille käytetään Gauß-Krüger -projektio keskimeridiaanilla, jonka pituus on lähin kokonaisasteluku, esim. 23 E, jolloin projektion nimi on ETRS-GK23. Tästä poiketaan kuitenkin käytännön syistä, esim. koko kunnan kartoittamiseksi samaan kaistaan. Valinnan seurauksena nämä kartat soveltuvat käyttötarkoituksiin, joissa ei voida hyväksyä suuremmat mittakaavavääristymät, esim. kaavoitus ja infrarakentaminen. Kansainvälisestikin käytetään paljon UTM (Universal Transverse Mercator) -järjestelmä. UTM eroaa Gauß-Krügerista kahdella tavalla: Mittakaava keskimeridiaanilla on eikä 1.0. Tämä merkitsee, että keskimeridiaanilla kartta kuvaa yksityiskohdat n. 400 ppm (parts per million eli miljoonasosaa) pienemmiksi kuin mitä ne kartan nimellismittakaavan perusteella pitäisi olla. Se on 40 cm kilometriä kohti. Projektiokaistojen leveys on 6 eikä 3. Tämä merkitsee että mittakaavavääristymä, joka keskimeridiaanilla on -400 ppm, kääntyy kaistan reunoihin asti positiiviseksi, n ppm, ainakin päiväntasaajalla. Suomen leveysasteilla vääristymä jää aika paljon pienemmäksi. Näillä kahdella valinnalla pyritään pitämään mittakaavavääristymä koko kaistan alueella 41

50 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Pohjoinen (Northing) x P α s O Origo y Itäinen (Easting) Kuva 3.3.: Geodeettinen tasokoordinaatisto tiettyjen rajojen sisällä kaistan suuresta leveydestä huolimatta. Sekä Gauß-Krüger että UTM (Universal Transverse Mercator) ovat ns. konformisia projektioita: kulmat ja pituussuhteet säilyvät paikallisesti, pikkuneliöt muuttuvat pikkuneliöiksi, pikkuympyrät pikkuympyriksi Tasokoordinaatit Geodesiassa käytetty tasokoordinaatisto poikkeaa hieman tutusta matematiikan x, y järjestelmästä. Ks. kuva 3.3. Kun matematiikassa x-akseli osoittaa oikeaan ja y-akseli ylös, on geodesiassa tapana että x-akseli osoittaa pohjoiseen ( Northing ) ja y-akseli itään ( Easting ). Suorakulmaisten koordinaattien (x, y) lisäksi käytetään napakoordinaatteja (α, s). Joskus käytetään symbolit (A, s). Huomaa, että geodesiassa, atsimuti eli suuntakulma α (tai A) kulkee pohjoisesta myötäpäivään 2. siis idän kautta, eli toisinpäin kuin matematiikassa. s on etäisyys koordinaatiston origosta O. Suorakulmaisten ja napakoordinaattien välillä pätevät seuraavat yksinkertaiset trigonometriset muunnoskaavat: y = s sin α sin α = y s x = s cos α cos α = x s tan α = sin α cos α = y x α = arctan y x + k 180. Viimeisessä kaavassa kokonaisluku k on valittava näin, että tulos α on suuntaympyrän sopivassa kvadrantissa; arctan y x on aina välissa ( π 2, + π 2 ], eli kvadrantissa I tai IV. Pythagoraan lause antaa etäisyyden s: s = x 2 + y 2. 2 Tähtitieteessä atsimuti kulkee etelästä länteen, siis myös myötäpäivään. Ja myös geodesiassa käytäntö vaihtelee: Ranskassa mm. mitataan atsimutikulma vastapäivään! Asia on aina tarkistettava. Nimen atsimuti alkuperä on arab. as-sumût, tiet. 42

51 3.4. Geodeettinen päätehtävä x Kvadrantti IV Kvadrantti I y Kvadrantti III Kvadrantti II Kuva 3.4.: Tason kvadrantit x P 2 α 12 s 12 x P 1 y y Kuva 3.5.: Geodeettinen päätehtävä tasokoordinaateissa. x = x 2 x 1 ; y = y 2 y Geodeettinen päätehtävä Geodeettinen päätehtävä ( GPT ) tarkoittaa tuntemattoman pisteen koordinaattien määrittäminen, kun lähtöpisteen koordinaatit sekä suuntakulma ja etäisyys lähtöpisteestä tuntemattomaan pisteeseen ovat annettuina. Yleisessä tapauksessa, mielivaltaisella kaarevalla pinnalla, geodeettinen päätehtävä ei voida helposti ratkaista. Mutta jo pallon pinnalla suljettu (vaikkakin monimutkainen) ratkaisu on olemassa. Onneksi tasokoordinaatistossa, kaksiulotteisesti, geodeettinen päätehtävä on yksinkertaisempi, kuten tulemme seuraavaksi näkemään Geodeettinen päätehtävä tasossa Olkoon tasossa kaksi pistettä P 1 ja P 2 (kuva 3.5). Lähtöpisteen P 1 tasokoordinaatit (x 1, y 1 ), sekä vektorin P 1 P 2 atsimuti α 12 ja pituus s 12, ovat annettuina. Laskettava on tuntemattoman pisteen P 2 koordinaatit (x 2, y 2 ). Ratkaisu saadaan seuraavasti: sin α 12 = y s 12 y = s 12 sin α 12 ; Tämän avulla: cos α 12 = x s 12 x = s 12 cos α 12. x 2 = x 1 + x = x 1 + s 12 cos α 12 ; y 2 = y 1 + y = y 1 + s 12 sin α

52 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Esimerkki: Ratkaisu: Annettuna piste A jonka koordinaatit ovat x A = m, y A = m. Jos etäisyys pisteeseen B on s = m ja atsimuti (suuntakulma) α = 50 gon, ratkaise geodeettinen päätehtävä pisteille A, B. x = s cos α = m cos (50 gon) = 2000 m; y = s sin α = m sin (50 gon) = 2000 m. x B = x A + x = m m = m; y B = y A + y = m m = m Geodeettinen käänteistehtävä Geodeettinen käänteistehtävä ( GKT ) tarkoittaa kahden annettujen pisteiden välinen suuntakulman (atsimutin) ja etäisyyden laskeminen. Olkoon taas tasossa 3 kaksi pistettä P 1 ja P 2 (kuva 3.5). Olkoot niiden suorakulmaiset koordinaatit (x 1, y 1 ) ja (x 2, y 2 ). Laskettavana on α 12 ja s 12. Ratkaisu: s = x 2 + y 2 = tan α 12 = y x = y 2 y 1 x 2 x 1. (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 ; (Mielellään ei käytetä sin α 12 = y /s 12 tai cos α 12 = x /s 12, koska nämä kaavat ovat epätarkkoja kun α 12 ±90 ja vastaavasti α ± 90 ; siellähän funktiot sin α 12 ja cos α 12 ovat stationaarisia: esimerkiksi suuri muutos α 12 :ssa aiheuttaa vain pienen muutoksen funktioarvossa sin α 12 = y /s 12, ja siksi annetuista arvoista y, s 12 voidaan laskea α 12 vain epätarkasti.) Sitten: ( ) y2 y 1 α 12 = arctan + k 180, x 2 x 1 { 0 jos (x2 x k = 1 ) 0 1 jos (x 2 x 1 ) < 0 Tässä on muistettava että arctan-funktion arvot ovat aina välillä ( π /2, + π /2)!). Kuitenkin oikea α-arvo voi olla tämän välin ulkopuolella, nimittäin tapauksessa (x 2 x 1 ) < 0. Siksi ehdollinen termi k 180. Elegantimpi ratkaisu on käyttää ns. puolikulmakaava : ( α ) α = 2 = 2 arctan 2 Ks. kuva 3.6. y x + s = 2 arctan y x + x 2 + y 2. (3.1) 44

53 3.6. Erilaisia geodeettisia koordinaatistoja s y α/2 s s + x α x Kuva 3.6.: Puolikulmakaava Esimerkki: Ratkaisu: Annettuna piste A: x A = m, y A = m ja piste C jonka koordinaatit ovat x C = m, y C = m. Ratkaise pisteiden A, C geodeettinen käänteistehtävä. x = x C x A = m m = 7000 m; y = y C y A = m m = m. 1. Perinteinen menetelmä: α AC = arctan y / x + k 200 gon = arctan ( 1) + k 200 gon = 50 gon + k 200 gon. Oikea ratkaisu on ilmeisesti α AC = 50 gon gon = 150 gon. 2. Puolikulmamenetelmä: α AC = 2 arctan 75 gon = 150 gon. x+ ( y 7000 = 2 arctan x 2 + y = 2 arctan 2 s AC = x 2 + y 2 = 7000 m 2 = m ) = Erilaisia geodeettisia koordinaatistoja Suomessa, kuten kaikissa maailman maissa, on käytössä useita eri koordinaatistoja 4. Tämä hankaloittaa paikkatietojen ja koordinaattiaineistojen käyttöä. Koordinaattiaineistojen 3 Pallon pinnalla geodeettista käänteistehtävää ratkaistaan periaatteessa samojen kaavojen avulla kuin yllä geodeettisen päätehtävän tapauksessa, mutta eri järjestyksessä: ensin lasketaan ψ AB suureista ϕ A, ϕ B ja λ kosinikaavan avulla, sen jälkeen α A ja α B saadaan sinikaavan avulla. 4 Tässä ei vielä tehdä selvää pesäeroa koordinaattijärjestelmien ja koordinaatistojen välillä. Tästä hieman lisää osassa

54 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Kuva 3.7.: Systemaattinen siirtymä tieverkon ja ilmakuvapohjan välillä voisi liittyä eri koordinaatistojen käyttöön. Google Earth TM ; c 2009 Google, Map Data c 2010 Digital Globe, c 2010 Tele Atlas, c 2010 Europa Technologies käytön edellytyksenä on tietää, missä koordinaatistossa annettu aineisto on; tarvittaessa aineistoa joudutaan muuntamaan järjestelmästä toiseen ennen käyttöä. Suurin periaatteellinen ero koordinaatistojen välillä on, onko järjestelmä perinteinen, siis luotu ennen satelliittiaikakautta käyttäen perinteisiä geodeettisia mittausmenetelmiä, vai moderni eli geosentrinen, luotu satelliittipaikannusteknologian avulla. Näistä eri koordinaatistovaihtoehdoista ja niiden välisestä muunnoksista lisää seuraavassa Valtakunnallinen kartastokoordinaattijärjestelmä, kkj Suomessa vanha, aikanaan virallinen ja nyt väistymässä oleva koordinaattisto on kkj (Kartastokoordinaattijärjestelmä, en. National Map Grid Coordinate System). Järjestelmä on hyvä esimerkki karttaprojektion käytöstä valtakunnallisen alueen kuvaamiseksi kaksiulotteiseen karttatasoon. Maan kaarevaa pintaa ei voida kuvata tasolle ilman vääristymiä. Siksi kuvataan kerralla vain pieniä osia. Tätä varten Suomi on jaettu kuuteen kkj-projektiokaistaan, joissa jokaisessa on oma projektiotason koordinaatisto. Projektiotason koordinaattit ovat x (Northing) ja y (Easting). Käytetty projektio on Gauß-Krüger, konforminen projektio, ks. luku 1.8. x:n origo on päiväntasaajalla ja x-akseli osoittaa kaistan keskimeridiaania pitkin. Tästä johtuu, että x-koordinaatit Suomessa ovat arvoltaan luokkaa m. y-koordinaatti kuvaa etäisyyttä keskimeridiaanilta. Jotta vältetään negatiiviset y-koordinaatit, näihin on lisätty 500 km, eli keskimeridiaanilla olevalla pisteellä on y-koordinaatti m ( false Easting eli vale-itä). y-akseli on kohtisuoraa x-akseliin nähden. y- koordinaatit ovat teoreettisesti suuruusluokkaa m; käytännössä kuitenkin arvoväli on m, kaistojen kapeuden johdosta Suomen leveysasteilla. Suomessa käytetään kuutta kkj -projektiokaistaa numeroituina : kaistojen keskimeridiaanit ovat pituusasteilla 18, 21, 24, 27, 30 ja 33 Itään. Kaistoissa toistuvat samat 46

55 3.6. Erilaisia geodeettisia koordinaatistoja x Northing Keskimeridiaani (False Easting) O 1 y Easting Kuva 3.8.: Suomen kkj -koordinaattijärjestelmän yhden kaistan geometria (itä-länsi-suunnassa venytetty) koordinaatit. Siksi, yksiselitteisten arvojen saamiseksi, y-koordinaatin eteen laitetaan kaistan numero, ensimmäisenä desimaalina (paitsi jos se on 0). Ks. kuva 3.8. Esimerkiksi 1. kaistan vasen alanurkan koordinaatit ovat likimain x = , 000 m y = , 000 m Vastaavasti 3. kaistan x = , 000 m y = m Kkj-järjestelmää käytetään edelleen monessa kunnassa; kuitenkin, etenkin valtakunnallisessa työssä, on valtamassa alaa EUREF-FIN -pohjaisia karttaprojektiokoordinaatteja, ks. alla. Mikäli kkj -koordinaatit käytetään pienen alueen sisällä, jätetään usein vasemmalla puolella olevat desimaalit pois, koska ne ovat aina samoja. Näin saadaan katkaistuja koordinaatteja, jollaisia voi tulla vastaan kuntien laskupapereissa Kartastokoordinaattijärjestelmän yhtenäiskoordinaatisto Tässä koordinaatistossa, joka on tarkoitettu käytettäväksi pienimittakaavaisissa (siis: suurta aluetta kuvaavissa) kartoissa ja joka on muuten identtinen kkj :n kanssa, koko Suomi on projisoitu kaistaan 3 (keskimeridiaani 27 ). Koska on vain yksi kaista, y-koordinaattien eteen ei anneta kaistan numeroa. 47

56 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Vanha valtion järjestelmä vvj Tätä kutsutaan myös Helsingin järjestelmäksi. Koordinaatit ovat määritetty samalla tavalla kuin kkj :n tapauksessa, mutta merkintätapa on y = , eli y-koordinaatin eteen laitetaan itse keskimeridiaanin pituusaste. Vanha, mutta monessa kunnassa vielä käytössä. Helsingin järjestelmän koordinaattien erot kkj-koordinaateista ovat luokkaa muutama metri (Tikka [1991] s. 193) EUREF-89-järjestelmä GPS-satelliittipaikannusjärjestelmän käytön yleistymisen myötä voidaan helposti määrittää kaikkialla maapallolla kolmiulotteiset koordinaatit järjestelmässä joka on muutaman senttimetrin tarkkuudella geosentrinen, eli kolmiulotteisten koordinaattien origo yhtyy Maan massakeskipisteen kanssa. Geosentriset järjestelmät ovat globaalisia. Euroopan alueella sellainen järjestelmä on ETRF89 eli EUREF-89. Suomessa, kuten monessa muussa Euroopan maassa, ollaan siirtymässä EUREFjärjestelmän 5 käyttöön virallisena koordinaattistona. Silloin käytetään myös EUREFkarttaprojektiokoordinaatit, jotka ovat siis tasokoordinaatteja x, y. Projektiona käytetään, mittakaavasta riippuen, joko Gauß-Krüger kuten nykyisin tai UTM, kansainvälisesti laajasti käytössä oleva, myös konforminen projektio. Pienimittakaavaisille kartoille, siis sellaisille, joissa kuvataan koko Suomea tai sen suurta osaa, valitaan uutta ETRS-TM35FIN -projektiokoordinaattijärjestelmää, joka perustuu kolmiulotteiseen EUREF-FIN koordinaatistoon ja UTM-projektioon 27 keskimeridiaanilla. Tämä korvaa vanhaa kkj :n yhtenäiskoordinaatistoa. Myös topografikartoille käytetään ETRS-TM35FIN -projektiota. Suurimittakaavaisille kartoille jotka ovat tarkoitettu paikalliseen käyttöön, käytetään edelleen Gauß-Krüger projektiota, mutta kaistaleveydellä 1. Tästä käytetään nimitys ETRS-GKn, jossa n on keskimeridiaanin asteluku. Projektion etuna on tarkka mittakaava. Kaikkien projektioiden laskentaan käytetään vanhan Kansainvälisen eli Hayford-ellipsoidin sijaan uutta, geosentristä GRS80-ellipsoidia Paikalliset koordinaattistot Paikallisia, usein vanhoja, koordinaatistoja käytetään edelleen mm. monessa Suomen kunnassa. Origo on yleensä sijoitettu niin, että koko kunnassa esiintyy vain positiivisia x- ja y-koordinaatteja. Usein origo on vain laskennallinen piste, joka ei välttämättä ole edes olemassa merkkinä maastossa. Yhteys valtakunnalliseen järjestelmään voi olla, että tunnetaan esim. kirkon (tai muun maamerkin) koordinaatit myös kkj :ssa. Tässä tapauksessa voidaan muuntaa paikalliset ja valtakunnalliset koordinaatit toisiinsa lisäämällä tai vähentämällä vakiosiirtymä molemmassa (x, y) koordinaatissa. 5 Tarkempi nimitys: EUREF-89, tai Suomessa EUREF-FIN. Usein käytetty nimike WGS84 viittää järjestelmään joka on desimetrin tarkkuustasolla yhteneväinen EUREF-89:n kanssa. Usein sitä käytetään (virheellisesti) EUREF-89:n synonyyminä. 48

57 3.6. Erilaisia geodeettisia koordinaatistoja x x = (Kaupungin alue) O y = y Kuva 3.9.: Paikallinen koordinaatisto x x O O y y Kuva 3.10.: Tilapäinen koordinaatisto Tarkempaan työhön yksi piste ei riitä ja tarvitaan suurempi määrä yhteisiä pisteitä, koordinaatteiltaan tunnettuja sekä paikallisessa että valtakunnallisessa järjestelmässä Tilapaiset koordinaatistot Joskus on tarkoituksenmukaista käyttää mittauksissa tilapäistä, yleisestä järjestelmästä poikkeavaa koordinaatistoa. Jopa akseleiden suunnat voivat poiketa tavallisesta pohjois- ja itäsuunnasta. Tilapaistä koordinaatistoa käytetään vain mittauksen (tai esim. rakennusprojektin) aikana, laskennassa koordinaatit muunnetaan pysyvämpään, paikalliseen tai valtakunnalliseen, oikein orientoituneen järjestelmään. Origo ja akselien suunnat voidaan valita mittaustehtävän mukaisesti, esim. seinien suuntaisiksi. 49

58 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit 3.7. Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Ks. Kahmen and Faig [1988, sivut ]. Yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnos on muunnos kahden suorakulmaisen (kaksiulotteisen) tasokoordinaatiston välillä. Se esiintyy hyvin usein käytännön mittaus- ja laskentatehtävissä, kun on käytettävissä ja yhdistettävissä kahdessa tai useammissa koordinaatistossa olevat koordinaattiaineistot. Tämä on vaikea tehtävä; yleisessä tapauksessa käytetään riittävä määrä kiintopisteitä joiden koordinaatit tunnetaan molemmissa järjestelmissä, ja suoritetaan tasoitus. Erikoistapaus, jossa on käytettävissä vain kaksi yhteistä kiintopistettä, on suhteellisen yksinkertainen. Tunnetaan kahden kiintopisteen A ja B koordinaatit: (x A, y A ), (x B, y B ), (u A, v A ), (u B, v B ) ; lisäksi annettu pistejoukon koordinaatit (u, v)-koordinaatistossa: (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ),..., (u i, v i ),..., (u n, v n ). Laskettava koko pistekentän yhdenmuotoisuusmuunnos (u i, v i ) (x i, y i ), i = 1,..., n. Tämä muunnos suoritetaan seuraavissa askeleissa: Origon siirto O uv O xy, siirtoparametrit (x 0, y 0 ), ks. kuva Koko (u, v)-koordinaatiston kierto kulman θ verran (kiertoparametri θ, ks. kuva 3.11) muunnetaan (u, v)-koordinaatiston mittakaava samaksi kuin (x, y)-koordinaatistossa käyttämällä mittakaavasuhde K. Helmert-muunnos kutsutaan myös neliparametriseksi muunnokseksi (x 0, y 0, θ, K). x u y v B y 0 θ O uv x A u α xy α uv s xy = Ks uv O xy x 0 v y Kuva 3.11.: Yhdenmuotoinen koordinaattimuunnos eli Helmert-muunnos 50

59 3.7. Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos K θ t Kuva 3.12.: Helmert-muunnoksen vaiheet: translaatiovektori t, skaalaus K, rotaatio θ Helmert-muunnoksen yleinen muoto on: x = x 0 + K cos θ u K sin θ v y = y 0 + K sin θ u + K cos θ v eli matriisimuodossa (ks. liite A) [ x y ] = [ x0 y 0 ] [ cos θ sin θ + K sin θ cos θ ] [ u v ]. (3.2) Muunnosparametrien määritys Parametrien määrittäminen yksikäsitteisesti vaatii vähintään neljä havaintoa esimerkiksi kahden pisteen yhteensä neljä koordinaattia x A, y A, x B, y B, ja vastaavasti u A, v A, u B, v B neljän muunnosparametrin K, θ, x 0, y 0 määrittämiseksi: ratkaistavana on silloin neljä yhtälöä neljässä tuntemattomassa. Lasku suoritetaan vaiheittain. Mittakaavakerroin Mittakaavasuhde saadaan Pythagoraan lauseen avulla: jossa K = s xy s uv = x2 + y 2 u2 + v 2, x = x B x A, u = u B u A, y = y B y A, v = v B v A. 51

60 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit Kiertokulma Kiertokulma 6 on: θ = α xy α uv = arctan y v arctan x u (3.3) Eromuunnoskaava Siirtovakioiden laskemiseksi johdetaan ensin geometrisesti ns. Helmertin eromuunnoskaava. Lasketaan x ja y (u, v)-koordinaatiston s uv ja α uv avulla: ja vastaavasti x = s xy cos α xy s xy = K s uv α xy = α uv + θ x = K s uv cos (α uv + θ), y = K s uv sin (α uv + θ). Käyttämällä sinin ja kosinin summakaavoja saadaan: x = s uv cos α uv K cos θ s uv sin α uv K sin θ, y = s uv sin α uv K cos θ + s uv cos α uv K sin θ. Sijoittamalla saadaan s uv cos α uv = u, K cos θ = c, s uv sin α uv = v, K sin θ = s, x = c u s v = K cos θ u K sin θ v, y = s u + c v = K sin θ u + K cos θ v, (3.4) eli matriisin muodossa [ ] [ x c s = y s c ] [ u v ] [ cos θ sin θ = K sin θ cos θ ] [ u v ]. Tämä on Helmertin eromuunnoskaava. Se voidaan johtaa myös suoraan Helmertin alkuperäiskaavalta vähentämällä toisistaan pisteen B ja pisteen A kaavat ja muistamalla x, y, u, v:n määritelmät 7. Kaavojen (3.4) avulla voidaan muuntaa yleisiä koordinaattieroja kahden mielivaltaisen pisteen välillä: ( u, v) ( x, y). 6 Unohdetaan hetkeksi kvadranttiongelma. Periaatteessa pitäisi lisätä termi k 180, missä k kokonaisluku. 7 Tarkista! 52

61 3.7. Koordinaattien yhdenmuotoisuusmuunnos Siirtymävakiot Tutkitaan seuraavaksi pistepari (x, y) ja (x 0, y 0 ), eli vastaavasti (u, v) ja (u 0, v 0 ). Olkoon alkuperäisen koordinaatiston (u, v) origon koordinaatit u 0 = v 0 = 0. Silloin ja samalla u = u u 0 = u, v = v v 0 = v, x x x 0, y y y 0. Lasketaan (u, v)-koordinaatiston origon koordinaatit uudessa koordinaatistossa, (x 0, y 0 ). Sijoittamalla eromuunnuskaavaan (3.4) ja uudelleen järjestämällä saadaan: x 0 = x cu + sv, y 0 = y su cv. Tämä kaava siis pätee mielivaltaisilla pisteillä (x, y) eli (u, v). Erikoistamalla tätä kaavaa nyt pisteelle A (siis x = x A, y = y A, u = u A, v = v A ), saadaan siirtymävakioiden (x 0, y 0 ) laskentakaavoiksi: x 0 = x A cu A + sv A, y 0 = y A su A cv A. missä, kuten aikaisemmin määritetty, s = K sin t, c = K cos t. Käyttö Mielivaltaiselle pisteelle (x, y) Helmert-muunnoskaavat ovat nyt, kun kaikki muunnosparametrit on ratkaistu: x = x 0 + cu sv = x 0 + K cos θ u K sin θ v, y = y 0 + su + cv = y 0 + K sin θ u + K cos θ v, eli jo yllä annetut kaavat (3.2). Symbolinen matriisimuoto Helmert-muunnoskaavat matriisin muodossa: [ ] [ ] [ ] [ ] x x0 c s u = + = y s c v y 0 [ x0 y 0 ] + K [ cos θ sin θ sin θ cos θ ] [ u v ]. voidaan kirjoittaa kompaktisti: x = x 0 + Cu = x 0 + KRu, (3.5) 53

62 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit missä vektorien (sarakematriisien) ja matriisien määritelmät ovat ilmeisesti: x [ x y ] [ x0, x 0 y 0 ] [ c s, C s c ] [ u, u v ] [ cos θ sin θ, R sin θ cos θ Usein kirjoitetaan K = 1+m, missä m on mittakaavapoikkeama. Yleensä tämä luku on pieni ja sitä ilmaistaan yksikkössä ppm (parts per million). Muunnoskaavat (3.2, 3.5) kutsutaan yhdenmuotois- eli Helmert-muunnokseksi tasossa. Esimerkki: 1. Annettuna pisteiden A, B koordinaatit (u, v) -koordinaattijärjestelmässä: u A = 0 m, v A = 0 m, u B = 1500 m, v B = 1500 m; ja (x, y) -koordinaattijärjestelmässä: x A = 2000 m; y A = 3000 m; x B = m; y B = m. ]. Olettaen, että systeemien (u, v) ja (x, y) välinen muunnos on Helmert-muunnos: [ x y ] [ cos θ sin θ = K sin θ cos θ ] [ u v ] + [ x0 y 0 ], Ratkaisu: laske sen parametrit K, θ, x 0 ja y Annettuna pisteen C koordinaatit (u, v)-järjestelmässä: u C = 1000 m, v C = 2000 m; laske x C, y C. 1. Nähdään heti, että u = 1500 m, v = 1500 m, x = m ja y = m; tästä päätellään, eromuunnoskaavan (3.4) avulla, että K = ja θ = 0. Sen jälkeen pisteelle A: x A = x u A x 0 = x A u A = 2000 m; y A = y v A y 0 = y A v A = 3000 m. 2. Lasketaan x C = x u C = 2000 m m = m; y C = y v C = 3000 m m = m. 54

63 3.8. Datumit ja datum-muunnokset 3.8. Datumit ja datum-muunnokset Geodeettiset koordinaatit eivät ole vain matemaattisia suureita. Ne mitataan ja lasketaan lähtöpisteistä käsin. Lähtöpisteiden valinta on aina jossain määrin mielivaltainen; jokainen sellainen valinta luo se, mitä geodeetit kutsuvat geodeettiseksi datumiksi. Toisin sanoen, kun geodeettiset mittaukset tehdään aina maapallon osa-alueella käyttämällä tietty mittauspisteiden joukko ja tietty havainto-aineisto, saadaan tosielämässä ratkaisu joka edustaa vain tietyn järjestelmän realisaatio eli toteutus. Puhutaan myös koordinaattistosta eikä koordinaattijärjestelmästä 8. Koordinaatisto tai datum muodostetaan alueellisesti; kun se kohtaa toista, samalla tavalla muodostettua (mutta eri lähtöpisteistä lähtevää) raamia, samojen pisteiden koordinaattiarvot eivät yleensä ole samoja. Esim. siinä missä Suomen ja Ruotsin tarkkavaaitusverkot kohtaavat toisiaan rajalla, saadaan samalle pisteelle kahdet eri korkeusluvut. Myös sijaintiverkkojen tapauksessa puhutaan datumeista: kun ne kohtaavat rajoilla, vaakaeli sijaintikoordinaatit (ϕ, λ) eivät yleensä ole tarkasti samoja. Erot ovat klassisten kolmioverkkojen tapauksessa muutaman kaarisekunnin luokka. Eri datumeissa olevien pisteiden koordinaattien muuntamiseksi toisen datumin koordinaateiksi löytyy kirjallisuudesta (kohtalaisen monimutkaisia) muunnoskaavoja Esimerkki: korkeusverkko Tutkitaan esimerkkinä korkeudenmittaus, vaaitus. Suomen virallinen korkeusjärjestelmä v syyskuun 25 päivään saakka, N60, perustuu tietyn pisteen korkeuteen. Tämä lähtöpiste on Helsingin tähtitornin pihalla sijaitsevan graniittipilarin tietty hiottu pinta. Tässä on mukana se historiallinen sattuma, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. Lähtöpisteen korkeusarvo on valittu niin, että korkeudet ovat melko tarkasti Helsingin v alun keskimerenpinnan yläpuolella. Tieteellisessä mielessä Helsingin valinta oli mielivaltainen. Suomen uusi korkeusjärjestelmä N2000 käyttää lähtöpisteenään 40 km Helsingistä länteen sijaitsevan Metsähovin observatoriossa oleva kiintopiste, jonka korkeusarvo on valittu niin, että korkeudet ovat Amsterdamin perinteiden keskimerenpinnan NAP:n suhteen. Amsterdaminkin valinta oli historiallinen sattuma. Valtakunnallinen tarkkavaaitus on vienyt virallisia korkeuksia kaikkialle Suomeen. Selvä on, että pisteiden korkeuksien tarkkuudet tässä järjestelmässä riippuvat etäisyydestä Helsingistä. Kevon korkeus on selvästi heikommin tiedossa kuin Jyväskylän. Ja Turun korkeus on jonkin verran epätarkka, koska mittaus Helsingistä Turkuun ei ollut absoluuttisen tarkka. Toisaalta Helsingin lähellä olevien pisteiden mitatut korkeudet ovat hyvinkin tarkkoja, koska datumpiste, Tähtitorninmäki tai Metsähovi, on lähellä. Kuvittele hetkeksi ettei Helsinki vaan Turku olisi Suomen pääkaupunki, ja että Suomen korkeusjärjestelmän datum-pisteeksi olisi valittu merkki Tuomiokirkon seinällä. Silloin kaikki Turun lähistöllä olevat korkeuspisteet olisivat hyvin tarkkoja, mutta Helsingin alueen pisteet olisivat saman verran epätarkkoja kuin nykyjärjestelmässä ovat Turun pisteet: Onhan vaaitus Turun ja Helsingin välillä jonkin verran epätarkka. Tarkkuus riippuu näkökohdasta, valitusta datumista. 8 Englanniksi koordinaattijärjestelmä on co-ordinate system tai reference co-ordinate system, kun taas sen realisaatio maastossa, koordinaatisto, on co-ordinate frame. Esim. ETRS = European Terrestrial Refe- 55

64 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit A D (+0.016) A D A D B C B B C A-datum B-datum C Keskivirhe 10 mm Kuva 3.13.: Vaihtoehtoisia korkeusdatumeita A ja B Kuvassa 3.13 on esitetty neljän pisteen vaaitusverkko. Annettuna korkeuserot AB, BC, CD ja DA. Lisäksi on annettu rannikopisteissa A ja B korkeus keskimerenpinnasta, mitattu mareografin (vesiasteikon) avulla. Ensin tasoitetaan silmukka: Väli Havaittu Korjaus Tasoit. AB -0,925-0,004-0,929 BC +0,548-0,004 +0,544 CD +0,321-0,004 +0,317 DA +0,072-0,004 +0,068 Sulkuvirhe +0, Käytetään piste A lähtöpisteenä ja lasketaan pisteiden korkeudet: Piste Korkeus Keskivirhe a A 3,443 ±0,000 B 2,514 ±0,010 C 3,058 ±0,014 D 3,375 ±0,010 a Nämä keskivirheet ovat keksittyjä, vaikkakin realistisen näköisiä. 2. Samalla tavalla, mutta käyttäen B lähtöpisteenä: Piste Korkeus Keskivirhe B 2,533 ±0,000 C 3,077 ±0,010 D 3,394 ±0,014 A 3,462 ±0,010 rence System ja ERTF = European Terrestrial Reference Frame. 56

65 3.8. Datumit ja datum-muunnokset Kuten nähdään, on viimemainitussa tapauksessa kaikki lasketut korkeudet 0,019 m verran suurempia. Korkeuserot ovat tietenkin samoja. Ero 0,019 m on juuri pisteiden A ja B korkeuserojen ero kahden menetelmän välillä: (1) vaaitus+tasoitus ja (2) vesiasteikkot. Ero johtuu mittausvirheistä ja siitä, että todellinen merenpinta ei ole taso. Datum-ero A-datumin ja B-datumin välillä on 0,019 m. Datum-muunnos on: H (B) i yleisemmin H (B) i = H (A) i m, = H (A) j + ( H (B) A H(A) A ). Jokainen tasoituslasku tuottaa laskettujen arvojen tarkkuusarvioita eli keskivirheitä. Jos oletetaan, että annettuna arvona datum-pisteen korkeusarvo on virheetön (keskivirhe nolla), kasvavat pistekorkeuksien keskivirheet, kun etäisyys datum-pisteestä kasvaa. Yllä olevissä taulukoissa on annettu (mielikuvituksellisia) standardipoikkeamia, jotka käyttäytyvät juuri tällä tavoin. Ne on myös kuvissa piirretty virhepylväiksi Sijaintikoordinaattien datumit Kuten sanottu, on myös sijaintiverkkojen tapauksessa olemassa eri datumit. Kuvassa 3.14 on kuvattu AB-datum ja P Q-datum. AB-datum on luotu ottamalla pisteiden A ja B jo tiedossa olevat koordinaattiarvot totuudeksi ja tasoittamalla koko verkko niitä muuttamatta. Näin saadaan lasketuksi muiden pisteiden, myös P :n ja Q:n, koordinaatit. P Q-datum taas on luotu samalla tavalla kiinnittämällä pisteiden P ja Q koordinaatit etukäteen annetuille arvoille, ja tasoittamalla verkkoa muiden pisteiden koordinaattien saamiseksi. Kuten kuvasta näkyy, ovat pisteen koordinaatit AB-datumissa ja P Q-datumissa erilaisia. Kuitenkin koko verkon muoto on samanlainen, riippumatta siitä, onko valittu datum AB vai P Q. Tässä tapauksessa datum-muunnos on yhdenmuotoisuusmuunnos eli Helmert-muunnos. Pisteiden A, B, P, Q etukäteen tiedossa olevat koordinaatit ovat yleensä peräisin aikaisemmasta verkkotasoituksesta, tähtitieteellisesta paikanmäärityksestä tai on luettu kartalta: ne ovat koordinaattien likiarvot. Datumin määrittäminen on siis sama kuin lähtöpisteiden valitseminen; lähtöpisteet joiden likikoordinaatit otetaan muodollisena totuutena verkon tasoituslaskussa. Olisi sattuma, jos verkon laskenta AB-datumissa tuottaisi samat koordinaatit kuin laskenta P Q-datumissa. Erot eri tavalla laskettujen koordinaattien välillä ovat suuruudeltaan verrattavissa käytettyjen likikoordinaattien tarkkuuteen. Erot ovat usein kuitenkin niin pieniä, että muunnosparametrit ovat lähellä nolla tai yksi: Helmert-kaavassa x = x 0 + K cos θ u K sin θ v y = y 0 + K sin θ u + K cos θ v 57

66 3. Koordinaatit, muunnokset, datumit P Datum [P Q] Q B A Datum [AB] Kuva 3.14.: Tasoverkon kaksi eri datumia, AB- ja P Q-datum. rotaatio θ on niin pieni, että sin θ θ ja cos θ 1; jos vielä kirjoitetaan K = 1 + m, m mittakaavapoikkeama, on myös m pieni luku, ja saadaan x = x 0 + (1 + m) u (1 + m) θv x 0 + u + mu θv y = y 0 + (1 + m) θu + (1 + m) v y 0 + θu + v + mv eli matriisikaavana [ ] [ ] x u = + y v [ x0 y 0 ] [ m θ + θ m ] [ u v ], elegantti kaava jonka toinen ja kolmas termi oikealla puolella ovat pieniä, koska sisältävät vain pienet muunnosparametrit x 0, y 0, m ja θ. Siis myös koordinaattierot x u ja y v ovat pieniä, kuten yllä jo todettiin. 58

67 4 Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet 4.1. Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Korkeudet ilmaisevat pisteiden paikat pystysuunnassa Maan paikallisen painovoiman vektorin (vertikaalin) suuntaan. Intuitiivisesti tämä perustuu Maan muodon naiviin kenkälaatikkomalliin, missä korkeus on kolmas koordinaatti, suora, metrinen etäisyys kenkälaatikon pohjasta, merenpinnasta. Kenkälaatikkomallia kutsutaan myös litteän Maan approksimaatioksi : jossain Maan pinnan alla on vertauspinta oletettu tasoksi, joka yhtyy keskimerenpintaan. Korkeus on etäisyys metreinä tästä tasopinnasta. Todellisuudessa maa ei ole litteä ja vertauspinta on kaareva, jopa kumpuileva. Vertauspintaa kutsutaan geoidiksi ja se on Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta. Painovoiman suunta eli luotiviiva on kaikkialla kohtisuora sitä vastaan. Pisteen etäisyyttä tästä pinnasta, mitattuna luotiviivaa pitkin, kutsutaan sen ortometriseksi korkeudeksi. Näin ollen ortometrisella korkeudella on yksinkertainen geometrinen tulkinta ja se on tietysti metrinen suure Ortometrinen korkeus Ortometriset (kreik. oikein mitattu ) korkeudet H ovat kaiken lähimpiä korkeuksia merenpinnan yläpuolella. Ne ovat periaatteessa vain metrisia korkeuksia geoidin yläpuolella. Geoidi on se painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, joka keskimäärin on samalla tasolla kuin keskimerenpinta. Eli, keskimerenpinnan jatke mannermassojen alle. Jos voitaisiin kaivata mantereiden alle tunneliverkosto (ks. kuva 4.1) merenpinnan tasolla, vesi leviäisi verkostossa niin, että sen pinta olisi geoidin fysikaalinen realisaatio. Pisteen ortometrinen korkeus olisi sen etäisyys tästä nestepinnasta. Tämä suora fysikaalinen tulkinta on syy, miksi monet geofyysikot, ja monet maat Suomi niiden joukossa vuoteen 2007 mennessä ovat valinneet käytettäväksi ortometrista korkeusjärjestelmää. Sellaisen tunneliverkoston rakentaminen on tietenkin mahdotonta; sisämaassa geoidia realisoidaan laskennallisesti, laskemalla läpi korkeudenmittaus- eli vaaitusverkko alkaen valitusta rannikkopisteestä tai -pisteistä. Samalla saadaan ortometrisia korkeuksia kaikille Maan pinnalla oleville vaaitusverkon pisteille. 59

68 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Luotiviiva P Kuilu H Topografia Tunneli Merenpinta, geoidi Vertausellipsoidi Kuva 4.1.: Ortometriset korkeudet ovat metrisiä etäisyyksiä geoidista, eli siitä vesipinnasta, joka muodostuisi, jos merivesi pääsisi vapaasti liikkumaan topografian alla mielikuvituksellisen tunneliverkoston kautta. Ortometrista korkeutta voitaisiin siinä tapauksessa suoraan mitata luotiviivaa pitkin kuvatunlaisen kuilun kautta Korkeus ellipsoidista (esim. GPS:llä mitattu) h Ortometrinen korkeus Luotiviiva H Luotiviiva Luotiviiva O Vertausellipsoidi Massakeskipiste Topografia Geoidi, korkeus ellipsoidista N Kuva 4.2.: Eri vertauspinnat ja korkeuskäsitteet h = H + N 60

69 Ortometrinen korkeus Oct 20 13:27:28 Kuva 4.3.: Suomen geoidimalli FIN2000 (data c Geodeettinen laitos). Yksikkö m Suomessa on ollut käytössä vuoteen 2007 mennessä virallisena korkeusjärjestelmänä N60- järjestelmä eli datum, jonka nollataso vastaa Helsingin keskivedenpintaa vuoden 1960 alussa. N60-korkeudet ovat hyvällä tarkkuudella ortometrisia. Vuonna 2007 otettiin käyttöön N2000-järjestelmä, jonka nollataso vastaa Amsterdamin virallista NAP (Normaal Amsterdams Peil) merenpintatasoa. N2000-korkeudet ovat normaalikorkeuksia, joiden määritelmä eroaa hieman ortometrisista korkeuksista. Ero on käytännön kannalta ilman suurta merkitystä. 61

70 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet 4.3. Korkeudenmääritys ja vaaitus Eksoottiset korkeudenmääritysmenetelmät Suoranaisin tapa mitata korkeuserot on realisoida painovoimakentän ekvipotentiaalipintaa nestepinnan avulla. Näin voidaan siirtää geopotentiaaliarvoja paikasta toiseen. Tanskassa ja Hollannissa on käytetty hydrostaattinen vaaitus, jossa pitkä putki, joka sisältää tislattua vettä, käytetään geopotentiaalin ( korkeuden ) siirtämiseksi saaresta toiseen tai mantereen ja saaren välillä. Mitattujen matkojen pituudet voivat olla kymmeniä kilometreja. Käyttämällä vesiasteikkoja sisävesillä voidaan myös siirtää korkeuksia hydrostaattisesti. Kuten myös putkitekniikassa, täytyy otta huomioon päätepisteiden välinen ilmanpaine-ero. Myös tuulen ja virtausten vaikutus on otettava huomioon. Myös barometri ilmapuntari on perinteisesti käytetty korkeuserojen mittaamiseen. Huolellinen menettelytapa, joka ottaa huomioon sään mukana tuomat luonnolliset ilmanpainevaihtelut, antaa parhaimmillaan n. metrin tarkkuutta. Ks. Heiskanen and Härmälä [1963, ss ] Vaaitus Yllä mainittu vaaitus on vakiintunut menetelmä korkeuksien keskimerenpinnasta, eli geoidista, määrittämiseksi. Vaaituksella mitataan kahden pisteen välinen korkeusero. Ketjuttamalla pistevälejä voidaan määrittää korkeuseroja kaukana toisistaan olevien pisteiden välillä ja näin suorittaa suurten alueiden korkeuskartoituksia. Suomessa, kuten muuallakin, vaaitusverkko kattaa koko maan ja antaa mahdollisuuden määrittää pisteiden korkeuksia verkon vertausjärjestelmässä. Vaaitusverkossa on hierarkia: Geodeettisen laitoksen mittaama ja ylläpitämä tarkkavaaitusverkko kattaa koko maan, mutta on harva: verkon silmukat ovat pituudeltaan useita satoja kilometrejä. Maanmittauslaitoksen alemman luokan vaaitukset tihentävät tätä verkkoa, tuoden näin viralliset korkeudet kaikkien käyttäjien ulottuville, ja monet paikalliset tahot kytkevät omia vaaitusverkkojaan tähän järjestelmään. Topografisilla kartoilla esiintyvät korkeuskäyrät ovat myös virallisessa järjestelmässä, joko N60 tai N Korkeusjärjestelmän luominen Geometrisen linjavaaituksen antamat korkeuserot H saa summata yhteen vain pienen alueen sisällä, jossa paikallinen painovoima on vakio. Suuremmilla korkeuserot H on ensin muunnettava geopotentiaalieroiksi C: C = g H, missä g on paikallinen painovoima. Sen jälkeen pätee geopotentiaalieroille sulj. silm. C = 0, kun taas korkeuseroille sulj. silm. H 0! Toisin sanoen, kun korkeuserojen summa B H riippuu valitusta matkasta A:n ja B:n välillä (siis ei ole yksiselitteinen), on taas A 62

71 4.4. Vaaituskojeet Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys t Vaaituskoje e t e Kuva 4.4.: Vaaituksen geometria A B potentiaalierojen summa C riippumaton matkan valinnasta. Yksiselitteisena geopotentiaali sopii paremmin alueen korkeusjärjestelmän perusteeksi Vaaituskojeet Vaaitus (ns. geometrinen vaaitus) on kuvattu kuvassa 4.4. Se perustuu vaakasuoraan tähtäykseen, eli mittauskaukoputken optinen akseli on vaakasuora. Tämän tilanteen aikaansaamiseksi vaaituskojeessa on tasain. Sekä tasain että kaukoputki ovat kytkettyinä kojeen runkoon. Perinteinen vaaituskoje (kuva 4.5) koostuu mittauskaukoputkesta, (rasia-)tasaimesta ja putkitasaimesta, ja siihen kuuluu jalusta (kolmijalka) ja jalkaruuvit. Hyvin säädetyllä vaaituskojeella kaukoputken optinen akseli eli tähtäysakseli (siis: linja jonka okulaarin hiusristikko määrittää) on samansuuntainen tasaimen määrittämän vaakatason (horisontin) kanssa. Jokaisella kojeasemalla vaaituskoje on uudelleen tasattava. Monessa vaaituskojeessa on erillinen nostoruuvi tarkkaa tasausta varten. Tarkka tasaus suoritetaan ennen jokaista eteen- ja taakse- mittausta. Tähtäysakselin ja putkitasaimen horisontin samansuuntaisuutta saadaan aikaan säätöruuvin avulla Vaaituskojeiden luokittelu Vaaituskojeet luokitellaan tarkkuuden, käyttötarkoituksen ja rakenteen mukaan, kasvavan tarkkuuden järjestyksessä: 63

72 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Säätöruuvi Pystyakseli 01 Putkitasain Mittauskaukoputki Jalkaruuvit Nostoruuvi Kolmijalka Kuva 4.5.: Vaaituskoje Alemman luokan kojeet Rakennusvaaitus Keskiluokan kojeet Insinöörivaaitus Korkeamman luokan kojeet Yleisvaaitus Korkeimman luokan kojeet Tarkkavaaitus Vaaituskojeista Tikka [1991, sivut 73-80] Mittauskaukoputki Mittauskaukoputken tehtävänä on 1. antaa tarkka kuva tähtäyskohteesta 2. muodostaa tähtäysakseli projisoimalla okulaarissa oleva hiusviivaristikko 1 kaukana olevalle vaaituslatalle. Molemmat tehtävät edellyttävät tarkkaa fokusointia. Ks. kuva 4.6. Fokusointi suoritetaan seuraavasti: 1. Kierretään okulaaria siten, että viivaristikon kuva näkyy terävänä. 1 Hiusviivaristikko on nykyisin tavallisesti lasilevyyn kaiverrettu kuvio. Vielä 30-luvulla käytettiin hämähäkin pesäverkosta saatua lankaa! 64

73 4.6. Tasain Tähtäysakseli T Kuvataso = hiusristikko Fokusointilinssi Objektiivi Okulaari Liike (1) Liike (2) Kuva 4.6.: Mittauskaukoputki. Tutkittava objekti on oikealla, havaitsijan silmä vasemmalla 2. Kierretään kojeen fokusointiosaa siten, että kohteen kuva näkyy terävänä. Tällöin objektiivin ja okulaarin 2 polttotasot ja hiusviivaristikon taso yhtyvät. Vaaituksessa valitaan tavallisesti yhtäpitkät etäisyydet etu- ja taakse- lattoihin. Jos se ei ole mahdollista (maaston vuoksi) on syytä joka kojeasemalla fokusoida huolellisesti. Ellei, voi syntyä ns. parallaksi, eli kaukoputken optisen akselin näennäinen suunta riippuu havaitsijan silmän asennosta okulaarin nähden. Havaitseminen huonosti fokusoidun putken kautta myös väsyttää silmiä. On aina fokusoitava tarkasti! Silmälasit voi jättää pois mikäli eivät ole ns. sylinterilasit (astigmatismi), koska liki- tai kaukonäköisyyden voi korjata okulaarin fokusoinnin avulla Tasain Tasaimen rakenne on selostettu kuvassa 4.8. Kuvassa näkyvää säätöruuvia käytetään vain kojeen säätämisessä, harvoin kentällä. Sen tarkoitus on saada tasaimen akseli L ja kaukoputken tähtäysakseli T tarkasti samansuuntaisiksi; lisäksi tasaimen akseli tulee olla vaakasuorassa. Tasaimen tehtävänä on auttaa havaitsijaa saamaan vaaituskojeen tähtäysakseli vaakasuoraan, siis kohtisuoraan paikallisen painovoiman (luotiviivan) suuntaa vastaan. Etäisyys a on tasaimen jakoviivojen väli. Yleensä a 2 mm. Tasaimen herkkyyttä osoittaa kulma α eli osa-arvo. Kojeessa on pieni rasiatasain likimääräistä tasausta varten, ja tarkka putkitasain, jota käytetään jokaisen mittausarvon lukemisen yhteydessä. Heijastusprismajärjestelmällä kuplan molempien päiden puolikkaiden kuvat saadaan näkymään vierekkäin, jolloin päästään suureen tarkkuuteen tasauksessa, ks. kuva

74 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Kuva 4.7.: Parallaksi. Jos kuva ja hiusristikko eivät ole samassa tasossa, aiheuttaa silmän liike okulaarin takana niiden keskinäinen siirtyminen a L Säätöruuvi α Kuva 4.8.: Tasain Ei tasattu Tasattu Kuva 4.9.: Putkitasain prismajärjestelmän kautta katsottuna. Pässin munat 66

75 4.7. Vaaituskojeen tarkastus ja säätö e e 2 e 2 v e 1 v t 2 3 v v t t 2 t 1 B A l l l Kuva 4.10.: Kenttätarkistuksen geometria (Kukkamäki-menetelmä) 4.7. Vaaituskojeen tarkastus ja säätö Kenttätarkistus Tietyin välein on tarkistettava, että tähtäysakseli T on samansuuntainen tasaimen akselin eli horisontin L kanssa. Ympäristön vaikutuksesta jokainen koje elää ja muuttuu mm. lämpötilan ja ilmanpaineen vaihtelujen sekä käsittelyn ja kulumisen seurauksena. Tarkistus vaaitushavaintojen avulla (kenttätarkistus): Mittausetäisyydeksi l valitaan m, riippuen sääolosuhteista: mittaukset tulisi suorittaa pilvisen sään aikana. Tämä tarkistus perustuu siihen, että keskipisteestä A mitattuna mittaustulos eli korkeusero on oikea, kun taas pisteestä B mitattuna mittaustulos sisältää virhe 2ν, kun ν on tähtäysakselin ja tasaimen akselin välisen suuntaeron aiheuttama virhe latan kohdalla etäisyydellä l. Saadaan helposti: h A = (t 1 v) (e 1 v) = t 1 e 1 h B = (t 2 3v) (e 2 v) = t 2 e 2 2v Nämä korkeuserot ovat samoja. Tästä ehdosta voidaan ratkaista ν: : t 1 e 1 = t 2 e 2 2v v = 1 2 [(t 2 e 2 ) (t 1 e 1 )]. Kuvasta nähdään, että e 2 = e 2 v; t 2 = t 2 3v; lukemat jotka ovat nyt laskettavissa. Se mahdollistaa täytäysakselin ja tasaimen horisontin välisen erisuuntaisuuden korjaaminen kentällä siihen tarkoitetun säätöruuvin avulla. 2 Ei pidä ihan tarkasti paikkansa. Tarkemmin sanottuna, okulaari + mittaajan mahdolliset silmälasit + hänen silmänsä oma linssi projisoivat terävän kuvan hiusristikosta verkkokalvolle. 67

76 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Vaaituskojeen säätö Kun kenttätarkistuksen tuloksena tiedetään, että lattalukema on v:n verran pielessä, menetellään näin kojeen säätämiseksi oikein: 1. Kojeessa on putkitasaimen säätöruuvi, joka kallistaa tasainta kojeen runkoon nähden. Kaukoputki on liikkumattomasti kiinnitetty runkoon. a) Tasataan koje ensin karkeasti jalkaruuvien, sitten tarkasti nostoruuvin ja putkitasaimen avulla. L T a b) Otetaan lattalukema e. c) Siirrytään nostoruuvin avulla lattalukemaan e e v, jossa v on saatu kenttatarkistuksesta. Huom! Jalkaruuvien käyttöä tulee välttää, koska silloin koje voi kallistua myös poikittaissuunnassa. Jalkaruuvithan eivät ole linjassa mittauskaukoputken kollimaatioakselin kanssa. d) Nyt putkitasain ei ole enää keskellä. Käytä sen säätöruuvi kuplan keskelle saamiseksi. Sen jälkeen L T. L b Kojeessa on mittauskaukoputken säätöruuvi, eli mittauskaukoputki kallistuu runkoon nähden. Putkitasain on liikkumattomasti kiinnitetty runkoon. Samanarvoinen, suosittu tekninen ratkaisu on säätöruuvi, joka siirtää hiusristikkolasia pystysuunnassa kuvapinnan sisällä. L T a) Tasataan koje. b) Otetaan lattalukema e. c) Siirrytään kaukoputken (tai hiusristikkolasin) säätöruuvin avulla lattalukemaan e e v. d) Putkitasain on edelleen keskellä! 68

77 4.8. Itsetasautuvat kojeet Paino g Kuva 4.11.: Vanhan itsetasaavan vaaituskojeen periaate. Tällä tavoin rakennettu koje ei ole kovin käytännöllinen 4.8. Itsetasautuvat kojeet Itsetasautuvat kojeet eli automaattivaaituskojeet käyttävät painovoimaa hyväksi vaakasuoran tähtäyksen aikaansaamiseksi. Vanhanaikaiset mallit käyttivät painovoimaa koko mittauskaukoputken tasaamiseksi; heiluriperiaate. Ks. kuva On selvä, että sellaista kojetta on hankalaa käyttää kenttäolosuhteissa tuulen ja havaitsijan läheisyyden aiheuttamat häiriöt. Nykyisin käytetään heilurina vain valonsädettä ohjaavaa prismaa tai peiliä. Se ripustetaan kaukoputken sisälle, ts. kaukoputkeen rakennetaan heilurikompensaattori. Toimiakseen kojeen täytyy kuitenkin olla jo likimäärin tasattu rasiatasainta käyttämällä. Heilurikompensaattorin periaate näkyy kuvasta Kompensaattorin toimivuutta voidaan selittää yksinkertaisemminkin (kuva 4.13, jossa säteen polku on taitettu auki ): kuvassa tilannetta tarkastetaan mittauskaukoputkeen kiinteästi kytketyssä koordinaatistossa. Kaukoputken pieni kallistus pois vaakatasosta aiheuttaa sisääntulevalle valosäteelle kallistuksen α. Jotta kohteen kuva kuitenkin jäisi samaan paikkaan kaukoputken kuvatasossa, on kompensaattoria taitettava valosäde kulman 2α verran, olettaen että objektiivin ja kompensaattorin välinen etäisyys s on sama kuin kompensaattorin ja kuvatason välinen etäisyys eli kompensaattori on juuri niiden keskellä. Vaapaasti ripustettu peili kääntyy kaukoputken suhteen määrällä α ja valon heijastussuunta muuttuu määrällä 2α, juuri kuten oli tarkoitus. Ks. Kahmen and Faig [1988, ss ]. Hiusristikko Prisma Optinen akseli Vaakataso Kompensaattori Kuva 4.12.: Nykyaikainen itsetasaava vaaituskoje

78 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Kuva taso 2α Kompensaattorin taso Objektiivi α s s Kuva 4.13.: Kompensaattorin toimintaperiaate Kompensaattorikojeiden vahvuutena on niiden käyttömukavuus. Kuitenkin niiden alkuaikoina on esiintynyt teknisiä ongelmia, mm. peilin ripustuksen magneettisuus Kukkamäki and Lehmuskoski [1984]. Nykyisin nämä ongelmat lienevät ratkaistuja Digitaalivaaituskojeet Digitaalivaaituskojeet on viime aikoina yleistyneet, koska niiden tuoma mittauksen automatisointi säästää kustannuksia. Mittaukset tallennetaan suoraan kojeen muistiin ja tarvittavat tarkastukset tehdaan heti. Digitaalivaaituskojeen kanssa käytetyn latan viivakoodi on periaatteessa samanlainen kun mitä löytyy kauppatavaroiden päällä; se mahdollistaa täysin automaattinen korkeusarvon lukeminen, vaaituskojeen CCD-kameran periaatteessa samanlainen kuin kaupallisissa digitaalikameroissa ja prosessorijärjestelmän avulla. Samalla saadaan sivutuloksena latan karkea etäisyys ja varoitusmerkki jos eteen- ja taakse etäisyydet eroavat toisistaan liikaa. Toisin kuin perinteinen vaaituslatta missä mittaus aina kohdistuu yhteen tai korkeintaan kahteen viivareunaan, digitaalilatasta käytetään ilmeisesti aina kokonainen alue, 30 cm Zeiss DiGi12 -kojeen tapauksessa. Tästä on sekä etuja että haittoja. Etu: Mittauksessa käytetään jonkinlainen keskiarvo useista lattaviivoista (tarkemmin: viivojen reunoista). Siksi viivojen valmistustarkkuus ja lattakalibrointitarkkuus on vähemmän kriittinen. Latat kestävät kulumista käyttökelpoisina kauemmin. Haitat: Koko käytettävä lattaväli on oltava näkyvissä. Ongelma mm. metsäisillä alueilla. Kalibrointi on aina tehtävä järjestelmäkalibrointina, ts. koje ja latat kalibroidaan mustana laatikkona, yhdessä. Toisaalta lattaviivakalibrointia ja järjestelmäkalibrointia yhdistämällä voidaan rekonstruoida, miten koje oikein painottaa käyttämänsä viivoja, eli saadaan musta laatikko raolleen. Digitaalisen vaaitusmenetelmän kanssa on vielä teknisiä ongelmia, kuten latan varjostuksen ja peittämisen vaikutus mittaustarkkuuteen. Nämä ovat aktiivisen tutkimuksen aiheina. Takalo et al. [2001]. 70

79 4.10. Vaaituslatat Kuva 4.14.: Perinteisestä vaaituslatasta on mahdollista lukea jos se on oksien peitossa Vaaituslatat Vaaituslatta on metrinen asteikko, jolla korkeuserot voidaan kahden pisteen välillä mitata vaaituskojeen avulla. Asteikon jaotuksia löytyy monta vaihtoehtoja (kuva 4.15), joista mainitsemme: E-jaotus. Kaiken yksinkertaisinta. Shakkilautajaotus. Viivajaotus. Käytetään tarkkavaaituslatoissa. Viivojen jakoväli on 10 tai 5 mm. Tarkkavaaituskojeessa on optinen mikrometri, jolla saadaan suurempaa tarkkuutta aikaan kuin mitä silmämääräisesti jakoviivoja interpoloimalla olisi mahdollista. Mikrometri sisältää kierettävä plan-levy mittauskaukoputken eteen, jonka avulla saadaan huisristikon vaakaviiva latan erään jakoviivan päälle. Jakoviivan numero antaa karkean lukeman, mikrometrilevyn kiertoasteikko antaa hienolukeman. Digitaalisten vaaituskojeiden kanssa käytettäväksi: viivakoodijaotus. Latat on tavallisesti valmistettu puusta, nykyisin myös alumiinista. Erityisesti tarkkavaaituksessa käytetään ns. invar-lattoja jossa jaotusviivat on maalattu invarnauhaan, joka on jousen 3 avulla kiinnitetty puu- tai alumiiniseoskehikkoon. Tarkkavaaituslatassa käytetään puolen cm:n jaotusta lattayksikkö (l.y.) on 5 mm. Hieman hienompaan vaaituslattaan on aina kiinnitetty rasiatasain. Latta on oltava pystyasennossa kun sitä käytetään! Latat luokitellaan käyttötarkoituksen mukaan: 3 Jousen voima tunnetaan ja sen vaikutus invar-nauhan pituuteen voidaan laskea. Invarin lämpölaajenemiskerroin on hyvin lähellä nollaa, ja toisin kuin puu, metalli ei ole herkkä kosteudelle. 71

80 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet cm 5 cm cm 5 cm Kuva 4.15.: Latta-asteikon jaotusvaihtoehtoja: E-jaotus, shakkilautajaotus, tarkkuuslatta, digijaotus (viivakoodi). Oikealla vaaitusmikrometri. Yksinkertaiset latat 4 m, neliosainen, taitettava, puusta, E-jaotus Runkomittauslatat 3 m, yksiosainen jäykkä, puusta. Shakkilautajaotuus, kääntölatta, rasiatasain Tarkkavaaituslatta 3 m, yksiosainen, puu- tai alumiinirunko ja invarnauha jossa jaotus Viivakoodilatta 3 m, yksiosainen, alumiini, invarnauha. Käytetään digitaalivaaituskojeen kanssa Erikoislattoja Teollisuuslatta: kaksiasteikkoisia erittäin tarkkoja viivalattoja Itselaskeva latta eli pintavaaituslatta: jaotus kasvaa ylhäältä alas alapäässä aseteltava jalka, jota voidaan vetää ulos tunnetulla pisteella, jotta saadaan oikea metrin osa-arvo näkyviin. Sen jälkeen lähdetään maastoon kartoittamaan pisteiden korkeuksia. Ks. Tikka [1991, s. 81]. Tarkkuutta vaativassa työssä käytettävät latat tulisi kalibroida säännöllisesti eli ainakin ennen ja jälkeen kenttäkautta. Digitaaliset vaaituskojeet ja niiden käyttämät viivakoodilatat tulisi kalibroida järjestelmänä. Sopiviksi latanalustoiksi voidaan mainita kiintopisteen lisäksi, mm. väliaikaiset puupiikit, rautaputket, jne. Vakiintuneita latanalustoja näkyvät kuvasta Vaaituslatoista Tikka [1991, sivut 80-82] Vaaitusmenetelmät Linjavaaitus Linjavaaitusmenetelmä käytetään runkomittauksessa. Sen tarkoitus on tuoda virallinen korkeusjärjestelmä valtakunnan kaikkien käyttäjien lähelle mm. kartoitusmittauksen pohjaksi. 72

81 4.11. Vaaitusmenetelmät (Nuija) Suojakappale Latta Kahva Kuva 4.16.: Vaaituksen eri latanalustat: kilpikonna, kiila, raidekenkä Tarkkavaaitus: valtakunnallinen korkeusrunko. Korkeudet ovat valtakunnallisessa korkeusjärjestelmässä, Suomen viimeisen (kolmannen) tarkkavaaituksen jälkeen N60, nykyisin myös N2000. Kaikki laskennat suoritetaan geopotentiaaliluvuissa. Perusvaaitus: käyttöpisteiden tihennys Linjavaaitus tapahtuu peräkkäisten kojeasemien mittauksia summaamalla: t 1 e 1 t2 e tn 2 e n = (t 1 e 1 ) + (t 2 e 2 ) +... (t n e n ) = (t i e i ). Linja kulkee tunnetulta pisteeltä tunnettulle pisteelle. Joskus tämä on mahdotonta, silloin puhutaan piikistä. Tässä tapauksessa mitataan huolellisesti edestakaisin: kontrolli. Hyvin suunniteltu vaaitusverkko sisällyttää kaikki mittaukset ja pisteet sulkeutuviin silmukoihin: kontrolli. Sää- ja instrumenttivirheiden minimoimiseksi valitaan eteen ja taakse -tähtäysvälit. mahdollisimman samanpituisiksi: l t = le. Tähtäysvälit eivät saa myöskään olla liian pitkiä: esim. tarkkavaaituksessa 50 m, kuitenkin riippuen sääolosuhteissa. Pilvisen sään aikana voi käyttää pitempiä tähtäysvälejä; aurinkoisen sään vahvan värähtelyn aikana tähtäysvälejä on lyhennettävä Kääriäinen [1966] Pintavaaitus Pintavaaituksen menetelmä on kuvattu kuvassa Tällä menetelmällä kartoitetaan kokonaisen alueen korkeudet käyttämällä yhtä tunnettua lähtöpistettä. 73

82 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet e e e e e Koje e e e e t t e Kiintopiste Kuva 4.17.: Pintavaaitus. Yksi t-havainto, monta e-havaintoa,75,38 12,38 12,75 Uusi piste, e Tunnettu, t Kuva 4.18.: Miten lattajalka asetetaan oikeaan pituuteen Samalla menetelmällä voidaan myös mitata esim. rakennustyömaan korkeudet. Lähtöpisteessä menetellään seuraavasti: Vedetään latan jalka ulos, kunnes vaaituskojeessa näkyy oikea metrin desimaaliosa; esim. jos pisteen korkeudeksi tiedetään m, vedetään jalkaa ulos kunnes havaitsija näkee <jotain>.750 kiikarissaan. Jalka ruuvataan kiinni ja latta siirretään ensimmäiselle havaintopisteelle. Havaitsijan tulee muistaa kokonaiset metrit, murto-osat näkyvät suoraan. Pintavaaituksen tuloksia tarvitaan ja käytetään: Numeerisia korkeusmalleja (DTM, Digital Terrain Model) luotaessa paikallisesti ja korkealla resoluutiolla; Maansiirtomassojen laskemiseen Tekninen vaaitus Asennusmittaus teollisuudessa ja rakennustyömailla; kuuluu insinöörigeodesian alaan. Ääritapaus: CERNin hiukkassäilytysrengas Genevessä, ympärysmitta 27 km, tarkkuus alle cm. Paperikoneet, telakat Tierakentaminen, sillat, tunnelit jne. jne. 74

83 4.11. Vaaitusmenetelmät Moot tori Viiskulma prisma Laser (roikkuu vapaasti) Kuva 4.19.: Lasertason toimintaperiaate Muodonmuutosten eli deformaatioiden mittaus Ääritapaus: postglasiaalinen maannousu Kaasun, öljyn tai juomaveden pumppaamisen aiheuttamat seuraukset, antropogeeni maan vajoaminen Patojen, vesialtaiden deformaatiot Vanhoja rakennuksia; Pisan torni jne. jne Profiilien ja poikkileikkausten vaaitus Profiileja ja poikkileikauksia mitataan rakennustöiden, erityisesti tie- rautatie- tai kanavarakennustöiden yhteydessä. Profiili on maan pinnan pitkittäisleikkaus tietyn reitin mukaan, yleensä suunniteltua tietä, rautatietä tai vesiväylää 4 pitkin. Työ alkaa merkitsemällä linja maastoon. Merkit laitetaan 25, 50 tai 100 metrin välein, sekä taitekohtiin jne. Merkit numeroidaan; numerot laitetaan sivulle työmaasta. Korkeudet mitataan rakennusvaaituskojeella. Sidosmittauksia korkeusrungon kiintopistee- 4 Tässä tapauksessa käytetään rinnakkaislinjaa. 75

84 4. Korkeudenmittaus ja vaaituskojeet Kiintopiste Kiintopiste Linja, esim. tien linjaus Poikkileikkaus Poikkileikkaus Kuva 4.20.: Profiili ja poikkileikkauksia seen tehdään vähintään kaksi, alku- ja päätepisteen kohdalla. Mikäli kahden kiintopisteen käyttö ei ole mahdollista, on tarkistuksen vuoksi suljettava silmukka eli mitattava edestakaisin. Sulkuvirheet jaetaan vaaittujen matkojen suhteessa. Poikkileikkaus on maan pinnan poikittaisleikkaus, kohtisuora linjaa vastaan. Taittokohdissa jaetaan kulma tasan. Poikkileikkaukset ovat tyyppillisesti m pitkiä. Poikkileikkausten tarkoitus on antaa tukea suunnittelutyölle ja mahdollistaa maansiirtovolyymien laskenta. Poikkileikkausten korkeudenmittaus suoritetaan pintavaaituksen tavoin. Pisteiden tiheys valitaan maaston ja käyttötarkoituksen mukaan Lasertaso Nykyisin käytetään pintavaaitukseen usein lasertaso (kuva 4.19). Lasertasot ovat kompensaattoristabiloituja laitteita jossa laservaloa heitetään pyörivän prisman kautta ympäristöön vaakatasoa muodostamaan. Kojeet ovat käteviä rakennustyömailla, joilla ne realisoivat vaakatasoa, jota käyttäjä voi saada näkyviin esim. kepin avulla. Mm. hiekan levittäminen tai seinän muuraaminen suoraksi helpottuu olennaisesti. Sopivalla (digitaali-)ilmaisimella varustettu latta antaa suoraan alla olevan pisteen korkeus. 76

85 5 Teodoliitit ja kulmamittaukset Teodoliitti keksi luultavasti englantilainen Leonard Digges. Keksintöä julkaisi hänen poikansa Thomas maanmittausoppikirjassaan Pantometria v Nimen alkuperä on epäselvä. Ensimmäisillä teodoliiteilla ei vielä ollut kiikaria, jota mahdollisesti keksi oikeammin, yritti patentoida vasta v Hans Lippershey Hollannissa. Teodoliiti mittaa vaaka- ja pystykulmia paikallisen horizontin (vaakatason) ja luotiviivan suhteen Vaaka- ja pystykulmat Teodoliittimittaukset tehdään aina Maan painovoimakentässä. Teodoliitin pystyakseli tasataan paikallisen luotiviivan mukaan. Suunnat ja suuntaerot voidaan tässä luonnollisessa kojekoordinaatistossa ilmaista vaaka- ja pystykulmina. Olkoon (kuva 5.2) pisteiden A ja B välillä suuntaero. Pisteet projisoidaan paikalliseen vaakatasoon ( luotiviivaa vastaan) A, B. A :n ja B :n välinen suuntaero, kulma α, on pisteiden A ja B välinen vaakakulma. Kulmat z 1, z 2 ovat pisteiden A ja B pystykulmat eli zeniittikulmat. Vaakakulma: säteiden KA ja KB projektioiden KA ja KB, muodostama kulma (α) vaakatasossa. Vaakakulma on positiivinen myötäpäivään. Zeniittikulma: luotiviivan ja säteen KA (z A ) tai KB (z B ) muodostama kulma. Zeniittikulma on positiivinen zeniitistä alaspäin. Luotiviiva (esim. luotinarun suunta) osoittaa Maan paikallisen painovoimavektorin suuntaan. Luotiviiva osoittaa Maan massakeskipisteeseen, mutta vain likimäärin 1. Näin määriteltynä vaaka-asentoisen kaukoputken tähtäysakseli muodostaa (xy)-tason suuntaisen tason ja luotiiva on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan. 1 Likimäärin, koska on olemassa paikallisia luotiviivapoikkeamia, Suomessa suuruusluokaltaan 5. Paljon suuremman poikkeaman aiheuttaa kuitenkin Maan litistyneisyys, jopa maksimissaan 11 leveysasteella ±45. Luotiviiva on itse asiassa lievästi kaareva. 77

86 5. Teodoliitit ja kulmamittaukset Pystykehä Indeksitasain Kaukoputki Alhidaditasain (Epästandardi tasain) Mikroskooppi Mikroskooppi Vaakakehä Kuva 5.1.: Vanhanaikainen teodoliitti. Huomaa ulkoiset vaaka- ja pystykehät ja lukemamikroskoopit. Pohjakuva c Wikimedia Commons z x α z vaakakulma pystykulma.. K z A z B α + A (projektio) A Vaakataso + B (proj.) B Luotiviiva y Kuva 5.2.: Vaaka- ja pystykulmat 78