Algebra, 1. demot,

Transkriptio

1 Algebra, 1. demot, Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus? Perustele vastaukseksi. Vastaukseksi ei riitä, että onhan tuo nyt selvää. 2. Olkoon X joukko ja P(X) sen potenssijoukko. Määritellään joukkoon P(X) laskutoimitus \ asettamalla A \ B = {x A x B} P(X). Onko laskutoimitus \ assosiatiivinen ja/tai kommutatiivinen a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus? 3. Onko tehtävän 2. laskutoimituksella \ neutraalialkiota a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus? Perustele vastauksesi ja vertaa luentomonisteen esimerkkiin Onko matriisien kertolasku assosiatiivinen tai kommutatiivinen joukossa M 2 (R)? Ohje: Ennenkuin lähtee suinpäin laskemaan, kannattaa ensin vähän ajatella ja palautella mieliin lineaarialgebran perusjuttuja sekä vilkaista esimerkkiä 1.6. (c). 5. Onko kokonaislukujen joukossa Z sellaista osajoukkoa, joka olisi vakaa yhteenlaskun suhteen, mutta ei-vakaa kertolaskun suhteen? Entä päinvastoin eli ei-vakaa yhteenlaskun, mutta vakaa kertolaskun suhteen? 6. Matriisijoukko M 2 (R) on (triviaalisti) vakaa sekä (matriisien) yhteen- että kertolaskun suhteen. Sama pätee pelkästään nollamatriisista koostuvalle M 2 (R):n osajoukolle. Anna esimerkki jostakin muusta M 2 (R):n osajoukosta, joka on vakaa sekä yhteen- että kertolaskun suhteen. 1

2 7. Olkoon epätyhjän joukon X assosiatiivinen laskutoimitus ja e X tämän laskutoimituksen neutraalialkio, jolloin e on lauseen 1.10 (1) nojalla yksikäsitteinen. Olkoon g X siten, että g:llä on käänteisalkio h X, joka määritelmän mukaan toteuttaa yhtälöt g h = e ja h g = e. Osoita, että myös h on yksikäsitteisesti määrätty. Huomautus. Tämä on lause 10.1 (2) (b). On luultavaa, että ratkaisusi todistaa myös saman lauseen (c)-kohdan toisen vaihtoehdoista vasen/oikea. Tarkista ratkaisustasi, onko todella näin ja jos on, kumpi vaihtoehdoista tulee näin todistettua. 8. Anna esimerkki joukosta ja laskutoimituksesta sekä alkiosta, jolla on vasen/oikea käänteisalkio, mutta ei ole varsinaista käänteisalkiota. Voiko olla niin, että alkiolla olisi sekä vasen että oikea käänteisalkio, mutta ei varsinaista käänteisalkiota? 2

3 Algebra, 2. demot, Oletetaan, että A on äärellinen joukko, jossa on määritelty laskutoimitus. Halutaan osoittaa, että kyseinen laskutoimitus on assosiatiivinen. Tämä on käytännössä usein kovin hankala (ja tylsä) tehtävä, koska pitää ainakin periaatteessa osoittaa, että x (y z) = (x y) z (1) kaikille x,y,z A. Tässä pitää käydä läpi myös ne vaihtoehdot, joissa kolmikossa x,y,z on samoja alkioita. Tämä johtaa siihen, että jos joukossa A on n alkiota, niin tarkistettavana on n 3 yksinkertaista ehtoa. Käytännön laskujen kannalta n 3 tahtoo pienelläkin n olla niin suuri luku, ettei noita kaikkia yhtälöitä kukaan viitsi käydä läpi. Tehtävä vähän helpottuu, jos laskutoimituksella sattuu olemaan neutraalialkio e. Osoita, että väite (1) pätee aina, jos jokin (tai jotkut) alkioista x,y,z on neutraalialkio e. Tällöinhän tarkistettavia yhtälöitä (1) jää jäljelle vain (n 1) Kuten luennoilla oli puhetta, äärellisen joukon laskutoimitus on usein kätevintä esittää laskutaulun avulla. Esimerkki valaissee tilannetta. Tässä joukko A on kahden (eri) alkion joukko A = {a,b} ja laskutoimitus määritellään laskutaululla a b a x y b z w Taulukkoa luetaan niin, että x = a a, w = b b, z = b a ja y = a b. Huomaa näiden kahden jälkimmäisen järjestys: tulon ensimmäinen alkio on siis ensimmäisellä pystysarakkeella, viivan vasemmalla puolella ja jälkimmäinen ylimmällä vaakarivillä, viivan yläpuolella. Tällähän ei ole merkitystä, jos laskutoimitus on kommutatiivinen, mutta muuten kyllä. Huomaa, että yllä olevan laskutaulun antama laskutoimitus on kommutatiivinen jos ja vain jos z = y eli täsmälleen silloin kun matriisi [ ] x y z w on symmetrinen. Olkoon nyt A kolmen eri alkion joukko A = {e,a,b} ja määritellään siinä laskutoimitus laskutaululla e a b e e a b a a b e b b e a 3

4 a) Osoita, että laskutoimituksella on neutraalialkio. b) Osoita, että laskutoimitus on kommutatiivinen. c) Onko kaikilla alkioilla käänteisalkio? d) Osoita, että laskutoimitus on assosiatiivinen. Ohje kohtaan d): Käytä hyväksi a)-kohtaa ja tehtävää 1. Tällöinhän tarvittavien tarkistusten lukumäärä vähenee 27:stä 8:aan, mikä lienee siedettävää. 3. Tarkastellaan tehtävän 2. joukkoa A = {e, a, b} ja siinä määriteltyä laskutoimitusta. Olkoon f : (A, ) (A, ) homomorfismi. a) Osoita, että alkion a kuvautuminen määrää homomorfismin f täysin, ts. jos tiedetään, mikä on f(a) A, niin tiedetään myös f(e) ja f(b) eli f on tällöin kokonaan hallinnassa. b) Onko alkioilla e ja/tai b kohdassa a) kuvattu ominaisuus (joka a:lla on), ts. määrääkö näiden pisteiden kuvautuminen f:n täysin? 4. Jatketaan edelleen tehtävien 2. ja 3. joukon (A, ) parissa. Montako homomorfismia f : (A, ) (A, ) on olemassa? Ohje: Tehtävästä 3. saat maksimin homomorfismien lukumäärälle. Tutki mitkä näistä todella ovat homomorfismeja. 5. Olkoon B kahden eri alkion joukko B = {ǫ,α}. Määritellään joukkoon B laskutoimitus laskutaululla ǫ α ǫ ǫ α α α ǫ Olkoon (A, ) kuten edellisissä tehtävissä. Montako homomorfismia f : (A, ) (B, ) on olemassa? 6. Olkoon + tavallinen yhteenlasku joukossa Z ja olkoon f : (Z, +) (Z, +) homomorfismi. Osoita, että luku 1 Z on samassa asemassa kuin alkio a A tehtävässä 3, ts. luvun 1 kuvautuminen määrää kuvauksen f täysin. Ohje: Arvaa ensin, mikä kuvaus f on (kun f(1) tunnetaan) ja todista sitten väitteesi. Positiivisille luvuille ensin induktiolla ja sitten sopivalla tempulla negatiivisille. 7. Määrää kaikki homomorfismit f : (Z, +) (Z, +). 4

5 Ohje: Toisin kuin tehtävän 4. ohjeessa homomorfismien lukumäärälle ei saa nyt maksimia tehtävästä 6. (koska f(1):llä on ainakin periaatteessa äärettömän monta mahdollista arvoa), mutta kaikki homomorfismiehdokkaat saa. Tutki mitkä näistä todella ovat homomorfismeja. 8. Olkoon + tavallinen yhteenlasku ja tavallinen kertolasku joukossa Z. Olkoon f : Z Z kuvaus, joka on homomorfismi sekä kuvauksena f : (Z,+) (Z,+) että kuvauksena f : (Z, ) (Z, ). Osoita, että f on joko identtinen kuvaus tai nollakuvaus, s.o. f 0. Bonustehtävä. Onko olemassa homomorfismia f : (Z, ) (Z, ), joka olisi jotain muuta kuin identtinen kuvaus tai nollakuvaus? Jos mielestäsi ei, todista tämä. Päinvastaisessa tapauksessa anna esimerkki. Toimittamalla demopäivään mennessä sähköpostitse osoitteeseen lkurittu@maths.jyu.fi LaTexilla siististi kirjoitetun (ja oikean) ratkaisun tähän bonustehtävään, saat yhden hyvityspisteen tulevaan välikoepistemäärääsi. Tätä tehtävää ei käsitellä demoissa, mutta ratkaisu tulee muiden ratkaisujen ohella nettiin aikanaan. 5

6 Algebra, 3. demot, Olkoon A joukko, jossa on määritelty laskutoimitus. On luontevaa (vrt. esimerkiksi Z:n kertolasku) määritellä jokaiselle a A ja m N, m 1 kokonaislukupotenssi a m asettamalla a m = a } a {{... a }. (1) m kpl Tämä ei ole kuitenkaan niin helppoa kuin näyttää. Saattaa nimittäin olla väliä sillä, missä järjestyksessä tulo (1) lasketaan. Esimerkki valaissee asiaa. Jos laskutoimitus ei ole assosiatiivinen, saattaa olla niin, että a (a a) (a a) a, ja silloin tulon a a a määritelmä riippuu tosiaan laskujärjestyksestä. Anna esimerkki joukosta A ja A:n laskutoimituksesta, jolle pätee a (a a) (a a) a jollekin a A. 2. Tehtävän 1. opastamalla tiellä oletetaan, että A on joukko, jossa on määritelty assosiatiivinen laskutoimitus. Määritellään nyt vähän matemaattisemmin kuin tehtävän 1. ehdossa (1) kokonaislukupotenssi a m asettamalla a 1 := a, a 2 = a a, a 3 = (a a) a, a 4 = ((a a) a) a ja niin edelleen. Tämä on jo melkein oikea määritelmä (ainakin verrattuna tehtävän 1. määritelmään (1)), mutta eihän tämäkään matemaattisesti ihan korrektia ole. Formuloidaan tuo yllä oleva melko hyvä määritelmäyritys oikealle matematiikan kielelle. Tämmöisessä määritelmässä täytyy yleensä käyttää ns. rekursioperiaatetta (joka on induktioperiaatteen jos ei veli tai sisko niin serkku), joka toimii (tässä nimenomaisessa tapauksessa) heuristisesti niin, että jos määritellään ensin a 1 A ja jos a m A on jo määritelty ja annetaan sääntö, josta alkion a m+1 A voi yksikäsitteisti laskea, niin tämä rekursioperiaate takaa, että a m on määritelty yksikäsitteisesti kaikille m 1 ja nimenomaan matemaattisesti kestävällä tavalla. Ja nyt sitten se oikea määritelmä. Asetetaan ensin a 1 := a A (tottakai näin) ja sitten jos a m A on jo määritelty, niin asetetaan a m+1 := a m a. (2) Tämä toteuttaa rekursioperiaatteen ehdot, ja homma on hoidossa. Nyt kriittinen lukija (ja sellaisiahan kaikki tämän lukijat toivottavasti ovat) voi kysyä, että mikä ajatus tai tarkoitus on sillä, että määritelmässä (2) valittiin tuo tulo laskettavaksi nimenomaan noin päin, eli a m+1 = a m a. Eikö olisi yhtä perusteltua määritellä a m+1 := a a m? (3) Jos on kommutatiivinen, tällä ei ole tietystikään mitään väliä. Ei-kommutatiivisessa tapauksessa asia ei ole aivan niin selvä. Periaatteessahan on tietysti niin, että yhtä perusteltua tuo olisi määritellä ehdon (3) tavoin tai oikeammin, kumpaankaan ei ole sen parempaa syytä. 6

7 Ja nyt tullaan peruskysymykseen: Eroavatko nuo määritelmät (2) ja (3) toisistaan jollakin tavoin? Jos siis määritellään a 1 = a ja yleisesti a m+1 kuten ehdossa (2) tai toisaalta kuten ehdossa (3), niin voiko olla niin, että lopputulos ei ole sama eli voiko olla a m+1 a m+1, jos siis toisen potenssin määritelmässä on käytetty ehtoa (2) ja toisen määritelmässä ehtoa (3)? Tämä pitkähkösti pohjustettu tehtävä 2. kuuluu nyt niin, että vastaa tähän. Anna esimerkki, jos olet sitä mieltä, että määritelmä riippuu järjestyksestä (2)/(3). Muussa tapauksessa todista, että a m+1 = a m+1. Ohje: Tehtävän 1. ratkaisusta löytyy esimerkki. Nyt täytyy kuitenkin muistaa, että tässä tehtävässä 2. on oletettu, että laskutoimitus on assosiatiivinen, joten ei se esimerkki toimikaan. Oikea vastaus onkin, että ei lopputulos riipu siitä, käytetäänkö määritelmää (2) tai (3). Todista siis tämä. Vihjeenä voisi todeta sen yleispätevän asian, että rekursiolla määriteltyihin objekteihin kohdistuvat väitteet todistetaan pääsääntöisesti induktiolla, eli serkulla. 3. Olkoon A joukko, jossa on määritelty assosiatiivinen laskutoimitus. Kokonaislukukupotenssit a m, a A ja m 1 määritellään kuten tehtävässä 2. a) Osoita, että kaikille a A ja kaikille m,n N, m,n 1 pätee a m+n = a m a n. Ohje: Induktio on edelleen rekursion serkku. Pitäisikö tässä nyt tehdä induktio n:n vai m:n suhteen? Vai molempien? b) Päteekö a)-kohdan merkinnöin välttämättä yhtälö a m a n = a n a m? Huomaa, että tässä ei ole oletettu, että laskutoimitus olisi kommutatiivinen. 4. Tehtävän 3. oletuksin osoita, että a mn = (a m ) n kaikille a A ja m,n Olkoon A joukko, jossa on määritelty assosiatiivinen ja kommutatiivinen laskutoimitus. a) Osoita, että kaikille a,b A ja m 1 pätee (a b) m = a m b m. b) Anna esimerkki, joka osoittaa, että a)-kohdan väite ei päde ilman kommutatiivisuusoletusta. Ohje b)-kohtaan: Tässä voi antaa äärellisen laskutaulun, mutta homma menee vähän hankalaksi, kun pitäisi osoittaa, että laskutoimitus on assosiatiivinen, vrt. tehtävä 2.1. Tässä on varmaan helpointa turvautua sellaiseen laskutoimitukseen, joka jo tiedetään assosiatiiviseksi. M 2 (R) varustettuna matriisitulolla 7

8 on ehkä kätevin käsitellä. Jos äärellisen esimerkin haluaa, niin F(X) (ks. esimerkki 1.6(c)) tarjoaa mahdollisuuksia sopivalle X. 6 a) Todista lause 2.5.(1). Tässähän kompleksiluvuilla z ja w on esitykset z = r(cos ϕ + isin ϕ) ja w = s(cos ψ + isin ψ), missä r,s,ϕ,ψ R. Väitteenä on, että zw = rs(cos(ϕ + ψ) + isin(ϕ + ψ)). b) Todista a)-kohdan nojalla (ja a)-kohdan merkinnöin) oikeaksi de Moivren kaava z n = r n (cos(nϕ) + isin(nϕ)) kaikille n 1. Ohje: Reaalilukujen laskusäännöt oletetaan tunnetuiksi, erityisesti sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat. Kompleksilukujen tulo on tunnetusti assosiatiivinen ja kommutatiivinen, joten kokonaislukupotenssi z n on tehtävän 2. mukaisesti järkevästi määritelty ja toteuttaa tehtävien 3, 4. ja 5. väitteet. Induktiohan b)-kohdassa tarvitaan, kuinkas muuten. (Kommutatiivisuutta tarvitaan myös a)-kohdassa, vaikka sitä ei ehkä heti huomaa.) 7. Kompleksinen eksponenttifunktio määritellään luentomonisteen kohdassa Reaalinen eksponenttifunktio toteuttaa tunnetusti kaavan (e x ) y = e xy kaikille x, y R. Voi kysyä, toteuttaako kompleksinen eksponenttifunktio vastaavan kaavan kaikille kompleksiluvuille. Vastaus on (ehkä vähän yllättäen), että ei toteuta. Tähän asiaan syvennytään kompleksianalyysin kurssilla, mutta tässä tyydytään vähän vähempään. Osoita, että (e z ) m = e zm kaikille z C ja m N, m 1. Huomaa, että tämä ei suoraan seuraa tehtävästä 4, koska z ei (välttämättä) ole kokonaisluku. 8. Lauseessa 2.7 osoitetaan, että jokaisella nollasta eroavalla kompleksiluvulla on täsmälleen m kappaletta kertalukua m N \ {0} olevia juuria, ts. on olemassa eri kompleksiluvut ζ 1,...,ζ m siten, että ζi m = z kaikille i. Olkoon z C annettu eksponenttimuodossa z = re iϕ, missä r,ϕ R, r > 0. Tällainen esitys on jokaisella nollasta eroavalla kompleksiluvulla. Osoita, että z:n kertalukua m olevat juuret ovat m re i ϕ+k2π m, missä k = 0,...,m 1. (1) Ohje: Koska lauseesta 2.7 tiedetään, että juuria on täsmälleen m kappaletta, riittää osoittaa, että nämä ehdokkaat ovat kaikki juuria ja että niitä on m kappaletta. Koska k saa m eri arvoa, niin jälkimmäiseen väitteeseen riittää todeta, että ehdon (1) kompleksiluvut ovat kaikki eri lukuja. Ensimmäiseen väitteeseen kannattaa käyttää tehtäviä 7. ja 5. 8

9 Algebra, 4. demot, Olkoon epätyhjän joukon X ekvivalenssirelaatio. Osoita, että ekvivalenssiluokat [x] = {y X x y} muodostavat X:n osituksen, ts. että [x] kaikille x X, [x] = X ja [x] [y] =, kun [x] [y]. x X Huomaa, että tämä on lause 3.5 (1), jonka todistuksesta sanotaan luentomonisteessa, että seuraa lemmasta 3.4. Lemmaa 3.4 ei kuitenkaan ole (luennolla eikä monisteessa) todistettu, joten ei tästä niin helpolla pääse. 2. Olkoon G ryhmä. Lauseessa 4.3 (5) osoitetaan, että kaikille a,b G pätee (ab) 1 = b 1 a 1 eli järjestys vaihtuu. Kommutatiivisessa ryhmässä pätee tietysti aina myös (ab) 1 = a 1 b 1, koska järjestyksellä ei ole väliä. Voi kysyä, millä ehdolla ei-kommutatiivisessa tapauksessa pätee (ab) 1 = a 1 b 1. Osoita, että (ab) 1 = a 1 b 1 jos ja vain jos ab = ba. 3. a) Osoita, että ryhmässä G pätee supistussääntö sekä oikealta että vasemmalta eli kaikille a,x,y G pätee ax = ay x = y ja xa = ya x = y. b) Olkoon A assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jossa on neutraalialkio. Oletetaan, että oikean- ja vasemmanpuolinen supistussääntö toimii. Onko A välttämättä ryhmä? 4. a) Olkoon A assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jossa on neutraalialkio. Oletetaan, että kaikilla a,b A yhtälöillä ax = b ja ya = b on ratkaisut x,y A (ei kuitenkaan oleteta, että x = y). Osoita, että A on ryhmä. b) Voiko a)-kohdan ratkaisuille x ja y olla x y? c) Jos oletetaan, että A on ryhmä, niin osoita, että a)-kohdan yhtälöillä on yksikäsitteiset ratkaisut x, y A. 5. Jos G on äärellinen ryhmä, niin tehtävän 4 c) nojalla G:n laskutaulun jokaisella rivillä ja sarakkeella esiintyy ryhmän G jokainen alkio täsmälleen kerran eli laskutaulu on sudokumainen. Toisaalta tehtävän 4 a) nojalla on niin, että jos A on assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jossa on neutraalialkio ja laskutaulu on sudokumainen, niin kyseessä on ryhmä. Tämä on näppärä sääntö, kun halutaan tarkistaa onko jokin laskutoimituksella varustettu joukko ryhmä vai ei. Valitettavasti on kuitenkin niin, että pelkkä sudokumaisuus ei riitä siihen, että kyseessä olisi ryhmä ei, vaikka neutraalialkio löytyisikin. Anna tästä esimerkki. Konstruoi siis jonkin äärellisen joukon A laskutaulu niin, että laskutaulu on sudokumainen ja A:ssa on neutraalialkio, mutta kyseessä ei silti 9

10 ole ryhmä. 6. Olkoot G ja G ryhmiä ja ϕ : G G homomorfismi. Osoita, että ϕ kuvaa välttämättä G:n neutraalialkion G :n neutraalialkioksi. Huomaa, että tämä ei seuraa lauseesta 1.14 (c), koska kyseisen lauseen oletuksissa vaaditaan, että ϕ on surjektio. 7. Ryhmän (G, ) aliryhmä (H, ) määritellään niin, että H:n pitää olla laskutoimituksen suhteen vakaa epätyhjä G:n osajoukko, joka itsekin on ryhmä varustettuna :n indusoimalla laskutoimituksella. Tämähän merkitsee sitä, että H:ssa pitää olla oma neutraalialkio ja kaikkien alkioiden käänteisalkiot. G:n neutraalialkio e toimii tietysti neutraalialkion tavoin myös H:ssa eli se on H:n neutraalialkio, jos se sattuu kuulumaan joukkoon H. Periaatteessahan voisi olla niin, että e ei kuuluisikaan joukkoon H, vaan H:ssa olisi jokin oma neutraalialkio ẽ e, joka toimisi H:ssä kuten neutraalialkion kuuluu eli pätisi ẽ h = h = h ẽ kaikille h H. (1) Koska ẽ e, niin G:n neutraalialkion yksikäsitteisyyden nojalla ehto (1) ei voi tietenkään päteä kaikille h G, mutta H:ssa se saattaisi toimia. Jos näin olisi, myös H:n alkioiden käänteisalkiot olisivat eri alkioita kuin G:ssä, sillä H:ssa ne määräytyisivät ehtoa h h 1 = ẽ = h 1 h käyttäen, kun taas G:ssä ne määräytyvät ehdosta h h 1 = e = h 1 h. Tällainen tilanne olisi kovin epätoivottava, kun koko ajan pitäisi muistaa, minkä systeemin mukaan neutraalialkioilla ja käänteisalkioilla oikein pelataan. Onneksi näin ei kuitenkaan pääse käymään. Todista tämä, eli osoita, että aliryhmän H neutraalialkio on aina sama kuin alkuperäisen ryhmän G neutraalialkio. Tällöinhän triviaalisti myös käänteisalkiot H:n tai G:n suhteen ovat samoja, koska ne määräytyvät samasta ehdosta h h 1 = e = h 1 h. Huomaa, että juuri todistamastasi tuloksesta seuraa, että jokainen aliryhmä sisältää alkuperäisen ryhmän neutraalialkion. Tämä on erinomainen ensikriteeri, kun ruvetaan tutkimaan, onko jokin joukko aliryhmä vai ei. Jos joukko ei sisällä neutraalialkiota, enemmät tutkimukset voi lopettaa välittömästi. 8. Todista käänteinen tulos lauseelle 5.2 eli osoita, että ryhmän G aliryhmä H toteuttaa molemmat aliryhmäkriteerit: kaikille x,y H pätee xy 1 H sekä (1) kaikille x,y H pätee xy H ja y 1 H. (2) Ohje: Tässä ei periaatteessa ole käytössä muuta kuin aliryhmän määritelmä, mutta onneksi ehdit jo todistaa tehtävän 7. tuloksen, joka on tässä suuressa merkityksessä. Bonustehtävä. (Tähän pätevät samat pelisäännöt kuin aikaisempaan bonustehtävään.) Olkoon A joukko, jossa on määritelty assosiatiivinen laskutoimitus 10

11 ja jossa on neutraalialkio e. Oletetaan, että joukossa A on eri alkiot a,b e siten, että a 2 = e, b 3 = e ja ba = ab 2. Osoita, että joukon H = {e,a,b,b 2,ab,ab 2 } alkiot ovat eri alkioita. Osoita edelleen, että joukko H on ryhmä laatimalla sen laskutaulu, vrt. tehtävä 5. Onko H kommutatiivinen? Luettele kaikki H:n aliryhmät. Laadi laskutaulut myös aliryhmille nämähän sitten osoittavat (jos osoittavat), että kyseessä on todella aliryhmä. Perustele myös se, miksi muita aliryhmiä ei antamiesi lisäksi ole. 11

12 Algebra, 5. demot, Olkoon G ryhmä ja a G. Positiiviset kokonaislukupotenssit a m on määritelty tehtävässä 3.2. Lisäksi määritellään a 0 = e ja negatiivisille m asetetaan a m = (a m ) 1, missä on järkeä, koska m on positiivinen ja siten a m G on jo määritelty ja sillä on käänteisalkio, koska G on ryhmä. Osoita, että (a 1 ) m = (a m ) 1 kaikille m Z. Huomaa, että tämän tuloksen nojalla myös (a 1 ) m = (a m ) 1, joten on yhdentekevää määritelläänkö negatiivinen potenssi asettamalla (kuten tehtiin) a m := (a m ) 1 tai toisinpäin a m := (a 1 ) m. Vertaa tehtävän 3.2 kysymyksenasetteluun. Ohje: Ensin induktiolla positiivisille m ja sitten negatiivisille sopivalla tempulla. 2. Olkoon G ryhmä. Onko kuvaus ϕ : G G, ϕ(x) = x 1 homomorfismi aina, joskus vai ei koskaan? 3. Olkoon m N, m 2. Tehtävästä 3.8 tiedetään, että ykkösen (eli kompleksiluvun 1 C) kaikki kertalukua m olevat juuret ovat ζ k = e i k2π m, k = 0,...,m 1. Osoita, että joukko H = {ζ 0,...,ζ m 1 } on ryhmä, kun laskutoimituksena on kompleksilukujen kertolasku. Onko ryhmä syklinen? Ohje: Käytä hyväksi sitä, että H C \ {0} ja C \ {0} on ryhmä kertolaskun suhteen. Tällöin voit käyttää lauseen 5.2 aliryhmäkriteerejä. Tehtävää helpottaa kovasti se tieto, että H sisältää kaikki ykkösen juuret, jolloin tehtävän alkuosassa ei tarvitse laskea juuri lainkaan. Syklisyystarkasteluissa kannattaa käyttää tehtävää a) Olkoon ϕ : G G ryhmähomomorfismi ja a G. Osoita, että ϕ(a m ) = (ϕ(a)) m kaikille m Z. Ohje: Negatiivisen potenssin määritelmä löytyy tehtävästä 1. Käytä hyväksi lausetta b) Olkoon G syklinen ryhmä ja ϕ : G G ryhmähomomorfismi. Osoita, että myös ϕ(g) on syklinen ryhmä. Ohje: Lause 5.6 ja a)-kohta. 5. Todista lauseen 6.2 seuraava, hieman terästetty versio. Tässä G on äärellinen ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Alkion a G kertaluku ord(a) määritellään asettamalla ord(a) = # a. 12

13 Koska G on äärellinen, niin myös a G on äärellinen, ja siten ord(a) on luonnollinen luku. a) Osoita, että on olemassa n N, n 1 siten, että a n = e. Ohje: Osoita ensin, että a m = a k joillekin m,k 0, m k. b) Kohdan a) nojalla joukko I = {n 1 a n = e} N on epätyhjä. Jokaisessa epätyhjässä luonnollisten lukujen osajoukossa on minimi eli pienin alkio. Tälläinen on siis myös joukossa I. Olkoon n 0 = min I, jolloin erityisesti n 0 I. Osoita, että a = {e,a,a 2,...,a n0 1 }. Ohje: Määritelmä Käytä kokonaislukujen jakoidentiteettiä. c) Osoita, että b)-kohdan joukon {e,a,a 2,...,a n0 1 } alkiot ovat eri alkioita, jolloin #{e,a,a 2,...,a n0 1 } = n 0 ja siten b)-kohdan nojalla ord(a) = # a = n 0 = min I = min{n 1 a n = e}. 6. Olkoot (G, ) ja (G, ) ryhmiä. Joukossa G G = {(a,b) a G ja b G } voidaan määritellä laskutoimitus asettamalla (a,b) (x,y) = (a x,b y) kaikille (a,b),(x,y) G G. a) Osoita, että (G G, ) on ryhmä. b) Olkoot (G, ), (G, ) ja (G G, ) kuten edellä. Olkoon H jokin ryhmä sekä f : H G ja g : H G homomorfismeja. Määritellään kuvaus h : H G G asettamalla Osoita, että H on homomorfismi. h(x) = (f(x),g(x)) G G kaikille x H. 7. Merkitään näissä tehtävissä 7. ja 8. selvyyden vuoksi joukon Z n, n 2 kongruenssiluokkia symboleilla [x] n, jolloin siis [x] n = {y Z x y nz} ja Z n = {[0] n,[1] n,...,[n 1] n }. a) Määritellään kuvaukset f : Z 3 Z 2 ja g : Z 4 Z 2 asettamalla f([x] 3 ) = [x] 2 ja g([x] 4 ) = [x] 2. Onko näissä määritelmissä järkeä? Tässähän ekvivalenssiluokka on kuvattu edustajansa välityksellä ja kysymys kuuluu, että onko f:n ja/tai g:n määritelmä riippumaton edustajan valinnasta, ts. jos on [x] n = [y] n, niin onko välttämättä 13

14 [x] 2 = [y] 2. Miten asia on? Jos f ja/tai g on hyvin määritelty, onko se homomorfismi? b) Yleistä a)-kohdan tarkastelut osoittamalla, että kuvaus h : Z n Z m, h([x] n ) = [x] m on hyvin määritelty jos ja vain jos luku m jakaa luvun n. Osoita edelleen, että hyvin määritelty h on aina homomorfismi. 8. a) Tehtävän 6. nojalla joukko Z 3 Z 4 on ryhmä, laskutoimituksena ([a] 3,[b] 4 ) ([x] 3,[y] 4 ) = ([a + x] 3,[b + y] 4 ). Osoita, että ryhmät Z 12 ja Z 3 Z 4 ovat isomorfisia konstruoimalla niiden välille isomorfismi. Ohje: Tämä isomorfismin voi rakentaa alkeellisesti kuvaamalla piste kerrallaan, mutta homomorfisuuden tarkistus on kovin työlästä: ryhmissä on 12 alkiota, joten tarkistettavia pistepareja on ( ) 12 2 = 66 kappaletta. Vähemmällä työllä selviää seuraavasti. Olkoot ensin f : Z 12 Z 3 ja g : Z 12 Z 4 tehtävän 7. mukaiset homomorfismit. (Huomaa, että tehtävän 7 b) ehto jaollisuudesta on näille molemmille voimassa.) Käytä sitten tehtävää 6, jonka avulla saat homomorfismin h : Z 12 Z 3 Z 4 ; siten ei tarvitse todistaa muuta kuin että h on bijektio. Itse asiassa ei tarvitse todistaa kuin että h on injektio tai surjektio, sillä jos äärellisissä joukoissa A ja B on yhtä monta alkiota ja ϕ : A B on kuvaus, niin ϕ on injektio jos ja vain jos ϕ on surjektio. b) Voisi ajatella, että a)-kohdan konstruktio hieman muutettuna antaisi myös isomorfismin h : Z 12 Z 2 Z 6. Näin ei kuitenkaan ole. Miksei? Bonustehtävä. Vaikka tehtävän 8. b) konstruktio ei toimi, se ei välttämättä silti tarkoita sitä, että ryhmät Z 12 ja Z 2 Z 6 eivät voisi olla isomorfisia. Osoita, että näin nyt kumminkin on eli näiden ryhmien välille ei voi virittää mitään isomorfismia. Selitä, mistä tämä pohjimmiltaan johtuu. Kehitä siis teoria, joka selittää, miksi ja milloin Z mn = Zm Z n. Testaa teoriaasi selvittämällä onko Z 18 = Z3 Z 6 tai Z 18 = Z2 Z 9. 14

15 Algebra, 6. demot, Määrää kaikki ryhmän Z 18 aliryhmät. Jaha, minkäs takia tehtävä numero 6. on ensimmäisenä. Siksi, että tehtävät johdattelevat sen ratkaisuun. Jos tehtävää 6. lähtee ihan lonkalta ratkaisemaan eli käymään läpi kaikkia joukon Z 18 osajoukkoja, niin tutkittavana on 2 18 tapausta, ja jos jokaiseen menisi vaikka minuutti, niin pitkään tuota pitäisi pähkäillä. Lagrangen lause auttaa paljon. Sehän kertoo, että aliryhmän kertaluku jakaa koko ryhmän kertaluvun, joka tässä tapauksessa on 18. Siten mahdollisia aliryhmiä ovat vain joukot H Z 18, joille pätee #H = 1,2,3,6,9 tai 18. Tapaukset #H = 1 ja #H = 18 ovat triviaaleja, mutta on noita muita vielä aika monta mahdollista. Kombinatoriikkaa osaavat voivat laskea, montako kahden, kolmen, kuuden ja yhdeksän alkion osajoukkoa kaikkiaan löytyy. Asiat helpottuvat ratkaisevasti tehtävän 1. avulla, kun muistetaan, että Z 18 on syklinen; sen virittäjähän on ilmeisesti [1] Osoita, että syklisen ryhmän jokainen aliryhmä on syklinen. Ohje: Olkoon G = g ja H G. Jos H = {e}, niin väite pätee. Voidaan siis olettaa, että H {e}. Osoita, että g n H jollekin n 1. Valitse m = min{n 1 g n H}. Osoita, että H = g m. Kokonaislukujen jakoidentiteetti auttaa tässäkin, vrt. teht No niin, nyt tehtävän 6. ratkaisu helpottui huomattavasti, sillä vastaushan oikeastaan tiedetään jo tehtävästä 1: kaikki aliryhmät ovat luettelossa [x] 18, x = 0,...,17. Tehtävä 6. pitää kuitenkin ymmärtää niin, että on lueteltava myös näiden aliryhmien alkiot. Vaikka vaihtoehtoja on enää vain 18, tehtävä voi silti olla aika työläs, kuten seuraavasta näkyy: 2. Luettele aliryhmien [4] 18 ja [5] 18 alkiot käyttämättä mitään aputuloksia suoraan määritelmän 5.15 perusteella. Huomaa, että tässä on nyt additiivinen merkintä ryhmälaskutoimitukselle, joten [x] 18 = {[mx] 18 m Z}. Tehtävästä 4. saadaan tietoon aliryhmän [x] 18 kertaluku. Siitä on kovasti apua erityisesti siinä tapauksessa, että kertaluku on 18, vrt. tapaus [5] 18 edellä. Todistetaan ensin aputulos: 3. Olkoon G = g syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n. Olkoon m Z ja merkitään d = syt(m,n). Osoita, että g m = g d. Ohje: Osoita, että ja. Jos suurin yhteinen tekijä syt(m,n) on vieras, niin se on nimensä mukainen eli suurin kokonaisluku, joka jakaa sekä m:n että n:n. Suurimmalla yhteisellä tekijällä on sellainen ominaisuus, että on olemassa a, b Z siten, että syt(m, n) = am + bn. Tästä tiedosta on apua tässä. Muista 15

16 myös lause Olkoon G = g syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n. Olkoon m Z ja merkitään d = syt(m,n). Luku d on luvun n tekijä, joten Osoita, että alkion g m kertaluku on k. k := n d N. Ohje: Tehtävän 3. nojalla # g m = # g d, joten riittää osoittaa, että alkion g d kertaluku on k. Käytä lausetta 7.9 ja tehtävää 5.5. Tehtävä 5. paljastaa tarkalleen kaikki syklisen ryhmän aliryhmät. 5. a) Olkoon G = g syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n. Olkoon m Z siten, että syt(m,n) = 1. Osoita, että g m virittää koko ryhmän G. b) Osoita, että muita G:n virittäjiä kuin a)-kohdassa mainitut ei ole. c) Osoita, että ryhmän G kaikki aliryhmät ovat muotoa g d, missä d on n:n tekijä ja 1 d n. 6. Ja nyt sitten uudestaan ja vähän terästettynä: Määrää kaikki ryhmän Z 18 aliryhmät. Mitkä näistä ovat normaaleja aliryhmiä? 7. Laadi permutaatioryhmän S 3 = {σ σ : {1,2,3} {1,2,3} on bijektio } laskutaulu. Laskutoimituksenahan tässä on kuvausten yhdistäminen ja alkioita S 3 :ssa on kuusi. Määrää kaikki ryhmän S 3 aliryhmät. Mitkä näistä ovat normaaleja? 8. Niin sanotussa kvaternioryhmässä H on kahdeksan eri alkiota, H = {1, 1,i, i,j, j,k, k}. Kvaternioista ja niiden merkityksestä löytyy tarinaa vaikkapa Wikipediasta. Tässä ja tämän tehtävän kannalta ei kuitenkaan ole väliä sillä, mitä nämä alkiot ovat ne ovat vain eri alkioita, joita merkitään kahdeksalla eri symbolilla, symbolit voisi tietysti valita toisinkin eli esimerkiksi α,β,γ,... tms, mutta käytetään nyt tätä standardimerkintätapaa. Näille alkioille eli joukossa H mää- 16

17 ritellään laskutoimitus seuraavan laskutaulun avulla: 1 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Tämä laskutoimitus tekee joukosta H ryhmän. Selvästi 1 on neutraalialkio ja laskutaulu on sudokumainen, mutta assosiatiivisuus on vähän hakusessa. Tämä on aika hankala (ja tylsä) todistettava, kun noita alkioita on melko paljon. Vähän näppärämpi(?) lähestymistapa on merkitä ± ±1 0 0 ± 1 = 0 ± ±1 0, ±i = , ±1 0 0 ± ± ±1 ± j = ± , ±k = ±1 0 0, ja huomata, että ylle kirjoitettu laskutaulu syntyy näiden matriisien matriisituloista. Koska matriisitulo on assosiatiivinen, niin yo. laskutaulukin on assosiatiivinen. On siinäkin vähän näpertämistä, mutta sivuutetaan nämä ja uskotaan assosiatiivisuuteen. Silloin kyseessä on tehtävän 4.4 mukaan ryhmä. Määrää kaikki ryhmän H aliryhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? 17

18 Algebra, 7. demot, Koska tämä demopäivä sattuu olemaan myös välikoepäivä, menetellään näissä demoissa vähän poikkeuksellisesti. On syytä harjoitella vielä luvun 7 asioita eli normaaliin aliryhmään, tekijäryhmään ja sen semmoisiin liittyviä juttuja. Permutaatioitakin on vielä pyöriteltävä, jotta välikoevalmius kasvaisi. Näistä tehtävistä on taatusti hyötyä välikokeessa (uskoo nimimerkki välikokeen laatija). Näitä kannattaa siis ratkoa erityisesti tehtävää 6. b) suositellaan. Koska demot ovat vasta välikokeen jälkeen, niin tehtävien ratkaisut julkaistaan netissä viimeistään maanantaina. Itse demotilaisuuksista aamupäivän ryhmä perutaan kokonaan, mutta iltapäivän ryhmät pidetään. Niissä käydään läpi jo julkaistuja ratkaisuja soveltuvilta ja valikoiduilta kohdilta ja mikseipä itse välikoetehtäviäkin. Näitä demotehtäviähän on melko paljon, eikä kaikkia millään ehditä käsitellä. Tiistaiaamun laskuryhmä on normaalilla paikallaan. Siellä voi käydä kyselemässä, jos nettiratkaisuissa on jotain epäselvää. Näissä tehtävissä koko ajan G on (jokin tuntematon) ryhmä ja e sen neutraalialkio, ellei erikseen muuta mainita. 1. Osoita, että isomorfismi f : G G säilyttää alkion kertaluvun, ts. kaikille x G pätee ord(x) = ord(f(x)). Päteekö tämä, jos oletetaan, että f on (vain) homomorfismi? 2. Määritellään kiinteälle a G kuvaus ϕ a : G G asettamalla ϕ a (x) = axa 1 kaikille x G. Osoita, että ϕ a : G G on isomorfismi kaikille a G. Merkitään Aut(G) = {f : G G f on isomorfismi}. Aut(G) on on ilmeisesti ryhmä, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Edelleen merkitään Inn(G) = {ϕ a a G}, missä ϕ a määritellään kuten tehtävässä 2. Tehtävän 2. nojalla Inn(G) Aut(G). 3. Osoita, että Inn(G) on ryhmän Aut(G) normaali aliryhmä. 4. Olkoon ϕ a kuten tehtävässä 2. Osoita, että kuvaus ψ : G Inn(G), ψ(a) = ϕ a on homomorfismi. Onko se surjektio? Entä injektio? 5. a) Osoita, että ryhmän G keskus Z(G) = {x G xy = yx kaikille y G} on G:n kommutatiivinen normaali aliryhmä. b) Osoita, että jos f Aut(G), niin f(z(g)) = Z(G). Jos G on kommutatiivinen, niin triviaalisti Z(G) = G, ja myös kääntäen: jos Z(G) = G, niin G on kommutatiivinen. Intuitiivisessa mielessä voidaankin sanoa, että aliryhmän Z(G) koko mittaa kommutatiivisuutta: mitä suurempi 18

19 Z(G), niin sitä kommutatiivisempi G on. Tässä mielessä tilanne Z(G) = {e} edustaa toista ääripäätä silloin voidaan sanoa, että G on hyvin epäkommutatiivinen. 6. Tehtävän 5. a) nojalla tekijäryhmä G/Z(G) voidaan muodostaa. Intuitiivisesti voisi epäillä, että se olisi hyvin epäkommutatiivinen, ts. pätisi aina Z (G/Z(G)) = {[e]}. (1) Voidaan osoittaa, että jos kaikille normaaleille aliryhmille H G tekijäryhmä G/H on epäkommutatiivinen, niin ehto (1) pätee. Tämä ehto (1) ei välttämättä kuitenkaan aina päde. a) Osoita kuitenkin, että Z(G) on suppein G:n normaali aliryhmä, jolle vastaava tekijäryhmä voi olla hyvin epäkommutatiivinen. Tarkemmin sanottuna todista seuraavaa: Jos H on G:n normaali aliryhmä siten, että Z(G/H) = {[e]}, niin pätee Z(G) H. b) Anna esimerkki, joka osoittaa, että ehto (1) ei yleisesti päde. Ohje: Ehkä yksinkertaisin esimerkki löytyy tehtävän 6.8 kvaternioryhmästä H. Määrää sen keskus Z(H), tekijäryhmän H/Z(H) alkiot ja laskutaulu sekä lopuksi keskus Z(H/Z(H)). Tehtävää helpottaa tieto siitä, että keskus on normaali aliryhmä; H:n kaikki normaalit aliryhmät tunnetaan tehtävästä 6.8. Lisäksi tekijäryhmän kertaluku saadaan yhtälöstä #(G/H) = #G/#H. 7. Olkoon ψ : G Inn(G) kuten tehtävässä 4. Osoita, että Ker(ψ) = Z(G). Päättele tästä, että jos Z(G) = {e}, niin G = Inn(G). Erityisesti tällöin pätee #G = #Inn(G). Merkitään kaikille x, y G [x,y] = xyx 1 y 1 G ja sanotaan, että [x,y] on x:n ja y:n kommutaattori. Huomaa, että tehtävän 4.2 nojalla [x,y] = e jos ja vain jos x ja y kommutoivat eli pätee xy = yx. Kommutatiivisessa ryhmässä siis kaikki kommutaattorit ovat neutraalialkioita. Merkitään edelleen B = {[x,y] x,y G} G ja C(G) = B G, ts. C(G) on kaikkien kommutaattoreiden virittämä joukko, ks. määritelmä C(G) on siis suppein G:n aliryhmä, joka sisältää kaikki kommutaattorit. Koska kommutaattorin käänteisalkio on myös kommutaattori, [x,y] 1 = [y,x], niin 19

20 lauseen 5.11 nojalla C(G) koostuu kaikista kommutaattoreiden äärellisistä tuloista. 8. a) Osoita, että jos f Aut(G), niin f(c(g)) = C(G). Ohje: Osoita ensin, että f(b) = B ja päättele tästä, että C(G) f(c(g)). b) Osoita, että C(G) on G:n normaali aliryhmä. Ohje: Se on aliryhmä suoraan konstruktionsa perusteella. Normaalisuus seuraa helpoiten a)-kohdasta ja tehtävän 2. havainnosta Inn(G) Aut(G). 9. a) Tehtävän 8. b) nojalla tekijäryhmä G/C(G) voidaan muodostaa. Osoita, että se on kommutatiivinen. b) Osoita, että C(G) on suppein G:n normaali aliryhmä, jolle vastaava tekijäryhmä on kommutatiivinen. Tarkemmin sanottuna todista seuraavaa: Jos H on G:n normaali aliryhmä siten, että G/H on kommutatiivinen, niin pätee C(G) H. Vertaa tehtävään 6. a). Seuraavaksi tarkastellaan permutaatioryhmiä S n, jotka määritelmänsä mukaan koostuvat kaikista bijektiivisistä kuvauksista eli permutaatioista σ : {1,..., n} {1,...,n}. Kuvausten yhdistäminen laskutoimituksena S n on ryhmä. Luennoilla on osoitettu, että jokainen permutaatio voidaan esittää 2-syklien eli vaihtojen (ab) tulona. Permutaatiolla on useita eri esityksiä 2-syklien tulona, mutta kuten myös luennoilla (aika vaivalloisesti) nähtiin jokainen permutaatio voidaan esittää joko parittoman monen tai sitten parillisen monen 2-syklin tulona, mutta ei yhtaikaa eli jos permutaatiolla on esitys parillisen monen 2-syklin tulona, niin sitä ei voi esittää parittoman monen 2-syklin tulona ja päinvastoin. Tämä määrää permutaation merkin, eli permutaation σ merkki ǫ(σ) on +1, jos σ voidaan esittää parillisen monen 2-syklin tulona ja ǫ(σ) on 1, jos σ voidaan esittää parittoman monen 2-syklin tulona. Merkitään A n = {σ S n ǫ(σ) = +1}. 10. Osoita, että A n on ryhmän S n normaali aliryhmä. Oletetaan tunnetuksi, että #S n = n!. Osoita, että #A n = 1 2 n!. 11. Luennoilla on osoitettu, että jokainen S n :n alkio ( (1)) voidaan esittää erillisten syklien tulona. Tällä perusteella ryhmien S 3, S 4 ja S 5 ei-triviaalit al- 20

21 kiot ovat i) 2-syklejä (ab), ii) iii) 3-syklejä (abc), 4-syklejä (abcd), iv) 5-syklejä (abcde), v) kahden erillisen 2-syklin tuloja (ab)(cd) tai vi) erillisen 2-syklin ja 3-syklin tuloja (ab)(cde). Tietystikään esimerkiksi S 3 :ssa ei näitä kaikkia tyyppejä esiinny. Mitkä näistä tyypeistä i) vi) ovat A n :n alkioita? Mikä on näiden tyyppien kertaluku? 12. Osoita, että ryhmän S n, n = 3,4,5 virittävät 2-syklit (12),...,(1n). Ohje: Tiedetään, että kaikki 2-syklit virittävät ryhmän S n, joten riittää osoittaa, että jokainen 2-sykli (ab) voidaan esittää annettujen syklien tulona. 13. Osoita, että Z(S n ) = {(1)} kun n = 3,4,5. Ohje: Osoita, että mikään tehtävän 11. tyypeistä ei voi olla keskuksen alkio. Huomautus. Tehtävän 13. väite Z(S n ) = {(1)} pätee myös kun n 6. Tätäkään ei ole kovin vaikea osoittaa. 14. Osoita, että C(S n ) = A n kun n = 3,4,5. Ohje: Tämä on helppo, kun n = 3. Kun n = 4 ja varsinkin kun n = 5, homma menee vähän hankalaksi. Tässä on helpointa turvautua seuraavaan lauseeseen (jota ei tällä kurssilla todisteta): Lause 1. Ryhmän A 4 ainoa ei-triviaali (eli A 4 ja {(1)}) normaali aliryhmä on {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Kun n 2 ja n 4, niin ryhmällä A n ei ole ei-triviaaleja normaaleja aliryhmiä lainkaan. Tämä on hämmästyttävä lause: mitä erikoista on luvussa 4, jotta se poikkeaa kaikista muista luvuista lauseen kertomalla tavalla? Palataan takaisin ohjeeseen. Osoita, että C(S n ) A n, jolloin tehtävän 8. b) ja lemman 7.14 nojalla C(S n ) A n. Sovella sitten lausetta 1. Huomautus. Tehtävän 14. väite C(S n ) = A n pätee myös kun n 6. Tämä seuraa lauseesta 1. samalla tavalla kuin tapaus n = Osoita, että jos f Aut(S n ), niin f(a n ) = A n, kun n = 3,4,5. 21

22 Vihje: Tämä on helppo, kun muistat, mitä edellisissä tehtävissä on tullut tehtyä. 16. Luennolla osoitettiin, että #Aut(S 3 ) = 6. Käy tämä todistus huolellisesti läpi. Siinähän huomattiin ensin, että 2-syklien kuvautuminen määrää isomorfismin täysin. 2-syklit kuvautuvat isomorfismissa 2-sykleille, joten vaihtoehtoja on korkeintaan kuusi, koska 2-syklejä on kolme. Toisaalta Inn(S 3 ) Aut(S 3 ) ja tehtävien 7. ja 13. nojalla #Inn(S 3 ) = #S 3 = 6, joten väite seuraa. 17. Osoita, että #Aut(S 4 ) = 24. Ohje: Tässä on sama perusidea kuin tehtävässä 16. Tehtävän 12. nojalla 2- syklien (12),(13) ja (14) kuvautuminen määrää isomorfismin täysin. Nyt pitää ensin osoittaa, että nämä kuvautuvat 2-sykleille. Apua on tehtävistä 1, 11 ja 15. Sitten vain laskemaan, monellako tavalla maksimissaan nämä voivat kuvautua. Ensin (12) voi (ainakin periaatteessa) kuvautua mille tahansa 2-syklille (ab), joita on kaikkiaan 6. Sen jälkeen (13) ei voikaan kuvautua mihin tahansa: koska (12) ja (13) eivät kommutoi, niin kuvasyklitkään eivät voi kommutoida. Silloin (13):n täytyy kuvautua 2-syklille, joka ei ole (ab):stä erillinen eli kuvasyklin on oltava muotoa (ca) tai (bc). Tässä on neljä vaihtoehtoa. Tämän jälkeen syklin (14) kuvautuminen onkin jo lyöty lukkoon, ja vaihtoehtoja on maksimissaan 6 4 = 24. Bonustehtävä. Osoita, että #Aut(S 5 ) = 120. Huomautus. Nyt on tietysti luonnollista kysyä, onko #Aut(S 6 ) = 6! = 720. Vastaus on, että ei ole. Itse asiassa pätee #Aut(S 6 ) = Maalaisjärkisen tarkkailijan on tämä helppo perustella sillä, että S 6 :ssa on niin paljon alkioita, että niitä on helpompi kuvailla ja pyöritellä toisilleen, jolloin isomorfismejakin syntyy enemmän. Katsotaanpa tätä maalaisjärkeen perustuvaa ajatusta vähän tarkemmin. Lievällä muutoksella (ks. tehtävät 7. ja 15.) noihin edellisiin tehtäviin voidaan helposti nähdä, että Aut(A n ) = S n kun n = 3,4,5. Tämä väite ei enää päde, kun n = 6 aivan kuten maalaisjärkinen tarkkailija ennusti. Tämä tarkkailija saattaa tosin mennä hieman hämilleen, kun osoittautuu, että Aut(A 7 ) = S 7. Nooh, seiskahan on alkuluku, sillä kai se selittyy, voisi tarkkailija yrittää puolustautua. Lopullisesti maalaisjärki joutuu turmioon ja häpeään, kun huomataan, että Aut(A n ) = S n kaikille n 7. Pätee siis 22

23 Lause 2. Aut(A n ) = S n kaikille n 3, paitsi kun n = 6. Tämä on ällistyttävää. Mitä erikoista on luvussa 6, jotta näin pääsee käymään? 23

24 Algebra, 8. demot, Tarkastellaan tekijäryhmää (Z n,+), missä n 2. Tässähän tekijäluokkien yhteenlasku määritellään edustajien kautta eli asetetaan [x] n + [y] n = [x + y] n. On osoitettu, että tämä on järkevä määritelmä eli riippumaton valituista luokkien edustajista x ja y. Lisäksi tämä laskutoimitus on todellakin ryhmälaskutoimitus, jopa kommutatiivinen, jonka neutraalialkio on [0] n. Osoita tarkasti, että vastaavalla tavalla voidaan määritellä joukkoon Z n myös kertolasku asettamalla [x] n [y] n = [xy] n. Tehtävänä on siis osoittaa, että tämä määritelmä on riippumaton valituista edustajista x ja y. Tämän jälkeen on triviaalia, että näin syntyy rengas: yhteenlaskun tiedetään jo muodostavan kommutatiivisen ryhmän, kertolaskun assosiatiivisuus periytyy Z:sta, samoin distributiivisuus, ja ilmeisesti [1] n on ykkösalkio. 2. Ei tämä aina kuitenkaan noin helppoa ole kuin ykköstehtävässä. Luennoilla tarkasteltiin rengasta (Z Z, +, ), jonka yhteen- ja kertolasku määriteltiin komponenteittain, ts. (a,b) + (x,y) = (a + x,b + y) ja (a,b) (x,y) = (ax,by). Tämä on selvästi rengas, nolla-alkiona (0, 0) ja ykkösalkiona (1, 1). Luennoilla oli esillä myös tämän renkaan alirengas A = {(a,a) a Z}. Tämä todettiin alirenkaaksi, jolloin erityisesti (A, +) on ryhmän (Z Z, +) aliryhmä. Koska tämä ryhmä on kommutatiivinen, aliryhmät ovat normaaleja, joten tekijäryhmä (Z Z)/A voidaan muodostaa ja erityisesti varustaa se yhteenlaskulla, joka määritellään edustajien kautta, eli tekijäluokille voidaan järkevästi määritellä [(a,b)]+[(x,y)] = [(a,b)+(x,y)] = [(a+x,b+y)]. Ja nyt kysymys kuuluu, että voidaanko vastaavalla tavalla määritellä tähän tekijäluokkien joukkoon kertolasku, eli onko määritelmä [(a,b)] [(x,y)] = [(ax,by)] riippumaton luokkien [(a,b)] ja [(x,y)] valituista edustajista? 3. Olkoon R Z 6, R = {[0] 6,[2] 6,[4] 6 }. Osoita, että R on rengas, kun se varustetaan Z 6 :n indusoimilla laskutoimituksilla. Mikä on R:n ykkösalkio? Huomautus. Tässä on nyt esimerkki siitä, että renkaan sisällä voi olla toinen rengas, joka ei kuitenkaan ole alirengas. Tämä R ei ole Z 6 :n alirengas, koska se ei sisällä renkaan Z 6 ykkösalkiota [1] 6. Renkaassa R on siis sen oma ykkösalkio, joka toimii R:ssä niinkuin ykkösalkion kuuluu toimia. Tämä on kertomus siitä, että tehtävässä 4.7 esitetty pähkäily siitä, onko aliryhmän neutraalialkio myös koko ryhmän neutraalialkio, ei päinvastaisista epäilyistä huolimatta ollut aivan huuhaa-juttua, vaan ihan asiallinen kysymys. Huomaa tässä kuitenkin se, että alirenkaan ykkösalkio on aina sama kuin koko renkaan, mutta se pitää 24

25 erikseen määritelmässä vaatia. Ryhmille/aliryhmille tätä vaatimusta ei tarvittu, kuten tehtävä 4.7 sanoo. Toistettakoon väärinkäsitysten välttämiseksi vielä, että tämän esimerkkitapauksen R ei ole Z 6 :n alirengas, vaikka rengas onkin. 4. a) Määritellään kuvaus f : Z 6 Z 6 asettamalla f([x] 6 ) = [4x] 6 kaikille [x] 6 Z 6. Osoita, että f on hyvin määritelty (eli riippumaton tekijäluokan edustajasta), f([x] 6 + [y] 6 ) = f([x] 6 ) + f([y] 6 ) ja f([x] 6 [y] 6 ) = f([x] 6 ) f([y] 6 ) kaikille [x] 6,[y] 6 Z 6, mutta f ei kuitenkaan ole rengashomomorfismi. Tämä taas on kertomus siitä, että rengashomomorfismin määritelmässä oleva ehto f(1) = 1 on oleellinen. b) Olkoon R kuten tehtävässä 3. ja määritellään f : Z 6 R asettamalla f([x] 6 ) = [4x] 6 kaikille [x] 6 Z 6. Onko f hyvin määritelty rengashomomorfismi? Huomaa, että tässä pitää tarkistaa myös se, että f tosiaan kuvaa joukkoon R. Koska renkaassa on aina kaksi eri laskutoimitusta, niin merkintöjen kanssa on oltava huolellisempi kuin esimerkiksi ryhmässä, etteivät nämä mene sekaisin. Luennoilla ja luentomonisteessa merkintöjä on selvitelty, mutta kertauksen vuoksi vielä: Tehtävässä 3.1 määriteltiin positiiviset potenssit (jonkun) laskutoimituksen suhteen, jotka intuitiivisesti tarkoittavat sitä, että a m = a } a {{... a }. m kpl Renkaissa tämä potenssimerkintä on varattu kertolaskulle, eli renkaassa a m = a } a {{... a }. m kpl Nyt on huomattava, että negatiivisia potensseja ei voi renkaassa määritellä, koska käänteisalkiota kertolaskun suhteen ei välttämättä ole olemassa. Voidaan kuitenkin sopia, että a 0 = 1 R kaikille a R. Yhteenlaskulle tietysti myös tuo tehtävän 3.1 määritelmä toimii, mutta sille käytetään merkintää ma = a + a a. } {{ } m kpl Tätä sanotaan a:n monikerraksi. Yhteenlaskun suhteen käänteisalkio löytyy, joten voidaan määritellä myös negatiiviset monikerrat samalla tavalla kuin tehtävässä 5.1. Lisäksi vielä sovitaan, että 0a = 0 R kaikille a R. Huomaa, että tässä määritelmässä 0 on luonnollinen luku, kun taas 0 R on R:n nolla-alkio. 25

26 5. Olkoon R rengas ja 1 R sen ykkösalkio. Osoita, että mx = (m1 R ) x kaikille x R ja kaikille m Z. 6. Kokonaisalueen R karakteristika määritellään seuraavasti. Jos m1 R 0 R kaikille m 1, sovitaan, että karakteristika on 0. Muussa tapauksessa sovitaan, että karakteristika on min{m 1 m1 R = 0 R }. a) Osoita, että jos kokonaisalueen R karakteristika on 0, niin mx 0 R kaikille m 1 ja kaikille x R \ {0 R }. Osoita edelleen, että jos karakteristika on n N, niin n = min{m 1 mx = 0 R } kaikille x R \ {0 R }. b) Karakteristika voidaan periaatteessa määritellä samalla tavalla (kuin kokonaisalueessa) myös mielivaltaisessa renkaassa. Osoita esimerkillä tai esimerkeillä, että a)-kohdan väitteet eivät tällöin kuitenkaan välttämättä päde. 7. Päteekö tuttu kaava (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 kaikissa renkaissa? 8. a) Olkoon X epätyhjä joukko ja P(X) sen potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko. Luennoilla on todettu, että laskutoimitukset ja tekevät joukosta P(X) renkaan, nimenomaan siinä järjestyksessä, että on yhteenlasku ja on kertolasku. Tässähän on tavallinen osajoukkojen leikkaus ja määritellään asettamalla A B = (A \B) (B \A) kaikille A,B P(X). Totea vielä tarkasti, mitkä ovat tämän renkaan nolla- ja ykkösalkio, vaikka onhan tämä luennolla sanottu. Osoita, että tässä renkaassa pätee ehto x 2 = x kaikille x. (1) b) Olkoon R rengas, jossa pätee ehto (1). (Huomaa, että a)-kohdan mukaan siis tällaisia renkaita on olemassa.) Osoita, että R on välttämättä kommutatiivinen. Ohje: Renkaan kommutatiivisuushan merkitsee sitä, että nimenomaan kertolasku on kommutatiivinen; yhteenlasku on renkaassa aina kommutatiivinen. Pitää siis osoittaa, että xy = yx kaikille x,y R. Tämä onnistuu tarkastelemalla alkiota x + y. 26

27 Algebra, 9. demot, Mitkä seuraavista ovat kuntia? a) Z 3, b) Z 4, c) Z 3 Z 3 (tässä laskutoimitukset määritellään kuten tehtävässä 5.7), d) M 2 (Z), e) (P(X),, ), kun X = {0,1}. 2. a) Oletetaan tunnetuksi, että Q ja R varustettuina tavallisella yhteen- ja kertolaskulla ovat kommutatiivisia renkaita. Osoita, että ne ovat myös kuntia. Ovatko ne kokonaisalueita? b) Todista, että C varustettuna tavallisella yhteen- ja kertolaskulla on kunta. Oletetaan tässä tunnetuksi, että (C,+) on kommutatiivinen ryhmä. Muistutukseksi: Jos z = a + ib C ja w = x + iy C, missä a,b,x,y R niin määritellään z + w = a + x + i(b + y) ja z w = ax by + i(ay + bx). 3. Tarkastellaan matriisirengasta M 2 (R), jossa laskutoimituksina ovat matriisien yhteen- ja kertolasku. Määritellään {[ ] } {[ ] } a 0 a b A = a R ja B = a,b R. 0 a b a Osoita, että A ja B ovat renkaan M 2 (R) alirenkaita. 4. a) Osoita, että tehtävän 3. renkaat A ja B ovat kuntia. b) Osoita, että kunnat A ja R ovat isomorfisia. c) Osoita, että kunnat B ja C ovat isomorfisia. d) Ovatko kunnat A ja B keskenään isomorfisia? 5. Määrää renkaiden Z 18 ja Z 20 yksiköt. Lauseen 8.7 nojalla näiden yksiköiden muodostamat joukot Z 18 ja Z 20 ovat ryhmiä, kun ne varustetaan kertolaskulla. Ovatko ryhmät Z 18 ja/tai Z 20 syklisiä? 6. Tarkastellaan tavanomaisen matriisirenkaan M 2 (R) sijasta matriisirengasta M 2 (Z 3 ), joka määritellään asettamalla {[ ] } a b M 2 (Z 3 ) = a,b,c,d Z c d 3. 27

28 Varustetaan se matriisien tavallisella yhteen- ja kertolaskulla, jolloin ilmeisesti syntyy rengas. Ovatko alkiot [ ] [ ] [2]3 [1] 3 [2]3 [1] M [0] 3 [2] 2 (Z 3 ) ja/tai 3 M 3 [1] 3 [2] 2 (Z 3 ) 3 renkaan M 2 (Z 3 ) yksiköitä? Myönteisessä tapauksessa määrää niiden kertaluku yksiköiden ryhmässä M 2 (Z 3 ). 7. Merkitään Z( 2) = {a + b 2 a,b Z} ja Q( 2) = {a + b 2 a,b Q}. a) Osoita, että Z( 2) ja Q( 2) ovat R:n alirenkaita. b) Osoita, että Z( 2) ei ole ja Q( 2) on kunta. Oletetaan tässä tunnetuksi, että 2 on irrationaaliluku. 8. Todista lause 8.16: Rengashomomorfismien yhdiste on rengashomomorfismi ja bijektiivisen rengashomomorfismin käänteiskuvaus on rengashomomorfismi. Tämän jälkimmäisen tuloksen nojalla rengashomomorfismi on isomorfismi täsmälleen silloin, kun se on bijektio. 28

29 Algebra, 10. demot, Olkoot P,Q R[X] polynomeja, jotka on annettu summamuodossa P = X 3 4X ja Q = X 2 + 2X 5. Kirjoita P ja Q määritelmän mukaisesti jonomuodossa eli määrää reaalilukujonot (a k ) ja (b k ) siten, että P = (a 0,a 1,a 2,a 3,a 4,...) ja Q = (b 0,b 1,b 2,b 3,b 4,...). Laske nämä jonot yhteen määritelmän mukaisesti (mikä on helppoa) ja toisaalta myös kerro ne keskenään määritelmän mukaisesti. Kirjoita sitten saamasi jonot taas summamuotoon. Laske tämä summa ja tulo myös niinkuin koulussa on opetettu. Sama lopputuloshan sieltä pitäisi tulla. 2. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Osoita, että kuvaus f : R R[X], on injektiivinen rengashomomorfismi. f(a) = (a,0,0,0,...) kaikille a R Huomaa, että tehtävän 2. nojalla R on isomorfinen R[X]:n alirenkaan f(r) kanssa. Näin jokainen rengas voidaan upottaa polynomirenkaaseensa tulkitsemalla R:n alkiot a vakiopolynomeiksi (a, 0, 0, 0,...). 3. Olkoon P = [4] 5 X 2 + [3] 5 X + [1] 5 Z 5 [X]. Määrää polynomikuvauksen P : Z 5 Z 5 kaikki arvot. 4. a) Anna esimerkki polynomirenkaasta, joka ei ole kokonaisalue. b) Anna esimerkki kahdesta eri polynomista P,Q Z 5 [X], joille pätee P = Q. 5. Olkoon P = [2] 5 X 5 + [3] 5 X 3 + [1] 5 Z 5 [X] ja S = [3] 5 X 2 + [1] 5 X + [4] 5 Z 5 [X]. Koska Z 5 on kunta, niin polynomien jakoyhtälön nojalla on olemassa yksikäsitteiset Q,R Z 5 siten, että P = SQ + R ja R = 0 tai deg(r) < deg(s). Määrää tällaiset Q ja R. 6. Olkoon K kunta. Määrää polynomirenkaan K[X] yksiköt. 7. Olkoon n P = a i X i Z[X], missä n 1 ja a 0,a n 0. i=0 29

30 Olkoon p/q polynomin P rationaalijuuri, missä p,q Z ja oletetaan, että p/q on supistetussa muodossa eli syt(p,q) = 1. Osoita, että p jakaa luvun a 0 ja q jakaa luvun a n. Huomaa, että tämä antaa toimivan menetelmän löytää myös jokaisen rationaalikertoimisen polynomin kaikki rationaalijuuret, koska laventamalla päästään kokonaislukukertoimiseen polynomiin, josta taas päästään vaadittuun muotoon (eli ehtoon a 0 0) supistamalla X:llä. Tämän jälkeen kokonaisluvuilla a 0 ja a n on vain äärellinen määrä tekijöitä, joista selvitään kokeilemalla. 8. Määrää polynomien P 1 = X 7 1, P 2 = X 8 1, P 3 = 2X 2 3X + 4, P 4 = 3X 3 + X 5 ja P 5 = 2X 4 4X + 3 Z[X] kaikki rationaalijuuret. Bonustehtävä. Ovatko tehtävän 8. polynomit jaottomia renkaassa Z[X]? Entä renkaassa Q[X]? 30