1 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta
|
|
- Eija Niemelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Taloustieteen matemaattiset menetelmät 207 materiaali 3 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta. Lineaariset funktiot Funktio f R n! R m on lineaarinen jos. Kaikille 2 R ja kaikille x 2 R n pätee 2. Kaikille x; y 2 R n pätee f (x) = f (x) f (x + y) = f (x) + f (y) 3. Yhdistämällä. ja 2. saadaan kaikille i 2 R ja kaikille x i 2 R n Tarkastellaan aluksi funktioita Määritellään f n i= i x i = n i= i f x i f R! R a = f () Jos f on lineaarinen, saadaan kohdan. mukaan f (x) = xf () = ax Toisin sanoen kaikki lineaariset funktiot f R! R voidaan esittää reaaliluvun a ja muuttujan x tulona. Tarkastellaan seuraavaksi funktiota Määritellään f R n! R f (e i ) = a i ; missä e i on luvussa.6. määritelty yksikkövektori. Kaikki vektorit x 2 R n voidaan esittää muodossa x = n i=x i e i
2 Jos f on lineaarinen, saadaan kohdan 3. mukaan missä f (x) = n i=f (e i ) x i = n i=a i x i = a x; a = (a ; ; a n ) Toisin sanoen lineaariset funktiot voidaan esittää vektorin a ja muuttujan x pistetulona. Lopulta funktiot f R n! R m määritellään vektoriarvoisiksi funktioiksi 0 0 f (x) f 2 (x) f (x) = B A = f m (x) missä jokainen komponenttifunktio f i on muotoa f i R n! R f (x ; ; x n ) f 2 (x ; ; x n ). f m (x ; ; x n ) Jos f on lineaarinen, on sen jokaisen komponenttifunktion f i myös oltava lineaarinen. Edellisen kohdan nojalla siis tiedämme, että jokaista komponenttifunktiota f i vastaa vektori a i ; jolle pätee f i (x) = a i x Lineaarinen funktio f voidaan siis kirjoittaa (m n) matriisin A avulla muodossa a > a a n x B C B C B C f (x) A A = Ax a m a mn x m a > m Lineaariset funktiot ovat helppoja käsitellä, koska lisäämällä x i tä x i yksiköllä kasvaa y j n arvo a ji x i verran. Toisin sanoen lisäyksen koko ei riipu alkuperäisestä x i n arvosta. Tämä seuraa suoraan lineaaristen funktioiden additiivisuudesta (siis f (x + y) = f (x) + f (y)). Lineaariset mallit eivät valitettavasti sovellu kaikkiin taloudellisiin tilanteisiin. Syitä tähän i) Eivät pysty kuvaamaan ilmiötä kuten laskevat rajatuotot. ii) Johtavat usein huonosti määriteltyihin optimointiongelmiin. (Ei optimaalista ratkaisua). iii) Hyvin määritellyissäkin tapauksissa johtavat usein tuloksiin, jotka eivät taloudellisesti järkeviä. Esimerkiksi ratkaisujen epäjatkuvuus. Tämän takia joudumme käyttämään myös malleja jotka eivät ole lineaarisia, toisin sanoen malleja, jotka ovat epälineaarisia. C A ; 2
3 .2 Esimerkkejä. Hyötyfunktio U (x ; ; x n ) Epälineaarisuus kuvaa laskevaa rajahyötyä, epätäydellistä substituoitavuutta, riskiasennetta jne. 2. Tuotantofunktio F (K; L) Epälineaarisuus kuvaa laskevaa rajatuotosta, laskevia tai kasvavia skaalatuottoja jne. Epälineaaristen mallien ongelma Erittäin vaikea ratkaista analyyttisesti. Vaihtoehdot i) Numeerinen ratkaiseminen. Yleensä tietokoneella käyttäen hyviä approksimointialgoritmeja. Tämän kurssin ulottumattomissa, mutta maisterivaiheessa opintoja tarjolla HSEllä ja HYllä silloin tällöin. ii) Lokaalinen (paikallinen) tarkastelu. Idea hyvin käyttäytyvät funktiot muistuttavat lokaalisti lineaarisia funktioita. Toisin sanoen lokaalissa tarkastelussa palautetaan monimutkainen epälineaarinen ongelma lineaariseksi. Idea jos muutokset ovat pieniä, ovat poikkeamat pieniä lineaarisista malleista. Analogia maapallo on pyöreä, mutta kotiaskareissa voidaan olettaa normaali lineaarinen koordinaatisto. Ongelma Mitä tarkoittaa pieniä? Miten voidaan ilmaista matemaattisen täsmällisesti ajatus siitä, että tarkastellaan pieniä muutoksia?! Etäisyyden määritelmä, Raja-arvon määritelmä. Työkalu lokaaliin analyysin on di erentiaalilaskenta eli derivointi.3 Ensiaskeleita analyysiin Kohdassa.6 määriteltiin sisätulo, kahden vektorin x; y 2 R n etäisyys q d (x; y) = kx yk = n i= (x i y i ) 2 Lokaalin analyysin tavoitteena on kuvailla funktion f käyttäytymistä jonkin pisteen x 0 2 R n lähellä. Milloin ovat pisteet x ja y lähekkäin? Jos niiden etäisyys on pieni? Kuinka pieni? (Kellosepän vai astronomin mittakaavalla?). Läheisyyttä voidaan kuvata suppenevilla lukujonoilla. Aloitetaan lukujonon käsitteestä. Lukujono voidaan ajatella funktioksi luonnollislta luvuilta R n ään f N! R n ; 3
4 jossa Useimmiten merkitään vain f () = x 2 R n ; f (2) = x 2 2 R n ; fx n g n= = fx n g Lukujono fx n g suppenee arvoon x mikäli kaikille " > 0 on olemassa N < siten, että kaikille n > N pätee Tällöin kirjoitamme tai d (x n ; x) < " lim n! xn = x; x n! x ja kutsumme x ää lukujonon x n raja-arvoksi. Koska " on mielivaltaisen pieni, voidaan sanoa, että lopulta lukujono x n on lähellä pistettä x kaikkien mittakaavojen mukaan. Harjoitustehtävänä voitte osoittaa, että lukujonolla voi olla korkeintaan yksi raja-arvo. Kaikilla lukujonoilla ei tietenkään ole lainkaan raja-arvoa. Esimerkiksi x n = ( ) n on jono, jolla ei raja arvoa ole. Jatkuvuus pisteessä x 0 vaatii siis sitä, etteivät pienet muutokset funktion argumentissa saa aiheuttaa suuria muutoksia sen arvossa. Funktio f R n! R m on jatkuva jos se on jatkuva kaikissa pisteissä x 0 2 R n.4 Extra hieman lisää analyysiä Pisteelle x 0 2 R n määritellään avoin " ympäristö B " (x 0 ) seuraavasti B " (x 0 ) = fy 2 R n jd (y; x 0 ) < "g Joukko A R n on avoin, jos kaikille x 0 2 A on olemassa " > 0 siten, että B " (x 0 ) A Toisin sanoen, jokaisella A n pisteellä on avoin " ympäristö, joka kuluu kokonaisuudessaan joukkoon A Joukon A komplementti A C määritellään seuraavasti x 2 A C () x =2 A 4
5 Joukko A on suljettu jos A C on avoin. Voidaan näyttää, että joukko A on suljettu jos ja vain jos kaikille lukujonoille fx n g; jonka alkiot kuuluvat joukkoon A pätee x n! x =) x 2 A Toisin sanoen väite on, että (fx n g 2 A; ja x n! x) =) x 2 A () A suljettu. Todistus Jos A on suljettu,a C on avoin. Jos x =2 A; silloin x 2 A C ja avoimuuden perusteella on olemassa " > 0; jolle pätee B " (x) A C Jos (fx n g 2 A; ja x n! x) pätee, tiedämme siis, että x 2 A Toisaalta jos A ei ole suljettu, A C ei ole avoin. Tällöin on olemassa piste y 2 A C siten, että kaikille " n > 0 on olemassa x n siten, että d (x n ; y) < " n ja x n =2 A C eli x n 2 A Kun valitaan jono " n siten, että " n! 0; saadaan rakennettua x n siten, että kaikille n; x n 2 A ja lim n! x n = y; mutta y =2 A Funktio f R n! R m on jatkuva pisteessä x 0 jos x n! x implikoi f (x n )! f (x) Toisin sanoen kaikille " > 0 on olemassa > 0 siten, että d (x n ; x) < =) d (f (x n ) ; f (x)) < " Funktio f (n) on aidosti kasvava jos n 0 > n =) f (n 0 ) > f (n) Lukujonon fx n g osajonolla fx n k g tarkoitetaan lukujonoa fx f(n) g; missä f (n) on aidosti kasvava funktio luonnollisten lukujen joukosta luonnollisten lukujen joukkoon. Esimerkiksi lukujonolla fx ; x 2 ; x 3 ; g on osajonoina fx ; x 3 ; x 5 ; g ja fx 2 ; x 4 ; x 6 ; g ja fx ; x 4 ; x 9 ; g jne. Osajonon raja-arvot ja suppeneminen määritellään samoin kuin alkuperäisen lukujonon tapauksessa. Lukujonolla voi olla useita suppenevia osajonoja, jotka suppenevat eri raja-arvoihin (ks. yllä ollut esimerkki). Joukko A R n on rajoitettu jos on olemassa K siten,että d (0; x) K kaikille x 2 A Yksi alkeisanalyysin tärkeimmistä tuloksista on Bolzano-Weierstrassin lause. Kaikilla rajoitetuilla jonoilla fx n g on suppeneva osajono. Tämä on helppo "todistaa". Koska fx n g on rajoitettu, kuuluvat kaikki x i kuutioon K = [ K; K] n Jaetaan kuutio kahtia ensimmäisen koordinaatin mukaan osiin K = [ K; 0] [ K; K] n ja K2 = [0; K] [ K; K] n Koska fx n g on ääretön joukko, on joko K tai K 2 ssa (tai molemmissa) ääretön määrä pisteitä. Valitaan puolisko K, jossa pisteitä on ääretön määrä ja määrätään n = minfn x n 2 K g. Jaetaan K toisen koordinaatin mukaan kuten edellä, 5
6 valitaan K 2 kuten edellä ja määrätään n 2 = minfn > n x n 2 K 2 g Jatketaan n koordinaattia vaihtaen ja jatketaan askelessa n + taas puolittamalla K n ensimmäisen koordinaatin mukaan. Jokaisen n puolituksen jälkeen on saatu rajattua kuutio, jonka jokainen sivu on puolet alkuperäisestä. Näin ollen nl puolituksen jälkeen sivun pituus on 2K Valitsemalla l riittävän suureksi saadaan 2 l aikaiseksi osajono, jonka kaikki alkiot ovat mielivatltaisen lähellä toisiaan. Joukolle A R määritellään pienin yläraja ja suurin alaraja seuraavasti. jos kaikille x 2 A pätee sup A inf A sup A = M x M ja kaikille M 0 < M on olemassa x 2 A siten, että jos x > M 0 inf A = m x 2 A =) x m ja m 0 > m =) 9x 0 2 A siten, että x 0 < m 0 Jos joukolle A ei ole olemassa arvoa M; jolle yllä esitetty pätee, kirjoitetaan sup A = Vastaavasti jos ei ole arvoa m; jolle yllä esitetty pätee, kirjoitetaan inf A = Weierstrassin teoreema on tärkein olemassaolon takaava tulos taloustieteelle. Sen mukaan jokaisella jatkuvalla funktiolla, joka on määritelty suljetulla ja rajoitetulla joukolla on maksimipiste. Muodollisemmin Theorem (Weierstrassin teoreema) Olkoon funktio f X! R jatkuva ja olkoon X suljettu ja rajoitettu. Tällöin on olemassa x 2 X siten, että kaikille x 2 X Todistus. f (x ) f (x) Olkoon x n 2 X jono, jolle pätee x n! sup f (X) ; missä f (X) = fy jy = f (x) jollekin x 2 X g koska X on rajoitettu joukko, on olemassa osajono fx n k g ja x siten, että x n k! x Koska X on suljettu, x 2 X Koska f on jatkuva, f (x ) = lim k! f (xn k ) = sup f (X) 6
7 .5 Derivointia Muistutetaan mieliin derivaatan määritelmä yhden muuttujan tapauksessa. Tarkastellaan funktiota f pisteen x 0 2 R läheisyydessä ja lasketaan sille erotusosamäärä ja tarkastellaan raja-arvoa lim h!0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x 0 + h) f (x 0 ) h Huomaa, että raja-arvo voi olla olemassa vain jatkuville funktioille. Mikäli raja-arvo on olemassa, merkitsemme sitä tai joskus Df (x 0 ) f 0 (x 0 ) ja kutsume sitä funktion f derivaataksi pisteessä x 0 Hyvin pienille h siis pätee f (x 0 + h) f (x 0 ) = Df (x 0 ) h Huomataan siis, että funktio f on kuin lineaarinen funktio pienille arvoille h Lineaarisen funktion määrää derivaatta pisteessä x 0 ; Df (x 0 ) Tämä näkökulma derivaattaan yleistyy useamman muuttjan funktioilla ja vektoriarvoisille muuttujille. Derivoimissääntöjä. Jos f(x) = a kaikille x; on Df (x 0 ) = 0 kaikille x 0 2. Jos f (x) = x; on Df (x 0 ) = kaikille x 0 3. Olkoon h(x) = f (x) + g (x) Tällöin Dh (x 0 ) = Df (x 0 ) + Dg (x 0 ) 4. Olkoon g (x) = af (x) Tällöin Dg (x 0 ) = adf (x 0 ) 5. Olkoon Tällöin (x) = f (x) g (x) D (x 0 ) = (x 0 + h) (x 0 ) Df (x) g (x) = lim h!0 h = f (x 0 + h) g (x 0 + h) f (x 0 ) g (x 0 ) lim h!0 h (f (x 0 + h) f (x 0 )) g (x 0 + h) f (x 0 ) (g (x 0 ) g (x 0 + h)) = lim h!0 h = f 0 (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g 0 (x 0 ) 7
8 6. Olkoon Tällöin (x) = g (f (x)) D (x 0 ) = (x 0 + h) (x 0 ) Dg (f (x)) = lim h!0 h = g (f (x 0 + h)) g (f (x 0 )) lim h!0 h = g (f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) h) g (f (x 0 )) lim h!0 h = f 0 (x 0 ) (g (f (x 0 + f 0 (x 0 ) h)) g (f (x 0 ))) lim h!0 f 0 (x 0 ) h = g 0 (f (x 0 )) f 0 (x 0 ) 7. Näillä kaavoilla saamme lähes kaikki tarvitsemmme derivointisäännöt. Esim derivaatta funktiolle (x) = x 2 saadaan suoraan tulosääntöä soveltamalla, kun Saadaan siis "Induktiolla" näytetään, että kun f (x) = g (x) = x D (x) = x + x = 2x f (x) = x a ; Df (x 0 ) = ax a 8. Osamäärän derivaatta saadaan tulosäännöstä h (x) = f(x) g (x) on sama kuin ja siis ja h(x)g (x) = f (x) h 0 (x) g (x) = f 0 (x) h 0 (x) = f 0 (x) g (x) h (x) g 0 (x) f (x) g 0 (x) (g (x)) 2 8
9 9. Käänteisfunktion derivaattasääntö tulee yhdistetyn funktion derivaattasäännöstä Kaikille x pätee f (f (x)) = x Derivoimalla puolittain ja merkitsmällä y 0 = f (x 0 ) Df (y 0 ) Df (x 0 ) = ja siis Df (y 0 ) = Df (x 0 ) 0. Eksponenttifunktio Derivoidaan alkio alkiolta f (x) = e x = x n n=0 n! = + x + x2 2 + x3 6 x n Df (x) = x + x2 2 = n= (n )! = ex. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio g (y) = ln y; f (x) = e x ; g (f (x)) = x Yhdistetyn funktion derivaattasäännöllä Dg (y) Df 0 (x) = ; siis Siis Dg (y) = Df (x) = f (x) = y D ln y = y 2. Trigonometriset funktiot jne. saadaan esimerkiksi esittämällä ne kompleksilukukertoimisina eksponenttifunktioina... 9
10 .6 Ensimmäinen lähestyminen useamman muuttujan funktioihin..6. Osittaisderivaatta Tarkastellaan funktiota f (x ; x 2 ; ; x n ) x i n funktiona ja kiinnitetään muuttujien x j arvot x j = bx j Tällöin f lle voidaan määritellä derivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä bx = (bx ; ; bx n ) kuten i f (bx ; bx 2 ; ; bx i i ; bx i + h; bx i ; ; bx n ) f (bx) = lim h!0 h Nimitämme tätä osittaisderivaataksi x i n suhteen. Luonnollisesti kaikki yllä esitetyt derivointisäännöt pätevät osittaisderivaatoille.voimme myös i f (bx + he i ) f (bx) = lim ; h!0 h missä e i on i 0 s yksikkövektori. Miten määritellään useamman muuttujan funktion derivaatta pisteessä bx? Df (bx) = lim x!0 f (bx + x) x f (bx)? Tämä näyttää hölynpölyltä, koska emme ole määritelleet vektorilla jakamista. Pidetään kiinni aiemmasta aikeestamme esittää epälineaariset funktion lokaalisesti lineaarisina derivaatan avulla. Tällöin funktion f derivaatta pisteen bx ympäristössä pitäisi olla lineaarinen funktio, joka esittää muutokset bx n lähellä lineaarisena funktiona. Tarkastellaan funktiota f R n! R Sanomme, että sillä on derivaatta pisteessä bx jos on olemassa lineaarinen funktio Df (bx) siten, että kaikille x 2 R n kun x on pieni, pätee f (bx + x) f (bx) = Df (bx) x Aiemmin osoitimme, että lineaariset funktiot R n stö R ään ovat pistetuloja. Toisin sanoen Df (bx) on rivivektori. Voidaan näyttää, että mikäli funktiolla on derivaatta pisteessä bx se on osittaisderivaatoista muodostettu (bx) Df (bx) = n Samoin voidaan näyttää, että mikäli osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia, silloin funktiolla f on olemassa derivaatta. Taloudellisissa malleissa oletetaan lähes aina, että osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia x 0 n ympäristössä U(x 0 ). 0
11 Toisinaan on helpompi merkitä funktion f (x) osittaisderivaattoja pisteessä (bx) = f i i Joskus halutaan kirjoittaa osittaisderivaattoja kuvaava pystyvektori f (bx) rf (bx) = B A = B A. n. f n (bx) Tälle voidaan antaa geometrinen tulkinta funktion f nopeimpana kasvusuuntana pisteessä bx.7 Vektoriarvoisten funktioiden derivointi Vektoriarvoinen funktio voidaan kirjoittaa muodossa y = f (x) = f R n! R m 0 f (x). f m (x) C A = 0 y. y m C A ; missä jokainen komponenttifunktio f i (x) on reaaliarvoinen funktio f i (x) R n! R (Huomatkaa, että tässä osaluvussa f i (x) llä on eri merkitys kuin yllä esitetty osittaisderivaattatulkinta.) Muistutetaan derivaatan määritelmä f llä on derivaatta pisteessä bx mikäli on olemassa lineaarinen funktio Df(bx) siten, että f (bx + x) f (bx) = Df(bx) x Mikäli f llä on siis derivaatta pisteessä bx; saadaan edellisistä tuloksista f i (bx + x) f i (bx) = D i f(bx) x; jolloin derivaatta voidaan siis kirjoittaa muotoon 0 B Df(bx) Df (bx). Df m (bx) C A
12 Toisin sanoen Mitä hyötyä? Df(bx) = n C A Rajoittamaton optimointi Funktiolla f (x) on maksimi pisteessä bx jos f (y) f (bx) kaikille y Koska y = bx + (y bx) ; voidaan tämä ehto kirjoittaaf (bx + (y bx)) f (bx) 0 Jos (y bx) on pieni, päteef (bx + (y bx)) f (bx) = Df (bx) (y bx) 0 Koska y on vapaasti valittavissa, saadaan tästä heti välttämätön ehto optimille Df (bx) = 0; i = 0 kaikille i Kurssin I osan lopussa tarkastelemme joitain esimerkkejä rajoittamattomasta optimoinnista. Komparatiivinen statiikka Endogeeniset muuttujat y 2 R n ja exksogeeniset muuttujat x 2 R k toteuttavat ehdot f (y; x) = 0; f n (y; x) = 0 Oletetaan, että ehdot toteutuvat pisteessä (by; bx) Mikä on eksogeenisten muuttujien muutoksen vaikutus endogeenisten muuttujien arvoon? Työkalu Implisiittifunktiolause. Tätä käsitellään jatkossa. Rajoitettu optimointi Olkoon B käypä joukko optimointiongelmalle.. 2
13 Funktiolla f (x) on maksimi pisteessä bx jos f (y) f (bx) kaikille y 2 B Huomatkaa, että nyt y ei ole vapaasti valittavissa vaan sen tulee kuulua joukkoon B Tämän seurauksena kaikki y = bx + (y bx) eivät ole käypiä edes silloin kun (y bx) on pieni. Täytyy siis määritellä suunnat x; joille pätee kun x on pieni. bx + x 2 B Kaikille näille suunnille täytyy päteä Df (bx) x 0 Kurssin II osassa käsitellään seikkaperäisesti tällaisia optimointiongelmia..8 Derivaatan laskeminen Lasketaan derivaatta pisteessa (x ; x 2 ; x 3 ) = (; 2; ) funktiolle f (x ; x 2 ; x 3 ) = x ln x 2 + p x 2 x 3 Muodostetaan osittaisderivaattojen (x ; x 2 ; x 3 ) = ln x 2 ; x (x ; x 2 ; x 3 ) (x ; x 2 ; x 3 + x 2 2 x 2 2 x 2 3 ; 2 x 2 2 x 2 3 Lasketaan Df (; 2; ) = ln 2; p 2 ; p! 2 2 Tarkastellaan funktiota missä f (x; y; z) = f R 3! R 2 ; f (x; y; z) f 2 (x; y; z) x = 2 y + yz y z x Lasketaan funktion derivaatta pisteessä (x; y; z) = (; ; ) 3
14 Muodostetaan osittaisderivaattojen = 2xy x 2 + z y 2(x;y;z) 2(x;y;z) Df (; ; ) = y z x 2 x x Tarkastellan funktiota u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) Muodostetaan funktiolle gradientti pisteessä bx = (bx ; bx 2 ; bx i (bx ; bx 2 ; bx 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) x i = x i (x + x 2 + x 3 ) Gradientti on siis ru (bx ; bx 2 ; bx 3 ) = 0 Extraa Kuluttajan teoriaa Hyötyfunktio x (x + x 2 + x 3 ) x 2 (x + x 2 + x 3 ) x 3 (x + x 2 + x 3 ) u R n! R C A kuvaa preferenssejä % ainoastaan ordinaalisessa mielessä. Toisin sanoen hyötyfunktio u kuvaa preferenssit jos u (x) u (y) tarkoittaa on sama kuin väittämäx % y Funktio v R! R on aidosti kasvava jos x > y ) v (x) > v (y) Jos u kuvaa kuluttajan preferenssejä % niin myös yhdistetty funktio v (u (x)) kuvaa kuluttajan preferenssejä. Tämän valossa yllä esitetty hyötyfunktio u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) kuvaa samoja preferenssejä kuin u (x ; x 2 ; x 3 ) = x + x 2 + x 3 mikäli > 0 (Harjoitus osoita tämä). 4
15 Jälkimmäinen on selvästi helpompi käsitellä, mutta silti nämä preferenssit (ns. CES -hyötyfunktio) esitetään lähes aina ylemmässä muodossa. Mikä voisi olla syynä tähän? Huomatkaa, että u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) on lineaarisesti homogeeninen funktio, koska. u (x ; x 2 ; x 3 ) = ((x ) + (x 2 ) + (x 3 ) ) = ( (x + x 2 + x 3 )) = (x + x 2 + x 3 ) Preferenssejä, jotka voidaan kuvata lineaarisesti homogeenisella hyötyfunktiolla kutsutaan homoteettisiksi ja näillä on erityinen asema kuluttajan teoriassa. Homoteettisten preferenssien tapauksessa eri hyödykkeiden suhteelliset kulutusosuudet eivät riipu tulotasosta ja näin seimerkiksi kaikki hyödykkeet ovat normaalihyödykkeitä. Yrityksen teoriaa Yrityksen voitto on (k; l) = pf (k; l) rk wl; missä p on lopputuotoksen hinta, f on yrityksen tuotantofunktio, k on pääoman kysyntä, l on työvoiman kysyntä, r on pääoman vuokrakustannus, w on palkka per yksikkö työpanosta. Lasketaan gradientti r (k; l) @l! r w Tuotantofunktion osittaisderivaattaa kn suhteen kutsutaan pääoman rajatuotokseksi MP k ja osittaisderivaattaa l n suhteen kutsutaan työpanoksen rajatuotokseksi MP l Gradientti voidaan siis kirjoittaa pmpk r r (k; l) = pmp l w Rajoittamattomassa optimissa pätee 0 r (k; l) = 0 Toisin sanoen MP k = r p ; MP l = w p 5
16 Toisin sanoen kunkin tuotannontekijän rajatuotos on sen lopputuotteen suhteen mitattu suhteellinen hinta. Spesi oidaan edelliseen esimerkkiin Tällöin Nyt Siis Sijoitetaan kaavaan ja saadaan Tästä ratkaistaan l = w r Pääoman kysyntä f (k; l) = k l MP k = k l ; MP l = k l MP k MP l = l k = r w k = w r l MP l = k l w l + r p w k = w r l = w r = w r p = w p = w p = w r p w r p Onko tämä välttämättä optimaalinen ratkaisu? Jos ei, niin silloin ongelmalla ei ole lainkaan ratkaisua. Noin viikon päästä pystymme selvittämää, mille parametrien ; arvoille ratkaisu on optimaalinen. 6
1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotTaloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Toinen välikoe
Matematiikan tukikurssi Toinen välikoe 1 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo 1 2 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus 7 3 Osittaisderivaatat ja gradientti 8 4 Vektoriarvoiset funktiot 9 5
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotTaloustieteen matemaattiset menetelmät - pikakertausta ja toimintaohjeita Kurssin 1. osa
Taloustieteen matemaattiset menetelmät - pikakertausta ja toimintaohjeita Kurssin 1. osa Topi Hokkanen July 10, 2017 Esitiedoiksi oletetaan tuntemus vektoreista ja matriiseista (siis se, minkälaatuisia
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot