811120P Diskreetit rakenteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "811120P Diskreetit rakenteet"

Transkriptio

1 811120P Diskreetit rakenteet Harjoitustehtävät Syksy 2017 Tähdellä merkityt tehtävät ovat keskimääräistä vaativampia. Algoritmeista 1. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä ajan, joka on ilmoitettu tunteina, minuutteina ja sekunteina ja tulostaa tämän ajan sekunteina. 2. Konstruoi algoritmi, joka saa syötteenä kaksi reaalilukua ja tulostaa niiden keskiarvon. 3. Laadi algoritmi, joka ottaa syötteenä luonnollisen luvun n, laskee lausekkeen s n = n 2 arvon ja lopuksi tulostaa sen. 4. Suunnittele algoritmi, joka saa syötteenä äärellisen reaalilukutaulukon ja tulostaa taulukon alkioiden arvoista toiseksi pienimmän silloin, kun sellainen on olemassa ja asianmukaisen viestin, mikäli taulukossa ei ole kahta erisuurta alkiota. 5. Laadi algoritmi, joka ottaa syötteenä äärellisen reaalilukutaulukon ja testaa ovatko sen alkiot nousevassa suuruusjärjestyksessä; tulostuksena on asianmukainen viesti. Suunnittele algoritmi siten, että se keskeyttää toimintansa heti, kun vastaus tiedetään. 1

2 6. Seuraava algoritmi laskee positiivisen kokonaisluvun 'digitaalisen juuren'. Input: Positiivinen kokonaisluku n Output: Luvun n digitaalinen juuri DIG_JUURI(n) 1. d = luvun n numeromerkkien lukumäärä 2. while d > 1 do 3. n = luvun n numeromerkkien summa 4. d = luvun n numeromerkkien lukumäärä 5. return n a) Tutki algoritmin toimintaa syötteellä b) Listaa algoritmin kaikki mahdolliset tulosteet. 7. Laadi (pseudokoodi)käskyjono, joka vaihtaa keskenään kahden numeerisen muuttujan arvot. Algoritmi ei saa sisältää apumuuttujia, mutta voi sisältää alkuperäisiä muuttujia koskevia peruslaskutoimituksia. 8. Tarkastellaan seuraavaa käskyjonoa. Input: Ei-negatiivinen kokonaisluku n Output:? TOIMINTO(n) 1. i = 0 2. while n on parillinen do 3. n = n/2 4. i = i+1 5. return i a) Mikä on tuloste, kun syöte on 12? b) Mikä on tuloste, kun n on pariton? c) Mikä tapahtuu, kun syöte on 0? d) Muodostaako käskyjono algoritmin? Perustelut. 2

3 9. Tarkastellaan seuraavaa käskyjonoa. Input: Positiivinen kokonaisluku n Output:? TOIMINTO(n) 1. vast = n 2. while n > 1 do 3. n = n-1 4. vast = vast*n 5. return vast a) Tutki käskyjonon toimintaa syötteellä 4. b) Muodostaako käskyjono algoritmin? Perustelut. 10. a) Mitkä ovat mielestäsi neljä tärkeintä algoritmin ominaisuutta? b) Kirjoita (luentomonisteessa esiteltyä pseudokoodia käyttäen) algoritmi, joka A. ottaa syötteenä luvun n N + ja bittijonon b 1 b 2 b n, missä b i {0, 1}, kun i = 1, 2,..., n; ja B. antaa tulosteena merkkijonon c 1 c 2 c n, missä kullakin j {1, 2,..., n} (i) c j = b j silloin, kun jonossa b 1 b 2 b n ei ennen bittiä b j esiinny ykköstä ja (ii) c j = 1 b j silloin, kun jonossa b 1 b 2 b n esiintyy ykkönen ennen bittiä b j. Huom. Olkoon j {1, 2,..., n}. Bittijonossa b 1 b 2 b n ei ennen bittiä b j esiinny ykköstä, jos bitit b 1, b 2,..., b j 1 ovat kaikki nollia. Siten bittijonossa b 1 b 2 b n esiintyy ykkönen ennen bittiä b j, jos jollakin i {1, 2,..., j 1} on voimassa b i = Laadi algoritmi, joka ottaa syötteenä merkkijonon ja testaa, onko se kaarisulkeiden '(' ja ')' suhteen hyvin muodostettu ilmaisu. Tämä tarkoittaa sitä, että - oikean- ja vasemmanpuoleisia kaarisulkeita on sama määrä; - jokaisella vasemmanpuoleisella sulkeella '(' on myöhemmin merkkijonossa esiintyvä oikeanpuoleinen vastinpari ')'; ja - oikeanpuoleisen sulkumerkin ja sen vasemmanpuoleisen vastinparin välissä on aina kaarisulkeiden suhteen hyvin muodostettu ilmaisu. Huom. Merkkijono on kaarisulkeiden suhteen hyvin muodostettu il- 3

4 maisu, jos jokaisessa merkkijonon alkuosassa vasemmanpuoleisten sulkeiden lukumäärän ja oikeanpuoleisten sulkeiden lukumäärän erotus on ei-negatiivinen ja koko merkkijonossa nolla. 12. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja S 1, S 2,..., S n pseudokoodilausekkeita. Kirjoita rakenteen for i = 1 to n do S i korvaava pseudokoodikäskyjono, jossa käytetään vain sijoituslausekkeita, lausekkeita S 1, S 2,..., S n sekä while - do rakennetta. Apumuuttujien käyttö on sallittua. 13. Tarkastellaan seuraavan algoritmin toimintaa. Input: Positiivinen kokonaisluku n Output:? ALGORITMI(n) 1. Varaa kokonaislukutaulukko A[1,..n] 2. for i=1 to n do 3. A[i] = 0 4. for i=1 to n do 5. for j=1 to n do 6. if (i j) then // i on j:n tekijä 7. A[j] = 1-A[j] 8. for i = 1 to n do 9. print A[i] 10.return a) Listaa taulukon A arvot A[1], A[2],..., A[n] arvot ulomman for-silmukan (askeleen 3) lopussa, kun n = 10. b) Voiko taulukon A arvoja A[1], A[2],..., A[n] määrittää oikein mielivaltaisella n:n arvolla käymättä läpi kaikkia algoritmin askelia? Perustele vastauksesi. 4

5 Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset 14. Kirjoita auki (eli laajennetussa muodossa ) kymmenjärjestelmän luku Muunna seuraavat binaariluvut kymmenjärjestelmään kirjoittamalla ne aluksi auki. (a) (b) Muunna seuraavat luvut kymmenjärjestelmästä binaarijärjestelmään. (a) (b) (c) [desimaalipisteen jälkeen 16 numeroa (bittiä)] (d) Muunna seuraavat luvut kymmenjärjestelmästä binaarijärjestelmään siten, että desimaalipisteen jälkeen tulee viisi numeroa (bittiä). (a) (b) Muunna seuraavat 8- ja 16-järjestelmien luvut kymmenjärjestelmään. (a) (b) (c) C6E 16 (d) 2FA Muunna seuraavat kymmenjärjestelmän luvut kahdeksanjärjestelmään. (a) (b) Muunna seuraavat kymmenjärjestelmän luvut kuusitoistajärjestelmään. (a) (b) Tee seuraavat lukujärjestelmämuunnokset. (a) ja sekä oktaali- että heksadesimaalijärjestelmään; ja (b) 247 8, B 16 ja AD.1C 16 binaarijärjestelmään. 22. Etsi binaariluvun a) (b) bittinen kakkosen komplementti kolmella eri tavalla: (1) binäärilukujen vähennyslaskua käyttäen; (2) lisäämällä luvun ykkösen komplementtiin binääriluku 1 2 ; ja (3) luennolla esitettyä algoritmia soveltaen. 23. Suorita seuraavat laskutoimenpiteet binaariaritmetiikassa. (a) (b) (c) (d) (kolme numeroa desimaalipisteen jälkeen). 5

6 24. Laadi (pseudokoodilla kirjoitettu) algoritmi, joka ottaa syötteenä positiivisen binaariluvun ja laskee sen k-bittisen kakkosen komplementin, kun k on binaariluvun pituus bitteinä. 25. Etsi seuraavien kokonaislukujen 16-bittinen tietokone-esitys. a) (b) Esitä binaariluku normalisoidussa binaarisessa eksponenttimuodossa. Etsi sen 32-bittinen tietokone-esitys, kun karakteristikalle on varattu kahdeksan bittiä (ja eksponenttipoikkeama on 2 7 1). 27. Määritä seuraavien desimaalilukujen merkitsevien numeroiden lukumäärä a) b) c) Etsi seuraavien reaalilukujen 32-bittinen tietokone-esitys, kun karakteristikalle on varattu kahdeksan bittiä. a) (b) Arvioi niiden kymmenjärjestelmän lukujen suuruutta, jotka voidaan esittää 64 bitillä, kun karakteristikaan voidaan käyttää 11 bittiä ja eksponenttipoikkeama on siten Suorita seuraavat kymmenjärjestelmän laskutoimenpiteet neljän merkitsevän numeron tarkkuudella. (a) (b) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) 6

7 Logiikka 31. Kirjoita seuraavat propositiot symbolisessa muodossa. a) 'Joko Laura opiskelee tietojenkäsittelyä tai Toni ei opiskele matematiikkaa, tai Toni opiskelee matematiikkaa.' b) 'Ei ole totta, että jos aurinko paistaa, minulla on mukana sateenvarjo' c) 'Ohjelmaa pysähtyy jos ja vain jos syöte ei ole numeerisessa muodossa tai esc-nappia painetaan.' d) 'Jos x = 7 ja y 4 ja z = 2, niin jos ei ole totta, että joko y = 4 tai z 2, niin x = 7 tai z = 2'. (Oletamme tässä, että muuttujille on annettu arvot, joten kyse on aidosta propositiosta.) 32. Olkoon p propositio: 'sataa lunta' ja q propositio: 'lähden hiihtämään'. Kirjoita seuraavat propositiot suomen kielellä. a) p q b) p q c) q p d) (p q) p. 33. Konstruoi totuustaulut seuraaville loogisille ilmaisuille. Ilmoita, kun kyse on tautologiasta tai ristiriidasta. a) (p q) p b) [p (p q)] q c) (p q) ( p q) d) [(p r) (q r)] (p q). 34. Osoita totuustaulujen avulla, että distributiivisuussääntö on voimassa. p (q r) (p q) (p r) 35. Logiikan lakien avulla yksinkertaista niin pitkälle kuin mahdollista seuraavat loogiset ilmaisut. a) (p q) (p q) b) [p (p q)] c) [p (q p)] d) [(p q) (r p)] (r q). 36. Kirjoita seuraavat metakielen lauseet muodossa, jossa ei esiinny ehtoa. (a) Jos on kylmä, Pekka käyttää hattua. (b) Palkat nousevat vain jos tuottavuus lisääntyy. 37. Osoita, että päättely p q, r q, r p on loogisesti oikea. 38. Osoita, että päättely p q, p q ei ole loogisesti oikea. 7

8 39. Esitä seuraavat päättelyt symbolisessa muodossa ja arvioi niiden oikeellisuutta. (i) 'Jos tänään on maanantai, minulla on joko tietokantojen tai ohjelmoinnin koe. Jos ohjelmoinnin opettaja on sairas, minulla ei ole ohjelmoinnin koetta. Tänään on maanantai ja ohjelmoinnin opettaja on sairas. Siispä minulla on tietokantojen koe.' (ii) 'Tiina opiskelee tietojenkäsittelyä tai Tiina ei opiskele biokemiaa. Jos Tiina opiskelee biokemiaa, hän ei opiskele tietojenkäsittelyä. Siispä Tiina opiskelee tietojenkäsittelyä.' 40. Onko seuraava päättely oikein suoritettu? 'Jos kolmion kaksi kylkeä a ja b ovat yhtä pitkät, niiden vastaiset kulmat α ja β ovat yhtäsuuret. Kolmion kaksi kylkeä a ja b eivät ole yhtä pitkät. Siispä kulmat α ja β eivät ole yhtäsuuret.' 41. Looginen operaatio eija eli Scheerin viiva (nand, Scheer's stroke), jota merkitään symbolilla, määritellään seuraavasti. p q p q T T F T F T F T T F F T Määritä ilmaisu, joka on loogisesti ekvivalentti ilmaisun (a) p (b) p q (c) p q kanssa, mutta jossa käytetään vain Scheerin viivaa. 42. Kirjoita seuraavat propositiot symbolisessa muodossa. Ovatko ne tosia? a) 'on olemassa sellainen reaaliluku x, että x 2 3x + 2 = 0' b) 'jokaista reaalilukua y kohden on olemassa sellainen reaaliluku x että y = x 2 ' 43. Kirjoita edellisen tehtävän propositioiden negaatiot ja esitä ne suomen kielellä. 44. Kirjoita lauseke (a) { x y [p(x, y) q(x, y)]} (b) { x y [p(x, y) q(x, y)]} muodossa, jossa negaatio ei esiinny lausekkeen edessä. 8

9 45. Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5}. Määritä seuraavien lausekkeiden totuusarvo. (a) x A : x + 3 = 10 (b) x A : x + 3 < 10 (c) x A : x + 3 < 5 (d) x A : x Suunnittelet kirjaston lainausjärjestelmää ja käytät predikaattia B(h, k): 'henkilö h on lainannut kirjan k' ja predikaattia M(k): 'kirja k on myöhässä'. Kirjoita seuraavat propositiot symbolisessa muodossa. a) 'henkilö h 0 on lainannut (ainakin) yhden kirjan' b) 'kirja k 0 on lainattu' c) 'kirja k 0 on (kirjaston) hyllyssä' d) 'henkilö h 0 on lainannut ainakin kaksi kirjaa' e) 'ainoatakaan kirjaa ei ole lainannut useampi kuin yksi henkilö' f) 'myöhässä olevia kirjoja ei ole' g) 'jos kirja on myöhässä, joku on lainannut sen' h) 'henkilöllä h 0 on (ainakin yksi) myöhässä oleva kirja' 47. Osoita oikeaksi kukin seuraavista väittämistä. (a) Parillisen ja parittoman kokonaisluvun summa on pariton. (b) Kahden parittoman kokonaisluvun tulo on pariton. (c) Olkoot x ja y reaalilukuja. Jos x + y < 2, niin joko x < 1 tai y < 1. (d) Viiden peräkkäisen kokonaisluvun summa on tasan jaollinen viidellä. (e) Jos n on kokonaisluku, on n 2 + n parillinen. (f) Jos n on pariton kokonaisluku, on n 2 1 tasan jaollinen luvulla * Osoita, että 2 on irrationaaliluku. Ohje: Käytä epäsuoraa todistusta. 49. Osoita seuraavat väittämät vääriksi etsimällä kullekin vastaesimerkki. (a) Jokainen kokonaisluku, joka on tasan jaollinen sekä luvulla 4 että luvulla 6, on tasan jaollinen myös luvulla 24. (b) Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin n on tasan jaollinen luvulla 5. (c) Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 + z 2, missä x, y ja z ovat luonnollisia lukuja. (d) Aina, kun n on luonnollinen luku, on n 3 2 n 1. 9

10 50. Tarkastellaan seuraavaa itseensä viittavaa väittämää. 'Tässä lauseessa on viisi sanaa.' (a) Mikä on väittämän totuusarvo? Mikä on sen totuusarvo? (b) Kirjoita väittämän negaatio. 51. Kortin etupuolelle on kirjoitettu lause. 'Tämän kortin toiselle puolelle kirjoitettu lause on tosi.' Kortin takapuolelle on kirjoitettu lause 'Tämän kortin toiselle puolelle kirjoitettu lause on epätosi.' Selitä, miten tämä tilanne johtaa paradoksiin. 52. Kirjoita seuraavien metakielen väitteiden negaatiot. (a) 'Kaikki opiskelijat asuvat opiskelija-asuntoloissa.' (b) 'Kaikki teoreettisen fysiikan pääaineopiskelijat ovat miehiä.' (c) 'Jotkut opiskelijat ovat kaksikymmentäviisivuotiaita tai vanhempia.' 53. Neljä henkilöä Emilia, Lauri, Kati ja Iikka käyttävät tietokonetta tietokonelaboratoriossa. Tiedät, että Emilia on opiskelija ja että Lauri ei ole, mutta et tiedä, käyttävätkö he verkkosoftaa. Tiedät, että Kati käyttää verkkosoftaa ja että Iikka ei sitä käytä, mutta et tiedä ovatko he opiskelijoita. Olet labran hoitaja, ja sinun täytyy valvoa sääntöä, jonka mukaan ainoastaan opiskelijat voivat käyttää verkkosoftaa. Haluat tietää onko sääntöä noudatettu esittämällä kahdelle henkilölle yhden kysymyksen kummallekin. Keneltä kysyt ja mitä? 54. Todista (intuitiivisesti), että (a) (b) x P (x) x Q(x) x[(p (x) Q(x)] x[(p (x) Q(x)] x P (x) x Q(x) 10

11 Joukot, relaatiot ja funktiot 55. Olkoon A = {1, {1}, {2}, 3}. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? a) 1 A b) 1 A c) {1} A d) {1} A e) {{1}} A f) 2 A g) {2} A h) {2} A i) {3} A j) {3} A 56. Olkoon E = {n N + n 15 } perusjoukko, A = {n n pariton}, B = {n n > 7} sekä C = {n n on tasan jaollinen kolmella}. Kuvaa joukkoja graasesti. Määritä seuraavat joukot luettelumuodossa. a) A B b) B C c) A c d) (A B c ) C e) (A C) c C c 57. Joukkoopin lakeja hyväksikäyttäen osoita, että (A c B) c = A B c. Miten joukkojen unioni voidaan esittää leikkausta ja komplementtia käyttäen? 58. Olkoot A = {a, b, c} ja B = {p, q}. Määritä joukot a) A B b) A 2 c) B Olkoot E = {0, 1, 2,..., 15}. a) Mikä on joukon {2, 4, 5, 7, 11, 14} bittijonoesitys? b) Mitä joukkoa edustaa bittijono Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5}. Määritellään joukon A binaarirelaatio R seuraavasti: R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)} Esitä R a) graasesti; ja b) matriisimuodossa. 61. Olkoon R joukon {a, b, c, d} binaarirelaatio, jonka matriisi on a b c d a T F T F b F T T F c F T T F d F F F T a) Piirrä R:n graanen esitys. b) Tarkastele R:n reeksiivisyyttä, symmetrisyyttä ja transitiivisyyttä. 11

12 62. Mitkä seuraavista relaatioista ovat reeksiivisiä, irreeksiivisiä, symmetrisiä, antisymmetrisiä tai transitiivisia? a) 'a ja b ovat sisaruksia' (a ja b ihmisiä) b) 'a on b:n poika' (a ja b ihmisiä) c) 'a on suurempi tai yhtäsuuri kuin b' (a ja b reaalilukuja) d) '(a, b) kuuluu relaatioon R täsmälleen silloin, kun a 2 = b 2 ' (a ja b reaalilukuja) e) 'a:lla on sama kokonaisosa kuin b:llä' (a ja b reaalilukuja) f) 'a on b:n monikerta' (a ja b positiivisia kokonaislukuja) 63. Mitkä edellisen tehtävän relaatioista ovat a) ekvivalensseja, b) osittaisia järjestyksiä? Ekvivalenssien kohdalla määritä ekvivalenssiluokat. 64. Tietokoneohjelma koostuu viidestä moduulista: M 1, M 2, M 3, M 4 ja M 5. Määrittelemme moduulien joukossa relaation R seuraavasti: M i R M j jos M i on moduulin M j kutsumisjonossa Relaation R matriisi on M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 1 T F T T F M 2 F T T F F M 3 F F T F F M 4 F F T T F M 5 F F T T T a) Osoita, että R on reeksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen b) Mikä moduuli on pääohjelma? 65. Mitkä seuraavista funktioista R R ovat injektioita ja mitkä surjektioita? a) f(x) = 2x + 3, b) g(x) = x 2 1, c) h(x) = x

13 66. Mitkä kohdissa ae annetuista funktioista ovat injektioita ja mitkä surjektioita? a) Olkoon A aakkosto ja A + aakkoston A kaikkien (epä-tyhjien) sanojen joukko. Olkoon rev : A + A + funktio, jolle rev(a 1 a 2 a n ) = a n a n 1 a 2 a 1 aina, kun n N + ja a 1, a 2..., a n A. b) f : R R R, f(x, y) = x + y c) s : N N, s(n) = n + 1 d) h : A + A, h(w) on sanan w ensimmäinen kirjain. e) bin : N B +, bin(n) on luvun n binaariesitys ilman (turhia) etunollia. 67. Virheiden havaitsemiseksi useat numeeriset koodit (kuten monissa maissa henkilötunnukset) sisältävät 'tarkistusnumeron'. Oletetaan, että D = {0, 1, 2,..., 9} ja cd : D 9 D 10 on funktio jolle cd(d 1 d 2 d 9 ) = d 1 d 2 d 9 d 10 missä d 1, d 2,..., d 9, d 10 D ja d 10 on kymmenjärjestelmän luvun d d d d 9 viimeinen nuimero. Siten cd liittää jokaiseen yhdeksän numeron jonoon tarkistusnumeron. a) Osoita, että on validi koodi eli cd(d 9 ). b) Onko cd injektio? Entä surjektio? c) Mieti miksi funktiota cd voidaan käyttää virheiden havaitsemiseen. 68. Määritellään funktiot f, g ja h seuraavasti. f : R R f(x) = 4x 3 g : R R g(x) = { x jos x 0 h : R R h(x) = 0 jos x < 0 Määritä seuraavat funktiot: a) f f b) f g c) g f d) f h e) h f f) g h g) h g 13

14 69. Etsi seuraavien funktioiden käänteisfunktiot silloin, kun ne ovat olemassa. Esitä perustelut tilanteessa, jossa käänteisfunktiota ei ole olemassa. a) f : R R f(x) = 3x + 3 b) abs : R R abs(x) = { x c) g : N + N + g(n) = n + 1 jos n on pariton n 1 jos n on parillinen d) A aakkosto, h : A + A + h(a) = a ja h(wa) = aw aina, kun w A + ja a A. 70. Olkoon X opiskelijoiden nimien muodostama joukko yliopiston ylläpitämässä tietokannassa. Oletetaan, että kahta samannimistä opiskelijaa ei yliopistossa ole. Olkoon Y opiskelijoiden sosiaaliturvatunnusten muodostama joukko. Määritellään funktiot f : X Y ja g : Y N yhtälöillä f(x) = g(y) = opiskelijan x sosiaaliturvatunnus sen opiskelijan ikä (vuosissa), jonka sosiaaliturvatunnus on y a) Kuvaile funktioita g f ja f 1. b) Selitä, miksi funktiolla g ei ole käänteisfunktiota. 14

15 Rekursio ja induktio 71. Kirjoita iteratiivinen algoritmi, joka syotteellä m N + tulostaa annetun jonon m ensimmäistä termiä. a) a 1 = 3, a n+1 = a n + 4 (n N + ) b) a 1 = 1, a n+1 = a n + n + 1 (n N + ). 72. Osoita induktiolla, että seuraavat väitteet ovat voimassa kaikille positiivisille kokonaisluvuille n. a) (2n 1) = n 2 b) n 2 = n(n+1)(2n+1) Olkoon n 0 N +. Oletetaan, että pystymme osoittamaan väitteestä P (n) seuraavat seikat. 1. P (n 0 ) on tosi. 2. Jos P (k) on tosi, niin P (k + 1) on tosi aina, kun k N +. Millä n:n arvoilla P (n) on varmasti tosi? 74. Jonon ensimmäinen termi on 1. Jokainen seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi kahdella ja lisäämällä tulokseen 3. Kirjoita jonon rekursiivinen määritelmä. 75. Oletetaan, että rekursioyhtälön a n+2 = c 1 a n+1 + c 2 a n (n N + ) karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalijuurta r 1 ja r 2. Osoita, että a n = A r n 1 +B r n 2 (n N + ) on em. rekursioyhtälön ratkaisu millä tahansa A:n ja B:n reaalilukuarvoilla. 76. Ratkaise rekursioyhtälöt a) a 1 = 2, a 2 = 1, a n+2 = 5 a n+1 4 a n (n N + ) b) a 1 = 1, a 2 = 0, a n+2 = 2 a n a n (n N + ) c) a 1 = 1, a 2 = 4, a n+2 = 5 a n+1 6 a n (n N + ) 77. Bakteerien lukumäärä aineessa on 1000 ja se lisääntyy 250%:lla aina kahdessa tunnissa. Mikä on bakteerien lukumäärä 24 tunnin kuluttua? 78. Olkoon a n sellaisten joukon {1, 2,..., n} osajoukkojen lukumäärä, jotka eivät sisällä peräkkäisiä lukuja. Tässä n N +. Määritä a n :lle rekursioyhtälö ja ratkaise se. 79. Jokaisella n N +, olkoon q n aakkoston {a, b, c, d} sellaisten n:n pituisten sanojen lukumäärä, joissa on pariton määrä kirjainta b. Määritä q n :lle rekursioyhtälö ja ratkaise se. 15

16 80. Laadi rekursiiviset algoritmit seuraavien ongelmien ratkaisemiseksi: a) Etsi annetun lukujonon pienin alkio. b) Selvitä, koostuuko annettu bittijono yksinomaan nollista. 81. Laadi rekursiivinen algoritmi, joka laskee kuinka monta kertaa symboli a esiintyy annetussa merkkijonossa. (Voimme olettaa tässä, että symboli a kuuluu kiinteään aakkostoon A ja merkkijono on tämän aakkoston sana.) 82. * Olkoon A : N N N Ackermannin funktio: A(0, n) = n + 1, A(m + 1, 0) = A(m, 1), A(m+1, n+1) = A(m, A(m+1, n)) aina, kun m, n N. Määrirä A(2, 3). 16

17 Alkeislukuteoria 83. Olkoon n > 1 kokonaisluku. Selitä miksi jokainen luku jonossa n!+2, n!+ 3,..., n! + n on yhdistetty luku. 84. Olkoon n > 1. Kaikkien korkeintaan n:n suuruisten alkulukujen lista voidaan generoida seuraavasti. Aloitetaan tyhjällä listalla. Annetaan i:n saada arvot i = 2, 3,..., n tässsä järjestyksessä ja testataan onko i tasan jaollinen jollakin listassa jo olevalla luvulla. Jos näin ei ole, lisätään i listaan. Kirjoita tämä menetelmä algoritmiksi. 85. Haluamme testata, onko kokonaisluku n > 1 alkuluku. Miksi riittää tarkistaa onko mikään kokonaisluku väliltä [2, n] luvun n tekijä? 86. Eukleideen algoritmia käyttäen etsi seuravien lukuparien suurin yhteinen tekijä. a) 572, 297 b) 1384, 1144 c) 1076, Eukleideen algoritmia käyttäen esitä seuraaavat rationaaliluvut supistetussa muodossa. a) b) Onko seuraavilla yhtälöillä kokonaislukuratkaisuja. Myönteisessä tapauksessa määritä jokin ratkaisu. a) 4571 x y = 21 b) 2783 x y = 10 a) 4002 x y = Laadi yhteen- ja kertolaskutaulut ekvivalenssiluokille modulo * Olkoot a, b, c, d Z ja m N +. Osoita, että 1. Jos a b(mod m) ja c d(mod m), niin a+c b+d(mod m). 2. Jos a b(mod m) ja c d(mod m), niin a c b d(mod m). 3. Jos a b(mod m) ja c d(mod m), niin a c b d(mod m). 4. Jos a c b c(mod m), niin a b(mod m syt(m,c) ). 91. Ratkaise seuraavat kongruenssiyhtälöt. Esitä ratkaisu muodossa x a(mod m), missä x N on mahdollisimman pieni. (a) 7 x 24 mod 19 (b) 35 x mod

18 92. Generoi lineaarista kongruenssimenetelmää käyttäen jono pseudosatunnaislukuja modulo 16, kun a = 7, c = 11 ja siemenluku on Generoi lineaarista kongruenssimenetelmää käyttäen jono pseudosatunnaislukuja modulo 16, kun a = 9, c = 11 ja siemenluku on Voidaan osoittaa, että seuraavat ehdot (1) (3) ovat välttämättömät ja riittävät, jotta lineaarinen kongruenssimenetelmä generoisi kaikki kokonaisluvut joukossa {0, 1, 2,..., m 1}. (1) Lukujen c ja m suurin yhteinen tekijä on yksi. (2) Luku a 1 on tasan jaollinen jokaisella m:n alkulukutekijällä. (3) Jos 4 m, niin 4 a 1. Todenna, että em. ehdot ovat voimassa kahdessa edellisessä tehtävässä. 95. Oletetaan, että lineaarisessa kongruenssimenetelmässä lukujen c ja m syt on yksi ja a = 1. Osoita, että nämä parametrinarvot toteuttavat edellisen tehtävän kolme ehtoa. Miksi menetelmä ei ole kelvollinen pseudosatunnaislukugeneraattori? 18

19 Kombinatoriikka 96. Sari on lähdössä lomamatkalle Kreetalle tai Rhodokselle. Hän haluaa lentää kohteeseen korkeintaan yhtä välilaskua käyttäen. Suoria lentoja Oulusta Kreetalle on tarjolla kaksi ja Rhodokselle kolme kappaletta. Lisäksi viidellä lennolla Kreetalle on ensin lennettävä Helsinkiin, jossa matka jatkuu suoralla yhteydellä määränpäähän. Pulu Ykkönen tarjoaa yhden sellaisen yhteyden Rhodokselle, jossa välilasku tehdään Riikassa. Kuinka monella tavalla Sari voi matkansa Oulusta määränpäähän (joko Kreetalle tai Rhodokselle) valita? 97. Luokan 34 opiskelijasta 12 puhuu ruotsia ja 5 saksaa. Jos 2 opiskelijaa puhuu molempia kieliä, kuinka moni ei puhu kumpaakaan? 98. Myynnissä olevista autoista otettiin 25 auton satunnaisotos. Tutkittiin, mitkä ominaisuuksista ilmastointi (I), navigaattori (N) ja vakionopeudensäädin (V ) oli kussakin otoksen autossa vakiovarusteena. Saatiin seuraavat tulokset. 15 autossa oli I 4 autossa oli N ja V 12 autossa oli N 3 autossa oli I, N ja V 5 autossa oli I ja V 2 autossa ei ollut ainoatakaan 9 autossa oli I ja N Kuinka monessa autossa oli (a) vain V (b) vain I (c) vain N (d) N ja V, mutta ei I (e) I ja N, mutta ei V (f) vain yksi kolmesta ominaisuudesta. 99. Erään alueen puhelinnumerot koostuvat kahdeksasta (kymmenjärjestelmän) numerosta. Ensimmäinen numero ei voi olla nolla eikä ykkönen. Muille numeroille ei ole rajoitteita. (a) Kuinka paljon puhelinnumeroja on kaikkiaan? (b) Kuinka moni puhelinnumero ei sisällä yhtään nollaa? (c) Kuinka moni puhelinnumero sisältää ainakin yhden nollan? 100. äärellisen joukon kaikki permutaatiot generoivaa ohjelmaa ajetaan tietokoneella, joka tulostaa permutaatiot tiedostoon nopeudella permutaatiota sekunnissa. Kuinka kauan kestää sellaisen joukon kaikkien permutaatioiden tulostaminen, jonka koko on (a) 10 alkiota (b) 15 alkiota? 19

20 101. Arvioi lukujen (a) P (10, 6) (b) P (12, 8) (c) C(13, 5) (d) ( 15 11) suuruutta Yhdistyksessä on 45 jäsentä, joiden joukosta valitaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä, kun yksi henkilö voi pitää hallussaan korkeintaan yhtä vakanssia Luokan kahdentoista oppilaan koepisteet ovat 15, 13, 18, 15, 7, 12, 10, 13, 9, 5, 15, 17. Pistemäärät syötetään tilastollista analyysia suorittavaan tietokoneohjelmaan mielivaltaisessa järjestyksessä. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä? 104. Eräässä yliopiston yksikössä työskentelee 23 naista ja 18 miestä. Yksiköstä valitaan kuusi henkilöä tiedekunnan pääsykoetyöryhmään. (a) Kuinka monella tavalla valinta voidaan tehdä? (b) Kuinka monella tavalla valinta voidaan tehdä, jos valituista täsmälleen neljän tulee olla naisia? 105. Tietoturva-kurssin probleemapankista valitaan kuhunkin luentokokeeseen viisi kysymystä. Kuinka monta kysymystä tulee probleemapankin sisältää, jotta koevaihtoehtoja on ainakin tuhat? 106. Osoita, ( että ) ( n (a) r = n 1 ) ( r 1 + n 1 ) r (b) P (n, r) = n P (n 1, r 1) 107. Selitä miksi joukossa, joka koostuu n:stä eri alkiosta on (a) n yhden alkion osajoukkoa; (b) n osajoukkoa, joista jokainen sisältää n 1 alkiota; ja (c) yhtä monta r:n alkion ja (n r):n alkion osajoukkoa, r {0, 1,..., n}. 20

21 108. * Osoita, että jos joukosta {1, 2,..., 200} poimitaan 101 eri lukua, on näiden joukossa sellaiset luvut (a) m ja n, joiden suurin yhteinen tekijä on yksi; ja (b) r ja s, että r jakaa tasan luvun s * Neljän viikon lomalla Juuso pelaa joka päivä ainakin yhden pelin tennistä, mutta koko loman aikana ei enempää kuin 40 peliä. Osoita, että löytyy sellainen jono peräkkäisiä päiviä, jolloin hän pelaa täsmälleen 15 peliä. 21

22 Verkkoteoria 110. Kuinka monta (olennaisesti) erilaista nelisolmuista yksinkertaista verkkoa löydät? Miten verkot poikkeavat toisistaan? 111. Osoita, että täydellisessä n:n solmun verkossa on n(n 1) 2 väliä käyttämällä tulosta, jonka mukaan verkon solmujen asteiden summa on kaksi kertaa välien lukumäärä Jos yksinkertaisessa viiden solmun verkossa on 4 väliä, kuinka monta väliä on verkon komplementissa? Yleistä tapaukseen, jossa yksinkertaisessa n:n solmun verkossa on m väliä, kuinka monta väliä tällöin on verkon komplementissa? 113. Piirrä verkko, jonka vierusmatriisi on (a) (b) Osoita, että Kuvassa 1 kohdan (a) verkot ja kohdan (b) verkot ovat isomorset * Sinulle on annettu kaksitoista samannäköistä rahaa, joista täsmälleen yksi on väärennös; se on eripainoinen kuin muut. Tasavarsivaakaa (3 asentoa) käyttäen etsi tämä väärennös määritä onko se toisia rahoja painavampi vai kevyempi. Montako punnitusta tarvitaan? Piirrä vastaava juurellinen puu Osoita, että Kuvassa 2 kohdan (a) verkot ja kohdan (b) verkot eivät ole isomorset (a) Piirrä Kuvan 3 verkon G komplementti G c ja osoita, että G ja G c ovat isomorset. (b) Voiko yksinkertainen kuuden solmun verkko olla isomornen komplementtinsa kanssa? Perustelut Onko Kuvan 4 verkoissa Eulerin polkua tai Eulerin piiriä? Perustelut. 22

23 A C B B A C D E (a) D E A B C A B C D D E F E F (b) Kuva 1: Isomorset verkot 119. * Onko Kuvan 4 verkoissa Hamiltonin polkua tai Hamiltonin piiriä? Perustelut. 23

24 A D B B A C C E (a) D E A B A B C D C D E F E F (b) Kuva 2: Epäisomorset verkot C B D A E Kuva 3: Verkon ja sen komplementin isomora 24

25 (a) (b) (c) (d) Kuva 4: 25

a) Tutki algoritmin toimintaa syötteellä b) Listaa algoritmin kaikki mahdolliset tulosteet.

a) Tutki algoritmin toimintaa syötteellä b) Listaa algoritmin kaikki mahdolliset tulosteet. Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Syksy 2016 Harjoitustehtävät Tähdellä merkityt tehtävät ovat keskimääräistä vaativampia Algoritmeista 1. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä ajan, joka on ilmoitettu

Lisätiedot

1. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä pallon säteen ja tulostaa pallon tilavuuden.

1. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä pallon säteen ja tulostaa pallon tilavuuden. Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Syksy 2015 Harjoitustehtävät 1. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä pallon säteen ja tulostaa pallon tilavuuden. 2. Kirjoita algoritmi, joka saa syötteenä ajan, joka

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

7.4 Sormenjälkitekniikka

7.4 Sormenjälkitekniikka 7.4 Sormenjälkitekniikka Tarkastellaan ensimmäisenä esimerkkinä pitkien merkkijonojen vertailua. Ongelma: Ajatellaan, että kaksi n-bittistä (n 1) tiedostoa x ja y sijaitsee eri tietokoneilla. Halutaan

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Python-ohjelmointi Harjoitus 2

Python-ohjelmointi Harjoitus 2 Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op)

ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) Tentaattori: Antti-Jussi Lakanen 7. huhtikuuta 2017 Vastaa kaikkiin tehtäviin. Tee jokainen tehtävä erilliselle konseptiarkille. Kirjoittamasi luokat, funktiot ja aliohjelmat

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot