Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Transkriptio

1 Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2017

2 Sisältö 1 Perusteita Lukujoukot Merkintöjä Reaalilukujen laskutoimitukset Rationaalilukujen laskutoimitukset Potenssit Itseisarvo Juuret Ääretön Funktiot Funktion määritelmä Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Funktion kasvavuus ja vähenevyys Funktion kuperuus Polynomifunktiot Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen yhtälö Ensimmäisen asteen epäyhtälö Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen yhtälö Toisen asteen epäyhtälö Korkeamman asteen polynomifunktio Korkeamman asteen yhtälö Korkeamman asteen epäyhtälö Funktioiden kuvaajien yhteiset pisteet Polynomifunktion sovelluksia taloustieteessä* Rationaalifunktio Murtoyhtälö Murtoepäyhtälö Itseisarvofunktio Itseisarvoyhtälö Itseisarvoepäyhtälö

3 6 Neliöjuurifunktio Neliöjuuriyhtälö Neliöjuuriepäyhtälö Potenssifunktio Potenssiyhtälö Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion ominaisuuksia Eksponenttifunktion sovelluksia taloustieteessä* Logaritmifunktio Käänteisfunktio Käänteisfunktio Käänteisfunktion sovellus taloustieteessä* Raja-arvo Funktion raja-arvo Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio Rationaalifunktio Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Eksponenttifunktio raja-arvotehtävissä Funktion jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Suljetulla välillä jatkuva funktio Sarjateoria Derivaatta Derivaatan määritelmä Derivaattafunktio Derivoimissääntöjä Korkeammat derivaatat L Hospitalin sääntö Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia* Kustannusfunktio

4 Tulofunktio Jousto Kansantulo, kulutus ja säästäminen Funktion tutkiminen derivaatan avulla Funktion monotonisuus ja derivaatta Funktion ääriarvo Paikallisten ääriarvojen määrittäminen Kuperuus ja käännepisteet Korkeammat derivaatat ja ääriarvo Talousmatematiikkaa - Korkolaskenta Prosenttilaskua Yksinkertainen korkolasku Koronkorko Korkokannat* Jatkuva korko Jaksolliset suoritukset Annuiteettiperiaate Investointilaskelmia Talousmatematiikkaa - Indeksit Keskiarvoista Indeksiluvun käsite Indeksiluvun muodostaminen Laspeyresin indeksi Kuluttajahintaindeksi (2010 = 100)

5 1 Perusteita 1.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Positiivisten kokonaislukujen joukko Z + = {1, 2,...} Rationaalilukujen joukko Q = { m m, n Z, n 0} n Kun täydennetään rationaalilukujen joukkoa Q vielä irrationaaliluvuilla (luvuilla, joita ei voida esittää kahden kokonaisluvun osamääränä), saadaan reaalilukujen joukko R. 1.2 Merkintöjä = on olemassa = ei ole olemassa = kaikilla, aina kun = ääretön = miinus ääretön = implikaatio (jos..., niin... tai... seuraa...) = ekvivalenssi (jos ja vain jos tai yhtäpitävää) x A = alkio x kuuluu joukkoon A x / A = alkio x ei kuulu joukkoon A A B = joukko A sisältyy joukkoon B eli joukko A on joukon B osajoukko A B = joukko A on joukon B aito osajoukko {x A P (x) on tosi} = niiden alkioiden x A joukko, jotka toteuttavat ehdon P = tai : Riittää kun kumpi tahansa ehdoista on voimassa = ja : Molempien ehtojen oltava voimassa yhtä aikaa A B = {x x A tai x B} = joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A B = {x x A ja x B} = joukkojen A ja B leikkaus 4

6 Reaaliakselin välit: Olkoot a, b R ja a < b. Reaaliakselin väleille käytetään seuraavia merkintöjä: ]a, b[ = {x R a < x < b} avoin väli [a, b] = {x R a x b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} ]a, [= {x R x > a} [a, [= {x R x a} ], a[= {x R x < a} suljettu väli puoliavoimet välit äärettömät välit ], a] = {x R x a} ], [= {x R < x < } = R 1.3 Reaalilukujen laskutoimitukset Olkoot a, b, c R. Reaalilukujen yhteen- ja kertolaskulla on voimassa seuraavat laskulait: kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus a + b = b + a, ab = ba assosiatiivisuus eli liitännäisyys distributiivisuus eli osittelulaki (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc 5

7 Lisäksi epäyhtälöille pätevät seuraavat ominaisuudet: a < b a + c < b + c aina, kun c R a < b ac < bc, kun c > 0 a < b ac > bc, kun c < 0 a < b ja b < c a < c 1.4 Rationaalilukujen laskutoimitukset Olkoot a, b, c, d, k Z, missä b, d, k 0. Rationaaliluvuille pätevät seuraavat laskutoimitukset: laventaminen a b = ka kb supistaminen ka kb = a b yhteenlasku (lavennus samannimisiksi) a b + c d = ad bd + bc bd vähennyslasku (lavennus samannimisiksi) = ad + bc bd kertolasku jakolasku a b c d = ad bd bc bd a b c d = ac bd = ad bc bd a b : c d = a b d c = ad bc Lisäksi, jos r R, niin r a b = ra b. 6

8 Esimerkki 1.1. a) d) g) : x x 1 b) 2 2 ( 3 e) ) 3 h) 1 x : x 1 c) f) x x ( 1 i) x x + 1 ) y 1.5 Potenssit Olkoon a reaaliluku ja n Z +. Tällöin määritellään a n = a a... a, missä tekijöitä a on n kappaletta. Siis a 1 = a ja a n+1 = a n a. Lisäksi määritellään a 0 = 1 ja a n = 1 a n. Lukua a n, missä n Z, sanotaan luvun a n:nneksi potenssiksi. Olkoot a, b R ja m, n Z. Potenssille pätevät seuraavat laskusäännöt: 1) a m a n = a m+n 2) am a n = am n 3) (a m ) n = a m n 4) a n b n = (a b) n ( 5) an a ) n ( a ) ( n n b b = 6) = n b b a) 7) 1 n = 1 Lisäksi yhtälöille ja epäyhtälöille pätevät seuraavat ominaisuudet: 8) Jos 0 a, b, niin a = b a 2 = b 2. 9) Jos 0 a, b, niin a < b a 2 < b 2. 10) Jos 0 a, b ja n Z +, niin a = b a n = b n. 11) Jos 0 a, b ja n Z +, niin a < b a n < b n. Huomautus. Jos n on parillinen, niin aina a n 0. 7

9 Hyödyllisiä kaavoja: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b Itseisarvo Olkoon a R. Luvun a itseisarvo on { a, kun a 0 a = a, kun a < 0. Nyt a 0 kaikilla a R. Jos x = a, missä a 0, niin x = a tai x = a. 1.7 Juuret Olkoon nyt a R ja n Z +. Yhtälön x n = a ratkaisua sanotaan luvun a n:nneksi juureksi ja merkitään: x = n a. Jos yhtälöllä x n = a on kaksi ratkaisua, n niin luvuksi a valitaan positiivinen ratkaisu. n a: mikä luku n:teen korotettuna antaa luvun a? Siis jos x = n a, niin x n = a. Lisäksi määritellään a 1 n = n a ja a m n = ( n a) m. Huomautus. Jos x R ja n Z + on parillinen, niin n x n = x. Erityisesti x2 = x. Huomautus. Jos n on parillinen, niin n a on mahdollinen määrittää vain silloin kun a 0. 8

10 1.8 Ääretön Symbolilla (ääretön) tarkoitetaan suuretta, joka kasvaa rajatta. Vastaavasti (miinus ääretön) tarkoittaa suuretta, joka vähenee rajatta. Symbolille pätevät seuraavat laskusäännöt: a) + =, ( ) + ( ) = b) ± r =, ± r =, kun r R c) =, ( ) =, ( ) ( ) = d) r = {, jos r > 0, jos r < 0 e) r = {, jos r > 0, jos r < 0 f) r = r = 0, kun r R g) r =, kun r > 0 r = 0, kun r < 0 h) ( ) r =, kun r Z + on parillinen ( ) r =, kun r Z + on pariton ( ) r = 0, kun r Z. Seuraavat muodot eivät ole määriteltyjä:, 0,, 0, 0,

11 2 Funktiot 2.1 Funktion määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Funktio f joukolta X joukolle Y (merkitään f : X Y ) on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y. Joukko X = D f on funktion f määrittelyjoukko, eli joukko, jossa funktion arvo voidaan määrittää. Joukko Y on funktion f maalijoukko, joka sisältää mm. funktion arvot. Lisäksi x on muuttuja, joka edustaa määrittelyjoukon alkioita. Merkintä y = f(x) tarkoittaa, että y on funktion f arvo muuttujan arvolla x. Funktion f arvojen joukkoa sanotaan funktion f arvojoukoksi. R f = {f(x) x D f } Y 2.2 Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Joukon B f = {(x, y) y = f(x), x D f } kuvaa xy koordinaatistossa sanotaan funktion f kuvaajaksi. Puhutaan myös käyrästä y = f(x). 10

12 Esimerkki 2.1. Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. Vakiofunktio f(x) = c D f = R x R, c R vakio R f = {c} 2. Identtinen funktio f(x) = x D f = R x R R f = R 3. Itseisarvofunktio { x, kun x 0 f(x) = x = x, kun x < 0 D f = R R f = [0, [ 11

13 2.3 Funktion kasvavuus ja vähenevyys Olkoon I R väli ja x 1, x 2 I. Reaalifunktio f on välillä I kasvava, jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, aidosti kasvava, jos f(x 1 ) < f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, vähenevä, jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, aidosti vähenevä, jos f(x 1 ) > f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2. Funktio f on välillä I monotoninen, jos se on tällä välillä kasvava tai vähenevä ja aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. kasvava: aidosti kasvava: vähenevä: aidosti vähenevä: 12

14 2.4 Funktion kuperuus Funktio f on alaspäin kupera eli konveksi, jos jokainen käyrän y = f(x) kahden pisteen välinen jana on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) yläpuolella tai käyrällä. Vastaavasti funktio f on ylöspäin kupera eli konkaavi, jos jokainen käyrän y = f(x) kahden pisteen välinen jana on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) alapuolella tai käyrällä. 13

15 3 Polynomifunktiot Olkoon n N. Funktiota f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, missä a i R vakioita ja a n 0, sanotaan n:nnen asteen polynomifunktioksi. Polynomifunktion f(x) määrittelyjoukko D f = R ellei muuta sovita. 3.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio on muotoa y = f(x) = ax + b, missä a, b R, a 0. Vakiota a kutsutaan kulmakertoimeksi ja vakiota b vakiotermiksi. Jos a = 0, niin funktio f on vakiofunktio ja f(x) = b kaikilla x R. Lineaarisen funktion f(x) = ax + b kuvaaja on suora: a > 0 : a < 0 : a = 0 : Jos a > 0, niin f(x) = ax + b on aidosti kasvava. Tällöin funktion f kuvaaja on nouseva suora. Jos a < 0, niin f(x) = ax + b on aidosti vähenevä. Tällöin funktion f kuvaaja on laskeva suora. Jos a = 0, niin vakiofunktio f(x) = b on sekä kasvava että vähenevä. Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora. 14

16 Kulmakerroin: Tarkastellaan funktiota f(x) = ax + b. Olkoot x 1, x 2 R ja x 1 < x 2 sekä y 1 = f(x 1 ) ja y 2 = f(x 2 ). Tällöin a = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1. Siis suoran kulmakerroin a on funktion arvon muutos jaettuna muuttajan arvon muutoksella. Kulmakerroin ilmaisee funktion kasvunopeuden ja suoran nousujyrkkyyden Ensimmäisen asteen yhtälö Normaalimuoto: Ratkaisu: ax + b = 0 ax + b = 0 ax = b x = b a + ( b) : a 0 Yhtälön ax + b = 0 ratkaisu on funktion f(x) = ax + b nollakohta eli juuri. Geometrisesti nollakohta on piste x 0 = b, jossa funktion f kuvaaja eli suora a y = ax + b leikkaa x-akselin. a > 0 : a < 0 : 15

17 3.1.2 Ensimmäisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax + b > 0 (,, <) Ratkaisu: a > 0: ax + b > 0 ax > b + ( b) : a x > b a a < 0: ax + b > 0 ax > b + ( b) : a x < b a 16

18 3.2 Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = ax 2 + bx + c, missä a, b, c R ja a 0. Funktion f(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli: a > 0 : a < 0 : Käyrä f(x) = ax 2 + bx + c on ylöspäin aukeava paraabeli, kun a > 0, ja alaspäin aukeava paraabeli, kun a < 0. 17

19 3.2.1 Toisen asteen yhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = b ± b 2 4ac 2a Yhtälön ax 2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat polynomifunktion f(x) = ax 2 + bx + c nollakohtia. Yhtälön ratkaisujen lukumäärä riippuu luvusta D = b 2 4ac, jota kutsutaan diskriminantiksi. Jos (i) D > 0, niin yhtälöllä on 2 erisuurta reaaliratkaisua (nollakohtaa, juurta) (ii) D = 0, niin yhtälöllä on 1 reaaliratkaisu (kaksinkertainen nollakohta) (iii) D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua (kompleksilukujuuret, käsitellään toisessa kurssissa). Tekijöihinjako Olkoot x 1 ja x 2 polynomin f(x) = ax 2 + bx + c nollakohdat. Tällöin polynomi f(x) voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ). Jos x 1 on kaksinkertainen nollakohta, niin ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 1 ) = a(x x 1 ) 2. Jos reaalisia nollakohtia ei ole, niin polynomi f(x) ei jakaannu reaalisiin 1. asteen tekijöihin 18

20 3.2.2 Toisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c > 0 (,, <) Ratkaisumenettely: (i) Etsitään lausekkeen ax 2 + bx + c nollakohdat eli ratkaistaan yhtälö ax 2 + bx + c = 0 (1) (ii) Päätellään epäyhtälön ratkaisu funktion f(x) = ax 2 + bx + c kuvaajaparaabelin avulla. Esimerkki 3.1. Ratkaise epäyhtälö x 2 + x Korkeamman asteen polynomifunktio Olkoon n 3. Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, missä a i R kaikilla 0 i n ja a n 0. Esimerkiksi kolmannen asteen polynomifunktio on muotoa f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, missä a, b, c, d R ja a 0. 19

21 Funktion f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d kuvaaja: a > 0 : a < 0 : Korkeamman asteen yhtälö Normaalimuoto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 (2) Yhtälön ratkaisut ovat polynomifunktion p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 nollakohtia. Astetta n olevalla polynomilla voi olla korkeintaan n nollakohtaa. Mikäli kertoimet a i ovat kokonaislukuja kaikilla 0 i n, niin yhtälön (2) mahdollisia rationaalilukuratkaisuja eli rationaalijuuria ovat luvut p, missä p on q kertoimen a 0 tekijä ja q on kertoimen a n tekijä. 20

22 Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen: Tarkastellaan yhtälöä p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, missä polynomin p(x) kertoimet a i ovat kokonaislukuja kaikilla 0 i n ja a n 0. (i) Etsitään edellä mainitut polynomin p(x) mahdolliset rationaaliset nollakohdat. (ii) Tutkitaan, onko jokin niistä polynomin p(x) todellinen nollakohta sijoittamalla mahdolliset nollakohdat yhtälöön. (iii) Oletetaan nyt, että x 0 on polynomin p(x) todellinen nollakohta. Tällöin 1. asteen polynomi x x 0 on polynomin p(x) tekijä. (iv) Jaetaan polynomi p(x) tekijällä x x 0, jolloin saadaan p(x) = (x x 0 )q(x), missä q(x) on astetta n 1 oleva polynomi. (v) Nyt tulon nollasäännön mukaan p(x) = (x x 0 ) q(x) = 0 x x 0 = 0 tai q(x) = 0. (vi) Jatketaan ratkaisemalla yhtälö q(x) = 0 samalla tavalla. Esimerkki x = 3x 2 + 5x Korkeamman asteen epäyhtälö Normaalimuoto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 > 0 (,, <) Ratkaisumenettely: (i) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli 1. ja 2. asteen tekijöihin. (ii) Päätellään tekijöiden merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki 3.3. x x 2 + 5x 21

23 3.4 Funktioiden kuvaajien yhteiset pisteet Ratkaistava milloin funktiot f(x) ja g(x) saavat saman arvon eli milloin niiden kuvaajat leikkaavat. Tällöin on ratkaistava yhtälöpari Yhtälöparin ratkaiseminen: 1) Asetetaan f(x) = g(x). { y = f(x) y = g(x) 2) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. 3) Sijoitetaan saatu muuttujan x arvo (arvot) toiseen alkuperäisistä funktioista, jolloin saadaan leikkauspistettä vastaava funktion arvo y (arvot). Esimerkki 3.4. Määritä käyrien x 2 y + 1 = 0 ja y 2x = 0 yhteiset pisteet. 3.5 Polynomifunktion sovelluksia taloustieteessä* Sovellus 1: Olkoon P tavaran hinta. Kuvatkoon D = ap + b kysynnän määrää ja S = cp + d tarjonnan määrää hinnalla P, P > 0. Tällöin on oltava: (i) b > 0, jotta kysyntä hinnalla 0 olisi positiivinen. (ii) a < 0, jotta kysyntä hinnan noustessa pienenisi. (iii) d 0, jotta tarjonta olisi negatiivinen tai nolla hinnalla 0. (iv) c > 0, jotta tarjonta hinnan noustessa kasvaisi. 22

24 Kysynnän ja tarjonnan tasapaino: Tasapainossa D = S { D = ap + b S = cp + d ap + b = cp + d (a c)p = d b P = d b a c D = a d b a c + b (hinta, jolla kysyntä ja tarjonta ovat tasapainossa) (kysynnän ja tarjonnan määrä tasapainossa) 23

25 Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärän x kokonaistuotantokustannukset C(x) = ax 2 + bx + c, missä a, b ja c ovat positiivisia vakioita. Jos tuotetta myydään yksikköhintaan P, niin kokonaistuotto R(x) = P x. Voitto Π(x) on tällöin Π(x) = R(x) C(x) = P x (ax 2 + bx + c) = ax 2 + (P b)x c. Laskemalla suoran R(x) ja paraabelin C(x) leikkauspisteet, saadaan ne tuotantomäärän x arvot, joilla voitto Π(x) = 0 eli kokonaistuotto = kokonaistuotantokustannukset. Siis { R(x) = P x C(x) = ax 2 + bx + c Koska voiton Π(x) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, voitto on positiivinen leikkauspisteiden välisillä tuotannon määrän arvoilla. 24

26 Maksimivoitto Π max saavutetaan paraabelin huippua vastaavalla tuotannonmäärän arvolla. 25

27 4 Rationaalifunktio Olkoot p(x) ja q(x) polynomeja. Funktiota f(x) = p(x) q(x) sanotaan rationaalifunktioksi. Rationaalifunktion määrittelyjoukko on D f = {x R q(x) 0}. 4.1 Murtoyhtälö Normaalimuoto: p(x) q(x) = 0 Jotta yhtälö on määritelty, on toteuduttava ehto q(x) 0. Normaalimuodon ratkaisumenettely: p(x) q(x) = 0 p(x) = 0 Esimerkki x 2x + 1 = 3 Toinen ratkaisuvaihtoehto: Mikäli ratkaistava yhtälö on muotoa p(x) q(x) = r(x), niin se voidaan kertoa puolittain polynomilla q(x). Tällöin saadaan yhtälö p(x) = r(x)q(x), joka on ratkaistavissa edellisen luvun keinoin. Tässäkin tapauksessa on muistettava ehto q(x) 0. 26

28 4.2 Murtoepäyhtälö Normaalimuoto: p(x) q(x) > 0 (<,, ) Ehto: q(x) 0. Normaalimuodon ratkaisumenettely: (i) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä 1. ja 2. asteen tekijöihin. (ii) Päätellään merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki x 2x Toinen ratkaisuvaihtoehto: Vastaavasti kuin murtoyhtälön tapauksessa epäyhtälö p(x) q(x) < r(x) voidaan kertoa puolittain polynomilla q(x). Tällöin on kuitenkin selvitettävä polynomin q(x) merkki muuttujan x eri arvoilla, jotta voidaan huomioida mahdollinen epäyhtälömerkin vaihtuminen. Tätä varten tehdään osavälijako eli ratkaistaan epäyhtälö erikseen niissä yhtälön määrittelyjoukon alueissa, joissa polynomilla q(x) on eri merkki. 27

29 5 Itseisarvofunktio Jos a R, niin Vastaavasti f(x) = { a, kun a 0 a = a, kun a < 0. { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Tällä kurssilla itseisarvofunktioksi sanotaan funktiota, jonka lauseke sisältää itseisarvoja. Itseisarvofunktion määrittelyjoukko on D f = R, ellei muuta sovita. Huomautus. f(x) 0 kaikilla x R. 5.1 Itseisarvoyhtälö Ratkaisumenettely: Itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi itseisarvomerkit poistetaan tutkimalla itseisarvon sisällä olevan lausekkeen positiivisuutta/negatiivisuutta määrittelyjoukossa ja tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö. Tässä käytetään osavälijakoa eli ratkaistaan yhtälö erikseen jokaisessa yhtälön määrittelyjoukon alueessa, joissa itseisarvot poistetaan eri tavalla. Osaväleillä itseisarvojen poistamiseen käytetään sääntöä f(x) = { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Esimerkki 5.1. x 3 + x + 2 = 10 28

30 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoyhtälön ratkaisussa: 1. f(x) = g(x) f(x) = g(x) tai f(x) = g(x) f(x) = a tai f(x) = a, kun a > 0 2. f(x) = a f(x) = 0, kun a = 0 ei ratkaisua, kun a < 0 Varmin tapa: Jos yhtälössä useita itseisarvolausekkeita, niin poistetaan itseisarvot aina tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen eli tehdään osavälijako. Esimerkki 5.2. x 1 = x Itseisarvoepäyhtälö Ratkaisumenettely: Tehdään osavälijako, jonka jälkeen poistetaan itseisarvomerkit ja ratkaistaan saatu epäyhtälö osavälijaon mukaisissa alueissa. Osaväleillä itseisarvojen poistamiseen käytetään sääntöä f(x) = { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Esimerkki 5.3. x 3 + x + 2 < 10 Esimerkki 5.4. x 6 3 2x Esimerkki 5.5. x 6 x 1 Esimerkki 5.6. x 6 < 3 2x 29

31 6 Neliöjuurifunktio Tällä kurssilla neliöjuurifunktioksi sanotaan funktiota, jonka lauseke sisältää termin f(x), missä f(x) on reaalifunktio. Funktion määrittelyjoukon määrää ehto f(x) 0. Huomautus. 1. f(x) 0 aina, kun f(x) f(x) ei ole olemassa, kun f(x) < ( f(x) ) 2 = f(x). 6.1 Neliöjuuriyhtälö Perusmuoto: f(x) = g(x). Jotta reaalinen ratkaisu on olemassa, on oltava voimassa ehdot { f(x) 0 g(x) 0. Tällöin yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen, jolloin saadaan f(x) = g(x) ( ) 2 f(x) = g(x) 2. Ratkaisumenettely neliöjuurta sisältävissä yhtälöissä: (i) Siirretään termejä sopivasti (jotta saadaan perusmuoto). (ii) Tarkastellaan ehdot. (iii) Korotetaan puolittain toiseen. (iv) Ratkaistaan yhtälö. (v) Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisut alkuperäisen yhtälön. (Tarpeen, jos ehtoja ei ole huomioitu.) Esimerkki x x 1 = 0 30

32 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö Tapaus 1: Perusmuoto: f(x) g(x) [<] Ehdot: { f(x) 0 Ratkaisu: g(x) 0 [>] f(x) g(x) ( ) 2 f(x) g(x) 2... Tapaus 2: Perusmuoto: Ehto: Osavälijako: f(x) g(x) [>] f(x) 0 1 o g(x) 0 2 o g(x) < 0 Ratkaisu: 1 o g(x) 0 f(x) g(x) ( ) 2 f(x) g(x) o g(x) < 0 Tällä osavälillä ehtojen ollessa voimassa, epäyhtälö f(x) g(x) toteutuu, sillä f(x) 0. 31

33 7 Potenssifunktio Funktiota f(x) = x r, missä r R ja r 0, sanotaan potenssifunktioksi. Potenssifunktion määrittelyjoukko riippuu eksponentista r ja on ainakin R +. Esimerkki 7.1. a) f(x) = x 3 b) f(x) = x 1 2 c) f(x) = x 1 2 d) f(x) = x 2 3 e) f(x) = x 3 f) f(x) = x Potenssiyhtälö Eri tilanteita: 1. Kun p on parillinen positiivinen kokonaisluku ja a 0, niin x p = a x = ± p a x = p a tai x = p a. 2. Kun p on parillinen positiivinen kokonaisluku ja a < 0, niin yhtälöllä x p = a ei ole ratkaisua. 3. Kun p on pariton positiivinen kokonaisluku ja a R, niin 4. Kun r 0, a > 0 ja x > 0, niin Huomautus. Jos p Z +, niin x p = a x = p a. x r = a x = a 1 r. x p = a 1 x p = a xp = 1 a. Näin ollen yhtälön x p 1 3. = a ratkaiseminen palautuu edellä esitettyihin kohtiin Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a) x 2 = 5 b) x 2 = 3 c) x 2 = 4 d) x 3 = 5 e) x 3 = 3 f) x 2 = 2 g) x 4 = 5 h) x 4 = 3 32

34 8 Eksponenttifunktio Funktiota y = f(x) = a x, missä a > 0 ja a 1, sanotaan a kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on D f = R ja arvojoukko R f = R Eksponenttifunktion ominaisuuksia Funktio f(x) = a x 0 < a < 1. on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun a > 1 : 0 < a < 1 : Olkoot x, y R. Eksponenttifunktiolle pätevät kappaleessa 1.5 esitellyt potenssin laskusäännöt: 1) a x a y = a x+y 2) ax a = y ax y 3) (a x ) y = a x y 4) a x b x = (a b) x 5) ax b x = ( a b ) x 6) ( a b 7) a 0 = 1 8) 1 x = 1 ) x = ( b a) x 33

35 Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, niin a x 1 = a x 2 x 1 = x 2. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1, niin a x 1 < a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1. Näin ollen a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) ja a f(x) < a g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 f(x) > g(x), kun 0 < a < 1. Erityisen tärkeä on e kantainen eksponenttifunktio f(x) = e x, jonka kantaluku on Neperin luku e 2, 718. Esimerkki 8.1. Ratkaise yhtälöt a) 4 4 x = 1 8 b) 81 2x = Esimerkki 8.2. Ratkaise epäyhtälöt a) 2 2 x < 1 4 b) 3 x 3 3 x + 2 > Eksponenttifunktion sovelluksia taloustieteessä* Koronkorko: Jos korkokanta on 100 i prosenttia vuodessa ja korko lisätään alkupääomaan x k kertaa vuodessa, niin n vuoden kuluttua pääoma on ( y = x 1 + i ) nk. k Kun k on riittävän suuri, y = xe in. 34

36 Kasvufunktiot: Kasvufunktioilla voidaan esittää esimerkiksi: yrityksen työntekijöiden lukumäärä vuotuisen myynnin funktiona käytetyn pääoman määrä ajan funktiona myynti mainoskulujen funktiona käyttökustannukset koneen käyttöajan funktiona myynnin määrä markkinoillaolon funktiona Kasvufunktiot ovat kasvavia funktioita. 1 o Biologista kasvua kuvaavat funktiot Monia biologisen kasvun lakeja voidaan esittää yhtälöllä N(t) = N 0 R t, missä N(t) = populaation jäsenten lukumäärä ajanhetkellä t N 0 = populaation jäsenten lukumäärä ajanhetkellä t = 0 (eli alussa) R = kasvun aste (> 0) Oletus: Jokainen populaation jäsen lisää populaation määrää R 1 jäsenellä aikayksikössä ja kukaan jäsenistä ei kuole. Edellistä funktiota voidaan jossain määrin käyttää kuvaamaan nopeasti kehittyvän yrityksen kasvun alkua. Esimerkki 8.3. Yhtiö aloittaa toimintansa 5:llä työntekijällä. Kunkin vuoden lopussa jokainen työntekijä palkkaa 3 apulaista. Kuinka monta työntekijää yhtiössä on 10 vuoden kuluttua, jos kukaan ei poistu yhtiön palveluksesta? Ratkaisu: Nyt N 0 = 5, t = 10 ja R 1 = 3 eli R = 4, joten N(10) = =

37 2 o Gompertzin funktiot Gompertzin funktiot ovat muotoa missä R = kasvun aste (> 0) t = aikamuuttuja N(t) = ca Rt, a = alkupopulaation suhteellinen osuus populaation ylärajasta 0 < a < 1 c = populaation yläraja (c > 0) Kun t = 0, niin N(0) = ca. Esimerkki 8.4. Yrityksen työntekijöiden lukumäärän kehitystä kuvataan funktiolla N(t) = 200 (0, 04) 0,5t, missä N(t) on työntekijöiden lukumäärä t toimintavuoden jälkeen. Kuinka monta työntekijää yhtiössä oli alunperin? Entä 3 vuoden jälkeen? Kuinka paljon henkilökuntaa yhtiössä on yrityksen ollessa suurimmillaan? Ratkaisu: Työntekijöitä alunperin: Työntekijöitä 3 vuoden jälkeen: N(0) = 200 (0, 04) 0,50 = 8 N(3) = 200 (0, 04) 0,53 = 133, Työntekijöitä yrityksen ollessa suurimmillaan: Koska populaation yläraja c = 200, niin työtekijöitä on enimmillään o Oppimisfunktiot Psykologit käyttävät funkiota y = c ae kt kuvaamaan oppimista. Tässä t on aika ja c, a sekä k ovat positiivisia vakioita. Edellä mainittua muotoa olevia funktioita voidaan käyttää esittämään kustannusja tuotantofunktioita. 36

38 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yhtälöä x = a y, missä a > 0 ja a 1. Siten y on se potenssi, johon luku a on korotettava, jotta saadaan x. Luku y määritellään luvun x a kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään y = log a x. Siis y = log a x x = a y. Laskettaessa lukua log a x on siis selvitettävä, mihin potenssiin luku a on korotettava, jotta saadaan luku x. Funktiota f : R + R, f(x) = log a x, missä a > 0 ja a 1, sanotaan a kantaiseksi logaritmifunktioksi. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on D f = R + ja arvojoukko R f = R. Olkoot x, y > 0 ja z R. Tällöin logaritmille pätevät seuraavat laskusäännöt: 1) log a (xy) = log a x + log a y 5) log a 1 = 0 ( ) x 2) log a = log y a x log a y 6) log a a f(x) = f(x) 3) log a x z = z log a x 7) a log a f(x) = f(x) 4) log a a = 1 8) log b c = log a c log a b Sovellusten kannalta e kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Luonnollista logaritmifunktiota merkitään f(x) = log e x = ln x. 37

39 Logaritmifunktio f(x) = log a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. a > 1 : 0 < a < 1 : Koska logaritmifunktio on aidosti monotoninen, niin log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2. Koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1, niin log a x 1 < log a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1. Näin ollen log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) log a f(x) < log a g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 f(x) > g(x), kun 0 < a < 1. Esimerkki 9.1. Määritä a) log b) kantaluku a, kun log a 0, 001 = 3. Esimerkki 9.2. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) > log 1 (5x 2) 3 3 Esimerkki 9.3. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) < 2 + log 1 (2x) 3 3 Esimerkki 9.4. a) 2 x = 3 b) 2e x = 7 Esimerkki 9.5. a) 2 3x = 3 2x b) log 2 (2x) = log 4 x 38

40 10 Käänteisfunktio 10.1 Käänteisfunktio Tietyissä tilanteissa funktiolle f : D f R f voidaan määritellä käänteisfunktio f 1 : R f D f, jolle f 1 (y) = x, kun f(x) = y. Siis f 1 kuvaa jokaisen y R f alkukuvakseen x D f eli x = f 1 (y) y = f(x). Käänteisfunktion f 1 määrittelyjoukko D f 1 = R f ja arvojoukko R f 1 = D f. Tarvittaessa rajoittamalla sopivasti funktion f määrittelyjoukkoa D f saadaan aikaan tilanne että käänteisfunktio f 1 on olemassa. on kään- Lause Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla f : D f R f teisfunktio. Funktion y = f(x) käänteisfunktion määrääminen: 1. Onko f 1 olemassa? 2. Ratkaistaan yhtälö y = f(x) muuttujan x suhteen. Esimerkki Määrää funktion y = f(x) = 2x käänteisfunktio. Esimerkki a kantainen eksponenttifunktio f(x) = a x (a > 0, a 1) on joko aidosti kasvava (a > 1) tai aidosti vähenevä (0 < a < 1). Lauseen 10.1 nojalla sillä on olemassa käänteisfunktio. Koska y = a x x = log a y, niin a kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktio on a kantainen logaritmifunktio Käänteisfunktion sovellus taloustieteessä* Kysyntäfunktio on funktio D = ap + b, missä D on kysynnän määrä ja P on tuotteen hinta. Usein kysyntäfunktio ilmaistaan kysynnän määrän funktiona: D = ap + b ap = D b P = 1 a D b a. Funktiot D = ap + b ja P = 1 a D b a ovat toistensa käänteisfunktioita. 39

41 11 Raja-arvo 11.1 Funktion raja-arvo Funktion f raja-arvolla pisteessä x 0 tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Tällöin merkitään mikäli tämä raja-arvo on olemassa. lim f(x) = b, x x 0 Raja-arvo voi olla myös, mikä tarkoittaa sitä, että funktion f arvot kasvavat rajatta, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Vastaavasti raja-arvo on, jos funktion f arvot pienenevät rajatta, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Tällöin käytetään merkintöjä lim x x 0 f(x) = ja lim x x0 f(x) =. Raja-arvossa lähestyttävä muuttujan arvo x 0 on yleensä sellainen, että funktion f arvoa ei voida määrittää kohdassa x = x 0. Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä, kun muuttujan x arvo kasvaa tai pienenee rajatta. Funktion f raja-arvolla äärettömyydessä tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot kasvavat rajatta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x mikäli raja-arvo on olemassa. Vastaavasti funktion f raja-arvolla miinus äärettömyydessä tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot pienenevät rajatta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x mikäli raja-arvo on olemassa. Funktion raja-arvo äärettömyydessä tai miinus äärettömyydessä voi olla myös tai. Huomautus. Funktion raja-arvo on yksikäsitteinen, mikäli se on olemassa. 40

42 Esimerkki Tarkastellaan funktiota f(x) = 3x2 8x + 4. x 2 Esimerkki Tarkastellaan funktiota f(x) = 1 x 41

43 Lause Olkoon lim f(x) = b ja lim g(x) = c sekä k R vakio. Tällöin x x0 x x0 raja-arvolle pätevät seuraavat laskusäännöt: a) lim x x0 (f ± g)(x) = lim x x0 f(x) ± lim x x0 g(x) = b ± c b) lim x x0 (f g)(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) = b c ( f x x0 g c) lim ) (x) = lim x x 0 f(x) = b, jos c 0 lim g(x) c x x 0 d) lim x x0 kf(x) = k lim x x0 f(x) = kb. Toispuoleiset raja-arvot: Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo b pisteessä x = x 0, mikäli funktion f arvot lähestyvät lukua b, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0 luvun x 0 oikealta (positiiviselta) puolelta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x x + 0 mikäli raja-arvo on olemassa. Vastaavasti funktiolla f on vasemmanpuoleinen raja-arvo b pisteessä x = x 0, mikäli funktion f arvot lähestyvät lukua b, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0 luvun x 0 vasemmalta (negatiiviselta) puolelta. Tällöin merkitään mikäli raja-arvo on olemassa. lim x x 0 f(x) = b, Oikean- ja vasemmanpuoleisia raja-arvoja sanotaan toispuoleisiksi raja-arvoiksi. Myös toispuoleinen raja-arvo voi olla tai. Lause Funktiolla f(x) on raja-arvo kohdassa x = x 0 jos ja vain jos funktiolla f(x) on olemassa sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa x = x 0 ja ne ovat yhtäsuuret. Siis Tällöin lim f(x) lim x x 0 x x 0 lim f(x) = lim x x 0 x x 0 f(x) = lim f(x). x x + 0 f(x) = lim f(x). x x

44 Esimerkki Olkoon f(x) = { x 1, x < 0 x, x 0. Onko funktiolla f(x) raja-arvo kohdassa x = 0? Esimerkki Olkoon f(x) = 1. Onko funktiolla f raja-arvo kohdassa x = 0? x 11.2 Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio A) Olkoon p(x) polynomi ja x 0 R. Tällöin lim x x0 p(x) = p(x 0 ). B) Määrättäessä raja-arvoja lim p(x) ja lim p(x), voidaan ottaa tekijäksi x x korkein esiintyvän muuttujan x potenssi ja päätellä sen jälkeen raja-arvo. Toisaalta raja-arvot lim p(x) ja lim p(x) määräytyvät suoraan korkeinta muuttujan x potenssia sisältävän termin x x perusteella. C) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) = c R kaikilla x R, niin lim x x 0 f(x) = lim x x0 c = c ja lim c = lim c = c. x x Esimerkki Laske a) lim (x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1) x 3 c) lim 7 x 3 b) lim (x 4 2x 3 3x 2 4x) x d) lim 7 x 43

45 Rationaalifunktio Olkoon p(x) q(x) rationaalifunktio ja x 0 R. p(x) A) Jos q(x 0 ) 0, niin lim = p(x 0). x x0 q(x) q(x 0 ) Esimerkki Laske Esimerkki Laske x 3 4x + 3 lim x 1 x 5 + 7x 2. lim x 1 x 3 + 2x + 1. x + 1 p(x) B) Jos sekä p(x 0 ) = 0 että q(x 0 ) = 0, eli lim päätyisi suoralla sijoituksella x x0 q(x) muotoon p(x 0) = 0, niin osoittajassa ja nimittäjässä on tekijänä termi x x q(x 0 ) 0 0, joka supistetaan pois ja lasketaan sitten raja-arvo kuten edellä. Esimerkki x 2 2x 3 lim x 3 x 2 9 p(x) C) Jos p(x 0 ) 0, mutta q(x 0 ) = 0, eli lim x x0 q(x) muotoon p(x 0), niin on tutkittava erikseen toispuoleiset raja-arvot lim 0 lim x x + 0 p(x). Jos kyseiset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin lim q(x) päätyisi suoralla sijoituksella p(x) x x q(x) 0 se on joko tai riippuen osoittajan ja nimittäjän merkeistä Esimerkki Tutki raja-arvoja lim ja lim ja lim. x 0 x x 0 x 2 x 5 x 5 Esimerkki a) lim x 2 x (x + 2) 2 b) lim x 2 x x + 2 x x 0 p(x) q(x) ja on olemassa ja p(x) p(x) D) Määrättäessä raja-arvoja lim ja lim voidaan supistaa nimittäjässä esiintyvällä korkeimmalla muuttujan x x q(x) x q(x) potenssilla. p(x) Toisaalta raja-arvot lim ja lim p(x) määräytyvät suoraan osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen termien x q(x) x q(x) perusteella. 44

46 Esimerkki a) lim x x Esimerkki a) lim x x 2 x b) lim x x b) lim x 4x 2 + 3x + 2 2x c) lim d) lim x x 2 x x 2 x c) lim x x 2 + 3x Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Jos f(x) sisältää neliöjuurilausekkeen, niin lim x x0 f(x) saadaan usein laskettua suoralla sijoituksella tai päättelemällä. Monissa tapauksissa laventamisesta on apua. Hyödyllinen kaava on ( f(x) + g(x))( f(x) g(x)) = ( f(x)) 2 ( g(x)) 2 = f(x) g(x) Esimerkki a) lim 2 x + x 2 b) lim ( 1 x + x 2 + 2) x 0 x ( ) x c) lim x + 1 x d) lim x x 0 x Termejä voidaan kuljettaa neliöjuuren sisään tai ulos sieltä seuraavasti: - { x, kun x 0 x 2 = x = x, kun x < 0. - Neliöjuuren alle ei saa viedä negatiivista. Esimerkki a) lim x x 1 2x 2 b) lim x x2 1 2x x c) lim x x2 + x

47 Eksponenttifunktio raja-arvotehtävissä Eksponenttifunktion raja-arvo äärettömyydessä: lim x ax = 0, kun 0 a < 1 1, kun a = 1, kun a > 1 ei ole olemassa, kun a < 0 Huomautus. ( lim x = e. x x) 46

48 12 Funktion jatkuvuus 12.1 Jatkuvuuden määritelmä Funktio f(x) on jatkuva kohdassa x 0 D f, jos lim x x 0 f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos se on jatkuva välin ]a, b[ jokaisessa pisteessä. Funktio f(x) on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa D f pisteessä. Geometrisesti: Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos funktio f on määritelty välillä ]a, b[ ja funktion f kuvaaja välillä ]a, b[ ei katkea. Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ 47

49 2) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = x 0, sillä lim x x0 f(x) f(x 0 ) 3) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x 0, sillä lim f(x) ei ole olemassa, x x0 koska lim f(x) lim f(x) x x + 0 x x 0 Funktion jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x = x 0 : (i) Onko funktio f(x) määritelty kohdassa x = x 0? Jos ei ole määritelty, niin jatkuvuutta kohdassa x = x 0 ei ole mielekästä tarkastella. (ii) Onko lim x x0 f(x) olemassa eli päteekö lim x x 0 (iii) Onko lim x x0 f(x) = f(x 0 )? f(x) = lim f(x)? x x

50 Määrittelyjoukossaan jatkuvia funktioita: polynomi- ja rationaalifunktiot potenssi-, eksponentti- ja logaritmifunktiot trigonometriset funktiot (sin, cos, tan ja cot) Esimerkki Tutki onko funktio { x, x < 0 f(x) = x 2 + x, x 0 jatkuva. Esimerkki Tutki, onko funktio { x 1, x < 0 f(x) = x, x 0. jatkuva Suljetulla välillä jatkuva funktio Sanotaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b). x a + x b Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä [a, b] 49

51 2) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ muttei välillä [a, b], sillä lim x b f(x) f(b). Kuitenkin f(x) on jatkuva välillä [a, b[. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Lisäksi funktio f saa kaikki arvot pienimmän ja suurimman arvonsa väliltä. Siis jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], niin voidaan löytää sellaiset x 1, x 2 [a, b], että f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) aina, kun x [a, b]. Lisäksi jokaista lukua d [f(x 1 ), f(x 2 )] kohti on olemassa ainakin yksi sellainen c [a, b], että f(c) = d. 50

52 Esimerkki Funktio f(x) = x 2 3x + 2 on jatkuva suljetulla välillä [0, 3]. Se saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x = 3, jolloin 2 f(3) = 1, ja suurimman 2 4 arvonsa kohdissa x = 0 ja x = 3. Tällöin f(0) = f(3) = 2. (Maksimin ja minimin etsimisestä myöhemmin!) Lause 12.2 (Bolzanon lause). Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio ja oletetaan, että f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = 0. (Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiä saamatta arvoa 0.) Esimerkki Osoita, että yhtälöllä 20x 3 3x 2 40x+6 = 0 on kolme erisuurta ratkaisua. 51

53 13 Sarjateoria Olkoot a 1,..., a n reaalilukuja. Tällöin niiden summaa merkitään: a a n = n a i. i=1 a k k=1 Ääretöntä summaa a 1 + a = sanotaan sarjaksi. Summa S n = n a k = a 1 + a a n on sarjan a k k=1 k=1 n. osasumma. Sarja a k on aritmeettinen, jos a k+1 a k = d aina, kun k Z + ja d on vakio. k=1 Vastaavasti sarja vakio. k=1 a k on geometrinen, jos a k+1 a k = q aina, kun k Z + ja q on Esimerkki Tutki seuraavien sarjojen aritmeettisuus ja geometrisuus. a) a k = k=1 (2k) b) k=1 a k = k=1 k=1 1 2 k Aritmeettisen sarjan osasumma on S n = a 1 + a 2 + a a n = n a1 + a n. 2 Geometrisen sarjan osasumma on na 1, jos q = 1 S n = a 1 (1 q n ), 1 q jos q 1. 52

54 Sarjaa a k sanotaan suppenevaksi ja lukua S R sarjan summaksi, jos sarjan k=1 osasumma S n suppenee kohti lukua S eli lim n S n = S. Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Huomautus. Jos sarja k=1 a k suppenee, niin lim k a k = 0. Jos lim k a k 0, niin sarja ei suppene. Jos lim k a k = 0, niin sarja VOI MAHDOLLISESTI supeta. Eräiden sarjojen suppenemisesta: Aritmeettinen sarja hajaantuu aina, sillä lim S n = tai n lim S n =. n Geometrinen sarja suppenee silloin ja vain silloin, kun q < 1 1 < q < 1. Tällöin sen summa on S = a 1 1 q. 53

55 14 Derivaatta 14.1 Derivaatan määritelmä Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ]a, b[. Funktion f(x) erotusosamäärä f(b) f(a) b a ilmoittaa funktion f arvon muutoksen suhteessa muuttujan muutokseen eli funktion f keskimääräisen muutosnopeuden välillä [a, b]. Jos raja-arvo f(b) f(a) lim b a b a on olemassa äärellisenä, saadaan funktion f(x) derivaattaa kohdassa a, tätä merkitään f (a). Siis f f(b) f(a) (a) = lim. b a b a Derivaatta f (a) kuvaa funktion f(x) hetkellistä muutosnopeutta kohdassa a. Funktio f on derivoituva välillä I, jos sen derivaatta on olemassa välin jokaisessa pisteessä. Lisäksi f on derivoituva funktio, jos sillä on derivaatta olemassa jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä Derivaattafunktio Derivoituvalle funktiolle f(x) voidaan määrätä derivaatan määritelmän nojalla yleinen derivaattafunktio f (x), johon sijoittamalla muuttujan x arvo a saadaan funktion derivaatan arvo kohdassa a eli f (a). Funktion y = f(x) derivaattafunktiota merkitään: f (x), Df(x), df(x) dx, y, dy dx. Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovat derivoituvia määrittelyalueessaan ilman eri tutkimista. 54

56 14.3 Derivoimissääntöjä D1) Dc = 0, kun c on vakio D2) Dx n = nx n 1, kun n R ja n 0 D3) D(f(x) ± g(x)) = Df(x) ± Dg(x) D4) D(cf(x)) = cdf(x) D5) D(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x), kun n R ja n 0 D6) D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) D7) D = f (x) g(x) f(x) g (x), kun g(x) 0 g(x) (g(x)) 2 Esimerkki a) D(4x 7 + 5) b) D(2x 2 + 5x) 3 c) D[(x 2 + 2)(2x + 5)] d) D x x 1 e) D ( x ) Eksponenttifunktion derivaatta: D8) D e x = e x D9) D a x = a x ln a D10) D e f(x) = e f(x) f (x) D11) D a f(x) = a f(x) ln a f (x) Logaritmifunktion derivaatta: D12) D ln x = 1 x D13) D(log a x) = 1 x ln a D14) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) D15) D log a f(x) = 1 f(x) ln a f (x) = f (x) f(x) ln a Esimerkki ( a) D ln (2x 2 + 2x) b) D 3 2x 1 c) D ) 1 3 x

57 14.4 Korkeammat derivaatat Olkoon f : D f R f derivoituva funktio. Tällöin funktion f(x) derivaattafunktio on f (x). Jos f (x) on edelleen derivoituva, sen derivaattaa (f ) (x) sanotaan funktion f(x) toiseksi derivaataksi ja merkitään f (x). Käytetään myös merkintöjä y, D 2 f(x), d2 f(x) dx 2 ja d2 y dx 2. Esimerkki Olkoon f(x) = 2e x2 + ln x 2. Määrää f (1). Funktion f(x) n. derivaatta saadaan samoin derivoimalla funktio f(x) n kertaa. Sitä merkitään f (n) (x). Siis f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x), f (3) (x) = f (x) jne. Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n 2. Lisäksi sovitaan, että f (0) (x) = f(x). Muut merkintätavat vastaavasti kuin f (x):llä. Esimerkki Olkoon f(x) = x m, m Z +. Määrää f (k) (x) kaikilla k Z L Hospitalin sääntö f(x) Tarkastellaan raja-arvoa lim, missä a R tai a = ±. x a g(x) Olkoon tai lim f(x) = 0 x a ja lim g(x) = 0 x a lim f(x) = ± x a ja lim g(x) = ±. x a Tällöin lim x a f(x) g(x) = 0 0 Jos nyt lim x a f (x) g (x) f(x) tai lim x a g(x) = ±, jotka eivät ole määriteltyjä. = A on olemassa, niin f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) = A. Esimerkki a) lim x 3 x 3 27 x 2 9 ( b) lim ) x x x 56

58 14.6 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia* Keskimääräinenmuutos(nopeus) ilmaisee funktion y = f(x) muutoksen suhteessa muuttujan x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verran. Rajamuutos merkitsee funktion y = f(x) muutosnopeuden raja-arvoa, kun muuttujan x muutos lähenee nollaa eli rajamuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollain hetkellä ts. funktion f(x) derivaatta f (x) Kustannusfunktio Oletetaan, että tavaramäärän x tuottamisesta ja markkinoinnista aiheutuvat kokonaiskustannukset C voidaan ilmaista funktiona C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustannukset AC(x) (ts. kustannukset/tuote) ovat AC(x) = C(x) x. Rajakustannusfunktio M C(x) on kokonaiskustannusfunktion C(x) derivaatta C (x) ja se ilmaisee kokonaiskustannusten hetkellisen muutosnopeuden suhteessa tuotantomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset riippuvat yleensä aina tuotannon tasosta jolla ollaan. Keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun funktion AC(x) derivaatta on nolla (ks. ääriarvot). Tällöin ( ) C(x) (AC) (x) = D = C (x) x C(x) 1 = 0 x x 2 C (x) x C(x) = 0 C (x) = C(x) x MC(x) = AC(x). Keskimääräiset kustannukset AC(x) ovat siis minimissään, kun ne ovat yhtäsuuret kuin rajakustannukset M C(x). Keskimääräisten kustannusten funktio on yleensä alaspäin kupera. Esimerkki Olkoot kokonaiskustannukset C(x) = 2x 2 + 3x + 1, missä x on tuotannon määrä yksikkönä miljoonaa kappaletta. Määrää keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset. Milloin keskimääräiset kustannukset ovat minimissään? 57

59 Ratkaisu: Nyt ja AC(x) = C(x) x = 2x2 + 3x + 1 x MC(x) = C (x) = 4x + 3. = 2x x Keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun AC(x) = M C(x) eli 2x x = 4x + 3 x 0 2x 2 + 3x + 1 = 4x 2 + 3x 2x 2 = 1 x = ± 1 2 ±0, 707. Koska x > 0, ratkaisu on x = 1 2 0, 707. Siispä keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun tuotannon määrä on kappaletta Tulofunktio Olkoon kysyntäfunktio y = f(x), missä y on tavaran yksikköhinta ja x on kysynnän suuruus (tavaramäärä). Kokonaistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x f(x). Rajatulo on MR(x) = dr(x) = R (x), dx joka on siis kokonaistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen. Huomautus. Keskimääräinen tulo R(x) x kuin kysyntäfunktio. = x f(x)) x = f(x), joten se on sama funktio Funktion R(x) arvo on aina positiivinen, sillä x ja f(x) = y ovat positiivisia. Rajatulo M R(x) voi olla myös negatiivinen, sillä kokonaistulo voi sekä lisääntyä että vähentyä kysynnän kasvaessa. 58

60 Yleisesti lineaariselle kysyntäfunktiolle y = f(x) = ax + b pätee: Tuotannon kasvaessa kokonaistulo aluksi kasvaa ja myöhemmin vähenee. Sekä keskimääräinen tulo että rajatulo vähenevät tuotannon kasvaessa. Keskimääräinen tulo ja rajatulo leikkaavat y akselin samassa pisteessä ja keskimääräisen tulon funktion kulmakerroin on puolet rajatulon kulmakertoimesta. Kokonaistulofunktio on suurimmillaan kohdassa, jossa rajatulofunktio saa arvon 0 (ks. ääriarvot). Esimerkki Olkoon kysyntäfunktio y = x + 3, missä y on yksikköhinta ja x on kysynnän määrä. Määrää kokonaistulo, rajatulo ja keskimääräinen tulo. Milloin kokonaistulo on suurimmillaan? Ratkaisu: Nyt kokonaistulo on R(x) = x y = x( x + 3) = x 2 + 3x, rajatulo MR(x) = R (x) = 2x + 3 ja keskimääräinen tulo R(x) x = y = x + 3. Kokonaistulo on suurimmillaan, kun MR(x) = 2x + 3 = 0 eli x =

61 Jousto Funktion y = f(x) jousto Ef(x) kohdassa x on Ef(x) = f(x) f(x) x x = x f(x) f(x) x = x f(x) f (x) Jousto on funktion f(x) suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujan x suhteellisen muutoksen suhteen. Jousto mittaa, kuinka herkästi funktio f(x) reagoi muuttujan x muutoksiin. Jousto kertoo, kuinka monta prosenttia funktion arvo muuttuu, kun muuttujan arvo muuttuu yhden prosentin verran. Funktion arvo muuttuu suhteessa hitaammin, kun Ef(x) < 1. Joustoa käytetään tutkittaessa kysyntää, tarjontaa, kustannuksia ja tuottavuutta. Huomautus. Joustolla ei ole yksikköä! Kansantulo, kulutus ja säästäminen Kulutusfunktio C(x) ilmaisee käytettävissä olevan (kokonais)kansantulon x ja kansallisen (kokonais)kulutuksen välisen suhteen. Yksinkertaisissa malleissa kulutusfunktion C(x) oletetaan kasvavan, kun kansantulo kasvaa, ja vähenevän, kun kansantulo pienenee, kuitenkin siten, että kansantulon muuttuessa kulutus ei muutu yhtä paljon. Rajakulutusalttius tarkoittaa kulutusfunktion muutosnopeutta, kun kansantulo muuttuu. Rajakulutusalttius on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin yksi. Olkoon kulutusfunktio C = C(x), missä C(x) on kansallinen kulutus, x on kansantulo sekä C ja x samaa yksikköä. Rajakulutusalttius on dc(x) dx = C (x). Yksinkertaisissa malleissa käytettävissä oleva tulo = kulutus + säästäminen. Siis x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöt, kun kansantulo on x. 60

62 Siten säästämisfunktio S(x) = x C(x) ja rajasäästämisalttius S (x) = ds(x) dx = 1 C (x). Kansantuloanalyysissä investoinnit käsitetään pääoman muodostukseksi, eli I = I(x) = S(x) = x C(x), ja ne edustavat lisäystä reaalipääomaan. Investoinnin ja kulutuksen oletetaan olevan suhteessa toisiinsa siten, että tietty (rahamääräinen) lisäys investointeihin voi tuottaa rahamäärältään moninkertaisen lisäyksen kansantuloon. Täsmällinen ilmaisu tälle riippuvuudelle annetaan kertoimen k avulla. Tämä kerroin kuvaa suurimman mahdollisen tulonlisäyksen suhdetta sen aiheuttaneeseen investointilisäykseen. Merkitään k I = x. Siis k = x I = dx di = 1 di dx = 1 d(x C(x)) dx = 1 1 C (x) = 1 S (x) Esimerkki Olkoon kulutusfunktio C(x) = , 8x + 0, 5 x, missä x on kansantulo. Määrää säästämisfunktio S(x), rajakulutusalttius C (x) ja rajasäästämisalttius S (x) sekä kerroin k. Ratkaisu: Nyt säästämisfunktio S(x) = x C(x) = x (10 + 0, 8x + 0, 5 x) = , 2x 0, 5 x, rajakulutusalttius C (x) = 0, 8 + 0, x = 0, 8 + 0, 25 x, rajasäästämisalttius S (x) = 1 C (x) = 1 (0, , 25 ) = 0, 2 x x ja kerroin k k = 1 S (x) = 1 0, 2 0,25. x 61

63 15 Funktion tutkiminen derivaatan avulla 15.1 Funktion monotonisuus ja derivaatta Funktio f(x) on monotoninen välillä I, jos se on joko kasvava tai vähenevä välillä I. Funktio f(x) on aidosti monotoninen välillä I, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä välillä I. Monotonisuuden yhteys derivaattaan on seuraava: Lause Oletetaan, että funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva välillä I. Tällöin funktio f(x) on (i) kasvava välillä I, jos f (x) 0 kaikilla x I, (ii) aidosti kasvava välillä I, jos f (x) > 0 kaikilla x I, (iii) vähenevä välillä I, jos f (x) 0 kaikilla x I, (iv) aidosti vähenevä välillä I, jos f (x) < 0 kaikilla x I. (i) (ii) (iii) (iv) Esimerkki Onko funktio f(x) = x 5 + 5x 3 + 8x + 1 aidosti kasvava? 62

64 Esimerkki Milloin funktio f(x) = 3x 4 20x x 2 on kasvava? 15.2 Funktion ääriarvo Funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f suurin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f. Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f pienin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f. Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoa absoluuttiseksi minimiksi. Esimerkki Välillä [ 1, 1] funktion f(x) = 2x 1 pienin arvo on f( 1) = 3 ja suurin arvo on f(1) = 1. Esimerkki Funktion f(x) = x 2 pienin arvo R:ssä on f(0) = 0. Suurinta arvoa funktiolla ei ole. 63

65 Esimerkki Funktiolla f(x) = x 3 ei ole pienintä eikä suurinta arvoa R:ssä. Piste x 0 D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[. Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen maksimiarvo. Vastaavasti kohta x 0 D f on funktion f paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[. Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen minimiarvo. Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaaleiksi ääriarvoiksi. 64

66 15.3 Paikallisten ääriarvojen määrittäminen Lause Olkoon f(x) välillä I R jatkuva ja derivoituva funktio. Jos kohta x 0 I on funktion f(x) paikallinen ääriarvokohta, niin f (x 0 ) = 0. (KRP) Lauseen 15.2 mukaan siis jatkuvan ja derivoituvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät derivaatan f (x) nollakohdista. Derivaatan nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi. Lause 15.2 ei kuitenkaan päde kääntäen: Jos f (x 0 ) = 0, niin kriittinen piste x 0 ei ole välttämättä funktion f ääriarvokohta, vaan se voi olla myös ns. satulapiste. 65

67 Lause 15.3 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, derivaatan merkkikaavion käyttö). Olkoon funktio f(x) jatkuva ja derivoituva eräässä kohdan x 0 ympäristössä. Olkoon lisäksi f (x 0 ) = 0 eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta. Jos funktion f derivaatta muuttuu kohdassa x 0 (i) positiivisesta negatiiviseksi, kyseessä on paikallinen maksimikohta. (f muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi) (ii) negatiivisesta positiiviseksi, kyseessä on paikallinen minimikohta. (f muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi) Jos f (x) ei muuta merkkiään kohdassa x 0, niin funktiolla f(x) ei ole ääriarvokohtaa kohdassa x 0, vaikka f (x 0 ) = 0. Lause Jos funktion f(x) määrittelyjoukko on suljettu tai puoliavoin väli, niin paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä. Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x). x x Esimerkki Määritä funktion f(x) = x 4 2x 2 ääriarvot välillä [0, 3]. Esimerkki Etsi funktion f(x) = x 3 paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot. Esimerkki Määritä funktion f(x) = x 4 8x ääriarvot. 66

68 15.4 Kuperuus ja käännepisteet Lause Funktio f(x) on aidosti ylöspäin kupera välillä ]a, b[ derivaatta f (x) on aidosti vähenevä välillä ]a, b[ f (x) < 0 välillä ]a, b[ Lause Funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera välillä ]a, b[ derivaatta f (x) on aidosti kasvava välillä ]a, b[ f (x) > 0 välillä ]a, b[ Esimerkki Tutki funktion f(x) = x 3 + 2x 2 1 kuperuutta. 67

69 Funktion f(x) pistettä, jossa kuperuuden suunta muuttuu, sanotaan käännepisteeksi ja sitä vastaavaa muuttujan x arvoa käännekohdaksi. Jos funktio f on kahdesti derivoituva, niin käännekohtia ovat ne toisen derivaatan f (x) nollakohdat, joissa f (x) vaihtaa merkkiä: Jos f (x) muuttuu negatiivisesta positiiviseksi, niin funktio f muuttuu ylöspäin kuperasta alaspäin kuperaksi. Jos f (x) muuttuu positiivisesta negatiiviseksi, niin funktio f muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi Korkeammat derivaatat ja ääriarvo Lause Olkoon f(x) jatkuva ja derivoituva eräässä kohdan x 0 ympäristössä ja oletetaan, että x 0 on kriittinen piste eli että f (x 0 ) = 0. Tällöin 1) Jos f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta, 2) Jos f (x 0 ) > 0, niin x 0 on paikallinen minimikohta, 3) Jos f (x 0 ) = 0, niin x 0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste (ks. derivaatan merkkikaavio Lause 15.3 tai Lause 15.8) Esimerkki Määrää funktion f(x) = 3x 4 4x 3 36x ääriarvokohdat. 68

70 Lause Olkoon f(x) jatkuva funktio, joka on n kertaa derivoituva pisteessä x 0. Tällöin f(x 0 ) on paikallinen ääriarvo jos ja vain jos on olemassa sellainen parillinen kokonaisluku n, että f (k) (x 0 ) = 0 kaikilla k = 1, 2,..., n 1 ja f (n) (x 0 ) 0. Kyseessä on lisäksi paikallinen minimi, jos f (n) (x 0 ) > 0, ja paikallinen maksimi, jos f (n) (x 0 ) < 0. Esimerkki Määrää funktion f(x) = x 3 3 paikalliset ääriarvot. Esimerkki Määrää funktion f(x) = x 4 4 paikalliset ääriarvot. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. 69

71 16 Talousmatematiikkaa - Korkolaskenta 16.1 Prosenttilaskua Yksi prosentti on yksi sadasosa jostakin suureesta a eli 1% suureesta a = a = 0, 01 a ) p prosenttia luvusta a on p 100 a. 2) Jos luku a kasvaa p prosenttia (%), niin uusi arvo on a + p 100 a = (1 + p 100 ) a. 3) Jos luku a vähenee p prosenttia, niin uusi arvo on a p 100 a = (1 p 100 ) a. Esimerkki Paljonko 1500 euron tuote maksaa 15 % alennusmyynnissä? Vastaus: 1275 euroa. 4) Luku a on luvusta b a 100 %. b Esimerkki Montako prosenttia luku a on luvusta b, kun a) a = 15 ja b = 90, b) a = 90 ja b = 15? Vastaus: a) 16,7 % b) 600 %. 5) Jos a > b, niin luku a on suurempi kuin luku b. 6) Jos b > a, niin luku a on pienempi kuin luku b. a b b b a b 100 % 100 % 70

72 Esimerkki a) Kuinka monta prosenttia luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta prosenttia luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta prosenttia luku 20 on pienempi kuin 160? Vastaus: a) 700 % b) 85,7 % c) 87,5 % Esimerkki a) Mistä luvusta 24 on 32 %? b) Mitä lukua 80 on 20 % pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10 % pienempi kuin luku 30? e) Mikä luku on 32 % luvusta 24? Vastaus: a) 75 b) 100 c) 57,5 d) 27 e) 7, Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta tai annetusta rahapääomasta (luotosta tai talletuksesta). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka monta prosenttia pääoma kasvaa korkoa korkojakson aikana korkojakso korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per 1 kk, i per 2 kk Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan yhden korkojakson sisällä. Pääoma ajanhetkellä t on K t = K 0 (1 + it), (3) missä K 0 = alkupääoma eli pääoma ajanhetkellä t = 0, i = korkokanta, jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1). 71

73 Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. Esimerkki Talletetaan euroa 6 % vuosikorolla (6 % pa.). Määrää talletuksen arvo a) vuoden kuluttua. b) 8 kuukauden kuluttua. c) 16 kuukauden kuluttua. d) 16 kuukauden kuluttua ilman, että korko realisoidaan pääomaan korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) euroa c) euroa d) euroa Toimenpidettä, jossa määrätään pääoman kasvavia arvoja siirryttäessä ajassa eteenpäin, kutsutaan prolongoimiseksi. Sanotaan myös, että pääoma siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki Mikä on alkupääoman euroa arvo 10 kuukauden kuluttua, kun korkokanta on a) 8 % pa. b) 5 % ps. c) 5 % ps., mutta korkoa ei realisoida korkojakson lopussa. Vastaus: a) euroa b) euroa c) euroa Esimerkki Mikä korkokanta i pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa. Vastaus: 28 % pa. Esimerkki Missä ajassa pääoma kasvaa 8 %, kun korkokanta on a) 10 % pa. b) 5 % ps. Vastaus: a) 9,6 kk b) 9,4 kk 72

74 Virallinen diskonttaus Mitä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? Toimenpide on virallinen diskonttaus (pääoma siirretään ajassa taaksepäin). Virallinen diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (3), jolloin saadaan missä K 0 = K t 1 + it, (4) K 0 = pääoman K t diskontattu arvo eli nykyarvo, i = diskonttauskorkokanta, jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1). Kuten yksinkertainen korkolasku, kaavan (4) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. Esimerkki Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: ,94 euroa. Esimerkki Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Vastaus: ,41 euroa (diskontataan osissa). 73

75 16.3 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa yksinkertaisen korkolaskun yhtälön (3) mukaisesti. Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan ja seuraavassa korkojaksossa pääoma määräytyy tästä uudesta alkupääomasta jne. Näin edellisen korkojakson tuottama korko kasvaa korkoa seuraavalla jaksolla ja syntyy ns. koronkorko. Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta, alkupääoma on K 0 ja korkokanta on i. Tällöin K 1 = K 0 (1 + i) K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2 K 3 = K 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 3. K n = K 0 (1 + i) n. (pääoma 1. korkojakson lopussa) (pääoma 2. korkojakson lopussa) (pääoma 3. korkojakson lopussa) (pääoma n. korkojakson lopussa) Siis pääoma n:nnen korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n. (5) Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua. Yhtälön (5) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman arvo n korkojakson jälkeen, sanotaan jaksolliseksi prolongoimiseksi. Esimerkki Mihin arvoon euroa kasvaa 6 vuodessa, kun korkokanta on a) 4 % pa. b) 2 % ps. c) 1 % pq. d) aika on 6,5 vuotta ja korkokanta on 4 % pa. Vastaus: a) 1 265,32 euroa b) 1 268,24 euroa c) 1 269,73 euroa d) 1 290,63 euroa Esimerkki Millä korkokannoilla a) pa. b) ps. pääoma kolminkertaustuu 8 vuodessa? Vastaus: a) 14,7 % pa. b) 7,1 % ps. 74

76 Esimerkki Olkoon alkupääoma euroa ja korkokanta 4 % ps. Tilille halutaan loppupääomaksi euroa. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Vastaus: 6 vuotta 6 kuukautta ja 5 päivää. Jaksollinen diskonttaus Kun ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (5), niin saadaan missä K 0 = K n (1 + i) n, (6) K n = pääoman arvo n korkojakson jälkeen, i = korkokanta, n = kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Yhtälön (6) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman K n arvo n korkojaksoa ajassa taaksepäin, sanotaan jaksolliseksi diskonttaukseksi. Jaksollinen prolongointi ja jaksollinen diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki Loppupääomaksi halutaan euroa. Korkokanta on 4 % ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Vastaus: ,85 euroa 16.4 Korkokannat* Relatiiviset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Relatiiviset korkokannat eivät anna samaa tuottoa pääomalle samassa ajassa. 75

77 Konformiset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset, jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Olkoot i (per p) ja j (per q) konformiset korkokannat ja oletetaan, että np = mq, missä n on p-pituisten korkojaksojen lukumäärä ja m on q-pituisten korkojaksojen lukumäärä. Tällöin n = q. Koska korkokannat ovat konformiset, niin alkupääoma m p kasvaa molemmilla korkokannoilla saman verran ajassa np = mq. Näin ollen K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m (1 + i) n = (1 + j) m (1 + i) n m = 1 + j j = (1 + i) n m 1 = (1 + i) q p 1. Siispä j = (1 + i) q p 1. (7) Esimerkki Määritä korkokannan 7 % per 10 kk kanssa a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. Vastaus: a) 2,05 % pq. b) 2,1 % pq. Esimerkki Määritä korkokannalle 6 % pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. Vastaus: 2,96 % ps. 76

78 16.5 Jatkuva korko Miten korkolaskulle käy, jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Tällöin korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Jatkuva prolongointi missä K 0 = alkupääoma, K t = pääoman arvo ajanhetkellä t, K t = K 0 e it, (8) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6 % pa.), kulunut aika t =, t 0. d Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (8), jolloin K 0 = K t e it = K t e it. (9) Jatkuva prolongointi ja jatkuva diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3 % pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3 % pa. 8 vuoden kuluttua? Vastaus: 0,35 % 77

79 16.6 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n:n yhtä pitkän jakson ajan kunkin jakson lopussa toistuva maksu k. Määrätään maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä käyttäen koronkorkolaskua. Prolongoidaan maksuerät korkokannalla i per jakso. Tällöin 1. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 1, 2. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 2, 3. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 3, 4. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 4,. (n-3). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) 3, (n-2). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) 2, (n-1). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i), n. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k. Tämän maksusysteemin pääoma-arvo K n lopussa on missä luku (1 + i)n 1 i K n = k (1 + i)n 1, i on jaksollisten maksujen prolongointitekijä. Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) on missä (1 + i)n 1 i (1 + i) n K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i (1 + i) n, (10) on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. 78

80 Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Esimerkki Olkoon euroa vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) loppuarvo (12. vuoden lopussa), b) alkuarvo (1. vuoden alussa), kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: a) ,76 euroa b) ,51 euroa. Esimerkki Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo olisi euroa, kun korkokanta on 6 % pa? Vastaus: 47,59 euroa Annuiteettiperiaate Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtana on yhtälö (10). Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, maksuerä k on k = K 0 i (1 + i) n (1 + i) n 1. (11) Kaavaa (11) voidaan käyttää määrättäessä maksuerä k systeemille, jossa nimellisarvon K 0 suuruinen laina maksetaan takaisin eli kuoletetaan n:llä tasaerällä k tasavälein korkokannan ollessa i. Tasaerää k kutsutaan annuiteetiksi. Yleisesti tasaerää k kutsutaan kuoletukseksi ja se koostuu lainan lyhennyksestä ja korosta. Yleensä annuiteettiluottojen yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja. 79

81 Esimerkki Kuinka suuren lainan pankki voi asiakkaalle myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain euroa, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12 % pa. Vastaus: , euroa. Esimerkki Mikä on 12 vuodeksi annetun euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13 % pa. Vastaus: ,31 euroa. Esimerkki Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen tehtävän lainalle? Vastaus: 4 123,88 euroa Esimerkki Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14 % pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin annuiteetissa? Vastaus: Puolivuosittainen kuoletus on euroa. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Esimerkki Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14 % pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin suorituksessa? Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen

82 16.8 Investointilaskelmia Investoinnilla tarkoitetaan sijoitettujen varojen ja tuottojen muodostamaa kokonaisuutta. Investoinnin kannattavuutta voidaan tutkia eri menetelmillä: Efektiivisen korkokannan menetelmä Määritellään korkokanta i e, jolla tuottojen nykyarvo T NA on sama kuin kustannusten nykyarvo KNA. Investointi on kannattava, jos i e tavoitekorkokanta. Esimerkki Koneen hankintahinta on euroa ja arvioitu käyttöikä 4 vuotta. Vuosittainen investointituotto on euroa, käyttökustannukset euroa vuodessa ja jäännösarvo on euroa. Paljonko on efektiivinen korkokanta? 81

83 17 Talousmatematiikkaa - Indeksit 17.1 Keskiarvoista Olkoot x 1,..., x n reaalilukuja ja niiden painokertoimet v 1,..., v n positiivisia reaalilukuja sekä v = v v n. Aritmeettinen keskiarvo A = 1 n n x j = 1 n (x 1 + x x n ). j=1 Painotettu aritmeettinen keskiarvo A w = 1 n v v j x j = 1 v (v 1x 1 + v 2 x v n x n ), j=1 missä v j on luvun x j painokerroin. Geometrinen keskiarvo G = ( n ) 1/n x j = (x1 x 2... x n ) 1/n = n x 1 x 2... x n. j=1 Painotettu geometrinen keskiarvo G w = ( n j=1 x v ) j 1/v j = (x v 1 1 x v x vn n ) 1/v = v x v 1 1 x v x vn n. Esimerkki Laske lukujen 2, 2, 7 ja 1 painotettu aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo, kun painoina ovat 1, 4, 5 ja 2. 82

84 17.2 Indeksiluvun käsite Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen, eli muuttujan, kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan erikseen jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehitystä. Tilanteet voivat olla eri ajanhetkiä, henkilöryhmiä tms. Erilaisia indeksejä ovat esimerkiksi 1. hintaindeksi, joka mittaa hinnan muutoksia; 2. volyymi-indeksi, joka mittaa määrän muutoksia; 3. arvoindeksi, joka mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina). Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin perusajankohtaan nähden. Perusajankohdassa indeksi saa arvon 1. Tavallisesti indeksit ilmoitetaan prosentteina ja puhutaan indeksipisteistä. Tällöin perusajankohdan arvoa 1 vastaa indeksin pisteluku 100 (100 %). Esimerkki Suomen asuntotuotanto vuosina : Vuosi Valm. huoneistot Indeksi (1982=100) ,2 104,9 104,8 87,3 90,9 Indeksi (1982=1) 1 1,052 1,049 1,048 0,873 0, Indeksiluvun muodostaminen Vertaillaan jotain koko hyödykeryhmän yhteistä suuretta, esimerkiksi hinta (tai määrä) eri ajankohtina. Eri hyödykkeiden hintojen (tai määrien) muutokset yhdistetään koko ryhmän hintojen (tai määrien) muutosta kuvaavaksi indeksiksi käyttämällä painotuksia. Käytetään seuraavia merkintöjä: P 0t = ajanhetken t hintaindeksiluku Q 0t = ajanhetken t volyymi-indeksiluku p it = hyödykkeen i hinta hetkellä t q it = hyödykkeen i määrä (kulutus) hetkellä t Perusajankohta on t = 0. Lisäksi hyödykkeitä on n kappaletta ja ajanhetkiä on k tilannetta perusajankohdan jälkeen, eli i = 1,..., n ja t = 0, 1,..., k. 83

85 17.4 Laspeyresin indeksi Laspeyresin indeksi on eräs kokonaislukumallin indeksi, joka muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä ja hintoja sopivasti yhteen. Laspeyresin hintaindeksi Valitaan hyödykkeiden hintojen p j painoiksi hyödykkeiden perusajankohdan kulutuksen määrät q j0 : n p jt q j0 P0t L j=1 p 1t q 10 + p 2t q p nt q n0 = 100 = 100, (12) n p 10 q 10 + p 20 q p n0 q n0 p j0 q j0 missä j=1 P L 0t = Laspeyresin hintaindeksi hetkellä t p jt = hyödykkeen j hinta laskenta-ajankohtana t p j0 = hyödykkeen j hinta perusajankohtana t = 0 q j0 = hyödykkeen j kulutusmäärä perusajankohtana. Laspeyresin volyymi-indeksi Valitaan hyödykkeiden kulutusmäärien q j painoiksi hyödykkeiden perusajankohdan hinnat p j0 : n q jt p j0 Q L j=1 q 1t p 10 + q 2t p q nt p n0 0t = 100 = 100, (13) n q 10 p 10 + q 20 p q n0 p n0 q j0 p j0 missä j=1 Q L 0t = Laspeyresin volyymi-indeksi hetkellä t q jt = hyödykkeen j kulutusmäärä laskenta-ajankohtana t 84

86 Esimerkki Määrää Laspeyresin hinta- ja volyymi-indeksiluvut vuodelle 2008 käyttäen perusajankohtana vuotta Hyödyke Yksikkö Hinta 2003 Hinta 2008 Määrä 2003 Määrä 2008 p 0 p 1 q 0 q 1 Hyödyke 1 1 litra 3,00 3, Hyödyke 2 2,5 kg 7,05 11, Hyödyke 3 1 kg 7,96 8, Hyödyke 4 1 kg 13,49 14, Hyödyke 5 0,5 kg 16,46 17, Kuluttajahintaindeksi (2010 = 100) Kuluttajahintaindeksi mittaa yksityisessä kulutuksessa käytettävien tavaroiden ja palveluiden hintakehitystä kahden ajankohdan välillä koko yksityisessä kulutuksessa (kokonaisindeksi) ja erikseen kulutuksen eri pääryhmissä. Indeksin pisteluvut lasketaan kuukausittain kullekin pääryhmälle Laspeyresin hintaindeksikaavalla ja nämä yhdistetään kokonaisindeksiin painotetun keskiarvon menetelmällä. Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti, inflaatioprosentti, on maassa vallitsevan keskimääräisen inflaation mittari. 85

87 Kuluttajahintaindeksin rakenne Kuluttajahintaindeksi lasketaan menetelmällä, jossa eri hyödykkeiden hinnat painotetaan yhteen niiden kulutusosuuksilla. Laskemisessa käytetään Laspeyresin hintaindeksikaavaa n p jt q j0 missä P L 0t = 100 P L 0t = indeksi hetkellä t j=1, (14) n p j0 q j0 j=1 p jt = hyödykkeen j hinta laskenta-ajankohtana t p j0 = hyödykkeen j hinta perusajankohtana q j0 = hyödykkeen j kulutusmäärä perusajankohtana. Laspeyresin indeksikaava tässä muodossa edellyttää tietoa hyödykkeiden kulutusmääristä, mutta käytännössä tämän tiedon saaminen ei ole mahdollista. Sen sijaan tieto kotitalouksien eri hyödykkeisiin käyttämistä rahamääristä on saatavissa. Käytännön indeksilaskennassa käytetäänkin kaavasta (14) muokattua versiota: missä P L 0t = 100 n j=1 p j0 q j0 n p j0 q j0 j=1 p jt p j0, (15) p j0 q j0 = hyödykkeeseen j kulutettu rahamäärä perusajankohtana n p j0 q j0 = kaikkiin hyödykkeisiin kulutettu rahamäärä perusajankohtana j=1 p jt p j0 = hyödykkeen j laskenta-ajankohdan t ja perusajankohdan välinen hintasuhde. 86

88 Inflaatioprosentti Inflaatioprosentti on kuluttajahintaindeksin muutosprosentti. Olkoot t ja t kaksi ajanhetkeä sekä P t ja P t näitä vastaavat kuluttajahintaindeksit. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P t P t = P t P t 1. (16) Esimerkki Laske inflaatioprosentti vuosien 2011 ja 2013 välille, kun perusvuotena on vuosi