Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikkaa kauppatieteilijöille P"

Transkriptio

1 Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2018

2 Sisältö 1 Perusteita Lukujoukot Merkintöjä Reaalilukujen laskutoimitukset Rationaalilukujen laskutoimitukset Potenssit Itseisarvo Juuret Ääretön Funktiot Funktion määritelmä Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Funktion kasvavuus ja vähenevyys Funktion kuperuus Polynomifunktiot Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen yhtälö Ensimmäisen asteen epäyhtälö Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen yhtälö Toisen asteen epäyhtälö Korkeamman asteen polynomifunktio Korkeamman asteen yhtälö Korkeamman asteen epäyhtälö Funktioiden kuvaajien yhteiset pisteet Polynomifunktion sovelluksia taloustieteessä* Rationaalifunktio Murtoyhtälö Murtoepäyhtälö Itseisarvofunktio Itseisarvoyhtälö Itseisarvoepäyhtälö

3 6 Neliöjuurifunktio Neliöjuuriyhtälö Neliöjuuriepäyhtälö Potenssifunktio Potenssiyhtälö Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion ominaisuuksia Eksponenttifunktion sovelluksia taloustieteessä* Logaritmifunktio Käänteisfunktio Käänteisfunktio Käänteisfunktion sovellus taloustieteessä* Raja-arvo Funktion raja-arvo Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio Rationaalifunktio Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Eksponenttifunktio raja-arvotehtävissä Funktion jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Suljetulla välillä jatkuva funktio Sarjateoria Derivaatta Derivaatan määritelmä Derivaattafunktio Derivoimissääntöjä Korkeammat derivaatat L Hospitalin sääntö Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia* Kustannusfunktio

4 Tulofunktio Funktion tutkiminen derivaatan avulla Funktion monotonisuus ja derivaatta Funktion kuperuus ja toinen derivaatta Funktion ääriarvo Absoluuttiset ääriarvot ja paikalliset ääriarvot Paikallisten ääriarvokohtien määrittäminen Paikallisten ääriarvokohtien laatu Talousmatematiikkaa - Korkolaskenta Prosenttilaskua Korkolasku ja korkokanta Yksinkertainen korkolasku Koronkorko Relatiivinen ja Konforminen korkokanta* Jatkuva korko Jaksolliset suoritukset Annuiteettiperiaate Talousmatematiikkaa - Indeksit Keskiarvoista Indeksiluvun käsite Indeksiluvun muodostaminen Laspeyresin indeksi Kuluttajahintaindeksi (2010 = 100)

5 1 Perusteita 1.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Positiivisten kokonaislukujen joukko Z + = {1, 2,...} Rationaalilukujen joukko Q = { m m, n Z, n 0} n Kun täydennetään rationaalilukujen joukkoa Q vielä irrationaaliluvuilla (luvuilla, joita ei voida esittää kahden kokonaisluvun osamääränä), saadaan reaalilukujen joukko R. 1.2 Merkintöjä = on olemassa = ei ole olemassa = kaikilla, aina kun = ääretön = miinus ääretön = implikaatio (jos..., niin... tai... seuraa...) = ekvivalenssi (jos ja vain jos tai yhtäpitävää) x A = alkio x kuuluu joukkoon A x / A = alkio x ei kuulu joukkoon A A B = joukko A sisältyy joukkoon B eli joukko A on joukon B osajoukko A B = joukko A on joukon B aito osajoukko {x A P (x) on tosi} = niiden alkioiden x A joukko, jotka toteuttavat ehdon P = tai : Riittää kun kumpi tahansa ehdoista on voimassa = ja : Molempien ehtojen oltava voimassa yhtä aikaa A B = {x x A tai x B} = joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A B = {x x A ja x B} = joukkojen A ja B leikkaus 4

6 Reaaliakselin välit: Olkoot a, b R ja a < b. Reaaliakselin väleille käytetään seuraavia merkintöjä: ]a, b[ = {x R a < x < b} avoin väli [a, b] = {x R a x b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} ]a, [= {x R x > a} [a, [= {x R x a} ], a[= {x R x < a} suljettu väli puoliavoimet välit äärettömät välit ], a] = {x R x a} ], [= {x R < x < } = R 1.3 Reaalilukujen laskutoimitukset Olkoot a, b, c R. Reaalilukujen yhteen- ja kertolaskulla on voimassa seuraavat laskulait: kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus a + b = b + a, ab = ba assosiatiivisuus eli liitännäisyys distributiivisuus eli osittelulaki (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc 5

7 Lisäksi epäyhtälöille pätevät seuraavat ominaisuudet: a < b a + c < b + c aina, kun c R a < b ac < bc, kun c > 0 a < b ac > bc, kun c < 0 a < b ja b < c a < c 1.4 Rationaalilukujen laskutoimitukset Olkoot a, b, c, d, k Z, missä b, d, k 0. Rationaaliluvuille pätevät seuraavat laskutoimitukset: laventaminen a b = ka kb supistaminen ka kb = a b yhteenlasku (lavennus samannimisiksi) a b + c d = ad bd + bc bd vähennyslasku (lavennus samannimisiksi) = ad + bc bd kertolasku jakolasku a b c d = ad bd bc bd a b c d = ac bd = ad bc bd a b : c d = a b d c = ad bc Lisäksi, jos r R, niin r a b = ra b. 6

8 Esimerkki 1.1. a) d) g) : x x 1 b) 2 2 ( 3 e) ) 3 h) 1 x : x 1 c) f) x x ( 1 i) x x + 1 ) y 1.5 Potenssit Olkoon a reaaliluku ja n Z +. Tällöin määritellään a n = a a... a, missä tekijöitä a on n kappaletta. Siis a 1 = a ja a n+1 = a n a. Lisäksi määritellään a 0 = 1 ja a n = 1 a n. Lukua a n, missä n Z, sanotaan luvun a n:nneksi potenssiksi. Olkoot a, b R ja m, n Z. Potenssille pätevät seuraavat laskusäännöt: 1) a m a n = a m+n 2) am a n = am n 3) (a m ) n = a m n 4) a n b n = (a b) n ( 5) an a ) n ( a ) ( n n b b = 6) = n b b a) 7) 1 n = 1 Lisäksi yhtälöille ja epäyhtälöille pätevät seuraavat ominaisuudet: 8) Jos 0 a, b, niin a = b a 2 = b 2. 9) Jos 0 a, b, niin a < b a 2 < b 2. 10) Jos 0 a, b ja n Z +, niin a = b a n = b n. 11) Jos 0 a, b ja n Z +, niin a < b a n < b n. Huomautus. Jos n on parillinen, niin aina a n 0. 7

9 Hyödyllisiä kaavoja: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b Itseisarvo Olkoon a R. Luvun a itseisarvo on { a, kun a 0 a = a, kun a < 0. Nyt a 0 kaikilla a R. Jos x = a, missä a 0, niin x = a tai x = a. 1.7 Juuret Olkoon nyt a R ja n Z +. Yhtälön x n = a ratkaisua sanotaan luvun a n:nneksi juureksi ja merkitään: x = n a. Jos yhtälöllä x n = a on kaksi ratkaisua, n niin luvuksi a valitaan positiivinen ratkaisu. n a: mikä luku n:teen korotettuna antaa luvun a? Siis jos x = n a, niin x n = a. Lisäksi määritellään a 1 n = n a ja a m n = ( n a) m. Huomautus. Jos x R ja n Z + on parillinen, niin n x n = x. Erityisesti x2 = x. Huomautus. Jos n on parillinen, niin n a on mahdollinen määrittää vain silloin kun a 0. 8

10 1.8 Ääretön Symbolilla (ääretön) tarkoitetaan suuretta, joka kasvaa rajatta. Vastaavasti (miinus ääretön) tarkoittaa suuretta, joka vähenee rajatta. Symbolille pätevät seuraavat laskusäännöt: a) + =, ( ) + ( ) = b) ± r =, ± r =, kun r R c) =, ( ) =, ( ) ( ) = d) r = {, jos r > 0, jos r < 0 e) r = {, jos r > 0, jos r < 0 f) r = r = 0, kun r R g) r =, kun r > 0 r = 0, kun r < 0 h) ( ) r =, kun r Z + on parillinen ( ) r =, kun r Z + on pariton ( ) r = 0, kun r Z. Seuraavat muodot eivät ole määriteltyjä:, 0,, 0, 0,

11 2 Funktiot 2.1 Funktion määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Funktio f joukolta X joukolle Y (merkitään f : X Y ) on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y. Joukko X = D f on funktion f määrittelyjoukko, eli joukko, jossa funktion arvo voidaan määrittää. Joukko Y on funktion f maalijoukko, joka sisältää mm. funktion arvot. Lisäksi x on muuttuja, joka edustaa määrittelyjoukon alkioita. Merkintä y = f(x) tarkoittaa, että y on funktion f arvo muuttujan arvolla x. Funktion f arvojen joukkoa sanotaan funktion f arvojoukoksi. R f = {f(x) x D f } Y 2.2 Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Joukon B f = {(x, y) y = f(x), x D f } kuvaa xy koordinaatistossa sanotaan funktion f kuvaajaksi. Puhutaan myös käyrästä y = f(x). 10

12 Esimerkki 2.1. Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. Vakiofunktio f(x) = c D f = R x R, c R vakio R f = {c} 2. Identtinen funktio f(x) = x D f = R x R R f = R 3. Itseisarvofunktio { x, kun x 0 f(x) = x = x, kun x < 0 D f = R R f = [0, [ 11

13 2.3 Funktion kasvavuus ja vähenevyys Olkoon I R väli ja x 1, x 2 I. Reaalifunktio f on välillä I kasvava, jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, aidosti kasvava, jos f(x 1 ) < f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, vähenevä, jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2, aidosti vähenevä, jos f(x 1 ) > f(x 2 ) aina, kun x 1 < x 2. Funktio f on välillä I monotoninen, jos se on tällä välillä kasvava tai vähenevä ja aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. kasvava: aidosti kasvava: vähenevä: aidosti vähenevä: 12

14 2.4 Funktion kuperuus Funktio f on alaspäin kupera eli konveksi, jos jokainen käyrän y = f(x) kahden pisteen välinen jana on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) yläpuolella tai käyrällä. Vastaavasti funktio f on ylöspäin kupera eli konkaavi, jos jokainen käyrän y = f(x) kahden pisteen välinen jana on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) alapuolella tai käyrällä. 13

15 3 Polynomifunktiot Olkoon n N. Funktiota f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, missä a i R vakioita ja a n 0, sanotaan n:nnen asteen polynomifunktioksi. Polynomifunktion f(x) määrittelyjoukko D f = R ellei muuta sovita. 3.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio on muotoa y = f(x) = ax + b, missä a, b R, a 0. Vakiota a kutsutaan kulmakertoimeksi ja vakiota b vakiotermiksi. Jos a = 0, niin funktio f on vakiofunktio ja f(x) = b kaikilla x R. Lineaarisen funktion f(x) = ax + b kuvaaja on suora: a > 0 : a < 0 : a = 0 : Jos a > 0, niin f(x) = ax + b on aidosti kasvava. Tällöin funktion f kuvaaja on nouseva suora. Jos a < 0, niin f(x) = ax + b on aidosti vähenevä. Tällöin funktion f kuvaaja on laskeva suora. Jos a = 0, niin vakiofunktio f(x) = b on sekä kasvava että vähenevä. Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora. 14

16 Kulmakerroin: Tarkastellaan funktiota f(x) = ax + b. Olkoot x 1, x 2 R ja x 1 < x 2 sekä y 1 = f(x 1 ) ja y 2 = f(x 2 ). Tällöin a = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1. Siis suoran kulmakerroin a on funktion arvon muutos jaettuna muuttajan arvon muutoksella. Kulmakerroin ilmaisee funktion kasvunopeuden ja suoran nousujyrkkyyden Ensimmäisen asteen yhtälö Normaalimuoto: Ratkaisu: ax + b = 0 ax + b = 0 ax = b x = b a + ( b) : a 0 Yhtälön ax + b = 0 ratkaisu on funktion f(x) = ax + b nollakohta eli juuri. Geometrisesti nollakohta on piste x 0 = b, jossa funktion f kuvaaja eli suora a y = ax + b leikkaa x-akselin. a > 0 : a < 0 : 15

17 3.1.2 Ensimmäisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax + b > 0 (,, <) Ratkaisu: a > 0: ax + b > 0 ax > b + ( b) : a x > b a a < 0: ax + b > 0 ax > b + ( b) : a x < b a 16

18 3.2 Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = ax 2 + bx + c, missä a, b, c R ja a 0. Funktion f(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli: a > 0 : a < 0 : Käyrä f(x) = ax 2 + bx + c on ylöspäin aukeava paraabeli, kun a > 0, ja alaspäin aukeava paraabeli, kun a < 0. 17

19 3.2.1 Toisen asteen yhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = b ± b 2 4ac 2a Yhtälön ax 2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat polynomifunktion f(x) = ax 2 + bx + c nollakohtia. Yhtälön ratkaisujen lukumäärä riippuu luvusta D = b 2 4ac, jota kutsutaan diskriminantiksi. Jos (i) D > 0, niin yhtälöllä on 2 erisuurta reaaliratkaisua (nollakohtaa, juurta) (ii) D = 0, niin yhtälöllä on 1 reaaliratkaisu (kaksinkertainen nollakohta) (iii) D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua (kompleksilukujuuret, käsitellään toisessa kurssissa). Tekijöihinjako Olkoot x 1 ja x 2 polynomin f(x) = ax 2 + bx + c nollakohdat. Tällöin polynomi f(x) voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ). Jos x 1 on kaksinkertainen nollakohta, niin ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 1 ) = a(x x 1 ) 2. Jos reaalisia nollakohtia ei ole, niin polynomi f(x) ei jakaannu reaalisiin 1. asteen tekijöihin 18

20 3.2.2 Toisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c > 0 (,, <) Ratkaisumenettely: (i) Etsitään lausekkeen ax 2 + bx + c nollakohdat eli ratkaistaan yhtälö ax 2 + bx + c = 0 (1) (ii) Päätellään epäyhtälön ratkaisu funktion f(x) = ax 2 + bx + c kuvaajaparaabelin avulla. Esimerkki 3.1. Ratkaise epäyhtälö x 2 + x Korkeamman asteen polynomifunktio Olkoon n 3. Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, missä a i R kaikilla 0 i n ja a n 0. Esimerkiksi kolmannen asteen polynomifunktio on muotoa f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, missä a, b, c, d R ja a 0. 19

21 Funktion f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d kuvaaja: a > 0 : a < 0 : Korkeamman asteen yhtälö Normaalimuoto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 (2) Yhtälön ratkaisut ovat polynomifunktion p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 nollakohtia. Astetta n olevalla polynomilla voi olla korkeintaan n nollakohtaa. Mikäli kertoimet a i ovat kokonaislukuja kaikilla 0 i n, niin yhtälön (2) mahdollisia rationaalilukuratkaisuja eli rationaalijuuria ovat luvut p, missä p on q kertoimen a 0 tekijä ja q on kertoimen a n tekijä. 20

22 Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen: Tarkastellaan yhtälöä p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, missä polynomin p(x) kertoimet a i ovat kokonaislukuja kaikilla 0 i n ja a n 0. (i) Etsitään edellä mainitut polynomin p(x) mahdolliset rationaaliset nollakohdat. (ii) Tutkitaan, onko jokin niistä polynomin p(x) todellinen nollakohta sijoittamalla mahdolliset nollakohdat yhtälöön. (iii) Oletetaan nyt, että x 0 on polynomin p(x) todellinen nollakohta. Tällöin 1. asteen polynomi x x 0 on polynomin p(x) tekijä. (iv) Jaetaan polynomi p(x) tekijällä x x 0, jolloin saadaan p(x) = (x x 0 )q(x), missä q(x) on astetta n 1 oleva polynomi. (v) Nyt tulon nollasäännön mukaan p(x) = (x x 0 ) q(x) = 0 x x 0 = 0 tai q(x) = 0. (vi) Jatketaan ratkaisemalla yhtälö q(x) = 0 samalla tavalla. Esimerkki x = 3x 2 + 5x Korkeamman asteen epäyhtälö Normaalimuoto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 > 0 (,, <) Ratkaisumenettely: (i) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli 1. ja 2. asteen tekijöihin. (ii) Päätellään tekijöiden merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki 3.3. x x 2 + 5x 21

23 3.4 Funktioiden kuvaajien yhteiset pisteet Ratkaistava milloin funktiot f(x) ja g(x) saavat saman arvon eli milloin niiden kuvaajat leikkaavat. Tällöin on ratkaistava yhtälöpari Yhtälöparin ratkaiseminen: 1) Asetetaan f(x) = g(x). { y = f(x) y = g(x) 2) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. 3) Sijoitetaan saatu muuttujan x arvo (arvot) toiseen alkuperäisistä funktioista, jolloin saadaan leikkauspistettä vastaava funktion arvo y (arvot). Esimerkki 3.4. Määritä käyrien x 2 y + 1 = 0 ja y 2x = 0 yhteiset pisteet. 3.5 Polynomifunktion sovelluksia taloustieteessä* Sovellus 1: Olkoon P tavaran hinta. Kuvatkoon D = ap + b kysynnän määrää ja S = cp + d tarjonnan määrää hinnalla P, P > 0. Tällöin on oltava: (i) b > 0, jotta kysyntä hinnalla 0 olisi positiivinen. (ii) a < 0, jotta kysyntä hinnan noustessa pienenisi. (iii) d 0, jotta tarjonta olisi negatiivinen tai nolla hinnalla 0. (iv) c > 0, jotta tarjonta hinnan noustessa kasvaisi. 22

24 Kysynnän ja tarjonnan tasapaino: Tasapainossa D = S { D = ap + b S = cp + d ap + b = cp + d (a c)p = d b P = d b a c D = a d b a c + b (hinta, jolla kysyntä ja tarjonta ovat tasapainossa) (kysynnän ja tarjonnan määrä tasapainossa) 23

25 Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärän x kokonaistuotantokustannukset C(x) = ax 2 + bx + c, missä a, b ja c ovat positiivisia vakioita. Jos tuotetta myydään yksikköhintaan P, niin kokonaistuotto R(x) = P x. Voitto Π(x) on tällöin Π(x) = R(x) C(x) = P x (ax 2 + bx + c) = ax 2 + (P b)x c. Laskemalla suoran R(x) ja paraabelin C(x) leikkauspisteet, saadaan ne tuotantomäärän x arvot, joilla voitto Π(x) = 0 eli kokonaistuotto = kokonaistuotantokustannukset. Siis { R(x) = P x C(x) = ax 2 + bx + c Koska voiton Π(x) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, voitto on positiivinen leikkauspisteiden välisillä tuotannon määrän arvoilla. 24

26 Maksimivoitto Π max saavutetaan paraabelin huippua vastaavalla tuotannonmäärän arvolla. 25

27 4 Rationaalifunktio Olkoot p(x) ja q(x) polynomeja. Funktiota f(x) = p(x) q(x) sanotaan rationaalifunktioksi. Rationaalifunktion määrittelyjoukko on D f = {x R q(x) 0}. 4.1 Murtoyhtälö Normaalimuoto: p(x) q(x) = 0 Jotta yhtälö on määritelty, on toteuduttava ehto q(x) 0. Normaalimuodon ratkaisumenettely: p(x) q(x) = 0 p(x) = 0 Esimerkki x 2x + 1 = 3 Toinen ratkaisuvaihtoehto: Mikäli ratkaistava yhtälö on muotoa p(x) q(x) = r(x), niin se voidaan kertoa puolittain polynomilla q(x). Tällöin saadaan yhtälö p(x) = r(x)q(x), joka on ratkaistavissa edellisen luvun keinoin. Tässäkin tapauksessa on muistettava ehto q(x) 0. 26

28 4.2 Murtoepäyhtälö Normaalimuoto: p(x) q(x) > 0 (<,, ) Ehto: q(x) 0. Normaalimuodon ratkaisumenettely: (i) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä 1. ja 2. asteen tekijöihin. (ii) Päätellään merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki x 2x Toinen ratkaisuvaihtoehto: Vastaavasti kuin murtoyhtälön tapauksessa epäyhtälö p(x) q(x) < r(x) voidaan kertoa puolittain polynomilla q(x). Tällöin on kuitenkin selvitettävä polynomin q(x) merkki muuttujan x eri arvoilla, jotta voidaan huomioida mahdollinen epäyhtälömerkin vaihtuminen. Tätä varten tehdään osavälijako eli ratkaistaan epäyhtälö erikseen niissä yhtälön määrittelyjoukon alueissa, joissa polynomilla q(x) on eri merkki. 27

29 5 Itseisarvofunktio Jos a R, niin Vastaavasti f(x) = { a, kun a 0 a = a, kun a < 0. { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Tällä kurssilla itseisarvofunktioksi sanotaan funktiota, jonka lauseke sisältää itseisarvoja. Itseisarvofunktion määrittelyjoukko on D f = R, ellei muuta sovita. Huomautus. f(x) 0 kaikilla x R. 5.1 Itseisarvoyhtälö Ratkaisumenettely: Itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi itseisarvomerkit poistetaan tutkimalla itseisarvon sisällä olevan lausekkeen positiivisuutta/negatiivisuutta määrittelyjoukossa ja tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö. Tässä käytetään osavälijakoa eli ratkaistaan yhtälö erikseen jokaisessa yhtälön määrittelyjoukon alueessa, joissa itseisarvot poistetaan eri tavalla. Osaväleillä itseisarvojen poistamiseen käytetään sääntöä f(x) = { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Esimerkki 5.1. x 3 + x + 2 = 10 28

30 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoyhtälön ratkaisussa: 1. f(x) = g(x) f(x) = g(x) tai f(x) = g(x) f(x) = a tai f(x) = a, kun a > 0 2. f(x) = a f(x) = 0, kun a = 0 ei ratkaisua, kun a < 0 Varmin tapa: Jos yhtälössä useita itseisarvolausekkeita, niin poistetaan itseisarvot aina tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen eli tehdään osavälijako. Esimerkki 5.2. x 1 = x Itseisarvoepäyhtälö Ratkaisumenettely: Tehdään osavälijako, jonka jälkeen poistetaan itseisarvomerkit ja ratkaistaan saatu epäyhtälö osavälijaon mukaisissa alueissa. Osaväleillä itseisarvojen poistamiseen käytetään sääntöä f(x) = { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Esimerkki 5.3. x 3 + x + 2 < 10 Esimerkki 5.4. x 6 3 2x Esimerkki 5.5. x 6 x 1 Esimerkki 5.6. x 6 < 3 2x 29

31 6 Neliöjuurifunktio Tällä kurssilla neliöjuurifunktioksi sanotaan funktiota, jonka lauseke sisältää termin f(x), missä f(x) on reaalifunktio. Funktion määrittelyjoukon määrää ehto f(x) 0. Huomautus. 1. f(x) 0 aina, kun f(x) f(x) ei ole olemassa, kun f(x) < ( f(x) ) 2 = f(x). 6.1 Neliöjuuriyhtälö Perusmuoto: f(x) = g(x). Jotta reaalinen ratkaisu on olemassa, on oltava voimassa ehdot { f(x) 0 g(x) 0. Tällöin yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen, jolloin saadaan f(x) = g(x) ( ) 2 f(x) = g(x) 2. Ratkaisumenettely neliöjuurta sisältävissä yhtälöissä: (i) Siirretään termejä sopivasti (jotta saadaan perusmuoto). (ii) Tarkastellaan ehdot. (iii) Korotetaan puolittain toiseen. (iv) Ratkaistaan yhtälö. (v) Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisut alkuperäisen yhtälön. (Tarpeen, jos ehtoja ei ole huomioitu.) Esimerkki x x 1 = 0 30

32 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö Tapaus 1: Perusmuoto: f(x) g(x) [<] Ehdot: { f(x) 0 Ratkaisu: g(x) 0 [>] f(x) g(x) ( ) 2 f(x) g(x) 2... Tapaus 2: Perusmuoto: Ehto: Osavälijako: f(x) g(x) [>] f(x) 0 1 o g(x) 0 2 o g(x) < 0 Ratkaisu: 1 o g(x) 0 f(x) g(x) ( ) 2 f(x) g(x) o g(x) < 0 Tällä osavälillä ehtojen ollessa voimassa, epäyhtälö f(x) g(x) toteutuu, sillä f(x) 0. 31

33 7 Potenssifunktio Funktiota f(x) = x r, missä r R ja r 0, sanotaan potenssifunktioksi. Potenssifunktion määrittelyjoukko riippuu eksponentista r ja on ainakin R +. Esimerkki 7.1. a) f(x) = x 3 b) f(x) = x 1 2 c) f(x) = x 1 2 d) f(x) = x 2 3 e) f(x) = x 3 f) f(x) = x Potenssiyhtälö Eri tilanteita: 1. Kun p on parillinen positiivinen kokonaisluku ja a 0, niin x p = a x = ± p a x = p a tai x = p a. 2. Kun p on parillinen positiivinen kokonaisluku ja a < 0, niin yhtälöllä x p = a ei ole ratkaisua. 3. Kun p on pariton positiivinen kokonaisluku ja a R, niin 4. Kun r 0, a > 0 ja x > 0, niin Huomautus. Jos p Z +, niin x p = a x = p a. x r = a x = a 1 r. x p = a 1 x p = a xp = 1 a. Näin ollen yhtälön x p 1 3. = a ratkaiseminen palautuu edellä esitettyihin kohtiin Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a) x 2 = 5 b) x 2 = 3 c) x 2 = 4 d) x 3 = 5 e) x 3 = 3 f) x 2 = 2 g) x 4 = 5 h) x 4 = 3 32

34 8 Eksponenttifunktio Funktiota y = f(x) = a x, missä a > 0 ja a 1, sanotaan a kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on D f = R ja arvojoukko R f = R Eksponenttifunktion ominaisuuksia Funktio f(x) = a x 0 < a < 1. on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun a > 1 : 0 < a < 1 : Olkoot x, y R. Eksponenttifunktiolle pätevät kappaleessa 1.5 esitellyt potenssin laskusäännöt: 1) a x a y = a x+y 2) ax a = y ax y 3) (a x ) y = a x y 4) a x b x = (a b) x 5) ax b x = ( a b ) x 6) ( a b 7) a 0 = 1 8) 1 x = 1 ) x = ( b a) x 33

35 Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, niin a x 1 = a x 2 x 1 = x 2. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1, niin a x 1 < a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1. Näin ollen a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) ja a f(x) < a g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 f(x) > g(x), kun 0 < a < 1. Erityisen tärkeä on e kantainen eksponenttifunktio f(x) = e x, jonka kantaluku on Neperin luku e 2, 718. Esimerkki 8.1. Ratkaise yhtälöt a) 4 4 x = 1 8 b) 81 2x = Esimerkki 8.2. Ratkaise epäyhtälöt a) 2 2 x < 1 4 b) 3 x 3 3 x + 2 > Eksponenttifunktion sovelluksia taloustieteessä* Koronkorko: Jos korkokanta on 100 i prosenttia vuodessa ja korko lisätään alkupääomaan x k kertaa vuodessa, niin n vuoden kuluttua pääoma on ( y = x 1 + i ) nk. k Kun k on riittävän suuri, y = xe in. 34

36 Kasvufunktiot: Kasvufunktioilla voidaan esittää esimerkiksi: yrityksen työntekijöiden lukumäärä vuotuisen myynnin funktiona käytetyn pääoman määrä ajan funktiona myynti mainoskulujen funktiona käyttökustannukset koneen käyttöajan funktiona myynnin määrä markkinoillaolon funktiona Kasvufunktiot ovat kasvavia funktioita. 1 o Biologista kasvua kuvaavat funktiot Monia biologisen kasvun lakeja voidaan esittää yhtälöllä N(t) = N 0 R t, missä N(t) = populaation jäsenten lukumäärä ajanhetkellä t N 0 = populaation jäsenten lukumäärä ajanhetkellä t = 0 (eli alussa) R = kasvun aste (> 0) Oletus: Jokainen populaation jäsen lisää populaation määrää R 1 jäsenellä aikayksikössä ja kukaan jäsenistä ei kuole. Edellistä funktiota voidaan jossain määrin käyttää kuvaamaan nopeasti kehittyvän yrityksen kasvun alkua. Esimerkki 8.3. Yhtiö aloittaa toimintansa 5:llä työntekijällä. Kunkin vuoden lopussa jokainen työntekijä palkkaa 3 apulaista. Kuinka monta työntekijää yhtiössä on 10 vuoden kuluttua, jos kukaan ei poistu yhtiön palveluksesta? Ratkaisu: Nyt N 0 = 5, t = 10 ja R 1 = 3 eli R = 4, joten N(10) = =

37 2 o Gompertzin funktiot Gompertzin funktiot ovat muotoa missä R = kasvun aste (> 0) t = aikamuuttuja N(t) = ca Rt, a = alkupopulaation suhteellinen osuus populaation ylärajasta 0 < a < 1 c = populaation yläraja (c > 0) Kun t = 0, niin N(0) = ca. Esimerkki 8.4. Yrityksen työntekijöiden lukumäärän kehitystä kuvataan funktiolla N(t) = 200 (0, 04) 0,5t, missä N(t) on työntekijöiden lukumäärä t toimintavuoden jälkeen. Kuinka monta työntekijää yhtiössä oli alunperin? Entä 3 vuoden jälkeen? Kuinka paljon henkilökuntaa yhtiössä on yrityksen ollessa suurimmillaan? Ratkaisu: Työntekijöitä alunperin: Työntekijöitä 3 vuoden jälkeen: N(0) = 200 (0, 04) 0,50 = 8 N(3) = 200 (0, 04) 0,53 = 133, Työntekijöitä yrityksen ollessa suurimmillaan: Koska populaation yläraja c = 200, niin työtekijöitä on enimmillään o Oppimisfunktiot Psykologit käyttävät funkiota y = c ae kt kuvaamaan oppimista. Tässä t on aika ja c, a sekä k ovat positiivisia vakioita. Edellä mainittua muotoa olevia funktioita voidaan käyttää esittämään kustannusja tuotantofunktioita. 36

38 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yhtälöä x = a y, missä a > 0 ja a 1. Siten y on se potenssi, johon luku a on korotettava, jotta saadaan x. Luku y määritellään luvun x a kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään y = log a x. Siis y = log a x x = a y. Laskettaessa lukua log a x on siis selvitettävä, mihin potenssiin luku a on korotettava, jotta saadaan luku x. Funktiota f : R + R, f(x) = log a x, missä a > 0 ja a 1, sanotaan a kantaiseksi logaritmifunktioksi. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on D f = R + ja arvojoukko R f = R. Olkoot x, y > 0 ja z R. Tällöin logaritmille pätevät seuraavat laskusäännöt: 1) log a (xy) = log a x + log a y 5) log a 1 = 0 ( ) x 2) log a = log y a x log a y 6) log a a f(x) = f(x) 3) log a x z = z log a x 7) a log a f(x) = f(x) 4) log a a = 1 8) log b c = log a c log a b Sovellusten kannalta e kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Luonnollista logaritmifunktiota merkitään f(x) = log e x = ln x. 37

39 Logaritmifunktio f(x) = log a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. a > 1 : 0 < a < 1 : Koska logaritmifunktio on aidosti monotoninen, niin log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2. Koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1, niin log a x 1 < log a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1. Näin ollen log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) log a f(x) < log a g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 f(x) > g(x), kun 0 < a < 1. Esimerkki 9.1. Määritä a) log b) kantaluku a, kun log a 0, 001 = 3. Esimerkki 9.2. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) > log 1 (5x 2) 3 3 Esimerkki 9.3. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) < 2 + log 1 (2x) 3 3 Esimerkki 9.4. a) 2 x = 3 b) 2e x = 7 Esimerkki 9.5. a) 2 3x = 3 2x b) log 2 (2x) = log 4 x 38

40 10 Käänteisfunktio 10.1 Käänteisfunktio Tietyissä tilanteissa funktiolle f : D f R f voidaan määritellä käänteisfunktio f 1 : R f D f, jolle f 1 (y) = x, kun f(x) = y. Siis f 1 kuvaa jokaisen y R f alkukuvakseen x D f eli x = f 1 (y) y = f(x). Käänteisfunktion f 1 määrittelyjoukko D f 1 = R f ja arvojoukko R f 1 = D f. Tarvittaessa rajoittamalla sopivasti funktion f määrittelyjoukkoa D f saadaan aikaan tilanne että käänteisfunktio f 1 on olemassa. on kään- Lause Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla f : D f R f teisfunktio. Funktion y = f(x) käänteisfunktion määrääminen: 1. Onko f 1 olemassa? 2. Ratkaistaan yhtälö y = f(x) muuttujan x suhteen. Esimerkki Määrää funktion y = f(x) = 2x käänteisfunktio. Esimerkki a kantainen eksponenttifunktio f(x) = a x (a > 0, a 1) on joko aidosti kasvava (a > 1) tai aidosti vähenevä (0 < a < 1). Lauseen 10.1 nojalla sillä on olemassa käänteisfunktio. Koska y = a x x = log a y, niin a kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktio on a kantainen logaritmifunktio Käänteisfunktion sovellus taloustieteessä* Kysyntäfunktio on funktio D = ap + b, missä D on kysynnän määrä ja P on tuotteen hinta. Usein kysyntäfunktio ilmaistaan kysynnän määrän funktiona: D = ap + b ap = D b P = 1 a D b a. Funktiot D = ap + b ja P = 1 a D b a ovat toistensa käänteisfunktioita. 39

41 11 Raja-arvo 11.1 Funktion raja-arvo Funktion f raja-arvolla pisteessä x 0 tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Tällöin merkitään mikäli tämä raja-arvo on olemassa. lim f(x) = b, x x 0 Raja-arvo voi olla myös, mikä tarkoittaa sitä, että funktion f arvot kasvavat rajatta, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Vastaavasti raja-arvo on, jos funktion f arvot pienenevät rajatta, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0. Tällöin käytetään merkintöjä lim x x 0 f(x) = ja lim x x0 f(x) =. Raja-arvossa lähestyttävä muuttujan arvo x 0 on yleensä sellainen, että funktion f arvoa ei voida määrittää kohdassa x = x 0. Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä, kun muuttujan x arvo kasvaa tai pienenee rajatta. Funktion f raja-arvolla äärettömyydessä tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot kasvavat rajatta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x mikäli raja-arvo on olemassa. Vastaavasti funktion f raja-arvolla miinus äärettömyydessä tarkoitetaan sitä lukua b, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan x arvot pienenevät rajatta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x mikäli raja-arvo on olemassa. Funktion raja-arvo äärettömyydessä tai miinus äärettömyydessä voi olla myös tai. Huomautus. Funktion raja-arvo on yksikäsitteinen, mikäli se on olemassa. 40

42 Esimerkki Tarkastellaan funktiota f(x) = 3x2 8x + 4. x 2 Esimerkki Tarkastellaan funktiota f(x) = 1 x 41

43 Lause Olkoon lim f(x) = b ja lim g(x) = c sekä k R vakio. Tällöin x x0 x x0 raja-arvolle pätevät seuraavat laskusäännöt: a) lim x x0 (f ± g)(x) = lim x x0 f(x) ± lim x x0 g(x) = b ± c b) lim x x0 (f g)(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) = b c ( f x x0 g c) lim ) (x) = lim x x 0 f(x) = b, jos c 0 lim g(x) c x x 0 d) lim x x0 kf(x) = k lim x x0 f(x) = kb. Toispuoleiset raja-arvot: Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo b pisteessä x = x 0, mikäli funktion f arvot lähestyvät lukua b, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0 luvun x 0 oikealta (positiiviselta) puolelta. Tällöin merkitään lim f(x) = b, x x + 0 mikäli raja-arvo on olemassa. Vastaavasti funktiolla f on vasemmanpuoleinen raja-arvo b pisteessä x = x 0, mikäli funktion f arvot lähestyvät lukua b, kun muuttujan x arvot lähestyvät lukua x 0 luvun x 0 vasemmalta (negatiiviselta) puolelta. Tällöin merkitään mikäli raja-arvo on olemassa. lim x x 0 f(x) = b, Oikean- ja vasemmanpuoleisia raja-arvoja sanotaan toispuoleisiksi raja-arvoiksi. Myös toispuoleinen raja-arvo voi olla tai. Lause Funktiolla f(x) on raja-arvo kohdassa x = x 0 jos ja vain jos funktiolla f(x) on olemassa sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa x = x 0 ja ne ovat yhtäsuuret. Siis Tällöin lim f(x) lim x x 0 x x 0 lim f(x) = lim x x 0 x x 0 f(x) = lim f(x). x x + 0 f(x) = lim f(x). x x

44 Esimerkki Olkoon f(x) = { x 1, x < 0 x, x 0. Onko funktiolla f(x) raja-arvo kohdassa x = 0? Esimerkki Olkoon f(x) = 1. Onko funktiolla f raja-arvo kohdassa x = 0? x 11.2 Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio A) Olkoon p(x) polynomi ja x 0 R. Tällöin lim x x0 p(x) = p(x 0 ). B) Määrättäessä raja-arvoja lim p(x) ja lim p(x), voidaan ottaa tekijäksi x x korkein esiintyvän muuttujan x potenssi ja päätellä sen jälkeen raja-arvo. Toisaalta raja-arvot lim p(x) ja lim p(x) määräytyvät suoraan korkeinta muuttujan x potenssia sisältävän termin x x perusteella. C) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) = c R kaikilla x R, niin lim x x 0 f(x) = lim x x0 c = c ja lim c = lim c = c. x x Esimerkki Laske a) lim (x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1) x 3 c) lim 7 x 3 b) lim (x 4 2x 3 3x 2 4x) x d) lim 7 x 43

45 Rationaalifunktio Olkoon p(x) q(x) rationaalifunktio ja x 0 R. p(x) A) Jos q(x 0 ) 0, niin lim = p(x 0). x x0 q(x) q(x 0 ) Esimerkki Laske Esimerkki Laske x 3 4x + 3 lim x 1 x 5 + 7x 2. lim x 1 x 3 + 2x + 1. x + 1 p(x) B) Jos sekä p(x 0 ) = 0 että q(x 0 ) = 0, eli lim päätyisi suoralla sijoituksella x x0 q(x) muotoon p(x 0) = 0, niin osoittajassa ja nimittäjässä on tekijänä termi x x q(x 0 ) 0 0, joka supistetaan pois ja lasketaan sitten raja-arvo kuten edellä. Esimerkki x 2 2x 3 lim x 3 x 2 9 p(x) C) Jos p(x 0 ) 0, mutta q(x 0 ) = 0, eli lim x x0 q(x) muotoon p(x 0), niin on tutkittava erikseen toispuoleiset raja-arvot lim 0 lim x x + 0 p(x). Jos kyseiset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin lim q(x) päätyisi suoralla sijoituksella p(x) x x q(x) 0 se on joko tai riippuen osoittajan ja nimittäjän merkeistä Esimerkki Tutki raja-arvoja lim ja lim ja lim. x 0 x x 0 x 2 x 5 x 5 Esimerkki a) lim x 2 x (x + 2) 2 b) lim x 2 x x + 2 x x 0 p(x) q(x) ja on olemassa ja p(x) p(x) D) Määrättäessä raja-arvoja lim ja lim voidaan supistaa nimittäjässä esiintyvällä korkeimmalla muuttujan x x q(x) x q(x) potenssilla. p(x) Toisaalta raja-arvot lim ja lim p(x) määräytyvät suoraan osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen termien x q(x) x q(x) perusteella. 44

46 Esimerkki a) lim x x Esimerkki a) lim x x 2 x b) lim x x b) lim x 4x 2 + 3x + 2 2x c) lim d) lim x x 2 x x 2 x c) lim x x 2 + 3x Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Jos f(x) sisältää neliöjuurilausekkeen, niin lim x x0 f(x) saadaan usein laskettua suoralla sijoituksella tai päättelemällä. Monissa tapauksissa laventamisesta on apua. Hyödyllinen kaava on ( f(x) + g(x))( f(x) g(x)) = ( f(x)) 2 ( g(x)) 2 = f(x) g(x) Esimerkki a) lim 2 x + x 2 b) lim ( 1 x + x 2 + 2) x 0 x ( ) x c) lim x + 1 x d) lim x x 0 x Termejä voidaan kuljettaa neliöjuuren sisään tai ulos sieltä seuraavasti: - { x, kun x 0 x 2 = x = x, kun x < 0. - Neliöjuuren alle ei saa viedä negatiivista. Esimerkki a) lim x x 1 2x 2 b) lim x x2 1 2x x c) lim x x2 + x

47 Eksponenttifunktio raja-arvotehtävissä Eksponenttifunktion raja-arvo äärettömyydessä: lim x ax = 0, kun 0 a < 1 1, kun a = 1, kun a > 1 ei ole olemassa, kun a < 0 Huomautus. ( lim x = e. x x) 46

48 12 Funktion jatkuvuus 12.1 Jatkuvuuden määritelmä Funktio f(x) on jatkuva kohdassa x 0 D f, jos lim x x 0 f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos se on jatkuva välin ]a, b[ jokaisessa pisteessä. Funktio f(x) on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa D f pisteessä. Geometrisesti: Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos funktio f on määritelty välillä ]a, b[ ja funktion f kuvaaja välillä ]a, b[ ei katkea. Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ 47

49 2) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = x 0, sillä lim x x0 f(x) f(x 0 ) 3) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x 0, sillä lim f(x) ei ole olemassa, x x0 koska lim f(x) lim f(x) x x + 0 x x 0 Funktion jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x = x 0 : (i) Onko funktio f(x) määritelty kohdassa x = x 0? Jos ei ole määritelty, niin jatkuvuutta kohdassa x = x 0 ei ole mielekästä tarkastella. (ii) Onko lim x x0 f(x) olemassa eli päteekö lim x x 0 (iii) Onko lim x x0 f(x) = f(x 0 )? f(x) = lim f(x)? x x

50 Määrittelyjoukossaan jatkuvia funktioita: polynomi- ja rationaalifunktiot potenssi-, eksponentti- ja logaritmifunktiot trigonometriset funktiot (sin, cos, tan ja cot) Esimerkki Tutki onko funktio { x, x < 0 f(x) = x 2 + x, x 0 jatkuva. Esimerkki Tutki, onko funktio { x 1, x < 0 f(x) = x, x 0. jatkuva Suljetulla välillä jatkuva funktio Sanotaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b). x a + x b Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä [a, b] 49

51 2) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ muttei välillä [a, b], sillä lim x b f(x) f(b). Kuitenkin f(x) on jatkuva välillä [a, b[. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Lisäksi funktio f saa kaikki arvot pienimmän ja suurimman arvonsa väliltä. Siis jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], niin voidaan löytää sellaiset x 1, x 2 [a, b], että f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) aina, kun x [a, b]. Lisäksi jokaista lukua d [f(x 1 ), f(x 2 )] kohti on olemassa ainakin yksi sellainen c [a, b], että f(c) = d. 50

52 Esimerkki Funktio f(x) = x 2 3x + 2 on jatkuva suljetulla välillä [0, 3]. Se saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x = 3, jolloin 2 f(3) = 1, ja suurimman 2 4 arvonsa kohdissa x = 0 ja x = 3. Tällöin f(0) = f(3) = 2. (Maksimin ja minimin etsimisestä myöhemmin!) Lause 12.2 (Bolzanon lause). Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio ja oletetaan, että f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = 0. (Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiä saamatta arvoa 0.) Esimerkki Osoita, että yhtälöllä 20x 3 3x 2 40x+6 = 0 on kolme erisuurta ratkaisua. 51

53 13 Sarjateoria Olkoot a 1,..., a n reaalilukuja. Tällöin niiden summaa merkitään: a a n = n a i. i=1 a k k=1 Ääretöntä summaa a 1 + a = sanotaan sarjaksi. Summa S n = n a k = a 1 + a a n on sarjan a k k=1 k=1 n. osasumma. Sarja a k on aritmeettinen, jos a k+1 a k = d aina, kun k Z + ja d on vakio. k=1 Vastaavasti sarja vakio. k=1 a k on geometrinen, jos a k+1 a k = q aina, kun k Z + ja q on Esimerkki Tutki seuraavien sarjojen aritmeettisuus ja geometrisuus. a) a k = k=1 (2k) b) k=1 a k = k=1 k=1 1 2 k Aritmeettisen sarjan osasumma on S n = a 1 + a 2 + a a n = n a1 + a n. 2 Geometrisen sarjan osasumma on na 1, jos q = 1 S n = a 1 (1 q n ), 1 q jos q 1. 52

54 Sarjaa a k sanotaan suppenevaksi ja lukua S R sarjan summaksi, jos sarjan k=1 osasumma S n suppenee kohti lukua S eli lim n S n = S. Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Huomautus. Jos sarja k=1 a k suppenee, niin lim k a k = 0. Jos lim k a k 0, niin sarja ei suppene. Jos lim k a k = 0, niin sarja VOI MAHDOLLISESTI supeta. Eräiden sarjojen suppenemisesta: Aritmeettinen sarja hajaantuu aina, sillä lim S n = tai n lim S n =. n Geometrinen sarja suppenee silloin ja vain silloin, kun q < 1 1 < q < 1. Tällöin sen summa on S = a 1 1 q. 53

55 14 Derivaatta 14.1 Derivaatan määritelmä Olkoon funktio f(x) määritelty välillä [a, b]. Funktion f(x) erotusosamäärä välillä [a, b] f(b) f(a) b a ilmoittaa funktion f(x) arvon muutoksen suhteessa muuttujan x muutokseen eli funktion f(x) keskimääräisen muutosnopeuden välillä [a, b]. Jos raja-arvo f(b) f(a) lim b a b a on olemassa äärellisenä, saadaan funktion f(x) derivaattaa kohdassa a, tätä merkitään f (a). Siis f f(b) f(a) (a) = lim. b a b a Derivaatta f (a) kuvaa funktion f(x) hetkellistä muutosnopeutta kohdassa a. Funktio f(x) on derivoituva funktio, jos sillä on derivaatta olemassa jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä Derivaattafunktio Derivoituvalle funktiolle f(x) voidaan määrätä yleinen derivaattafunktio f (x), johon sijoittamalla muuttujan x arvo a saadaan funktion derivaatan arvo kohdassa a eli f (a). Funktion f(x) derivaattafunktiota merkitään: f (x), Df(x), df(x) dx. Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovat derivoituvia määrittelyalueessaan. 54

56 14.3 Derivoimissääntöjä D1) D( f(x) ± g(x) ) = Df(x) ± Dg(x) D2) D( cf(x) ) = cdf(x) D3) D( f(x) g(x) ) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) D4) D = f (x) g(x) f(x) g (x), kun g(x) 0 g(x) (g(x)) 2 D5) Da = 0, kun a on vakio D6) Dax = a, kun a on vakio D7) Dx n = nx n 1, kun n R ja n 0 D8) D(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x), kun n R ja n 0 Eksponenttifunktion derivaatta: D9) D e x = e x D10) D a x = a x ln a D11) D e f(x) = e f(x) f (x) D12) D a f(x) = a f(x) ln a f (x) Logaritmifunktion derivaatta: D13) D ln x = 1 x D14) D(log a x) = 1 x ln a D15) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) D16) D log a f(x) = 1 f(x) ln a f (x) = f (x) f(x) ln a 55

57 14.4 Korkeammat derivaatat Olkoon funktion f(x) derivaattafunktio f (x). Jos derivaattafunktio f (x) on edelleen derivoituva, sen derivaattaa (f ) (x) sanotaan funktion f(x) toiseksi derivaataksi ja merkitään f (x). Käytetään myös merkintöjä D 2 f(x) ja d2 f(x) dx 2. Funktion f(x) n. derivaatta saadaan samoin derivoimalla funktio f(x) n kertaa. Funktion f(x) n. derivaattaa merkitään f (n) (x). Siis f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x), f (3) (x) = f (x) jne. Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n 2. Lisäksi sovitaan, että f (0) (x) = f(x). Muut merkintätavat vastaavasti kuin f (x):lla L Hospitalin sääntö Tarkastellaan raja-arvoa missä a R tai a = ±. Olkoon tai Tällöin jotka eivät ole määriteltyjä. Jos nyt on olemassa, niin f(x) lim x a g(x), lim f(x) = 0 ja lim g(x) = 0 x a x a lim f(x) = ± ja lim g(x) = ±. x a x a f(x) lim x a g(x) = 0 0 tai f (x) lim x a g (x) = A f(x) lim x a g(x) = ±, f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) = A. 56

58 14.6 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia* Keskimääräinenmuutos(nopeus) ilmaisee funktion f(x) muutoksen suhteessa muuttujan x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin [a, b] verran, eli keskimääräinenmuutosnopeus on f(b) f(a) b a. Rajamuutos merkitsee funktion f(x) muutosnopeuden raja-arvoa, kun muuttujan x muutos lähenee nollaa eli rajamuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollain hetkellä ts. hetkellinenmuutosnopeus. Näin ollen rajamuutos on funktion f(x) derivaattafunktio f (x) Kustannusfunktio Oletetaan, että tavaramäärän x tuottamisesta ja markkinoinnista aiheutuvat kokonaiskustannukset C voidaan ilmaista funktiona C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustannukset AC(x) (ts. kustannukset/tuote) ovat AC(x) = C(x) x. Rajakustannusfunktio M C(x) on kokonaiskustannusfunktion C(x) derivaatta C (x) ja se ilmaisee kokonaiskustannusten hetkellisen muutosnopeuden suhteessa tuotantomäärän x muutokseen. Siis MC(x) = C (x). Esimerkki Olkoot kokonaiskustannukset C(x) = 2x 2 + 3x + 1, missä x on tuotannon määrä yksikkönä miljoonaa kappaletta. Määrää keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset. Ratkaisu: Nyt ja AC(x) = C(x) x = 2x2 + 3x + 1 x MC(x) = C (x) = 4x + 3. = 2x x 57

59 Tulofunktio Olkoon kysyntäfunktio y = f(x), missä y on tavaran yksikköhinta ja x on kysynnän suuruus (tavaramäärä). Kokonaistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x f(x). Rajatulo on MR(x) = R (x), joka on siis kokonaistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen. Huomautus. Keskimääräinen tulo AR(x) = R(x) x = x f(x)) x = f(x), joten se on sama funktio kuin kysyntäfunktio. Esimerkki Olkoon kysyntäfunktio y = x + 3, missä y on yksikköhinta ja x on kysynnän määrä. Määrää kokonaistulo, rajatulo ja keskimääräinen tulo. Ratkaisu: Nyt kokonaistulo on R(x) = x y = x( x + 3) = x 2 + 3x, rajatulo ja keskimääräinen tulo MR(x) = R (x) = 2x + 3 AR(x) = R(x) x = x2 + 3x x = x

60 15 Funktion tutkiminen derivaatan avulla 15.1 Funktion monotonisuus ja derivaatta Funktio f(x) on monotoninen välillä [a, b], jos se on joko kasvava tai vähenevä välillä [a, b]. Funktio f(x) on aidosti monotoninen välillä [a, b], jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä välillä [a, b]. Monotonisuuden yhteys derivaattaan on seuraava: Lause Oletetaan, että funktio f(x) on derivoituva. Tällöin funktio f(x) on (i) kasvava kun f (x) 0, (ii) aidosti kasvava kun f (x) > 0, (iii) vähenevä kun f (x) 0, (iv) aidosti vähenevä kun f (x) < 0. (i) (ii) (iii) (iv) 59

61 15.2 Funktion kuperuus ja toinen derivaatta Lause Funktio f(x) on aidosti ylöspäin kupera funktion f(x) kasvunopeus aidosti pienenee muuttujan x kasvaessa derivaatta f (x) on aidosti vähenevä f (x) < 0 Lause Funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera funktion f(x) kasvunopeus aidosti suurenee muuttujan x kasvaessa derivaatta f (x) on aidosti kasvava f (x) > 0 60

62 16 Funktion ääriarvo 16.1 Absoluuttiset ääriarvot ja paikalliset ääriarvot Funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f suurin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f. Tällöin x 0 on maksimikohta ja f(x 0 ) maksimiarvo. Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f pienin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f. Tällöin x 0 on minimikohta ja f(x 0 ) minimiarvo. Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoa absoluuttiseksi minimiksi. 61

63 Piste x 1 D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 1 ) aina, kun x D f ja x ]x 1 r, x 1 + r[. Tällöin f(x 1 ) on funktion f paikallinen maksimiarvo. Vastaavasti kohta x 2 D f on funktion f paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 2 ) aina, kun x D f ja x ]x 2 r, x 2 + r[. Tällöin f(x 2 ) on funktion f paikallinen minimiarvo. Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaaleiksi ääriarvoiksi. 62

64 16.2 Paikallisten ääriarvokohtien määrittäminen Lause 16.1 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat). Olkoon f(x) derivoituva. Funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät derivaatan f (x) nollakohdista (eli kriittisistä pisteistä). Eli, funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät ratkaisemalla yhtälö f (x) = 0 (KRP) Lause 16.1 ei kuitenkaan päde kääntäen: Jos f (x 0 ) = 0, niin kriittinen piste x 0 ei ole välttämättä funktion f(x) paikallinen ääriarvokohta, vaan se voi olla myös ns. satulapiste. 63

65 Lause 16.2 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat). Jos funktion f(x) määrittelyjoukko on suljettu tai puoliavoin väli, niin paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä. 64

66 16.3 Paikallisten ääriarvokohtien laatu Lause 16.3 (Ääriarvokohdan laatutarkastelu, derivaatan merkkikaavion käyttö). Olkoon f (x 0 ) = 0 eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta. (i) Jos funktion f(x) derivaatta f (x) muuttuu kohdassa x 0 arvoltaan positiivisesta negatiiviseksi, niin x 0 on paikallinen maksimikohta. (ii) Jos funktion f(x) derivaatta f (x) muuttuu kohdassa x 0 arvoltaan negatiivisesta positiiviseksi, niin x 0 on paikallinen minimikohta. (iii) Jos funktion f(x) derivaatta f (x) ei muuta merkkiään kohdassa x 0, niin x 0 ei ole paikallinen ääriarvokohta, vaan satulapiste. 65

67 Lause 16.4 (Ääriarvokohdan laatutarkastelu, toisen derivaatan käyttö). Olkoon funktio f(x) derivoituva ja olkoon lisäksi f (x 0 ) = 0 eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta. 1) Jos f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta. 2) Jos f (x 0 ) > 0, niin x 0 on paikallinen minimikohta. 3) Jos f (x 0 ) = 0, niin x 0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste (ks. derivaatan merkkikaavio Lause 16.3) 66

68 Lause 16.5 (Absoluuttiset ääriarvot). Etsittäessä funktion f(x) absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava löydettyjä paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x). x x Esimerkki Määritä funktion f(x) = x 4 2x 2 ääriarvot välillä [0, 3]. Esimerkki Etsi funktion f(x) = x 3 paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot. Esimerkki Määritä funktion f(x) = x 4 8x ääriarvot. Esimerkki Optimoi funktio f(x) = 3x 4 4x 3 36x Esimerkki Määrää funktion f(x) = x 3 3 maksimi ja minimi. Esimerkki Määrää funktion f(x) = x 4 4 suurin ja pienin arvo. 67

69 17 Talousmatematiikkaa - Korkolaskenta 17.1 Prosenttilaskua Yksi prosentti (%) on yksi sadasosa jostakin suureesta a eli 1% suureesta a = a 100 = 0, 01 a. 1) p prosenttia luvusta a on p 100 a. 2) Jos luku a kasvaa p prosenttia, niin uusi arvo on a + p 100 a = (1 + p 100 ) a. 3) Jos luku a vähenee p prosenttia, niin uusi arvo on a p 100 a = (1 p 100 ) a. 4) Luku a on luvusta b 5) Jos a > b, niin luku a on suurempi kuin luku b. 6) Jos b > a, niin luku a on pienempi kuin luku b. a 100 %. b a b b b a b 100 % 100 % 68

70 Esimerkki Paljonko 1500 euron tuote maksaa 15 % alennusmyynnissä? Esimerkki Montako prosenttia luku a on luvusta b, kun a) a = 15 ja b = 90, b) a = 90 ja b = 15? Esimerkki a) Kuinka monta prosenttia luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta prosenttia luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta prosenttia luku 20 on pienempi kuin 160? Esimerkki a) Mistä luvusta 24 on 32 %? b) Mitä lukua 80 on 20 % pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10 % pienempi kuin luku 30? e) Mikä luku on 32 % luvusta 24? 17.2 Korkolasku ja korkokanta Korko on korvaus lainaksi saadusta tai annetusta rahapääomasta (luotosta tai talletuksesta). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka monta prosenttia pääoma kasvaa korkoa tietyn korkojakson aikana. korkojakso korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per 1 kk, i per 2 kk 69

71 17.3 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan yhden korkojakson sisällä. Pääoma ajanhetkellä t on K t = K 0 (1 + it), (3) missä K 0 = alkupääoma eli pääoma ajanhetkellä t = 0, i = korkokanta, jaksosta kulunut aika t =, missä 0 t 1. korkojakson pituus Toiminta mentäessä korkojakson yli: Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. Esimerkki Talletetaan euroa 6 % vuosikorolla (6 % pa.). Määrää talletuksen arvo a) vuoden kuluttua, b) 8 kuukauden kuluttua, c) 16 kuukauden kuluttua. Toimenpidettä, jossa määrätään pääoman tulevia arvoja siirryttäessä ajassa eteenpäin, kutsutaan prolongoimiseksi. Sanotaan myös, että pääoma siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki Mikä on alkupääoman euroa arvo 10 kuukauden kuluttua, kun korkokanta on a) 8 % pa, b) 5 % ps. Esimerkki Mikä korkokanta i pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa. 70

72 Esimerkki Missä ajassa pääoma kasvaa 8 %, kun korkokanta on a) 10 % pa, b) 5 % ps. Virallinen diskonttaus Mitä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? Toimenpide on virallinen diskonttaus (pääoma siirretään ajassa taaksepäin). Ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (3), jolloin saadaan missä K 0 = K t 1 + it, (4) K 0 = pääoman K t diskontattu arvo eli nykyarvo, i = diskonttauskorkokanta, jaksosta kulunut aika t =, missä 0 t 1. korkojakson pituus Kuten yksinkertainen korkolasku, kaavan (4) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. Esimerkki Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? Esimerkki Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon euroa? 71

73 17.4 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa yksinkertaisen korkolaskun yhtälön (3) mukaisesti. Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan ja seuraavassa korkojaksossa pääoma määräytyy tästä uudesta alkupääomasta jne. Näin edellisen korkojakson tuottama korko kasvaa korkoa seuraavalla jaksolla ja syntyy ns. koronkorko. Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta, alkupääoma on K 0 ja korkokanta on i. Tällöin K 1 = K 0 (1 + i) K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2 K 3 = K 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 3. K n = K 0 (1 + i) n. (pääoma 1. korkojakson lopussa) (pääoma 2. korkojakson lopussa) (pääoma 3. korkojakson lopussa) (pääoma n. korkojakson lopussa) Siis pääoma n:nnen korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n. (5) Toiminta korkojakson sisällä: Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua. Yhtälön (5) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman arvo n korkojakson jälkeen, sanotaan jaksolliseksi prolongoimiseksi. Esimerkki Mihin arvoon euroa kasvaa 6 vuodessa, kun korkokanta on a) 4 % pa. b) 2 % ps. c) 1 % pq. d) aika on 6,5 vuotta ja korkokanta on 4 % pa. 72

74 Esimerkki Millä korkokannoilla a) i pa. b) i ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? Esimerkki Olkoon alkupääoma euroa ja korkokanta 4 % ps. Tilille halutaan loppupääomaksi euroa. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Jaksollinen diskonttaus Kun ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (5), niin saadaan missä K 0 = K n (1 + i) n, (6) K n = pääoman arvo n korkojakson jälkeen, i = korkokanta, n = kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Yhtälön (6) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman K n arvo n korkojaksoa ajassa taaksepäin, sanotaan jaksolliseksi diskonttaukseksi. Jaksollinen prolongointi ja jaksollinen diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki Loppupääomaksi halutaan euroa. Korkokanta on 4 % ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? 73

75 17.5 Relatiivinen ja Konforminen korkokanta* Relatiiviset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Relatiiviset korkokannat eivät yleensä anna samaa tuottoa pääomalle samassa ajassa. Konformiset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset, jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Olkoot i (per p) ja j (per q) konformiset korkokannat ja oletetaan, että np = mq, missä n on p-pituisten korkojaksojen lukumäärä ja m on q-pituisten korkojaksojen lukumäärä. Tällöin n m = q p. Koska korkokannat ovat konformiset, niin alkupääoma kasvaa molemmilla korkokannoilla saman verran ajassa np = mq. Näin ollen K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m (1 + i) n = (1 + j) m (1 + i) n m = 1 + j j = (1 + i) n m 1 = (1 + i) q p 1. Siispä j = (1 + i) q p 1. (7) Esimerkki Määritä korkokannalle 6 % pa. a) konforminen puolivuotiskorkokanta, b) relatiivinen puolivuotiskorkokanta. 74

76 17.6 Jatkuva korko Miten korkolaskulle käy, jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Tällöin korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Jatkuva prolongointi Pääoma ajanhetkellä t on missä K 0 = alkupääoma, K t = pääoman arvo ajanhetkellä t, K t = K 0 e it, (8) i = korkokanta per jokin korkojakso (esim. 6 % pa.), kulunut aika t =, missä t 0. korkojakso Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (8), jolloin K 0 = K t e it = K t e it. (9) Jatkuva prolongointi ja jatkuva diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkokannalla 3 % pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3 % pa. 8 vuoden kuluttua? 75

77 17.7 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n:n yhtä pitkän jakson ajan kunkin jakson lopussa toistuva maksu k. Määrätään maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä käyttäen koronkorkolaskua korkokannalla i per jakso. Tällöin 1. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 1, 2. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 2, 3. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 3, 4. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) n 4,. (n-3). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) 3, (n-2). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i) 2, (n-1). jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k(1 + i), n. jakson maksusuorituksen arvo lopussa on k. Tämän maksusysteemin pääoma-arvo K n lopussa on K n = k (1 + i)n 1. (10) i Maksusysteemin pääoma-arvo K 0 alussa on K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i (1 + i) n. (11) Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde. 76

78 Esimerkki Olkoon euroa vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) loppuarvo (12. vuoden lopussa), b) alkuarvo (1. vuoden alussa), kun korkokanta on 5 % pa. Esimerkki Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo olisi euroa, kun korkokanta on 6 % pa? 17.8 Annuiteettiperiaate Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtana on yhtälö (11). Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannan ollessa i, maksuerä k on k = K 0 i (1 + i) n (1 + i) n 1. (12) Kaavaa (12) voidaan käyttää määrättäessä maksuerä k systeemille, jossa K 0 suuruinen laina maksetaan takaisin eli kuoletetaan n:llä tasaerällä k tasavälein korkokannan ollessa i. Tasaerää k kutsutaan annuiteetiksi. Yleisesti tasaerää k kutsutaan myös kuoletukseksi ja se koostuu lainan lyhennyksestä ja korosta. Yleensä annuiteettiluottojen yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja. 77

79 Esimerkki Kuinka suuren lainan pankki voi asiakkaalle myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain euroa, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12 % pa. Esimerkki Mikä on 12 vuodeksi annetun euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13 % pa. Esimerkki Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen tehtävän lainalle? Esimerkki Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14 % pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin annuiteetissa? Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen Esimerkki Nimellisarvoltaan euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14 % pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin suorituksessa? Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen

80 18 Talousmatematiikkaa - Indeksit 18.1 Keskiarvoista Olkoot x 1,..., x n reaalilukuja ja niiden painokertoimet v 1,..., v n positiivisia reaalilukuja sekä v = v v n. Aritmeettinen keskiarvo A = 1 n n x j = 1 n (x 1 + x x n ). j=1 Painotettu aritmeettinen keskiarvo A w = 1 n v v j x j = 1 v (v 1x 1 + v 2 x v n x n ), j=1 missä v j on luvun x j painokerroin. Geometrinen keskiarvo G = ( n ) 1/n x j = (x1 x 2... x n ) 1/n = n x 1 x 2... x n. j=1 Painotettu geometrinen keskiarvo G w = ( n j=1 x v ) j 1/v j = (x v 1 1 x v x vn n ) 1/v = v x v 1 1 x v x vn n. Esimerkki Laske lukujen 2, 2, 7 ja 1 painotettu aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo, kun painoina ovat 1, 4, 5 ja 2. 79

81 18.2 Indeksiluvun käsite Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen, eli muuttujan, kehitystä ajanhetkestä toiseen ilman, että tutkitaan erikseen jokaisen ryhmän jäsenen kohdalta ko. suureen kehitystä. Erilaisia indeksejä ovat esimerkiksi 1. hintaindeksi, joka mittaa hinnan muutoksia; 2. volyymi-indeksi, joka mittaa määrän muutoksia; 3. arvoindeksi, joka mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina). Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin perusajankohtaan nähden. Perusajankohdassa indeksi saa arvon 1. Usein indeksit ilmoitetaan prosentteina, jolloin perusajankohdan arvoa 1 vastaa indeksin pisteluku 100 (100 %). Esimerkki Suomen asuntotuotanto vuosina : Vuosi Valm. huoneistot Indeksi (1982=100) ,2 104,9 104,8 87,3 90,9 Indeksi (1982=1) 1 1,052 1,049 1,048 0,873 0, Indeksiluvun muodostaminen Vertaillaan jotain koko hyödykeryhmän yhteistä suuretta, esimerkiksi hinta (tai määrä) eri ajankohtina. Eri hyödykkeiden hintojen (tai määrien) muutokset yhdistetään koko ryhmän hintojen (tai määrien) muutosta kuvaavaksi indeksiksi käyttämällä painotuksia. Käytetään seuraavia merkintöjä: P 0t = ajanhetken t hintaindeksiluku Q 0t = ajanhetken t volyymi-indeksiluku p it = hyödykkeen i hinta hetkellä t q it = hyödykkeen i määrä (kulutus) hetkellä t Perusajankohta on t = 0. Lisäksi hyödykkeitä on n kappaletta ja ajanhetkiä on k tilannetta perusajankohdan jälkeen, eli i = 1,..., n ja t = 0, 1,..., k. 80

82 18.4 Laspeyresin indeksi Laspeyresin indeksi on eräs kokonaislukumallin indeksi, joka muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä ja hintoja sopivasti yhteen. Laspeyresin hintaindeksi Valitaan hyödykkeiden hintojen p j painoiksi hyödykkeiden perusajankohdan kulutuksen määrät q j0 : n p jt q j0 P0t L j=1 p 1t q 10 + p 2t q p nt q n0 = 100 = 100, (13) n p 10 q 10 + p 20 q p n0 q n0 p j0 q j0 missä j=1 P L 0t = Laspeyresin hintaindeksi hetkellä t p jt = hyödykkeen j hinta hetkellä t p j0 = hyödykkeen j hinta perusajankohtana 0 q j0 = hyödykkeen j kulutusmäärä perusajankohtana 0 Laspeyresin volyymi-indeksi Valitaan hyödykkeiden kulutusmäärien q j painoiksi hyödykkeiden perusajankohdan hinnat p j0 : n q jt p j0 Q L j=1 q 1t p 10 + q 2t p q nt p n0 0t = 100 = 100, (14) n q 10 p 10 + q 20 p q n0 p n0 q j0 p j0 missä j=1 Q L 0t = Laspeyresin volyymi-indeksi hetkellä t q jt = hyödykkeen j kulutusmäärä hetkellä t 81

83 Esimerkki Määrää Laspeyresin hinta- ja volyymi-indeksiluvut vuodelle 2008 käyttäen perusajankohtana vuotta Hyödyke Yksikkö Hinta 2003 Hinta 2008 Määrä 2003 Määrä 2008 p 0 p 1 q 0 q 1 Hyödyke 1 1 litra 3,00 3, Hyödyke 2 2,5 kg 7,05 11, Hyödyke 3 1 kg 7,96 8, Hyödyke 4 1 kg 13,49 14, Hyödyke 5 0,5 kg 16,46 17, Kuluttajahintaindeksi (2010 = 100) Kuluttajahintaindeksi mittaa yksityisessä kulutuksessa käytettävien tavaroiden ja palveluiden hintakehitystä kahden ajankohdan välillä koko yksityisessä kulutuksessa (kokonaisindeksi) ja erikseen kulutuksen eri pääryhmissä. Indeksin pisteluvut lasketaan kuukausittain kullekin pääryhmälle Laspeyresin hintaindeksikaavalla ja nämä yhdistetään kokonaisindeksiin painotetun keskiarvon menetelmällä. Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti, inflaatioprosentti, on maassa vallitsevan keskimääräisen inflaation mittari. 82

84 Inflaatioprosentti Inflaatioprosentti on kuluttajahintaindeksin muutosprosentti. Olkoot t ja t kaksi ajanhetkeä sekä P t ja P t näitä vastaavat kuluttajahintaindeksit. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P t P t = P t P t 1. (15) Esimerkki Laske inflaatioprosentti vuosien 2011 ja 2013 välille, kun perusvuotena on vuosi

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Matematiikkaa kauppatieteilijöille 802158P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2017 Sisältö 1 Perusteita 4 1.1 Lukujoukot..............................

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Matematiikkaa kauppatieteilijöille 802158P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2016 Sisältö 1 1 Perusteita 1.1 Lukujoukot Luonnollisten

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin. 13. lokakuuta 011 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin. Sisältö 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa 1.. Laskusääntöjä

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö-

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot