Satunnaiskävelystä diffuusioon. Jukka Kemppainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Transkriptio

1 Satunnaiskävelystä diffuusioon Jukka Kemppainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 18. marraskuuta 2014

2 2

3 Sisältö Esipuhe 5 1 Johdanto 7 2 Satunnaiskävely Yksiulotteinen satunnaiskävely Stirlingin kaava Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio Useampiulotteinen satunnaiskävely Diffuusio Yhteys diffuusioon CTRW CTRW:n skaalausraja Takaisin Brownin liikkeeseen Epätavallinen diffuusio Diffuusion eri lajien luokittelu Subdiffuusio satunnaiskävelyn skaalausrajana Hakemisto 40 3

4 4 SISÄLTÖ

5 Esipuhe Tämä moniste tehty valaisemaan diffuusion ja satunnaiskävelyn välistä yhteyttä. Diffuusiolla tapahtuva aineen liike on eräs merkittävimmistä kulkeutumisilmiöistä luonnossa. Ilmiö voidaan selittää satunnaisen lämpöliikkeen avulla, minkä kautta avautuu yhteys satunnaiskävelyyn. Satunnaiskävelymallin avulla diffuusiota tarkastellaan mikroskooppisella tasolla satunnaiskävelijöiden liikkeenä. Todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseiden mukaan makroskooppinen liike määräytyy suuren satunnaiskävelijöiden määrän keskimääräisenä liikkeenä. Pääasiallisina lähteinä olen käyttänyt William Fellerin teoksia [2] ja [3], jotka ovat klassikkoteoksia tällä saralla. Toisen pääasiallisen lähdekokonaisuuden muodostaa MIT:n avoin kurssimateriaali Random Walks and Diffusion aiheesta. Materiaali koostuu 25 luennosta ja olen kussakin kappaleessa maininnut, mistä luennosta esittämäni asia löytyy. Mainitsematta ei myöskään voi jättää kattavaa tavallisesta poikkeavan diffuusion kattavaa lähdettä [10]. Taustatietoina tämä moniste edellyttää analyysin ja todennäköisyyslaskennan perusteiden hallintaa. Esimerkiksi kurssit Matematiikan peruskurssit I ja II (kurssikoodit P ja P) sekä Tilastomatematiikka (031021P) antavat hyvän pohjan. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja satunnaissignaalien tuntemisestakaan ei ole haittaa. Oulussa, 18. marraskuuta

6 6 SISÄLTÖ

7 Luku 1 Johdanto Satunnaisen sik-sak-liikkeen havaitsi kasvitieteilijä Robert Brown vuonna 1827 tutkiessaan mikroskoopilla vedessä kelluvaa kasvien siitepölyä, mutta hän ei osannut selittää mistä ilmiö johtuu. Termin satunnaiskävely 1 otti käyttöön Karl Pearson 2. Hän ehdotti yksinkertaista mallia hyttysten liikkumiselle metsässä. Mallin mukaan yksittäinen hyttynen suorittaa yksikköaikavälein kiinteän mittaisia liikkeitä satunnaiseen suuntaan. Pearson halusi tietää hyttysten jakauman pitkän ajan kuluttua. Pearsonin asettamaan kysymykseen oli vastattu jo aiemmin lordi Rayleigh n 3 toimesta vuonna Rayleigh kuvasi ääniaaltojen etenemistä heterogeenisessä väliaineessa. Mallin mukaan ääniaaltojen etenemistä ajateltiin satunnaiseen suuntaan, mutta kiinteän amplitudin muodostamien aaltovektoreiden k summana. Hänen malli perustuu ajatukseen, että ääniaaltojen aallonpituus on materiaalissa likimain vakio, kun taas suunta muuttuu aaltojen sirotessa materiaalin sisällä. Lordi Rayleigh osoitti, että todennäköisyystiheys ääniaallon kulkemalle matkalle R on P N (R) 2R N e R2 /N, N, (1.1) kun ääniaalto suorittaa suuren määrän N yksikköpituuden mittaisia askelia. Kaavan (1.1) ääniaallon kulkema keskimääräinen matka neliöllisessä mielessä on E(R 2 ) = mikä on tavalliselle diffuusiolle tyypillistä. 0 R 2 P N (R)dR N, 1 random walk 2 Karl Pearson ( ), tilastomatematiikan isä 3 John William Strutt, kolmas paroni Rayleigh ( ), Nobel-palkittu brittiläinen fyysikko 7

8 8 LUKU 1. JOHDANTO Samoihin aikoihin Louis Bachelier 4 tarkasteli satunnaiskävelyä merkittävässä väitöskirjassaan La Théorie la Spéculation vuonna Hän ehdotti satunnaiskävelymallia optioiden hinnan arvioimiseen useita vuosikymmeniä ennen kuin ideasta muodostui modernin teoreettisen rahoituksen perusta. Hän oli ilmeisesti ensimmäinen, joka havaitsi yhteyden diskreetin satunnaiskävelyn ja jatkuva-aikaisen diffuusion välillä. Brownin liikkeen selittäminen luetaan kuitenkin Albert Einsteinin kunniaksi. Hän ei ilmeisesti ollut tietoinen Rayleighin ja Bachelierin töistä. Suurena vuotenaan 1905 hän julkaisi artikkelin, jonka mukaan Brownin havaitsema siitepölyn satunnaisliike johtuu vesimolekyylien satunnaisesta lämpöliikkeestä. Samanlaisia teoreettisia ideoita esitti Einsteinista riippumatta myös Marian Smoluchowski vuonna Brownin liikkeen selittämisellä satunnaiskävelyn avulla oli valtava vaikutus tieteeseen, sillä se antoi vahvaa todistetta diskreettien partikkelien ( atomien ) olemassaolosta aikana, jolloin suurin osa tiedemiehistä uskoi, että aine muodostaa jatkumon. [11] Kuten historiallinen alkuperä osoittaa, satunnaiskävelymallilla on laajasti sovelluksia eri tieteenaloilla mukaan lukien edellä esiin tulleet sovellukset fysiikassa ja taloustieteessä. 4 Louis Bachelier ( ), ranskalainen matemaatikko

9 Luku 2 Satunnaiskävely 2.1 Yksiulotteinen satunnaiskävely Lähdetään liikkeelle yksinkertaisimmasta mahdollisesta satunnaiskävelystä yksiulotteisella reaaliakselilla. Oletetaan, että satunnaiskävelijä suorittaa yksikköaikavälein yksikön mittaisia askelia joko vasemmalle tai oikealle. Formaalisti N askeleen satunnaiskävelyä voidaan kuvata jonona (ǫ 1,ǫ 2,...,ǫ N ), missä ǫ i = +1(ǫ i = 1), jos satunnaiskävelijä on ottanut ajanhetkellä t = i askeleen oikealle (vasemmalle). Olkoon p positiivisten ja q negatiivisten askelten lukumäärä. Tällöin N = p +q ja osasumma S k = ǫ 1 + ǫ 2 + +ǫ N antaa satunnaiskävelijän paikan N askeleen jälkeen. Oletetaan, että satunnaiskävelijä on ajanhetkellä t = 0 origossa, jolloin S k S k 1 = ǫ k = ±1, S 0 = 0, S N = p q, k = 1,2,...,N. (2.1) Geometrisesti satunnaiskävelyä voidaan kuvata tx-koordinaatistossa, missä t-akseli kuvastaa aikaa ja x-akseli satunnaiskävelijän paikkaa ajanhetkellä t. Jonoa (ǫ 1,ǫ 2,...,ǫ N ) kuvataan murtoviivalla, jonka k:nnella sivulla on kulmakerroin ǫ k ja k:s kärkipiste on (k,s k ). Tällaista murtoviivaa sanotaan satunnaiskävelijän poluksi: Määr. 1. Olkoot 0 < n ja x kokonaislukuja. Polku (S 1,S 2,...,S N ) origosta pisteeseen (n,x) on murtoviiva, jonka kärkipisteet ovat (k,s k ), missä k = 0,1,...,N, S k :t toteuttavat ehdot (2.1) ja S N = x. Tässä yhteydessä luvulla N tarkoitetaan polun pituutta. Sopimus on ihan järkevä, sillä murtoviivan kulmakerroin on merkkiä vaille vakio, joten todellinen pituus l on verrannollinen N:ään. Itse asiassa l = 2N. Kuvaan 2.1 on piirretty satunnaiskävelijän polku, jonka pituus on N = 6. Kuvasta nähdään, että satunnaiskävelijän 2., 3., 5. ja 6. askel on otettu oikealle ja 1. ja 4. askel on otettu vasemmalle. 9

10 10 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY Kuva 2.1: Eräs mahdollinen polku, kun polun pituus on N = 6 Pituutta N olevia polkuja on yhteensä 2 N kappaletta. Aiemmin olettamamme nojalla N = p+q, x = p q. (2.2) Origosta kulkee pisteeseen (N,x) polku jos ja vain jos N ja x ovat muotoa (2.2). Positiiviset luvut ǫ k voidaan valita ( ) ( ) N N = N+x (2.3) p 2 eri tavalla. Huomaa, että yhtälöiden (2.2) mukaan N +x on aina parillinen luku. Jos oletetaan, että siirtymät molempiin suuntiin ovat yhtä todennäköisiä, niin klassisen todennäköisyysmallin mukaan tällöin P(S N = x) = ( N N+x 2 ) 2 N (2.4) on todennäköisyys, että satunnaiskävelijä on N askeleen jälkeen paikassa x, missä x on jokin kokonaisluku N, N +1,...,0,1,...,N. Kaavan (2.4) bi-

11 2.1. YKSIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 11 nomikerroin tulkitaan niin, että binomikerroin saa arvon nolla, mikäli N+x 2 / {0,1,...,N}. Tämä tulkinta on sopusoinnussa edellä todetun kanssa, sillä luvuilla N ja x on aina sama pariteetti (parillisuus tai parittomuus). Esimerkiksi, satunnaiskävelijä ei voi koskaan päätyä pisteeseen x = 1 parillisella askelmäärällä tai takaisin vaikkapa origoon parittomalla askelmäärällä Stirlingin kaava Kun N ja x ovat suuria, niin todennäköisyyden laskeminen suoraan kaavalla (2.4) on hyvin työlästä tietokoneellekin. Onneksi todennäköisyysteoriassa on hyödyllinen kaava kertomien käsittelyyn suurilla N:n arvoilla. Kaava tunnetaan Stirlingin kaavan nimellä: Lause 1 (Stirlingin kaava). n! 2πn n+1 2 e n, n, missä merkinnällä a n b n tarkoitetaan, että a n ja b n ovat asymptoottisesti samat. Toisin sanoen lim n a n bn = 1. Todistus. Stirlingin kaavalle esiintyy useita todistuksia eri asiayhteyksissä. Esitetään tässä lähteessä [2, ss ] esiintyvä todistus, joka ei edellytä juurikaan esitietoja. Todistus perustuu geometriseen sarjaan 1 1 t = 1+t+t2 + = Sijoittamalla t:n paikalle t saadaan 1 1+t = 1 t+t2 = t k, t < 1. (2.5) k=0 ( 1) k t k, t < 1. (2.6) Kaavasta (2.6) saadaan integroimalla logaritmin Taylorin kehitelmä k=0 ln(1+t) = t 1 2 t t3 1 4 t4 + = ( 1) k 1 t k. (2.7) k k=1 Kaavasta (2.5) taasen saadaan ln(1 t) = t+ 1 2 t t3 + = k=1 1 k tk. (2.8)

12 12 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY Nyt riittää löytää estimaatti luvulle lnn! = ln1+ln2+ +lnn. Koska x lnx on aidosti kasvava, niin k lnxdx < lnk < k 1 k Summaamalla yli k = 1,...,n saadaan k+1 lnxdx. tai yhtäpitävästi n lnxdx < lnn! < 0 1 n+1 lnxdx nlnn n < lnn! < (n+1)ln(n+1) n. Tämä antaa aiheen verrata lukua ln n! johonkin lukuun, joka on lähellä epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen aritmeettista keskiarvoa. Yksinkertaisin tälläinen luku on(n+ 1 )lnn n. Tarkastellaan tämän 2 vuoksi erotuksia d n = lnn! (n+ 1 )lnn+n (2.9) 2 ja osoitetaan, että näin määritelty lukujono (d n ) n=1 suppenee. Huomaa, että Toisaalta d n+1 d n = (n+ 1 n+1 )ln 1. (2.10) 2 n n+1 n 2n n+1 = 1+ 1 Kaavojen (2.7) ja (2.8) summana saadaan. (2.11) 1 1+t ln 2 1 t = t+ 1 3 t t5 +..., t < 1. (2.12) Soveltamalla kaavoja (2.11) ja (2.12) erotukseen (2.10) saadaan d n d n+1 = 1 3(2n+1) (2.13) 2 5(2n+1) 4 Vertaamalla oikeaa puolta geometriseen sarjaan, jonka suhdeluku on (2n + 1) 2 nähdään, että 0 < d n d n+1 < 1 3((2n+1) 2 1) = 1 12n 1 12(n+1). (2.14)

13 2.1. YKSIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 13 Yhtälöstä (2.13) nähdään, että lukujono (d n ) n=1 on kasvava, kun taas arviosta (2.14) nähdään, että lukujono (d n (12n) 1 ) n=1 on vähenevä. Näin ollen (d n ) n=1 kasvavana, ylhäältä rajoitettuna lukujonona suppenee ja siten lim d n =: C n on olemassa. Tällöin yhtälön (2.9) mukaan n! e C n n+1 2 e n, mikä on Stirlingin kaava vakiota C vaille. Yhtäsuuruus e C = 2π voidaan osoittaa yhtä yksinkertaisella analyysillä kuin yllä. Tyydytään tässä yhteydessä viitteeseen [2, s. 180]. Vaikka edellä esitettyjen arvioiden tarkkuutta voidaan parantaa sofistikoituneemmilla menetelmillä, on yllä esitetty elementaarinen todistus riittävä meidän tarkoituksiin. Ja mikä tärkeintä, todistus pohjautui lähes yksinomaan geometriseeen sarjaan Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio Usein binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio esitetään keskeisen raja-arvolauseen erikoistapauksena. Edetään tässä kuitenkin toisin ja johdetaan normaalijakauma-approksimaatio suoraan binomijakaumalle. Tätä lähestymistapaa puoltavat myös historialliset syyt, sillä ensimmäisenä todistuksen esitti Abraham De Moivre kirjassaan The Doctrine of Changes vuonna 1718 ja todistus perustuu Stirlingin kaavaan. Esitystapa on otettu lähteestä [2, Kappale 7]. Palautetaan mieliin normaalijakauman tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Määr. 2. Funktiota ϕ(x) = 1 2π e 1 2 x2 sanotaan (standardisoidun) normaalijakauman tiheysfunktioksi ja funktiota Φ(x) = 1 2π x e 1 2 y2 dy sanotaan normaalijakauman kertymäfunktioksi. Palautetaan mieliin myös binomijakauma.

14 14 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY Määr. 3. Satunnaismuuttuja X on binomijakautunut ja merkitään X Bin(n,p), mikäli sen arvojoukko on S X = {0,1,2,...,n} ja pistetodennäköisyydet saadaan kaavalla ( ) n b(k;n,p) := P(X = k) = p k q n k, k missä q = 1 p. Kuten tunnettua, binomijakautunut muuttuja X voidaan ajatella n-kertaisena riippumattoman Bernoullin toistokokeen onnistumisten lukumääränä. Tarkastellaan yksityiskohtaisemmin tapausta p = q = 1 eli onnistuminen 2 ja epäonnistuminen yksittäisessä Bernoullin kokeessa on yhtä todennäköisiä. Tyypillinen esimerkki tästä on esimerkiksi lantinheitto. Tapauksen p = 1 valintaan on kolme syytä. Ensinnäkin laskut ovat paljon 2 yksinkertaisempia kuin yleisessä tapauksessa, jolloin approksimaation idea tulee selvemmin näkyviin. Toiseksi tätä tapausta käsiteltiin jo edellä. Kolmanneksi, tässä tapauksessa binomijakauma on symmetrinen, joten epäsymmetrian aiheuttamat tekniset yksityiskohdat eivät ole aiheuttamassa hankaluuksia. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että n = 2ν on parillinen. Koska normaalijakauma on symmetrinen ja pistetodennäköisyydet b(k;2ν, 1) ovat 2 symmetrisiä pisteen k = ν suhteen, on järkevää tarkastella binomikertoimia pisteen k = ν ympäristössä. Sitä varten asetetaan a k = b(ν +k;2ν, 1 ). (2.15) 2 Termit a k ovat symmetrisen binomijakauman pistetodennäköisyyksiä uudelleen numeroituna niin, että indeksi k = ν,...,ν ilmoittaa etäisyyden keskimmäisestä termistä a 0, joka on suurin binomikeroimista a k. Koska a k = a k, riittää tarkastella tapausta k 0. Koska olemme kiinnostuneita binomikertoimen käyttäytymisestä suurilla ν:n arvoilla ja koska a k on pieni, kun myös k on suuri, meitä kiinnostaa ne termit a k, joille k/ν on pieni. Koska ( ) 2ν = (2ν)! ν ν!ν! saadaan kertoimelle a k esitys termin a 0 avulla: = (2ν)!(ν +k)...(ν +2)(ν +1) (ν +k)!ν(ν 1)...(ν k +1)(ν k)!, a k = a 0 ν(ν 1)...(ν k +1) (ν +1)(ν +2)...(ν +k). (2.16)

15 2.1. YKSIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 15 Supistamalla termillä ν k saadaan osoittaja ja nimittäjä muotoa 1+j/ν olevien termien tuloksi, missä j = (k 1),...,k. Kun k/ν < 1, niin kaavan (2.7) mukaan 1+ j ν = ej/ν+o (( j ν ) 2 ), missä O on Landaun iso-o -symboli. Tällöin kaavan (2.16) osamäärä voidaan kirjoittaa eksponenttifunktion avulla muodossa, jossa eksponentti on 2 ν ( ) k 1+ +(k 1) ν = k2 ν termiä O (( k 3 /ν 3)) vaille. Näin ollen, kun ν ja k saa arvoja välillä 0 < k < K ν, missä K 3 ν /ν2 0, (2.17) saadaan approksimaatio Stirlingin kaavan mukaan a 0 = joten saadaan approksimaatio a k a 0 e k2 /ν. (2.18) ( ) 2ν 2 2ν 1, ν πν a k 1 n ϕ ( 2k n ), joka on voimassa kaikilla 0 < k < K n u, joille ehto (2.17) on voimassa. Huomaa, että erityisesti, kun k ν, edellinen ehto täyttyy. Usein ollaan kiinnostuneita, millä todennäköisyydellä satunnaismuuttuja saa arvoja jollakin välillä. Sitä varten tarkastellaan nyt summaa A(x 1,x 2 ) = x 1 k x 2 a k, missä x 1 0. Approksimoidaan summaa tiheysfunktion ϕ integraalin avulla. Koska ϕ on aidosti vähenevä R + :ssa, niin z1 +2/ n z 1 ϕ(x)dx < x 1 k x 2 2 n ϕ ( 2k n ) < z2 z 1 2/ n ϕ(x) dx,

16 16 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY missä on merkitty z i = 2x i n. Koska n, lähestyy epäyhtälön alaraja ja yläraja arvoa Φ(z 2 ) Φ(z 1 ). Symmetrian nojalla edellinen päättely voidaan tehdä myös tapauksessa k < 0. Näin ollen on saatu a k Φ(z 2 ) Φ(z 1 ) 1 2 z 1 n k 1 2 z 2 n kaikilla kiinteillä z 1 < z 2. Yllä on todistettu seuraava tulos erikoistapauksessa n on parillinen ja p = 1 2. Lause 2 (De Moivre-Laplace). Olkoon S n Bin(n,p). Kiinteillä z 1 ja z 2 pätee P(np+z 1 npq Sn np+z 2 npq) Φ(z2 ) Φ(z 1 ), kun n. Jos käytetään standardisoitua summaa S n = S n E(S n ) Var(S n ) = S n np npq, voidaan Lauseen 2 tulos kirjoittaa muodossa P(z 1 S n z 2 ) Φ(z 2 ) Φ(z 1 ). (2.19) Lause 2 on yleisessä tapauksessa osoitettu lähteessä [2, Kappale 7.3] 2.2 Useampiulotteinen satunnaiskävely Tarkastellaan kuten edellä yksinkertaisinta mahdollista satunnaiskävelyä, jossa sallitaan ainoastaan yhden yksikön pituiset siirtymät, mutta nyt useammassa ulottuvuudessa. Tarkastellaan jälleen symmetristä tapausta, jossa siirtymät ovat mahdollisia ainoastaan koordinaattiakselien suuntaan. Kappaleen 2.1 terminologiaa käyttäen kuvassa 2.2 on esitetty eräs mahdollinen pituutta N = 6 oleva satunnaiskävelijän polku kahdessa ulottuvuudessa. Kaksiulotteisessa tapauksessa kullakin pisteellä on 4 naapuria eli kokonaislukupisteparia (k,l) Z 2, johon se voi liikkua. Sanotaan, että satunnaiskävelijä liikkuu hilassa Z 2. Vastaavasti kolmiulotteisessa tapauksessa satunnaiskävelijällä on kussakin pisteessä 6 naapuria, joihin se voi liikkua. Satunnaiskävely on nyt luonnollisesti monimutkaisempaa kuin yhdessä ulottuvuudessa, sillä mahdollisia suuntia on useita. Eräs satunnaiskävelyyn liittyvistä mielenkiintoisista kysymyksistä on, että millä todennäköisyydellä

17 2.2. USEAMPIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 17 Kuva 2.2: Eräs mahdollinen polku, kun polun pituus on N = 6 kävelijä palaa origoon. Origoa voidaan ajatella vaikkapa systeemin tasapainotilana ja mielenkiintomme kohdistuu siihen, että palaako systeemi takaisin tasapainotilaan, ja jos palaa, niin millä todennäköisyydellä. Tähän kysymykseen vastaa seuraava Pólyan 1 lause, joka on aika yllättävä tulos. Lause 3. Symmetrisessä satunnaiskävelyssä yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa satunnaiskävelijä palaa alkupisteeseen varmasti (todennäköisyydellä yksi) ennemmin tai myöhemmin (ja täten äärettömän monta kertaa). Kolmessa ulottuvuudessa todennäköisyys on ainoastaan noin Ennen kuin mennään todistukseen huomautetaan, että aika ilmeinen seuraus on, että satunnaiskävelijä kävelee minkä tahansa pisteen ohi äärettömän monta kertaa yhdessä tai kahdessa ulottuvuudessa. Kolmiulotteisessa tapauksessa edellinen ei ole kuitenkaan totta. Niinpä sanonta kaikki tiet vievät Kuusamoon on tavallaan totta kahdessa ulottuvuudessa. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella kahta satunnaiskävelijää, jotka ottavat askeleet samanaikaisesti. Tapaavatko he koskaan? Vastausta varten määritellään kävelijöiden välinen etäisyys d pienimpänä määränä askelia kävelijöiden sijaintien välillä. Jos kävelijä 1 on paikassa k = (k 1,...,k d ) Z d ja käveijä 2 1 George Pólya ( ), unkarilainen matemaatikko

18 18 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY paikassa l = (l 1,...,l d ) Z d (d on avaruuden dimensio), niin itse asiassa d(k,l) = d k i l i. i=1 Mikäli kävelijät siirtyvät yhden askeleen, niin niiden välinen etäisyys joko säilyy ennallaan tai muuttuu kaksi yksikköä, joten heidän välinen etäisyys on joko parillinen tai pariton koko ajan. Niinpä kävelijät voivat kohdata ainoastaan, jos niiden välinen etäisyys on parillinen. Todennäköisyys, että kävelijät tapaavat jossakin pisteessä n askeleella on yhtäpitävää sen kanssa, että ensimmäinen kävelijä saapuu toisen kävelijän alkupisteeseen 2n askeleella. Tällöin lauseen 3 mukaan kävelijät tapaavat toisensa varmasti ennemmin tai myöhemmin kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa, mutta kolmiulotteisessa tapauksessa on mahdollista, etteivät kävelijät tapaa koskaan. Lauseen 3 todistus. Merkitään u n = P( satunnaiskävelijä palaa lähtöpisteeseen n askeleella ). Edellä käydyn keskustelun perusteella on selvää, että u n = 0, mikäli n on pariton. Riittää osoittaa, että {, d = 1,2, u 2n = (2.20) <, d = 3. n=1 Tämän osoittamiseksi olkoon f n todennäköisyys, että satunnaiskävelijä palaa lähtöpisteeseen ensimmäisen kerran n askeleella. Tällöin u n = f 1 u n 1 +f 2 u n 2 + +f n, n 1, (2.21) sillä tn., että kävelijä palaa ensimmäisen kerran lähtöpisteeseen ν askeleella ja myöhemmin uudelleen n > ν askeleella, on f ν u n ν. Koska tällaiset tapahtumat ovat toisensa poissulkevia, kun ν = 1,...,n 1, päädytään kaavaan (2.21). Asettamalla lisäksi u 0 = 1 ja f 0 = 0, nähdään, että (2.21) on itse asiassa konvoluutio n u n = ((u k ) k=0 (f k) k=0 ) n = f k u n k, n 1. (2.22) k=0 Ominaisuus (2.20) saadaan nyt generoivien funktioiden U(s) = u k s k ja F(s) = k=0 f k s k k=0

19 2.2. USEAMPIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 19 avulla. Koska konvoluution generoiva funktio on generoivien funktioiden tulo ja yhtälöstä (2.22) puuttuu ensimmäiset termit, saadaan yhtälöstä (2.22) suoraan U(s) u 0 = U(s) 1 = F(s)U(s) f 0 u 0 = F(s)U(s) U(s) = 1 1 F(s). Koska luvut u k ovat ei-negatiivisia, kasvaa U(s), kun s 1. Tällöin jokaisella N N u k limu(s) U(1) = u k = u. s 1 Toisaalta k=0 k=0 lim U(s) = 1 s 1 1 lim s 1 F(s), mikäli raja-arvo on olemassa. Mikäli lim s 1 F(s) = k=0 f k =: f < 1, niin raja-arvo on olemassa. Jos taas f = 1, niin raja-arvoa ei ole olemassa. Koska tapaus f < 1 tarkoittaa, ettei kävelijä välttämättä palaa lähtöpisteeseensä, ja tapaus f = 1 taasen tarkoittaa, että lähtöpisteeseen palataan varmasti, on perusteltu ominaisuuden (2.20) riittävyys. Ominaisuuden (2.20) varsinaiseksi osoittamiseksi havaitaan, että paluu lähtöpisteeseen tapahtuu täsmälleen silloin, kun kullakin koordinaattiakselilla tehdään positiiviseen ja negatiiviseen suuntaan sama määrä askelia. Yksiulotteinen tapaus on helppo. Kaavasta (2.4) välittömästi nähdään, että satunnaiskävelijä palaa 2n askelella origoon todennäköisyydellä Stirlingin kaavan mukaan u 2n = u 2n 1 πn ( ) 2n 4 n n u 2n =. Kaksi- ja kolmiulotteisessa tapauksessa käytetään hyväksi multinomijakaumaa, joka on binomijakauman yleistys. Multinomijakauma liittyy n-kertaiseen toistokokeeseen, jossa kullakin toistokerralla on r mahdollisuutta, jolloin tapaus r = 2 vastaa binomijakaumaa. Olkoot E 1,...,E r kyseessä olevat tapahtumat ja olkoon tapahtuman E i todennäköisyys p i, jolloin n=1 p 1 +p 2 + +p r = 1.

20 20 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY Tällöin todennäköisyys, ettän-kertaisessa toistokokeessa E i esiintyy k i kertaa on n! k 1!k 2! k r! pk 1 1 pk 2 2 pkr r, missä k 1 +k 2 + +k r = n. Näin ollen kaksiulotteisessa tapauksessa u 2n = 1 4 2n k=0 (2n)! k!k!(n k)!(n k)! = 1 ( 2n 4 2n n ) k=0 ( ) 2 n. k Voidaan osoittaa, että summalauseke antaa ( 2n n) (katso esimerkiksi Wikipedian Binomijakauma-artikkeli ). Todennäköisyydeksi u 2n saadaan jälleen Stirlingin kaavan ja edellisen mukaan u 2n = 4 2n ( 2n n) 2 n 1 u 2n =. n=1 Kolmiulotteisessa tapauksessa saadaan multinomijakauman avulla vastaavasti u 2n = 6 2n (2n)! j!j!k!k!(n j k)!(n j k)! j,k = 1 ( ) 2n ( 1 n! ) 2, 2 2n n 3 n j!k!(n j k)! j,k missä summaus käy yli kaikkien ideksien j ja k, joille j + k n. Summalausekkeessa on multinomijakauman pistetodennäköisyydet kolmen yhtätodennäköisen tapahtuman E 1,E 2,E 3 tapauksessa, jotka summautuvat luvuksi yksi. Niinpä summalauseke on korkeintaan siinä esiintyvien termien maksimi. Nimittäin, jos j,k a j,k = 1, niin j,k a 2 j,k max j,k a j,k j,k a j,k = max j,k a j,k. Maksimi taasen saavutetaan, kun j ja k ovat luokkaa n/3. Stirlingin kaavan mukaan n 2n+1 2 n n+ 1 2 u 2n n 3/2 <. (n n+1 2) 2 n n+3 2 n=1 n=1 n=1

21 2.2. USEAMPIULOTTEINEN SATUNNAISKÄVELY 21 Huomautus 1. Lauseen 3 todistuksessa generoivilla funktioilla esitetty ominaisuuden (2.20) riittävyyden perustelu liittyy yleisemmin Markovin ketjujen toistuvien 2 tilojen karakterisointiin. Tilaa sanotaan pysyväksi 3, jos f = 1, ja ohimeneväksi 4, jos f < 1. Esittelemämme perustelun mukaan toistuva tila on pysyvä jos ja vain jos u = u k <. k=0 Pólyan lauseelle on esitetty toisenlainen todistus lähteessä [12]. Tarkastellaan vielä kappaleen lopuksi absorboivan reunan 5 käsitettä kaksiulotteisessa tapauksessa. Olkoon Ω Z 2 jokin rajoitettu alue. Jaetaan alueen Ω reuna Γ kahteen osaan Γ 0 ja Γ 1, jota sanotaan absorboivaksi osaksi. Oletetaan, että satunnaiskävelijä on pisteessä (x, y) Ω. Olemme kiinnostuneita todennäköisyydestä u(x,y), että kävelijä saavuttaa reunan Γ 1 ennen reunaa Γ 0. Olkoon (x, y) alueen Ω sisäpiste. Se voi liikkua mihin tahansa naapureista (x±1,y),(x,y±1) todennäköisyydellä 1 4, joten u(x,y) = 1 4( u(x+1,y)+u(x 1,y)+u(x,y +1)+u(x,y 1) ), (2.23) missä oikealla puolella oleva termi on nolla, mikäli piste kuuluu reunaan Γ 0 (eli saavutetaan reuna Γ 0 ensin) ja termi saa arvon 1, mikäli piste kuuluu reunaanγ 1 (saavutetaan reuna Γ 1 ensin). Kyseessä on siis reuna-arvotehtävä, jossa reunaehtona on { 1, (x,y) Γ 1, u(x,y) = 0, (x,y) Γ 0. Yhtälö (2.23) on tuntemattomien u(x, y) lineaarinen systeemi, jossa kutakin sisäpistettä (x, y) Ω vastaa yksi yhtälö ja yksi tuntematon. Systeemi on epähomogeeninen, sillä Γ 1 :n reunapisteitä vastaa termi 1 oikealla puolella. 4 Näin ollen systeemillä on yksikäsitteinen ratkaisu jos ja vain jos vastaavalla homogeenisella yhtälöryhmällä on ainoastaan triviaali ratkaisu u 0. Oletetaan siis, että Γ = Γ 0 eli alueen Ω reuna koostuu ainoastaan Γ 0 :n pisteistä. Koska u(x, y) on naapureidensa aritmeettinen keskiarvo, ei funktiolla u voi olla aitoa maksimia tai minimiä yhdessäkään sisäpisteessä. Näin ollen u 0 ja siten yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu. Palataan tähän ongelmaan vielä myöhemmin. 2 recurrent 3 persistent 4 transient 5 absorbing barrier

22 22 LUKU 2. SATUNNAISKÄVELY

23 Luku 3 Diffuusio 3.1 Satunnaiskävelyn yhteys diffuusioon Aloitetaan heuristisella päättelyllä, mitä tapahtuu, kun askelten lukumäärä kasvaa ja kun askelia otetaan yhä nopeammin. Vaikka edellä kuvatut satunnaiskävelyt olivat hyvin pelkistettyjä ja yksinkertaisia, ei se poissulje sitä ajatusta, että todellinen liike voitaisiin nähdä tällaisten yksinkertaisten siirtymien jatkuva-aikaisena raja-arvona 1. Ajatellaan esimerkiksi Brownin havaitsemaa siitepölyn satunnaista liikettä. Voidaanko liike tulkita valtavana määränä törmäyksiä pieniin partikkeleihin? Toki oletuksemme siitä, että törmäyksiä tapahtuu tasaisin väliajoin ja törmäyksien vaikutuksesta otetaan vain kiinteän mittaisia askelia, on liiallinen yksinkertaistus. Mutta mikä on merkittävää, on se, että rajalla näillä yksinkertaistuksilla ei juurikaan ole merkitystä. Samaa menettelyä voidaan soveltaa fysiikan lisäksi muun muassa taloustieteessä ja evoluutioteoriassa. Tämä oli myös historiallinen lähestymistapa Brownin liikkeen mysteerin selvittämisessä. Tässä kappaleessa esitetty löytyy lähes sanasta sanaan lähteestä [2, Kappale 14.6]. Oletetaan siis, että satunnaiskävelijä tekee pieniä δ-yksikön mittaisia askelia lyhyin aikavälein niin, että liike näyttää jatkuvalta (vertaa esimerkiksi vanhanaikaiset elokuvanauhat, joissa kiinteitä kuvia toistetaan niin nopeasti, että kuva näyttää liikkuvalta). Olkoon kävelijä (partikkeli) n askeleen jälkeen pisteessä S n = X 1 +X 2 + +X n, missä muuttujat X i ovat samalla tavalla jakautuneita Bernoullin satunnaismuuttujia, jotka saavat arvot ±δ todennäköisyyksillä P(X i = δ) = p ja P(X i = δ) = q. Tällöin E(S n ) = (p q)δn ja Var(S n ) = 4pqδ 2 n. (3.1) Oletetaan nyt, että partikkeli tekee r askelta aikayksikössä, jolloin askel n 1 continuous time limit 23

24 24 LUKU 3. DIFFUUSIO otetaan ajanhetkellä n/r. Käytännössä tätä mikroskooppista liikettä ei havaita, vaan makroskooppinen liike, jonka keskimääräinen siirtymä ja varianssi aikayksikössä ovat likimain vakiot (p q)δr = c, 4pqδ 2 r = D (3.2) Jos esimerkiksi δr = 1 ja δ on hyvin pieni, niin D on hyvin pieni, jolloin liike näyttää deterministiseltä: jos joukko partikkeleja on alussa lähellä toisiaan, niin ne pysyvät lähellä toisiaan ikään kuin kyseessä olisi kiinteä kappale. Niinpä systeemin hitaat fluktuaatiot voidaan tulkita pienten satunnaisten muutosten superpositiona, joka näyttää deterministiseltä. Sama näkyy myös keskeisessä raja-arvolauseessa: yksityiskohdat voivat olla hyvinkin eri tavalla jakautuneita, mutta rajalla saadaan normaalijakauma. On hämmästyttävää kuinka vähäisillä oletuksilla yksittäisten partikkelien liikkeen yksityiskohdilla ei ole merkitystä, sillä havainnot riippuvat ainoastaan näiden odotusarvosta ja varianssista. Asetetaan v k,n = P(S n = kδ). (3.3) Kiinnostava kysymys on nyt seuraava: mitä tapahtuu, kun δ 0, p 1 2 ja n,r,k niin, että n/r t, kδ x, (p q)δr c, 4pqδ 2 r D? (3.4) Aivan kuten kaavassa (2.3) nähtiin, tapahtuma {S n = kδ} edellyttää, että luvuilla n ja k on sama pariteetti ja että tapahtuma sattuu täsmälleen silloin, kun (n+k)/2 askelta otetaan oikealle. Lauseen 2 mukaan tällöin v k,n 1 2πnpq e (1 2 (n+k) np)2 /(2npq) = 2δ 2πDt e (x ct)2 /(2Dt). 1 2πnpq e (k n(p q))2 /(8npq) Koska luvuilla n jak on oltava sama pariteetti, on tapahtuman {S n = kδ} tn. sama kuin tapahtuman {k 1 S n k +1}. Koska välin pituus on 2δ, niin voidaan todeta, että suhde v k,n /(2δ) mittaa lokaalia todennäköisyyttä yksikköpituutta kohden (so. on todennäköisyystiheys). Nyt siis suhdeluku v k,n /(2δ) suppenee kohti lukua v(x,t) = 1 2πDt e 1 2 (x ct)2 /(Dt). (3.5) Vaikka edellä esitettiin heuristinen päättely, ei liene yllättävää, että tällä on läheinen yhteys diffuusioon. Sitä varten tarkastellaan partikkelin sijaintia

25 3.2. CTRW 25 n ja n + 1 askeleen jälkeen. Todennäköisyydet (2.4) toteuttavat differenssiyhtälön v k,n+1 = pv k 1,n +qv k+1,n. (3.6) Kertomalla yhtälö puolittain luvulla 2δ voidaan todeta, että aiemmin esitetyn nojalla funktio (3.5) on differenssiyhtälön v(x,t+r 1 ) = pv(x δ,t)+qv(x+δ,t) likimääräinen ratkaisu. Vähentämällä puolittain v(x,t) saadaan v(x,t+r 1 ) v(x,t) = p(v(x δ,t) v(x,t))+q(v(x+δ,t) (x,t)), sillä p+q = 1. Kertomalla puolittain r:llä ja käyttämällä Taylorin kehitelmää saadaan v(x, t) t = (q p)δr v(x,t) x δ2 r 2 v(x,t) x 2 +. Suorittamalla vaadittavat rajankäynnit saadaan rajalla v(x, t) t = c v(x,t) x D 2 v(x,t) x 2, (3.7) joka on kulkeutumistermin 2 sisältämä diffuusioyhtälö, joka tunnetaan myös nimellä Fokker-Planckin yhtälö. Ei liene yllättävää, että (3.5) on yhtälön (3.7) ratkaisu. Mikäli olisi lähdetty suoraan oletuksesta p = q = 1, olisi kulkeutumistermi ollut nolla ja olisi saatu suoraan diffuusioyhtälö. Tämä on hyvin luon- 2 nollista, sillä symmetrisessä tapauksessa kulkeutumista ei tapahdu (c = 0). Kulkeutuminen aiheutuu satunnaiskävelyn epäsymmetriasta (toiseen suuntaan liikutaan todennäköisemmin kuin toiseen). Edellä esitetty heuristinen päättely voidaan yleistää tapaukseen, jossa c ja D riippuvat paikasta x ja ajasta t. Lisäksi useampiulotteinen tapaus menee samaan tapaan. Mikä tärkeintä, kaikki nämä yleistykset voidaan johtaa yleisistä todennäköisyyden postulaateista. 3.2 Jatkuva-aikainen satunnaiskävely 3 Edellä käsiteltiin ainoastaan tapausta, jossa askelpituudet olivat kiinteitä ja partikkeli suoritti askelia tasaisin väliajoin. Näimme kuitenkin, että sopivilla 2 drift term 3 Continuous Time Random Walk (CTRW)

26 26 LUKU 3. DIFFUUSIO rajankäynneillä päädyttiin diffuusioyhtälöön. Satunnaiskävely voidaan yleisesti nähdä ajassa kehittyvänä satunnainen prosessina, jota kutsutaan stokastiseksi prosessiksi. Edellä käsitellyt esimerkit olivat aika-paikkadiskreettejä prosesseja eli jonoja (X n ) n=0 = (X 0,X 1,...), missä X i on diskreetti satunnaismuuttuja ajanhetkellä t = i. Tämä prosessi voidaan yleistää eri tavoilla: (i) aika-diskreetti, jatkuvapaikkainen prosessi, jolla tarkoitetaan jonoa(x i ) i=0, missä X i on jatkuva satunnaismuuttuja ajanhetkellä t i. Tässä ajanhetkien ei tarvitse olla tasavälein, vaan riittää, että 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... (ii) aika-paikka-jatkuva prosessi (X t ) t 0, missä X t :t ovat jatkuvia sm:ia jokaisella t > 0. Nyt siis myös aika on jatkuva muuttuja. Keskitytään tässä kohtaan (ii). Jatkuva-aikainen satunnaiskävelymalli (lyhyemmin CTRW-malli) perustuu ideaan, jossa yksittäisen partikkelin suorittamien hyppyjen pituus (askelpituus) ja hyppyjen välinen odotusaika ovat molemmat satunnaismuuttujia. Nyt siis annamme sekä askelpituuden että odotusajan varioida. CTRW-malli on siis esimerkki kohdan (ii) mukaisesta stokastisesta prosessista. Määritellään seuraavaksi CTRW-malli matemaattisesti. Olkoot J 1,J 2,... ei-negatiivisia, riippumattomia ja samalla tavalla jakautuneita (jatkossa lyhyesti i.i.d. 4 satunnaismuuttujia, jotka mallintavat askelien välisiä odotusaikoja. Asetetaan T(0) = 0 ja olkoon T(n) = n j=1 J j hypyn n ajankohta. Oletetaan, että hyppyjen pituudet ovat i.i.d. satunnaismuuttujia X 1,X 2,... yleisesti R d :ssä. Oletetaan, että J i :t ja X i :t ovat toisistaan riippumattomia. Oletetaan, että satunnaiskävelijä on aluksi origossa, toisin sanoen asetetaans 0 = 0. OlkoonS n = n i=1 X i satunnaiskävelijän paikkanhypyn jälkeen eli ajanhetkellä T(n). Jokaisella t 0 olkoon N t = max{n 0 : T(n) t} ajanhetkeen t mennessä tehtyjen hyppäysten lukumäärä. Tällöin N t Y t = S Nt = on partikkelin paikka ajanhetkellä t. Stokastista prosessia (Y t ) t 0 sanotaan jatkuva-aikaiseksi satunnaiskävelyksi (CTRW). 4 independent and identically distributed i=1 X i

27 3.2. CTRW 27 Esim 1. Sovellusten kannalta eräs keskeisimpiä jatkuva-aikaisia stokastisia prosesseja on Poisson-prosessi. Mikäli J i :t ovat i.i.d. satunnaismuuttujia yhteisenä jakaumanaexp(α) jollakinα > 0, niin stokastista prosessia (N t ) t 0 nimitetään Poissonin prosessiksi. Prosessia ((N t ) t 0 nimitetään usein myös laskuriprosessiksi 5, sillä se laskee jonkin tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärän ajanhetkeen t mennessä. Tällä on lukuisia sovelluksia eri tieteenaloilla. Esimerkkinä mainittakoon vaikkapa satunnaisin väliajoin maksettavat vakuutuskorvaukset, jotka noudattavat jotakin jatkuvaa jakaumaa eksponenttijakauman määräämin väliajoin. Esim 2. Toinen erittäin tärkeä ja diffuusion kannalta keskeinen stokastinen prosessi on Wiener-prosessi (tai yleisemmin Lévy-prosessi), jonka erityistapaus on Brownin liike. Yleisesti stokastista prosessia (W t ) t 0 sanotaan Wiener-prosessiksi, jos (i) W(0) = 0 todennäköisyydellä yksi; (ii) (Riippumattomat lisäykset) W t W s, missä t > s, on riippumaton muuttujista W u kaikilla 0 u s. Toisin sanoen aikavälin [t,s] lisäys ei riipu menneisyydestä; (iii) (Stationaariset normaalit lisäykset) W t W s jaw t s ovat jakaumaltaan samat ja noudattavat normaalijakaumaa N(0,t s); merkitään W t W s W t s N(0,t s); (iv) Funktio t W t on jatkuva todennäköisyydellä yksi. Kuvaan 3.1 on havainnollistettu satunnaiskävelijän polku tapauksessa, jossa hyppyjen pituudet on arvottu jakaumasta X N(0, 2) ja odotusajat noudattavat eksponenttijakaumaa, J Exp(1). Tässä tapauksessa keskimääräinen hyppyjen pituus on E(X) = 0 ja keskimääräinen odotusaika on E(J) = 1. Vaaka-akseli kuvaa aikaa ja pystyakseli satunnaiskävelijän paikkaa kullakin ajanhetkellä. Usein olemme käytännössä kiinnostuneita jonkin systeemin käyttäytymisestä makroskooppisella tasolla, jolloin satunnaisvaihtelut ovat tasoittuneet. Toivottavaa on, että systeemin käyttäytymistä voidaan kuvata matemaattisesti. Edellä nähtiin, että spoivilla rajankäynneillä Bernoullin n-kertainen toistokoe johti diffuusioyhtälöön, joka on systeemin matemaattinen malli makrotasolla. Rajankäynnissä hyödynsimme Lausetta 2. Jos meillä on yleisemmin kyseessä mikä tahansa (riittävän hyvin käyttäytyvä) diskreettiaikainen stokastinen prosessi (X n ) n=1 (jätetään termi X 0 5 counting process

28 28 LUKU 3. DIFFUUSIO Kuva 3.1: Satunnaiskävelijän eräs polku yksiulotteisessa tapauksessa pois, sillä X 0 = 0), niin voimme hyödyntää keskeistä raja-arvolausetta, jonka eräs muoto 1-ulotteisessa tapauksessa on seuraava [3, Kappale 8.4]. Lause 4 (Keskeinen raja-arvolause). Olkoot X 1,X 2,... i.i.d. satunnaismuuttujia, joille E(X k ) = 0, Var(X k ) = 1, niin summalle S n = X 1 +X 2 + +X n pätee S n := S n n = S n E(S n ) Var(Sn ) i.d. N(0,1), missä i.d. tarkoittaa suppenemista jakaumaltaan, toisin sanoen Sn :n kertymäfunktio F n (x) suppenee kohti normaalijakauman kertymäfunktiota Φ(x) kaikilla x. Rajankäynnin seurauksena saadaan uusi stokastinen prosessi, jota sanotaan alkuperäisen prosessin skaalausrajaksi 6. Aiemmin nähtiin, että yksinkertaisen satunnaiskävelyn rajaprosessin tiheysfunktio oli normaalijakauman tiheysfunktio ja että tiheysfunktio toteuttaa diffuusioyhtälön. Tämä antaa vihiä siitä, että sopivilla oletuksilla yksinkertaisen satunnaiskävelyn skaalausraja on Brownin liike. 6 scaling limit

29 3.3. CTRW:N SKAALAUSRAJA 29 Olisi toivottavaa, että myös jatkuva-aikaisessa satunnaiskävelyssä meillä olisi käytössä keskeisen raja-arvolauseen yleistys, jonka avulla voidaan määrätä skaalausrajan jakauma. Onneksi meillä on käytössä tulos [3, Lause 4, Kappale 8.5]. Lause 5. Olkoon Lauseen 4 oletukset voimassa satunnaismuuttujille X i ja olkoot N 1,N 2,... positiivisia kokonaislukuarvoisia i.i.d. sm:ia, joille n 1 N n 1 stokastisesti. Tällöin S Nn / n i.d. N(0,1). Lauseen 5 oletus takaa, että pitkän ajan kuluttua askelten lukumäärä kasvaa rajatta. Lausetta voidaan soveltaa seuraavasti. Jos satunnaiskävelijän hypyt X i ja laskuriprosessi (N t ) t 0 täyttävät t:n kokonaislukuarvoilla Lauseen 5 oletukset, niin c 1/2 S N ct i.d. N(0,t), missä x = max{k Z k x} on suurin kokonaisluku, joka on korkeintaan x. Karkeasti ottaen voidaan todeta, että jos satunnaiskävelijän hypyt ovat i.i.d., joilla on varianssi, ja odotusajat ovat i.i.d. sm:ia, joille (N t ) t 0 täyttää Lauseen 5 ehdon, niin myös aikajatkuvan satunnaiskävelyn skaalausrajan kertymäfunktio on normaalijakauman kertymäfunktio. Tämä antaa vihiä siitä, että myös tässä tapauksessa skaalausraja on Brownin liike. Ei keskitytä tähän asiaan tämän enempää. Lähdetään seuraavaksi tutkimaan satunnaiskävelyn käyttäytymistä muunnostekniikoiden avulla. 3.3 CTRW:n skaalausraja Tässä esitettävä löytyy paljon laajemmin lähteestä [10]. Tarkastellaan yksiulotteista aika-paikka-jatkuvaa satunnaiskävelyä. CTRW-malli perustuu ideaan, jossa yksittäisen partikkelin hypyn pituuden ja hyppyjen välisen odotusajan määrää tiheysfunktio ψ(x, t). Voidaan osoittaa, että satunnaiskävelyprosessia voidaan kuvata integraaliyhtälön η(x,t) = 0 η(x,t )ψ(x x,t t )dx dt +P 0 (x)δ(t) (3.8) avulla, missä η(x, t) on todennäköisyystiheys sille, että on saavuttu pisteeseen x ajanhetkellä t. Toisessa termissä P 0 (x) on satunnaiskävelyn alkuehto ja δ(t) on yksikköimpulssi ajanhetkellä t = 0. Tässä voi tuntua ehken kummalliselta, että miksi paikkamuuttujan integrointi on miinus-äärettömästä äärettömään, jos kyse on pituudesta. Olemme ehkä hieman epätäsmällisesti omaksuneet, että tässä yhteydessä pituudella tarkoitetaan pituutta, jolla on sekä suuruus että suunta. Tämä sopimus on kirjallisuudessa yleisesti käytössä. On parempi

30 30 LUKU 3. DIFFUUSIO puhua yhdellä termillä ja pitää mielessä, että siihen sisältyy myös suunta kuin puhua jokainen kerta sekä suunnasta että pituudesta. Periaatteessa toki voisimme tarkastella tilannetta, jossa suunnalla on oma jakauma ja hypyn pituudella on omansa. Ei puututa tässä yhteydessä kuitenkaan siihen. Yhtälö on luonnollinen yleistys aiemmin käsittelemäämme diskreettiin tapaukseen. Diskreetissä tapauksessa todennäköisyydelle saatiin differenssiyhtälö, joka oli seuraus siitä, että olimme kartoittaneet kaikki mahdolliset reitit, jota kautta annettuun pisteeseen voidaan päätyä. Koska nyt jatkuvassa tapauksessa sekä aika että hyppyjen suunnat ja pituudet ovat satunnaisia, on mahdollisia reittejä ääretön määrä. Integraalitermi on nyt summan vastine, missä kartoitetaan kaikki mahdollisuudet, joilla pisteestä (x,t ) päästään pisteeseen (x,t). Näin tapahtuu, jos pisteestä x suoritetaan hyppäys, jonka pituus on x x ja suunta on luvun x x etumerkin määräämä ja pysytään tämän jälkeen paikallaan ajanhetkeen t saakka. Alkuehdon sisältämä termi taasen tarkoittaa sitä, että ajanhetkellä t = 0 todennäköisyysmassan jakauma on P 0 (x), joka lähtee ajan kuluessa levittäytymään avaruuteen. Satunnaiskävelyssä usein koko todennäköisyysmassa on keskittynyt origoon ajanhetkellä t = 0 eli P 0 (x) = δ(x). Tiheysfunktion ψ reunatiheyksinä saadaan hypyn pituuden ja hyppyjen välisen odotusajan tiheysfunktiot. Koska λ(x) = w(t) = 0 Ψ(t) = 1 ψ(x, t)dt ψ(x, t)dx t 0 w(t )dt (3.9) on todennäköisyys, että hyppyä ei tapahdu aikavälillä (0, t), niin todennäköisyystiheys P(x, t) pisteen x jakaumalle ajanhetkellä t, on P(x,t) = t 0 η(x,t )Ψ(t t )dt. (3.10) Yllä oleva identiteetti tarkoittaa, että on saavuttu ko. pisteeseen ajanhetkellä t ja että ei olla siirrytty siitä sen jälkeen. Kaavoista (3.8) ja (3.10) saadaan todennäköisyystiheydelle P integraaliyhtälö P(x,t) = P 0 (x)ψ(t)+ t 0 ψ(x x,t t )P(x,t )dx dt. (3.11)

31 3.3. CTRW:N SKAALAUSRAJA 31 Koska yhtälöiden (3.9) ja (3.11) oikealla puolella esiintyy Fourier- ja Laplace-konvoluutiot, on luonnollista muuntaa yhtälö (3.11) taajuusalueeseen Fourier-muunnoksen ja Laplace-muunnoksen F(f)(ξ) = f(ξ) = L(g)(s) = g(s) = 0 e iξx f(x)dx e st g(t)dt avulla. Fourier-Laplace-muuntamalla (3.11) ja käyttämällä konvoluution muunnoskaavoja saadaan todennäköisyystiheyden muunnokselle algebrallinen yhtälö 1 w(s) P 0 (ξ) P(ξ,s) = s 1 ψ(ξ,s), (3.12) missä Fourier-Laplace-muunnokselle on käytetty merkintää f(ξ,s) := F(L(f)(,s))(ξ) Takaisin Brownin liikkeeseen Oletetaan että hyppyjen pituus ja odotusaika ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jolloin ψ(x, t) = λ(x)w(t). Jos hyppyjen pituus noudattaa normaalijakaumaa, λ N(0,2σ 2 ), ja odotusaika on eksponenttijakautunut, w Exp(1/τ) (eli kyseessä on Poisson-prosessi), on niiden Fourierja Laplace-muunnoksella asymptoottiset kehitelmät w(s) = 1 sτ +O(s 2 ), s 0, ˆλ(ξ) = 1 σ 2 ξ 2 +O(ξ 4 ), ξ 0. Kehitelmät saadaan laskemalla muunnosten Taylorin kehitelmät origossa. Tarkastellaan esimerkkinä hyppyjen jakaumaa. Vakiotermi tulee siitä, että ˆλ(0) = λ(x)dx = 1, sillä λ on todennäköisyystiheys. Vastaavasti ensimmäisen asteen termin kerroin on ˆλ (0) = d e ixξ λ(x)dx = i xλ(x)dx = 0, dξ ξ=0

32 32 LUKU 3. DIFFUUSIO sillä hyppyjen pituuden odotusarvo on nolla. Samalla tavalla voidaan laskea myös muut termit. Odotusajan Laplace-muunnoksen kehitelmä saadaan vastaavalla tavalla. Sijoittamalla edelliset kehitelmät yhtälöön (3.12), voidaan se kirjoittaa muodossa s P(ξ,s) P0 (ξ) = σ2 τ ξ2 P(ξ,s), ξ,s 0. (3.13) Kehitelmät origon ympäristössä taajuuspuolella määräävät funktion käyttäytymisen suurilla askelpituuksilla ja odotusajoilla Tauberin lauseen nojalla [3, Kappale 13.5]. Käyttämällä derivaatan muunnoskaavoja F( 2 xf)(ξ) = ξ 2 F(f)(ξ) ja L( t f)(s) = sl(f)(s) f(0), saadaan kaavasta (3.13) systeemin käyttäytymistä kuvaavaksi malliksi t P(x,t) σ2 τ 2 xp(x,t) = 0, t, x, diffuusioyhtälö (lämpöyhtälö) suurilla askelpituuksilla ja pitkillä odotusajoilla. Yhtälailla, jos P 0 (x) = δ(x), niin yhtälön (3.12) mukaan P(ξ,s) Käänteismuuntamalla saadaan P(x,t) τ τs+σ 2 ξ2, ξ,s πDt e x2 2Dt, D = σ 2 τ, suurilla askelpituuksilla ja pitkillä odotusajoilla. 3.4 Epätavallinen diffuusio Tässä kappaleessa oleva asia löytyy tarkemmin lähteestä [4] ja paljon kattavammin lähteestä [10]. Mikään ei estä meitä valitsemasta hyppyjen ja odotusaikojen jakaumaa toisella tavalla. Itse asiassa löytyy paljon tilanteita, joissa diffuusio on tavallisesta poikkeavaa. CTRW-mallin kannalta se tarkoittaa sitä, että joko hyppyjen tai odotusajan tai molempien jakaumat ovat paksuhäntäisiä. Toisin sanoen ne vaimenevat äärettömyydessä hitaammin kuin Brownin liikkeeseen johtavassa tapauksessa, jossa molemmat vaimenevat äärettömyydessä eksponentiaalisesti. Voidaan mennä jopa niin pitkälle, että jakaumat ovat niin paksuhäntäisiä, ettei välttämättä edes odotusarvoa ole olemassa. Käytännön kannalta tällainenkin tilanne voi olla hyvin mahdollinen ja relevantti.

33 3.4. EPÄTAVALLINEN DIFFUUSIO 33 Jos esimerkiksi λ(x) 1 x 1+β, x, jollekin 1 < β < 2, niin odotusarvo on olemassa, mutta varianssia ei. Tällöin on paljon todennäköisempää kuin Brownin liikkeen tapauksessa, että satunnaiskävelijä tekee hyvin pitkän hypyn. Tälle tapaukselle on luonteenomaista, että vastaavan stokastisen prosessin skaalausrajan (M t ) t 0 polut t M t ovat epäjatkuvia. Esimerkiksi taloudessa tapahtuvat muutokset ovat epäjatkuvia, joten Brownin liike ei suoranaisesti sovellu tällaisten prosessien mallintamiseen. Tätä aspektia on käsitelty perusteellisesti lähteessä [1]. Toinen relevantti tilanne voi olla CTRW, jonka odotusaika vaimenee äärettömyydessä potenssilain mukaisesti w(t) t 1 α, t, jollakin 0 < α < 1. Tällöin edes odotusarvoa ei ole olemassa. Tässä tapauksessa odotusajat voivat olla paljon pitempiä kuin tavallisen diffuusion tapauksessa. Viitteitä tällaisesta käyttäytymisestä on saatu esimerkiksi fotovirran potenssilain mukaisesta vaimenemisesta amorfisissa puolijohteissa [6] Diffuusion eri lajien luokittelu Tarkastellaan tässäkin ainoastaan yksiulotteista tapausta. Useampiulotteinen tapaus voidaan käsitellä analogisesti. Olkoon P(x, t) todennäköisyystiheys partikkelin paikan x jakaumalle ajanhetkellä t. Diffuusion eri lajeja voidaan luokitella keskimääräisellä neliöllisellä siirtymällä (MSD 7 ) MSD := x 2 P(x,t)dx, joka kuvaa miten partikkelit keskimäärin diffuntoituvat ajan funktiona, kun partikkelien jakauma ajanhetkellä t = 0 on tunnettu. Jos partikkelien jakauma ajanhetkellä t = 0 on yksikköimpulssi, niin tavallisen diffuusion tapauksessa saadaan integroimalla perusratkaisu MSD = x 2 P(x,t)dx = Ct jollekin vakiolle C, joten keskimääräinen neliöllinen siirtymä on suoraan verrannollinen aikaan. Tämä sama käyttäytyminen havaittiin Rayleighin ääniaaltojen tapauksessa. 7 Mean Squared Displacement

34 34 LUKU 3. DIFFUUSIO Diffuusio voi kuitenkin olla tavallista hitaampaa tai nopeampaa, jolloin puhutaan epätavallisesta diffuusiosta 8. Jos MSD t γ ja (1) γ < 1, niin puhutaan subdiffuusiosta; (2) γ = 1, niin puhutaan tavallisesta diffuusiosta; (3) γ > 1, niin puhutaan superdiffuusiosta; (4) γ = 2, niin puhutaan ballistisesta diffuusiosta. Jos MSD =, niin puhutaan Lévy-lennoista. 60 Tavallinen diffuusio 1200 Levy lento Kuvassa vasemmalla on yhden partikkelin reitti tavallisessa diffuusiossa ja oikealla Lévy-lennossa, kun satunnaiskävelijä on suorittanut 2000 askelta origosta lähtien. Huomaa kuvien mittakaavaero. Lévy-lennoissa erittäin pitkät hypyt ovat mahdollisia johtuen P(,t):n toisen momentin rajoittamattomuudesta, kun taas tavallisessa diffuusiossa kaikki momentit ovat äärellisiä, minkä vuoksi erittäin pitkät hypyt ovat hyvin harvinaisia. 8 anomalous diffusion

35 3.5. SUBDIFFUUSIO SATUNNAISKÄVELYN SKAALAUSRAJANA Subdiffuusio satunnaiskävelyn skaalausrajana Tarkastellaan lopuksi hieman tarkemmin millaisen jatkuva-aikaisen satunnaiskävelyn skaalausrajana subdiffuusio saadaan.tämä kappale liittyy suhteellisen tuoreisiin tutkimustuloksiin, joten on siksi syventävää materiaalia. Kuten edellä muunnostekniikoiden avulla nähtiin, subdiffuusiossa odotusajan jakaumilla ei ole olemassa odotusarvoa eikä siten myöskään varianssia. Näin ollen keskeistä raja-arvoa ei voi käyttää näiden jakaumien skaalausrajan tutkimiseen. Sen vuoksi tarvitaan keskeisen raja-arvolauseen yleistys, joka soveltuu tällaisten paksuhäntäisten jakaumien käsittelyyn. Keskeisessä asemassa ovat aidosti stabiilit 9 jakaumat [3, Kappale VI]. Määr. 4. Olkoot X,X 1,...,X n i.i.d. satunnaismuuttujia yhteisenä jakaumanaan F. Jakaumaa F sanotaan aidosti α-stabiiliksi, jos S n := n X d k = n 1/α X k=1 jollakin 0 < α 2. Merkintä d = tarkoittaa, että satunnaismuuttujat ovat jakaumiltaan samat. Voidaan osoittaa, että stabiilit jakaumat ovat ainoita jakaumia, jotka saadaan jakaumien n 1/α S n raja-jakaumina. Karkeasti ottaen, jos (nollakeskiarvoisilla) satunnaismuuttujilla X k on varianssi, niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan n 1/2 S n suppenee jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa N(0,σ 2 ), missä σ 2 = Var(X k ). Näin ollen normaalijakauma vetää puoleensa aikamoista joukkoa jakaumia F. Tällaisille puoleensa vetäville jakaumille on luontevaa määritellä Määr. 5. Olkoot X k, k = 1,2,..., i.i.d. satunnaismuuttujia, joilla on yhteinen jakauma F. Jakauma F kuuluu jakauman G attraktioalueeseen 10, jos on olemassa sellaiset normeerausvakiot a n > 0 ja b n, että a 1 n (S n b n ) i.d. G, n. Tämän määritelmän mukaan normaalijakauman attraktioalueeseen kuuluu karkeasti ottaen jakaumat, joilla on varianssi. Toisaalta voidaan todeta, 9 strictly stable 10 domain of attraction

36 36 LUKU 3. DIFFUUSIO että normaalijakauma toteuttaa Määritelmän 4 ehdon, kun α = 2. Näin ollen normaalijakauma on 2-stabiili, jonka attraktioalue on laaja, muttei kata riittävän paksuhäntäisiä jakaumia. Edellä useaan otteeseen käytetty sananparsi tarkkaan ottaen voidaan tässä yhteydessä tarkentaa. Sitä varten olkoot jälleen X k, k = 1,2,..., kuten määritelmässä 4. Olkoon U(x) = x x y 2 df(y) jakauman F katkaistu toinen momentti. Lisäksi tarvitaan hitaasti heilahtelevan funktion käsitettä. Sanotaan, että funktio L heilahtelee hitaasti 11 äärettömyydessä, jos jokaisella x > 0 pätee L(sx) L(s) 1, s. (3.14) Esimerkiksi L(x) 1 ja L(x) = log x ovat äärettömyydessä hitaasti heilahtelevia funktioita. Stabiileille jakaumille pätee seuraava keskeisen rajaarvolauseen yleistys [3, Kappale IX.8]. Lause 6. Jakauma F kuuluu (i) normaalijakauman attraktioalueeseen, jos ja vain jos U toteuttaa ehdon (3.14) (eli U heilahtelee hitaasti äärettömyydessä). (ii) jonkin α-stabiilin jakauman G, jolle 0 < α < 2, attraktioalueeseen, jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: ja 1 F(x) 1 F(x)+F( x) p (0,1], x, 1 F(x)+F( x) 2 α α x α L(x), x, jollekin äärettömyydessä hitaasti heilahtelevalle funktiolle L. Näiden alustusten jälkeen voidaan lähteä tarkastelemaan itse asiaa eli sopivan satunnaiskävelyn skaalausrajana saatavaa subdiffuusiota. Yksityiskohtia löytyy mm. lähteistä [7, 8]. Tässä monisteessa diffuusiota tarkastellaan ainoastaan koko avaruudessa R n. Lähteessä [9] subdiffuusiota on käsitelty rajoitetussa alueessa Ω R n. 11 varies slowly

37 3.5. SUBDIFFUUSIO SATUNNAISKÄVELYN SKAALAUSRAJANA 37 Tarkastellaan aluksi odotusaikoja. Käytetään samoja merkintöjä kuten Kappaleessa 3.2. Olkoon T n = n j=1 J j hypyn n ajankohta, missä J j :t ovat ei-negatiivisia i.i.d. satunnaismuuttujia, jotka määräävät askelten väliset odotusajat. Oletetaan, että P(J j > t) t α jollekin 0 < α < 1, jolloin odotusajan odotusarvo ei ole äärellinen. Koska J j :t ovat ei-negatiivisia, onf Jj ( x) = 0 kaikilla x > 0, joten Lauseen 6 kohdan (ii) ensimmäinen ehto on triviaalisti voimassa: 1 F(x) 1 F(x)+F( x) = 1 F(x) 1 =: p, 1 F(x) missä on yksinkertaisuuden vuoksi merkitty F Jj := F. Toisaalta valitsemalla L(x) 1 nähdään, että myös toinen ehto on voimassa: 1 F(x)+F( x) = 1 F(x) = P(J j > x) x α oletuksen P(J j > t) t α mukaan. Niinpä Lauseen 6 mukaan c 1/α T ct i.d. D t, c, missä D t on α-stabiili jakauma. Odotusaikojen skaalausraja on siis α-stabiili jakauma jollakin 0 < α < 1. Hyppyjen ajankohdat T n ja ajankohtaan t mennessä tehtyjen hyppyjen lukumäärä N t ovat käänteisiä 12 prosesseja {N t x} = {T x t}. Lauseen 6 mukaan hyppyjen lukumäärän jakaumalle saadaan skaalausraja missä c α N ct i.d. E t, E t = inf{τ : D τ > t}. Prosessia E t kutsutaan saapumisaikaprosessiksi 13, sillä se ilmoittaa milloin odotusajan skaalausraja ensimmäisen kerran ylittää tason t. Käänteisten prosessien skaalausrajat ovat myös käänteisiä ja skaalausrajojen skaalaukset ovat käänteisiä: D ct = c 1/α D t ja E ct = c α E t. Tarkastellaan seuraavaksi hyppyjen pituuksien jakaumaa. Oletetaan, että normaalijakauma kuuluu hyppyjen pituuden jakauman attraktioalueeseen. Tällöin hyppyjen pituuden skaalausrajana saadaan Brownin liike B t. Alistetaan 14 Brownin liike prosessille E t, jolloin saadaan stokastinen prosessi (B Et ) t 0. Koska Brownin liike skaalautuu B ct = c 1/2 B t, niin prosessin B Et skaalaus on B Ect = B c α E t = c α/2 B Et 12 inverse 13 hitting time tai first passage time 14 subordinate