Tik Tietokoneanimaatio
|
|
|
- Riikka Myllymäki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tik Tietokoneanimaatio 7.luento: motion capture & editing Tassu Animaatio luento 7 1
2 Sisältö I. Liikkeen tallennus (motion capture) Perusajatus: havaintopisteistä tulkitaan hahmon liike Sovelluksia: elokuva, pelit Sensoritekniikkaa: magneettianturit, optiset laitteet, kamera Kameran kalibrointi: optiikan korjaus, perspektiivi 3D-koordinaattien rekonstruktio monesta kuvasta Kinemaattisten parametrien laskenta II. Liikkeen muokkaus (motion editing) Liikedatan segmentointi Taajuussuodatus Ajan ja liikkeen venytys (warping) Liikkeen sovittaminen uuteen hahmoon tai tilanteeseen III. Muita kameraan perustuvia tekniikoita Ääriviivakuvan tunnistus Monikamerakuvaus, Matrix-efekti Pistejoukkomallinnus Tassu Animaatio luento 7 2
3 I. Motion capture Perusajatus: kopioidaan elävä liike animaatioon Historiaa: rotoskopia, päälle piirtäminen Nyt: hahmon liike tulkitaan laskennallisesti havaintopisteistä Sovelluksia: elokuvat, pelit, ergonomian tutkimus Tassu Animaatio luento 7 3
4 Sensoritekniikkaa Magneettianturit Mekaaniset anturit (exoskeleton) Optiset laitteet kamerat markkerit LEDejä heijastimia IR-valo Tassu Animaatio luento 7 4
5 MoCap videokuvasta Alustus Ympäristön referenssipisteiden tunnistus Kameran kalibrointi Markkereiden kiinnitys näyttelijään Datan keruu ja korjailu Hahmon markkeripisteiden tunnistus Pisteiden korrelointi eri kameroissa/frameissa 3D-pisteiden rekonstruktio Datapisteiden sovitus hahmon rajoite-ehtoihin Kinemaattisten parametrien laskenta Soveltaminen Kinemaattisen datan sovittaminen uuteen hahmoon Liikkeen editointi eri ilmaisuja varten Tassu Animaatio luento 7 5
6 Kameran optiikan kalibrointi Optiikan korjaus epälineaarisuuksien havaitsemista kuvan vanutusta (image warping) Mielivaltainen korjaus määriteltävissä paloittain lineaarisena tekstuurimuunnoksena testikuvan avainpisteiden avulla haetaan viivojen risteyskohtien koordinaatit tekstuurikoordinaatistossa (= alkuperäinen kuva) kuvataan nämä pisteet säännölliselle hilalle tuloskuvassa Tyypillinen linssivirhe: radiaalinen epälineaarisuus aiheuttaa tynnyriefektin (ks. kuva yllä) korjattavissa polaarikoordinaatistossa (r,φ) sovitetulla polynomikaavalla, esim. r = 1+c 1 r 2 +c 2 r 4 +c 3 r 6 ja φ = φ (ei yleensä tarvitse korjausta) Huom. välttämättä koko kuvatekstuuria ei tarvitse muuntaa tunnistetaan markkerit vääristyneessä kuvassa ja korjataan niiden paikat Tassu Animaatio luento 7 6
7 Kameran sijainnin laskenta Sijainti ja asento lasketaan perspektiivissä havaituista (tunnetuista) ympäristömarkkereista joka markkerille i yhtälö (u,v) i = P R T (x,y,z) i missä P=projektio, R=rotaatio, T=translaatio yhtälöryhmästä ratkaistaan kameran sijainti T ja asento R (tai koko matriisi M=PRT) tilastollisesti esim. pseudoinverssiä käyttäen U 4 n = M 4 4 X 4 n M 4 4 U 4 n X + n 4 uv xyz Muotoiltu markkeri antaa enemmän informaatiota Tarpeen myös videokuvan ja virtuaaliympäristön yhdistämisessä (Augmented Reality) näyttelijät sinitaustaa vasten, upotus virtuaalilavasteisiin animoitujen hahmojen sijoittaminen videokuvaan Tassu Animaatio luento 7 7
8 3D-koordinaattien rekonstruktio Ideaalisesti: kahdesta kuvasta tunnistettu sama markkeri lähetetään säde kamerasta markkerin kuvapisteen suuntaan 3D-piste = eri kameroiden säteiden leikkaus Käytännössä: tietyn markkerin tunnistus kuvasta epävarmaa (useita vaihtoehtoja) säteet eivät tarkasti osu yhteen siis: haetaan useista kamerapareista vastinpisteet, lasketaan jokaisesta säteiden lyhintä etäisyyttä vastaavat pisteet, ja nämä klusteroidaan yhdeksi Tassu Animaatio luento 7 8
9 Kuvapisteiden korrelointi Periaate kameran A kuvasta tunnistetusta pisteestä lähetetään säde säde projisoidaan kameran B kuvatasolle ns. epipolaariviivaksi etsitään tunnistettuja pisteitä epipolaarilinjalta tarkistetaan ratkaisun yksikäsitteisyys kolmannen kameran kuvasta Käytännössä pyritään ottamaan kaikkien kameroiden havainnot tasapuolisesti huomioon iteratiivinen rekonstruktio virheellisiä korrelaatioita ei voida täysin välttää cam A cam B? Tassu Animaatio luento 7 9
10 Muita rekonstruktio-ongelmia Markkerit sekottuvat toisiinsa Usein markkeri joutuu näkymättömiin Vääriä tunnistuksia (esim. häiriöitä valaistuksessa) Rekonstruktiolaskennan epätarkkuus kohinaa liikesignaalissa Ratkaisukeinona kinematiikkaa ja dynamiikkaa koskevien rajoitusten käyttö kiinteässä kappaleessa etäisyyssuhteet vakioita kinemaattiset sidokset rajaavat vapausasteita kohteen nopeus/kiihtyvyys tiedetään rajallisiksi liikkeen jatkuvuus ennustava tilastollinen suodatus, esim. Kalman filter Tassu Animaatio luento 7 10
11 Kinemaattisten parametrien laskenta Usein markkerit eivät sellaisinaan riitä sijainti vaatteissa, ei nivelissä epätarkkuudet mittauksessa animoitava hahmo eri kokoinen Sovittaminen anatomiseen malliin approksimoidaan nivelen paikka useammasta markkerista otetaan mallin tunnetut rajoitteet avuksi esim. jäsenten pituudet, nivelten ääriasennot Käänteiskinematiikkaa sovitetaan kiinnekohdat, esim. jalat maahan Anatominen malli auttaa myös näkyvistä kadonneiden markkereiden löytämisessä Tassu Animaatio luento 7 11
12 Lopuksi Tuloksena joukko markkereiden ja/tai kinemaattisten parametrien arvoja aikasarjana Ei-reaaliaikaisessa animaatiotuotannossa usein jälkikäsittelyvaihe, jossa saatua dataa korjaillaan käsityönä Reaaliaika-animaatiossa sovellus voi auttaa liikkeentunnistusohjelmaa ratkaisemaan moniselitteisiä tilanteita Tassu Animaatio luento 7 12
13 II. Motion editing Käsitellään liikedataa signaalina Ei pelkästään kaapatun liikkeen käsittelyä; lähteenä voi olla myös mallinnettu/animoitu liike (esim. Endorphin) Muistuttaa äänen editointia Kukin liikeparametri omalla kanavallaan Tassu Animaatio luento 7 13
14 Menetelmiä suodatus eri taajuuskaistoilla (vrt. audio equalizing) liikesaumojen sulauttaminen (vrt. cross-fading) synkronointi ajallisiin tapahtumiin (warping) interpolointi taajuusavaruudessa tiettyjen liikkeen osien korostaminen liikekäyrien käsittely splineinä (keyframing) rajoitusehtojen täyttäminen (IK, space-time constraints) Tassu Animaatio luento 7 14
15 Taajuussuodatus Käsitellään liikesignaalia taajuuskaistoittain (vrt. equalizer) Alipäästö (matalat taajuudet) tekee liikkeestä laiskan Ylipäästö (korkeat) tekee hermostuneen vaikutelman Keskikaistalla saadaan liioiteltuja rauhallisia liikkeitä Vastaa multiresoluutiomallintamista [Bruderlin95] Tassu Animaatio luento 7 15
16 Blending Kahden tai useamman liikedatan summaus painokertoimet ja taajuussuodatus kullekin erikseen Interpolaatio (cross-fading) painokertoimia muutetaan, summa pysyy (=1.0) Eri painokertoimet ja suodatus eri osille kehoa voidaan kombinoida eri liikkeistä kokonaisuuksia esim. vasen+oikea käsi Tassu Animaatio luento 7 16
17 Synkronointi Yhdistettävien liikesarjojen oltava samassa vaiheessa eri tallennuskerroilla liikkeen tempo voi olla erilainen (esim. laahustava ja reipas kävely) epälineaarinen paikallinen venytys ja tiivistys ajassa (=warp) sovittaa signaalit samaan tahtiin Periodisille liikkeille (esim. kävely) toimii Fourier-muunnos [Unuma95] skaalataan perustaajuus samaksi (=rescaling) interpoloidaan signaaleja taajuustasossa skaalataan takaisin ja muunnetaan aika-avaruuteen Tassu Animaatio luento 7 17
18 Muita menetelmiä Dataan voidaan lisätä uusia piirteitä muotoilu epälineaarisella funktiolla (=waveshaping) displacement (bump) mapping esim. lisätään vapinaa käsiin Korostetaan yksittäisiä liikkeitä esim. näkyvä käden heilautus normaalin kävelyn aikana Tassu Animaatio luento 7 18
19 Retargeting Liikkeen sovittaminen uuteen hahmoon tai tilanteeseen ks. Gleicherin artikkeli, Siggraph 98 Figure 1: Differently sized characters pick up an object. Their positions are determined by the position of the object. The left shows the original actress. The center shows a figure 60% as large. The right shows a figure with extremely short legs and arms and an extremely long body. The yellow cones represent footplant positions. -> -> Videos Tassu Animaatio luento 7 19
20 III. Special techniques Hahmon löytäminen videokuvasta ääriviivat, tekstuurit, kasvomarkkerit luurangon sovittaminen kuvaan Monikamerakuvaus elävästä hahmosta saadaan monta perspektiiviä yhtä aikaa katselu virtuaalikameralla Point set modeling 3D skannerit renderointi Tassu Animaatio luento 7 20
21 Ääriviivakuvan tunnistus Kuvankäsittely poistetaan tausta (usein bluescreen) tunnistetaan ääriviivat Sovittaminen malliin = hahmontunnistusta ääriviivan piirteiden tunnistus, esim. sormet muodon (pikseleiden) jakauman momentit tekstuurin liikeen tunnistus (optical flow) Tassu Animaatio luento 7 21
22 Sovelluksia M.Krueger: Videoplace Vivid group: Mandala P.Hämäläinen et al: Kukakumma muumaassa ja Kick-ass kung-fu Tassu Animaatio luento 7 22
23 Monikamerakuvaus Matrix -efekti: näyttelijä pysähtyy, mutta kamera jatkaa liikettään Digital Air Movia digital camera array on location Tassu Animaatio luento 7 23
24 Pistejoukkomallinnus (point cloud modeling) Geometrisen kohteen esittäminen joukkona pinnalta mitattuja 3D-pisteitä saadaan laser-skannerilla tai usealla kameralla esimerkkejä: ja Digital Michelangelo (Stanford) Käytetään usein mocap:in yhteydessä 3D-mallin lähtökohtana Kolmioinnilla muunnettavissa polygonipinnaksi Voidaan myös renderoida sellaisenaan joka pisteen paikalle väripiste joukolle pisteitä yhteinen tekstuuriläiskä (splat rendering) Tassu Animaatio luento 7 24
25 Tassu Animaatio luento 7 25
26 References Menache: Understanding Motion Capture for Computer Animation and Video Games. Morgan Kaufmann 1999 Artikkeleita Bruderlin, Williams: Motion signal processing. Siggraph 95 Unuma et al: Fourier principles for emotion-based human figure animation. Siggraph Witkin, Popovic: Motion warping. Siggraph 95 Michael Gleicher: Retargeting motion to new characters. Siggraph 98 State et al: Superior augmented reality registration by integrating landmark tracking and magnetic tracking. Siggraph 96 Lisää informaatiota, linkkejä ja monia muita firmoja Tassu Animaatio luento 7 26
27 Videot (myöhemmin) Sovelluksia filmeissä Star Wars: Episode #1 (virtuaalinäyttelijä JarJar) Matrix (ajanpysähtymisefekti) Simpsons (parodia mocapista) Tekniikkaa Moxy, Acclaim (Siggraph Video Review #101) Siggraph 97 näyttely (omaa materiaalia) Siggraph 95 proceedings CD-ROM (examples) Gleicher (Siggraph 98 video) AR tracking (Siggraph 96 video, #25) Tassu Animaatio luento 7 27
Kurssi syksyllä 2006 http://www.tml.tkk.fi/opinnot/t-111.5030/
Tassu Takala Kurssi syksyllä 2006 http://www.tml.tkk.fi/opinnot/t-111.5030/ 21.9.2006 1 Tavoitteet kolmiulotteinen mallintaminen valmiilla työkaluohjelmilla animaatio ilmaisumuotona + tarvittavat tekniset
T Tietokoneanimaatio
T-111.5450 Tietokoneanimaatio Tassu Takala Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio 1. Luento 19.9.2005 Sisältö Henkilökunta Suoritustapa ja aikataulu Kurssimateriaali
T-111.450 Tietokoneanimaatio ja mallintaminen. Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio 02/02
T-111.450 Tietokoneanimaatio ja mallintaminen Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio 02/02 Animaatio / 1 2D Avainkuvatekniikka Sisältö Kerronnallisia
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Tassu Takala Kurssi syksyllä 2008
Tassu Takala Kurssi syksyllä 2008 23.9.2008 1 Tavoitteet kolmiulotteinen mallintaminen valmiilla työkaluohjelmilla animaatio ilmaisumuotona + tarvittavat tekniset perusteet valaistus ja kuvien tuottaminen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön
Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Juho Kannala 7.5.2010 Johdanto Tietokonenäkö on ala, joka kehittää menetelmiä automaattiseen kuvien sisällön tulkintaan Tietokonenäkö on ajankohtainen
Tik Tietokoneanimaatio
Tik-111.5450 Tietokoneanimaatio 4. Kinematiikka 10.10.05 - Tassu Animaatio 2005 - luento 4 1 Sisältö Nivelikäs olio hierarkkisena mallina liitosten vapausasteet ja rajoitteet, eri lajeja DH-notaatio Suora
Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet
Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet Jukka Teuhola Turun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Syksy 2010 http://staff.cs.utu.fi/kurssit/digitaalisen_kuvankasittelyn_perusteet/syksy_2010/index.htm DKP-1 J.
Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP
Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Datan käsittely. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Datan käsittely Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 3. Datan käsittely Luennon sisältö: Havaintovirheet tähtitieteessä Korrelaatio Funktion sovitus Aikasarja-analyysi 3.1 Havaintovirheet Satunnaiset
3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi. Tommi Tykkälä
3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi Tommi Tykkälä Läpivienti Keyframe-animaatio Lineaarisesta interpoloinnista TCB-splineihin Bezier-käyrät Rotaatioiden interpolointi Kameran animointi Skenegraafit
Luku 7: Animaatio. Eksplisiittiset menetelmät Implisiittiset menetelmät Suora ja käänteinen kinematiikka Motion capture Elokuvamaisuus
Eksplisiittiset menetelmät Implisiittiset menetelmät Suora ja käänteinen kinematiikka Motion capture Elokuvamaisuus Animaatio Peleissä tärkeimmät animoitavat kohteet ovat pelihahmot, etenkin avatar Animointi
Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU 30.4.2003 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003: Reaaliaikainen 3D grafiikka Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002.
Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed. DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002. Sisältö:! Johdanto!! Ajallinen käyttäytyminen! oteutus!
Itse valtiaat sarjan visuaalinen toteutus
Itse valtiaat sarjan visuaalinen toteutus Luennon sisältö Itse valtiaat pähkinän kuoressa Mitä on 3D-animaatio? Sarjan teossa käytetyt ohjelmat ja sovellukset Sarjan teossa käytetyt käyttöjärjestelmät
T Tietotekniikan peruskurssi: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-106.1041 Tietotekniikan peruskurssi: Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Luennon aiheita (1) mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia mikä on digitaalinen
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
T Studio 4. luento 1: kurssin järjestelyt k-2006 tietokonegrafiikan perusteita Tassu Takala 1
T-111.210 Studio 4 luento 1: kurssin järjestelyt k-2006 tietokonegrafiikan perusteita 20.1.2006 Tassu Takala 1 Kurssin tavoitteet ohjelmoitavan tietokonegrafiikan alkeet grafiikan soveltaminen luovalla
Lisätty Todellisuus / Augmented Reality
Lisätty Todellisuus / Augmented Reality Charles Woodward / VTT Tietotekniikka Lisätty Todellisuus Augmented Reality (AR) Määritelmä yhdistää todellista ja virtuaalista reaaliaikainen interaktio toimii
Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
Kuvanlaadunparantaminen. Mikko Nuutinen 21.3.2013
Kuvanlaadunparantaminen Mikko Nuutinen 21.3.2013 Luennon sisältö Termistöä Kuvanentisöinti Terävyys unsharp masking Kohina non-local means Linssivääristymän korjaus Kuvanlaadunehostaminen Kontrasti Auto-levels
Liikkuva-sovellusprojekti
Liikkuva-sovellusprojekti Joel Kivelä Erkki Koskenkorva Mika Lehtinen Oskari Leppäaho Petri Partanen Vaatimusmäärittely Julkinen Versio 010 1322014 Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Jyväskylä
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Mediatekniikan laitos T-110.1110 / 1 Oppimistavoitteet Tietokonegrafiikan
Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio T-110.1100
T-111.210 Studio 4. luento 1: kurssin järjestelyt k-2005 tietokonegrafiikan perusteita. 20.1.2005 Tassu Takala 1
T-111.210 Studio 4 luento 1: kurssin järjestelyt k-2005 tietokonegrafiikan perusteita 20.1.2005 Tassu Takala 1 Kurssin tavoitteet ohjelmoitavan tietokonegrafiikan alkeet grafiikan soveltaminen luovalla
Teoreettisia perusteita II
Teoreettisia perusteita II Origon siirto projektiokeskukseen:? Origon siirto projektiokeskukseen: [ X X 0 Y Y 0 Z Z 0 ] [ Maa-57.260 Kiertyminen kameran koordinaatistoon:? X X 0 ] Y Y 0 Z Z 0 Kiertyminen
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
SGN-4200 Digitaalinen Audio Harjoitustyö-info
1 SGN-4200 Digitaalinen Audio Harjoitustyö-info 04.04.2012 Joonas Nikunen Harjoitystyö - 2 Suorittaminen ja Käytännöt Kurssin pakollinen harjoitustyö: Harjoitellaan audiosignaalinkäsittelyyn tarkoitetun
T Studio 4. luento 1: kurssin järjestelyt k-2007 ( www) aihepiirin yleisesittely tietokonegrafiikan perusteita Tassu Takala 1
T-111.2210 Studio 4 luento 1: kurssin järjestelyt k-2007 ( www) aihepiirin yleisesittely tietokonegrafiikan perusteita 19.1.2007 Tassu Takala 1 Kurssin tavoitteet ohjelmoitavan tietokonegrafiikan alkeet
Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
Luento 4 Georeferointi
Luento 4 Georeferointi 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
Tik-111.5450 Tietokoneanimaatio
Tik-111.5450 Tietokoneanimaatio 3. Asennon (pyörähdysliikkeen) esittäminen ja interpolointi 3.10.05 - Tassu Animaatio 2005 - luento 3 1 Sisältö matriisiesitys, matriisin komponenttivektorien merkitys perusakselien
Luento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 6 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
T-111.2210 Studio 4. kurssin järjestelyt k-2008 ( www) aihepiirin yleisesittely tietokonegrafiikan ja vuorovaikutustekniikan perusteita
T-111.2210 Studio 4 kurssin järjestelyt k-2008 ( www) aihepiirin yleisesittely tietokonegrafiikan ja vuorovaikutustekniikan perusteita 29.1.2008 Tassu Takala 1 Kurssin tavoitteet ohjelmoitavan tietokonegrafiikan
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
Tietokonegrafiikan kertausta eli mitä jokaisen animaattorin tulisi tietää tekniikasta
Tassu Takala Tietokonegrafiikan kertausta eli mitä jokaisen animaattorin tulisi tietää tekniikasta Mallinnustekniikkaa Animaation perustekniikkaa Harjoitustyöt 12.10.2006 1 Aiheita mallintaminen muodon
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen
TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan
Koulutus 2: Pistepilviohjelmistot
ProDigiOUs -hanke Koulutus 2: Pistepilviohjelmistot Kalle Tammi Kevät 2018 Koulutuksen sisältö 1. Aloitus 2. Yleistä ohjelmistoista 3. Scene-ohjelma, käyttöliittymä ja toiminnot 4. Pistepilvien käsittely
Mihin käytetään (jatkuu) Mihin käytetään (jatkuu) Mihin käytetään (jatkuu) Grafiikkajärjestelmä. Graafiset näyttölaitteet.
Oppimistavoitteet T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tietokonegrafiikan peruskäsitteistön tunteminen Kyky keskustella alan laitteista esim. näytönohjaimista
b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
1 Vrms 2 Skewness 3 Kurtosis 4 Amax 5 Amin. 11 A4xbf 12 A7xbf 13 A14xbf 14 A1xrotf 15 A2xrotf. 16 A3xrotf 17 A4xrotf 18 A1to4xrotf 19 Vrms10to100
JAVO mittaukset 4..006 -Primaari-ilmapuhallin I - keruutaajuus.56 x khz, kiihtyvyysmittaus - aikasarjan talletus, T 1s, 15 min välein, 500 kertaa 8 6 4 5 7 1 'PA fan 1, motor current' 'PA fan, motor current'
Luento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Luento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 4 Georeferointi 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg
3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet Mikael Hornborg Luennon sisältö 1. Optiset koordinaattimittauskoneet 2. 3D skannerit 3. Sovelluskohteet Johdanto Optiset mittaustekniikat perustuvat valoon ja
Luento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 12.10.2004) Luento 8: Kolmiointi AIHEITA Kolmiointi Nyrkkisääntöjä Kuvablokki Blokin pisteet Komparaattorit
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
Lisätyn todellisuuden ratkaisuja sisustus- ja rakennussuunnitteluun. Prof. Charles Woodward VTT Digitaaaliset tietojärjestelmät
Lisätyn todellisuuden ratkaisuja sisustus- ja rakennussuunnitteluun Prof. Charles Woodward VTT Digitaaaliset tietojärjestelmät SISÄLTÖ Lisätty todellisuus - Johdanto Sovelluksia sisustussuunnittelussa
Digitaalisen videonkäsittelyn perusteet Jukka Teuhola Turun yliopisto IT-laitos, Tietojenkäsittelytiede Syksy-2009 DVP-1 Teuhola 2009 1 1. Johdanto Yleistä Sisältösuunnitelma Materiaali Mistä on kysymys?
1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala. Mediatekniikan laitos 23.3.2012
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tassu Takala Mediatekniikan laitos Luennon aiheita (1) Mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia Mikä on digitaalinen kuva? rasterikuva
Mekanismisynteesi. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvojen pohjalta)
Mekanismisynteesi Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvojen pohjalta) 1 Sisältö Synteesin ja analyysin erot Mekanismisynteesin vaiheita Mekanismin konseptisuunnittelu Tietokoneavusteinen mitoitus
9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
Visualisoinnin perusteet
1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Visualisoinnin perusteet Mitä on renderöinti? 2 / 12 3D-mallista voidaan generoida näkymiä tietokoneen avulla. Yleensä perspektiivikuva Valon
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Luento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Harjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Luento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Logistinen regressio, separoivat hypertasot
Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen
Digitaalinen signaalinkäsittely Johdanto, näytteistys
Digitaalinen signaalinkäsittely Johdanto, näytteistys Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Paikkatiedon tulevaisuus
Paikkatiedon tulevaisuus Yksityismetsätalouden metsänhoitajien vierailu TE:llä 11.10.2007 Juhani Tervo Pääarkkitehti, GIS Iso skaala erilaisia paikkatietojärjestelmiä Paikkatieto tietojärjestelmissä Paikkatietojärjestelmä
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/
Spektrin sonifikaatio
Spektrin sonifikaatio AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tehtävän kuvaus ja työn rakenne... 2 3. Teoria... 2 3.1 Ääni mekaanisena aaltona...
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
ELEKTRONISET TOIMINNOT
LUENTO 2 ALUKSI OLI... EHKÄ MIELENKIINTOISIN SUUNNITTELIJAN TEHTÄVÄ ON TOTEUTTAA LAITE (JA EHKÄ MENETELMÄKIN) JONKIN ONGELMAN RATKAISEMISEEN PUHTAALTA PÖYDÄLTÄ EI (AINAKAAN SAMALLA PERIAATTEELLA) VALMIITA
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto Luento 23.4.2009, T. Hackman & J. Näränen 1. Yleisesti tärkeätä Peruskäsitteet Mitä havaintomenetelmää kannatta käyttää? Minkälaista teleskooppia millekin
Fotogrammetrian termistöä
Fotogrammetrian termistöä Petri Rönnholm, Henrik Haggrén, 2015 Hei. Sain eilen valmiiksi mukavan mittausprojektin. Kiinnostaako kuulla yksityiskohtia? Totta kai! (Haluan tehdä vaikutuksen tähän kaveriin,
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
TIES411 Konenäkö ja kuva-analyysi Oppimispäiväkirja.
TIES411 Konenäkö ja kuva-analyysi Oppimispäiväkirja. Tämän oppimispäiväkirjan on kirjoittanut Peter Ciszek, kurssista TIES411 Konenäkö ja kuvaanalyysi. Viikko 43 Ensimmäisellä viikko kurssilla käytettiin
Luento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
Likimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
Adobe Premiere 6.0 ohjelmasta
1 Adobe Premiere 6.0 ohjelmasta 1. Ohjelman käynnistys...2 2 Ohjelman näkymän esittely...3 Työskentelytila...3 3 VIDEON KAAPPAUS:...6 3.1. Tallennuspaikka valitaan valitsemalla...6 3. 2. Kaappaus aloitetaan
Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä:
Mittausten virheet Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä: 1. Luemme lämpömittarin vain asteen tarkkuudella. Ehkä kyseessä on digitaalimittari,
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
Digitaalinen audio
8003203 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2005 Tuomas Virtanen Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2 Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot, sekä niissä
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
Tik Tietokoneanimaatio
Tik-111.5450 Tietokoneanimaatio 9.luento: flexible materials, shape deformations 28.11.05 - Tassu Animaatio 2005 - luento 9 1 Sisältö Tavoite: malli elävämpi jos ei ole jäykkä kiinteä kappale Sovelluksia:
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti