Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
|
|
- Marjatta Lehtonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tik Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003: Reaaliaikainen 3D grafiikka Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi Jarkko Luoma 45329S
2 Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi Jarkko Luoma TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tiivistelmä Tämä tutkielma esittää miten paljon polygoneja sisältävien objektien yksityiskohdat voidaan siirtää normaalitekstuureihin ja näin tehdä mahdolliseksi yksinkertaistaa objektin rakennetta. Ensin esitellään normaalitekstuurin käsite. Sitten käydään läpi menetelmän edut ja ongelmakohdat. Sen jälkeen selvitetään miten normaalitekstuuri muodostetaan yksityiskohtaisesta objektista. Sitten kerrotaan vielä miten normaalitekstuuria voidaan käyttää reaaliaikaisessa valaistuslaskennassa. Lopuksi perehdytään vielä menetelmän nykysovelluksiin ja pohditaan menetelmän tulevaisuutta. 1 JOHDANTO Yksinkertaistaminen normaalitekstuurien avulla on menetelmä, jolla objektin polygonien määrää voidaan vähentää huomattavasti ilman, että kappaleen visuaalinen ilme olennaisesti muuttuu (Kuva 1). Menetelmän ideana on, että vähän polygoneja sisältävän kappaleen valaistus voidaan laskea siten kuin kyseessä olisi yksityiskohtainen kappale. Normaalitekstuurit lasketaan alkuperäisen paljon polygoneja sisältävän kappaleen avulla. Koska yksityiskohtaista versiota objektista käytetään vain normaalitekstuurien laskemiseen, voi alkuperäisessä kappaleessa olla periaatteessa rajattomasti polygoneja. Se kuinka paljon alkuperäisen kappaleen yksityiskohdista pystytään siirtämään normaalitekstuuriin riippuu kuitenkin käytetyn normaalitekstuurin koosta. Itse normaalitekstuuri on tavallinen kuvatiedosto. Normaalitekstuurin yhden pikselin värin R-, G- ja B-komponentit vastaavat normeeratun normaalivektorin x-, y- ja z-komponentteja. Normaalitekstuurin käyttäminen on siis yksi teksturilla pinnoittamisen muoto. Väriarvojen sijaan tekstuurista vain löytyy pinnan normaalivektoreita. Tekstuureilla pinnoittamista ei kuitenkaan käsitellä tässä tarkemmin. Normaalitekstuuria hyödynnetään valaistuksen laskennassa siten, että laskennassa käytetään normaalitekstuurin normaaleja objektin pinnan normaalien interpoloinnin sijaan. Objektien polygonien vähentäminen siten, että kappaleen muoto säilyy mahdollisimman lähellä alkuperäistä on normaalitekstuurien soveltamiseen läheisesti liittyvä aihe, sitä ei kuitenkaan käsitellä tässä tutkielmassa tarkemmin. Englannin kielisiä termejä "bump map" ja "normal map" käytetään usein sekaisin. Termi "bump map" tarkoittaa kuitenkin tekstuuria, jolla poikkeutettaan pinnan omaa normaalia. 2
3 Tällä saadaan alunperin tasaiseen pintaan kumpuja, ja näin pinnasta tulee elävämmän ja yksityiskohtaisemman näköinen (Kuva 2). Termi "normal map" puolestaan tarkoittaa normaalitekstuuria, joka on laskettu paljon polygoneja sisältävän kappaleen pohjalta, ja sisältää näin ollen alkuperäisen objektin pinnan aitoja normaalivektoreita. Kuva 1: Armadillo objekti neljällä eri polygonimäärllä esitettynä. Yllä valaistuksen laskennassa on käytetty normaalitekstuurin normaaleja, alla polygonien kärkipisteiden normaaleja. ("Appearance-preserving simplification", Cohen et al., 1998) 3
4 Kuva 2: "Bump mapping"-tekniikalla saadaan tasaiset pinnat näyttämään kumpuilevilta. ("Gouraud bump mapping", Ernst et al., 1998) 2 MENETELMÄN EDUT JA ONGELMAKOHDAT Nykyaikaisessa 3D-grafiikassa käytettävät objektit voivat sisältää kymmeniä- tai satojatuhansia polygoneja, etenkin jos ne on tuotettu kolmiulotteisella laserskannauksella aidosta esineestä. Tällaisen kappaleen kierto sekä valaistuslaskenta on hyvin raskasta. Tarve objektin yksinkertaistamiseen on suuri. Kun objektin polygonien määrää vähennetään, menetetään samalla kuitenkin jatkuvasti yksityiskohtia. Normaalitekstuureita käytettäessa nämä yksityiskohdat, ainakin osittain, voidaan siirtää normaalitekstuuriin ja näin totetuksessa voidaan käyttää yksinkertaistettua versiota objektista. Objektin polygonien määrää voidaan vähentää sadasosaan tai jopa vieläkin pienemmäksi, ilman että objektin ulkoasu kärsisi liikaa (Kuva 1). Normaalitekstuurin käyttö ei ole laskennallisesti täysin ilmaista, sillä valaistuksen selvittämiseksi joudutaan suorittamaan vektoreiden kiertoja, interpoloimaan vektoreita, sekä laskemaan vektoreiden välisien kulmien kosineita. Koska reaaliaikaisessa valaistuslaskennassa käytetään huomattavasti yksinkertaistettua kappaletta niin kappaleen reunat voivat näyttää varsin kulmikkailta (Kuva 3). Tämä on ehkäpä menetelmän suurin heikkous. Myös objektin animointi (so. reaaliaikainen muokkaus) aiheuttaa ongelman, joka täytyy ratkaista joko laskemalla normaalitekstuuri erikseen jokaiselle mahdolliselle objektin muodolle tai sitten kiertämällä valon suuntavektoreita sopivasti objektin valaistusta laskettaessa. 4
5 Kuva 3: Yksinkertaistetun objektin reunat voivat näyttää varsin kulmikkailta. ("Appearance-preserving simplification", Cohen et al., 1998) 3 NORMAALITEKSTUURIN MUODOSTAMINEN Seuraavaksi selvitetään miten alkuperäisestä yksinkertaistamattomasta objektista voidaan muodostaa normaalitekstuuri. Sitten esitetään myös miten voidaan laskea mielekäs maksimikoko normaalitekstuurille. Sen jälkeen tarkastellaan kappaleen muodon yksinkertaistamisen vaikutusta tekstuurikoordinaatteihin.lopuksi tarkastellaan vielä lyhyesti normaalikartan tallettamiseen liittyviä asioita. 3.1 Normaalitekstuurin laskeminen Normaalitekstuurin laskemisessa on välttämätöntä löytää ensin 3-ulotteisen kappaleen 2-ulotteinen parametrisointi. Objektin 2-ulotteinen parametrisointi tarkoittaa että löydetään kuvaus 3-ulotteisen objektin pisteistä 2-ulotteiselle pinnalle. Parametrisoinnin muodostamista (Hoppe, 1996) ei kuitenkaan käsitellä tässä tutkielmassa tarkemmin. Jos on annettuna 3D-kappaleen kuvaava polygonijoukko M 0 ja sen 2D-parametrisointi F voidaan normaalitekstuuri muodostaa helposti. Polygonijoukon M 0 jokaisen polygonin jokaisen kärkipisteen koordinaatista V j lasketaan koordinaatti F(V j ) eli polygonin kärkipisteen tekstuurikoordinaatti. Nämä tekstuurikoordinaatit esittävät 3D-polygonin kuvaa normaalitekstuurissa. Nyt polygonin kärkipisteiden normaaleja interpoloidaan polygonin kuvan yli ja talletetaan tästä saatavat normaalit normaalitekstuuriin. 3.2 Normaalitekstuurin maksimikoko Normaalitekstuurin mielekkäänä maksimikokona voidaan pitää sellaista kokoa, jossa kaikki alkuperaisen polygonijoukon normaali-informaatio tallentuu normaalitekstuuriin. Toisin sanoen jokaisen polygonin kärkipisteen normaalivektori tulee talletettua omaan pisteeseensä normaalitekstuurissa. Tämä voidaan taata, jos normaalitekstuuriin kooksi valitaan 1/d x 1/d, missä d on pienin etäisyys kahden tekstuurikoordinaatin välillä: 5
6 (1) 3.3 Polygonien määrän vähentämisen vaikutus tekstuurikoordinaatteihin Kun objektin muotoa yksinkertaistetaan, luhistuu osa objektin reunoista. Tällöin kahden objektin pisteen tilalle sijotetaan yksi 3D-piste. Tämän seurauksena täytyy myös hylätä aikaisempien 3D-pisteiden tekstuurikoordinaatit. Uuden 3Dpisteen koordinaatti saadan objektin muodon yksinkeraistamiseen käytettävältä algoritmilta, sitä vastaava tekstuurikoordinaatti täytyy laskea (Kuva 4). Kuva 4: Kun objektin reuna yksinkertaistamisen seurauksena luhistuu, täytyy uudelle 3D-pisteelle löytää myös uusi tekstuurikoordinaatti. ("Appearancepreserving simplification", Cohen et al., 1998) Uuden tekstuurikoordinaatin tulee sijaita konveksin alueen sisällä kuvan 5 osoittamalla tavalla. Tämä varmistaa sen, että kolmiot reunan luhistumisen jälkeen peittävät tekstuurista täställeen saman alueen kuin ennen reunan luhistumista käytössä olleet kolmiot. Ehdokaspisteen kelpoisuus voidaan testata sarjalla pistetuloja, joiden avulla nähdään sijaitseeko ehdokaspiste konveksin alueen kaikkien kärkien sisäpuolella. Ehdokaspistettä etsitään aluksi kokeilemalla muutamia heuristisesti valittuja pisteitä, kuten luhistuneen reunan keskipistettä, sekä reunan päätepisteitä. Jos osoittautuu, että nämä heuristisesti valitut pisteet eivät kelpaa, lasketaan piste konveksin alueen sisältä kolmen alueen kulmapisteen keskiarvona. 6
7 Kuva 5: (a) Väärä valinta uudeksi tekstuurikoordinaatiksi aiheuttaa kolmioiden ulottumisen alkuperäisen alueen ulkopuolelle. (b) Kelvollisten tekstuurikoordinaattien tulee sijaita varjostetun konveksin alueen sisällä. ("Appearance-preserving simplification", Cohen et al., 1998) 3.4 Normaalitekstuurin tallettaminen Normaalitekstuuri talletetaan tyypillisesti RGB-kuvatiedostona. Koska normaalitekstuuri on tavallinen kuvatiedosto täytyy normeerattujen vektoreiden x-, y-, ja z-komponentit, jotka ovat liukulukuja välillä -1 1, kuvata normaalitekstuurissa kokonaisluvuilla, joiden esittämiseen käytetään vain esim. 8 bittiä per luku. Tämä aiheuttaa normaaleihin jonkin verran pyöristysvirhettä. Lopputulos on kuvan 6 kaltainen. Kuva 6: Vasemmalla alkuperäinen objekti. Oikealla objektista laskettu normaalitekstuuri. ("Object Space Normal Mapping with Skeletal Animation Tutorial", Kreuzer) 7
8 4 NORMAALITEKSTUURIN KÄYTTÖ VARJOSTUKSEN LASKENNASSA Normaalitekstuuria käytettäessa kappaleen valaistus lasketaan erikseen jokaiselle polygonin pisteelle. Valaistuksen intensiteetti voidaan laskea suorittamalla pistetulo normeeratun valon suuntavektorin ja pinnan normaalivektorin kesken kyseisessä pisteessä. Asiaa on selvennetty yhtälöissä (2) ja (3). Valon normeerattu suuntavektori saadaan interpoloimalla vektoreita, jotka on laskettu polygonin kärkipisteistä valon paikkaan ja sitten normeerattu. Valon suuntavektorit tarvitsee laskea vain kertaalleen, jos ne talletetaan myöhempää käyttöä varten. Pinnan normaalivektori puolestaan saadaan interpoloimalla normaalitekstuurista saatuja normaalivektoreita, jotka ovat objektin lokaalissa avaruudessa (Kuva 7). Interpolointi aiheuttaa virhettä vektoreiden pituuksiin, mutta sen vaikus lopputulokseen on yleensä niin pieni, että se voidaan jättää huomiotta. Jos kappaletta kierretään origonsa ympäri, niin ei ole järkevää laskea samaa kiertoa myös kaikille normaalivektoreille, sillä samaan lopputulokseen päästään suorittamalla käänteinen kierto valon suuntavektoreille. Lopputulos on kuvan 8 kaltainen. Pistetulo kahden vektorin välilä määritellään missä a ja b ovat vektoreita, ja cos(a,b) tarkoittaa kosinia vektoreiden välisestä kulmasta. Jos a ja b vektoreiden pituuksiksi on normeerattu 1, voidaan yhtälöä yksinkertaistaa: Nyt pistetulon arvoa voidaan käyttää kuvaamaan suoraan valaistuksen intensiteettiä. (2) (3) 8
9 v1 K1 n v v3 K3 V v2 K2 Kuva 7: Valon intensiteetin laskeminen normaalikartan avulla. V on valon paikka, K1, K2 ja K3 ovat polygonin kärkipisteet, v1, v2 ja v3 ovat normeerattuja valon suuntavektoreita, n on normaalikartasta interpoloimalla saatu pinnan normaalivektori ja v on interpoloitu valon suuntavektori. Huomionarvoista on, että tällöin cos( ) = n v. Kuva 8: Vasemmalla yksinkertaistettu objekti. Oikealla sama objekti varjostettuna normaalitekstuurin avulla. ("Object Space Normal Mapping with Skeletal Animation Tutorial", Kreuzer) 5 NORMAALITEKSTUURIEN KÄYTTÖ NYKYÄÄN JA TULEVAISUUDESSA Tähän asti vain harvat 3D-sovellukset ovat hyödyntäneet normaalitekstuureita. Niitä on käytetty vasta muutamissa peleissä. Normaalitekstuurien soveltamisen suhteellinen helppous ja se että uusimmista grafiikkakorteista jo löytyy tuki niiden käytölle, ennustavat kuitenkin normaalitekstuurien käytön lisääntymistä reaaliaikaisissa 3D-sovelluksissa, ennen kaikkea peleissä. Myös 9
10 normaalitekstuurien luominen on suhteellisen helppoa, sillä se onnistuu tavanomaisilla 3D-mallinnusohjelmilla kuten Lightwave, 3D Studio Max tai Maya. 3D-sovellusten grafiikan taso on noussut viimevuosina nopeasti. Tämän seurauksena myös objektien yksityiskohtaisuutta halutaan entisestään kasvattaa. Normaalikarttojen käyttö tarjoaa tähän mahdollisuuden, ilman että reaaliaikainen laskenta muodostuu liian raskaaksi. Mahdollisesti marraskuussa 2003 julkaitavassa id Softwaren pelissä "Doom 3" on hyödynnetty tehokkaasti normaalikarttoja. Pelin hahmojen alkuperäisissä versioissa, joista normalikartat on laskettu on jopa yli 500,000 polygonia (Kuva 9). Kuva 9: Tietokonepeli nimeltä "Doom 3" (id Sofware), jonka hahmojen yksinkertaistamisessa on käytetty normaalitekstuureita. (DOOM-3.net) Suosiota on kasvattanut myös objektien tuottaminen aidoista esineistä tai pienoismalleista kolmiulotteisella laser-skannauksella (Kuva 10). Tällaiselle tekniikalle on käyttöä viihteessä, teollisessa muotoilussa ja valmistuksessa. Tallätavoin tuotetuissa objektissa voi olla miljoonia polygoneja. Jotta tällaisia objekteja voidaan esittää reaaliaikaisesti, täytyy niitä ensin muokata. Tämä on myös luonteva normaalitekstuurien käyttökohde. Vaihtoehtoisena menetelmänä laser-skannauksella tuotettujen objektien esittämiseen on esitetty ns. "splat 10
11 rendering"-menetelmä (Rusinkiewicz et al., 2000), jossa polygonien sijaan käsitellään kappaleen yksittäisiä pisteitä. Tämä poikkeaa kuitenkin niin merkittävästi nykyisestä tavasta piirtää 3D-grafiikkaa tietokoneella, että menetelmän nopea yleistyminen, on epätodennäköistä. Todennäköistä kuitenkin on, että tulevaisuudessa tullaan näkemään 3D-sovelluksia, joissa normaalitekstuureita käytetään yhdessä muiden objektin pinnan ominaisuuksia määrittävien tekstuurien kanssa. Kuva 10: Michelangelon David patsasta skannataan laser-skannerilla. Tuloksena on erittäin hienojakoinen polygonipinta. ("The Digital Michelangelo Project", Levoy et al.) 11
12 6 YHTEENVETO Normaalitekstuurit tuotetaan tyypillisesti paljon polygoneja sisältävän objektin pohjalta. Itse normaalitekstuuri on tavallinen kuvatiedosto, jonka väriarvoihin on koodattu objektin normaalivektoreiden komponentit. Normaalitekstuurit lasketaan valmiiksi etukäteen. Koska alkuperäisen objektin pinnan muoto koodataan normaalitekstuuriin, voidaan objektin polygonien määrä vähentää jopa alle sadasosaan alkuperäisestä, ilman että objektin visuaalinen ilme olennaisesti muuttuu. Tämä keventää huomattavasti reaaliaikaista valaistuslaskentaa. Pahin ongelma normaalitekstuurien käytössä on se, että objektin reunoista voi tulla kulmikkaan näköisiä. Normaalitekstuurien tuottaminen ja käyttäminen on itsessään varsin yksinkertainen menetelmä. Siihen liittyvät kuitenkin hyvin läheisesti matemaatisesti vaativammat menetelmät: objektin 2D-parametrisoinnin määrittäminen ja objektin polygonien määrän vähentäminen. Ensimmäiset normaalitekstuureja hyödyntävät tietokonepelit ovat ilmestyneet. Uusimmat grafiikkakortit tukevat normaalitekstuurien käyttöä. Myös sovellusohjelmissa on alettu tarjoamaan tukea normaalitekstuurien käsittelyyn Normaalitekstuurien käyttö tulee todennäköisesti lisääntymään reaaliaikaisissa 3D-sovelluksissa, etenkin peleissä. 7 VIITTEET Becker B. G.; Max N. L Smooth transitions between bump rendering algorithms. Proceedings of the 20th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press. pp Cohen J.; Olano M.; Manocha D Appearance-preserving simplification. Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press. pp DOOM-3.net. Viitattu: Ernst I.; Rüsseler H.; Schulz H.; Wittig O Gouraud bump mapping. Proceedings of the 1998 EUROGRAPHICS/SIGGRAPH workshop on Graphics hardware. ACM Press. pp ff. Hoppe H Progressive meshes. Proceedings of the 23rd annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press. pp Kreuzer J. Object Space Normal Mapping with Skeletal Animation Tutorial. Viitattu: Levoy M.; Pulli K.; Curless B.; Rusinkiewicz S.; Koller D.; Pereira L.; Ginzton M.; Anderson S.; Davis J.; Ginsberg J.; Shade J.; Fulk D The Digital Michelangelo Project: 3D Scanning of Large Statues. Proc. SIGGRAPH ACM Press. 12
13 Rusinkiewicz S.; Levoy M QSplat: A Multiresolution Point Rendering System for Large Meshes Proc. SIGGRAPH ACM Press. 13
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotNORMAL MAP -TEKNIIKAN KÄYTTÖ 3D-MALLINNUKSESSA
NORMAL MAP -TEKNIIKAN KÄYTTÖ 3D-MALLINNUKSESSA LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU Mediatekniikan koulutusohjelma Teknisen visualisoinnin suuntautumisvaihtoehto Opinnäytetyö 14.5.2007 Leevi Huhtamaa Lahden ammattikorkeakoulu
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotLuku 6: Grafiikka. 2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat
2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat 2D-piirto 2-ulotteisen grafiikan piirto perustuu yleensä valmiiden kuvien kopioimiseen näyttömuistiin (blitting)
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotT Tietotekniikan peruskurssi: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-106.1041 Tietotekniikan peruskurssi: Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Luennon aiheita (1) mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia mikä on digitaalinen
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotS09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta
AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt S09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta Loppuraportti 22.5.2009 Akseli Korhonen 1. Projektin esittely Projektin tavoitteena oli algoritmin kehittäminen
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotLuento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotGeometrialtaan mielivaltaisen huonetilan pintojen näkyvyyskertoimien laskenta
Geometrialtaan mielivaltaisen huonetilan pintojen näkyvyyskertoimien laskenta Ville Havu, Lassi Roininen, Eero Immonen, Janne Puustelli, Keijo Ruohonen Teollisuusmatematiikan työpaja, Tampere 21.-25.10.2002
Lisätiedot3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi. Tommi Tykkälä
3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi Tommi Tykkälä Läpivienti Keyframe-animaatio Lineaarisesta interpoloinnista TCB-splineihin Bezier-käyrät Rotaatioiden interpolointi Kameran animointi Skenegraafit
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotVisualisoinnin perusteet
1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Visualisoinnin perusteet Mitä on renderöinti? 2 / 12 3D-mallista voidaan generoida näkymiä tietokoneen avulla. Yleensä perspektiivikuva Valon
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Lisätiedot4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta
4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotGeometrian yksinkertaistaminen Quadric error metrics -menetelmällä
TEKNILLINEN KORKEAKOULU 5.5.003 Tietoliikenneohelmistoen a multimedian laboratorio T-.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 003: Reaaliaikainen 3d-grafiikka, visualisoinnin tehokkuuden lisääminen Geometrian
LisätiedotLuento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys Janne Kontkanen Geometrinen mallinnus / 1 Johdanto Piilopintojen poisto-ongelma Syntyy kuvattaessa 3-ulotteista maailmaa 2-ulotteisella
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Timo.Tossavainen@tkk.fi 25.3.2011 Sisältö Historiaa
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu T-76.115 Tietojenkäsittelyopin ohjelmatyö. Testitapaukset - Xlet
Testitapaukset - Xlet Sisällysluettelo 1. Johdanto...3 2. Testattava järjestelmä...4 2.1 Koko järjestelmän yleiskuvaus...4 2.2 Xlet-demosovellus ja sen toimintaperiaate...5 3. Testitapaukset...6 3.1 Objektien
LisätiedotCloud rendering. Juho Karppinen 49480E
HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 12.5.2003 Telecommunications Software and Multimedia Laboratory Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003 Cloud rendering Juho Karppinen 49480E Cloud rendering
LisätiedotHarjoitus Bones ja Skin
LIITE 3 1(6) Harjoitus Bones ja Skin Harjoituksessa käsiteltävät asiat: Yksinkertaisen jalan luominen sylinteristä Luurangon luominen ja sen tekeminen toimivaksi raajaksi Luurangon yhdistäminen jalka-objektiin
Lisätiedot6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotKOLMIULOTTEINEN TIETOKONEGRAFIIKKA PELEISSÄ
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenneohjelmistojen ja Multimedian Laboratorio T-111.210 Informaatioverkostot: Studio 4 Kevät 2005 KOLMIULOTTEINEN TIETOKONEGRAFIIKKA PELEISSÄ Markus K Berg 60262R Informaatioverkostot
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotLuento 7: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2
LisätiedotTämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
LisätiedotHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.4.2003 Telecommunications Software and Multimedia Laboratory Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003
HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.4.2003 Telecommunications Software and Multimedia Laboratory Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003 Portaalit ja peilit Henrik Lönnroth 45894L Portaalit
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotHarjoitus Morphing. Ilmeiden luonti
LIITE 1 1(5) Harjoitus Morphing Harjoituksessa käsiteltävät asiat: Objektien kopioiminen Editoitavan polygonin muokkaaminen Morph-modifier käyttö ilmeiden luomiseen Lyhyen animaation luonti set key- toimintoa
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotTekstuurien syntetisointi pinnoille
Teknillinen Korkeakoulu 27. huhtikuuta 2004 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2004 Kuvapohjaiset menetelmät Tekstuurien syntetisointi
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotPixelFlow. Hans-Erik Grönlund 46549W
TEKNILLINEN KORKEAKOULU 30.4.2003 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio T-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003: Reaaliaikainen 3D-grafiikka PixelFlow Hans-Erik Grönlund 46549W
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTIES471 Reaaliaikainen renderöinti
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti 5.1 Valonlähteet Yksinkertaisin valolähde on pistemäinen valo (point light), joka säteilee joka suuntaan annetulla voimakkuudella ja värillä. Suunnattu valo (directional
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotPIKSELIT JA RESOLUUTIO
PIKSELIT JA RESOLUUTIO 22.2.2015 ATK Seniorit Mukanetti ry / Tuula P 2 Pikselit ja resoluutio Outoja sanoja Outoja käsitteitä Mikä resoluutio? Mikä pikseli? Mitä tarkoittavat? Miksi niitä on? Milloin tarvitaan?
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
Lisätiedot4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
LisätiedotEpäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
LisätiedotOngelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?
Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse
Lisätiedot