Jatkuvat ei-missään derivoituvat funktiot lukion pitkässä matematiikassa Paavo Heiskanen, FM, Fysiikan ja matematiikan lehtori, Jokelan lukio
|
|
- Aurora Mattila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 OSA II. Kaksiosaisen artikkelin ensimmäinen osa ilmestyi Dimensiossa /7 Jatkuvat ei-missään derivoituvat funktiot lukion pitkässä matematiikassa Paavo Heiskanen, FM, Fysiikan ja matematiikan lehtori, Jokelan lukio Tein keväällä kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. Tämän kyselyn tulokset antavat olettaa, että pitkän matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden (Heiskanen, ). Koska derivoituvuus on selkeästi vahvempi ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, että derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat näiden käsitteiden välisen yhteyden paremmin. Esittelen artikkelissani Tallin () kehittelemän menetelmän, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta käyttäen hyväksi paikallinen suoruus -käsitettä. Tarkastelen myös kuinka jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita voitaisiin käsitellä lukion pitkässä matematiikassa ja miten niitä voitaisiin käyttää hyväksi derivoituvuus-käsitteen hallinnan syventämisessä. Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani, Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa, muun muassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat pitävät outona ajatusta, että tällaisia funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on käsitys, että yleensä jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun ottamatta muutamia pisteitä. Käsitys ei ole lainkaan yllättävä, sillä näinhän tilanne yleensä onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisenä esimerkkinä jatkuvasta funktiosta, joka on epäderivoituva, esitetään itseisarvofunktio f ( x) = x, joka ei ole derivoituva kohdassa x =. Monet opiskelijoista ymmärtävät kyllä, että jatkuvuus ei takaa derivoituvuutta, mutta heille saattaa jäädä käsitys, että jatkuvalla funktiolla voi olla piikkejä eli epäderivoituvuuskohtia vain äärellinen määrä tietyllä välillä eli, että jatkuva funktio voi olla epäderivoituva vain yksittäisissä pisteissä. Reaalifunktiot ja jatkuvuus Reaaliarvoiset funktiot ovat olleet -luvulta lähtien yleinen työkalu geometristen käyrien tutkimiseen sekä mekaniikan ja tähtitieteen laskuihin. Funktio-sana ja merkintä y = f(x) ovat peräisin vasta 7-luvulta. Tuolloin käsitellyt reaalifunktiot olivat pääsääntöisesti alkeisfunktioista muodostettuja, mahdollisesti eri kaavoilla eri määrittelyjoukoissa. Tällöin reaalifunktiot olivat siis jatkuvia lukuun ottamatta korkeintaan määrittelyjoukkojen rajapisteitä. Tämä historia huomioonottaen on aivan luonnollista ajatella, että reaalifunktio on jatkuva lukuun ottamatta korkeintaan yksittäisiä pisteitä. Ei ole siis lainkaan yllättävää, että monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat olettavat funktioiden olevan jatkuvia tai ainakin jatkuvia lukuun ottamatta yksittäisiä pisteitä (Heiskanen,, s.). -luvulla funktion määritelmä alkoi tarkentua. Määriteltiin, että mikä tahansa piirretty käyrä on funktio tai jos jokaista x vastaa yksikäsitteinen äärellinen y, niin y on x:n funktio. Nykymuotoinen funktion määritelmä on peräisin Lejeune Dirichletiltä vuodelta 37. Hän määritteli seuraavasti: Funktio f: A B koostuu kahdesta joukosta, määrittelyjoukosta A ja arvojoukosta B, ja säännöstä, joka määrittää jokaiselle x A yksikäsitteisen y B. Kun otetaan huomioon, että derivaatta-käsite kehittyi varsin pitkälle jo Newtonin ja Leibnizin aikaan -luvun lopulla, niin nykyinen funktio-käsite on itse asiassa melko tuore (Heiskanen, 5). Derivoituvuus ja paikallinen suoruus Tall () esittelee metodin, jolla voidaan tutkia funktion derivoituvuutta graafisesti tietokoneen avulla. Funktion kuvaajaa lähennetään pisteessä, jossa derivoituvuutta tutkitaan. Tall määrittelee kognitiivisen juuren (cognitive root) käsitteeksi, joka on opiskelijalle ymmärrettävä sillä hetkellä ja toimii siemenenä muodollisen käsitteen määrittelyssä. Esimerkiksi paikallinen suoruus on kognitiivinen juuri derivoituvuuden käsitteelle. Tarkastellaan paikallisen suoruuden käsitettä muutaman esimerkin avulla, joita on demonstroitu Kawasakin Visual Calculus -ohjelmalla. Tutkitaan en-
2 siksi funktiota f(x) = sin(x), jonka kuvaaja piirretään ensin välillä [,], ja sen jälkeen lähennetään kuvaa kohdassa x = (kuva ). Ohjelman avulla nähdään selvästi, kuinka kuvaaja paikallisesti lähestyy suoraa kohdassa x =, kun kuvaa lähennetään tarpeeksi. Kuva : Funktion f(x) = sin(x) kuvaaja ja suurennos piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla. Toisena esimerkkinä tutkitaan funktion f ( x) = x kuvaajaa kohdassa x =. Ohjelman avulla nähdään helposti, että kuvaaja ei suoristu origossa, vaikka kuvaa lähennettäisiin kuinka paljon tahansa (kuva ). Näin opiskelijat voivat geometrisesti tutkia funktioiden derivoituvuutta ja nähdä, mitä derivoituvuus on. Heille voidaan luoda derivoituvuudesta ja epäderivoituvuudesta ymmärrettävä visuaalinen havainto. Paikallista suoruutta voi tutkia myös ilman tietokonetta esimerkiksi graafisen laskimen ZOOM-toiminnon avulla. Kuva : Funktion f ( x ) = x kuvaaja ja suurennos piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla. Opetuksessa voidaan käyttää hyväksi myös tilanteita, joissa tietokoneen esitysmuoto ja vastaava teoreettinen muotoilu muodostavat ristiriidan. Tutkitaan esimerkiksi funktiota f ( x) = x + kohdassa x =. Kun on opiskeltu derivaatan ketjusääntö, voivat opiskelijat laskea funktion f derivaatan analyyttisesti. Laskemisen jälkeen voidaan piirtää funktion kuvaaja välillä [,]. Kuvaajaan näyttää muodostuvan terävä piikki, joten geometrisen tarkastelun mukaan funktio ei olisi derivoituva kohdassa x =. Lähentämällä kuvaajaa havaitaan kuitenkin, että kyseiseen kohtaan ei muodostu terävää kärkeä vaan se oikenee eli kuvaaja lähestyy paikallisesti suoraa, jolloin funktio voidaan perustella derivoituvaksi kohdassa x = myös geometrisesti. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Kun opiskelijoiden kanssa on tarkasteltu aikaisemmin derivaattaa tangentin kulmakertoimena, voi painottaa, että tutkittavassa kohdassa derivoituvan funktion kuvaaja lähenee paikallisesti nimenomaan tangenttia. Tämä esimerkki selventää myös sitä, että derivoituvuus on funktion paikallinen ominaisuus. Kun tutkitaan funktion derivoituvuutta annetussa kohdassa, pitää kuvaajaakin tutkia paikallisesti. Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa isolla alueella, kuten esimerkissä on aluksi tehty, ei voida sanoa sen derivoituvuudesta yksittäisessä kohdassa mitään. Vasta kun kuva on lähennetty tarkasteltavan kohdan lähiympäristöön, voidaan tutkia paikallista ominaisuutta derivoituvuus. CND-funktiot lukio-opetuksessa Jotta opiskelijat voisivat ymmärtää muodollisen todistuksen merkityksen matematiikassa, tulisi Tallin (, s. -) mukaan heille esittää esimerkkejä siitä, mikä voi mennä pieleen käsitteiden intuitiivisessa tulkinnassa. Opiskelijoille voidaan näyttää esimerkiksi, että on olemassa funktioita, jotka eivät ole missään pisteessä paikallisesti suoria, jolloin heille muodostuu visuaalinen mielikuva siitä, mitä funktion epäderivoituvuus tarkoittaa. Tämä ei onnistu helposti enää Visual Calculus -ohjelmalla, mutta tarkastelu voidaan toteuttaa esimerkiksi Mathematicalla. CND-funktioista voidaan tarkastella esimerkkinä Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki tällaisista funktioista. Tarkasti Weierstrassin funktio f: määritellään seuraavasti f ( x) = b k cos( a k π x ), k = missä < b < ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, että 3π ab > +. Lukiossa funktiosta voisi tarkastella esimerkkinä yhtä erikoistapausta, jossa esimerkiksi a = 7 ja b =,9.
3 Tällöin funktio saadaan muotoon W ( x) =, 9 k cos(7 k π x ). k = Funktion rakennetta äärettömänä summana voidaan selvittää opiskelijoille kirjoittamalla auki osasummia S n = n k k, 9 cos(7 π x) k = ja tarkastelemalla näiden kuvaajia. Weierstrassin funktiohan saadaan raja-arvona W ( x) = lim S n. n Kuvassa on esitetty osasummien kuvaajat n:n arvoilla,, 3 ja välillä [,]. Kuvista voidaan todeta opiskelijoiden kanssa, että aina n:n arvon kasvaessa yhdellä muodostuu kuvaajaan yhden huipun tilalle seitsemän huippua (huomaa, että a = 7 ). Osasummien kuvaajia tarkastelemalla voidaan luoda havainnollinen kuva siitä, kuinka funktion rakenne kehittyy n:n arvon kasvaessa. Opiskelijoille voidaan korostaa, että monimutkaiselta näyttävä funktio on kuitenkin vain tavallisten trigonometristen funktioiden summa. Kuvaajien avulla nähdään, kuinka funktioon alkaa muodostua yhä terävämpiä huippuja Kuva 3: Tilanne, jossa kuvaaja voi antaa väärän mielikuvan derivoituvuudesta. n:n arvon kasvaessa. Tässä yhteydessä on hyvä muistuttaa mieleen paikallisen suoruuden käsite derivoituvuutta tutkittaessa, ja että funktio ei ole derivoituva terävässä kärkipisteessä eli piikissä. Kuvaajien tulkintaan opiskelijoiden kanssa kannattaa mielestäni käyttää reilusti aikaa, koska on tärkeää, että opiskelijoille muodostuu selvä geometrinen käsitys, kuinka Weierstrassin funktio rakentuu n:n arvon kasvaessa Kuva : Weierstrassin funktion osasummien kuvaajia.
4 Weierstrassin funktion muodostuminen näiden tutkittujen funktioiden raja-arvona, kun n kasvaa rajatta, on syytä käydä huolella läpi. Mutta koska emme voi laskea äärettömän monen funktion summaa, joudumme tarkastelemaan aina osasummia. Weierstrassin funktio ja paikallinen suoruus Kun funktion rakennetta on käyty läpi ja tutkittu, kuinka huiput käyvät yhä terävämmiksi n:n arvon kasvaessa, siirrytään tutkimaan tiettyä osasummaa geometrisesti. Funktion rakenteen tutkiminen onnistuu hyvin jo esimerkiksi osasummalla, jossa n:n arvo on 5 (kuva 5). Tämän osasumman kuvaajien piirtäminen onnistuu vielä suhteellisen nopeasti, mutta suurempien osasummien kuvaajien piirtäminen alkaa olla jo aika hidasta tavallisella tietokoneella x [,,,] x [,,,] Kuva 5: Weierstrassin funktion osasumman S 5 kuvaaja välillä [,]. x [,,,] Kuva : Weierstrassin funktion osasumman S 5 kuvaajan lähennys kohdassa x=. Tutkitaan funktion derivoituvuutta origossa osasumman S 5 avulla. Käytetään paikallisen suoruuden käsitettä ja tutkitaan, läheneekö funktion kuvaaja suoraa paikallisesti, mikäli sitä lähennetään origossa. Kuvassa on esitetty -, -, ja -kertaiset suurennokset kuvassa 5 esitetystä kuvaajasta origon läheisyydessä. Suurennoksia tarkastelemalla huomataan, että tutkittavan funktion kuvaaja ei lähene suoraa origon ympäristössä eli että se ei ole derivoituva origossa. Kuitenkin funktio on jatkuva origossa jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona. Jatkuvuutta voi tarkastella opiskelijoiden kanssa funktion kuvaajista toteamalla esimerkiksi, että kuvien perusteella funktio näyttää olevan jatkuva. On syytä kuitenkin muistaa, että kaikki edellä käsitellyt osasummat ovat todellisuudessa derivoituvia äärellisen monen derivoituvan funktion summana. Osasummia tarkastelemalla voidaan kuitenkin luoda mielikuva siitä miksi Weierstrassin funktiosta lopulta tulee ei-missään derivoituva. Analyyttinen todistus jatkuvuudesta ja epäderivoituvuudesta löytyy esimerkiksi lähteestä Heiskanen (). Sama tarkastelu voidaan tehdä missä kohdassa tahansa, ja päädytään samaan tulokseen. Kun vastaava tarkastelu tehdään useammassa opiskelijoiden mielivaltaisesti valitsemassa kohdassa ja tarkastellaan,
5 kuinka kuvaajan perusteella funktio on jatkuva mutta epäderivoituva näissä kohdissa, muodostuu opiskelijoille mielikuva, että on olemassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita. Tarkoituksena ei ole, että opiskelijat ymmärtävät funktioiden analyyttisen rakenteen tai että funktioiden ominaisuuksia todistetaan analyyttisesti, vaan että heille muodostuu mielikuva tällaisten funktioiden rakenteesta ja olemassaolosta. Epäderivoituvuuskohdissa Weierstrassin funktion kuvaajaan muodostuu piikki. Tällöin siis funktio vaihtuu epäderivoituvuuskohdassa kasvavasta laskevaksi tai päinvastoin. CND-funktio on rakenteeltaan sahalaitainen, eli se ei voi olla monotoninen. On syytä tuoda esille, että Weierstrassin funktio ei ole ainoa CND-funktio. Muita vastaavia funktioita voidaan esitellä opiskelijoille lyhyesti ja tarkastella samalla, kuinka näiden kaikkien rakenne on sahalaitainen. Esimerkkejä löytyy esimerkiksi lähteistä Thim (3) ja Heiskanen (). Lukion oppikirjoissa ei mainita lainkaan erikoistapauksia, kuten CND-funktioita. Mielestäni tällaisten erikoistapausten esitteleminen lukion pitkän matematiikan opiskelijoille selvittäisi jatkuvuuden ja derivoituvuuden ominaisuuksia sekä niiden välistä yhteyttä. Vaikka funktioita ei voida käydä tarkasti analyyttisesti läpi, niiden geometrinen tarkastelu auttaisi käsitteiden hahmottamisessa. Jos opiskelija tietäisi, että on olemassa funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia mutta eivät ole missään derivoituvia, ja ymmärtäisi, millaisia ne ovat rakenteeltaan, olisi hänellä jo varsin paljon tietoa käsitteistä jatkuvuus ja derivoituvuus Viitteet: Gaul, R. & Kim, N.. How Many continuous Nowhere Differentiable Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month. (..). Heiskanen, P. 5. Derivaatta antiikista nykyaikaan. Matematiikan LuK-tutkielma, Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. (..). Heiskanen, P.. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa. Matematiikan pro gradu -työ, Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. (..). Tall, D.. Using Technology to Support an Embodied Approach to Learning Concepts in Mathematics. Teoksessa Carvalho, L.M. & Guimarães, L.C.: História e Tecnologia no Ensino da Matemática, vol., pp. -, Rio de Janeiro, Brasil. Saatavana sähköisenä: (..). Thim, J. 3. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis, Luleå tekniska universitet. (..).
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Mika Kähkönen L'Hospitalin sääntö Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Tutkielman sisältö........................
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotRaja arvokäsitteen laajennuksia
Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotWeierstrassin funktiosta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotReaalifunktion epäjatkuvuus
Reaalifunktion epäjatkuvuus Misa Muotio Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Misa Muotio, Reaalifunktion epäjatkuvuus (engl. Discontinuity
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotYhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)
Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio.
LisätiedotPOHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio
POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotDerivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo
Derivaatta 1/6 Sisältö Derivaatan määritelmä funktio Olkoon kiinteä tarkastelupiste. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f deri- (reaali-) vaatta tässä pisteessä merkitään f () voidaan luonnetia kadella
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotDERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja
DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,
Lisätiedotmlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMatemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä
Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia
Lisätiedot