1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3"

Transkriptio

1 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille. Huom. 2. Dokumentin lopussa on kirjallisuusluettelo, jonka sisšltšviš teoksia on kšytetty tukena tšmšn luentorungon kirjoittamisessa. Huom. 3. KŠyttŠessŠsi verkkomateriaalia kaikki erikoismerkit eivšt všlttšmšttš nšy/tulostu koneellasi oikein. Informoithan tekijšš jos teknisiš ongelmia esiintyy. -2,0-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Moments Mean -0,02174 Std Dev 0,96329 Std Err Mean 0,10770 upper 95% Mean 0,19263 lower 95% Mean -0,23611 N 80,00000 Test Mean=value Hypothesized Value 0 Test Statistic -0,202 Prob > t 0,841 Prob > t 0,580 Prob < t 0,420 Raija LeppŠlŠ (puh , sšhkšposti Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede Tampereen yliopisto SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 2. TODENN K ISYYSLASKENTAA SATUNNAISILMI JA TAPAHTUMA KLASSINEN TODENN K ISYYS TODENN K ISYYSLASKENNAN 11 AKSIOOMAT JA LASKUS NT J 2.4. KOMBINATORIIKKAA KOKONAISTODENN K ISYYS 22 JA BAYESIN KAAVA 3. TODENN K ISYYSJAKAUMIA SATUNNAISMUUTTUJA JA 23 TODENN K ISYYSJAKAUMA 3.2. DISKREETTI SATUNNAISMUUTTUJA JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA ODOTUSARVON JA VARIANSSIN 33 OMINAISUUKSIA 3.5. YLEISESTI SOVELLETTUJA 37 TODENN K ISYYSJAKAUMIA 4. OTOS, OTOSSUURE, OTANTAJAKAUMA SATUNNAISOTOS OTOSSUUREET JA OTOSJAKAUMAT PARAMETRIEN ESTIMOINTI PISTE-ESTIMOINTI LUOTTAMUSV LEJ HYPOTEESIEN TESTAUS 86 KIRJALLISUUTTA JOHDANTO Tilastollinen analyysi voidaan jakaa karkeasti kuvailevaan (descriptive) analyysiin ja tilastolliseen pššttelyyn (statistical inference). Kuvaileva tilastotiede pyrkii kuvailemaan tietoaineiston sisšltšš erilaisten graafisten esitysten ja tunnuslukujen sekš taulukoiden avulla.kuvailevaan tilastotieteeseen tutustuttiin johdantokurssilla. TILTP2-opintojaksolla tutustutaan tilastolliseen pššttelyyn. EmpiirisissŠ tutkimuksissa on kšytšssš satunnaisotos populaatiosta. Otoksen perusteella pyritššn tekemššn johtopšštelmiš koko populaatiosta. PyritŠŠn selvittšmššn esim. milloin voidaan sanoa ehdollisten otoskeskiarvojen perusteella, ettš populaatioissa keskiarvot poikkeavat toisistaan (Esim. 2). Voidaan myšs haluta arvioida vaikkapa populaation keskiarvoa (Esim. 1). 3 Esim. 1. TietyssŠ yskšnlšškkeessš pitšisi tuoteselostuksen mukaan olla alkoholia 5 %. TiedetŠŠn, ettš alkoholipitoisuus vaihtelee jonkin verran pullosta toiseen. TietyssŠ laboratorioissa halutaan tutkia voidaanko valmistajan ilmoittamaa lukua pitšš sopivana keskiarvona eri pullojen alkoholipitoisuudelle. LŠhdetŠŠn oletuksesta, ettš alkoholipitoisuuden vaihtelu pullosta toiseen on luonnehdittavissa normaalijakauman avulla. Suoritettiin koe, jossa kymmenen pullon alkoholipitoisuus mitattiin ja saatiin seuraavat tulokset: 5.01, 4.87, 5.11, 5.21, 5.03, 4.96, 4.78, 4.98, 4.88 ja Onko valmistajan všittšmššn uskomista? (Helenius)... Quantiles maximum 100.0% 5, % 5, % 5, % 5,2000 quartile 75.0% 5,0725 median 50.0% 4,9950 quartile 25.0% 4, % 4, % 4, % 4,7800 minimum 0.0% 4,7800 4

2 5 6 Moments Mean 4,98900 Std Dev 0,12530 Std Err Mean 0,03962 upper 95% Mean 5,07863 lower 95% Mean 4,89937 N 10 Test Mean=value Hypothesized Value 5 Actual Estimate 4,989 t Test Test Statistic -0,278 Prob > t 0,788 Prob > t 0,606 Prob < t 0, Esim. 2. Ovatko tytšt ja pojat syntyessššn keskimššrin samanpituisia? ErŠŠstŠ aineistosta (SAIDIT- aineisto, n = 120) laskettuna poikien pituuden keskiarvo oli 50,95 ja tyttšjen 50,24. Otoskeskiarvojen erotus oli siis Voidaanko tšmšn perusteella yleistšš ja sanoa, ettš pojat ovat syntyessššn keskimššrin tyttšjš pitempiš? Analyysin tuloksia: Means and Std Deviations Level Number Mean Std Dev pojat 65 50,9538 1,97192 tytšt 55 50,2364 2,02726 t-test DF Prob> t 1, ,0523 Ks. myšs jaettu moniste SPSS:n tulostuksesta. Tilastollisten pšštelmien teko perustuukin satunnaisotoksesta mššriteltyjen tunnuslukujen (kuten esim. otoskeskiarvojen) todennškšisyysjakaumiin. JohtopŠŠtelmŠt tehdššn erilaisten tilastollisten testien ja analysointimenetelmien avulla. TŠllaiseen pššttelyyn sisšltyy tiettyš epšvarmuutta, jota pyritššn hallitsemaan kšyttšen hyvšksi todennškšisyyslaskentaa ja erilaisia todennškšisyysjakaumia. Opintojaksolla tutustutaankin aluksi lyhyesti todennškšisyyslaskentaa ja todennškšisyysjakaumiin. PŠŠpaino on kuitenkin tilastollisen pššttelyn peruskšsitteiden esittelyssš. PerehdytŠŠn otosjakaumiin ja niiden kšyttššn tilastollisessa pššttelyssš. KŠydŠŠn lšpi estimointiin liittyviš kšsitteitš sekš tutustutaan joihinkin tilastollisiin testeihin. 2. TODENN K ISYYSLASKENTAA 2.1. SATUNNAISILMI JA TAPAHTUMA Esim HeitettŠessŠ rahaa ei tiedetš saadaanko kruunu vai klaava. TiedetŠŠn, ettš molemmat vaihtoehdot ovat yhtš todennškšisiš. HeitettŠessŠ noppaa tiedetššn, ettš saadaan silmšluku 1, 2, 3, 4, 5 tai 6, mutta ei tiedetš etukšteen silmšlukua. TiedetŠŠn, ettš jokaisen silmšluvun todennškšisyys on sama. Kortin vetšminen sekoitetusta korttipakasta, lottoaminen, veikkaaminen, bussin saapuminen pysškille ja pšivšn sšš ovat myšs esimerkkejš ilmišistš, joihin liittyy epšvarmuutta. 7 Satunnaisilmiš on mikš tahansa ilmiš, johon liittyy useita eri tulosmahdollisuuksia sekš epšvarmuutta ilmišn tuloksesta. Puhutaan myšs satunnaiskokeesta. Satunnaisilmiššn liittyvien kaikkien mahdollisten tulosten joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (otosavaruudeksi) E. KŠytŠnnšssŠ ollaan kiinnostuneita joistain perusjoukon osajoukoista (sekš niiden esiintymistodennškšisyyksistš). Perusjoukon osajoukko on nimeltššn tapahtuma. Tapahtumia merkitššn A, B, C,... Esim Rahanheitto E =Òkaikki mahdolliset tuloksetó ={kruunu, klaava} tapahtumia: A = Òsaadaan kruunuó ={kruunu} B = Òsaadaan klaavaó ={klaava} Nopanheitto E ={1,2,3,4,5,6} tapahtumia: A = Òsaadaan parillinenó = {2,4,6} 8

3 B = {1} C = {1,2,3} D = Òsaadaan suurempi kuin 4Ó ={5,6} Kortin vetšminen sekoitetusta korttipakasta E= Òkaikki kortitó tapahtumia: A = Òsaadaan pataó B = Òsaadaan kuningasó C = Òsaadaan punainen ŠssŠÓ Lottoaminen (39 palloa, joista arvotaan palauttamatta 7) E = Òkaikki mahdolliset lottorivitó, joita on (ks. kombinatoriikka) tapahtumia: A = Òsaadaan 7 oikeinó B = Òsaadaan 6 oikeinó C = Òei saada yhtššn oikeinó Veikkaaminen (13 kohdetta, joissa jokaisessa 3 vaihtoehtoa) E = Òkaikki mahdolliset rivitó, joita on (ks. kombinatoriikka) tapahtumia: A = Òsaadaan 13 oikeinó B = Òsaadaan 12 oikeinó C = Òei saada yhtššn oikeinó KLASSINEN TODENN K ISYYS Olkoon tarkasteltavan satunnaisilmišn perusjoukossa n tulosta, jotka ovat kaikki yhtš mahdollisia. Olkoon tapahtumaan A liittyviš tuloksia k kappaletta (0 k n). TŠllšin tapahtuman A todennškšisyys P(A) = k/n. Esim Rahanheitto A = Òsaadaan kruunuó P(A) = 1/2 Nopanheitto A = Òsaadaan parillinenó ={2,4,6} P(A) = 3/6 B = {1}, P(B) = 1/6 D = Òsuurempi kuin 4Ó ={5,6}, P(D) = 2/6. Lottoaminen A = Òsaadaan 7 oikeinó P(A) = 1/kaikkien rivien lkm = 1/ B = Òsaadaan 6 oikeinó P(B) = rivien lkm, joissa 6 oik./kaikkien rivien lkm 10 Klassisen todennškšisyyden (voidaan liittšš vain ŠŠrellisiin perusjoukkoihin) yhteydessš lukujen n ja k mššrittšminen ei aina ole yksinkertaista. Joudutaan usein kšyttšmššn hyvšksi kombinatoriikkaa. Tapahtuman A todennškšisyys voidaan myšs mššritellš arvoksi, jota tapahtuman suhteellinen frekvenssi lšhestyy satunnaiskoetoistojen mššršš kasvatettaessa TODENN K ISYYSLASKENNAN AKSIOOMAT JA LASKUS NT J Matemaattisesti mššriteltynš todennškšisyys on joukkofunktio P, joka liittšš jokaiseen satunnaisilmišn tapahtumaan A reaaliluvun P(A), jota sanotaan tapahtuman A todennškšisyydeksi ja joka toteuttaa tietyt aksioomat. Aksiooma 1. Jos A on mikš tahansa satunnaisilmišn tapahtuma, niin 0 P(A) Aksiooma 2. P(E) = 1. TŠllšin kyseessš varma tapahtuma. Jos A ja B ovat kaksi saman satunnaisilmišn tapahtumaa, niin mššritellššn niiden yhdiste A B = ÒA tai B tai molemmat tapahtuvató ja leikkaus A B = ÒA ja B molemmat tapahtuvató. Sanotaan, ettš tapahtumat A ja B ovat erillisiš, jos ne molemmat eivšt voi tapahtua samanaikaisesti eli A B = (mahdoton tapahtuma). Aksiooma 3. Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiš, eli A B =, niin P(A B ) = P(A)+P(B) Esim Nopanheitto A = Òsaadaan parillinenó ={2,4,6} P(A) = 3/6 B = Òsaadaan ykkšnenó ={1} P(B) = 1/6 A B =Òsaadaan parillinen tai ykkšnenó A B =, joten P(A B) = P(A)+P(B) 12

4 13 14 LaskusŠŠntš 1. P( )=0,eli mahdottoman tapahtuman, todennškšisyys on nolla. MŠŠritellŠŠn A:n komplementtitapahtuma A C = ÒA ei tapahduó LaskusŠŠntš 2. P(A C ) = 1- P(A). Esim Nopanheitto A = ÒsilmŠluku pienempi kuin 6Ó A C = ÒsilmŠluku 6Ó P(A) = 1-P(A C ) = 1-1/6 Esim HeitetŠŠn rahaa kaksi kertaa. Olkoon A=Òsaadaan ainakin yksi kruunuó. P(A)=1-P(A C ) = 1-1/4. LaskusŠŠntš 3. Jos tapahtumat A 1, A 2,..., A k ovat pareittain erillisiš eli mitkššn kaksi tapahtumaa eivšt voi esiintyš samanaikaisesi, niin P(A 1 A 2... A k )= P(A 1 )+P(A 2 )+...+ P(A k ). Esim VedetŠŠn kortti sekoitetusta pakasta. Laske tn, ettš kortti on ruutu-, hertta- tai ristikortti. (Vast. 39/52) LaskusŠŠntš 4 (yleinen yhteenlaskusššntš). Jos A ja B ovat satunnaisilmišn tapahtumia, niin P(A B ) = P(A)+P(B)-P(A B). Esim VedetŠŠn kortti sekoitetusta pakasta. Laske tn, ettš kortti on patakortti tai ŠssŠ. MŠŠritellŠŠn A:n ehdollinen todennškšisyys ehdolla B: Olkoon A ja B saman satunnaisilmišn tapahtumia siten, ettš P(B)>0. TŠllšin tapahtuman A ehdollinen todennškšisyys ehdolla, ettš tiedetššn tapahtuman B esiintyneen on P(A B)=P(A B)/P(B). Esim Tarkastellaan sadasta henkilšstš muodostuvaa populaatiota. HenkilšiltŠ tiedusteltiin heidšn mielipidettššn verouudistukseen (puolesta tai vastaan). Saatiin seuraava frekvenssitaulukko: puolesta vastaan mies nainen Valitaan satunnaisesti yksi henkilš ko. populaatiosta. MŠŠritŠ todennškšisyys sille, ettš valittu on uudistuksen puolesta, kun tiedetššn valitun olleen mies. (Vast. 1/4) (Helenius) LaskusŠŠntš 5 (yleinen kertolaskusššntš). Jos P(B)>0, niin P(A B) = P(B)P(A B). Tapahtumat A ja B ovat (tilastollisesti, stokastisesti) riippumattomia (merk.æ), jos P(A B)=P(A). TŠllšin siis B:n tapahtuminen tai tapahtumatta jššminen ei vaikuta A:n tapahtumisen todennškšisyyteen ja A:n 15 tapahtuminen tai tapahtumatta jššminen ei vaikuta B:n tapahtumisen todennškšisyyteen. Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin P(A B ) = P(A)P(B). Tapahtumien riippumattomuus voidaan yleistšš: Tapahtumat A 1, A 2,..., A k ovat riippumattomia, jos minkššn niistš tapahtuminen tai tapahtumatta jššminen ei vaikuta muiden tapahtumien todennškšisyyksiin. TŠllšin P(A 1 A 2... A k ) =P(A 1 )P(A 2 )...P(A k ). RiippumattomuuskŠsite ja esitetty todennškšisyyden laskukaava voidaan yleistšš myšs eri satunnaisilmišiden všlille, jolloin tapahtumat voivat olla eri satunnaisilmišistš. Puhutaan yhdistetystš satunnaisilmišstš. 16

5 Esim HeitetŠŠn noppaa kaksi kertaa. A = Ò1. heiton silmšluku 5Ó B = Ò2. heiton silmšluku 5Ó, A Æ B, joten P(Òsaadaan 5 molemmilla heitoillaó) =P( Ò1. heiton silmšluku 5Ó) P( Ò2. heiton silmšluku 5Ó) = (1/6)(1/6) Esim HeitetŠŠn noppaa kolme kertaa (toistetaan samaa satunnaisilmištš) A 1 = Ò1. heiton silmšluku paritonó A 2 = Ò2. heiton silmšluku paritonó A 3 = Ò3. heiton silmšluku paritonó P(Òsaadaan kaikilla heitoilla paritonó) =P( Ò1. heitolla paritonó) P( Ò2. heitolla paritonó)p( Ò3. heitolla paritonó) = 1/8 17 Esim Olkoon laatikossa neljš palloa, joista yksi musta, yksi punainen ja loput kaksi valkoisia. Poimitaan umpimšhkššn laatikosta kaksi palloa perškkšin siten, ettš ensin saatu pallo palautetaan takaisin ennen jšlkimmšisen poimintaa (yksinkertainen satunnaisotanta palauttaen). MillŠ todennškšisyydellš molemmat pallot ovat valkoisia? P(Òmolemmat pallot valkoisiaó) =P(1.pallo valk.)p(2.pallo valk.) = (2/4)(2/4) = 1/4. Suoritetaan kahden pallon poiminta siten, ettš ensin poimittua ei palauteta laatikoon ennen jšlkimmšisen valintaa (yksinkertainen satunnaisotanta palauttamatta). MillŠ todennškšisyydellš molemmat pallot nyt ovat valkoisia? P(Òmolemmat pallot valkoisiaó) =P(1.pallo valk.)p(2.pallo valk. 1. valk.) = (2/4)(1/3) = 1/6. (Helenius s. 196) 18 Esim Olet tulossa kotiin. Avainnipussasi on 5 avainta, joista yhdellš pššset sisššn. Valitset satunnaisesti avaimen, jolla koetat avata ovet. Jollei ovi aukea, valitset jšljellš olevista satunnaisesti uuden avaimen ja koetat avata oven, jne. Laske todennškšisyydet, ettš 1. yrityksellš saat oven auki, 2. yrityksellš saat oven auki,..., 5. yrityksellš saat oven auki. (Vast. 1/5; (4/5)(1/4)=1/5;...; (4/5)(3/4)...(1/2)(1/1)=1/5). (Liski & Puntanen) 2.4. KOMBINATORIIKKAA Tarkastellaan satunnaisilmištš, jonka voidaan ajatella syntyvšn K:ssa eri vaiheessa (yhdistetty satunnaisilmiš). Oletetaan, ettš i:nnessš vaiheessa on n i eri tulosmahdollisuutta. TŠllšin yhdistetyllš satunnaisilmišllš on n 1 n 2...n K eri tulosta. Esim Kuinka monta vakioveikkausriviš voidaan muodostaa? Montako sellaista, joissa ei yhtššn oikeaa? (Vast = , 2 13 = 8192) 19 Esim Kuinka moneen erilaiseen jonoon henkilšt A, B ja C voidaan jšrjestšš? (Vast. 3á2á1) EdellŠ muodostettiin kirjainten permutaatiot. Jonon mitš tahansa uutta jšrjestystš sanotaan permutaatioksi. Kuinka moneen erilaiseen jšrjestykseen n erilaista alkiota voidaan asettaa? Erilaisia jšrjestyksiš (permutaatioita) on n(n-1)(n-2)...2á1 = n! (n-kertoma). MŠŠritellŠŠn 0! = 1. Kuinka moneen erilaiseen jšrjestykseen n:stš erilaisesta alkiosta valitut k alkiota voidaan jšrjestšš? Erilaisia jšrjestyksiš (permutaatioita) on n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n-k)! 20

6 Olkoon n erilaista alkiota. TŠllšin k:n alkion osajoukkoja eli kombinaatioita voidaan muodostaa n! merkitään n = k!(n k)! k (lue: n yli k:n) kappaletta. TŠmŠ luku on ns. binomikerroin. Kombinaatio on siis alkioiden joukko, jossa jšrjestyksellš ei ole všliš. Esim Kuinka monta erilaista lottoriviš? Kuinka monta sellaista, jossa kaikki vššrin? (Vast , ) Esim Kuinka monta erilaista jonoa 5 henkilšš voi muodostaa? EntŠ 20 henkilšš? (Vast. 5!=120, 20!= ) Esim Kuinka moneen eri jšrjestykseen korttipakan 52 korttia voi asettaa? (Vast. 52!) Esim Valitaan luvuista 1,2,3,4,5,6 kaksi lukua satunnaisesti palauttamatta lukua valinnan jšlkeen. Kyse siis yksinkertaisesta satunnaisotonnasta (YSO) palauttamatta. 21 Muodosta kaikki mahdolliset otokset (populaation osajoukkoja, jossa jšrjestyksellš ei merkitystš) ja mššritš otoksen suurin alkio sekš sen eri arvojen todennškšisyydet. (Vast. Otoksia 15, P(Max=2)=1/15, P(Max=3)=2/15...) Esim Kuten edellš, mutta otanta systemaattisella otannalla. (Ohje: Otoksia 3) 2.5. KOKONAISTODENN K ISYYS JA BAYESIN KAAVA Esim Tuotetta A valmistetaan koneilla K 1 ja K 2. Kone K 1 tekee 1000 kappaletta aikayksikšssš ja virheellisten osuus on keskimššrin 2%. Kone K 2 tekee 2000 kappaletta ja virheellisten osuus 5%. Laske todennškšisyys, ettš tuotannosta satunnaisesti valittu tuote on virheellinen. (Vast. 4%) (Huuhtanen & Kallinen, Matemaattinen tilastotiede) Esim (jatkoa esim ) On lšytynyt virheellinen tuote. MikŠ on todennškšisyys, ettš tuote on valmistettu koneella K 1. (Vast. 1/6) TODENN K ISYYSJAKAUMIA 3.1. SATUNNAISMUUTTUJA JA TODENN K ISYYSJAKAUMA Funktiota, joka liittšš yksikšsitteisen reaaliluvun jokaiseen tarkasteltavan satunnaisilmišn perusjoukon tulokseen, sanotaan satunnaismuuttujaksi. Eri tuloksiin liittyviš reaalilukuja sanotaan satunnaismuuttujan arvoksi. Jatkossa merkitššn (useimmiten) satunnaismuuttujia isoin kirjaimin (X, Y, Z,...) ja satunnaismuuttujan arvoja pienin kirjaimin (x, y, z,...). Esim Satunnaisilmiš nopanheitto. Satunnaismuuttuja X = saatu silmšluku. 23 Esim HeitetŠŠn kolikkoa neljš kertaa. MŠŠritellŠŠn satunnaismuuttuja X=klaavojen lukumššrš heittosarjassa. EtukŠteen ei tiedetš montako klaavaa saadaan, mutta voidaan laskea eri arvojen todennškšisyydet. TŠssŠ satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2, 3 ja 4. Erilaisia heittosarjoja on kaikkiaan 16. klaavojen klaavojen lkm lkm Kl,Kl,Kl,Kl 4 Kr,Kl,Kl,Kr 2 Kr,Kl,Kl,Kl 3 Kl,Kr,Kl,Kr 2 Kl,Kr,Kl,Kl 3 Kr,Kl,Kr,Kl 2 Kl,Kl,Kr,Kl 3 Kl,Kr,Kr,Kr 1 Kl,Kl,Kl,Kr 3 Kr,Kl,Kr,Kr 1 Kl,Kl,Kr,Kr 2 Kr,Kr,Kl,Kr 1 Kr,Kr,Kl,Kl 2 Kr,Kr,Kr,Kl 1 Kl,Kr,Kr,Kl 2 Kr,Kr,Kr,Kr 0 24 P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)=

7 Esim SatunnaisilmišnŠ veikkaaminen (13 kohdetta, joissa jokaisessa 3 vaihtoehtoa). TŠllšin voidaan mššritellš satunnaismuuttuja X = oikein veikattujen kohteiden lukumššrš. X voi saada arvoja 0,1,2,...,13. NŠiden arvojen todennškšisyydet voidaan laskea (ks. binomijakauma). EsimerkissŠ ilmoitettiin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja eri arvojen todennškšisyydet. TŠllšin muodostettiin satunnaismuuttujan todennškšisyysjakauma. Satunnaismuuttuja voi olla joko jatkuva tai diskreetti. EdellisissŠ esimerkeissš satunnaismuuttujat olivat diskreettejš. Satunnaismuuttujaa sanotaan diskreetiksi, jos se voi saada arvokseen ŠŠrellisen mššršn erisuuria arvoja tai ŠŠrettšmŠn mššršn siten, ettš arvot ovat numeroitavissa positiivisia kokonaislukuja kšyttšen. Muulloin satunnaismuuttuja on jatkuva. 25 Diskreetin satunnaismuuttujan todennškšisyysjakauma voidaan usein (ainakin periaatteessa) muodostaa kuten esimerkissš Jatkuvien muuttujien yhteydessš todennškšisyysjakauma mššritellššn jatkuvan funktion avulla. Funktiota, joka mššrittšš satunnaismuuttujan todennškšisyysjakauman kutsutaan tiheysfunktioksi, merk. f(x). Diskreetin muuttujan yhteydessš puhutaan myšs pistetodennškšisyyksistš. Tarkemmat kuvaukset tiheysfunktioista kohdissa 3.2. ja 3.3. Tiheysfunktion voidaan ajatella kuvaavan populaation jakaumaa (vrt. frekvenssimonikulmio empiiristen (otos)jakaumien yhteydessš). Esim Esimerkin todennškšisyysjakauma graafisesti. 26 Satunnaismuuttujan X kertymšfunktio F mššritellššn F(x) = P(X x). KertymŠfunktion arvo pisteessš x kertoo siis todennškšisyyden sille, ettš satunnaismuuttujan X arvo on x. KertymŠfunktion ominaisuuksia: 1) F(- )=0, F( )=1 2) P(a<X b)=f(b)-f(a), (a<b) 3) Jos X jatkuva, niin F(a)=P(X a)=p(x<a). 4) P(X>a)=1-P(X a)=1-f(a) 5) Jos X jatkuva satunnaismuuttuja, niin F«(x)=f(x). Esim HeitetŠŠn kolikkoa neljš kertaa. Olkoon X = klaavojen lukumššrš heittosarjassa. MŠŠritŠ ja piirrš X:n kertymšfunktio. Laske P(X<0),P(X 0),P(X<2.5), P(X 4). (Vast. 0, 1/16, 11/16, 1/16) DISKREETTI SATUNNAISMUUTTUJA Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot x 1, x 2,..., ja nšiden arvojen todennškšisyydet p 1, p 2,..., TŠllšin satunnaismuuttujan X todennškšisyysjakauma mššritellššn pistetodennškšisyyksien P(X=x i ) = p i, i = 1, 2,..., 0, muulloin missš p 1 + p = 1, perusteella. Esim HeitetŠŠn noppaa. MŠŠritellŠŠn X = saatu silmšluku. PiirrŠ X:n todennškšisyysjakauma sekš kertymšfunktio. Samalla tavalla kuin empiiristen jakaumien yhteydessš jakaumaa voitiin kuvailla tunnuslukujen avulla, voidaan myšs teoreettisia todennškšisyysjakaumin kuvata samantyyppisillš tunnusluvuilla, jotka mššritellššn todennškšisyysjakauman avulla. 28

8 Empiirisen jakauman keskiarvoa vastaavaksi tunnusluvuksi todennškšisyysjakauman (populaation) yhteydessš mššritellššn jakauman odotusarvo (populaation keskiarvo) sekš otosvarianssia ja keskihajontaa vastaaviksi (populaation) varianssi ja keskihajonta. Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot x 1, x 2,..., x k ja nšiden arvojen todennškšisyydet p 1, p 2,..., p k. TŠllšin satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) mššritellššn E(X) =p 1 x 1 +p 2 x 2 +p 3 x p k x k = µ sekš varianssi Var(X) Var(X) =E[(X-µ) 2 ] = Sp i (x i - E(X)) 2 =Sp i (x i - µ) 2 =σ 2 29 ja keskihajonta Sd(X)= Var(X) = σ. Huom. EdellŠ k voi siis olla myšs ŠŠretšn. Esim HeitetŠŠn noppaa. MŠŠritellŠŠn X = saatu silmšluku. MŠŠritŠ E(X) ja Var(X). (Vast. 3.5, 35/12) Esim MŠŠritellŠŠn rahanheitossa X = 1, jos saadaan kruunu 0, muulloin. Laske E(X) ja Var(X). (Vast. 0.5, 0.25) Esim (jatkoa Esim ) Olet tulossa kotiin. Avainnipussasi on 5 avainta, joista yhdellš pššset sisššn. Valitset satunnaisesti avaimen, jolla koetat avata ovet. Jollei ovi aukea, valitset jšljellš olevista satunnaisesti uuden avaimen ja koetat avata oven, jne. MŠŠritellŠŠn X = sen yrityksen jšrjestysnumero, jolla ovi aukeaa. MŠŠritŠ E(X) ja Var(X). (Vast. 3; 2) JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f. Jotta f olisi tiheysfunktio on f(x) 0, jokaisella x:n arvolla sekš f(x)dx = 1 eli f(x):n ja x-akselin všliin jššvš pinta-ala = 1. Tiheysfunktio kuvaa siis ykkšsen suuruisen todennškšisyysmassan jakaumaa.tšllšin X:n odotusarvo E(X) mššritellššn E(X) = xf(x)dx = µ, sekš varianssi Var(X) Var(X) =E[(X-µ) 2 ] = (x-e(x)) 2 f(x)dx =σ 2 ja keskihajonta Sd(X)= Var(X) = σ. Odotusarvo kuvaa jakauman keskikohtaa ja varianssi mittaa miten tiiviisti todennškšisyysmassa on keskittynyt odotusarvon ympšrille (vrt. empiiriset jakaumat). 31 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja sekš a ja b reaalilukuja (a b), tšllšin a P(X a) = P(X<a) = F(a) = f(x)dx P(X a) = P(X>a) = 1-P(X a) = 1-F(a) P(a<X<b)= P(a X<b) = P(a<X b) = P(a X b) = F(b)-F(a) Graafisesti: Esim Olkoon X= satunnaisesti všliltš [0,1] valittu reaaliluku. MŠŠritŠ X:n tiheysfunktio sekš kertymšfunktio. Laske lisšksi P(X>0.25), P(0.5 X 0.75),P(X a). Laske vielš E(X) ja Var(X) (Vast. f(x)=1, 0 x 1; E(X)=1/2,Var(X)= 1/12). Olkoon E(X)=µ ja Var(X)=σ 2. TŠllšin muuttuja X standardoidaan tekemšllš muunnos Z=(X-µ)/σ 32

9 3.4. ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUKSIA Odotusarvon ominaisuuksia 1. E(a)=a, a vakio 2. E(aX+b)=aE(X)+b, X sat. muuttuja ja a,b vakioita (ax+b myšs satunnaismuuttuja) 3. Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaismuuttujia, jolloin myšs X 1 +X X n on satunnaismuuttuja ja E(X 1 +X X n )=E(X 1 )+E(X 2 )+...+E(X n ) 4. Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin E(XY)=E(X)E(Y). Satunnaismuuttujien riippumattomuus mššritellššn vastaavalla tavalla kuin tapahtumien riippumattomuuskin. Diskreetin satunnaismuuttujan yhteydessš: Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, joss P(X=x i ja Y=y i )=P(X=x i )P(Y=y i ), i,j 33 Varianssin ominaisuuksia 1. Var(a)=0, a vakio 2. Var(X)=E(X 2 )-(E(X)) 2 3. Var(aX+b)=a 2 Var(X), a,b vakioita 4. Sd(aX+b)= a Sd(X), a,b vakioita 5. Jos satunnaismuuttujat X 1,X 2,...,X n ovat riippumattomia, niin Var(X 1 +X X n ) =Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X n ) 6. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia. TŠllšin Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)±2Cov(X,Y), missš Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)) = σ XY on satunnaismuuttujien X ja Y všlinen kovarianssi, joka on nolla, jos X ja Y ovat riippumattomia. Kovarianssi liittyy muuttujien X ja Y yhteisjakaumaan. Satunnaismuuttujien X ja Y všlinen korrelaatiokerroin ρ XY = Cov (X,Y)/Sd(X)Sd(Y). Esim Olkoon E(X)=µ ja Var(X)=σ 2. MŠŠritellŠŠn Z=(X-µ)/σ Laske E(Z) ja Var(Z). (Vast. 0; 1) 34 Esim Olkoon X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia sekš mššritellššn Z=X-Y. Olkoon Sd(X) = σx ja Sd(Y) = σy sekš E(X) = µx ja E(Y) = µy. Laske Z:n odotusarvo ja keskihajonta. Esim Olkoon X 1,X 2,..., X n riippumattomia satunnaismuuttujia siten, ettš E(X i ) = µ ja Var(X i ) = σ 2. MŠŠritellŠŠn Y=(X 1 +X X n )/n. Laske E(Y) ja Var(Y). (Vast. µ, σ 2 /n) 35 Esim Sijoitetaan 1000 mk. Mahdollisia kohteita A ja B. Olkoon X=1 mk:n tuotto kohteesta A, Y=1 mk:n tuotto kohteesta B. Olkoon X ja Y riippumattomia sekš E(X)=E(Y)=µ ja Var(X)=Var(Y)=σ 2. Miten sijoitat? (Newbold) Esim Tarkastellaan kahta satunnaismuuttujaa X ja Y. Olkoon P(X=6, Y=1) = P(X=6, Y=3)= P(X=8, Y=2) = P(X=10, Y=1) = P(X=10, Y=3) = 0.2. Laske Cov(X,Y) sekš ρ. (Vast. 0; 0) 36 Esim Sijoitat 1000 mk. Mahdollisia sijoituskohteita A ja B, joissa molemmissa pienin sijoitusmššrš 500 mk. Olkoon X=tuotto 100 mk:n sijoituksesta A:han, Y= tuotto 100 mk:n sijoituksesta B:hen. Olkoon lisšksi P(X=-5)=0.4, P(X=20)=0.6, P(Y=0)=0.6, P(Y=25)=0.4 sekš sijoitukset toisistaan riippumattomia. Miten sijoittaisit? (Ohje: Paras sijoitus sellainen, jonka tuotolla suurin odotusarvo ja pienin varianssi) (Newbold)

10 3.5. YLEISESTI SOVELLETTUJA TODENN K ISYYSJAKAUMIA 1. BERNOULLI-JAKAUMA Tarkastellaan satunnaisilmištš, jossa joko onnistutaan (A) tai epšonnistutaan (A C ). MŠŠritellŠŠn satunnaismuuttuja X siten, ettš X = 1, jos onnistutaan 0, jos epšonnistutaan. Olkoon lisšksi P(A)=P(X=1)=p ja P(A C )=P(X=0)=q=1-p. TŠllšin sanotaan, ettš X noudattaa Bernoullijakaumaa parametrillš p. MerkitŠŠn X~ÊBer(p). Jos X~ÊBer(p), niin E(X)= p ja Var(X) = p(1-p) = pq. Esim Rahanheitto, veikkauksessa yhden kohteen arvaaminen, nopanheitto onnistumisena silmšluvun 6 saaminen, BINOMIJAKAUMA Tarkastellaan vakioveikkausta. MŠŠritellŠŠn satunnaismuuttuja X = oikein arvattujen kohteiden kokonaislukumššrš. TehtŠvŠnŠ on mššrittšš X:n todennškšisyysjakauma. TŠllšin pššdytššn nk. binomijakaumaan. Olkoon satunnaisilmišssš onnistumisen todennškšisyys p. Toistetaan tštš satunnaisilmištš n kertaa. MŠŠritellŠŠn X= onnistumisten kokonaislukumššrš. TŠllšin sanotaan, ettš X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p. MerkitŠŠn X~ÊBin(n,p). Jos X~ÊBin(n,p), niin P(X=k)= n k p k ( 1 p) n k, k=0,1,2,...n ja E(X)=np sekš Var(X)=np(1-p)=npq. Binomijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja mššritellššn siis itse asiassa Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summana. Olkoon 38 X i ~ÊBer(p), jolloin toistettaessa Bernoullikoetta n kertaa, onnistumisten kokonaislukumššrš voidaan mššritellš X=X 1 +X X n ja tšllšin siis X~ÊBin(n,p). TŠmŠn summamuuttujan avulla saadaan laskettua binomijakauman odotusarvo ja varianssi. Esim Veikataan satunnaisesti yksi rivi. MŠŠritellŠŠn X=oikein arvattujen kohteiden kokonaislukumššrš. MŠŠritŠ X:n jakauma sekš sen odotusarvo. Laske P(X=0), P(X=13), P(X>11), P(X>3). (Ohje: X ~ Bin(13, 1/3)) Esim Pelaat ystšvšsi kanssa peliš, jossa heitetššn rahaa. Jos tulee klaava saat ystšvšltšsi markan, jos tulee kruunu annat ystšvšllesi markan. On heitetty rahaa 20 kertaa ja olet tappiolla 14 markkaa eli on tullut 17 kruunua ja 3 klaavaa. Onko syytš tutkia rahaa tarkemmin? Jos raha harhaton, niin X=klaavojen lukumššrš 20 heitossa ~ÊBin(20,1/2). MillŠ todennškšisyydellš olet 39 všhintššn 14 mk tappiolla? P(X 3) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =... = On siis sattunut tapahtuma, jonka todennškšisyys on hiukan yli 1/1000 tai pelissš oleva raha on harhainen ja antaa kruunun useammin kuin klaavan. 3. HYBERGEOMETRINEN JAKAUMA Tarkastellaan lottoamista. MŠŠritellŠŠn satunnaismuuttuja X = lottorivissš oikeitten lukumššrš. Lotossa populaation koko on 39, josta arvotaan palauttamatta 7 ÒoikeaaÓ. Kun tšytetššn lottorivi, niin siinš voi olla oikein 0, 1, 2,... tai 7. Kun halutaan selvittšš nšiden arvojen todennškšisyydet, voidaan kšyttšš hyvšksi nk. hypergeometrista jakaumaa. Populaatiossa on N alkiota, joista K kpl on "viallisia". TehdŠŠn tšstš populaatiosta palauttamatta yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko on n. MŠŠritellŠŠn X= viallisten 40

11 lukumššrš otoksessa. TŠllšin X noudattaa nk. hypergeometrista jakaumaa parametrein N, K, n. MerkitŠŠn X~ÊHyp(N,K,n). Jos X~ÊHyp(N,K,n), niin K N K k n k P(X=k)=, k=0,1,2,...n N n E(X)=n(K/N), Var(X)=n(K/N)(1-K/N)((N-n)/(N-1)) Esim Laske todennškšisyys sille, ettš lotossa saa k oikein. MŠŠritŠ myšs odotusarvo oikeitten lukumššršlle. (Vast. E(X)=1.26) Esim Olkoon 15 tuotteen joukossa 5 virheellistš. Valitaan tšstš joukosta satunnaisesti 3 tuotetta. Laske todennškšisyys, ettš valittujen kolmen tuotteen joukossa on korkeintaan yksi virheellinen, kun valinta tehty a) palauttaen b) palauttamatta. (Vast , 0.758) (Helenius) POISSON JAKAUMA Esimerkiksi tarkasteltaessa hirvikolareiden (harvinaisten tapahtumien) lukumššršš viikoittain (tietyllš aikavšlillš) voidaan lukumššršn todennškšisyysjakaumana kšyttšš nk. Poisson-jakaumaa. Olkoon satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot 0, 1, 2,... ja P(X=k)= λk k! e λ, k=0,1,2,... TŠllšin sanotaan X:n noudattavan Poissonjakaumaa parametrilla λ. MerkitŠŠn X~ÊPoi(λ). TŠllšin E(X)=λ, Var(X)=λ. TŠllaisiin satunnaismuuttujiin tšrmšš, kun on kiinnostunut harvinaisten tapahtumien lukumššršstš tietyllš aikavšlillš, tietyllš matkalla... vaikkapa liikenneonnettomuuksien lkm pšivšssš, painovirheitten lkm sivulla jne. 42 Esim Puhelinlaitokselle tulee satunnaisesti vikailmoituksia, keskimššrin kolme viikossa. MillŠ todennškšisyydellš tietyllš viikolla a) ei tule yhtššn vikailmoitusta b) tulee yksi vikailmoitus? (Oletetaan Poissonjakauma) (Vast. 0.05, 0.15) (Helenius) Esim Sairaalassa seurataan infektioiden lukumššršš. ErŠŠnŠ vuonna infektioiden lukumššrš oli 900 eli keskimššrin kuukaudessa 75. Voidaan olettaan, ettš X=infektioiden lkm kuukaudessa~ Poi(75). TŠllšin E(X)=75, Var(X)=75, P(X=k)= Poisson-jakauma soveltuu harvinaisten tapahtumien yhteydessš binomijakauman approksimointiin, kun n on riittšvšn suuri. Esim Suuressa populaatiossa tiedetššn aiemmin olleen 4% všrisokeita. Nykyisen tilanteen selvittšmiseksi valitaan populaatiosta satunnaisesti 200 henkilšš. MillŠ todennškšisyydellš 200 valitun joukossa on korkeitaan viisi všrisokeaa, jos populaatiossa edelleen on 4% všrisokeita? (Vast. Poisson-jakauman avulla approksimoitu 0.191) (Helenius) GEOMETRINEN JAKAUMA Avainnipussa on 5 avainta, joista yksi avaa oven. Valitaan satunnaisesti avaimen, jolla koetetaan avata ovi. Jollei ovi aukea, palautetaan avain nippuun ja valitaa avain satunnaisesti uudellee. Nyt halutaan selvittšš todennškšisyys sille, ettš k. kerralla onnistutaan. TŠssŠ siis toistetaan satunnaiskoetta, jossa onnistutaan todennškšisyydellš 1/5. Seuraavassa jakaumassa on tilanne yleistettynš. Toistetaan satunnaiskoetta, jossa onnistutaan todennškšisyydellš p, kunnes onnistutaan 1. kerran. Olkoon X sen kerran jšrjestysnumero. TŠllšin sanotaan, ettš X noudattaa geometrista jakaumaa parametrillš p. MerkitŠŠn X~ÊGeo(p). Jos X~ÊGeo(p),niin P(X=k)= (1-p) k-1 p, k=1, 2,... ja E(X)=1/p ja Var(X)= (1-p)/p 2. Esim Kotiavaimen valinta nipusta palauttaen. Montako kertaa keskimššrin yrityksiš on tehtšvš? 44

12 DISKREETTI TASAJAKAUMA Noppaa heitettšessš voidaan mššritellš satunnaismuuttuja X = silmšluku. X:n mahdolliset arvot ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja jokaisen esiintymistodennškšisyys 1/6. TŠtŠ jakaumaa kutsutaan diskreetiksi tasajakaumaksi všlillš (1,6). Jos satunnaismuuttujan X arvot ovat kokonaislukuja a, a+1, a+2, a+3,...,a+(n-1)=b ja kukin n:stš arvo yhtš todennškšinen, niin sanotaan, ettš X noudattaa diskreettiš tasajakaumaa všlillš (a,b). MerkitŠŠn X~ÊTasd(a,b). TŠllšin E(X)= (a+b)/2 ja Var(X)= (n 2-1)/12. Esim Nopanheitto. Esim Olkoon X yksinumeroinen satunnaisluku. Mahdolliset arvot ovat siis 0,1,2,...,9 ja jokaisen arvon todennškšisyys 1/10. TŠllšin X~ÊTasd(0,9), E(X)= (0+9)/2 ja Var(X)=(10 2-1)/ JATKUVA TASAJAKAUMA Satunnaismuuttuja noudattaa jatkuvaa tasajakaumaa všlillš [a,b], jos sen tiheysfunktio f on f(x)=1/(b-a), kun a x b 0, muulloin. MerkitŠŠn X~ÊTas(a,b). TŠllšin E(X)= (a+b)/2 Var(X)=(b-a) 2 /12. Esim Aiemmat esim. 8. NORMAALIJAKAUMA Seuraava todennškšisyysjakauma on tilastotieteessš hyvin keskeinen. Tarkastellaan jatkuvaa satunnaismuuttujaa X, joka voi saada arvokseen kaikki reaaliluvut. Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2 (σ>0), jos sen tiheysfunktio on f(x) = σ 2π e 1 2 x µ σ 2 - x TŠllšin E(X)= µ ja Var(X) = σ 2. MerkitŠŠn X~ÊN(µ,σ 2 ). Jos X~ÊN(µ,σ 2 ), niin sen tiheysfunktio on yksihuippuinen jakauma, symmetrinen odotusarvon suhteen varianssin kertoessa jakauman levittšytymisestš odotusarvon ympšrille. Esim Erilaisia normaalijakaumia graafisesti. Jos X~ÊN(0,1), niin sen tiheysfunktio on f(x) = 1 2π e 1 2 x2 - x KyseessŠ nk. standardoitu normaalijakauma. Usein merk. Z~ÊN(0,1), f(z)=φ(z) ja F(z)=P(Z z)=φ(z). Standardoidun normaalijakauman kertymšfunktion Φ(z)=P(Z z) arvoja on taulukoitu. Taulukoiden avulla voidaan laske erilaisia todennškšisyyksiš. Normaalijakauman symmetrisyydestš seuraa, ettš Φ(z)=1-Φ(-z). Graafisesti: Esim Olkoon Z~ÊN(0,1). Laske P(Z 1), P(Z 1.1), P(Z 1.14), P(Z -1), P(Z 0), P(-1 Z 1), P(-2 Z 2), P(-3 Z 3). Esim Olkoon Z~ÊN(0,1). MŠŠritŠ z, kun a) Φ(z)=0.75 b) Φ(z)=0.26. Jos X~ÊN(µ,σ 2 ), niin P(X a) voidaan laskea kšyttšen standardoitua normaalijakaumaa, sillš on osoitettavissa, ettš jos X~ÊN(µ,σ 2 ), niin Z=(X-µ)/σ ~ÊN(0,1).

13 49 50 Jos siis X~ÊN(µ,σ 2 ), niin P(X a) =P((X-µ)/σ (a-µ)/σ ) = Φ((a-µ)/σ), ja P(X a)=1-p(x a) =1-P((X-µ)/σ (a-µ)/σ ) = 1-Φ((a-µ)/σ) P(a X b)=p(x b)-p(x a) =P((X-µ)/σ (b-µ)/σ) -P((X-µ)/σ (a-µ)/σ) = Φ((b-µ)/σ)-Φ((a-µ)/σ). Esim Tehdas valmistaa sšhkšlamppuja, joiden kšyttšikš vaihtelee tavalla, joka on hyvin luonnehdittavissa normaalijakauman avulla. Valmistettavien lamppujen keskimššršinen kestoikš on 800 tuntia ja vaihtelua esiintyy niin, ettš keskihajonta on 40 tuntia. a) MillŠ todennškšisyydellš valmistettavien lamppujen joukosta satunnaisesti valittu lamppu kestšš všhintššn 700 tuntia mutta korkeintaan 850 tuntia? b) MikŠ on sellainen arvo, jonka alle lampun kestoikš jšš 0.25 suuruisella todennškšisyydellš? c) MikŠ on sellainen arvo, jonka yli lamppu kestšš 0.25 suuruisella todennškšisyydellš? (Vast , 773.2, 826.8) (Helenius) Esim Laske todennškšisyydet, ettš normaalijakaumassa satunnaismuuttujan arvo on korkeitaan a) hajonnan pššssš odotusarvosta,b) kahden hajonnan pššssš odotusarvosta, c) kolmen hajonnan pššssš odotusarvosta. Normaalijakaumaan liittyviš keskeisiš teoreettisia tuloksia 1) Jos X~ÊN(µ,σ 2 ), niin ax+b~ên(aµ+b,a 2 σ 2 ), (a,b vakioita) 2) Jos X 1, X 2,..., X n ovat riippumattomia ja Xi~ÊN(µ i,σ 2 i ), niin X 1 + X X n ~ÊN(µ 1 +µ µ n,σ 2 1 +σ σn 2 ) 3) Keskeinen raja-arvolause: Olkoon X 1, X 2,..., X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joista kukin noudattaa omaa jakaumaansa. Olkoon E(X i )=µ i ja 51 yleisten ehtojen vallitessa) satunnaismuuttuja X 1 + X X n noudattaa likimain normaalijakaumaa (kun n riittšvšn iso) parametrein µ 1 +µ µ n ja σ 1 2 +σ σn 2. Esim Olkoon X 1, X 2, X 3, X 4 riippumattomia ja kukin X i ~ÊN(0,1). MŠŠritellŠŠn U=(X 1 + X 2 + X 3 +X 4 )/4. Laske P(U 1). Olkoon X 1, X 2,..., X n riippumattomia ja kukin X i ~ÊN(µ,σ 2 ), niin tšllšin U=(X 1 + X X n )/n~ên(µ,σ 2 /n). Otoskeskiarvon jakauma on siis normaalijakauma (ks.. otosjakaumat)! Vaikka X i :t eivšt olisikaan normaalisti jakautuneita, niin U olisi likimain normaalisti jakautunut keskeisen raja-arvolauseen perusteella. 52 Var(X i ) = σ i 2, i=1,2,...,n. TŠllšin (hyvin

14 Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla. Jos X~ÊBin(n,p), niin silloinhan X=X 1 + X X n, missš X i ~ÊBer(p). Keskeisen raja-arvolauseen mukaan (jos n on riittšvšn suuri) X noudattaa likimain normaalijakaumaa parametrein np ja npq. Approksimaatio on hyvš, jos n on suuri ja p ei ole kovin pieni eikš suuri. Esim Henkilš osallistuu tenttiin, jossa sataan všitteeseen vastataan všitteen olevan tosi tai epštosi ja vain toinen vaihtoehto on oikea. Jos henkilš vastaa kaikkiin kohtiin valitsemalla vaihtoehdon aina tšysin satunnaisesti, niin millš todennškšisyydellš hšn saa korkeintaan 60 oikeaa vastausta? (Helenius) Jatkuvuuskorjaus. Ks. Helenius s.252 Esim Levykaupan omistaja arvioi, ettš 20% asiakkaista suorittaa ostoksen. Laske todennškšisyys, ettš 180 asiakkaan joukosta ainakin 45 suorittaa ostoksen (binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla). (Newbold) 53 Esim Muutaman všhšsateisen vuoden jšlkeen tietyllš alueella epšillššn sššolosuhteissa tapahtuneen pysyvšnluonteinen muutos. Vuotuisen sademššršn keskiarvoksi 100 vuoden ajalta oli saatu tuumaa ja keskihajonnaksi 6.11 tuumaa. LisŠksi vuotuinen sademššrš oli vaihdellut tavalla, jota voidaan luonnehtia normaalijakaumalla. Viimeisen viiden vuoden sademššršn keskiarvoksi oli saatu tuumaa. MillŠ todennškšisyydellš nšin paljon lukua pienempi keskiarvo olisi odotettavissa, mikšli viiden viimeisen vuoden havainnon tulkitaan olevan yksinkertainen satunnaisotos normaalijakaumasta odotusarvona ja keskihajontana 6.11? (Helenius) Esim Oletetaan, ettš opiskelijoiden ŠlykkyysosamŠŠrŠ ~ N(µ,225). Kuinka suuri otos tarvitaan, kun halutaan, ettš otoskeskiarvo poikkeaa µ:stš korkein ±2 pistettš todennškšisyydellš 0.99? OTOS, OTOSSUURE, OTANTAJAKAUMA Kun populaation on hyvin suuri tai ŠŠretšn ei tietenkššn voida tutkia koko populaatiota. TŠllšin tilastolliset johtopšštelmšt, jotka koskevat populaation l. perusjoukon (ŠŠrellinen tai ŠŠretšn) ominaisuuksia tehdššn otoksen avulla. Jotta erilaisten otoksesta laskettujen tunnuslukujen luotettavuutta voidaan arvioida otos valitaan poimimalla se todennškšisyysotannalla. TodennŠkšisyysotannassa kaikki mahdolliset n alkion otokset voidaan luetella, tunnetaan jokaisen mahdollisen otoksen poimintatodennškšisyys ja otokset poimitaan nšiden todennškšisyyksien mukaan sekš tiedetššn, miten otoksen perusteella yleistetššn tulokset koko populaatioon. Jatkossa tarkastellaan pššosin vain yksinkertaisella satunnaisotannalla tehtyyn otokseen liittyviš tuloksia. LisŠksi ollaan kiinnostuneita vain yhdestš populaation alkioihin liittyvšstš ominaisuudesta, 55 muuttujasta. Yksinkertainen satunnaisotos (YSO) poimitaan siten, ettš jokaisella n alkion suuruisella otoksella on yhtš suuri todennškšisyys tulla poimituksi. KŠytŠnnšssŠ ei muodosteta kaikkia n alkion osajoukkoja, joista sitten satunnaisesti valitaan yksi, vaan alkiot poimitaan yksi kerrallaan kunnes otoskoko on n. YSO voidaan tehdš joko palauttamatta tai palauttaen SATUNNAISOTOS Olkoon X 1, X 2,..., X n n:n satunnaismuuttujan jono. TŠtŠ jonoa sanotaan satunnaisotokseksi, jos X i :t ovat riippumattomia (merk.æ) ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta ÒX 1, X 2,..., X n on satunnaisotos N(µ,σ 2 ):staó tarkoittaa sitš, ettš jokainen X i ~ÊN(µ,σ 2 ) ja X i :t ovat riippumattomia. 56

15 Kun ŠŠrettšmŠstŠ populaatiosta tehdššn otanta yksinkertaisella satunnaisotannalla (palauttaen tai palauttamatta) ja tarkastellaan yhtš tiettyš muuttujaa (tilastoyksikšn ominaisuutta), on kyse satunnaisotoksesta. Jos populaatio on ŠŠrellinen YSO palauttaen johtaa satunnaisotokseen, mutta palauttamatta ei, koska riippumattomuusoletus ei ole voimassa. Kuitenkin, jos populaatio on suuri YSO palauttamattakin johtaa lšhes riippumattomiin satunnaismuuttujiin. Satunnaisotos mššritellššn siis satunnaismuuttujien perusteella. NŠmŠ satunnaismuuttujat saavat arvot, kun otos on tehty. Siis otoksen tekemisen jšlkeen satunnaisotokselle saadaan arvot, jotka vaihtelevat otoksesta toiseen. Satunnaismuuttujista muodostetut funktiot kuten summat, tulot, jne. ovat myšs satunnaismuuttujia (esim. otoskeskiarvo, otosmaksimi, kruunujen lukumššrš 57 heittosarjassa). TŠten myšs satunnaisotoksesta muodostetut funktiot ovat satunnaismuuttujia. Esim Otoskeskiarvo X=(X 1 +X X n )/n on satunnaismuuttuja, joka saa arvon kun otos on tehty. Arvo vaihtelee otoksesta toiseen. Esim Olkoon X~ÊN(1,25). MikŠ on 10X:n jakauma? Laske P(0 X 5) ja P(0 10X 5). Esim Mutterin halkaisija X~ÊN(100,1). Valmistuvat mutterit saavat poiketa odotusarvosta korkeintaan yhden yksikšn verran. Laske todennškšisyys, ettš 10 alkion satunnaisotoksessa kaikki alkiot ovat hyvšksyttšviš. (Liski&Puntanen) 4.2. OTOSSUUREET JA OTOSJAKAUMAT Satunnaisotoksen avulla mššriteltyš funktiota, joka siis on satunnaismuuttuja, kutsutaan otossuureeksi. Koska otossuure on 58 satunnaismuuttuja, liittyy siihen todennškšisyysjakauma. Otossuureen todennškšisyysjakaumasta kšytetššn nimitystš otanta- tai otosjakauma. KŠyttškelpoisia otossuureita esim. otoskeskiarvo, otosvarianssi, otosmaksimi, prosenttiosuus otoksessa... Tarkasteltavan otossuureen todennškšisyysjakauma pyritššn mššrittšmššn, jolloin saadaan selville miten otossuure voi vaihdella otoksesta toiseen. TŠmŠ auttaa taas, kun olemme kiinnostuneita populaatioon liittyvistš arvioista perustaen arviot otokseen. Joidenkin otossuureiden otosjakaumia: 1) Otoskeskiarvon jakauma riippuen otantamenetelmšstš ja populaatiosta. 2) Viallisten %-osuus otoksessa 3) Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,..., X n Tas(0,1):sta (siis jokainen X i ~ÊTas(0,1) ja X i :t ovat riippumattomia). MŠŠritellŠŠn otossuure 59 U= max{x i }. TŠssŠ tilanteessa voidaan otosjakauma mššrittšš tšsmšllisesti. 4) Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos jakaumasta, jonka odotusarvo µ on ja varianssi σ 2. TŠllšin tiedetššn, ettš E(X) = µ ja Var (X) =σ 2 /n. Otoskeskiarvon jakauma tunnetaan esim. silloin kun, otos on normaalijakaumasta. Jos X 1, X 2,..., X n on satunnaisotos N(µ,σ 2 ):sta, niin tšllšin X ~ÊN(µ,σ 2 /n). LisŠksi voidaan keskeisen raja-arvolauseen perusteella sanoa, ettš (otoskoon ollessa riittšvšn suuri) otoskeskiarvo on likimain normaalisti jakautunut, vaikka satunnaisotos olisi peršisin jostain muusta kuin normaalijakaumasta. Otoskeskiarvon hajontaa sanotaan otoskeskiarvon keskivirheeksi. 60

16 Esim Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,..., X 10 normaalijakaumasta parametrien 0 ja 1. Laske P(-1 X 1 1) ja P(-1 X 1). Esim Olkoon tentin tulos sekš miesettš naisopiskelijoilla ~ÊN(20,25). TehdŠŠn mies- ja naisopiskelijoista 25 alkion sat. otokset. Laske todennškšisyys, ettš naisten pistekeskiarvo on ainakin 2 pistettš suurempi kuin miesten. (Liski&Puntanen) Esim Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos N(µ 1,σ 1 2 ):sta ja Y1, Y 2,..., Y m on satunnaisotos N(µ 2,σ 2 2 ) :sta. MŠŠritŠ X Y :n jakauma PARAMETRIEN ESTIMOINTI 5.1. PISTE-ESTIMOINTI Estimointi on populaation tuntemattoman parametrin arviointia sopivan otossuureen avulla. NŠin tehtšessš puhutaan pisteestimoinnista. Esimerkiksi voidaan estimoida populaation odostusarvoa otoskeskiarvolla, populaation varianssia otosvarianssilla. Esim Olkoon populaatiossa π % viallisia. PyritŠŠn arvioimaan π:tš otoksen perusteella. Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos ko. populaatiosta. MŠŠritellŠŠn X i = 1, jos alkio viallinen = 0, jos alkio viaton. NŠin siis X i ~ÊBer(π/100), jolloin E(X i )=π/100 ja Var(X i ) =(1-π/100)π/100. Viallisten kokonaislukumššrš otoksessa on X=X 1 +X X n. 62 Luonnollinen arvio π:lle olisi vastaava luku otoksessa eli viallisten prosenttiosuus otoksessa p =100X/n=100(X 1 +X X n )/n. Kun p on otossuure, jolla estimoidaan π:tš; sanotaan, ettš p on π:n estimaattori. Kun otos on tehty, voidaan p:lle laskea arvo eli estimaatti. Otossuureen p odotusarvo ja varianssi: E(p)= Var(p)= 63 Esim TehdŠŠn 205 alkion satunnaisotos aikuisopiskelijoista. HeistŠ 53% aikoo ostaa autoon renkaat seuraavan vuoden kuluessa. Jos populaatiossa renkaiden ostajien osuus oletetaan olevan 50%, niin mikš on todennškšisyys sille, ettš satunnaisotoksessa ostajien osuus on 53% tai suurempi. (Newbold) Yksi tapa estimoida populaation parametri onkin tehdš se otoksesta lasketun vastaavan tunnusluvun avulla (analogiaperiaate): 64 Koska E(p)=π, niin sanotaan, ettš p on π:n harhaton estimaattori. Harhattomuus tarkoittaa siis sitš, ettš estimaattori antaa keskimššrin oikeita arvoja. Otossuureen p hajontaa sanotaan otoksen prosenttiosuuden keskivirheeksi. estimoitava parametri odotusarvo populaation varianssi populaation mediaani viallisten %-osuus populaatiossa estimaattori otoskeskiarvo otosvarianssi otosmediaani viallisten %-osuus otoksessa Keskeisen raja-arvolauseen perusteella voidaan sanoa, ettš p ~ÊN(π,(π(100-π)/n),likimain. Saatiin siis selville otossuureen p otosjakauma. On tietysti monenlaisia muitakin otossuureita, joita voidaan kšyttšš parametrien estimoinnissa. Estimaattorille voidaan asettaa erilaisia vaatimuksia. Harhattomuus on usein toivottu ominaisuus.

17 Olkoon θ populaation tuntematon, estimoitava parametri ja ˆθ sen estimaattori. TŠllšin sanotaan, ettš ˆθ on θ:n harhaton estimaattori, jos E( ˆθ)=θ. Harhattomuuden lisšksi estimaattorilla toivotaan olevan pienin mahdollinen varianssi. Jos estimaattori on harhaton ja sillš on pienin varianssi parametrin kaikkien harhattomien estimaattoreiden joukossa, sanotaa estimaattoria harhattomaksi minimivarianssiseksi estimaattoriksi eli tehokkaimmaksi estimaattoriksi. Kahdesta parametrin harhattomasta estimaattorista on tehokkaampi se, jolla on pienempi varianssi. Otoskoon kasvaessa toivotaan estimoinnin tarkentuvan eli estimaattorin jakauman keskittyvšn yhš tiiviimmin estimoitavan parametrin ympšrille. Jos estimaattorin varianssi lšhenee nollaa otoskoon kasvaessa rajatta, sanotaan, ettš estimaattori on tarkentuva. Luonnollinen vaatimus tietenkin estimaattorille on myšs se, 65 ettš kšytetššn kaikki otoksessa oleva informaation hyvšksi. Esim Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos Tas(0,θ):stŠ. Halutaan estimoida jakauman ylšrajaa θ. TŠllšin 2X ja 2X 1 ovat harhattomia θ:n estimaattoreita, mutta Var(2X)<Var(2X 1 ), kun n>1. (Liski&Puntanen) Esim Otoskeskiarvo X on jakauman odotusarvon µ harhaton estimaattori, koska E(X) = µ. Aiemmin on myšs todettu, ettš Var (X) =σ 2 /n. LisŠksi voidaan osoittaa, ettš normaalijakauman tapauksessa µ:n harhattomien estimaattoreiden joukossa, otoskeskiarvolla on pienin varianssi. Esim Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos populaatiosta, jonka varianssi on σ 2. Voidaan osoittaa, ettš otosvarianssi s 2 = 1 n 1 n i=1 ( X i X) 2 on σ 2 :n harhaton estimaattori eli E(s 2 ) =σ Vaikka otosvarianssi onkin populaation varianssin harhaton estimaattori, niin otoshajonta ei yleensš ole populaation hajonnan harhaton estimaattori. On olemassa tietysti monenlaisia estimointimenetelmiš edellš esitellyn lisšksi, mm. pienimmšn nelišsumman menetelmš, maximum likelihood -menetelmš LUOTTAMUSV LEJ Piste-estimointi tuottaa siis (otoksen teon jšlkeen) yhden luvun, jolla arvioidaan estimoitavaa parametria. Estimointiin liittyy tietysti aina epšvarmuutta. Usein halutaankin mššrštš yksittšisen arvon sijaan všli, jolla arvellaan tuntemattoman parametrin olevan. TŠllšin puhutaan všliestimoinnista. VŠliestimoinnissa muodostetaan nk. luottamusvšli vastaavan piste-estimaattorin ja piste-estimaattorin otantajakauman keskihajonnan eli estimaattorin keskivirheen avulla. 67 Olkoon A ja B satunnaisotoksen perusteella mššriteltyjš satunnaismuuttujia. VŠli (A,B) on parametrin θ 100(1-α)%:n luottamusvšli, jos P(A θ B)=1-α. KyseessŠ on siis satunnaisvšli, joka sisšltšš populaation tuntemattoman estimoitavan parametrin todennškšisyydellš 1-α. Kun otos on tehty, voidaan A:lle ja B:lle laskea arvot. NŠin saadaan všli (a,b), joka joko sisšltšš parametrin θ tai ei sisšllš. VŠlistŠ (a,b) kšytetššn myšs nimitystš luottamusvšli. Koska pššttely halutaan tehdš melko suurella varmuudella, valitaan α esim. 0.10, 0.05, 0.01; on kyse 90%:n, 95%:n tai 99%:n luottamusvšleistš. MŠŠritellŠŠn kšyttškelpoinen merkintš. Olkoon Z ~ N(0,1). MŠŠritellŠŠn z α siten, ettš P(Z z ) α = α. Samoin z α/2 siten, ettš P(Z z ) α/2 = α/2. Esimerkiksi z = 1.64 ja 0.05 z 0.05/2 = z = Graafisesti: 68

18 Populaation odotusarvon luottamusvšli Halutaan arvioida poikien keskimššršistš syntymšpituutta. Otoksessa 65 pojan syntymšpituuden keskiarvo oli 50,95 cm ja keskihajonta 1.97 cm (SAIDIT - aineisto). Miten voisi arvioida poikapopulaation keskiarvoa? Seuraavaksi arvioidaan normaalijakauman odotusarvoa, kun tunnetaan populaation varianssi. (NŠinhŠn ei tietysti voitu edellš poikien keskipainon arvioinissa edellš olettaa!) Olkoon nyt X 1, X 2,..., X n satunnaisotos N(µ,σ 2 ):sta, missš σ 2 tunnettu. TŠllšin Z = X µ σ / n ~N(0,1), jolloin P X µ σ / n = 0.95 Kirjoittamalla lausuttu tapahtuma toiseen muotoon saadaan P( X 1. 96σ / n µ X σ / n) = 0.95 Voidaan sanoa, ettš epšyhtšlšt toteutuvat todennškšisyydellš VŠliŠ ( X 1. 96σ / n,x σ / n) sanotaan µ :n 95%:n luottamusvšliksi. LuottamusvŠlin mššritelmšssš X on siis satunnaismuuttuja, jonka arvot vaihtelevat otoksesta toiseen. Havaitun otoksen perusteella saadaan kiinteš všli, jota myšs kutsutaan luottamusvšliksi. TŠmŠn sššnnšn mukaan laskettu všli pitšš sisšllššn 95 %:n todennškšisyydellš tuntemattoman populaatiokeskiarvon µ. Poimittaessa monta otosta ja laskettaessa joka kerta edellš esitetty luottamusvšli, niin luottamusvšleistš n. 95 % on sellaisia, jotka sisšltšvšt µ:n. Vastaavalla tavalla kuin 95 %:n luottamusvšli, voidaan muodostaa vaikkapa 90 %:n ja 99 %:n luottamusvšlit. Yleisesti, jos 0< α <1 ( tavallisesti 0.1, 0.05, 0.01), niin 100(1-α ) %:n luottamusvšli populaation odotusarvolle µ, kun varianssi tunnettu, on X ± z α/2 σ / n Esim Oletetaan, ettš henkilšltš otetusta yhdestš verinšytteestš suoritetut toistuvat kolesteroliarvojen mššritykset erilaisista mittausvirheistš johtuen noudattavat likimain normaalijkaumaa, jonka odotusarvo on henkilšn todellinen kolesteroliarvo. Oletetaan lisšksi, ettš mššrittšmiseen liittyen vaihtelun tiedetššn keskihajonnan avulla ilmaistuna olevan 0.5 yksikšn suuruusluokkaa. NeljŠssŠ mššrityksessš henkilšn kolesteroliarvoiksi saatiin 5.8, 5.7, 4.8, 5.9. MŠŠritŠ všli, jolle henkilšn kolesteroliarvon voidaan arvella kuuluvan. (Helenius) Esim TehdŠŠn satunnaisotos N(µ,9):stŠ ja saadaan otoskeskiarvoksi 10. Muodostetaan 90%, 95% ja 99% luottamusvšlit µ:lle, kun otoskoko 10, 50 ja 100. EdellŠ esitetyssš oletettiin, ettš meillš on 71 satunnaisotos normaalijakaumasta, jolloin otoskeskiarvon jakauma on myšs normaalijakauma. EsitettyŠ luottamusvšlin laskukaavaa voidaan kuitenkin kšyttšš otoskoon ollessa suuri siinškin tapauksessa, ettš satunnaisotos on peršisin jostain muusta kuin normaalijakaumasta. TŠllšinhŠn keskeisen raja-arvolauseen perusteella otoskeskiarvon jakauma on likimain normaalijakauma. EdellŠ esitetyssš oletettiin myšs, ettš jakauman varianssi on tunnettu. KŠytŠnnšssŠ harvemmin tietysti populaation varianssia tunnetaan (esim. poikien keskipainon arviointi.) TŠllšin se onkin estimoitava otoksen perusteella, otosvarianssin avulla. Olkoon nyt siis X 1, X 2,..., X n satunnaisotos N(µ,σ 2 ):sta, missš σ 2 tuntematon. TŠllšin satunnaismuuttuja t = X µ s/ n noudattaa ns. Studentin t-jakaumaa vapausastein n-1. 72

19 73 74 Studentin t-jakauma, joka mššritellššn nk. vapausastein (df), on jatkuva, origon suhteen symmetrinen jakauma. MerkitŠŠn t df (tai t(df)). Suurilla vapausasteilla t-jakauma lšhestyy standardoitua normaalijakaumaa. Studentin t-jakauman kertymšfunktion arvoja eri vapausastein on taulukoitu. Esim P(t 10 >1.812) = 0.05 P(t ) = =0.975 P(t ) = Olkoon t df Studentin t-jakaumaa noudattava satunnaismuuttuja. MŠŠritellŠŠn tα;df siten, ettš P(t df tα;df)=α ja P(t df tα/2;df)=α/2 Graafisesti: Esim t 0.05;10 = 1.812; t 0.05;30 = 1.697; t 0.01;10 = 2.821; t 0.01;30 =2.457 Nyt 100(1- α ) %:n luottamusvšli populaation odotusarvolle µ, kun varianssi tuntematon, on X ± t α/2;n 1 s/ n Vaikka otos ei olisikaan peršisin normaalijakaumasta, voidaan taas riittšvšn suurilla n:n arvoilla luottamusvšli laskea edellš esitetyllš tavalla. Esim Halutaan arvioida poikien keskimššršistš syntymšpituutta. Otoksessa 65 pojan syntymšpituuden keskiarvo oli 50,95 cm ja keskihajonta 1.97 cm (SAIDIT - aineisto). Esim Esimerkki olettaen kolesteroliarvon mššrittšmiseen liittyvšn vaihtelun olevan tuntematon. NeljŠssŠ mššrityksessš henkilšn kolesteroliarvoiksi saatiin 5.8, 5.7, 4.8, 5.9. TŠsŠt otoksesta laskettu keskiarvo on 5.55 ja keskihajonta MŠŠritŠ všli, jolle henkilšn kolesteroliarvon voidaan arvella kuuluvan. Esim TietyssŠ yskšnlšškkeessš pitšisi tuoteselostuksen mukaan olla alkoholia 5 %. TiedetŠŠn, ettš alkoholipitoisuus vaihtelee jonkin verran pullosta toiseen. TietyssŠ laboratorioissa halutaan tutkia voidaanko valmistajan ilmoittamaa lukua pitšš sopivana keskiarvona eri pullojen alkoholipitoisuudelle. LŠhdetŠŠn oletuksesta, ettš alkoholipitoisuuden vaihtelu pullosta toiseen on luonnehdittavissa normaalijakauman avulla. Suoritettiin koe, jossa kymmenen pullon alkoholipitoisuus mitattiin ja saatiin seuraavat tulokset: 5.01, 4.87, 5.11, 5.21, 5.03, 4.96, 4.78, 4.98, 4.88 ja Onko valmistajan všittšmššn uskomista? (Helenius) Esim Luottokorttiyhtiš haluaa arvioida paljonko keskimššrin kuukaudessa ostetaan luottokortilla. Kahdentoista kuukauden kuukausiostosten keskiarvot (yhtš korttia kohden, dollareina) olivat 91.21, 98.26, , 65.93, 95.08, , 34.27, , , 53.91, , Muodosta 95%:n luottamusvšli keskimššršiselle kuukausiostoksen suuruudelle. (Vast. (77.45, )).(Newbold) Prosentuaalisen osuuden luottamusvšli Puolue haluaa arvioida kannatusprosenttinsa ja kysyy sadalta kansalaiselta mielipidettš. Sadan vastaajan joukossa on kannattajia 25%. Todellista kannatusprosenttia π ei siis tiedetš, mutta sitš voidaan arvioida muodostamalla luottamusvšli. Olkoon populaatiossa π % viallisia. Halutaan arvioida tštš lukua π satunnaisotoksen (otoskoko n) perusteella. Olkoon p = viallisten prosenttiosuus otoksessa. Nyt p ~ÊN(π,π(100-π)/n) (likimain), joten p π Z = ~N(0,1) (likimain). π(100 π)/n TŠmŠn perusteella saadaan (menetellen kuten odotusarvon luottamusvšlin yhteydessš ja korvaamalla p:n hajonnassa π estimaattorillaan p) 100(1- α ) %:n luottamusvšli π:lle: p ± z α/2 p(100 p) / n 76

20 Esim Yritys tekee tiettyš komponenttia, jota kšytetššn auton moottorissa. Yritys valvoo tuotantoaan; virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Voidaanko pšštellš, ettš prosessi tuottaa virheellisiš komponentteja yli sallitun rajan? Perustele pšštelmšsi. Esim Ruotsin EU-ŠŠnestyksen yhteydessš tehtiin nk. ovensuukysely, jossa 5000 ŠŠnestŠjŠltŠ kysyttiin miten hšn ŠŠnesti. HeidŠn joukossaan EU:hun liittymisen puolesta ŠŠnestŠneitŠ oli 57.6 %. Jos tšmšn kyselyn perusteella olisit arvioinut vaalitulosta, niin millš všlillš olisit arvellut ŠŠnestystuloksessa kannattajien osuuden olevan? KyllŠ-ŠŠniŠ annettiin 52.2 %. Miten ovensuukyselyn perusteella onnistuttiin ennustamaan kannattajien mššršš? 77 Esim Aamulehti : Aho nousee vahvasti, Uosukaisen luvut laskevat rajusti. Ò... MTV 3:n keskiviikkona julkistamassa, Research International - tutkimuslaitoksella teetetyssš gallupissa Aho noussut selvšsti presidenttikisan kšrkeen 37 prosentin kannatuksellaan. Halonen seuraa tiukasti Ahon kannoilla 32 prosentin kannatuksella.... Tutkimukseen vastasi 2012 ihmistš.... Virhemarginaali on kaksi prosenttiyksikkšš molempiin suuntiin.ó Miten virhemarginaali on laskettu? Presidentin vaalin 1. kierroksella Aho sai ŠŠnistŠ 34.6% ja Halonen 40.0%. 3. Kahden populaation odotusarvojen erotuksen luottamusvšli Jos halutaan selvittšš, ovatko pojat ja tytšt syntyessššn keskimššrin saman pituisia, niin tehdššn tyttš- ja poikapopulaatioista satunnaisotokset ja arvioidaan otoskeskiarvojen avulla kahden populaation 78 odotusarvojen yhtšsuuruutta. KŠytŠnnšssŠ populaatioiden varianssitkin ovat tuntemattomia, mutta lšhdetššn liikkeelle olettaen ne tunnetuiksi. Olkoon X 1, X 2,..., X n satunnaisotos N(µ 1,σ 2 1 ):sta ja olkoon Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos N(µ 2,σ 2 2 ):sta, missš σ 1 ja σ 2 tunnettuja sekš satunnaisotokset toisistaan riippumattomia. TŠllšin X Y ~ N(µ 1 -µ 2, σ 2 1 /n+σ 2 2 /m), johon perustuen odotusarvojen erotuksen µ 1 - µ 2 100(1- α ) %:n luottamusvšli on 2 σ X Y z 1 α/2 n + σ m,x Y + z σ 1 α/2 n + σ 2 2 m KŠytŠnnšssŠ tietysti tilanne on sellainen, ettš populaatioiden variansseja ei tunneta. Olettaen varianssit tuntemattomiksi, mutta yhtš suuriksi voidaan otoskeskiarvojen erotuksen varianssia estimoida otosvarianssien avulla ja saadaan odotusarvojen erotuksen µ 1 - µ 2 100(1- α )%:n 79 luottamusvšli X Y ± t α/2;n+m 2 s 1 n + 1 m missä s 2 = (n 1)s 2 2 X + (m 1)s Y n + m 2 Suurten otosten tapauksessa tuloksia voidaan kšyttšš myšs muidenkin kuin normaalijakaumien yhteydessš. Jos populaatioiden varianssit ovat tuntemattomia eikš ole perusteltua olettaa yhtš suuruutta, niin silloin suurten otosten tapauksessa on mahdollista muodostaa odotusarvojen erotukselle luottamusvšli, jonka mššritys riippuu populaatio-oletuksista. (Ks. Helenius s ) Esim Ovatko tytšt ja pojat syntyessššn keskimššrin samanpituisia? Ks. Esim

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, syksy Raija Leppälä

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, syksy Raija Leppälä Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, syksy 2003 Raija Leppälä 8. tammikuuta 2004 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Todennäköisyyslaskentaa 7 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma...................

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5. Luentorunko, lukuvuosi

Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5. Luentorunko, lukuvuosi Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5 Luentorunko, lukuvuosi 2016-2017 Raija Leppälä 31. elokuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Todennäköisyyslaskentaa 4 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 4 2.2 Klassinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I,TILTP2 Luentorunko, syksy 2000

Tilastollisten menetelmien perusteet I,TILTP2 Luentorunko, syksy 2000 1 Tampereen yliopisto 22.9.2000 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh. 03-2156301, sähköposti raija.leppala@uta.fi Tilastollisten menetelmien perusteet I,TILTP2 Luentorunko,

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2016

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2016 10.1.2017/1 MTTTP5, luento 10.1.2017 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2016 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO 1 1 JOHDANTO Luento 4.9.2014 Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät koejärjestelyt kyselylomakkeet - tietojen keruuta - tietojen esittämistä kuvailevaa

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017 24.10.2017/1 MTTTP5, luento 24.10.2017 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Opiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3

Opiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3 Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä

Lisätiedot

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala Kaavakokoelma, testinvalintakaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1 a) Konepajan on hyväksyttävä alihankkijalta saatu tavaraerä, mikäli viallisten komponenttien

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot