Opas 3D-esineiden mallintamiseen
|
|
- Sanna-Kaisa Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Opas 3D-esineiden mallintamiseen Osa 1: Perusteet (säännöt GML-geometrioiden validointiin CityGML:ssä) Perustuu SIG3D Quality Working Group -ryhmän julkaisuun Madeling Guide for 3D Objects Part 1: Basics (Rules for Validating GML Geometrics in CityGML) Versio 0.7 FI Syyskuu (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 1
2 Dokumentin muutoshistoria Huom! Tila-sarake vain Wikissä, ei löydy PDF-versiosta! Versio Päivämäärä Tekijä(t) Tila Huomautuksia Coors Ei julkinen Ensimmäinen versio Coors Ei julkinen Lisätty Solid-kappale Gröger Ei julkinen Yhdistetty Grögerin dokumentin kanssa Coors Ei julkinen Sanamuotoja koskevia muutoksia, lisätty säännöt monikulmioiden tasomaisuudesta Gröger Ei julkinen Toteutettu K.-H. Häfelen CityGMLfoorumilla ehdottamia muutoksia Gröger Julkinen Lisätty G. Juenin ehdotuksia Karl-Heinz Häfele Ei julkinen Muuntaminen HTML-muotoon, Monikulmioiden tasomaisuutta koskevan luvun siirto, uusi luku CompositeSolid EN Marraskuu 2013 Egbert Casper, Karl- Heinz Häfele Julkinen Englanninkielinen versio FI Syyskuu 2015 Antti Yli-Tainio, Anssi Savisalo Julkinen Suomennos englanninkielisestä versiosta (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 2
3 Opas 3D-esineiden mallintamiseen - Osa 1: Perusteet (säännöt GML-geometrioiden validointiin CityGML:ssä) Sisällysluettelo Dokumentin muutoshistoria...2 Lähteet...4 Huomautuksia Spatiaalinen viittausjärjestelmä (Spatial Reference System, SRS) Määritelmiä Sallitut geometriset vaihteluvälit Monikulmioiden tasomaisuus gml:poslist gml:_curve, gml:linestring gml:linearring gml:polygon gml:orientablesurface gml:multisurface gml:compositesurface gml:solid gml:compositesolid gml:triangle gml:triangulatedsurface gml:tin...17 (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 3
4 Lähteet Cox, S., Daisey, P., Lake, R., Portele, C., Whiteside, A. (2004): OpenGIS Geography Markup Language (GML) Implementation Specification. Version 3.1.1, OGC r1, Herring J. (2001): The OpenGIS Abstraction Specification, Topic 1: Feature Geometry (ISO Spatial Schema), Open Geospatial Consortium, OGC Document Number OGC. Gröger, G., Kolbe, T., Czerwinski, A., and Nagel, C. (2008) (Eds.): OpenGIS City Geography Markup Language (CityGML) Encoding Standard, OGC reference number OGC r1 version 1.0.0, 2008 Gröger, G., Plümer, L. (2011): How to Achieve Consistency for 3D City Models. Geoinformatica, 15(1): , DOI: /s Huomautuksia Tässä dokumentissa mainitut säännöt viittaavat GML:n versioon 3.1. Säännöt olettavat että käytetty data on GML 3.1 XML-skeeman mukaista. Säännöt koskevat vain sellaisia GML:n elementtejä, joita käytetään CityGML:ssä (ks. kuviot 1 ja 2). Jos tietty ehto pätee vain CityGML:ään (eikä GML:ään yleisesti) se mainitaan erikseen. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 4
5 Kuvio 1: CityGML:ssä käytetyn GML:n yleiskuvaus (yksinkertaiset tietotyypit ja komposiitit) Kuvio 2: CityGML:ssä käytetyn GML:n yleiskuvaus (monimutkaiset tietotyypit ja aggregaatit) (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 5
6 1 Spatiaalinen viittausjärjestelmä (Spatial Reference System, SRS) Jokaisella geometriaelementillä (pos, poslist ja koordinaatit) on oltava joko srsname-ominaisuus soveltuvalla arvolla, tai sen tulee periä srsname-ominaisuus sen vanhemmilta (vaikka ominaisuus olisi peritty rekursiivisesti vanhempien vanhemmilta, jne.), tai sen vanhempien kautta gml:envelope (tai gml:box) -elementiltä sen gml:boundedby ominaisuuden arvosta (tarvittaessa rekursiivisesti). Paikallisesti annettu srsname-ominaisuus on ensisijainen perittyyn srsname-ominaisuuteen verrattuna. Jos dimensioiden määrää ei voida päätellä yksiselitteisesti, tulee geometriaelementeille (pos, poslist) määrittää ominaisuus srsdimension, joka kertoo ulottuvuuksien määrän. 2 Määritelmiä 2.1 Sallitut geometriset vaihteluvälit 2.2 Monikulmioiden tasomaisuus Gröger et. al. (2008) määrittelevät pinnat CityGML:ssä seuraavasti: Pinnat esitetään CityGML:ssä tasomaisina monikulmioina, joiden ulkosärmät ja kaikki sisäpisteet sijaitsevat samassa tasossa. Monikulmion rajat määritellään yhden tai useamman lineaarisen kehän avulla (Linear Rings; ks. gml:polygon). Käytännöllisesti katsottuna myös lineaarisiin kehiin tulisi lukea myös kappaleet, jotka eivät ole täysin tasomaisia. Intuitiivisesti lineaarisen kehän R voidaan sanoa olevan tasomainen, jos on olemassa taso E, joka on samalla etäisyydellä kaikista lineaarisen kehän R pisteitä P i annettu kynnysarvo ε huomioiden. Tämä kuitenkin mahdollistaisi myös pieniä taitoksia sisältävien lineaaristen kehien lukemisen tasomaisiksi, kuten kuviossa 3 on esitetty. Kuvio 3: Lineaarisissa kehissä ei tulisi ilmetä kaarteita tai taitoksia Näiden tilanteiden välttämiseksi lineaaristen kehien tasomaisuus määritellään seuraavasti: Määritelmä 1: Lineaarinen kehä R on tasomainen, jos se on oikein määritelty lineaarinen kehä, ja kaikkien pisteiden etäisyys kollineaaristen pisteiden P i, P j ja P k määrittämästä tasosta E ijk on pienempi kuin annettu kynnysarvo ε : E ijk P a =dist (P a,e ijk ) ε (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 6
7 3 gml:poslist Listaan kuuluvien alkioiden määrän tulisi vastata sijaintien määrän ja SRS-dimensioiden tuloa (dimensiota CityGML:ssä yleensä kolme). 4 gml:_curve, gml:linestring gml:linestring on objektin _Curves ainoa sallittu alatyyppi (koskee vain CityGML:iä) gml:linestring on lineaarisesti interpoloitavissa. Seuraavien ehtojen on täytyttävä gml:linestring elementin lapsielementeillä (kiintopisteet): Ne muodostavat sarjan "pos" (DirectPositionType) tai "pointproperty" (PointPropertyType) -elementtejä. "pos"-elementit ovat kiintopisteitä, jotka kuuluvat vain tähän käyrään (Curve). "pointproperty"-elementit sisältävät pisteitä joihin on mahdollista viitata muista geometrioista tai jotka voivat itse viitata muissa geometrioissa määriteltyihin pisteisiin (XLink:n kautta). Vaihtoehtoisesti gml:linestring voi koostua "poslist" elementistä, mikä tarjoaa tiiviin tavan koordinaattien esittämiseen. Tässä tapauksessa kaikkien kiintopisteiden tulee kuulua samaan Curve-elementtiin, ja ne tulee antaa samassa SRS-koordinaatistossa. Pisteitä (Direct Position) on oltava vähintään kaksi. Jokainen kiintopiste esiintyy gml:linestring -elementissä vain kerran, paitsi ensimmäinen ja viimeinen piste, jotka voivat olla keskenään identtisiä. gml:linestring -elementin särmät (viivat) määritellään kahden peräkkäisen kiintopisteen perusteella. Nämä särmät eivät saa ristetä keskenään, eivätkä omata samoja pisteitä. Poikkeuksen sääntöön muodostavat pisteparit, jotka edustavat yhden särmän päätepistettä ja sarjan seuraavan särmän alkupistettä. 5 gml:linearring Lineaarinen kehä on CityGML:ssä kolmiulotteisten geometrioiden kuvaamisen perusyksikkö. Jokainen rakennuksen geometriaa kuvaava monikolmio määritellään rajansa lineaarisen kehän perusteella. Sarja on järjestetty lista elementtejä. Toisin kuin joukossa, sarjassa alkioiden järjestyksellä on merkitystä ja samat elementit voivat esiintyä useita kertoja eri kohdissa sarjaa. Äärellinen sarja a, jossa on n+1 elementtiä merkitään a=(a 0,a 1,, a n ). Tyhjässä sarjassa a=() ei ole elementtejä. Äärellinen sarja pisteitä R=(P 0,..., P n ), n 3, P i =(x i, y i, z i ) on lineaarinen kehä, jos: (i) ensimmäinen ja viimeinen piste, P 0 ja P n, edustavat samaa pistettä: P 0 =P n (sulkeutuvuus) (ii) Kaikki pisteet alku- ja loppupistettä lukuun ottamatta ovat erilaisia: i=0... n 1 k=0... n 1 i k P i P k (iii) Kaksi särmää (P i,p i+ 1 ) ja (P k,p k+1 ) i=0 n 1, k=0 n 1, i k voivat ristetä vain yhden alku-/loppupisteen kohdalla. Mitään muuta risteämistä ei sallita (ei risteämistä itsensä kanssa). Jos sarjan kaikki pisteet ovat samassa tasossa, on lineaarinen kehä tasomainen. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 7
8 Esimerkkejä: R=( P 0,P 3,P 0 ), jossa P 0 =(1,1,1) P 1 =(3,1,1) P 2 =(3,3,1) P 3 =(1,3,1) <gml:linearring> <gml:pos>1 1 1</gml:pos> <gml:pos>3 1 1</gml:pos> <gml:pos>3 3 1</gml:pos> <gml:pos>1 3 1</gml:pos> <gml:pos>1 1 1</gml:pos> </gml:linearring> Kuvio 4: Tasomainen lineaarinen kehä: määritelmä, GML, sekä graafinen esitys Huomautus: Lineaariset kehät R 1 =(P 0,P 3,P 0 ) ja R 2 =( P 0,P 3,P 0 ) eivät ole identtisiä. R=( P 0,P 3 ) R=( P 0,P 3,P 0 ) R=( P 0,P 4,P 3,P 4,P 0 ) Ei lineaarinen kehä: ei suljettu (ks. ehto (i), sulkeutuvuus) Kuvio 5: Esimerkkejä epäkelvoista lineaarisista kehistä Ei lineaarinen kehä: risteää itsensä kanssa (ks. ehto (iii)) Ei lineaarinen kehä: Piste P 4 esiintyy kahdesti (ks. ehto (ii), P 4 =(2,2,1) ) (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 8
9 R=( P 0,P 4,P 3,P 0 ) R=( P 0,P 0 ) Lineaarinen, mutta ei-tasomainen kehä P 4 =(2,4,0) Kehä ei ole lineaarinen: kaikki pisteet samassa tasossa, mutta risteää itsensä kanssa (ks. (iii)) Kuvio 6: Erityistapauksia: ei-tasomainen ja kollineaarinen lineaarinen kehäelementti. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 9
10 6 gml:polygon Monikulmio S määritetään sen ulkokehän (lineaarisen kehän) R s avulla. Monikulmiolla on tasan yksi ulkokehä. Lisäksi monikulmiolla voi olla n 0 sisäkehää. Myös nämä sisäkehät ovat lineaarisia kehiä. Kaikkien sisäkehien ja ulkokehän tulee sijaita samassa tasossa (sallitun poikkeaman rajoissa). Sisäkehät määrittävät monikulmiossa olevia aukkoja, ja niiden tulee siten sijaita kokonaan ulkokehän määrittämällä alueella. Kuvio 7: Vasemmalla monikulmio ja oikein määritelty sisäkehä. Oikeanpuoleisen monikulmion sisäkehä on puolestaan väärin määritelty. Sisäkehät eivät saa olla päällekkäisiä muiden lineaaristen kehien kanssa, eivätkä ne saa olla sisäkkäisiä muiden lineaaristen kehien kanssa (pois lukien ulkokehän lineaarinen kehä). Kuvio 8: Vasemmalla monikulmio, jossa on kaksi oikein muodostettua sisäkehää. Oikealla monikulmio, jossa sisäkehät ovat virheellisesti sisäkkäisiä. Sisäkehät ja ulkokehät voivat koskettaa toisiaan rajallisessa määrässä pisteitä. Monikulmion alueen on oltava yhtenäinen. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 10
11 Kuvio 9: Vasemmalla monikulmio, jossa oikein muodostettu sisäkehä koskettaa ulkokehää yhdessä pisteessä. Oikealla monikulmion väärin muodostettu sisäkehä koskettaa ulkokehää kahdessa pisteessä tavalla, joka jakaa monikulmion alueen kahtia. Ulkokehän pisteiden järjestys määrää monikulmion orientaation. Ei-kollineaariset pisteet P i, P j ja P k määrittävät tason E( P i,p j,p k ). Normaalivektori n saadaan kahden vektorin P i P j ja P j P k ristitulona: n= P i P j P j P k P i P j P j P k Huomautus: lineaaristen kehien tasomaisuudelle annettujen toleranssien vuoksi normaalivektori voi olla monitulkintainen. Huomautus: Kaksi lineaarista kehää R 1 =(P 0,P 3,P 0 ) ja R 2 =( P 0,P 3,P 0 ) määrittävät monikulmiot, joilla on sama geometrinen ulottuvuus mutta eri orientaatio. Kuvio 10: Monikulmio ja normaalivektori n 7 gml:orientablesurface Jos OrientableSurface-elementin ominaisuuden orientation arvo on "+", on OrientableSurface-elementin orientaatio sama kuin basesurface-elementin. Jos ominaisuuden orientation arvo on "-", on OrientableSurface-elementin normaalin orientaatio on päinvastainen basesurface-elementtiin verrattuna. Ominaisuuden orientation oletusarvo on "+". Elementti basesurface viittaa peruspintaan XLink-ominaisuuden kautta, tai basesurface -elementti sisältää peruspinnan lapsielementtinä. Peruspinnan orientaatio on positiivinen. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 11
12 8 gml:multisurface MultiSurface on järjestämätön joukko M={S 1,S 2,...S n } monikulmioita. MultiSurface-elementille ei aseteta mitään muita rajoituksia. Joukon M ei tarvitse muodostaa yhtenäistä pintaa. Monikulmioiden orientaatiolla ei ole merkitystä. MultiSurface-elementin avulla on mahdollista esittää mikä tahansa monikulmioista koostuva kiinteän kappaleen ulkopinta. Valitettavasti tämä mahdollistaa myös sellaisten esineiden mallintamisen, joita ei esiinny todellisessa tilassa. Rajoitteiden puuttumisen takia on suositeltavaa, että MultiSurface-elementtejä käytetään vain rakennusmallin eivolymetristen (tilavuudettomien) osien mallintamiseen, kuten on tehty kuviossa 11. Tilavuutta omaavat osat tulisi mallintaa Solid-elementteinä (ks. gml:solid). Kuvio 11: Räystäiden mallintaminen yksinkertaisilla monikulmioilla. Vasemmanpuoleinen malli on muodostettu MultiSurface-elementistä, joka koostuu seitsemästä monikulmiosta. Tilavuuden laskeminen ei ole mahdollista, koska kyseessä ei ole suljettu kappale. Oikeanpuoleinen malli saman geometrian rakennuksesta on suosituksen mukaisesti muodostettu yhdestä Solid-elementistä (rakennus), sekä MultiSurface-elementin avulla määritellyistä räystäsylityksistä (monikulmiot F6 ja F8). Ks. myös CityGML standardi v1.0, s. 61). (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 12
13 9 gml:compositesurface CompositeSurface on joukko C={S 1,S 2,...,S n } monikulmioita, joihin pätevät seuraavat: 1. Kahden joukkoon C kuuluvan monikulmion S k ja S l leikkaus on joko tyhjä tai koostuu ainoastaan pisteistä ja/tai reunoista, jotka esiintyvät molemmissa lineaarisissa kehissä. Merkitään monikulmiota S määrittävää lineaarista kehää R k =( P 0 k k,...,p nk ). Tällöin on voimassa: S i S k ={ {Q 0, Q 1,...,Q m },Q j =P k i k } {e 0,e 1,...,e m },e j =P i k P i Jokaista monikulmiota S k C määrittävää särmää e k =P k k i P i+1 lineaarisessa kehässä R k =(P k 0,P k 1,...,P nk ) käytetään korkeintaan kerran särmänä e l =P l l j P j +1 toista monikulmiota S l C määrittävässä lineaarisessa kehässä R l =( P l 0,P l l 1,...,P m ). Tällöin P k l i =P j+1 l ja P i+1 =P j 3. Joukkoon C kuuluvat monikulmiot on orientoitu niin, että vierekkäisten monikulmioiden normaalivektorit osoittavat samaan suuntaan. 4. Kaikkien joukon C monikulmioiden unioni ilman monikulmioita koskettavia särmiä tai pisteitä, on isomorfinen monikulmion kanssa. Ehdoista (1) ja (2) seuraa, että joukon C määrittämän pinnan ei tule sisältää keskenään päällekkäisiä tai toisiaan leikkaavia monikulmioita (monikulmioita, jotka koskettavat toisiaan muuten kuin pisteiden tai särmien kohdalla).. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 13
14 10gml:Solid Kiinteät kappaleet esitetään avaruusgeometrialla. Kiinteiden kappaleiden pinnat määritellään joukolla monikulmioita, joilla on seuraavat ominaisuudet. Joukko C={S 1,S 2,...,S n } monikulmioita määrittää kiinteän kappaleen (Solid) jos: 1. Kahden joukkoon C kuuluvan monikulmion S k ja S l leikkaus on joko tyhjä tai sisältää vain pisteitä P ja reunoja e jotka kuuluvat molempiin lineaarisiin kehiin. Monikulmion S määrittää lineaarinen kehä R k =(P 0 k k,...,p nk ). Monikulmioiden S k ja S l leikkaus on yhtä kuin: S i S k ={ {Q 0, Q 1,...,Q m },Q j =P k i k } {e 0,e 1,...,e m },e j =P i k P i Jokaista monikulmiota S k C määrittävää lineaarisen kehän R k =( P k 0,P k 1,...,P nk ) särmää e k =P k k i P i+1 käytetään särmänä e l =P l l j P j +1 tasan kerran lineaarisessa kehässä R l =(P 0 l l,...,p m l ), määrittäen uuden monikulmion S l C jossa P k l i =P j+1 l ja P i+1 =P j. 3. Kaikki joukkoon C kuuluvat monikulmiot on suunnattu niin että jokaisen monikulmion normaalivektori osoittaa kiinteästä kappaleesta ulospäin. 4. Kaikki joukkoon C kuuluvat monikulmiot ovat yhteydessä toisiinsa, siten että joukon C duaaliverkko sisältää kaikki solmut sisältävän polun. Joukon C duaaliverkko G C =(V C,E C ) koostuu joukosta solmuja, V C, ja joukosta särmiä, E C. Jokainen joukon V C solmu v edustaa tasan yhtä joukon C monikulmiota. Kahden joukon C monikulmion, S k ja S l, jakamaa särmää edustaa joukossa E C särmä e=( v s k,v s l ). 5. Jokaiselle monikulmioon C kuuluvalle lineaarisen kehän pisteelle P on voimassa seuraava: Verkko G p =(V p,e p ), joka koostuu vain monikulmioista ja särmistä, jotka koskettavat pistettä P, on yhtenäinen. Jokainen joukon V P solmu v edustaa monikulmiota jonka lineaariseen kehään sisältyy piste P. Kaksi solmua on yhteydessä toisiinsa joukon E P särmän e kautta, jos solmujen edustamilla monikulmioilla on yhteinen särmä, joka koskee pistettä P. 1 Säännöistä (1) ja (2) seuraa, että kappaleen C pinnassa ei ole aukkoja. Yhdessä sääntöjen (4) ja (5) kanssa tästä seuraa että joukon C määrittämän kiinteän kappaleen S pinta on yhtenäinen ja merkitään suljetuttuna CompositeSurface-pintana. 1 Ehto (5) on ekvivalentti Gröger & Plümer (2011) esittämän umbrella -aksiooman kanssa. Tämä aksiooma määritellään seuraavasti: Each point is surrounded by exactly one cycle that is an alternating sequence of line segments and polygons (Jokaista pistettä ympäröi tasan yksi sykli, joka on sarja perättäisiä vuorottelevia janoja ja monikulmioita). (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 14
15 Esimerkkejä: Oikein: 6 pintaa, suljettu, pinnat oikeansuuntaisia Oikein: 11 pintaa, suljettu, pinnat oikeansuuntaisia Oikein: 10 pintaa, suljettu, pinnat oikeansuuntaisia Oikein: 30 pintaa, suljettu, pinnat oikeansuuntaisia Väärin: 5 pintaa, ei suljettu, pinnat oikeansuuntaisia Väärin: 6 pintaa, suljettu, pinnat vääränsuuntaisia Väärin: 12 pintaa, ei suljettu (kaksi erillistä osaa), pinnat oikeansuuntaisia Väärin: 12 pintaa, ei suljettu (sisä- ja ulkokuoret), pinnat oikeansuuntaisia (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 15
16 11 gml:compositesolid CompositeSolid kuvaa ei-tyhjän joukon C={S 1,...,S n } Solid-elementtejä (ks. 10), ja sille on voimassa seuraavaa: 1. Kahden Solid-elementin S i ja S j, 1 i n, 1 j n, i j, sisäosien leikkaus on tyhjä, toisin sanoen joko molemmat Solid-elementit S i, S j ovat erillisiä tai ne koskettavat vain pintojen, janojen tai pisteiden kohdalla. 2. Olkoon C' kaikkien joukon C Solid-elementtien unioni. Tällöin joukon C' reuna on yhdistetyn elementin reuna ( C' :n pinta ilman pintoja tai pisteitä, joissa Solid-elementit koskettavat). CityGML:ssä sulkeumat (onkalot) eivät Solid-elementtien tapaan ole CompositeSolids-elementeissä sallittuja. Esimerkkejä: Oikein; pinnat koskettavat Oikein; pinnat koskettavat Oikein; pinnat koskettavat Oikein; pinnat koskettavat Väärin; vain särmät koskettavat Väärin; vain pistekosketus Väärin; ei kosketusta Väärin; päällekkäisiä Väärin; 26 kuutiota, joiden pinnat koskettavat... mutta jossa on sisäinen onkalo. Väärin; sisäpuoleisia rajapintoja (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 16
17 12gml:Triangle Triangle (kolmio) on erityistapaus monikulmiosta, ja sen määrittää lineaarinen kehä, joka koostuu neljästä pisteestä. Ei voi sisältää sisäkehiä (ei elementtiä interior ). 13gml:TriangulatedSurface TriangulatedSurface (kolmioitu pinta) on CompositeSurface, joka koostuu pelkästään kolmioista, mutta ei ole suljettu (sillä voi olla reunaviivoja). Sille miten kolmiointi on johdettu ei aseteta rajoituksia. 14gml:Tin Toisin kuin elementeissä gml:triangulatedsurface, tyypin gml:tin elementtejä ei esitetä eksplisiittisesti, vaan se määritellään kolmen kulmapisteensä avulla (ns. kiintopisteet). Lisäksi gml:tin -elementissä voidaan esittää taiteviivoja (breaklines), pysäytysviivoja (stop lines) ja kolmion särmän maksimipituus. 1. TIN on kolmioitu pinta, joka luodaan Delaunay-algoritmin tai vastaavan algoritmin avulla (lisättynä taiteviivoilla, pysäytysviivoilla ja kolmion särmän maksimipituudella). Pinta täyttää ns. Delaunay-kriteerin: 1. Jokaiselle verkoston kolmiolle on voimassa, että sen kulmapisteiden kautta piirretyn ympyrän sisäpuolella ei ole minkään muun kolmion kulmapisteitä. 2. Pysäytysviivat ovat viivoja, joiden kohdalla pinnan paikallinen jatkuvuus tai säännöllisyys on kyseenalaista. Näiden poikkeamien alueella, kolmiot jotka risteävät pysäytysviivan kanssa poistetaan TINpinnasta, mikä jättää pintaan aukkoja. Jos pinnan reunaan kuuluvia kolmioita poistetaan, pinnan raja muuttuu. 3. Taiteviivat ovat pinnan muodon kannalta kriittisiä viivoja, jotka edustavat paikallisia harjanteita tai syvänteitä pinnassa. Pinnan oleellisina osina ne tulee sisällyttää TIN-pintaan siinäkin tapauksessa, että ne rikkovat Delaunay-kriteeriä. 4. Sellaiset pinnan osat, joiden alueesta ei ole riittävän tiheästi dataa laskentaa varten poistetaan pinnasta säilytyskriteerin avulla, joka perustuu kolmion särmien pituuteen. Jos jokin kolmion särmä ylittää suurimman sallitun pituuden, tähän särmän viereiset kolmiot poistetaan pinnasta. 5. Kiintopisteitä on oltava ainakin kolme. 6. Kiintopisteiden järjestyksellä ei ole vaikutusta pintaan. Sovellusskeemat voivat lisätä elementteihin kiintopisteiden järjestykseen perustuvaa tietoa auttamaan TIN-pinnan uudelleenmuodostusta kiintopisteiden perusteella. (c) Special Interest Group SIG3D, German Spatial Data Infrastructure (GDI-DE) / Versio (9/2015) Sivu 17
Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotInfra-alan tuotetietomallistandardit
Infra-alan tuotetietomallistandardit Pekka Siltanen Juha Hyvärinen Standardiselvityksen lähtökohta & tavoite Suomalaisen infra-alan avoimen tuotetietomallin kehityksen tueksi Tunnistettiin keskeisimmät
LisätiedotPaikkatiedot metsäkeskussanomissa soveltamisohjeet
Muutospäivä Kuvaus 30.11.2015 Metsätietostandardien metsäkeskussanomien paikkatietojen soveltamisohjeiden versio 1.0. Janne Loikkanen, Bitcomp Oy. 31.11.2015 Viivojen ja pisteiden osalta lisätty informaatio
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotPaikkatiedon mallinnus Dokumentoinnin ymmärtäminen. Lassi Lehto
Paikkatiedon mallinnus Dokumentoinnin ymmärtäminen Lassi Lehto INSPIRE-seminaari 23.08.2012 Sisältö Tietotuoteselosteen rakenne (ISO 19131) Unified Modeling Language (UML) Luokkakaaviotekniikan perusteet
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLuento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
LisätiedotFraktaalit. Fractals. Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit
Fraktaalit Fractals Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.-7.10.2012 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotOpenStreetMap-aineistojen haltuunotto GDAL:lla
OpenStreetMap-aineistojen haltuunotto GDAL:lla Jukka Rahkonen, http://latuviitta.org Viimeksi muutettu 22. heinäkuuta 2012 GDAL/OGR tukee OpenStreetMap-aineistojen lukemista GDAL-versiosta 2.0 alkaen.
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot7 tapaa mallintaa maasto korkeuskäyristä ja metodien yhdistäminen
1 / 11 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto 7 tapaa mallintaa maasto korkeuskäyristä ja metodien yhdistäminen Kertauslista yleisimmistä komennoista 2 / 11 Kuvan tuominen: PictureFrame Siirtäminen:
LisätiedotLuento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt
Lisätiedot2.2. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys
.. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys Avaruusgeometrinen esitys on käyttäjäriippuvainen ja vaati erikoismenetelmiä tai lopuksi konversion monikulmiomalliksi. Se on korkean tason esitys
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSelvitys lokakuussa 2015
CityGML ja KuntaGML skeemat kaupunkimallien tiedonvälityksessä Kuntien 3D-kaupunkimalli- ja paikkatietoseminaari 9.-10.2.2016 Pasi Lappalainen pasi.lappalainen@nostoconsulting.fi puh. 0400 858 101 Selvitys
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTietotuoteseloste, Museoviraston Inspire-aineistot (Suojellut alueet)
Tietotuoteseloste, Museoviraston Inspire-aineistot (Suojellut alueet) 1 Yleistietoa 1.1 Nimi ja tunnisteet Museoviraston INSPIRE-aineistot (Suojellut alueet) FI. 1000272, FI. 1000034 ja FI. 1000000 FI.
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotJHS 162 Paikkatietojen mallintaminen tiedonsiirtoa varten Liite 1 UML-mallinnus
JHS 162 Paikkatietojen mallintaminen tiedonsiirtoa varten Liite 1 UML-mallinnus Versio: 12.01.2011 Julkaistu: Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Yleistä... 1 3 Lyhenteet... 1 4 UML-luokkakaaviotekniikan
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotLuku 3. Listankäsittelyä. 3.1 Listat
Luku 3 Listankäsittelyä Funktio-ohjelmoinnin tärkein yksittäinen tietorakenne on lista. Listankäsittely on paitsi käytännöllisesti oleellinen aihe, se myös valaisee funktio-ohjelmoinnin ideaa. 3.1 Listat
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat
2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat Laskentatavat Yleistä - vaakageometrian suunnittelusta Paalu Ensimmäinen paalu Ensimmäisen paalun tartuntapiste asetetaan automaattisesti 0.0:aan. Tämä voidaan muuttaa
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotKeskeiset aihepiirit
TkT Harri Eskelinen Keskeiset aihepiirit 1 Perusmääritelmät geometrisiä toleransseja varten 2 Toleroitavat ominaisuudet ja niiden määritelmät 3 Teknisiin dokumentteihin tehtävät merkinnät 4 Geometriset
Lisätiedota b c d + + + + + + +
11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotSFS delegaattivalmennus
SFS delegaattivalmennus ISO/TC 211, CEN/TC 287; paikkatieto Jari Reini 07.02.2014 Sisältö Paikkatieto Standardisointi Miksi? Standardisointi Hyödyt Paikkatiedon standardisointiorganisaatiot Standardien
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotLuento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotVapo: Turveauman laskenta 1. Asennusohje
Turveauman mittaus 3D-system Oy 3D-Win ohjelman lisätoiminto, jolla lasketaan turveaumasta tilaajan haluamat arvot ja piirretään aumasta kuva. Laskentatoiminto löytyy kohdasta Työkalut/Lisätoiminnot. Valitse
LisätiedotLABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen
LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotTehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotT740103 Olio-ohjelmointi Osa 5: Periytyminen ja polymorfismi Jukka Jauhiainen OAMK Tekniikan yksikkö 2010
12. Periytyminen Johdantoa Käytännössä vähänkään laajemmissa ohjelmissa joudutaan laatimaan useita luokkia, joiden pitäisi pystyä välittämään tietoa toisilleen. Ohjelmien ylläpidon kannalta olisi lisäksi
LisätiedotKenguru 2016 Student lukiosarja
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
LisätiedotMuodolliset kieliopit
Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotSmart cities - nyt ja huomenna
Smart cities - nyt ja huomenna Älykaupungin standardit Jari Reini 14.04.2015 Standardisointi - Miksi? Minimoidaan päällekkäistä kehittämistyötä, ohjataan tietojärjestelmien kehittämistä ja saadaan aikaan
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotTero Pietilä, IT-Pie Oy. CityGML 2.0: Mitä tiedämme nyt?
Tero Pietilä, IT-Pie Oy CityGML 2.0: Mitä tiedämme nyt? CityGML, KuntaGML, 3Dkunta Nykytilanne GML Nykytilanne XML GML 3Dkunta XML «XMLSchema» GML «XMLSchema» GML Versio 3.1.1 Versio 3.2 Versio 3.1.1 Versio
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Lisätiedot2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut
2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta
LisätiedotJHS 162 Paikkatietojen mallintaminen tiedonsiirtoa varten Liite 2 Paikkatietojen yleinen kohdemalli (GFM)
JHS 162 Paikkatietojen mallintaminen tiedonsiirtoa varten Liite 2 Paikkatietojen yleinen kohdemalli (GFM) Versio: 2.0 Julkaistu: 31.10.2011 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Yleistä... 1 2 Lyhenteet...
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJHS-suositukset ja standardit paikkatietotuotteiden toteuttamisessa
1 JHS-suositukset ja standardit paikkatietotuotteiden toteuttamisessa Paikkatietoverkoston työpaja 1.6.2016 Lassi Lehto MML Paikkatietokeskus 2 Sisältö JHS 162 Paikkatietojen mallintaminen tiedonsiirtoa
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.
11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotHelsingin yliopisto/ tktl DO Tietokantojen perusteet, s 2000 Relaatioalgebra 14.9.2000. Harri Laine 1. Relaatioalgebra
DO NOT PRINT THIS DOCUMENT operaatiot, joilla relaatioista voidaan muodostaa uusia relaatioita joukko opin perusoperaatiot yhdiste, erotus, ristitulo, leikkaus erityisiä relaatioalgebran operaatioita projektio,
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
Lisätiedot