Fraktaalit. Fractals. Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

Transkriptio

1 Fraktaalit Fractals Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

2 Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end. (Benoit Mandelbrot) 2 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

3 Fraktaalit Fraktaali on joukko, joka on itsesimilaarinen, eli näyttää samalta, katsoipa sitä millä suurennoksella tahansa. 3 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

4 Fraktaalit Fraktaali on joukko, joka on itsesimilaarinen, eli näyttää samalta, katsoipa sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaalilla on yleensä mielivaltaisen pieniä rakenteita, Hausdorffin dimensio, joka on suurempi kuin sen topologinen dimensio, yksinkertainen rekursiivinen määritelmä ja se on liian monimutkainen kuvattavaksi Euklidisella geometrialla! 3 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

5 Fraktaalit Fraktaali on joukko, joka on itsesimilaarinen, eli näyttää samalta, katsoipa sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaalilla on yleensä mielivaltaisen pieniä rakenteita, Hausdorffin dimensio, joka on suurempi kuin sen topologinen dimensio, yksinkertainen rekursiivinen määritelmä ja se on liian monimutkainen kuvattavaksi Euklidisella geometrialla! Huom: Kaikki itsesimilaariset kohteet eivät ole fraktaaleita, esim. suora viiva. 3 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

6 Esimerkki: Kochin lumihiutale Kochin lumihiutale on fraktaali, joka muodostuu kolmiosta rekursiivisesti siten, että jokaisella askeleella kustakin sivusta poistetaan keskimmäinen kolmannes ja rakennetaan sen tilalle ulospäin osoittava sakara, jonka kumpikin sivu on poistetun osan pituinen. Kuva: Askeleet 0, 1 ja 2 yhdelle kolmion sivulle 4 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

7 Esimerkki: Kochin lumihiutale Tehtävä: Rakenna pienimmistä sinisistä tikuista kolmion yhtä sivua vastaava 4. askeleen osa Kochin lumihiutaletta. Yhdistäkää kahden muun ryhmän kanssa osionne yhdeksi lumihiutaleeksi. Pohtikaa, kuinka monta tikkua tarvitaan k:nnen asteen käyrän rakentamiseen? Jos alkuperäisen kolmion piirin pituus on 3a, kuinka pitkä on k:nnen asteen käyrän piiri? Entä sen pinta-ala? Build a part of the 4th stage Koch curve corresponding to one side of the triangle using shortest blue struts. Combine your parts with two other groups to make a full snowflake. How many struts do you need for a stage k curve? If the perimeter of the triangle is 3a, what is the perimeter of the stage k curve? What about the area? 5 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

8 Esimerkki: Sierpinskin kolmio Sierpinskin kolmio muodostetaan seuraavasti: 1 Aloita tason kolmiosta. 2 Kutista kolmio sekä puoleen korkeuteen että puoleen leveyteen, tee kolme kopiota ja sijoita ne niin, että jokainen koskettaa muita kolmioita kulmasta (keskelle muodostuu reikä). 3 Toista kohta kaksi jokaisen kutistetun kolmion kohdalla. 6 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

9 Esimerkki: Sierpinskin kolmio Sierpinskin kolmio muodostetaan seuraavasti: 1 Aloita tason kolmiosta. 2 Kutista kolmio sekä puoleen korkeuteen että puoleen leveyteen, tee kolme kopiota ja sijoita ne niin, että jokainen koskettaa muita kolmioita kulmasta (keskelle muodostuu reikä). 3 Toista kohta kaksi jokaisen kutistetun kolmion kohdalla. Tehtävä: Piirrä tai rakenna muutama askel Sierpinskin kolmiota, jotta osaat kuvitella, miltä se näyttää. Build or draw a few stages of Sierpinski triangle. 6 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

10 Esimerkki: Sierpinskin kolmio Tehtävä: Rakenna vastaava kolmiulotteinen Sierpinskin tetraedri käyttämällä kolmioiden sijaan tetraedreja. Jos kullakin kierroksella nurkkiin sijoitettavat tetraedrit ajatellaan kiinteiksi (kukin tetraedri korvataan kolmella kiinteällä ja yhdellä aukolla), niin mikä on k:nnen asteen rakennelman tilavuus? Entä montako tikkua sen rakentamiseen tarvitaan? Build a corresponding Sierpinski tetrahedron using tetrahedra instead of triangles. How many struts do you need for each stage? What is the volume? 7 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

11 Tehtäviä Tehtävä: Suunnitelkaa oma fraktaali. Kirjoittakaa sen rakentamiseen selkeä rekursiivinen ohje, jonka mukaan toiset ryhmät pystyvät myöhemmin rakentamaan/piirtämään fraktaalinne. Design a fractal. Write out instructions so that other groups can build/draw your fractal later. Tehtävä: Lähtekää ulos ja etsikää fraktaaleita luonnosta. Dokumentoikaa löytönne. Go out and search for fractals in the nature. Document your findings. 8 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit