xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n ="

Jorma Saarnio
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista ominaispaino ja puhkaisulujuus: Arkki i x i y i Testaa korrelaation merkitsevyys tasolla a) α = 0.05 b) α = 0.01 xi = yi = 586 x 2 i = y 2 i = xi y i = n = 10 H 0 : ρ = 0 ja H 1 : ρ 0 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = SS yy = y 2 i ( y i ) 2 /n = r = SS xy SSxx SS yy = = Testisuure t: t = n 2 r = 1 r = H 0 hylätään riskitasolla α, jos t > t 1 α/2 (n 2) a) α = 0.05, kriittinen arvo t (8) = 2.31 H 0 hylätään b) α = 0.01, kriittinen arvo t (8) = 3.36 H 0 hylätään Testisuure t = n 2 r 1 r 2 = = 4.16

2 a) α = 0.05, kriittinen arvo t (8) = 2.31 H 0 hylätään b) α = 0.01, kriittinen arvo t (8) = 3.36 H 0 hylätään 2. Tutkittiin kunnallisvaaliehdokkaiden mainontaan sijoittamien rahamäärien x vaikutusta saatuihin äänimääriin Y. Tutkija oletti, että riippuvuus on lineaarinen eli Y = β 0 + β 1 x + ɛ. Riippuvuuden tutkimiseksi kirjattiin satunnaisesti valittujen 12 ehdokkaan äänimäärät ja mainosmenot ja laskettiin niistä seuraavat summat: Σx i = 88.9 Σy i = 1020 Σx i y i = 9901 Σx 2 i = Σy2 i = Estimoi pienimmän neliösumman menetelmällä regressiomallin kertoimet β 0 ja β 1. SS xx = Σx 2 (Σx) 2 /n = /12 = SS yy = Σy 2 (Σy) 2 /n = /12 = SS xy = /12 = ˆβ 1 = b 1 = SS xy /SS xx = ˆβ 0 = b 0 = ȳ b 1 x = (1020 b )/12 = Sovitettu malli ŷ = x ˆβ 1 = ˆβ 0 = ŷ = x

3 3. Tutki sopivalla testillä, riippuuko (ed. tehtävässä) äänimäärä mainosmenoista merkitsevyystasolla α = 0, 01 TAPA 1 Korrelaatiokertoimen testaus H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 r = SS xy SSxx SS yy = T = 10 r 1 r 2 = 5.54 α = 0.01 t 1 α/2 (n 2) = t (10) = 3.17 < 5.54 Korrelaatio on merkitsevä tasolla α = 0.01 TAPA 2 H 0 : β = 0 H 1 : β 0 Testisuure T = b1 0 s b1 t(n 2) TAPA 3 H 0 : β = 0 H 1 : β 0 Testisuure F = SSD SSE/(n 2) F (1, n 2) Korrelaatio on merkitsevä tasolla α = Lentoyhtiö on tutkinut tietyn konetyypin polttoaineen kulutusta. Lennon pituus x (yksikkönä 100 km) ja polttoaineen kulutus y (yksikkönä litra) mitattiin 100 lennolla. Tuloksista on valmiiksi laskettu seuraavat summat:

4 x = 800 x 2 = y = y 2 = xy = Estimoi regressiomallin y = β 0 + β 1 x + ɛ parametrit (myös jäännös varianssi). Laske myös mallin selitysaste. SS xy = xy ( x)( y)/n SS xy = /100 = SS xx = x 2 ( x) 2 /n SS xx = /100 = 1621 SS yy = y 2 ( y) 2 /n SS yy = /100 = b 1 = SS xy /SS xx = b 0 = ȳ b 1 x = (55000 b 1 800)/100 = ˆσ 2 = s 2 = SSE n 2 = SSE 98 = Selitysaste R 2 = SSD SST SSE = b b Selitysaste R 2 = 82.3% = 82.3% Edellisen tehtävän lentokonetyypin polttoainamäärän arvioinnissa on aikaisemmin käytetty kerrointa β 1 = 45. Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesit H 0 : β 1 = 45 H 1 : β 1 > 45. (Testisuureen arvo on 2.18) H 0 : β 1 = 45 H 1 : β 1 > 45 b 1 =

5 Testisuure T = b1 45 s(b 1) t(n 2) s(b 1 ) = s s SSxx = = Testisuureen arvoksi t = 2.18 valittu α = 0.05 Kriittinen arvo t 1 α (n 2) = t 0.95 (98) 1.66 Koska t > t 0.95, H 0 hylätään. 6. Vedenpuhdistuslaitteen suodatin joudutaan vaihtamaan määrävälein epäpuhtauksien aiheuttaman tukkeutumisen vuoksi. Seuraavassa on pieni otos kalkkipitoisuuden x ja toimintaiän y arvoista: x(%) y(h) a) Laske regressiomallin Y = β 0 + β 1 x + ɛ parametrit, myös jäännösvarianssin, estimaatit. Laske kertoimien b 0 ja b 1 hajontaestimaatit. b) Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesit H 0 : β 1 = 0 (eli kalkkipitoisuudella ei vaikutusta) H 1 : β 1 < 0 (eli kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää) (Testisuureen arvo on 2.28) x = 7.9 x 2 = n = 6 y = 108 y 2 = 2104 xy = 131 a) = x7.9 x 2 = n = 6 = y108 y 2 = 2104 xy = 131 SS xy = xy ( x)( y)/n = /6 = 11.2 SS xx = x 2 ( x) 2 /n = /6 =

6 SS yy = y 2 ( y) 2 /n = /6 = b 1 = SS xy /SS xx = b 0 = ( y b 1 x)/n = b) Testisuureenarvo t = b1 0 s(b 1 = 2.28 H 0 hylätään, jos t < t 1 α (n 2) = t 0.95 (4) = SST = SS yy = 160 SSD = SS 2 xy/ss xx = SSE = SST SSD = ˆσ 2 = s 2 = SSE n 2 = s s(b 1 ) = 2 SS xx = s(b 0 ) = s 2 x 2 i nss xx 4.96 a) SST = 160 SSD = SSE = ˆσ 2 = s s(b 1 ) 3.54 s(b 0 ) 4.96 b) Johtopäätös: H 0 hylätään, joten kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää. 7. Tutkittiin erään viljan sadon Y lineaarista riippuvuutta neljästä selitettävästä muuttujasta: X 1 = maaperän humuspitoisuus, X 2 = maaperän kosteus, X 3 = maaperän ph ja X 4 = rikkakasvien tiheys. Tehtiin 32 koetta eri olosuhteissa. Lineaarisen regressiomallin

7 y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 + ɛ kertoimien merkitsevyyttä eli hypoteeseja H 0 : β j = 0, H 1 : β j 0, j = 0, 1, 2, 3, 4 testattiin t-testisuureilla ja saatiin seuraavat tulokset: Parameter Estimate Std error T-Statistic P-value b b b b b Source Sum of squares DF Mean Square F-ratio P-value model E Residual Total (Corr.) E6 31 r 2 = % r 2 (Adjusted for d.f.) = % Std error of est. = Mean absolute error = Durbin-Watson statistic = a) Poikkeaako vakiotermi β 0 merkittävästi nollasta? b) Mitkä muuttujat ovattviljasadon tärkeimpiä selttäjiä ja millä muuttujilla ei ole merkittävää vaikutusta? Perusteltu vastaus! Periaate: mitä pienempi p-arvo, sitä merkitsevämmin kerroin poikkeaa nollasta. a) β 0 -kerroin ei poikkea merkittävästi nollasta, koska P = > Tosin estimaatin arvoon suuri, mutta jos hajonta on suuri, ei saada riittävästi varmistusta poikkeamalle! b) Mitä pienempi P-arvo, sitä merkitsevämpi riippuvuus ja sitä merkitsevämpi selittäjä. Tärkeimmät, eli merkitsevimmät selittäjät ovat siis järjestyksessä 1) ph = ) kosteus =

8 3) humuspitoisuus = Rikkakasvitiheydellä ei ole tämän aineiston valossa merkittävää vaikutusta, koska P = > Edellisen tehtävän lineaarisen regressiomallin yhteensopivuuden tutkimiseksi havaintoaineistosta laskettiin neliösummat SST = ja SSE = Laske mallin jäännöshajonta s ja selitysaste R 2. Testaa mallin sopivuus (eli mallin tilastollinen merkitsevyys eli selitysasteen merkitsevyys, monisteen luku 7.4.5) tasolla α = Kannattaako mallia käyttää viljasadonennustamiseen? (Testisuureen arvo 26.8) n = 32 k = 4 SST = SSE = s 2 = s = SSE n k 1 = = Selitysaste: R 2 = SSD SST SSE SST = SST R 2 = = % H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 (Malli ei sopiva) H 1 : β i 0 ainakin yhdellä i = 1, 2, 3, 4, Testisuure: SSD/k F = SSE/(n k 1) = / /27 = α = 0.01 Kriittinen arvo F 1 α (k, n k 1) = F 0.99 (4.27) = 4.11 Koska F > F 0.99, H 0 hylätään:

9 Malli selittää sadon vaihtelua merkittävästi. Mallia siis kannattaa käyttää sadon ennustamiseen.

Samankaltaiset tiedostot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x