PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI"

Transkriptio

1 Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Kandidaatintyö Takastaja: lehtoi Risto Silvennoinen Palautuspäivä:

2 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma RAUTAKORPI, PAULI: Leijavoimalan tehon aviointi Kandidaatintyö, 34 sivua, 5 liitesivua Syyskuu 2008 Pääaine: Matematiikka Takastaja: lehtoi Risto Silvennoinen Avainsanat: leijavoimala, leija, sähköntuotanto, tuulienegia Leijavoimala on uudentyyppinen tuulivoimala, jossa enegiaa keätään tuulesta leijaa lennättämällä. Tässä työssä esitellään leijavoimalatyyppi, jonka toiminta peustuu vuootteleviin sähköntuotantovaiheeseen ja paluuvaiheeseen. Sähköntuotantovaiheessa leija vetää maassa olevaa geneaattoia pyöittävän ummun ympäille kelattua köyttä mahdollisimman suuella voimalla pois ummulta, jolloin geneaattoi tuottaa pyöiessään sähköä. Paluuvaiheessa puolestaan leijan vetovoima minimoidaan ja köysi kelataan takaisin ummun ympäille käyttämällä geneaattoia moottoina. Tässä työssä johdetaan leijan ja köyden voimatasapainoa takastelemalla kaava kyseisen leijavoimalatyypin teholle sähköntuotantovaiheen aikana. Tämä kaava mahdollistaa leijavoimalan tehon avioimisen voimalan mittojen ja leijan ominaisuuksien avulla ilman simulaatioita tai kokeita. Tehokaavan johtaminen sisältää myös muita hyödyllisiä tuloksia, esimekiksi suuimman tehon antavan köyden vapautusnopeuden, joka on noin yksi kolmasosa köyden suuntaisesta tuulen nopeudesta. Työn lopussa olevan esimekin mukaan jo tavallisella viiden neliömetin leijalla voidaan saavuttaa lähes 50 kilowatin teho 12 m/s tuulella, ja tehokaavan mukaan leijavoimalan teho kasvaa suunnilleen lineaaisesti leijan pinta-alaa suuennettaessa, neliöllisesti leijan aeodynaamista tehokkuutta paannettaessa ja kuutiollisesti tuulen nopeuden lisääntyessä. Näin leijasta kannattaa tehdä mahdollisimman vitaviivainen ilmanvastuksen minimoimiseksi ja tehon maksimoimiseksi, ja peinteisistä tuulivoimaloistakin tuttu tehon kuutiollinen kasvu tuulennopeuden mukana koostaa mekittävästi leijan avulla saavutettavien kokealla puhaltavien voimakkaampien ja vakaampien tuulien tajoamaa tehoetua peinteisiin tuulivoimaloihin veattuna.

3 III ALKUSANAT Tämä kandidaatintyö on osa Tampeeen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksen leijavoimalapojektia, jonka on peustanut työn ohjaaja Risto Silvennoinen. Työ peustuu leijavoimalapojektissa työskennelleen Ivan Agatovin kesällä 2007 tekemiin laskelmiin, jotka olen esittänyt uudelleen Agatovin kijoittamaa apottia yksityiskohtaisemmin ja monessa paikassa mekittävästikin ei tavalla. Tämän työn esityksen välivaiheet peustuvat takistuslaskelmiini eivätkä suoaan Agatovin muistiinpanoihin. Työn aiheena oleva leijavoimala on kansainvälisestikin vasin uusi tutkimuskohde. Uutuutensa vuoksi leijavoimaloihin liittyvä peustutkimuskin on vasta alussa, joten olen joutunut valitsemaan tämän työn alussa esiteltävän leijavoimalatyypin leijavoimaloita tutkivien Laddemill- ja KiteGen-pojektien julkaisuissa esitettyjen ideoiden joukosta. Leijavoimalatyypin valinnan peustana ovat olleet aikaisempien julkaisujen tiedot, Risto Silvennoisen suositukset sekä omat päätelmäni ei leijavoimaloiden toimivuudesta ja toteuttamiskelpoisuudesta. Tässä työssä leijavoimalan toteutusta käsitellään mahdollisimman lyhyesti ja yleisellä tasolla, sillä pääsisältönä on mahdollisimman yleiskäyttöisen tehoavion johtaminen.

4 IV SISÄLLYS 1. Johdanto Leijavoimalan toimintapeiaate Leijan nopeuslain johtaminen Teoian peusteet Koodinaatistojen määittely Efektiivinen tuuli ja aeodynaaminen voima Leijan sivuttaisliike Sivuttaisliikkeen geometiaa Paikkavektoia vastaan kohtisuoa voimatasapaino Sivuttaisliikkeen nopeus ja aeodynaaminen tehokkuus Köyden ilmanvastuksen aviointi Leijan lentonopeus Leijavoimalan tehoavio Köyden jännitys Jännityksen muuttuminen köydessä Paikkavektoin suuntainen voimatasapaino leijassa Keskimäääinen teho sähköntuotantovaiheessa Paikkavektoin suuntaiset keskimäääiset voimat Leijavoimalan tehokaava Leijavoimalan teho optimaalisella köyden vapautusnopeudella Teho köyden vapautusnopeuden funktiona Köyden vapautusnopeuden optimointi Optimaalinen köyden vapautusnopeus ja teho Esimekki tehokaavan käytöstä Yhteenveto Lähteet Liite1: Nopeus, kiihtyvyys ja Newtonin toinen laki pallokoodinaatistossa.. 35 Liite2: Lentoadan pituuden laskeminen

5 V SYMBOLIT Suueen aikakeskiavo yhden leijan lentämän kieoksen ajalta α Vektoien ŵ p ja ŵ välinen kulma, esitetty kuvassa 3.2 θ φ Puolet leijan kahdeksikkoadan kokeudesta Puolet leijan kahdeksikkoadan leveydestä θ Pystysuoan ja leijan paikkavektoin välinen kulma, esitetty kuvassa 3.1 θ Kulman θ aikadeivaatta θ Pystysuoan ja leijan paikkavektoin välinen kulma leijan lentoadan keskellä µ Köyden pituusmassa eli massa pituusyksikköä kohti ρ a ρ l σ τ φ φ A Ilman tiheys Köysimateiaalin tiheys Köysimateiaalin vetolujuus Leijan kahdeksikkoadan vaihepaameti Tuulen suunnan ja leijan paikkavektoin välinen kulma vaakatasossa, esitetty kuvassa 3.1 Kulman φ aikadeivaatta Leijan siipipinta-ala a Köyden vapautusnopeuden optimointiongelman lyhennysmekintä, määitelmänä (4.33) b Köyden vapautusnopeuden optimointiongelman lyhennysmekintä, C C C D C L D d line määitelmänä (4.32) Vitaukseen nähden poikittaisen köyden tai sylintein ilmanvastuskeoin Köydensuuntaisen vitauksen aeodynaaminen kitkakeoin köydelle Leijan ilmanvastuskeoin Leijan nostovoimakeoin Leijaan kohdistuvan aeodynaamisen voiman ilmavian suuntainen komponentti eli ilmanvastus Köyden halkaisija ê θ Leijan paikallisen koodinaatiston yksikkövektoi, määitelmänä (3.3) ê φ Leijan paikallisen koodinaatiston yksikkövektoi, määitelmänä (3.3) ê Leijan paikkavektoin suuntainen yksikkövektoi, määitelmänä (3.3) F F ae F ae Lyhennysmekintä F = Fwp ga + Fwp line Leijaan kohdistuva aeodynaaminen voima Leijaan kohdistuvan aeodynaamisen voiman paikkavektoin suuntainen komponentti F ae = (ê F ae )ê = F ae ê

6 VI F ae F cf F cf F gen F ga F ga F ga Fwp ga F lae F lae F lcf F lga F line F line fic F line F line F line wp F ten Fmax ten Leijaan kohdistuvan aeodynaamisen voiman paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus Leijaan kohdistuva keskipakoisvoima F cf = F cf ê Leijaan kohdistuvan keskipakoisvoiman suuuus Köyden jännitys maassa kiinnityspisteessään Leijan painovoima Leijan painovoiman paikkavektoin suuntainen komponentti ê F ga = (ê F ga )ê = F ga Leijan painovoiman paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus Leijan painovoiman vektoin ŵ p suuntainen komponentti Fwp ga = F ga ŵ p Köyteen kohdistuvan aeodynaamisen voiman leijan paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus Köyteen kohdistuvan aeodynaamisen voiman leijan paikkavektoia vastaan kohtisuoa komponentti Köyteen kohdistuvan keskipakoisvoiman suuuus Köyden painovoiman leijan paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus Köyden leijaan kohdistama voima Köyden leijaan kohdistaman voiman köyden ilmanvastuksesta aiheutuva paikkavektoia vastaan kohtisuoa komponentti Köyden leijaan kohdistaman voiman leijan paikkavektoin suuntainen komponentti F line = (ê F line )ê = F line Köyden leijaan kohdistaman voiman leijan paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus Köyden leijaan kohdistaman voiman vektoin ŵ p suuntainen komponentti Fwp line = F line ŵ p Köyden jännityksen leijan paikkavektoin suuntainen komponentti Köyden jännityksen maksimiavo köyden lujuutta laskettaessa F ga F lga + F cf + F lcf f Lyhennysmekintä f = F lae G e Leijan aeodynaaminen tehokkuus, määitelmänä (3.29) g î ĵ ˆk k 0 Maan putoamiskiihtyvyys X-akselin suuntainen yksikkövektoi, myötätuuleen Y-akselin suuntainen yksikkövektoi Z-akselin suuntainen yksikkövektoi, ylöspäin Leijavoimalan tehokaavassa (4.30) esiintyvä keoin, määitelmänä (4.28) ê

7 VII k max 0 Keoin k 0 optimaalisella köyden vapautusnopeudella kaavassa (4.40) Leijavoimalan tehokaavassa (4.30) esiintyvä keoin k k max Keoin k optimaalisella köyden vapautusnopeudella kaavassa (4.40) L Leijaan kohdistuvan aeodynaamisen voiman ilmavitaa vastaan kohtisuoa komponentti eli nostovoima l Leijan lentoadan yhden kieoksen pituus M Kaavan (3.4) mukainen koodinaatistonmuunnosmatiisi m Leijan massa P Leijavoimalan mekaaninen teho P max Leijavoimalan keskimäääinen mekaaninen teho sähköntuotantovaiheen aikana optimaalisella köyden vapautusnopeudella Leijan paikkavektoi ṙ Leijan paikkavektoin aikadeivaatta eli leijan nopeusvektoi ṙ Leijan nopeusvektoin paikkavektoia vastaan kohtisuoa pojektio ŝ ṙ = ṙ (ê ṙ)ê Leijan paikkavektoin pituus eli leijan ja köyden kiinnityspisteen välinen etäisyys Leijan paikkavektoin keskimäääinen pituus yhden leijan lentämän kieoksen aikana Vektoia ŵ vastaan kohtisuoa yksikkövektoi leijan siivenkäkien tasossa leijasta katsottuna kohti oikeaa siivenkäkeä ŝ p T V V max V V L VL VL dzeo V opt L Yksikkövektoi, määitelmänä ŝ p = ê ŵ p Leijan lentämään kieokseen kuluva aika Tuulen nopeus skalaaina Köyden mitoituksessa käytettävä maksimituulennopeus Tuulen nopeuden paikkavektoin suuntainen komponentti V = ê W Leijan nopeuden paikkavektoin suuntainen komponentti V L = ê ṙ Köyden vapautusnopeus eli köyden pituuden aikadeivaatta Köyden vapautusnopeus, jolla tehon deivaatta köyden vapautusnopeuden suhteen on nolla Köyden vapautusnopeuden optimiavo v L Köyden vapautusnopeuskeoin, määitelmänä (4.26) v opt L W W Köyden vapautusnopeusketoimen optimiavo Tuulen nopeusvektoi Tuulen nopeusvektoin leijan paikkavektoin suuntainen pojektio W = (ê W)ê

8 VIII W W e W e(x) We (x) W p e ŵ ŵ p x Tuulen nopeusvektoin leijan paikkavektoia vastaan kohtisuoa pojektio W = W W Efektiivinen tuulivektoi W e = W ṙ eli ilmavitaus leijassa Köydenpätkän efektiivisen tuulen köydensuuntainen pojektio pituuskoodinaatin x funktiona Köydenpätkän efektiivisen tuulen köyttä vastaan kohtisuoa pojektio pituuskoodinaatin x funktiona Vektoin W e pojektio vektoien ê θ ja ê φ viittämälle tasolle We p = W e (ê W e )ê Efektiivisen tuulivektoin suuntainen yksikkövektoi, ilmavian suuntaan leijassa Vektoin We p suuntainen yksikkövektoi Leijan paikkavektoin suuntainen pituusmuuttuja, joka on nolla köyden kiinnityspisteessä ja kasvaa avoon leijan kohdalla

9 1 1. JOHDANTO Sähköenegian iittävä saatavuus ja kohtuullinen hinta ovat nykyaikaisen yhteiskunnan toiminnan peusedellytyksiä. Nykyinen sähköntuotanto peustuu kuitenkin suuelta osin uusiutumattomiin enegianlähteisiin, joiden saanti alkaa ennemmin tai myöhemmin vaikeutua ja samalla hinta nousta. Toisaalta hiilidioksidipäästöt ja ilmaston lämpeneminen huolestuttavat aina vain enemmän. Sähkön ja yleensäkin enegian tuotannon jatkuvuuden tuvaamiseksi ja enegian hinnan pitämiseksi kohtuullisena täytyy uusiutuvien ja päästöttömien enegianlähteiden osuutta enegiantuotannossa pikaisesti nostaa. Tämän tavoitteen toteuttamiseksi on täkeää tutkia ja kehittää nykyisten uusiutuvan enegian tuotantotapojen lisäksi aivan uusia tapoja tuottaa enegiaa ympäistöä saastuttamatta. Tuuli on yksi mekittävimmistä ja houkuttelevimmista uusiutuvan enegian lähteistä, mutta valitettavasti tuulen sisältämästä enegiasta voidaan nykyisillä tuulivoimaloilla käyttää hyväksi vain pieni osa. Nykyisiä maston päässä olevaan geneaattoiin ja sitä pyöittävään oottoiin peustuvia tuulivoimaloita ei enää voida kehittää mekittävästi suuemmiksi, kokeammiksi ja näin tehokkaammiksi, sillä akenteiden kestävyyden ajat tulevat välttämättä vastaan. Näin ollen nykyisillä menetelmillä voidaan tuulesta hyödyntää enegiantuotannossa vain maanpinnan lähellä olevaa osuutta. Maanpinnan aiheuttama aeodynaaminen vastus hidastaa kuitenkin mekittävästi ilmavitauksia pinnan lähellä tuulisimmillakin alueilla kuten meellä ja tekee tuulisähkön tuottamisen kannattamattomaksi lähes kaikkialla sisämaassa. Esimekiksi katselemalla tuulivoimaloiden yli vauhdikkaasti lipuvia pilviä voi konkeettisesti huomata, kuinka paljon käyttökelpoista uusiutuvaa ja saasteetonta enegiaa vitaa vapaana tuulivoimaloiden saavuttamattomissa. Kokeuksissa puhaltavien voimakkaiden tuulien hyödyntämistä onkin yitetty monilla eilaisilla tavoilla, mutta toistaiseksi mitään niistä ei ole saatu toimimaan käytännössä. Monien muiden ideoiden tavoin 1970-luvun lopun öljykiisin aikoihin nousi esille ajatus leijojen käyttämisestä enegiantuotannossa, mutta öljyn hinnan taas laskiessa leijavoimaloiden tutkimus loppui lyhyeen ja jäljelle jäi vain muutama leijavoimaloita käsittelevä julkaisu, joista M. Loydin julkaisu [1] on tämänkin työn pohjana. Julkaisussaan Loyd esittelee tässä työssä käsiteltävän leijavoimalatyypin peusidean sekä joitakin leijan liikkumiseen ja leijavoimalan tehoon liittyviä tuloksia, jotka ovat yksinketaistettuja vesioita tässä työssä johdettavista keskeisistä tuloksista. Näin Loyd tuo ilmi

10 1. Johdanto 2 leijavoimalan tajoaman houkuttelevan mahdollisuuden keätä ja hyödyntää kokealla puhaltavien voimakkaiden tuulien sisältämää enegiaa tehokkaasti suuen ja nopeasti lentävän leijan avulla. Nyt 2000-luvulla ajatus tuulienegian hyödyntämisestä leijojen avulla on noussut uudelleen esille muutamassa tutkimusyhmässä, ja tällä ketaa näkymät ovat niin lupaavia, että kaikki nämä yhmät ovat jatkaneet innostuneina tutkimuksiaan useamman vuoden ajan. Esimekiksi kevyiden ja lujien leija- ja köysimateiaalien kehitys, vajoliitimien ja vetoleijojen yleistyminen haastusvälineinä sekä tietotekniikan kehittymisen mahdollistama eaaliaikainen optimointi ja automaattinen kauko-ohjaus ovat nostaneet leijavoimalan ehkäpä kaikkein lupaavimmaksi kokealla puhaltavien tuulien hyödyntämiskeinoksi. Vetoleijoja käyttäviä toimivia leijavoimalapototyyppejäkin on jo akennettu ainakin Alankomaissa Laddemill-pojektissa sekä Italiassa KiteGen-pojektissa, joten leijavoimalan toteuttamiskelpoisuudestakin on jo todisteita ainakin pienessä mittakaavassa. Pototyypeistä julkaisuissa [2] ja [3] esitelty KiteGen-pototyyppi vastaa toimintapeiaatteeltaan tässä työssä käsiteltävää leijavoimalaa, ja nämä julkaisut sisältävät myös tietokonesimulaatioista saatuja tehoavioita. Tässä työssä takoituksena on johtaa mahdollisimman yksinketainen laskukaava leijavoimalan teholle leijan ja köyden voimatasapainoa takastelemalla. Takoituksena on siis johtaa kaava, jolla voidaan laskea avio leijavoimalan keskimäääiselle teholle ilman tietokonesimulaatioita tai kokeita. Tässä työssä johdettavan tehokaavan on ensimmäisenä johtanut I. Agatov, jonka kesällä 2007 tekemiä laskelmia esitykseni seuailee. Agatovin laskelmat löytyvät alkupeäisessä muodossaan julkaisua odottavasta atikkelista [4]. Tehtäväni oli ensin takistaa atikkelin [4] kaavat johtamalla kaavat uudelleen atikkelissa olevien välivaiheiden avulla, ja tämä työ sai alkunsa tapeesta esittää laskelmat uudelleen suomeksi ja mahdollisimman selkeästi, jotta laskelmien takasteleminen olisi mahdollisimman helppoa. Näin ollen olen esittänyt huomattavasti alkupeäistä esitystä enemmän välivaiheita, jotka peustuvat tekemiini takistuslaskelmiin. Lisäksi olen yittänyt tuoda selkeästi esille laskelmissa tehdyt monet appoksimoinnit peusteluineen, jotta aviointien mekitystä voisi jatkossa takastella helpommin. Eityisesti olen käsitellyt keskiavoja alkupeäistä esitystä takemmin ja eotellut keskimäääiset suueet hetkellisistä avoista, jotta suueiden keskimäääistykseen liittyvät monet avioinnit tulisivat selkeästi esille. Olen myös yittänyt selkeyttää mekintöjä ja lyhentää esitystä jättämällä pois tehokaavan johtamiseen liittymättömät osuudet. Työn alussa esittelen lyhyesti työssä käsiteltävän leijavoimalatyypin toimintapeiaatteen, jotta kaavoja johdettaessa tehtyjen oletusten peusteet voisi ymmätää. Vasinainen kaavojen johtamisosio alkaa kaavojen johtamisessa käytettävien koodinaatistojen ja käsitteiden määittelyillä, jotta kaikki kaavojen johtamisen seuaa-

11 1. Johdanto 3 miseen tavittava tieto olisi mukana työssä. Alun määitelmät vastaavat atikkelin [4] määitelmiä, mutta olen yittänyt esittää ne takemmin ja selkeämmin. Vasinaisista tuloksista ensimmäisenä johdetaan köyden ilmanvastuksen huomioiva kaava leijan keskimäääiselle lentonopeudelle takastelemalla leijan voimatasapainoa leijan paikkavektoia vastaan kohtisuoassa suunnassa. Sitten päästäänkin jo leijavoimalan tehoavion johtamiseen, jossa ensin atkaistaan köyden jännityksen muutos köyden matkalla ja köyden jännitys leijan päässä takastelemalla leijan paikkavektoin suuntaista voimatasapainoa. Köyden voimien takastelussa olen ottanut mukaan atikkelin [4] esityksestä puuttuneen köyden keskipakoisvoimatemin ja muutenkin olen käsitellyt takemmin tehoavion kannalta oleelliset köydensuuntaiset voimat ja jättänyt pois köyteen vaikuttavien sivuttaisvoimien takastelun. Seuaavaksi johdetaan aviot tehoon vaikuttavien voimien keskimäääisille suuuuksille, ja näin päästään muotoilemaan avio leijavoimalan keskiteholle. Eona atikkelin [4] esitykseen olen siitänyt köyden vapautusnopeuden optimoinnin viimeiseksi, jolloin olen voinut esittää tehokaavan eilaisilla köyden vapautusnopeuksilla. Optimaalisen köyden vapautusnopeuden atkaisemisen jälkeen tämän työn lopputuloksena saadaan leijavoimalan teholle avio, joka on köyden keskipakoisvoimatemiä lukuun ottamatta sama kuin atikkelissa [4] johdettu kaava. Takoituksenahan on esittää uudelleen atikkelin [4] laskelmat ja päätyä samanlaisiin tuloksiin. Viimeisenä osiona on esimekki tehokaavan käyttämisestä leijavoimalan tehon laskemiseen. Esimekkilaskun suueiden avot olen poiminut KiteGen-pojektin julkaisussa [3] esitetystä KiteGen-pototyypin simulaatiosta, joten samalla päästään vetaamaan tehokaavan antamaa tehoa julkaisussa oleviin simulaation tuloksena saatuihin teholukemiin. KiteGen-pototyypin simulaatiossa käytetty köyden vapautusnopeus eoaa huomattavasti atikkelissa [4] käytetystä optimiavosta, joten tulosten takkaan vetaamiseen tavitaan johtamaani eilaisille köyden vapautusnopeuksille yleistettyä tehokaavaa.

12 4 2. LEIJAVOIMALAN TOIMINTAPERIAATE Leijavoimala on sähköä tuottava tuulivoimala, jossa tuulienegiaa keätään leijaa lennättämällä. Leijavoimaloista puhuttaessa oletetaan siis, että leijan keäämä mekaaninen enegia muunnetaan sähköenegiaksi geneaattoissa. Toki leijalla keättyä enegiaa voi käyttää suoemminkin mekaanisesti esimekiksi veden pumppaamiseen tai laivan vetämiseen, mutta tällöin kyse on paemminkin leijamoottoista tai leijan käyttämisestä pujeena. Tässä työssä keskitytään kuitenkin sähkön tuottamiseen leijan avulla eli siis leijavoimaloihin, sillä sähkön käyttömahdollisuudet ovat kaikkein monipuolisimmat ja sähköstä on tullut nykyaikaisen elämän peusedellytyksiä. Tässä työssä ei kuitenkaan käsitellä leijavoimalan geneaattoin sähköisiä ominaisuuksia, vaan leijan lentoa ja leijan tuottamaa mekaanista tehoa, joten tämän työn tuloksia voi käyttää minkä tahansa muunkin leijalla keättyä enegiaa hyödyntävän systeemin tehoaviona, kunhan tehokaavaa johdettaessa tehdyt leijaan ja köyteen liittyvät oletukset toteutuvat. Tässä työssä käsitellään kuvassa 2.1 esitettyä leijavoimalatyyppiä, jossa on vain yksi leija kiinnitettynä yhdellä köydellä geneaattoin sisältävään maa-asemaan. Peusoletuksina geneaattoi on siis maan pinnalla ja leijaa ohjataan kauko-ohjatuilla leijaan sijoitetuilla ohjaussysteemeillä eikä useamman köyden avulla. Lisäksi oletetaan, että leijaa lennätetään aina myötätuuleen eli suuimman tehon antavalla suunnalla. Leijan lentosuunnan kääntäminen tuulen mukaan voidaan toteuttaa akentamalla maa-asema pyöivälle alustalle tai sijoittamalla köyden ulostuloaukko maa-aseman päälle. Kyseisen leijavoimalatyypin sähköntuotanto peustuu kaksivaiheiseen sykliin, jonka vaiheet ovat sähköntuotantovaihe ja paluuvaihe. Sähköntuotantovaiheessa leija vetää geneaattoia pyöittävän ummun ympäille kelattua köyttä mahdollisimman suuella voimalla ulos maa-asemasta, jolloin geneaattoi tuottaa pyöiessään sähköä. Paluuvaiheessa puolestaan leijan vetovoima minimoidaan ja köysi kelataan takaisin ummun ympäille käyttämällä geneaattoia moottoina. Paluuvaiheessa menetetään osa sähköntuotantovaiheessa tuotetusta enegiasta, mutta paluuvaiheessa menetettävä enegia voidaan minimoida leijan akennetta ja lentoataa optimoimalla. Sähköntuotantovaiheessa leijan vetovoima voidaan maksimoida lennättämällä leijaa makaavan kahdeksikon muotoisella silmukkaadalla moninketaisella tuulenno-

13 2. Leijavoimalan toimintapeiaate 5 Kuva 2.1: Peiaatekuva tässä työssä käsiteltävästä leijavoimalasta sähköntuotantovaiheessa. Leijan lentoata on piietty kolmen makaavan kahdeksikon ajalta, mutta kahdeksikkoja voidaan kietää peäkkäin moninketainen määä. Kuvan lentoata on vai yksi tyypillinen esimekki, sillä lentoadan voi valita vapaasti eaaliaikaisen optimoinnin ohjaamana. peudella. Tällöin automaattinen ohjaus pitää leijan optimaalisella lentoadalla, ja leija keää tehokkaasti enegiaa kokealla puhaltavasta huomattavasti maanpinnan tuulia voimakkaammasta ja tasaisemmasta tuulesta, sillä suuella nopeudella lentäessään leija saa käyttöönsä tuulen enegian laajalta poikkipinta-alalta. Suuen ilmanopeuden ansiosta aeodynaamiset voimat ovat vahvoja ja näin köyteen kohdistuu suui vetovoima geneaattoille välitettäväksi. Tässä vaiheessa leijan liitoluvun, eli nostovoiman ja ilmanvastuksen suhteen, pitäisi olla mahdollisimman suui, jotta leija lentäisi mahdollisimman nopeasti ja kehittäisi mahdollisimman suuen tehon. Tässä työssä takastellaan sähköntuotantovaihetta olettaen, että leija lentää mahdollisimman nopeasti. Näin leijan nostovoiman oletetaan olevan vähintään joitakin ketoja ilmanvastusta suuempi, ja leijan lentoadan oletetaan sijaitsevan tehokkaalla alueella eli jossakin myötätuulen suunnassa. Radan muoto ei ole tämän työn takastelujen kannalta oleellinen asia, mutta käytännössä makaavan kahdeksikon muotoinen ata on yksinketaisin toimiva köyttä kietämätön ata. Leijan tyypilläkään

14 2. Leijavoimalan toimintapeiaate 6 ei ole mekitystä, sillä leijaa mallinnetaan leijan keskeisiä ominaisuuksia kuvaavien suueiden avulla. Paluuvaiheessa leijan voi esimekiksi ohjata maa-aseman yläpuolelle tasapainoasemaan köyden takaisin kelaamisen ajaksi. Tällöin suunnilleen paikallaan pysyvän leijan ilmanopeus on lähellä tuulen nopeutta, ja pienen ilmanopeuden ansiosta aeodynaamiset voimat ovat huomattavasti pienempiä kuin sähköntuotantovaiheessa. Näin pystyyn nostetun köyden voi tiputtaa maa-aseman sisälle osittain köyden painovoiman avustamana menettämättä mekittävää enegiamääää paluuvaiheessa. Paluuvaiheen enegiahäviöön ja nopeuteen vaikuttaa kuitenkin niin moni asia, ettei paluuvaiheen takasteleminen yleisessä leijavoimalan tehoaviossa ole käytännössä mahdollista ottamatta huomioon leijavoimalan toteutukseen liittyviä yksityiskohtia. Näin ollen tässä työssä ei käsitellä paluuvaihetta tehoavion yleiskäyttöisyyden säilyttämiseksi, vaan johdetaan avio sähköntuotantovaiheen aikaiselle keskimäääiselle teholle. Lisäksi keskitehoa takastellaan vain yhden leijan lentämän kahdeksikon ajalta, sillä köyden pidentyessä sähköntuotantovaiheen aikana leijavoimalan teho muuttuu lentoadan muuttuessa. Tässä leijavoimalatyypissä leijan lentoataa voidaan jatkuvasti optimoida vaihtelevissa olosuhteissa, jotta sähköntuotanto olisi tehokasta ja leija pysyisi hallitusti ilmassa. Ensinnäkin leijan lentosuuntaa voidaan kääntää tuulen suunnan mukaan. Leijan lentokokeutta voidaan optimoida tuulen mukaan vaihtelemalla köyden pituutta ja kokeuskulmaa. Luonnollisesti myös leijan tekemien silmukoiden laajuutta ja muotoa voidaan optimoida olosuhteiden mukaan. Kun lisäksi köyden pituuden vaihtelu ja näin sähköntuotanto- ja paluuvaiheiden kestot ovat vasin vapaasti säädettävissä, voidaan leijavoimalan sähköntuotanto optimoida hyvinkin eilaisissa olosuhteissa älykkään ohjausjäjestelmän avulla. Lisäksi useampi leijavoimala voidaan synkonoida toimimaan tahdissa niin, että paluuvaiheet ovat peäkkäin ja koko yppään sähköntuotto on tasaista. Tässä työssä takoituksena on kuitenkin tehoavion johtaminen, joten tehon optimointia vaihtelevissa olosuhteissa ei takastella.

15 7 3. LEIJAN NOPEUSLAIN JOHTAMINEN 3.1 Teoian peusteet Koodinaatistojen määittely Oletetaan tuulen nopeuden pystysuuntainen komponentti nollaksi ja sijoitetaan leijavoimalaan oikeakätinen kateesinen koodinaatisto siten, että x-akseli on aina tuulen nopeuden suuntainen ja z-akseli on ylöspäin. Olkoon tämän kateesisen koodinaatiston yksikkövektoit x-, y-, ja z-akseleille î, ĵ ja ˆk. Näin tuulen nopeusvektoille W saadaan esitys W = V î, (3.1) missä V on skalaainen tuulen nopeus. Otetaan lisäksi käyttöön pallokoodinaatit, θ, φ siten, että leijan paikkavektoi kateesisessa koodinaatistossa on = sin θ cos φ î + sin θ sin φ ĵ + cos θ ˆk. (3.2) Tässä määittelyssä on leijan etäisyys oigosta, θ on pystysuoan ja paikkavektoin välinen kulma ja φ on vaakatasossa tuulen suunnan ja leijan välinen kulma, joka on positiivinen vastapäivään voimalasta katsottuna. Tässä pallokoodinaatistossa saadaan paikalliset yksikkövektoit ê = sin θ cos φ î + sin θ sin φ ĵ + cos θ ˆk, ê θ = cos θ cos φ î + cos θ sin φ ĵ sin θ ˆk ja ê φ = sin φ î + cos φ ĵ (3.3) deivoimalla paikkavektoi kunkin koodinaatin suhteen ja nomeeaamalla. Yksikkövektoit ê, ê θ ja ê φ ovat otonomaalit ja muodostavat leijaan oikeakätisen koodinaatiston. Tämän koodinaatiston yksikkövektoit kateesisissa koodinaateissa esittävä koodinaatistonmuunnosmatiisi sin θ cos φ cos θ cos φ sin φ M = sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ (3.4) cos θ sin θ 0

16 3. Leijan nopeuslain johtaminen 8 on siis otogonaalinen ja käänteismatiisiksi saadaan M 1 = M. Näin tuulennopeusvektoille (3.1) saadaan esitykseksi vektoeiden ê, ê θ ja ê φ muodostamassa kannassa V sin θ cos φ ( ) W = M 0 = V cos θ cos φ = V sin θ cos φ ê +cos θ cos φ ê θ sin φ ê φ. 0 sin φ (3.5) Leijan painovoimalle F ga = mg ˆk saadaan vastaavasti esitys 0 cos θ ( ) F ga = M 0 = mg sin θ = mg cos θ ê sin θ ê θ, (3.6) mg 0 missä g on maan putoamiskiihtyvyys skalaaina ja m on leijan massa Efektiivinen tuuli ja aeodynaaminen voima Määitellään seuaavaksi efektiivinen tuulivektoi W e = W ṙ, (3.7) joka ketoo ilmavitauksen leijasta katsottuna ja määää näin leijaan kohdistuvat aeodynaamiset voimat. Tässä ṙ on leijan paikkavektoin aikadeivaatta eli leijan nopeusvektoi. Olkoon ŵ efektiivisen tuulivektoin suuntainen yksikkövektoi, eli ŵ = W e W e. (3.8) Otetaan vielä käyttöön yksikkövektoi ŝ, joka on kohtisuoassa ilmavitaa eli vektoia ŵ vastaan ja osoittaa leijasta käsin takasteltuna kohti leijan oikeaa siivenkäkeä niin, että leijan siivenkäkien kautta kulkeva suoa on vektoeiden ŵ ja ŝ määäämän tason suuntainen. Siis jos leijana olisi lentokone, jonka unko on ilmavitauksen suuntainen, osoittaisi ŵ taaksepäin ilmanvastuksen suuntaan, ŝ vasemmasta siivenkäjestä kohti oikeaa siivenkäkeä ja ŵ ŝ ylöspäin nostovoiman suuntaan lentäjän paikalta takasteltuna. Yksikkövektoit î, ĵ, ˆk, ê, ŵ ja ŝ sekä kulmat θ ja φ on havainnollistettu kuvassa 3.1, jossa leija on ilmavitauksen suuntainen ja sitä katsellaan alaviistosta. Otetaan leijallakin käyttöön lentokoneista tuttu aeodynaamisen voiman jako komponentteihin, jotka ovat nostovoima, ilmanvastus ja sivuttaisvoima. Näistä ilmanvastus D määitellään ilmavian suuntaiseksi komponentiksi ja nostovoima L ilmavitaa sekä siivenkäkien kautta kulkevaa suoaa vastaan kohtisuoaksi kompo-

17 3. Leijan nopeuslain johtaminen 9 k^ ^e s^ w^ θ ^ j ϕ ^ i Kuva 3.1: Yksikkövektoeita ja kulmia havainnollistettuna. nentiksi. Näin ilmanvastus on vektoin ŵ suuntaan ja nostovoima vektoin ŵ ŝ suuntaan. Sivuttaisvoima puolestaan on vektoin ŝ suuntaan, mutta sillä ei ole mekitystä teholaskelmien kannalta, joten jätetään se huomioimatta. Näin leijaan kohdistuvalle aeodynaamiselle voimalle F ae saadaan esitys F ae = L(ŵ ŝ) + D ŵ, (3.9) missä nostovoima ja ilmanvastus lasketaan yleisesti käytössä olevilla esimekiksi aeodynamiikkakijassa [5] esitetyillä kaavoilla L = 1 2 ρ aac L W e 2 ja D = 1 2 ρ aac D W e 2. (3.10) Kaavoissa ρ a on ilman tiheys, A leijan siipipinta-ala, C L leijan nostovoimakeoin ja C D leijan ilmanvastuskeoin. Leijan kohtauskulma, eli leijan siiven kulma ilmavitaan nähden vaikuttaa nostovoima- ja ilmanvastusketoimeen, mutta jatkossa ketoimia käsitellään leijalle ominaisina vakioina. Jatkossa käsitellään efektiivistä tuulta ja leijan liikettä vektoeiden ê θ ja ê φ viittämässä tasossa, joten määitellään joitakin jatkossa tapeellisia tässä tasossa olevia vektoeita. Olkoon We p viittämälle tasolle, eli efektiivisen tuulivektoin W e pojektio vektoien ê θ ja ê φ W p e = W e (ê W e )ê, (3.11)

18 3. Leijan nopeuslain johtaminen 10 ja olkoon vastaava yksikkövektoi ŵ p = Wp e W p e. (3.12) Näin vektoit ê ja ŵ p ovat kohtisuoassa ja voimme määitellä kolmannen yksikkövektoin ŝ p = ê ŵ p, (3.13) joka on kohtisuoassa edellisiä vastaan ja täydentää näin vektoeiden ê, ŵ p ja ŝ p muodostaman oikeakätisen otogonaalisen kannan. Kannattaa huomata, että vektoin ŝ pojektio vektoien ê θ ja ê φ viittämälle tasolle ei yleisessä tapauksessa ole vektoin ŝ p suuntainen. 3.2 Leijan sivuttaisliike Sivuttaisliikkeen geometiaa Käsitellään nyt tapausta, jossa leijan siivenkäkien kautta kulkeva suoa on kohtisuoassa paikkavektoia vastaan, eli ŝ ê = 0. Toisin sanoen leijaa ei ole kallistettu leijan ohjaamiseksi. Tällöin vektoi ŝ on vektoien ê θ ja ê φ viittämässä tasossa ja lisäksi saadaan ŝ ŵ p (3.12) = ŝ = W p e 1 W p e (3.11) = We p ( (ŝ W e ) } {{ } 0 1 ( ) We p ŝ (W e (ê W e )ê ) ) (ê W e ) (ŝ ê ) } {{ } 0 = 0, joten tässä tapauksessa ŝ = ŝ p (3.13) = ê ŵ p. Vektoien ŝ ja W e pistetulohan on nolla, sillä vektoi ŝ on määitelty kohtisuoaksi ilmavitaa eli vektoia W e vastaan. Näin vektoit ê, ŵ, ŵ p ja ŵ ŝ ovat kaikki samassa tasossa. Olkoon nyt kulma α vektoien ŵ p ja ŵ välinen kulma, ja takastellaan tilannetta kuvassa 3.2. Kuvasta 3.2 nähdään hyödylliset esitykset kulman α sinille ja kosinille: sin α = ê W e W e ja cos α = Wp e W e. (3.14) Määitellään nyt paikkavektoin suuntaiset komponentit V tuulen nopeudelle ja V L leijan nopeudelle, eli määitellään V = ê W ja V L = ê ṙ. (3.15)

19 3. Leijan nopeuslain johtaminen 11 w^ s^ α ^e W e w^ α ^ w p ( ^ e. W e ) ^e W Kuva 3.2: Piios samassa tasossa olevista vektoeista. p e Näillä määittelyillä saadaan kaavoille (3.14) muoto ê W e (3.7) = ê (W ṙ) (3.15) = V V L, sin α = V V L W e ja tan α = V V L W p e. (3.16) Jos oletetaan leijan köysi suoaksi, venymättömäksi ja leijan paikkavektoin suuntaiseksi, on V L köyden vapautusnopeus maassa ja V tuulennopeuden köydensuuntainen komponentti. Kuvasta 3.2 nähdään myös kantavektoien ŵ ja ŵ ŝ esitykset vektoien ŵ p ja ê avulla: ŵ = sin α ê + cos α ŵ p ja ŵ ŝ = cos α ê sin α ŵ p. (3.17) Näin kaavasta (3.9) saadaan aeodynaamisen voiman F ae esitys vektoien ŵ p ja ê avulla F ae = ( L sin α + D cos α)ŵ p + (L cos α + D sin α)ê. (3.18) Paikkavektoia vastaan kohtisuoa voimatasapaino Takastellaan nyt leijan liikkumista paikkavektoia vastaan kohtisuoaan ja johdetaan lauseke vektoin We p pituudelle takastelemalla voimatasapainoa tämän vektoin eli vektoin ŵ p suunnassa. Aeodynaamisen voiman vektoin ŵ p suuntainen komponentti saadaan kaavasta (3.18), ja tämän lisäksi vektoin ŵ p suunnassa leijaan vaikuttaa leijan painovoiman komponentti Fwp ga = F ga ŵ p. Myös köysi on todellisuudessa ainakin hieman kaaeva ja leijan päässä köyden jännityksellä on näin myös paikkavektoia vastaan kohtisuoa komponentti, jonka vektoin ŵ p suuntainen osuus on F line wp = F line ŵ p. Kun jätetään leijan massahitaus huomioimatta, voimatasapainoyhtälöksi vektoin

20 3. Leijan nopeuslain johtaminen 12 ŵ p suunnassa saadaan L sin α + D cos α + F ga wp Otetaan nyt käyttöön lyhennysmekintä F = F ga wp jolloin voimatasapainon (3.19) mukaan + F line wp = 0. (3.19) + F line wp, (3.20) F = L sin α D cos α. (3.21) Ratkaistaan yhtälöstä (3.21) tan α voimakomponenttien L, D ja F avulla lausuttuna muotoilemalla yhtälö ensin toisen asteen yhtälöksi muuttujan tan α suhteen. Lähdetään liikkeelle yhtälön (3.21) muodosta L sin α = D cos α + F, kootetaan yhtälö puolittain neliöön muotoon L 2 sin 2 α = D 2 cos 2 α + 2DF cos α + F 2 ja jaetaan puolittain lausekkeella cos 2 α, jolloin saadaan L 2 tan 2 α = D 2 + 2DF cos α + F 2 cos 2 α. Jatketaan lausekkeen muokkaamista sijoittamalla F yhtälöstä (3.21) sekä 1 = cos 2 α + sin 2 α, jolloin saadaan L 2 tan 2 α = D 2 + 2D cos α (L sin α D cos α) + F 2 cos 2 α + F 2 sin 2 α cos 2 α = D 2 + 2LD tan α 2D 2 + F 2 + F 2 tan 2 α, joten toisen asteen yhtälöksi saadaan (L 2 F 2 ) tan 2 α 2LD tan α + D 2 F 2 = 0. (3.22)

21 3. Leijan nopeuslain johtaminen 13 Yhtälölle (3.22) saadaan toisen asteen yhtälön atkaisukaavalla atkaisuiksi tan α = ( 2LD) ± ( 2LD) 2 4(L 2 F 2 )(D 2 F 2 ) 2(L 2 F 2 ) = 2LD ± 4F 2 (L 2 + D 2 F 2 ) 2(L 2 F 2 ) = LD ± LF 1 + D2 F 2 L 2 L 2. (3.23) L 2 F 2 Tehokkaasti toimivassa leijavoimalassa leijan nostovoimakomponentin L pitäisi olla paljon ilmanvastuskomponenttia D ja kaavan (3.20) mukaista muiden voimien osuutta F suuempi, joten yksinketaistetaan tulosta (3.23) oletuksilla L D ja L F, eli myös D L 1 ja F L 1 (3.24) likimäääiseen muotoon LD ± LF 1 + D2 F 2 L tan α = 2 L 2 L 2 F 2 LD ± LF L 2 F 2 LD ± LF L 2 = D L ± F L. (3.25) Koska alkupeäinen yhtälö (3.21) saadaan muotoon tan α = D L + F L cos α jakamalla puolittain lausekkeella L cos α, pitää kaavan (3.25) kahdesta mekkivaihtoehdosta valita plusmekki, ja näin tulokseksi saadaan tan α D L + F L. (3.26) Sivuttaisliikkeen nopeus ja aeodynaaminen tehokkuus Yhtälöistä (3.16) ja (3.26) saadaan leijan ilmanopeuden paikkavektoia vastaan kohtisuoan komponentin suuuudeksi We p L (V V L ) D + F L = (V V L ) D + Fwp ga (3.20). (3.27) + Fwp line Tätä kaavaa voidaan kutsua leijan hetkelliseksi nopeuslaiksi, sillä kaava ketoo käytännössä leijan ilmanopeuden. Leijan paikkavektoin suuntainen nopeuskomponenttihan tiedetään tuulen ja köyden pituuden muutosnopeuden avulla, sillä kaavan (3.16) mukaan paikkavektoin suuntainen skalaaikomponentti ê W e on V V L. Leijavoimalan tapauksessa W p e on yleensä moninketainen tuulennopeuteen veattuna, joten W p e on vasin lähellä leijan sivuttaisliikkeen vauhtia maasta leijan kiinnityspisteestä takasteltuna. Leija liikkuu siis köyttä vastaan kohtisuoaan suunnilleen ketoimen nopeammin. L D+F ga wp +F line wp vean köydensuuntaista efektiivistä tuulennopeutta

22 3. Leijan nopeuslain johtaminen 14 Leijavoimalan keskimäääisen tehon kaavaa johdettaessa kiinnostava suue on kuitenkin W p e :n keskimäääinen avo W p e yhden kieoksen ajalta leijan kietäessä makaavan kahdeksikon muotoista ataansa tai jotakin muuta sopivaa lähes suljettua ataa. Tällöin leijan painovoiman komponentti Fwp ga vuootellen jauttaa ja vuootellen kiihdyttää leijan vauhtia, joten kokonaisen kieoksen ajalla vaikutukset kumoutuvat, eihän leijan kokeus ja näin potentiaalienegiakaan muutu ainakaan atkaisevasti ei kieosten välillä. Näin keskiavoa etsittäessä Fwp ga voidaan jättää pois kaavasta (3.27). Lisäksi Fwp line voidaan jakaa kahteen osaan, köyden ilmanvastuskomponenttiin Ffic line sekä köyden painovoiman aiheuttamaan komponenttiin. Näistä köyden painovoimakomponentti voidaan jättää keskiavokaavasta pois aivan samasta syystä kuin leijan painovoimakin, joten kaavan (3.27) keskiavoksi saadaan We p L V V L. (3.28) D + Ffic line Tässä Ffic line on siis koko köyden ilmanvastuksen aiheuttama paikkavektoia vastaan kohtisuoa komponentti köyden jännityksessä leijan päässä. Suueiden aikakeskiavot yhden leijan lentämän kieoksen ajalta mekitään jatkossakin kulmasulkeilla. Otetaan nyt käyttöön käsite leijan aeodynaaminen tehokkuus G e, joka ketoo kuinka moninketaiseksi leijan paikkavektoia vastaan kohtisuoa ilmanopeus pykii kasvamaan paikkavektoin suuntaiseen efektiiviseen tuulennopeuteen ê W e veattuna. Näin kaava (3.16) huomioiden saadaan W p e = G e V V L, (3.29) missä leijan nopeuslain keskiavovesion (3.28) mukaan leijan aeodynaaminen tehokkuus on G e L. (3.30) D + Ffic line Olkoon tämä leijan nopeuslain keskiavovesio jatkossa leijan nopeuslaki, sillä kyseessä on leijavoimalan tehoavion kannalta keskeinen kaava. Kannattaa huomata, että lentokoneista tuttua temistöä käyttäen leijan aeodynaaminen tehokkuus on leijan liitoluku L/D kojattuna köyden aiheuttaman ylimäääisen ilmanvastuksen vaikutuksella Köyden ilmanvastuksen aviointi Johdetaan seuaavaksi avio kaavoissa (3.28) ja (3.30) esiintyvälle köyden ilmanvastuksen aiheuttamalle voimakomponentille Ffic line. Käsitellään nyt köyttä suoana leijan paikkavektoin kanssa yhtyvänä tankona, jonka pyöeän poikkileikkauksen halkaisija on d line. Näin paikkavektoin pituus on samalla köyden pituus. Olkoon

23 3. Leijan nopeuslain johtaminen 15 x [0, ] köyden pituussuuntainen muuttuja. Jaetaan vielä kaavan (3.1) määittelemä tuulivektoi W = V î köyden suuntaiseen osuuteen W = (ê W)ê (3.15) = V ê ja köyttä vastaan kohtisuoaan osuuteen W = W W, jotka kaavan (3.5) mukaan ovat W = V sin θ cos φ ê ja W = V ( cos θ cos φ ê θ sin φ ê φ ). (3.31) Nyt dx-pituiseen köyden palaan kohdistuva köyttä vastaan kohtisuoa aeodynaaminen voima df lae kaavasta saadaan kijassa [6] esitetystä ja lähteessä [7] käytetystä df lae = 1 2 ρ ad line C W e (x) W e (x)dx. (3.32) Tässä C on vitaukseen nähden poikittaisen sylintein ilmanvastuskeoin ja W e (x) on köydenpätkän kokeman efektiivisen tuulen köyttä vastaan kohtisuoa pojektio, joka on pituuskoodinaatin x funktio. Leijan päässä pätee We () = We p ja geneaattoin päässä jäljellä on vain tuulen osuus We (0) = W, sillä eihän köysi voi liikkua kiinnityspisteessään poikittaiseen suuntaan. Näiden ääipäiden välillä leijan liikkeestä johtuva osuus efektiivisessä tuulessa kasvaa lineaaisesti, eli vitauksen nopeudeksi köyden ympäillä saadaan kaavan (3.7) tapaan W e (x) = W x ṙ, (3.33) missä ṙ on leijan nopeusvektoin köyttä vastaan kohtisuoa pojektio, eli ṙ = ṙ (ê ṙ)ê (3.15) = ṙ V L ê. (3.34) Kannattaa vielä huomata edellisistä kaavoista yhteys W p e = W e () (3.33) = W ṙ, joten saadaan kaava ṙ kätevän muodon = W W p e, jonka sijoittaminen kaavaan (3.33) antaa W e (x) = ( 1 x ) W + x Wp e. (3.35) Leijan köyden päähän kohdistama voimakomponentti Ffic line voidaan laskea köyteen kohdistuvien vääntömomenttien tasapainosta, jossa leijan köyden päähän kohdistaman vääntömomentin Ffic line on oltava yhtä suui kuin koko köyden ilmanvastuksen aiheuttama vääntömomentti köyden kiinnityspisteen suhteen. Tasapainotakasteluun otetaan mukaan vain vektoin W p e suuntaiset voimakomponentit, sillä F line fic on määitelty vektoin W p e suuntaiseksi komponentiksi. Näin koko köyden ilmanvastuksen aiheuttama vääntömomentti saadaan integoimalla köydenpätkään koh-

24 3. Leijan nopeuslain johtaminen 16 distuvaa vääntömomenttia x(ŵ p df lae ) pituusmuuttujan x suhteen koko köyden yli, ja voimakomponentiksi F line fic F line fic saadaan vääntömomenttitasapainon peusteella = 1 0 x(ŵ p df lae ). (3.36) Tehokkaasti toimivassa leijavoimalassa leija lentää moninketaisella nopeudella tuuleen veattuna eikä köysi ole läheskään poikittain tuuleen nähden, joten käytännössä W p e on moninketaisesti suuempi kuin W. Nain W -temin vaikutus kaavassa (3.35) on mekittävä vain pienimmillä muuttujan x avoilla, eli geneaattoin päässä, ja pienentyy nopeasti mitättömäksi muuttujan x kasvaessa. Lisäksi kaavan (3.36) integaalissa lähellä leijaa olevan köyden osan mekitys koostuu, joten voimme tehdä integaalia laskettaessa avion jonka vihe häviää muuttujan x kasvaessa. Avion (3.37) avulla saadaan kaavasta (3.32) W e (x) x Wp e, (3.37) (ŵ p df lae )(x) 1 2 ρ ad line C x Wp e (ŵ p x Wp e ) dx = 1 } {{ } 2 ρ ad line x 2 C 2 Wp e 2 dx, x Wp e ja kaavan (3.1) mukaisella paikasta iippumattomalla tuulella saadaan kaavasta (3.36) tulokseksi F line fic Leijan lentonopeus ρ ad line C x 3 2 Wp e 2 dx = 1 8 ρ ad line C W p e 2. (3.38) Kootaan vielä edellisten osioiden tuloksista kätevät kaavat leijan aeodynaamisen tehokkuuden ja ilmanopeuden laskemiseksi. Leijan ilmanopeus eli efektiivinen tuulivektoi on kaavan (3.11) mukaan W e = W p e + (ê W e )ê, josta kaavoja (3.12) ja (3.16) sekä leijan nopeuslakia (3.29) käyttämällä saadaan W e = G e V V L ŵ p + V V L ê. (3.39) Tämä kaava on paannettu vesio leijan nopeuslaista, sillä se ketoo leijan keskimäääisen ilmanopeuden komponentteina. Lyhyesti sanottuna paikkavektoia vas-

25 3. Leijan nopeuslain johtaminen 17 taan kohtisuoa ilmanopeuskomponentti W p e kasvaa leijan nopeuslain (3.29) mukaan ketoimen G e vean kaavan (3.16) mukaista paikkavektoin suuntaista komponenttia ê W e = V V L suuemmaksi. Koska kantavektoi ŵ p on määitelty kohtisuoaksi kantavektoia ê vastaan, saadaan leijan ilmanopeuden suuuudeksi yksinketaisesti W e = G 2 e + 1 V V L. (3.40) Sijoittamalla aeodynaamisen tehokkuuden kaavaan (3.30) siinä esiintyvien voimakomponenttien suuuudet kaavoista (3.10) ja (3.38) ja avioimalla köyden ilmanvastuksen kohdalla W p e W e saadaan leijan aeodynaamiselle tehokkuudelle kaava G e C L C D + C d line 4A. (3.41) Tässä avion W p e W e aiheuttama vihe pienenee muidenkin kaavojen (3.30) ja (3.38) johtamisessa tehtyjen aviointien tavoin aeodynaamisen tehokkuuden G e kasvaessa, sillä aviossa on itse asiassa jätetty ykkönen pois kaavan (3.40) neliöjuuen alta. Aeodynaamisesti tehokkaalla leijalla W e on siis vain hieman suuempi kuin W p e. Kaava (3.41) antaa näin ollen leijan aeodynaamiselle tehokkuudelle G e avion, joka alkaa olla pätevä aeodynaamisen tehokkuuden ollessa joitakin ketoja ykköstä suuempi ja takentuu aeodynaamisen tehokkuuden kasvaessa. Leijan nopeuslaki (3.39) puolestaan ketoo leijan aeodynaamisen tehokkuuden mekityksen leijan ilmanopeuden kannalta.

26 18 4. LEIJAVOIMALAN TEHOARVIO Johdetaan seuaavaksi kaava leijavoimalan mekaaniselle teholle P sähköntuotantovaiheen aikana. Kyse on siis leijan synnyttämästä mekaanisesta tehosta, joka on köyden välittämänä käytettävissä geneaattoin pyöittämiseen silloin, kun leija vetää köyttä ulos ja teho halutaan maksimoida sähkön tuottamiseksi. Tämän tehon laskemiseen voidaan käyttää mekaniikan peuskaavaa P = F gen V L, (4.1) missä F gen on köyden jännitys maassa kiinnityspisteessään ja VL on köyden vapautusnopeus eli köyden pituuden aikadeivaatta. Käytetään jatkossa köyden vapautusnopeuden VL paikalla kaavassa (3.15) määiteltyä leijan paikkavektoin suuntaista nopeuskomponenttia V L olettaen köyden kaaevuus niin vähäiseksi, ettei tästä aviosta aiheudu mekittävää vihettä. 4.1 Köyden jännitys Jännityksen muuttuminen köydessä Koska köydellä on massa, ja siihen kohdistuu aeodynaaminen voima, ei köyden jännitys ole vakio köyden ei kohdissa. Takastellaan nyt köyden jännityksen F ten muuttumista yksikkövektoin ê määäämässä suunnassa olettaen köysi lähes suoaksi. Todellisuudessahan köysi ei ole suoa, mutta köyden poikkeama leijan paikkavektoista on tehokkaasti toimivalla voimalalla vasin pieni köyden jännityksen ollessa huomattavasti muita köyteen vaikuttavia voimia suuempi. Näin köyden jännityksen leijan paikkavektoin suuntaisen komponentin F ten köyden palasen matkalla muutokseksi saadaan df ten = df lga df lae df lcf, (4.2) kun edetään geneaattoista leijaa kohti. Tässä df lae on köydenpalaseen kohdistuvan aeodynaamisen voiman paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus ja df lga vastaavasti köydenpalasen painovoiman paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus. Koska käytettävä pallokoodinaatisto on käyäviivainen, täytyy voimatasapainoon lisätä vielä köydenpalaseen kohdistuva keskipakoisvoima df lcf.

27 4. Leijavoimalan tehoavio 19 Kun otetaan käyttöön köyden pituusmassa µ, eli köyden massa jaettuna pituudella, sekä edellisestä osiosta tuttu paikkavektoin suuntaan kasvava muuttuja x [0, ], saadaan kaavan (3.6) tapaan df lga µg cos θdx, (4.3) missä on jätetty huomioimatta köyden kaaevuudesta johtuva palasen hieman muuttujan x muutosta suuempi pituus. Samoilla oletuksilla saadaan köydenpalaseen kohdistuvan keskipakoisvoiman df lcf suuuudeksi df lcf µx( θ 2 + φ 2 sin 2 θ)dx. (4.4) Keskipakoisvoiman kaava on johdettu liitteessä 1 leijalle, ja köydenpalaselle sopiva vesio saadaan kovaamalla leijan massa m köydenpalasen massalla µdx sekä leijan koodinaatti köydenpalasen vastaavalla koodinaatilla x. Köyden aeodynaamisen voiman köydensuuntainen vaikutus voidaan laskea samalla tavalla kuin kaavan (3.32) määittelemä köyttä vastaan kohtisuoa komponentti, mutta ketoimen C tilalle on laitettava köydensuuntaisen vitauksen vastusta kuvaava köyden aeodynaaminen kitkakeoin C ja vitausnopeuden komponentti on vaihdettava köydensuuntaiseksi komponentiksi W e(x), joten saadaan kijassa [6] esitetty ja lähteessä [7] käytetty kaava df lae = 1 2 ρ ad line C W e(x) 2 dx. (4.5) Koska köyden pituussuuntaista liikettä aiheutuu vain köyden pituuden muuttumisesta, eikä kaavan (3.1) määittelemä tuulivektoikaan muutu kokeuden mukana, on W e(x) vakio x:n suhteen ja näin koko köyden matkalla sama kuin leijan päässä määitelty ê W e. Näin kaavan (3.16) nojalla saadaan W e(x) = V V L (4.6) kaikilla muuttujan x avoilla. Sijoittamalla kaavat (4.3), (4.4), (4.5) ja (4.6) yhtälöön (4.2) saadaan yhtälö df ten µg cos θdx 1 2 ρ ad line C (V V L ) 2 dx µx( θ 2 + φ 2 sin 2 θ)dx, (4.7) josta integoimalla x:n suhteen puolittain koko köyden yli saadaan F ten () F ten (0) µg cos θ 1 2 ρ ad line C (V V L ) µ2 ( θ 2 + φ 2 sin 2 θ). (4.8) Tässä F ten () on köyden jännityksen paikkavektoin suuntainen komponentti leijan

28 4. Leijavoimalan tehoavio 20 päässä eli köyden leijaan paikkavektoin suunnassa kohdistaman voiman suuuus F line, joten mekitään F ten () = F line. Avioidaan lisäksi geneaattoin saamaa köy- (0), eli ottamalla mukaan den jännitystä F gen hieman alaspäin aviolla F gen F ten vain paikkavektoin suuntainen voima. Näin kaavasta (4.8) saadaan köyden jännitykselle geneaattoilla kaava F gen F line = F line ρ ad line C (V V L ) µ2 ( θ 2 + φ 2 sin 2 θ) µg cos θ + F lae + F lcf F lga, (4.9) missä F lae 1ρ 2 ad line C (V V L ) 2 on koko köyteen kohdistuvan paikkavektoin suuntaisen aeodynaamisen voiman suuuus, F lcf 1 2 µ2 ( θ 2 + φ 2 sin 2 θ) koko köyteen kohdistuvan keskipakoisvoiman suuuus ja F lga µg cos θ on koko köyden painovoiman paikkavektoin suuntaisen komponentin suuuus. Kaikissa näissä voimissa köyden pituutta avioidaan hieman alaspäin leijan etäisyydellä kiinnityspisteestä, mutta voimien vastakkaisen vaikutuksen takia nämä pienet aviot osittain kumoavat toisensa Paikkavektoin suuntainen voimatasapaino leijassa Takastellaan seuaavaksi paikkavektoin suuntaista voimatasapainoa leijassa voiman F line laskemiseksi. Oletetaan nyt, että köyttä vapautetaan maassa vakionopeudella sähköntuotantovaiheen aikana, jolloin leijalla ei ole kiihtyvyyttä paikkavektoin suunnassa. Näin ollen tasapainoehtona leijaan vaikuttavien paikkavektoin suuntaisten voimakomponenttien on kumottava toisensa. Leijaan vaikuttavia paikkavektoin suuntaisia voimakomponentteja ovat köyden jännityksen komponentin F line = F line ê (4.10) lisäksi kaavan (3.18) mukainen aeodynaamisen voiman komponentti F ae = (L cos α + D sin α)ê = F ae ê (4.11) sekä kaavan (3.6) mukainen leijan painovoiman komponentti F ga = mg cos θ ê = F ga ê. (4.12) Näiden todellisten voimien lisäksi on otettava mukaan käytössä olevan pallokoodinaatiston käyäviivaisuuden takia keskipakoisvoima, joka pallokoodinaatistossa on kaavan (4.4) tavoin liitteessä 1 johdettu F cf = m( θ 2 + φ 2 sin 2 θ)ê = F cf ê. (4.13)

29 4. Leijavoimalan tehoavio 21 + F cf = 0 saadaan leijan köyteen koh- Näin tasapainoehdosta F line + F ae distaman voiman suuuudeksi + F ga F line = F ae F ga + F cf. (4.14) 4.2 Keskimäääinen teho sähköntuotantovaiheessa Edellisten leijan paikkavektoin suunnassa tehtyjen voimatasapainolaskujen peusteella saadaan kaavoista (4.1), (4.9) ja (4.14) leijavoimalan hetkelliselle mekaaniselle teholle kaava P = F gen V L = V L ( F ae F ga F lga + F lae + F cf + F lcf), (4.15) jossa esiintyvät voimakomponenttien suuuudet voidaan laskea kaavojen (4.9), (4.11), (4.12) ja (4.13) avulla. Takoituksena on kuitenkin johtaa avio leijavoimalan keskimäääiselle mekaaniselle teholle P sähköntuotantovaiheen aikana, joten lasketaan hetkellisen tehon aikakeskiavo yhden leijan lentämän kieoksen ajalta. Tehon aikakeskiavohan lasketaan jakamalla hetkellistä tehoa ajan suhteen integoimalla saatava kieoksen aikana tuotettu enegia kieosajalla, eli P = 1 T T 0 P (t)dt, (4.16) missä T on leijan lentämään kieokseen kuluva aika. Sijoittamalla kaavassa (4.15) oleva voimien avulla ilmaistu hetkellinen teho kaavaan (4.16) ja olettamalla köyden vapautusnopeus V L edellisten laskujen tavoin vakioksi ajan suhteen saadaan keskimäääiselle teholle kaava P = V L ( F ae F ga F lga + F lae + F cf + F lcf ). (4.17) Tässä voimakomponenttien suuuuksien aikakeskiavot lasketaan tehon keskiavon tavoin jakamalla kieosajalla suueen integaali ajan suhteen kieoksen ajalta Paikkavektoin suuntaiset keskimäääiset voimat Johdetaan seuaavaksi leijaan kohdistuvan aeodynaamisen voiman paikkavektoin suuntaisen komponentin keskimäääiselle suuuudelle F ae leijan nopeuslakia (3.29) käyttämällä kaava, jossa ei esiinny kulmaa α. Sijoitetaan aluksi kaavaan (4.11) nostovoiman ja ilmanvastuksen suuuudet kaavasta (3.10), jolloin saadaan muoto F ae = 1 ) 2 ρ aa W e (C 2 L cos α + C D sin α.

30 4. Leijavoimalan tehoavio 22 Kulmasta α päästään nyt eoon sijoittamalla cos α kaavasta (3.14) ja sin α kaavasta (3.16), jolloin päästään muotoon F ae = 1 ( ) 2 ρ aa W e C L We p + C D (V V L ). Siiytään seuaavaksi takastelemaan keskiavoja, jolloin saadaan takka kaava F ae = 1 ( ) 2 ρ aa C L W e We p + C D W e (V V L ). Avioidaan sitten tulojen keskiavoja keskiavojen tuloilla, jolloin eityisesti avio W e W p e W e W p e aiheuttaa hieman todellista pienemmän keskimäääisen voiman. Näin saadaan avio F ae 1 ( ) 2 ρ aa C L W e We p + C D W e V V L, josta saadaan leijan nopeuslain muotojen (3.29) ja (3.40) sijoittamisella kaava F ae 1 2 ρ aa G 2 e + 1 V V L 2 (C L G e + C D ). Lopputuloksen yksinketaistamiseksi tehdään vielä avio ( C L G e + C D = C L G e 1 + C ) D C L G e, C L G e missä pois jätettävä temi on liitoluvun neliön käänteislukua pienempi ja näin aeodynaamisesti tehokkaalla leijalla paljon ykköstä pienempi. Näin saadaan paikkavektoin suuntaisen aeodynaamisen voiman suuuudelle hyödyllinen kaava F ae 1 2 ρ aac L G e G 2 e + 1 V V L 2. (4.18) Kaava (4.18) antaa avion yhdelle tehokaavassa (4.17) esiintyvistä voimakomponenttien keskimäääisistä suuuuksista, joten kootaan seuaavaksi aviot muillekin kaavassa (4.17) esiintyville voimakomponenttien suuuuksien keskiavoille tehoavion laskemiseksi. Painovoimakomponenteille saadaan yksinketaisesti aviot F ga mg cos θ ja F lga µ g cos θ, (4.19) joissa θ on keskimäääinen pystysuoan ja leijan paikkavektoin välinen kulma leijan lentoadalla, eli pystysuoan ja leijan paikkavektoin välinen kulma lentoadan keskellä. Lisäksi on köyden keskimäääinen pituus yhden leijan lentämän kieoksen aikana. Köyteen kohdistuvan köydensuuntaisen aeodynaamisen voiman keskiavok-

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18)

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) 8. a) Jännitemittai kytketään innan lampun kanssa. b) Vitamittai kytketään sajaan lampun kanssa. c) I 1 = 0,51 A, I =? Koska lamput ovat samanlaisia, sähkövita jakautuu

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

HYDRODYNAMIIKKA 763654S. Erkki Thuneberg

HYDRODYNAMIIKKA 763654S. Erkki Thuneberg HYDRODYNAMIIKKA 763654S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on https://wiki.oulu.fi/display/763654s/etusivu Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste),

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

K = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa

K = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa Sallitut apuvälineet: kijoitusvälineet ja gaafinen laskin. Muun oman mateiaalin tuominen ei sallittu. Tämä on fysiikan kussi, joten desimaalilleen oikeaa numeeista vastausta täkeämpää on että osoitat ymmätäneesi

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori.

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori. Tykillä ampuminen Mallinnettaessa heittoliikettä, kuten esimerkiksi tykillä ampumista, keskeisinä vaikuttavina tekijöinä ovat painovoima sekä ilmanvastuksen aiheuttama nopeuelle vastakkaissuuntainen voima.

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulivoimalatyypeistä: Miksi vaaka-akselinen, miksi kolme lapaa? Aerodynamiikkaa: Tuulivoimalan roottorin lapasuunnittelun

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa Antennit osana viestintäjärjestelm ää Antennien pääk äy ttö tark o itu s o n to im inta v iestintäjärjestelm issä. V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

9 Klassinen ideaalikaasu

9 Klassinen ideaalikaasu 111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa: Kevään 06 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspie CAS -atkaisut Nämä atkaisut tety alusta loppuun TI-Nspie CX CAS -ojelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Takoituksena on avainnollistaa, miten

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Olemme työskennelleet todella paljon viimeiset vuodet Iso-Britanniassa, ja ollakseni rehellinen, työ on vielä kesken.

Olemme työskennelleet todella paljon viimeiset vuodet Iso-Britanniassa, ja ollakseni rehellinen, työ on vielä kesken. Purjeet ja riki Olemme kääntäneet tämän tekstin ruotsinkielisestä artikkelista. http://www.swe.magicmicro.org/e107_files/public/segeltips.pdf Ruotsalaiset ovat keränneet eri MM-sivustoilta artikkeleita,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kuudennen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan energiantuotanto-odotukset AIHEESEEN LIITTYVÄ TERMISTÖ (1/2)

SMG-4500 Tuulivoima. Kuudennen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan energiantuotanto-odotukset AIHEESEEN LIITTYVÄ TERMISTÖ (1/2) SMG-4500 Tuulivoima Kuudennen luennon aihepiirit Tuulivoimalan energiantuotanto-odotukset Aiheeseen liittyvä termistö Pinta-alamenetelmä Tehokäyrämenetelmä Suomen tuulivoimatuotanto 1 AIHEESEEN LIITTYVÄ

Lisätiedot

Tuulivoima. Energiaomavaraisuusiltapäivä 20.9.2014. Katja Hynynen

Tuulivoima. Energiaomavaraisuusiltapäivä 20.9.2014. Katja Hynynen Tuulivoima Energiaomavaraisuusiltapäivä 20.9.2014 Katja Hynynen Mitä on tuulivoima? Tuulen liike-energia muutetaan toiseen muotoon, esim. sähköksi. Kuva: http://commons.wikimedia.org/wiki/file: Windmill_in_Retz.jpg

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot