Helsingin, Joensuun, Jyväskylän, Oulun ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Helsingin, Joensuun, Jyväskylän, Oulun ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 1.6.2009"

Transkriptio

1 Helsingin, Joensuun, Jyväskylän, Oulun ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe A ostaa omakotitalon. Saadakseen kauppaan tarvittavat rahat hän myy kerrostalohuoneistonsa, josta hän saa 0 % ostettavan talon hinnasta. Myynnistä saamillaan tuloilla hän maksaa pois autolainansa euroa ja kiinteistönvälittäjän palkkion % myydyn huoneiston hinnasta. Ostamiseen A käyttää jäljelle jäävät rahat sekä pankkilainan, jota hänelle on myönnetty 70 % ostettavan talon hinnasta. Kuinka paljon A:n ostama omakotitalo maksoi?. Ratkaise epäyhtälö x x 3 x Laske käyrien y = x x + 11 ja y = x + 8x 13 rajoittaman alueen pinta-ala.. Laatikossa on 8 mustaa ja 8 valkoista palloa. Esiin nostetaan kolme palloa palauttamatta niitä laatikkoon. Millä todennäköisyydellä nostettujen pallojen joukossa on sekä musta että valkoinen pallo?. Kolmion sivujen pituudet ovat, ja. Laske kolmion pinta-alan tarkka arvo.

2 Mallivastaukset 1. Olkoon x omakotitalon hinta. Tällöin A:n asunnostaan saama hinta on 0 70 x, lainan määrä x ja välityspalkkio 0 x = x (p). Yhtälöksi saadaan x x x 1000 = x, 100 (p) mikä sievenee muotoon x = 1000, ja ratkaisuksi saadaan x = (p). Arvaus tai kokeilu ilman yhtälöä: 0p.. Nollakohdat etsimällä selviää, että vasemman puolen nimittäjä on negatiivinen kun x < 3 ja positiivinen kun x > 3 ja osoittaja ilman itseisarvoja negatiivinen välillä ( 1, 3) (p). Jaetaan reaaliakseli nollakohtien avulla neljään väliin: (a) x 1, jolloin epäyhtälö saa muodon x x 3 x 3 x x 0 x 0 x, epäyhtälö pätee siis koko välillä (, 1]. (b) 1 < x < 3, jolloin epäyhtälö saa muodon (c) 3 x + x + 3 x 3 x x. Koska < < 3, pätee epäyhtälö myös välillä ( 1, 3 ). < x 3, mikä johtaa muotoon x + x + 3 x 3 x x. Ratkaisujoukon ja tarkasteluvälin leikkaus on [, 3]. (d) x > 3. Epäyhtälö saa muodon x x 3 x 3 x x 0 x 0 x jolloin siis ratkaisujoukon ja tarkasteluvälin leikkaus on (3, ]. (a) & (b) p, (c) p, (d) p. Osaratkaisut yhdistämällä saadaan ratkaisujoukoksi (, 3 ) [, ] (p). Nimittäjän kertominen pois sen merkistä piittaamatta: max p 3. Käyristä ensimmäinen on ylöspäin ja jälkimmäinen alaspäin aukeava paraabeli. Leikkauspisteiden x-koordinaatit saadaan selville ratkaisemalla yhtälö x x+11 = x +8x 13 x 7x+1 = 0 x {3, } (p).

3 Kysytty ala saadaan täten integraalina = = 3 3 / 3 (( x + 8x 13) (x x + 11))dx ( x + 1x )dx (p) ( 3 x3 + 7x x) (3p) = 3 (3 3 3 ) + 7( 3 ) ( 3) = 1 3. (3p). Ratkaisu 1: Ensiksi voidaan todeta, että (p) ja sitten P(erivärisiä palloja) = 1 P(samanväriset pallot) P(samanväriset pallot) = P(3 valkoista palloa) + P(3 mustaa palloa). (p) Edelleen, P(3 valkoista palloa) = P(3 mustaa palloa) (p) ja P(3 valkoista palloa) = = 1 10 (p) Kokoamalla kaikki yhteen nähdään, että kysytty todennäköisyys on (p). Ratkaisu : 1 10 = 80 % P = P(( mustaa ja 1 valkoinen) tai (1 musta ja valkoista)) (p) = P(MMV ) + P(MV M) + P(V MM) + P(V V M) + P(V MV ) + P(MV V ) (p) = = 1 =. (p). Ratkaisu 1: Käytetään korkeuden laskemiseksi seuraavia merkintöjä: Tällöin a + h = ja ( a) + h = (yhtälöt h:n määräämiseksi p). Jälkimmäinen yhtälö sievenee muotoon 1a + a + h = 0 ja

4 h a ensimmäisestä saadaan a = h. Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön saadaan mikä edelleen sievenee muotoon 1 h + h + h = 0, h = 1 Tällöin siis h = ( 1 ), mistä h = = 17 ja h = 17 = (h ratkaistu oikein p). Pinta-ala on siis 1 7 = 1 7 (p). Ratkaisu : Merkitään α:lla - ja -pituisten sivujen välistä kulmaa. Tällöin kosinilauseen mukaan on = + cos α (p), josta cos α = 1 1. Tällöin sin α = ( ) 1, 8 8 joten sin α = 3 7 (p). Kysytty 8 pinta-ala on siis = 1 7 (p). 8 Ratkaisu 3: Kolmion piiri on + + = 1, joten Heronin kaava antaa pinta-alaksi 1 (1 )(1 )(1 ) = = 7. Kaavan muistaminen oikein: 9p, laskut 3p. Heronin kaava, jossa piirin puolikkaan sijaan koko piiri: max 3p. Ratkaisu : Kolmion luuleminen kuvan perusteella suorakulmaiseksi ja vastaus 1 = 10, 0p.

5 Helsingfors, Joensuu, Jyväskylä, Uleåborg och Åbo universitet Urvalsprovet i matematik A köper ett egnahemshus. För att få ihop köpepriset säljer han sin lägenhet i ett våningshus, vilket ger honom 0 % av köpepriset. Av försäljningsinkomsten betalar han sitt billån om euro och fastighetsförmedlarens provision á % av den sålda lägenhetens pris. För att köpa huset använder han resten av pengarna och ett banklån som han har fått. Banklånet täcker 70 % av egnahemshusets pris. Hur mycket kostade egnahemshuset?. Lös följande olikhet x x 3 x Beräkna ytan som begränsas av kurvorna y = x x + 11 och y = x + 8x 13.. En ask innehåller 8 svarta och 8 vita bollar. Ur asken tas utan återläggning tre bollar. Vad är sannolikheten att det finns både en svart boll och en vit boll bland de tre dragna bollarna?. Triangelns sidor är, och. Beräkna triangelns exakta yta.

6 Modellsvar 1. Låt x vara egnahemshusets pris. Antag att A:s lägenhets pris är 0 x, 100 lånet 70 x och fastighetsförmedlarens provisionen 0 x = x (p) Som ekvation fås (p) vilken kan hyfsas till med lösningen x = (p) x x x 1000 = x, x = 1000, En gissning eller försök utan ekvation: 0p.. Vid sökning av nollställen, ser man att nämnaren på vänstra sidan är negativ för x < 3 och positiv för x > 3. Täljaren utan absolutbelopptecknen är negativ i intervallet ( 1, 3) (p). Därefter indelas reella axeln i fyra intervall: (a) x 1, tar olikheten formen x x 3 x 3 x x 0 x 0 x, d.v.s. olikheten gäller i hela intervallet (, 1]. (b) 1 < x < 3, tar olikheten formen (c) 3 x + x + 3 x 3 x x. Eftersom < < 3, gäller olikheten även i intervallet ( 1, 3 ). < x 3, fås följande villkor x + x + 3 x 3 x x. varvid lösningsmängdens och definitionsmängdens snitt är [, 3]. (d) x > 3, fås följande olikhet x x 3 x 3 x x 0 x 0 x varvid lösningsmängdens och definitionsmängdens snitt är (3, ]. (a) & (b) p, (c) p, (d) p. Genom att sammanfatta delresultaten a)-d) fås lösningsmängden (, 3 ) [, ] (p). Nämnaren multiplicerad utan att tecken har förklarats: max p

7 3. Den första kurvan är en parabel som öppnar uppåt och den andra en parabel som öppnar neråt. Skärningspunkternas x-koordinater fås genom att lösa ekvationen x x + 11 = x + 8x 13 x 7x + 1 = 0 x {3, } (p). Den sökta ytan fås från integralen = = 3 3 / 3 (( x + 8x 13) (x x + 11))dx ( x + 1x )dx (p) ( 3 x3 + 7x x) (3p) = 3 (3 3 3 ) + 7( 3 ) ( 3) = 1 3. (3p). Lösning 1: Först kan noteras att (p) och sedan P(olikfärgade bollar) = 1 P(bollarna har samma färg) P(bollarna har samma färg) = P(3 vita bollar) + P(3 svarta bollar). (p) Vidare, P(3 vita bollar) = P(3 svarta bollar) (p) och P(3 vita bollar) = = 1 10 (p) Varefter fås att den efterfrågade sannolikheten är (p). Lösning : 1 10 = 80 % P = P(( svarta och 1 vit) eller (1 svart och vita)) (p) = P(SSV ) + P(SV S) + P(V SS) + P(V V S) + P(V SV ) + P(SV V ) (p) = = 1 =. (p)

8 . Lösning 1: För beräkning av höjden används följande beteckningar: h a Varvid a + h = och ( a) + h = (ekvationen för att lösa h p). Den andra ekvationen kan hyfsas till 1a + a + h = 0 och den första ger a = h. Genom att substituera detta a i den andra ekvationen fås 1 h + h + h = 0, vilken kan hyfsas till h = 1 d.v.s. h = ( 1 ), som ger h = = 17 och h = 17 = (h löstes rätt p). Varefter ytan kan beräknas 1 7 = 1 7 (p). Lösning : Låt α beteckna vinkeln mellan sidorna med längderna och. Då ger cosinussatsen = + cos α (p), som ger att cos α = 1 1. sin α = ( ) 1, 8 8 ger att sin α = 3 7 (p). Den eftersökta 8 ytan är därmed = 1 7 (p). 8 Lösning 3: Triangelns perimeter är + + = 1, Herons formel ger ytan 1 (1 )(1 )(1 ) = = 7 Formeln mindes rätt: 9p, talen rätt 3p. Herons formeln med perimeter i stället för semiperimeter: max 3p. Lösning : Ifall triangeln antas vara rätvinklig och svaret är 1 = 10, 0p.

9 Helsinki, Joensuu, Jyväskylä, Oulu, and Turku university Entrance examination in mathematics A is buying a house. To collect the money for the transaction he sells his apartment, which gives him 0% of the house price. He uses a part of this income to pay off his car loan of euros and to pay the commission of the estate agent, which is % of the sold apartment price. To buy the house A spends the rest of the money and the mortgage, which covers 70% of the house price. How much the house A bought cost?. Solve the following inequality: x x 3 x Find the area bounded by the curves y = x x + 11 and y = x + 8x 13.. An urn contains 8 black and 8 white balls. Three balls are drawn out without returning them. What is the probability that there is a black and a white ball among the three drawn balls?. The sides of the triangle are,, and. Find the exact area of the triangle.

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 9.5.007 klo 14-17 Sarja A Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Arkeologian valintakoe 2015

Arkeologian valintakoe 2015 Sukunimi Kaikki etunimet Henkilötunnus Puhelinnumero Valintatoimiston merkintöjä KAR A (C) Sähköpostiosoite Helsingin yliopisto Humanistinen tiedekunta Arkeologian valintakoe 2015 Tarkista sivunumeroiden

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

AMPLYVOX DOOR ENTRY SYSTEMS, ROOM UNITS

AMPLYVOX DOOR ENTRY SYSTEMS, ROOM UNITS AMPLYVOX-OVIPUHELINJÄRJESTELMÄN HUONEKOJEET AMPLYVOX-PORTTELEFONSYSTEM, PORTTELEFONER AMPLYVOX DOOR ENTRY SYSTEMS, ROOM UNITS Amplyvox Elite. Huippumuotoilua Milanosta. Design by Sandro Danesi. Amplyvox

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

1. 3 4 p.: Kansalaisjärjestöjen ja puolueiden ero: edelliset usein kapeammin tiettyyn kysymykseen suuntautuneita, puolueilla laajat tavoiteohjelmat. Puolueilla keskeinen tehtävä edustuksellisessa demokratiassa

Lisätiedot

Yhteiskuntatieteen valintakoe Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun rakennetun ympäristön hakukohteeseen pyrkiville klo 9-12.

Yhteiskuntatieteen valintakoe Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun rakennetun ympäristön hakukohteeseen pyrkiville klo 9-12. Yhteiskuntatieteen valintakoe Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun rakennetun ympäristön hakukohteeseen pyrkiville 31.5.2016 klo 9-12. Urvalsprovet i samhällsvetenskap för sökande till ansökningsalternativet

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Älä koske näihin tehtäväpapereihin ennen kuin valvoja antaa luvan aloittaa koevastausten laatimisen.

Älä koske näihin tehtäväpapereihin ennen kuin valvoja antaa luvan aloittaa koevastausten laatimisen. Taidehistoria Älä koske näihin tehtäväpapereihin ennen kuin valvoja antaa luvan aloittaa koevastausten laatimisen. Nämä tehtäväpaperit ovat suomeksi. Hieman ennen kokeen alkamista valvoja kysyy haluaako

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1256/2001 vp Palkansaajan järjestäytymättömyys ammattiliittoihin Eduskunnan puhemiehelle Perustuslaki turvaa oikeuden olla järjestäytymättä ammattiliittoon. Käytännössä valinnanvapautta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Resultat från kundnöjdhetsenkäten / Asiakastyytyväisyyskyselyn tuloksia Stadsstyrelsens sektion för servicetjänster / Kaupunginhallituksen

Resultat från kundnöjdhetsenkäten / Asiakastyytyväisyyskyselyn tuloksia Stadsstyrelsens sektion för servicetjänster / Kaupunginhallituksen Resultat från kundnöjdhetsenkäten / Asiakastyytyväisyyskyselyn tuloksia Stadsstyrelsens sektion för servicetjänster / Kaupunginhallituksen palvelutoimintojaosto 9.3.2015 Kundnöjdhetsenkäten har genomförts

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 345/2013 vp Osasairauspäivärahan maksaminen vuosiloman ajalta Eduskunnan puhemiehelle Sairausvakuutuslain mukaan osasairauspäivärahaa maksetaan vähintään 12 arkipäivän yhtäjaksoiselta

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

OMRÅDESEFFEKTIVITET OCH EXPLOATERINGSTALET ALUETEHOKKUUS JA TEHOKKUUSLUKU. k-m² eª = m². m²-vy

OMRÅDESEFFEKTIVITET OCH EXPLOATERINGSTALET ALUETEHOKKUUS JA TEHOKKUUSLUKU. k-m² eª = m². m²-vy ALUETEHOKKUUS JA TEHOKKUUSLUKU OMRÅDESEFFEKTIVITET OCH EXPLOATERINGSTALET Aluetehokkuusluku (eª) ilmaisee rakennusten kokonaispinta-alan suhteessa maa-alueen pinta-alaan. Tehokkuusluku kuvaa siten kaavoitetun

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Näin palaa Ecoteck-pellettitakka Så här brinner en Ecoteck-pelletskamin

Näin palaa Ecoteck-pellettitakka Så här brinner en Ecoteck-pelletskamin Amalfi 11,3 kw. Päälämmönlähde saaristomökillä / Huvudvärmekälla i en stuga i skärgården Snella 11 kw. Sähkölämmitteisen omakotitalon keittiössä / I köket i ett eluppvärmt egnahemshus. Monica 8,5 kw. Sähkölämmitteisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 62/2003 vp Pehmytkudosreuman lääkitys Kela-korvauksen piiriin Eduskunnan puhemiehelle Pehmytkudosreuman (fibromyalgian) hoitoon käytettävät lääkkeet eivät kuulu Kelan erityiskorvattavien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Staden Jakobstad - Pietarsaaren kaupunki

Staden Jakobstad - Pietarsaaren kaupunki Sakägare/ Asianosainen Ärende/ Asia - VALREKLAM INFÖR RIKSDAGSVALET 2015 - VAALIMAI- NONTA ENNEN EDUSKUNTAVAALEJA 2015, TILLÄGG / LISÄYS Det finns tomma reklamplatser kvar i stadens valställningar och

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

A5 Yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 esiintyvät kertoimet a, b, c saavat arvoja joukosta

A5 Yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 esiintyvät kertoimet a, b, c saavat arvoja joukosta Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 22 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 3.5.22 klo 4-7. Sarja A-FI Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse, jos tehtävä jatkuu

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

96 23.10.2013 344 05.11.2013 59 04.06.2014 191 17.06.2014 6 28.01.2015

96 23.10.2013 344 05.11.2013 59 04.06.2014 191 17.06.2014 6 28.01.2015 Maankäyttöjaosto/ Kunnanhallitus/Kommunstyrel sen Maankäyttöjaosto/ Kunnanhallitus/Kommunstyrel sen Maankäyttöjaosto/ 96 23.10.2013 344 05.11.2013 59 04.06.2014 191 17.06.2014 6 28.01.2015 Pähkinälehdon

Lisätiedot

BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE

BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE Ver. 003-200311 Nr/Nro: 32-6826 Multiport USB-2.0 för 2,5 HDD USB 2.0 Multiportti 2,5 HDD -asemille Modell/Malli: FT-KUH-K36G SE Beskrivning: Du har nu köpt en produkt som står

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Varia Home Collection. Varia

Varia Home Collection. Varia Home Collection Varia KAUNIS VARIA BEAUTIFUL VARIA VACKRA VARIA 2 Varia Home Collection -mallistossa näkyvät tämän päivän selkeät sisutustrendit. Suorat linjat ja Nurmelan laadukas viimeistely yhdistyvät

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 431/2001 vp Yrittäjien asema uudessa aikuiskoulutustuessa Eduskunnan puhemiehelle Työllisyyden hoito on merkittävä osa köyhyyden torjuntaa. Pienyritteliäisyyttä on siten tuettava, jotta

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1231/2010 vp Vuosilomapalkkasäännösten saattaminen vastaamaan Euroopan unionin tuomioistuimen tuomiota C-486/08 Eduskunnan puhemiehelle Euroopan unionin tuomioistuin (EUT) on jo 22.4.2010

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Henkilötunnus Personbeteckning. Postinumero ja -toimipaikka Postnummer och -anstalt. Ammattinimike Yrkesbeteckning

Henkilötunnus Personbeteckning. Postinumero ja -toimipaikka Postnummer och -anstalt. Ammattinimike Yrkesbeteckning TYÖNANTAJA ABETSGIVAE TYÖTTÖMYYSKASSAN JÄSENEKSI / VALTAKIJA AY-JÄSENMAKSUN PEIMISEKSI / MUUTOSILMOITUS ANSLUTNINGSBLANKETT FÖ MEDLEMSKAP I JYTYS MEDLEMSFÖENING OCH OFFENTLIGA OCH PIVATA SEKTONS FUNKTIONÄES

Lisätiedot

IDO Showerama Suihkukaappi Duschkabin

IDO Showerama Suihkukaappi Duschkabin 4981908 4985022982 4985023982 4985025982 4985022891 4985023891 4985026891 5831472 5841540 5841545 5841549 5841521 5841531 5841526 ca 8 kg Valkoiseksi lakatut alumiiniprofiilit Pilari saatavana valkoisena,

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Pro Radio Oy Turku (Turku 105,5 MHz, Salo 105,2 MHz) liite 2. Turku (Loimaa 106,8 MHz, Mynämäki 96,2 MHz, Turku 100,1 MHz) liite 3

Pro Radio Oy Turku (Turku 105,5 MHz, Salo 105,2 MHz) liite 2. Turku (Loimaa 106,8 MHz, Mynämäki 96,2 MHz, Turku 100,1 MHz) liite 3 TOIMILUVAT ANALOGISEEN RADIOTOIMINTAAN Varsinais-Suomi Iniön kunta Iniö (Iniö 99,0 MHz) liite 1 Pro Radio Oy Turku (Turku 105,5 MHz, Salo 105,2 MHz) liite 2 Pro Radio Oy Turku (Loimaa 106,8 MHz, Mynämäki

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 413/2007 vp Kela-korvattavat lääkkeet ja perhekohtainen omavastuu Eduskunnan puhemiehelle Joissakin sairauksissa on se tilanne, ettei Kelan korvauksen piirissä oleva lääke anna sitä

Lisätiedot

Klassikko jo syntyessään. Klassiker från början.

Klassikko jo syntyessään. Klassiker från början. Klassikko jo syntyessään. Klassiker från början. Materiaalina umpipuu sekä takorautaiset metalliosat. Råmaterial massivt trä och metallbeslag av smidesjärn. Rustiina- tuotesarjassa ruokaryhmät, penkit

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1012/2010 vp Eläkkeiden maksun myöhästymiset Eduskunnan puhemiehelle Eläkkeiden maksuissa on ollut paljon ongelmia tänä vuonna. Osa eläkeläisistä on saanut eläkkeensä tililleen myöhässä

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 159/2012 vp Aikuisen ADHD-potilaan metyylifenidaattilääkityksen korvaaminen Eduskunnan puhemiehelle ADHD aiheuttaa keskittymishäiriötä, se myös hankaloittaa ja vaikeuttaa ihmiselämän

Lisätiedot

Maankäyttöjaosto/ Markanvändningssektionen Kunnanhallitus/Kommunstyrel sen Maankäyttöjaosto/ Markanvändningssektionen Kunnanhallitus/Kommunstyrel sen 106 09.12.2015 265 15.12.2015 43 20.04.2016 214 26.04.2016

Lisätiedot

RS04396001tFI. Saantitodistuskirje Brev med mottagningsbevis. Kuitti lähettäjälle Avsändarens kvitto

RS04396001tFI. Saantitodistuskirje Brev med mottagningsbevis. Kuitti lähettäjälle Avsändarens kvitto Vain kotimaisessa liikenteessä Endast i inrikes posttrafik Poista tarran suojapaperi ja kiinnitä kostuttamatta tasaiselle pinnalle. Lösgör dekalens skyddspapper och fäst på en jämn yta utan att fukta.

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 546/2010 vp Kuljettajantutkintojen kilpailuttaminen Eduskunnan puhemiehelle Liikenteen turvallisuusvirasto Trafi kilpailuttaa kuljettajantutkintojen vastaanottamisen 19 maakunnassa,

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 820/2013 vp Työosuuskunnassa työskentelevän työttömyysturva Eduskunnan puhemiehelle Työosuuskunta on liiketoimintaa harjoittava yritys ja työorganisaatio, joka on perustettu muodostamaan

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 845/2006 vp Internetin hankkiminen yhteydenpitoon työvoimaviranomaisten kanssa Eduskunnan puhemiehelle Työttömän työnhakijan piti lähettää työvoimaviranomaiselle kuittaus sähköisen

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN

VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN Hyvä kotiväki Koti ja perhe ovat lapsen tärkein kasvuympäristö ja yhteisö. Kodin ohella päivähoidon on oltava turvallinen paikka, jossa lapsesta sekä

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 110/2007 vp Alkoholin liikakäyttöön puuttuminen työpaikoilla Eduskunnan puhemiehelle Suomessa saattaa olla Työterveyslaitoksen selvityksen mukaan jopa 500 000 700 000 alkoholin suurkuluttajaa.

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Ovelle-paketti Till Dörren-paket

Ovelle-paketti Till Dörren-paket Poista tarran suojapaperi ja kiinnitä kostuttamatta tasaiselle pinnalle. Lösgör dekalens skyddspapper och fäst på en jämn yta utan att fukta. Lähettäjä Avsändare Vastaanottaja Mottagare (Päivisin På dagarna)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1254/2001 vp Osa-aikalisän myöntämisen perusteet Eduskunnan puhemiehelle Kun osa-aikalisäjärjestelmä aikoinaan otettiin käyttöön, sen yhtenä perusteena oli lisätä työssä jaksamista

Lisätiedot

Kauppatori - Suomenlinna

Kauppatori - Suomenlinna 12.8.-15.9.2013 & 30.4.-15.6.2014 8 20 50 8 00 40 9 20 40 9 10 40 10-11 00 20 40 10-11 00 20 40 1 20 1 20 13-14 00 20 40 13-14 00 20 40 15 00 20 15 00 20 50 16-18 00 20 40 16 20 40 19 00 20 17-18 00 20

Lisätiedot

www.rosknroll.fi 0201 558 334

www.rosknroll.fi 0201 558 334 www.rosknroll.fi 0201 558 334 Rollella ei ole peukalo keskellä kämmentä, joten lähes kaikki rikki menneet tavarat Rolle korjaa eikä heitä pois. Etsi kuvista 5 eroavaisuutta! Rolle har inte tummen mitt

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Talousarvio & taloussuunnitelma 2016 Terveydenhuolto. Paraisten kaupunki TERVEYDENHUOLTO

Talousarvio & taloussuunnitelma 2016 Terveydenhuolto. Paraisten kaupunki TERVEYDENHUOLTO TERVEYDENHUOLTO Sosiaali- ja terveyslautakunta Sosiaali- ja terveysosasto, Paula Sundqvist, Sosiaali- ja terveysjohtaja Katariina Korhonen, ylilääkäri Toiminta Perusterveydenhuolto ja sairaanhoito kaikille

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 281/2011 vp Lapsettomien leskien leskeneläkkeen ikärajojen laajentaminen Eduskunnan puhemiehelle Lapsettomien leskien leskeneläkettä saavat tämänhetkisen lainsäädännön mukaan 50 65-

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 528/2006 vp Talous- ja velkaneuvonnan valtionosuuden kohdentaminen Enon kunnalle Eduskunnan puhemiehelle Valtion talousarviossa on määräraha talous- ja velkaneuvontaan. Lääninhallitusten

Lisätiedot

FORMULA Formula-saunasisustuksen asennusohje Monteringsanvisningar för Formula-bastuinredning

FORMULA Formula-saunasisustuksen asennusohje Monteringsanvisningar för Formula-bastuinredning FORMULA Formula-saunasisustuksen asennusohje Lue myös Yleiset asennusohjeet. Tarkista laudekorkeus laudesuunnitelmastasi. Ohjeessa on käytetty vakiolaudekorkeuksia. Monteringsanvisningar för Formula-bastuinredning

Lisätiedot

Kaikkien aikojen Porvoo Alla tiders Borgå OMAKOTITONTTIEN LUOVUTUS ÖVERLÅTNING AV EGNAHEMSTOMTER

Kaikkien aikojen Porvoo Alla tiders Borgå OMAKOTITONTTIEN LUOVUTUS ÖVERLÅTNING AV EGNAHEMSTOMTER Kaikkien aikojen Porvoo Alla tiders Borgå OMAKOTITONTTIEN LUOVUTUS ÖVERLÅTNING AV EGNAHEMSTOMTER PORVOON OMAKOTITONTTIEN LUOVUTUS ÖVERLÅTELSE AV EGNAHEMSTOMTER I BORGÅ Luovutuspäätös 20.10.2014 (kaupunkikehityslautakunta

Lisätiedot

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 KOE 2: Ympäristöekonomia KANSANTALOUSTIEDE JA MATEMATIIKKA Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1355/2001 vp Ulkomaaneläkkeiden sairausvakuutusmaksut Eduskunnan puhemiehelle EU:n tuomioistuimen päätös pakottaa Suomen muuttamaan niiden eläkeläisten verotusta, jotka saavat eläkettä

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1258/2001 vp Kelan asumistuki Eduskunnan puhemiehelle Yleinen vuokrataso on noussut viime vuosien aikana huomattavan korkeaksi. Varsinkin pienten asuntojen neliövuokrat ovat kaupungeissa

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1104/2013 vp Rajatyöntekijöiden oikeus aikuiskoulutustukeen Eduskunnan puhemiehelle Osaamisen kehittäminen ja aikuisopiskelu ovat nykyään arkipäivää. Omaehtoisesti opiskelevat rajatyöntekijät

Lisätiedot