x y y x x y Pitkä matematiikka (MaA), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät a) Beräkna medeltalet av bråken, och. b) Beräkna

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "x y y x x y Pitkä matematiikka (MaA), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät a) Beräkna medeltalet av bråken, och. b) Beräkna"

Annika Hyttinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pitkä matematiikka (MaA), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät a) Beräkna medeltalet av bråken, och. b) Beräkna c) Lös olikheten 2x + 4 > x a) Sievennä a( a + b) b( a b) b) Supista 2 2 x y y x x y c) Jaa a + 4a tekijöihin 3. Päättele pätevätkö seuraavat väittämät. Pelkkä vastaus riittää. a. 5,3 > 12 b. 7, = 3,3 + 4,5 + 6,9 c < d. \sqrt{5} > 2 e. x^3 6x^2 = 3x kun x = 1 f. x^2 > 2 kun x > 2 4. Määritä polynomin f(x) = x^3 6x^2 suurin ja pienin arvo välillä [ 2,6 ]. Ratkaise kolme (3) tehtävistä Kahden kuution pinta-alojen suhde on 16:25. Laske niiden tilavuuksien suhde? 6. Hajamielisellä professorilla on yksi luento jokaisena viitenä arkipäivänä, mutta hän muistaa pitää päivittäisen luentonsa vain 80 prosentin todennäköisyydellä. a) Millä todennäköisyydellä hän muistaa pitää viikon kaikki luennot? b) Millä todennäköisyydellä vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä? c) Määritä viikossa pidettyjen luentojen lukumäärän odotusarvo. 7. Peter har nyligen köpt en ny fin bil som kostar a euro. Anta att bilens värde sjunker med 15 % varje år.

a. Med hur många procent har bilens värde sjunkit efter fyra år? b. Bilda funktionen som anger bildens värde efter x år. c. Efter hur många år är bilen värd en femtedel av nypriset? 8.

2 a. Med hur många procent har bilens värde sjunkit efter fyra år? b. Bilda funktionen som anger bildens värde efter x år. c. Efter hur många år är bilen värd en femtedel av nypriset? 8. En rektangulär gräsmatta har ursprungligen måtten 25 m 11 m. Den utökas runt om med en överallt lika bred strimma. Bestäm strimmans bredd så att gräsmattan area fördubblas. 9. Ratkaise joko i tai ii kohta. Kumpikin kohta on kuuden pisteen arvoinen. i. Konnektiivin totuustaulu on A B A B Esitä lause A ( A B ) sellaisessa muodossa, jossa esiintyy ainoastaan konnektiiveja, tai. ii. Ratkaise Newtonin menetelmällä yhtälö e^x = 3x. Ratkaise kolme (3) tehtävistä a) Määritä sellainen kerroin a, että 2 ax, x 1, f ( x) = 2 x 2, x > 1, 1 + x on jatkuva kaikkialla. b) Määritä käyrän x + y = 5 ja koordinaattiakseleiden rajoittaman alueen pinta ala Määritä ympyröiden 4x + 4y + 16x 16y + 7 = 0 ja

2 2 4x + 4y 16x + 8y 205 = 0 yhteisten tangenttien yhtälöt. 12. Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa.

3 2 2 4x + 4y 16x + 8y 205 = 0 yhteisten tangenttien yhtälöt. 12. Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka arvo. 13. Sanomme, että kokonaisluku on kiva jos sen on kahden suurimman, eri suuren, aidon tekijänsä summa. Luvun n aidolla tekijällä tarkoitetaan lukua k joka jakaa luvun n ja jolle pätee 1<k<n. Osoita, että näillä määritelmillä mikään luku ei ole kiva.

5 Lyhyt matematiikka (MaB), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät Laske tarkat arvot lausekkeille a) b) 0,12 0, c) a) På rea säljs tre CD:n för priset av två (den billigaste gratis). Hasse köper fyra CD:n som alla kostade 10 ursprungligen, Anette köper tre CD:n som kostade 12, 10 och 9 ursprungligen. Hur många procents rabatt får Hasse och Anette på sina uppköp? b) Lös olikheten 2x + 4 > x + 2 med grafisk metod. 3. Päättele pätevätkö seuraavat väittämät. Pelkkä vastaus riittää. a. 5,3 > 12 b. 7, = 3,3 + 4,5 + 6,9 c < d. \sqrt{5} > 2 e. x^3 6x^2 = 3x kun x = 1 f. x^2 > 2 kun x > 2 4. I figuren nedan finns grafen av polynomfunktionen f ( x) = x 2 2x. Utför följande uppgifter genom att använda funktionens uttryck eller, om det är möjligt, grafiskt. a) Bestäm funktionens nollställen b) Bestäm 1 c) Bestäm 1 d) Bestäm 3 e) Bestäm de värden på x för vilka funktionen är växande f) Bestäm funktionens minsta värde.

6 Ratkaise kolme (3) tehtävistä För djur gäller ett approximativt samband mellan hela kroppens massa och hjärnans massa. Hjärnans massa tredubblas då kroppens massa fyrdubblas. Vi använder detta samband för att lösa följande. En hund har massan 24 kg, en häst 480 kg och en elefant kg. Vilket är förhållandet mellan massorna för a) hästens och hundens hjärnor b) elefantens och hästens hjärnor c) hundens och elefantens hjärnor? 6. Simeoni osti Saapasnahka-tornin eurolla ja teetti siihen myöhemmin euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille eurolla. Voitosta on maksettava 28 % pääomatulovero. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saadaan, kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähennetään 20 %, jos on omistanut tornin alle 10 vuotta, ja 40 %, jos yli 10 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 28 % pääomatulovero. a) Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisemman vaihtoehdon? b) Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoehdossa yhtä suuren veron? 7. Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta on 1,25 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? 8. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma α maanpinnan tasosta katsottuna? 39 m α α 26 m 50 m

7 9. Suoran ympyräkartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka pohja on kartion pohjalla ja yläreuna sivuaa kartion vaippaa. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin sen korkeus. Toisaalta lieriön pohjan halkaisija on puolet kartion pohjan halkaisijasta. Kuinka monta prosenttia lieriön tilavuus on kartion tilavuudesta? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. Ratkaise kolme (3) tehtävistä Anna esimerkki kahdesta kuutiosta joiden pinta-alojen suhde on on 16:25. Laske niiden tilavuuksien suhde? 11. a) I Viking Lotto ska spelaren välja sex av talen 1, 2, 3,..., 48. Detta kallar vi en enkel lottorad. Hur många olika enkla lottorader kan spelaren välja? Hur mycket skulle det kosta att lämna in dessa lottorader, då en rad kostar 60 cent? b) En matematiklärare ska spela systemlotto. Då ska viking lottoraden omfatta fler än sex tal. Lärarens systemrad består av 10 tal. Hur många olika enkla lottorader med sex tal ingår i denna systemrad? Bestäm även priset på systemraden. c) Förutom de sex riktiga vinsttalen lottas även två tilläggstal ut. Bestäm sannolikheten för att en spelare på en enkel viking lottorad får fyra riktiga vinsttal rätt, men inget tilläggstal rätt. 12. Ett holländskt flygbolag använder följande regel för resväskor i lastutrymmet. Om en resväska har formen av ett rätblock ska summan av väskans längd, bredd och höjd maximalt vara 158 cm. Anta att en väska har det maximala måttet, och att väskans längd är dubbelt så lång som bredden. a) Bilda en funktion som anger väskans volym i då x är väskans bredd. Ange också funktionens definitionskrav. b) Bestäm väskans mått då den har största möjliga volym. Vilken är denna volym i liter? Ange väskans mått med en millimeters noggrannhet, och volymen med två gällande siffror.

8 13. Alla on funktion f ( x) = Asin( bx ) kuvaaja välillä x [ 720, 720 ]. Määritä kuvaajan perusteella a) vakion A arvo b) vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L > 0 ja f ( x + L) = f ( x ) kaikilla x. o o

Samankaltaiset tiedostot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän