Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4

Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin engl. An Introduction to Frctionl Derivtives nd Teir Applictions), mtemtiikn pro grdu -tutkielm, 46 s., Jyväskylän yliopisto, Mtemtiikn j tilstotieteen litos, kesä 4. Frktliderivtt on derivtt, jonk kertluku on reli- ti kompleksiluku. Frktliderivtt voidn määritellä usell eri tvll, mutt mikään määritelmä ei ole selkeästi muit prempi. Kosk frktliderivtn ominisuudet riippuvt vlitust määritelmästä, ominisuuksi ei void suorn yleistää kikille frktliderivtoille. Tämän tutkielmn trkoitus on nt lukijlle perustiedot relilukukertisist frktliderivtoist j niiden määritelmäsidonnisist ominisuuksist. Tutkielmss esitellään kolme yleisimmin viitttu määritelmää: Grünwld-Letnikov, Riemnn-Liouville j puto. Grünwld-Letnikovin määritelmä yleistää klssisen derivtn määritelmän suorn reli- j kompleksiluvuille, minkä vuoksi se on elpoiten ymmärrettävissä nlyysin perustietojen pojlt. Riemnn-Liouvillen määritelmä ydistää frktliderivtn j frktli-integrlin käsitteet. puton frktliderivtt on ts keitetty sovellusten näkökulmst. Vikk frktliderivtn ominisuudet riippuvt vlitust määritelmästä, joitkin ominisuuksi voidn yleistää. Ensiksi, frktliderivtt on ytäpitävä klssisen derivtn knss, kun sen kertluku on kokonisluku. Toiseksi, frktlinen differintegrlioperttori engl. frctionl differintegrl opertor) on linerinen. Määritelmästä riippuvi ominisuuksi ovt esimerkiksi Riemnn-Liouvillen frktli-integrlien vidnnisuus sekä Riemnn-Liouvillen / puton frktliderivtn dditiivisuus klssisen derivtn knss. Riemnn-Liouvillen j puton määritelmien välillä on kuitenkin se ero, että dditiivisuus pätee toiselle päinvstisess järjestyksessä. Siten frktliderivtt eivät kommutoi. Riemnn-Liouvillen differintegrlioperttorin tärkeä ominisuus on myös se, että derivointioperttori on sm kertluku olevn integrointioperttorin vsen käänteisopertio. Määritettäessä funktioiden frktliderivtn lusekkeit Riemnn-Liouvillen j Grünwld-Letnikovin määritelmät ntvt smt tulokset. puton määritelmä ei kuitenkn ole ytäpitävä edellisten määritelmien knss muulloin kuin erikoistpuksiss. Merkittävin ero näiden määritelmien välillä on, että vkion Grünwld- Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtt eivät ole nolli, kun ts puton frktliderivtt on noll. Frktliderivtn sovelluksi ovt eriliset frktlidifferentiliytälöt. Frktlidifferentiliytälö sdn, kun klssisen differentiliytälön derivtt korvtn frktliderivtll. Alkurvotetävissä Riemnn-Liouvillen frktliderivtn käyttö on kuitenkin ongelmllist, sillä se tuott lkuedoiksi relilukukertisi derivttoj, joille ei ole keksitty fysiklist tulkint. puton frktliderivtt käytettäessä vstv ongelm ei ole. Frktlidifferentiliytälöt ovt nykyään tärkeä tutkimuskode muun muss fysiikss. Tässä tutkielmss esitellään yksi esimerkki fysiikn sovelluksest: frktlivärätelijän differentiliytälö. Numeerisin menetelmin on vittu, että frktlivärätelijällä on sisäinen vimenemismeknismi, joten se ei voi muodost linkn eristettyä systeemiä. Toistiseksi on kuitenkin epäselvää, mistä frktlivärätelijän sisäinen vimenemismeknismi jotuu. i

Sisältö Jodnto Luku. Esitiedot 5.. Gmmfunktio 5.. Epätäydellinen gmmfunktio 8.3. Betfunktio 9.4. Mittg-Leffler-funktio 9.5. Lplce-muunnos Luku. Frktliderivtt j -integrlit 3.. Derivointi- j integrointioperttori 3.. Grünwld-Letnikovin määritelmä 9.3. Riemnn-Liouvillen määritelmä.4. puton määritelmä Luku 3. Frktliderivtn j -integrlin ominisuuksi 3 3.. Derivointioperttorin linerisuus 3 3.. Frktliderivtn j klssisen derivtn välisiä trksteluj 4 3.3. Riemnn-Liouvillen differintegrlioperttorin dditiivisuus 6 3.4. Eri määritelmien vertilu 8 Luku 4. Esimerkkejä frktliderivtoist 3 4.. Vkiofunktio 3 4.. Polynomifunktio 3 4.3. Eksponenttifunktio 35 Luku 5. Frktliderivtn sovelluksi 37 5.. Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos 37 5.. puton frktliderivtn Lplce-muunnos 39 5.3. Alkurvotetävä Riemnn-Liouvillen mukn 39 5.4. Alkurvotetävä puton mukn 4 5.5. Frktlinen värätelijä puton mukn 43 Lädeluettelo 45 iii

Jodnto Differentilioperttorit d/dx, d /dx,..., d n /dx n ovt mtemtiikn opiskelijoille tuttuj merkintöjä. Os opiskelijoist on sttnut poti, voiko derivtn kertluku n oll muukin kuin luonnollinen luku, kuten esimerkiksi ti. Vstus tään kysymykseen on: kyllä voi. Derivtst, jonk kertluku on reli- ti kompleksiluku, käytetään nimitystä frktliderivtt. Vstv operttori kutsutn differintegrlioperttoriksi engl. differintegrl opertor). Tässä tutkielmss syvennytään pelkästään relilukukertisiin frktliderivttoiin. Ensimmäiset mininnt frktliderivtst joittuvt 6-luvun loppupuolelle, kun vuonn 695 Mrquis de L Hôpitl esitti Gottfried Wilelm Leibnizille operttori d n /dx n koskevn kysymyksen: Wt if n? Tään Leibniz vstsi: Tus it follows tt d x will be equl to x dx : x, n pprent prdox, from wic one dy useful consequences will be drwn. 7-luvull frktliderivtt jäivät muiden mtemtiikn tutkimuskoteiden vrjoon, mutt uteliisuus iett kotn säilyi. Vuonn 73 L. Euler esitti funktion fx) x m frktliderivtn määritelmän yödyntäen gmmfunktiot, mutt än ei esittänyt konkreettisi esimerkkejä. Vuonn 77 J. L. Lgrnge sivusi iett epäsuorsti osoittessn kokonislukukertisille derivtoille tutun derivointisäännön: d m dx m d n dx y dm+n n dx m+n y. Vst vuonn 8 S. F. Lcroix osoitti, että funktion fx) x kertluvun frktliderivtt on d dx x x π. Tämän jälkeen kiinnostus frktliderivttoj kotn ksvoi uomttvsti. Muiden muss J. B. J. Fourier 8), N. H. Abel 83) j J. Liouville 835) esittivät omt määritelmänsä frktliderivtlle. Vuonn 847 G. F. B. Riemnn määritteli frktli-integrlin eli relilukukertisen integrlin käsitteen. Liouvillen frktliderivtn j Riemnnin frktli-integrlin määritelmien pojlt syntyi yksi suosituimmist frktliderivtn määritelmistä: Riemnn-Liouvillen määritelmä. Toinen istorillisesti merkittävä määritelmä on Grünwld-Letnikovin määritelmä. [, s. 5], []

JOHDANTO 9-luvull frktliderivttoj j -integrlej eli differintegrlej engl. differintegrls) käsittelevien julkisujen määrä jtkoi ksvun. Differintegrlien teori keittyi merkittävästi j niiden sovellukset - frktlidifferentiliytälöt - lkoivt kiinnost eri lojen tutkijoit. Riemnn-Liouvillen frktliderivtn käyttö lkurvotetävissä joti kuitenkin teorin j käytännön väliseen ristiriitn. Riemnn- Liouvillen frktliderivtn itt nimittäin on, että se tuott lkuedoiksi relilukukertisi derivttoj, joille ei ole vstv fysiklist tulkint, kuten ensimmäisen j toisen kertluvun derivtoille vrt. f ) lkunopeus j f ) lkukiityvyys). M. puto pyrki rtkisemn kyseisen ristiriidn, minkä tuloksen än esitti omn määritelmänsä frktliderivtlle vuonn 967. [5, s. 78 79] Nykyään frktliderivtt ovt tärkeä työväline mtemtiikn, fysiikn, kemin, biologin, tekniikn j tloustieteen tutkimuksess. Korvmll klssisen differentiliytälön derivtt frktliderivtll sdn trkempi mllej luonnonilmiöille. Frktlidifferentiliytälöt ovt osoittutuneet yödyllisiksi esimerkiksi kompleksisten systeemien nlysoinniss. Erityisesti fysiikss frktlidifferentiliytälöt ovt olleet vltvn kiinnostuksen koteen. Muun muss mekniikn, säkömgnetismin, kvnttimekniikn j kenttäteorin sovelluksist on julkistu useit rtikkeleit. [3] Tämän tutkielmn trkoitus on nt lukijlle perustiedot frktliderivtoist j niiden ominisuuksist. Sisällön omksumisen elpottmiseksi lukijlt edellytetään differentili- j integrlilskennn perusteiden tuntemust sekä kiinnostust mtemtiikk kotn. Tutkielmn ensimmäisessä luvuss esitellään frktlidifferentililskennlle tyypilliset erikoisfunktiot, joit ei välttämättä ole tullut vstn mtemtiikn perus- j ineopinnoiss. Luvuss on pyritty tiiviiseen j pelkistettyyn esitystpn, joten vrsinisen ieen knnlt epäoleelliset todistukset on sivuutettu. Luvuss tutkielmn iett läestytään perinteisen nlyysin näkökulmst. Aluksi selvitetään, miten klssiset derivointi- j integrointioperttorit voidn esittää ydellä symbolill. Seurviss liluvuiss esitellään kolme kirjllisuudess useimmin esiintyvää frktliderivtn määritelmää: Grünwld-Letnikovin, Riemnn-Liouvillen j puton määritelmä. Näistä kksi ensiksi minittu ovt suori yleistyksiä klssisen differentili- j integrlilskennn tuloksist. puton määritelmä on ts keitetty sovellusten näkökulmst. Määritelmien ymmärtämistä tuetn useill konkreettisill esimerkeillä. Luvuss 3 todistetn differintegrlien keskeisimpiä ominisuuksi. Tulln uommn, että frktliderivtn käyttäytyminen riippuu vlitust määritelmästä. Tästä syystä ominisuudet todistetn erikseen Grünwld-Letnikovin, Riemnn- Liouvillen j/ti puton määritelmille. Luvuss 4 jodetn derivointikvt polynomifunktiolle j sen erikoistpukselle vkiofunktiolle) sekä eksponenttifunktiolle. Luvuss 4 vinnollistetn myös esimerkein, miten frktliderivtn luseke riippuu vlitust trksteluvälistä. Tutkielmn viimeinen luku käsittelee frktlidifferentiliytälöitä. Aluksi jodetn Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivtn Lplce-muunnokset, minkä jälkeen niitä yödynnetään lkurvotetävien rtkisemiseen. Tällöin selviää, mikä puton frktliderivtn etu on Riemnn-Liouvillen frktliderivttn verrttun. Viimeisessä liluvuss rtkistn frktlivärätelijän differentiliytälö

JOHDANTO 3 käyttäen puton frktliderivtn Lplce-muunnost. Tulln uommn, että yksinkertisisskin sovelluksiss riittää vielä voimi kysymyksiä. Tutkielmn pääläteinä on käytetty teoksi I. Podlubny Frctionl Differentil Equtions, Keit B. Oldm & Jerome Spnier Te Frctionl lculus j Antoly A. Kilbs, Hri M. Srivstv, Jun J. Trujillo Teory nd Applictions of Frctionl Differentil Equtions. Kikki tutkielmss käytetyt läteet on minittu lädeluetteloss.

LUKU Esitiedot Tässä luvuss määritellään tutkielmss käytettävät erikoisfunktiot: gmmfunktio, epätäydellinen gmmfunktio, betfunktio j Mittg-Leffler-funktio. Lisäksi esitellään erikoisfunktioiden tärkeimmät ominisuudet, joit trvitn tutkielmn muiss luvuiss. Aliluvuss.5 peredytään funktion Lplce-muunnokseen, jot sovelletn myöemmin frktlidifferentiliytälöiden rtkisemiseen. Luvun pääläteinä on käytetty teoksi [, s. 6 ], [3, s. 63 63], [5, s. 6 7, 6 8, 3 4] j [, s. 5 59, 79 8]... Gmmfunktio Luonnollisen luvun n N kertom määritellään rekursiivisesti settmll! j n! nn )!. Gmmfunktio Γ on kertomn yleistys reli- j kompleksiluvuille. Se määritellään reliosltn positiivisille kompleksiluvuille seurvsti: Määritelmä.. Gmmfunktio Γ määritellään epäoleellisen integrlin Γz) e t t z dt, z, Rez) >. Kyseinen integrli suppenee, kun Rez) >, mikä on todistettu teoksess [3, s. 63 64]. Tutkitn seurvksi, miten gmmfunktion määritelmä voidn ljent reliosltn negtiivisille kompleksiluvuille. Tätä vrten sovelletn määritelmää. funktioon Γz + ). Osittisintegroimll sdn Γz + ) jost edelleen seur, että e t t z dt lim t z e t ) tc + z c t zγz),.) Γz) Γz + ). z e t t z dt Trkstelln ytälön.) oike puolt, kun < Rez) <. Hvitn, että ) Γz + ) on nlyyttinen ydensuuntisvyössä < Rez) <, kosk z + kuuluu oiken puolitsoon, ) /z on nlyyttinen ydensuuntisvyössä < Rez) <, 3) nlyyttisten funktioiden tulo on nlyyttinen. 5

6. ESITIEDOT Gmmfunktio Γz) on siten nlyyttinen, kun < Rez) <. Vlitsemll ytälö.) gmmfunktion määritelmäksi, kun Rez) >, z, sdn gmmfunktion määritelmä ljennettu kompleksiluvuille z, joille Rez) >, z,. Edelleen, vlitsemll ytälö.) gmmfunktion määritelmäksi, kun Rez) >, z,, sdn määritelmä ljennettu kompleksiluvuille z, joille Rez) > 3, z,,. Näin jtkmll gmmfunktiolle sdn seurv nlyyttinen ljennus [4, s. 7]: Luse.. Gmmfunktiolle Γ : {,,,... } on voimss Γz) Γz + ). z Gmmfunktion Γx), x R, kuvj on esitetty kuvss.. Kuv.. Gmmfunktion Γx) kuvj, kun x R vrt. [7, s. 8]). Seurvss luseess luetelln gmmfunktion tärkeimmät ominisuudet, joit sovelletn luvuiss, 3 j 4. Luse.3. Gmmfunktiolle on voimss i) Γ), ii) Γ ) π, iii) Γz + n) zz + )... z + n )Γz), n,,..., iv) Γn + ) n!, n N. Todistus. Vert [3, s. 66 69]). i) Γ) e t dt.

.. GAMMAFUNKTIO 7 ii) Määritelmän mukn Γ ) e t t dt, joten käyttämällä muuttujnvito t x sdn Γ ) e x dx π. iii) Soveltmll lusett. n kert sdn Γz + n) z + n )Γz + n ) z + n )z + n )Γz + n ) z + n )z + n )... z + )zγz). iv) Sijoittmll z kodn iii) lusekkeeseen sdn Γ + n) nn )... Γ) n!. Esimerkki.4. Luseen. nsiost voidn lske gmmfunktion rvoj, kun < Rez) <. Esimerkiksi, Γ ) Γ ) π. Vstvsti, luseen.3 kodn iii) ytälö voidn kirjoitt muotoon Γz) Γz + n) z + n )z + n )... z + )z, jonk vull voidn lske Γ-funktion rvoj, kun n < Rez) < n+. Esimerkiksi, Γ 5 ) Γ ) 5 3) ) 8 π. 5 Luvuss peredytään frktliderivttojen määritelmiin, minkä vuoksi binomikertoimien määritelmä ljennetn kompleksiluvuille z, w {,,,... }:.) ) z w Γz + ) Γw + )Γz w + ). Binomikertoimien vull voidn edelleen jot yksinkertisempi lusekkeit gmmfunktioiden osmäärille. Luvuss käsiteltäviä frktliderivttojen määritelmiä j esimerkkilskuj vrten trvitn seurvi muuntokvoj:.3) Γm α) Γ α)γm + ) ) ) m α α ) m, α R +, m N, m m.4).5) N m N m Γm α) Γ α)γm + ) Γm α) Γ α)γm) ΓN α) Γ α)γn), α R +, N N, αγn α) Γ α)γn ), α R +, N N.

8. ESITIEDOT Frktliderivttojen ominisuuksien todistmist vrten trvitn lisäksi symptoottinen ljennus: [ ] [ ] c+α+ Γm α) c+α Γm α), c >.6) lim m lim m, c m Γm + ) m Γm), c <. Muuntokvojen j symptoottisen ljennuksen tustoiin ei peredytä tässä tutkielmss. Lisätieto löytyy esimerkiksi teoksest [, s. 9 ]... Epätäydellinen gmmfunktio Edellisessä liluvuss gmmfunktio Γ määriteltiin epäoleellisen integrlin: lusekett t z e t integroidn nollst äärettömään. Tällöin gmmfunktiot snotn täydelliseksi gmmfunktioksi. Kun integrlin ylärj muutetn vkioksi c R, sdn määrätty integrli, jot snotn lemmksi epätäydelliseksi gmmfunktioksi. Määritelmä.5. Alempi epätäydellinen gmmfunktio, γ : R, määritellään määrättynä integrlin γz, c) jok suppenee, kun Rez) >. c t z e t dt, t R, Huomutus.6. Seurv ytälö pätee, kun Rez) > j c R + : lim γz, c) t z e t dt Γz). c Huomutus.7. Ylempi epätäydellinen gmmfunktio Γ : R määritellään epäoleellisen integrlin Γz, c) c t z e t dt, t R, Rez) >. Tällöin täydellinen gmmfunktio on Γz) Γz, ). Alemmlle epätäydelliselle gmmfunktiolle voidn jot seurv srjkeitelmä eksponenttifunktion srjkeitelmän j gmmfunktion ominisuuksien vull [6]:.7) γz, c) c z e c Γz) k c k Γz + k + ). Srjkeitelmää.7) trvitn luvuss 4 määritettäessä Mittg-Leffler-funktion lusekkeit.

.4. MITTAG-LEFFLER-FUNKTIO 9.3. Betfunktio Betfunktio B on gmmfunktion kltinen j se määritellään seurvsti: Määritelmä.8. Betfunktio B : R + R + R + on määrätty integrli Bz, w) t z t) w dt. Frktliderivttojen ominisuuksien todistuksiss kts. luku 3) trvitn seurv betfunktion ominisuutt: Luse.9. Olkoon z, w R +. Tällöin Bz, w) Γz)Γw) Γz + w). Todistus. Vert [7].) Määritelmän. mukn Γz)Γw) e t t z dt e s s w ds e t+s) t z s w dt ds. Käytetään muuttujnvito t xy j s x y), jolloin t+s x. Kosk < t < j < s <, on < x < j < y <. Muunnoksen Jcobin determinntti on xy) xy) t, s) x, y) x y x y)) x y)) y x y x x y xy x y) x x, sillä x >. Tällöin dt ds t,s) dx dy x dx dy j siten sdn x,y) mistä väite seur. Γz)Γw) e x x z y z x w y) w x dx dy e x x z+w dx Γz + w)bz, w), y z y) w dy.4. Mittg-Leffler-funktio Mittg-Leffler-funktio on eksponenttifunktion yleistys kompleksiluvuille. Määritelmä.. Yleistetty Mittg-Leffler-funktio E : on srjkeitelmä z k E,b z) Γk + b),, b R +. k Mittg-Leffler-funktiot trvitn luvuss 4 eksponenttifunktion frktliderivtn lusekkeen määrittämiseen sekä luvuss 5 frktlidifferentiliytälöiden rtkisemiseen.

. ESITIEDOT Huomutus.. Mittg-Leffler-funktion määritelmästä seur, että z k E, z) Γk + ) z k k! ez. k Luvuss 5 trvitn lisäksi seurv Mittg-Leffler-funktion ominisuutt: k Luse.. Olkoon z,, b R. Tällöin E,b z) Γb) + ze,+bz). Todistus. Vert [8, s. 8].) z k E,b z) Γk + b) k k z k+ Γk + + b) Γb) + ze,+bz). Tulukoss on esitetty muutmn Mittg-Leffler-funktion lkeisfunktioesitykset, joit käytetään lukujen 4 j 5 esimerkeissä. Alkeisfunktioesityksissä esiintyvä erf on Gussin virefunktio j erfc on sen komplementti. Virefunktio erf : R R määritellään integrlin erfx) e t dt. π Virefunktion komplementti erfc : R R määritellään erfcx) erfx). Virefunktioiden syvällisempi trkstelu sivuutetn. Lisätieto löytyy esimerkiksi läteistä [] j []. Tulukko. Mittg-Leffler-funktioiden lkeisfunktioesityksiä. [] E, x) ex erfcx) E, x) e x E, 3 x) e x erf x) x, x > E, x ) cosx).5. Lplce-muunnos Jott tietylle funktiolle voidn määrittää Lplce-muunnos, funktion täytyy oll eksponentilist kertluku jollkin vkioll. Tätä vrten trvitn seurv määritelmä: Määritelmä.3. Funktio f : [, ) R on eksponentilist kertluku vkioll K, jos on olemss vkiot K, M, t R + siten, että in, kun t t. ft) Me Kt

.5. LAPLAE-MUUNNOS Eksponentilinen kertluku tk sen, että funktio ft) ei ksv eksponenttifunktiot e Kt nopemmin, kun t. Tällöin funktion Lplce-muunnos on olemss, sillä seurv integrli suppenee: Määritelmä.4. Olkoon funktio f : [, ) R eksponentilist kertluku vkioll K j ploittin jtkuv j olkoon S {s : Res) > K}. Tällöin funktion f Lplce-muunnos on funktio F : S, F s) Lft)) e st ft) dt lim R R e st ft) dt, t >. Huomutus.5. Yleisesti funktion Lplce-muunnost merkitään isoll kirjimell j lkuperäistä funktiot pienellä kirjimell. Esimerkki.6. Vrt. [, s. 5]) Olkoon ft) e t, t j R. Määritelmän.4 mukn funktion f Lplce-muunnos on [ Le t ) e st e t dt e s )t dt lim ] tr R s e s )t t s, kun s >. Lplce-muunnost käytetään luvuss 5 frktlidifferentiliytälöiden rtkisemiseen. Jott differentiliytälö voidn rtkist, trvitn käänteinen opertio, jok muunt Lplce-muunnetun funktion tkisin lkuperäiseksi funktioksi. Määritelmä.7. Olkoon funktio f : [, ) R eksponentilist kertluku vkioll K j ploittin jtkuv j olkoon F s) Lft)). Tällöin funktio ft) on funktion F s) käänteinen Lplce-muunnos, jot merkitään L F s)) ft). Esimerkki.8. Esimerkiksi funktion F s), R, käänteinen Lplcemuunnos on ft) e t, t s. Huomutus.9. Srjteorin vull voidn osoitt kts. [9, s. 6]), että [ ] s L α β t β E s α α,β λt α ), + λ missä α, β >, λ R j s α > λ. Kyseistä käänteismuunnost trvitn luvuss 5 Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivttojen Lplce-muunnosten määrittämiseen. Lplce-muunnoksen yksi tärkeimpiä ominisuuksi on linerisuus: Luse.. Olkoot funktioill ft) j gt) Lplce-muunnokset F s) j Gs). Tällöin Lαft) + βgt)) αlft)) + βlgt)) αf s) + βgs), missä α, β ovt vkioit. Todistus. Seur suorn Lplce-muunnoksen määritelmästä j integrlin linerisuudest kts. [, s. 5]).

. ESITIEDOT Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnost vrten trvitn konvoluution Lplce-muunnoksen kv. Määritellään seurvksi, mitä konvoluutio trkoitt. Määritelmä.. Olkoot funktiot f : [, ) R j g : [, ) R eksponentilist kertluku vkioll K j ploittin jtkuvi. Funktioiden konvoluutio f g) määritellään integrlin f g)t) t fτ)gt τ) dτ. Luse.. Konvoluutioluse) Olkoot funktiot f : [, ) R j g : [, ) R eksponentilist kertluku vkioll K j ploittin jtkuvi, j olkoot niiden Lplcemuunnokset F s) j Gs). Tällöin jokisell s, Res) > K, on L [f g)t)] F s)gs), t >. Todistus. Todistuksess trvitn Lplce-muunnoksen trnsltiolusett, joten todistus sivuutetn. Konvoluutioluse on todistettu teoksess [, s. 8 8]. Frktliderivttojen Lplce-muunnoksi vrten trvitn derivtn Lplcemuunnoksen kv. Luse.3. Olkoot funktiot f k) : [, ) R, k,,..., n, jtkuvi j olkoon funktio f n) : [, ) R ploittin jtkuv, j olkoot kikki edelliset funktiot eksponentilist kertluku vkioll K. Tällöin jokisell s, Res) > K pätee: n Lf n) t)) s n F s) s n f) s n f ) f n ) ) s n F s) s k f n k ) ). Todistus. Todistus on suorviivinen induktiotodistus, joss sovelletn Lplcemuunnoksen määritelmää.4 j osittisintegrointi. Luse on todistettu läteessä [, s. 58 59]. k

LUKU Frktliderivtt j -integrlit Tässä luvuss tutkielmn iett läestytään perinteisen nlyysin näkökulmst. Aliluvun. trkoitus on vinnollist, miten derivointi- j integrointiopertiot sdn esitettyä ydellä symbolill. Seurviss liluvuiss esitetään kolme erilist frktliderivtn määritelmää: Grünwld-Letnikovin, Riemnn-Liouvillen j puton määritelmä. Lisäksi määritelmiä sovelletn yksinkertiseen polynomifunktioon fx) x. Luku perustuu pääsiss läteisiin [5, s. 43 48, 6 63, 79], [3], [5, s. 69 7, 9 9] j [9, s. 7 8, ]... Derivointi- j integrointioperttori Trkstelln funktiot f : [, b] R, jok on n kert jtkuvsti derivoituv välillä [, x], < x < b. Jodetn funktion f kertluvun n derivtlle yleinen luseke. Funktion f ensimmäisen kertluvun derivtt määritellään erotusosmäärän rjrvon D fx) fx ) fx) lim. Soveltmll derivtn määritelmää funktioon D fx) sdn funktion f toisen kertluvun derivtksi D fx) lim lim D fx) D fx ) lim fx) fx ) Oletten, että, sdn lim ) fx ) fx ). D fx) lim fx) fx ) + fx )). Kden rj-rvon ydistämisen syvällisempi trkstelu sivuutetn. Trkempi perustelu on esitetty läteessä [9, s. 8]. Soveltmll vstv päättelyä funktioon D fx) sdn funktion f kolmnnen kertluvun derivtksi D 3 D fx) D fx ) fx) lim lim lim fx) fx ) + fx ) lim fx ) fx ) + fx ) ). 3

4. FRAKTAALIDERIVAATAT JA -INTEGRAALIT Oletten, että, sdn D 3 fx) 3fx ) + 3fx ) fx 3) fx) lim. 3 Induktioperitteell voidn edelleen osoitt kts. [9, s. 7]), että funktion f kertluvun n derivtt on n ) n.) D n fx) lim n ) m fx m), m m missä ) n nn )... n m + ) n! m m! m!n m)! on binomikerroin j m, n N. Seurvksi tutkitn operttorin D n merkitystä positiivisill j negtiivisill kokonisluvuill sekä luvull. Tätä vrten otetn käyttöön merkintä.) f p) x) n ) p ) m fx m), p m m missä p on mielivltinen kokonisluku j n N, kuten edellä. Tutkitn ensin positiivisi kokonislukuj p. Selvästi, jos p n, niin.3) lim f p) x) f p) x) dp dx fx) p Dp fx). Ytälö.3) pätee myös silloin, kun p < n, sillä tällöin binomikertoimen määritelmän mukn kertoimet p m) ovt nolli, kun m > p. Kun p, niin.4) lim f ) x) fx) D fx). Tutkitn seurvksi negtiivisi kokonislukuj p p > ). Ljennetn binomikertoimen määritelmä negtiivisille kokonisluvuille seurvsti: ) p p p )... p m + ) )m pp + )... p + m ) [ p ] ) m, m m! m! m missä [ p pp + )... p + m ). m] m! Nyt luseke.) sdn muotoon n [.5) f p) p x) m] p fx m). m Kun kokonisluku n on kiinnitetty, luseke f p) x) läestyy trivilisti rj-rvo, kun. Tästä syystä on oletettv, että n, kun. Kosk oletuksen mukn funktio f on jtkuv välillä [, x], vlitn x. Käytetään jtkoss n seurv merkintää:.6) lim nx f p) x).

.. DERIVOINTI- JA INTEGROINTIOPERAATTORI 5 Tutkitn, onko rj-rvo.6) olemss j jos on, sdnko sille informtiivisempi merkintä. Trkstelln ensin tpust p. Tällöin kvn.5) mukn.7) f ) x) n fx m). Hyödyntäen tieto, että x, luseke.7) voidn esittää muodoss n n.8) f ) x) fx) + m m fx m) x n fx) + n m x n fx mx n ). Trkstelln lusekkeen.8) jälkimmäistä os. Summss on n termiä, jotk ovt muoto x x x x fx m ). Nyt on osvälin pituus j fx m ) on funktion rvo n n n n osvälin toisess päätepisteessä, joten summ voidn tulkit Riemnnin summksi. Kun jko tiennetään eli n ), Riemnnin summ läestyy rj-rvo, jok on määrätty integrli. Tällöin [ ] f ) x n x) lim n n fx) + x fx mx n n ) lim nx + ft) dt m Trkstelln sitten tpust p. Tällöin [ ] 3... + m ) m m! jolloin kvojen.5) j.7) mukn on f ) x) ft) dt. m +, n n m + )fx m) mfx m) + m n m x n n m mfx m) + f ) n m x n m x) m x n f x m x ) n n m + x n n fx m) m mfx m) + f ) x) f ) x) c mf x c m ) + x n f ) x), missä c m m x n. Trkstelln yllä olevn lusekkeen summ. Summss on n termiä, jotk ovt muoto x c n mf x c m ). Kun n, niin silloin c x n j c n n x n x, joten funktion trksteluväli on [, x ]. Kosk x on välin jko j c n m m x ovt n välin jkopisteitä, summ voidn tulkit funktion sfx s) Riemnnin summksi.

6. FRAKTAALIDERIVAATAT JA -INTEGRAALIT Kun jko tiennetään, sdn rj-rvoksi [ n f ) x x) lim n n c mf x c m ) + x n lim nx m sfx s) ds + f ) x) sfx s) ds. Käyttämällä muuttujnvito t x s, jolloin s x t j ds dt, sdn integroimisrjoiksi Tällöin lim nx x s) s x j x s) sx. f ) x) x x t)ft) dt Vstvt esitykset tpuksess p 3 ovt [ ] 3 3 4... 3 + m ) m m! x t)ft) dt. m + )m + ), n n f 3) x) 3 m + )m + )fx m) 3 m + 3m + )fx m) m m [ n ] n n 3 m fx m) + 3 mfx m) + fx m) m m m n n n m) fx m) + 3 mfx m) + 3 fx m) m m m n m) fx m) + 3 f ) x) + f ) x) m n m) fx m) + 3 f ) x) + f ) x). m ] Kun yllä olevn lusekkeen ensimmäiseen osn sovelletn vstv päättelyä kuin tpuksess p, summ voidn tulkit funktion s fx s) Riemnnin summksi. Tällöin rj-rvoksi sdn lim f 3) x) lim nx nx [ n m) fx m) + 3 f ) x) + f ) x) m s fx s) ds + + s fx s) ds. Käyttämällä muuttujnvito t x s, kuten edellä, sdn rj-rvoksi lim f 3) x) nx x t) ft) dt. ]

.. DERIVOINTI- JA INTEGROINTIOPERAATTORI 7 Induktioll voidn osoitt kts. [5, s. 46 47]), että yleisesti pätee.9) n [ lim f p) p x) lim p x fx m) x t) m] p ft) dt. p )! nx m nx Näytetään seurvksi, että kv.9) on p-kertinen integrli. Tätä vrten otetn käyttöön seurv merkintä: lim f p) nx x) D p fx), x missä D p on integrointioperttori j j x ovt integroimisvälin päätepisteet. Leibnizin säännön [9, s. ] nojll d Dx p fx) ) dx d x ) x t) p ft) dt p )! dx x p )! x x t)p ft) dt + [ x t) p ft) ] d p )! t dx x p )x t) p ft) dt + p )! x x t) p ft) dt p )! D p+ x fx). Toislt, merkintä Dx p fx) voidn kirjoitt muotoon [ x t) p ft) ] p )! tx d dx x D p x fx) Dx p fx) D p f), } {{ } jok nlyysin perusluseen mukn on Dx p fx) Tällöin edellä lsketun nojll sdn d ds Ds p fs) ds..) D p x fx) D s p+ fs) ) ds.

8. FRAKTAALIDERIVAATAT JA -INTEGRAALIT Vstvsti Leibnizin säännön nojll sdn d Dx p+ fx) ) d x ) x t) p ft) dt dx p )! dx x p )! x x t)p ft) dt + [ x t) p ft) ] d p )! t dx x p )x t) p 3 ft) dt + p )! x x t) p 3 ft) dt p 3)! D p+ x fx). Soveltmll vstv päättelyä ytälöön.) sdn D p x fx) Näin jtkmll sdn lopult.) D p x fx) Ds p+ fs) D p+ f) ds } {{ } s ) d du Du p+ fu) du ds s ) Du p+ fu) du ds ds s dσ σ Du p+ fu) du. σp dσ... } {{ } p kpl [ x t) p ft) ] p )! tx fσ p ) dσ p. Kvojen.3),.4) j.) perusteell derivointi- j integrointiopertiot ovt siis lusekkeen.) rj-rvoj kokonisluvun p eri rvoill. Täten derivointi- j integrointiopertiot voidn esittää yteisellä symbolill.) D p xfx) lim nx f p) Yteenveton symbolille D p x sdn: x) lim nx p n ) p ) m fx m). m m d p, p Z.3) Dx p dx p +, p dσ σ dσ... σ p dσ p p Z. d dx x

.. GRÜNWALD-LETNIKOVIN MÄÄRITELMÄ 9.. Grünwld-Letnikovin määritelmä Grünwld-Letnikovin frktliderivtn määritelmä perustuu liluvuss. esitettyyn nlyyttiseen läestymistpn. Frktliderivtn luseke sdn, kun kvn.) kokonisluku p korvtn reliluvull α, α >, j binomikerroin yleistetään reliluvuille kvn.) mukn. [3] Määritelmä.. Olkoon funktio f : [, b] R N kert jtkuvsti derivoituv, < x < b, α R + j N x. Tällöin funktion f kertluvun α Grünwld- Letnikovin frktliderivtt on ti ytäpitävästi GL Dx α fx) lim α x m ) m Γα + ) fx m), m!γα m + ) ) α GL x N Dx α fx) lim ) m Γα + ) N N m!γα m + ) f m x m x N )). Määritelmän. srj suppenee itseisesti j tsisesti jokisell α > j jokiselle rjoitetulle funktiolle fx), joten rj-rvo on olemss [4]. Teoksess [5, s. 49 5] on osoitettu, että srj suppenee myös silloin, kun α <. Täten Grünwld-Letnikovin frktliderivtlle sdn vitoetoinen määritelmä, jok ydistää derivointi- j integrointiopertiot: Määritelmä.. Olkoon funktio f : [, b] R N kert jtkuvsti derivoituv, < x < b, α R j N x. Tällöin funktion f kertluvun α Grünwld-Letnikovin differintegrli on GL Dx α fx) lim N x N ) α N Γm α) Γ α)γm + ) f m Nx mx + m Esimerkki.3. Olkoon fx) x, j α. Grünwld-Letnikovin määritelmän. mukn GL D x x lim N x lim x ) N N x m N N N m [ lim N N Γm ) Γ )Γm + ) ) Nx mx N Γm ) Γ )Γm + ) m ) N Γm ) ) N m Γ )Γm + ) lim N N N m N ). mγm ) Γ )Γm + ) )]. Merkintä N x trkoitt suurint kokonisluku, jok on pienempi ti ytä suuri kuin x.

. FRAKTAALIDERIVAATAT JA -INTEGRAALIT Soveltmll ossummiin muuntokvoj.4) j.5) sdn [ GL D ΓN x x x N ) ) N ΓN ) )] x lim N [ Γ ) lim N Γ )ΓN) N ΓN ) ΓN) lim N ) + Γ 3 Γ 3 ) lim N )ΓN ) N ΓN ) ΓN ) Soveltmll rj-rvoiin kv.6) sdn derivtn lusekkeeksi [ GL D x x x π + ] π x π..3. Riemnn-Liouvillen määritelmä )]. Ennen Riemnn-Liouvillen frktliderivtn määritelmää, trvitn Riemnn- Liouvillen frktli-integrlin määritelmä. Frktli-integrli sdn korvmll kvn.9) kokonisluku p reliluvull α, α >. Määritelmä.4. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv, < x < b j α R +. Tällöin funktion f kertluvun α Riemnn-Liouvillen frktli-integrli on Dx α fx) Γα) ft) dt x t) α. Riemnn-Liouvillen kertluvun α frktliderivtt sdn derivoimll α)- kertist frktli-integrli, kun < α <. [5, s. 69 7] Määritelmä.5. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv, < x < b j < α <. Tällöin funktion f kertluvun α Riemnn-Liouvillen frktliderivtt on Dx α fx) d dx Dx α) fx) ) d Γ α) dx ft) dt x t) α. Yleisesti, kun funktio f on n kert jtkuvsti derivoituv, Riemnn-Liouvillen frktliderivtt on Dx α fx) dn dx n missä n < α < n, n N. D n α) x fx) ) d n Γn α) dx n ft) dt x t) α n+, Esimerkki.6. Olkoon fx) x, j α. Riemnn-Liouvillen määritel- män mukn D x x d x Γ ) dx t dt. x t) Käyttämällä muuttujnvito y x t, jolloin t x y j dt dy, sdn integroimisrjoiksi x t) t x j x t) tx.

.4. APUTON MÄÄRITELMÄ Tällöin D x x d Γ ) dx Γ ) d dx Γ ) d dx x π. x x y) dy d y Γ ) dx ) yx xy 3 y 3 y ) 4 3 x 3 4 π 3 3 x Γ ) d dx x y) dy y x 3 3 x 3 ) Vertmll esimerkkien.3 j.6 tuloksi, vitn, että Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen määritelmät ntvt smn tuloksen funktiolle fx) x. Voidn osoitt, että Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtt ovt smt kikill funktioill kts. luse 3.4). Esimerkki.7. Lsketn funktion fx) x, frktliderivtt, kun α 3 j. Nyt n, jolloin Riemnn-Liouvillen määritelmän mukn on D 3 x x d Γ ) dx t dt. x t) Hyödyntämällä esimerkin.6 integrlin tulost sdn D 3 x x ) d d x t dt Γ ) d ) x dx dx x t) Γ ). dx πx Tulos on ämmentävä. Klssisen differentililskennn perusteell voisi nimittäin olett, että kertluvun 3 frktliderivtt olisi noll, sillä f x) on vkio j nyt α 3 >. Luvuss 4 osoitetn, että vkion Riemnn-Liouvillen frktliderivtt ei kuitenkn ole noll. Esimerkki.8. Tutkitn edelleen funktiot fx) x, mutt vlitn trksteluvälin lrjksi. Hyödyntäen esimerkin.6 välivieit sdn funktion f kertluvun α frktliderivtksi D x x d Γ ) dx Γ ) d dx x π. xy 3 y 3 4 3 x 3 x + 3 ) yx y ) d Γ ) x 3 dx ) π 4 3 3 x 3 x 3 x )) 3 Verrttess stu tulost esimerkin.6 tulokseen vitn, että frktliderivtn rvo riippuu trksteluvälin lrjst..4. puton määritelmä puton määritelmä perustuu Riemnn-Liouvillen määritelmän tvoin iteroituiin integrleiin. [5, s. 9 9]

. FRAKTAALIDERIVAATAT JA -INTEGRAALIT Määritelmä.9. Olkoon funktio f : [, b] R n kert jtkuvsti derivoituv j < x < b. Tällöin funktion f kertluvun α puton frktliderivtt on D α x fx) Γn α) missä n < α < n, α R +, n N. f n) t) dt x t) α+ n, Esimerkki.. Olkoon fx) x, j α. Nyt n, joten puton määritelmän mukn on D x x Γ ) x t) dt ] tx [ x t) ) x + x. π t π π Myös puton määritelmällä sdn sm tulos kuin esimerkeissä.3 j.6. Yleisesti Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivtt eivät kuitenkn ole ytäpitävät kts. luse 3.5). Nyt esimerkkien.6 j. tulokset ovt smt, sillä vdittu eto f) f ) f n ) ) toteutuu kts. uomutus 3.6). Esimerkki.. Lsketn funktion fx) x frktliderivtt, kun α 3 j. Nyt n j f ) x), joten puton määritelmän mukn on D 3 x x Γ ) x t) dt. Nyt tpuksess α 3 > sdn frktliderivtksi noll, toisin kuin Riemnn- Liouvillen määritelmällä vrt. esimerkki.7). Esimerkki.. Lsketn funktion fx) x 3 frktliderivtt, kun α 5 j. Nyt n 3 j f 3) x) 6, joten määritelmän mukn on D 5 x x 3 6 Γ 5) dt 6 [ ] tx x t) Γ 5) x t) 6 ) + x t Γ 5) x Γ 5 ). Termin Γ 5 ) rvo sdn soveltmll luseen.3 kot iii) rvoll n. Frktliderivtn sievennetty esitys on siten D 5 x x 3 x 3 Γ ) 6 x. π

LUKU 3 Frktliderivtn j -integrlin ominisuuksi Tässä luvuss todistetn frktliderivtn j -integrlin keskeisimpiä ominisuuksi. Aliluvuss 3. todistetn derivointioperttorin linerisuus käyttäen Riemnn-Liouvillen määritelmää. Aliluvuss 3. osoitetn, että puton frktliderivtt ytyy klssisen derivtn knss, kun frktliderivtn kertluku on kokonisluku. Lisäksi todistetn, että klssinen derivtt on dditiivinen frktliderivtn knss. Aliluvuss 3.3 todistetn Riemnn-Liouvillen differintegrlioperttorin yksi tärkeimmistä ominisuuksist: frktli-integrlien dditiivisuus. Lisäksi osoitetn, että frktliderivtt on sm kertluku olevn frktli-integrlin vsen käänteisopertio. Luvun viimeisessä liluvuss osoitetn, että Grünwld- Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtn määritelmät ovt ytäpitävät. Lisäksi todistetn Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivttojen välinen ytälö. Luku 3 perustuu useisiin eri läteisiin [], [5], [6], [7] j [8]). 3.. Derivointioperttorin linerisuus Luse 3.. Olkoon n < α < n, n N, α R +, λ, µ R j olkoon funktioill fx) j gx) kertluvun α frktliderivtt. Tällöin frktliderivtt on linerinen operttori, toisin snoen D α λfx) + µgx)) λd α fx) + µd α gx). Todistus. Vrt. [5, s. 9 9]) Linerisuus seur suorn frktliderivtn määritelmästä. Esimerkiksi Riemnn-Liouvillen frktliderivtt on linerinen, sillä integrli j klssinen derivtt ovt linerisi operttoreit. D α x λfx) + µgx)) d n Γn α) dx n λ d n Γn α) dx n λ Dx α fx) + µ Dx α gx) λfx) + µgx)) dt x t) α n+ fx) dt x t) + µ α n+ d n Γn α) dx n gx) dt x t) α n+ Todistus on vstvnlinen Grünwld-Letnikovin j puton frktliderivtoille. Huomutus 3.. Uset klssiset derivointisäännöt pätevät myös frktliderivtoille. Poikkeuksin ovt Leibnizin sääntö funktioiden tulon derivointisääntö) sekä ketjusääntö ydistetyn funktion derivointisääntö). Trsov on osoittnut, että mikäli frktliderivtt toteutt Leibnizin säännön, kertluvun α on oltv [6]. 3

4 3. FRAKTAALIDERIVAATAN JA -INTEGRAALIN OMINAISUUKSIA 3.. Frktliderivtn j klssisen derivtn välisiä trksteluj Kuten kppleess. kävi ilmi, Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtt on yleistetty suorn klssisen differentililskennn tuloksist. Täten lienee selvää, että näillä määritelmillä frktliderivtt ytyy klssisen derivtn knss, kun α n, n N. Lisäksi voidn osoitt, että puton frktliderivtt läestyy kertluvun n derivtt llt päin. Luse 3.3. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv, < x < b j olkoon funktioll kertluvun α, α R +, puton frktliderivtt. Tällöin puton frktliderivtlle pätee lim α n D α x fx) f n) x). Todistus. Vrt. [7, s. 7]) Osittisintegroinnill sdn D α x fx) Γn α) Γn α) Γn α) Soveltmll lusett. sdn D α x fx) n α)γn α) Γn α + ) f n) t) dt x t) α+ n f n) t)x t) n α n α f n) )x ) n α + n α tx t f n) )x ) n α + f n) )x ) n α + ) f n+) t)x t) n α dt n α ). f n+) t)x t) n α dt n α ) f n+) t)x t) n α dt ) f n+) t)x t) n α dt. Siten rj-rvoksi sdn lim Dx α fx) lim f n) )x ) n α + α n α n Γn α + ) ) f n) ) + f n+) t) dt Γ) f n) ) + f n) x) f n) ) ) f n) x), mikä oli todistettv. [7, s. 7] ) f n+) t)x t) n α dt Seurv liluku vrten todistetn, että klssinen derivtt on dditiivinen Riemnn-Liouvillen frktliderivtn knss. Lemm 3.4. Olkoon funktio f : [, b] R n + k) kert jtkuvsti derivoituv, α R +, n < α < n j n, k N. Tällöin d k dx k Dx α fx) ) Dx α+k fx).

3.. FRAKTAALIDERIVAATAN JA KLASSISEN DERIVAATAN VÄLISIÄ TARKASTELUJA 5 Todistus. vrt. [5, s. 73]) Riemnn-Liouvillen frktliderivtn määritelmästä seur, että d k dx k Dx α fx) ) dk d n ) ft) dt dx k Γn α) dx n x t) α n+ Γn α) d k+n dx k+n d k+n Γk + n α + k)) Dx α+k fx). ft) dt x t) α n+ dx k+n ft) dt x t) α+k k+n)+ Esimerkki 3.5. Olkoon fx) x,, α j k. Esimerkkien.6 j.7 mukn D x x x j π D 3 x x. πx Hvitn, että d dx ) D x x d ) x dx π πx D 3 x x. Huomutus 3.6. Vstvsti Grünwld-Letnikovin frktliderivtlle pätee kts. [, s. 48 49]): d k GL dx k Dx α fx) ) GL Dx α+k fx), α R +, k N. puton frktliderivtlle dditiivisuus pätee päinvstisess järjestyksessä: Lemm 3.7. Olkoon funktio f : [, b] R n + k) kert jtkuvsti derivoituv, < x < b, n < α < n, α R + j n, k N. Tällöin ) d Dx α k dx fx) k Dx α+k fx). Todistus. puton määritelmän.9 j klssisen derivtn dditiivisuuden mukn ) d Dx α k dx fx) x d n f k) t) dt dt n k Γn α) x t) α+ n Γn α) f n+k) t) dt x t) α+ n Γn + k) α + k)) Dx α+k fx). f n+k) t) dt x t) α+k)+ n+k) Esimerkki 3.8. Olkoon fx) x,, α j k. Esimerkkien. j. mukn D x x x j π D 3 x x.

6 3. FRAKTAALIDERIVAATAN JA -INTEGRAALIN OMINAISUUKSIA Hvitn, että ) D d x dx x mutt d dx D x Γ ) dt x t) D 3 x x, ) D x x d ) x dx π πx D 3 x x. 3.3. Riemnn-Liouvillen differintegrlioperttorin dditiivisuus Yksi Riemnn-Liouvillen differintegrlioperttorin yödyllinen ominisuus on frktli-integrlien dditiivisuus, jot kutsutn myös puolirymäominisuudeksi. Luse 3.9. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv, < x < b j olkoon α, β R +. Tällöin Dx α Dx β fx) ) Dx α β fx). Todistus. Vrt. [5, s. 59 6], [8, s. 3]) Riemnn-Liouvillen frktli-integrlin määritelmän.4 mukn Dx α Dx β fx) ) Dx β ft) ) dt Γα) x t) α Γα)Γβ) dt x t) α t fu) du t u) β. Vitmll integrointijärjestystä sdn Dx α Dx β fx) ) x dt fu) du Γα)Γβ) u x t) α t u). β Käyttämällä muuttujnvito t u+sx u), jolloin dt x u)ds, t u sx u) j x t x u) s), sdn integroimisrjoiksi t u t u x u j tu x u. tx Sieventämällä lusekett sekä soveltmll lusett.9 j frktli-integrlin määritelmää.4 sdn Dx α Dx β fx) ) x x u) ds fu) du Γα)Γβ) [x u) s)] α [sx u)] β x fu)x u) α+β du s β s) α ds Γα)Γβ) x Bα, β) fu)x u) α+β du Γα)Γβ) x fu)x u) α+β du Γα + β) x fu) du Γα + β) x u) α β D α β x fx).

3.3. RIEMANN-LIOUVILLEN DIFFERINTEGRAALIOPERAATTORIN ADDITIIVISUUS 7 Huomutus 3.. Vitmll frktli-integrlien kertlukujen järjestystä sdn Dx β Dx α fx) ) Dx β α fx) Dx α β fx) Dx α Dx β fx) ) luseen 3.9 nojll. Kyseinen ominisuus muistutt klssisen derivtn ominisuutt: ) ) d m d n fx) dn d m fx) dm+n fx), m, n N. dx m dx n dx n dx m dxm+n Seurvksi osoitetn, että dditiivisuus pätee myös frktliderivtlle j frktliintegrlille. Luse 3.. Olkoon funktio f : [, b] R n + ) kert jtkuvsti derivoituv, < x < b, j olkoon α, β R +, n < α < n + j n N. Tällöin Dx α D β x fx) ) Dx α β fx). Todistus. Vert [5, s. 6]) Kosk α n + ) + α n ) j α n <, niin lemmn 3.4 j luseen 3.9 nojll sdn Dx α D β x fx) ) dn+ [ dx n+ dn+ [ dx n+ Dx α β fx). Dx α n D α β n Dx β fx) )] x fx) ] Luseen 3. tärkeä erikoistpus on, että Riemnn-Liouvillen derivointioperttori on sm kertluku olevn integrointioperttorin vsen käänteisopertio. Seurus 3.. Olkoon funktioll f : [, b] R kertluvun α Riemnn-Liouvillen frktliderivtt. Tällöin Dx α Dx α fx) ) fx), α R +. Huomutus 3.3. Toisin kuin frktli-integrlit j klssiset derivtt, frktliderivtt eivät kommutoi. Jos m < α < m + j n < β < n +, α, β R +, m, n N, niin Dx α Dxfx) ) β Dx β vin, jos funktiolle fx) pätee eto Dx α fx) ) f k) ), k,,..., r ), Dx α+β fx) missä r mxn, m). Väitteen todistuksess trvitn lusekkeen.) rj-rvo, joten todistus sivuutetn. Väite on todistettu teoksess [5, 6 6].

8 3. FRAKTAALIDERIVAATAN JA -INTEGRAALIN OMINAISUUKSIA 3.4. Eri määritelmien vertilu Luvuss vittiin, että funktion fx) x kertluvun α Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtt ovt smt. Seurvss luseess todistetn, että Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen määritelmät ovt ytäpitävät kikille funktioille. Luse 3.4. Olkoon funktioll f : [, b] R kertluvun α Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen differintegrlit j < x < b. Tällöin jokisell α R pätee GL Dx α fx) Dx α fx). Todistus. Vert [, s. 5 5]) Olkoon funktio f mielivltinen, mutt kiinnitetty välillä [, b] j olkoon N x. Lsketn ensin Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktli-integrlien erotus. Kun α <, niin määritelmien. j.4 mukn on GL lim N Dx α fx) Dx α fx) [ α N m Γm α) fx m) Γ α)γm + ) ] ft) dt Γ α) x t). α+ Käyttämällä muuttujnvito u x t, jolloin t x u j dt du, sdn [ lim N [ lim N [ lim N lim N x ) α Γ α) α N m α N m α N m ] Γm α) fx m) Γ α)γm + ) Γ α) ] Γm α) fx m) Γ α)γm + ) Γ α) ] [ Γm α) fx m) Γ α)γm + ) α Γ α) lim N N fx m) m N lim N [ Γm α) Γm + ) m α Nx mx + m f N m x Γ α) ] ) fx u) du u α+ fx u) du u α+ N m fx m) m) α+ ) [ ] ) Γm α) N α Γm + ) m α. ] Käsitellään summ kdess osss: m M j M m N, missä luku M on riippumton luvust N j trpeeksi suuri, jott jälkimmäiseen summn

3.4. ERI MÄÄRITELMIEN VERTAILUA 9 voidn käyttää symptoottist ljennust.6). Tällöin M x ) α ) [ ] ) Nx mx + m Γm α) lim f N α Γ α) N N Γm + ) m α m N x ) α ) [ ] ) Nx mx + m + lim f N α+ m α α+ Γm α) m Γ α) N N N Γm + ) mm M x ) α ) [ ] ) Nx mx + m Γm α) lim f N α Γ α) N N Γm + ) m α m N x ) α ) Nx mx + m m ) [ ] ) α α+ Γm α) + lim f m Γ α) N N N N Γm + ). mm Trkstelln ensin ensimmäist ossumm. Lusekkeen ksulkeiss olev os on rjoitettu, kun α > eli α <. Kosk oletuksen mukn frktli-integrlit ovt olemss, funktio f on rjoitettu j siten myös termit f[nx mx + m]/n) ovt rjoitettuj. Kosk termi N α, kun α < j N, niin ensimmäinen ossumm suppenee koti noll. Trkstelln sitten toist ossumm. Lusekkeen ksulkeiss olev os on rjoitettu, sillä se läestyy symptoottisesti noll kvn.6) nojll. Kosk termit f[nx mx + m]/n) ovt myös rjoitettuj, ossumm suppenee koti noll, sillä j ) m α N N m < ), kun N. Väite siis pätee, kun α <. N Kun α, niin lemmn 3.4 j uomutuksen 3.6 nojll voidn kirjoitt GL Dx α fx) dk GL dx k D α k x fx) ) j Dx α fx) dk dx k D α k x fx) ), missä k Z +. Vlitsemll trpeeksi suuri k siten, että α k < väite toteutuu myös, kun α. Luvuss vittiin myös, että funktion fx) x kertluvun α 3 Riemnn- Liouvillen j puton frktliderivtt eivät ole smt. Riemnn-Liouvillen j puton määritelmien välille sdn kuitenkin seurv ytälö: Luse 3.5. Olkoon funktio f : [, b] R n kert jtkuvsti derivoituv, n N, < x < b j n < α < n. Tällöin jokiselle α R + pätee n Dx α fx) Dx α fx) f m) x )m α ) Γm α + ). m Todistus. Vert [7, s. 5 6]). Funktion fx) stett n olev Tylorin polynomi kodss x on fx) f) + f )x ) + f ) x ) + + f n ) )! n )! x )n ) + R n, fx) n m f m) ) Γm + ) x )m + R n, fx),

3 3. FRAKTAALIDERIVAATAN JA -INTEGRAALIN OMINAISUUKSIA missä R n, fx) f n) t)x t) n n )! dt Γn) f n) t)x t) n dt Dx n f n) x). Hyödyntämällä Riemnn-Liouvillen frktliderivtn linerisuutt, polynomifunktion Riemnn-Liouvillen frktliderivtn lusekett kts. luse 4.5) sekä frktliintegrlin puolirymäominisuutt sdn Dx α fx) Dx α mistä väite seur. n m n m f m) ) Γm + ) f m) ) Γm + ) x )m + R n, fx) ) Dx α x ) m + Dx α R n, fx) n f m) ) Γm + ) Γm + ) Γm α + ) x )m α + m n m n m f m) ) Γm α + ) x )m α + f m) ) Γm α + ) x )m α + D α x Dx α n f n) x) x Γn α) n f m) ) Γm α + ) x )m α + Dx α fx), m Dx n f n) x) f n) t) dt x t) +α n Huomutus 3.6. Luseen 3.5 mukn Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivtt ovt smt, kun f) f ) f n ) ).

LUKU 4 Esimerkkejä frktliderivtoist Tässä luvuss jodetn derivointikvt polynomifunktiolle j sen erikoistpukselle vkiofunktiolle) sekä eksponenttifunktiolle. Lisäksi kvoj vinnollistetn yksinkertisill esimerkeillä. Luku perustuu läteisiin [7] j [9]. 4.. Vkiofunktio Seurvss luseess todistetn yllättävä tulos: vkion Grünwld-Letnikovin frktliderivtt ei ole noll. Luse 4.. Olkoon fx), R j α R +. Tällöin GL Dx α x ) α Γ α). Todistus. Soveltmll Grünwld-Letnikovin määritelmään. muuntokv.4) sekä symptoottist ljennust.6) sdn [ ] α N GL x Dx α Γm α) lim N N Γ α)γm + ) m [ ] α x ΓN α) lim N N Γ α)γn) x ) α α ΓN α) lim N Γ α) N ΓN) x ) α Γ α). Huomutus 4.. Kosk luseen 3.4 mukn Grünwld-Letnikovin j Riemnn- Liouvillen määritelmät ovt ytäpitävät, myös Riemnn-Liouvillen määritelmän mukn Dx α x ) α Γ α). Esimerkki 4.3. Olkoon fx), j α. Tällöin funktion f Grünwld- Letnikovin j Riemnn-Liouvillen frktliderivtt on GL Dx α Dx α x Γ ). πx puton määritelmän etu Grünwld-Letnikovin j Riemnn-Liouvillen määritelmiin verrttun on, että vkion frktliderivtt on yteensopiv klssisen derivointituloksen knss. 3

3 4. ESIMERKKEJÄ FRAKTAALIDERIVAATOISTA Luse 4.4. Olkoon fx), R, n < α < n, α R + j n N. Tällöin Todistus. Määritelmän.9 mukn D α x Γn α) D α x. dt x t) α+ n. 4.. Polynomifunktio Kuten esimerkissä.6 vittiin, yksinkertisenkin polynomifunktion Riemnn- Liouvillen frktliderivtn määrittäminen on työlästä, sillä integrlilskuiss on käytettävä muuttujnvito. Seurvss luseess jodetn polynomifunktioille Riemnn-Liouvillen frktliderivtn kv. Luse 4.5. Olkoon fx) x ) p, n < α < n, α R + j p, n N. Tällöin D α x x ) p Γp + ) Γp α + ) x )p α. Todistus. Vrt. [9, s. 5 6]). Riemnn-Liouvillen frktliderivtn määritelmän.5 mukn D α x x ) p d n Γn α) dx n t ) p dt x t) α n+. Käyttämällä muuttujnvito t +sx ), jolloin dt x )ds, t sx ) j x t x ) s), sdn integroimisrjoiksi t t x j t x. tx Tällöin D α x x ) p d n Γn α) dx n [sx )] p x ) ds [x ) s)] α n+ d n s p s) n α x ) p α+n ds Γn α) dx n d n [x ) p α+n Γn α) dx n ] s p+ s) n α ds. Oletusten mukn p N j α < n, joten nyt p + > j n α >. Tällöin määrätty integrli toteutt betfunktion määrittelyedot kts. määritelmä.8). Luseen.9

j klssisten derivointisääntöjen mukn sdn 4.. POLYNOMIFUNKTIO 33 Dx α x ) p d n [ x ) p α+n Bp +, n α) ] Γn α) dx n [ ] d n p α+n Γp + )Γn α) x ) Γn α) dx n Γp + + n α) Γp + )Γn α) d n x )p α+n Γn α) Γp + + n α) dxn Γp + ) Γp + + n α) p α + n)p α + n )... p α + )x )p α. Soveltmll luseen.3 kot iii) sdn D α x x ) p mikä oli todistettv. Γp + ) Γp + + n α) Γp + ) Γp α + ) x )p α, Γp α + n ) x ) p α Γp α + ) Vstvll tvll voitisiin jot funktiolle fx) x ) p puton frktliderivtn luseke. Luseen 3.5 mukn puton frktliderivtt voidn kuitenkin määrittää yödyntämällä Riemnn-Liouvillen frktliderivtn lusekett. Seurvss luseess jodetn puton frktliderivtn kv yksinkertistelulle tpukselle: fx) x p. Luse 4.6. Olkoon fx) x p, ), p > n, n < α < n, α R + j p, n N. Tällöin Dx α x p Γp + ) Γp α + ) xp α. Todistus. Vrt. [7, s. 3]) Kosk p > n, funktio f on n kert derivoituv. Nyt f m) ) jokiselle m,,..., n, joten luseiden 3.5 j 4.5 mukn D α x x p Γp + ) n Γp α + ) xp α m Γp + ) Γp α + ) xp α. x m α f m) ) Γm α + ) Esimerkki 4.7. Olkoon fx) x j α. Nyt p j, joten luseiden 4.5 j 4.6 mukn D x x D x x Γ) x Γ 3 )x Γ, π )x mikä on ytäpitävää esimerkeissä.6 j. lskettujen tulosten knss.

34 4. ESIMERKKEJÄ FRAKTAALIDERIVAATOISTA Esimerkki 4.8. Vrt. [7, s. 3 3]). Tutkitn trkemmin funktiot fx) x. Nyt luseen 4.6 mukn funktion puton frktliderivtn yleinen luseke on Dx α x Γ3) Γ3 α) x α Γ3 α) x α. Lsketn funktion f frktliderivtt kertluvuill α 4,, 3, 4 5, : α 4 : D 4 x x 7 Γ 4.4x 4 4 )x7 α : D x x 3 Γ 5.5x )x3 α 3 : D 3 x x 4 Γ 7 3.68x 3 3 )x4 α 4 5 : D 4 5 x x 6 Γ 5.8x 5 5 )x6 α : Dxx Γ) x x Kuv 4.. Funktion fx) x frktliderivtt. Funktion fx) x frktliderivtn kuvjt on esitetty kuvss 4.. Hvitn, että kertluvun α ksvess frktliderivttfunktion kuvj läestyy ensimmäisen kertluvun derivttkuvj f x) x. Tämä seur luseest 3.3.

4.3. EKSPONENTTIFUNKTIO 35 4.3. Eksponenttifunktio Tässä liluvuss jodetn funktiolle fx) e λx, λ >, puton frktliderivtn lusekkeet käyttäen trksteluvälin lrjoin j. Derivointikvoj jodettess sovelletn luvuss määriteltyjä erikoisfunktioit: epätäydellistä gmmfunktiot j Mittg-Leffler-funktiot kts. määritelmät.5 j.). Ennen vrsinisten derivointikvojen joto todistetn kuitenkin seurv putulos: Lemm 4.9. Olkoon fx) e λx, λ R +, n < α < n, α R + j n N. Tällöin λα e λx Dx α e λx γn α, λx )), Γn α) missä γn α, λx )) on määritelmän.5 epätäydellinen gmmfunktio prmetrein z n α j c λx ). Todistus. Vrt. [9, s. 6]). puton frktliderivtn määritelmän.9 mukn Dx α e λx x λ n e λt dt Γn α) x t) α+ n λα+ Γn α) [λx t)] n α e λt dt. Käyttämällä muuttujnvito u λx t), jolloin t x u j dt du, sdn λ λ integroimisrjoiksi Tällöin λx t) tx j λx t) t λx ). D α x e λx λα+ Γn α) ) λα e λx Γn α) λx ) λx ) u n α e λx u λ du u n α e u du. Hyödyntämällä epätäydellisen gmmfunktion määritelmää.5 sdn luseke muotoon Dx α e λx λα e λx γn α, λx )), Γn α) mikä oli todistettv. Seurvksi jodetn funktion fx) e λx puton frktliderivtt tpuksess. Luse 4.. Olkoon fx) e λx, λ R +, n < α < n, α R + j n N. Tällöin Dx α e λx λ n x n α E,n α+ λx), missä λx) k E,n α+ λx) Γk + n α + ) k

36 4. ESIMERKKEJÄ FRAKTAALIDERIVAATOISTA on määritelmän. Mittg-Leffler-funktio prmetrein j b n α +. Todistus. Vert [9, s. 6 7].) Lemmn 4.9 mukn Dx α e λx λα e λx γn α, λx). Γn α) Hyödyntämällä epätäydellisen gmmfunktion srjkeitelmää.7) sdn luseke muotoon Dx α e λx λα e λx Γn α) λx)n α e λx λx) k Γn α) Γn α + k + ) λ n x n α k λx) k Γn α + k + ). k Soveltmll Mittg-Leffler-funktion määritelmää. sdn eksponenttifunktion frktliderivtn lusekkeeksi D α x e λx λ n x n α E,n α+ λx). Esimerkki 4.. Tpuksess funktion fx) e λx, x >, frktliderivtt ovt monimutkisi lusekkeit. Esimerkiksi, kun α, λ j n, on D x e x x E, 3 x). Funktion E, 3 x) lkeisfunktioesitys sdn tulukost. Siten D x e x x e x erf x), x missä on Gussin virefunktio. erfx) e t dt π Seurvksi jodetn funktion fx) e λx puton frktliderivtt tpuksess. Luse 4.. Olkoon fx) e λx, λ R +, n < α < n, α R + j n N. Tällöin Dx α e λx λ α e λx. Todistus. Vrt. [9, s. 6 7]). Lemmn 4.9 mukn D α x e λx Huomutuksen.6 nojll D α x e λx λα e λx γn α, λx ))) λα Γn α) λα e λx Γn α) lim γn α, c) λα c e λx γn α, ). Γn α) e λx Γn α) Γn α) λα e λx.

LUKU 5 Frktliderivtn sovelluksi Tässä luvuss trkstelln omogeenisi linerisi vkiokertoimisi frktlidifferentiliytälöitä. Aliluvuiss 5. j 5. jodetn Riemnn-Liouvillen j puton frktliderivtn Lplce-muunnokset, joit yödynnetään liluvuiss 5.3 j 5.4 lkurvotetävien rtkisemiseen. Viimeisessä liluvuss peredytään yteen fysiikn sovellukseen: frktlivärätelijään. Luku 5 perustuu läteisiin [5, s. 4 6, 38 39], [5, s. 84], [7, s. 46] j [3]. 5.. Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos Kuten liluvuss.5 todettiin, funktioll f : [, ) R on Lplce-muunnos, jos funktio f on eksponentilist kertluku vkioll K j se on ploittin jtkuv kts. määritelmä.4). Kosk trksteluväli on [, ), frktliderivtn lrjksi setetn. Vlint on perusteltu myös käytännön näkökulmst, sillä esimerkiksi jn lkupisteeksi on luontev sett t. Aliluvun 5.3 lkurvotetävää vrten trvitn Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos. Ensiksi kuitenkin jodetn kertluvun α frktli-integrlin Lplce-muunnos: Luse 5.. Olkoon S {s : Res) > K} j olkoon F : S funktion f : [, ) R Lplce-muunnos. Tällöin funktion f kertluvun α, α R +, Riemnn- Liouvillen frktli-integrlin Lplce-muunnos on L D α x fx)) s α F s), x >. Todistus. Vrt. [5, s. 4]). Kirjoitetn määritelmän.4 frktli-integrli funktioiden gx) x α j fx) konvoluution kts. määritelmä.): D α x fx) Γα) x t) α ft) dt Γα) xα fx). Määritelmän.4 mukn funktion gx) x α Lplce-muunnos on Gs) Lx α ) e st t α dt. Käyttämällä muuttujnvito t u, jolloin dt du, sdn luseke muotoon s s u ) α Gs) e u du s α e u u α du. s s Vertmll epäoleellist integrli gmmfunktion määritelmään. vitn, että Gs) Γα)s α. 37

38 5. FRAKTAALIDERIVAATAN SOVELLUKSIA Soveltmll konvoluutiolusett. sdn Riemnn-Liouvillen frktli-integrlin Lplce-muunnokseksi L Dx α fx)) Gs)F s) Γα) Γα) Γα)s α F s) s α F s). Nyt, kun frktli-integrlin Lplce-muunnos on jodettu, voidn jot Riemnn- Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos. Luse 5.. Olkoon S {s : Res) > K} j olkoon F : S funktion f : [, ) R Lplce-muunnos. Tällöin funktion f kertluvun α Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos on n L Dx α fx)) s α F s) s [ k Dx α k fx) ], x k missä x >, n < α < n, α R + j n N. Todistus. Vrt. [5, s. 5]) Määritelmän.5 mukn kertluvun α frktliderivtt sdn derivoimll n α)-kertist integrli, joten merkitään missä gx) D n α) x fx) Γn α) D α x fx) g n) x), x t) n α ft) dt, n < α < n. Luseen.3 mukn n 5.) L Dx α fx)) s n Gs) s k g n k ) ), missä k 5.) Gs) s n α) F s) luseen 5. nojll. Klssisen derivtn j frktli-integrlin dditiivisuudest kts. luse 3.) seur, että 5.3) g n k ) x) dn k dx n k Dx n α) fx) Dx n k n α) fx) Dx α k fx). Sijoittmll lusekkeet 5.) j 5.3) lusekkeeseen 5.) sdn Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnokseksi n L Dx α fx)) s α F s) s [ k Dx α k fx) ]. x k Riemnn-Liouvillen frktliderivtn Lplce-muunnos on minittu useiss frktlidifferentiliytälöitä käsittelevissä teoksiss kts. esim. [5, s. 5], [5, s. 84] j [, s. 3]). Sen itt kuitenkin on, että se sisältää rvoj [ Dx α k fx) ], x joille ei ole löydetty fysiklist tulkint.