Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea ratkaisu + 1p, jos on valmis esittämään ratkaisunsa annettuna päivämääränä. Esitetyn ratkaisun ei tarvitse olla täysin oikein jotta pisteen saa, mutta ratkaisun on oltava oikeansuuntainen. Kotitehtävät palautetaan palautuslaatikkoon (kyyhkyslakkojen vieressä laskutupaa Y190c vastapäätä, lokero merkitty tekstillä Mat-2.3114 Investointiteoria) tai laskuharjoituksiin siististi kirjoitettuna ja välivaiheet lyhyesti perusteltuina kello 10.00 mennessä annettuna päivänä. Myöhästyneitä palautuksia ei arvostella. Kotitehtäväpisteet skaalataan kurssin lopullista arvostelua varten. Kurssin kokonaispistemäärä on 40 pistettä ja se muodostetaan seuraavasti: 30p tentistä ja 10p kotitehtävistä. Lisäksi vierailijaluennosta saa yhden läsnäolopisteen. Tehtävä 1 (palautus ja esitys 4.3.2015) Tarkastellaan 100 000 euron asuntolainaa, jonka laina-ajaksi otetaan 25 vuotta. Lainan viitekoroksi tarjotaan kahta vaihtoehtoa: 12kk euribor + asiakaskohtainen marginaali tai 5v kiinteä korko. Oletetaan tässä, että koko lainapääoma tulee sitoa samaan viitekorkoon. Lainaa lyhennetään annuiteettina kuukausittain. Koroista saatavia verohelpotuksia ei tarvitse huomioida laskuissa. Olkoon asiakkaan marginaali 0,3%, jolloin 12kk euriboriin sidotun lainan koroksi tulee ensimmäiseksi vuodeksi 1,7% + 0,3% = 2,0%. Pankki tarjoaa 5v kiinteäksi (vuotuiseksi) koroksi 3,0%. Oletetaan, että 12kk euribor nousee λ prosenttiyksikköä vuosittain seuraavan 5 vuoden ajan. Tämän viitekorkoon sidotun lainan korontarkistus on kerran vuodessa siten, että ensimmäisen vuoden ajan korko on 2,00%, toisen vuoden ajan (2,00 + λ)%, kolmannen (2,00 + 2λ)% jne. Kiinteäkorkoiseen lainaan 12kk euriborin nousu ei seuraavan 5 vuoden aikana vaikuta. a. Mikä on lainan kuukausittainen annuiteettierä ensimmäisen vuoden ajan 12kk euriboriin sidottuna? Entä kiinteään korkoon sidottuna? (1p) b. Esitä graafisesti λ:n funktiona 12kk euriboriin sidotun lainan kuukausittaisen annuiteettierän suuruus toisena vuonna (eli ensimmäisen korontarkistuksen jälkeen), kun kokonaislaina-aika halutaan säilyttää ennallaan. Käytä λ:n arvoja -0,25%; 0%; 0,25%; 0,50%; 1,00% ja 2,00%. Piirrä samaan kuvaan vertailuksi kiinteäkorkoisen lainan kuukausimaksu. Huomaa laskuissa, että laina on lyhentynyt ensimmäisen vuoden aikana ja ensimmäisenä korontarkistuspäivänä laina-aikaa on jäljellä 24 vuotta. (1p) c. Esitä graafisesti λ:n funktiona kuinka paljon 12kk euriboriin sidotun lainan kokonaislaina-aikaa täytyy muuttaa toisen vuoden alussa, jos kuukausierä halutaan säilyttää ennallaan. Käytä λ:n arvoja -0,25%; 0%; 0,25%; 0,50%; 1,00% ja 2,00%. (1p) d. Tarkastellaan 12kk euriboriin ja 5v kiinteään korkoon sidottujen lainojen annuiteettierien summaa ensimmäisen viiden vuoden aikana. Millä λ:n arvolla (yllä kuvatussa tasaisen vuotuisen kasvun mallissa) 12kk euriboriin sidotun lainan viiden vuoden maksujen summa ylittää kiinteään korkoon sidotun lainan vastaavan ajan maksujen summan? (1p)
Tehtävä 2 (palautus ja esitys 6.3.2015) Taulukossa 1 on listattuna viiden eri joukkovelkakirjan tiedot. Kuponkimaksut suoritetaan kerran vuodessa. Taulukko 1 Joukkovelkakirja Hinta ( ) Maturiteetti (v) Nimellisarvo ( ) Kuponkikorko 1 496.54 4 500 3 % 2 658.82 2 600 8 % 3 1241.91 5 1200 4 % 4 913.81 3 1000 0 % 5 827.32 1 800 6 % a. Määritä joukkovelkakirjojen tietojen avulla korkokäyrä (so. spot-korot) viidelle vuodelle ja esitä käyrä graafisesti. (1p) b. Oletetaan, että odotushypoteesi pätee. Määritä spot-korkojen perusteella lyhyet korot seuraaville viidelle vuodelle. (1p) c. Määritä forward-korot f i,j kaikille pareille (i,j), kun i = 0,1,...,4; j = 1,...,5; j > i. (1p) d. Sijoitat rahaa riskittömän kohteen mukaista tuottoa maksavalle tilille seuraavasti: sijoitat 500 nyt (eli vuoden 1 alussa), 300 vuoden 2 alussa, ja 100 vuoden 3 alussa. Mikä on tilin saldo vuoden 5 lopussa, jos korkokehitys on a-kohdassa määrittämäsi korkokäyrän mukainen? (1p)
Tehtävä 3 (palautus ja esitys 11.3.2015) Oletetaan, että spot-korot ovat tehtävässä 2 määrittämäsi korkokäyrän mukaiset. Taulukossa 3 on esitetty kahden joukkovelkakirjan kassavirrat ( ) ja hinnat ( ) sekä pankin tulevat maksusitoumukset ( ) seuraavan neljän vuoden ajalle. Taulukko 3 Vuosi Joukkovelkakirja 1 Joukkovelkakirja 2 Sitoumukset 1 10 10 2 10 10 20000 3 10 110 80000 4 110 100000 Hinta ( ) 125.32 119.72 a. Muodosta ainoastaan joukkovelkakirjaa 2 käyttäen portfolio, jonka nykyarvo täsmää mahdollisimman hyvin maksusitoumusrakenteen nykyarvon kanssa. (1p) b. Oletetaan, että korkokäyrä siirtyy välittömästi yhden prosenttiyksikön ylöspäin (nk. paralleelisiirtymä). Arvioi duraatioiden avulla, kuinka suureksi sitoumusrakenteen ja a-kohdassa muodostamasi portfolion nykyarvojen erotus muodostuu korkokäyrän paralleelisiirtymän seurauksena. (1p) c. Muodosta nyt molemmista joukkovelkakirjoista maksusitoumusrakenteen immunisoiva portfolio. (1p) d. Arvioi duraatioiden avulla, miten b-kohdan mukainen korkokäyrän paralleelisiirtymä vaikuttaa immunisoidun portfolion ja maksusitoumusrakenteen nykyarvojen erotukseen. Löytyykö immunisointitehtävälle ratkaisua, jossa molempien joukkovelkakirjojen lukumäärät ovat portfoliossa ei-negatiivisia? Perustele vastauksesi duraatioiden avulla. (1p)
Tehtävä 4 (palautus ja esitys 13.3.2015) Tarkastellaan sellaisia yksinkertaistettuja markkinoita, joilla on tarjolla kolme osakesarjaa A, B ja C. Taulukossa 2 on listattuna kunkin osakesarjan tiedot. Taulukko 2 Osakesarja Odotettu Tuoton Korrelaatio Korrelaatio Korrelaatio tuotto keskihajonta A:n suhteen B:n suhteen C:n suhteen A 20 % 25 % 1.00-0.25 0.30 B 15 % 20 % -0.25 1.00 0.40 C 10 % 15 % 0.30 0.40 1.00 a. Rakenna A:sta, B:stä ja C:stä koostuva minimivarianssiportfolio siten, että jokaisen osakesarjan suhteellinen osuus tässä portfoliossa on ei-negatiivinen. Mikä on tämän minimivarianssiportfolion tuoton odotusarvo? (1p) b. Rakenna osakesarjojen A, B ja C avulla tehokas portfolio, jonka odotettu tuotto on 18%. Missä suhteessa portfolio sisältää osakesarjoja ja mikä on tämän portfolion tuoton keskihajonta? (1p) c. Oletetaan, että markkinoilla on lisäksi tarjolla riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on 5%. Rakenna A:sta, B:stä ja C:stä koostuva portfolio, josta yhdessä riskittömän sijoituskohteen kanssa voidaan muodostaa mikä tahansa tehokas portfolio. Mikä on tämän portfolion tuoton odotusarvo ja keskihajonta? (1p) d. Esitä graafisesti tuotto-keskihajontakaaviossa osakesarjat A, B ja C sekä a-, b- ja c-kohdissa rakentamasi portfoliot. Piirrä samaan kaaviokuvaan lisäksi c-kohdassa muodostamasi portfolion ja riskittömän sijoituskohteen kautta kulkeva suora. (1p)
Tehtävä 5 (palautus ja esitys 18.3.2015) Oletetaan, että pörssissä on vain kaksi osakesarjaa A ja B. Taulukossa 1 on listattu osakesarjojen tiedot. Osakesarjojen tuottojen välinen korrelaatio on ρ AB = 1/2. Lisäksi markkinoilla on valtion obligaatioita, joiden tuotto on riskitön. Pörssin oletetaan toimivan CAPM:n mukaisesti ja markkinaportfolion odotetuksi tuotoksi on estimoitu 8.6%. Taulukko 1 Osakesarja Osakkeiden lukumäärä Osakkeen hinta Odotettu tuotto Tuoton keskihajonta A 100 15? 12% B 200 18 8% 6% a. Kuinka suuri on osakesarjan A odotettu tuotto? (1p) b. Laske markkinaportfolion keskihajonta. (1p) c. Määritä molempien osakesarjojen β-kertoimet. (1p) d. Kuinka suuri on valtion obligaatioiden riskitön korko? (1p)
Tehtävä 6 (palautus ja esitys 25.3.2015) Maanviljelijä on sitoutunut myymään 5 tonnia kauraa vuoden kuluttua ja on päättänyt suojautua kauran tulevilta hinnanmuutoksilta vehnäfutuurien avulla, koska kaurafutuureita ei ole saatavilla. Kauran ja vehnän tämänhetkiset hinnat sekä vuosittaiset keskihajonnat on esitetty taulukossa 2. Kauran ja vehnän hintojen väliseksi korrelaatioksi on estimoitu 0,50. Taulukko 2 Tuote Hinta Vuotuinen keskihajonta Kaura 150 /tonni 20% Vehnä 180 /tonni 25% a. Muodosta maanviljelijälle minimivarianssisuojaus. (2p) b. Kuinka paljon minimivarianssisuojaus pienentää (prosentuaalisesti) kauraerän myyntiin liittyvää hintariskiä (so. keskihajontaa)? (2p)
Tehtävä 7 (palautus ja esitys 27.3.2015) Osakkeen vuotuinen volatiliteetti on 20% ja tämänhetkinen kurssi on 100 euroa. Osakkeeseen kohdistuu myyntioptio (put), jonka toteutushinta on 90 euroa ja päättymispäivä 5 kuukauden kuluttua. Riskitön vuosikorko on 5%. a. Määritä amerikkalaisen myyntioption arvo binomihilalla, jonka perusperiodin pituus on yksi kuukausi. (1p) b. Määritä vastaavan eurooppalaisen myyntioption arvo binomihilalla, jonka perusperiodin pituus on yksi kuukausi. Perustele, ovatko a- ja b-kohdan arvot keskenään johdonmukaiset. (1p) c. Samaan osakkeeseen kohdistuu myös nk. valintaoptio, jonka haltija saa 3 kuukauden kuluttua valita, toteutetaanko optio eurooppalaisena myyntioptiona vai eurooppalaisena osto-optiona. Myös tämän valintaoption toteutushinta on 90 euroa ja päättymispäivä on 5 kuukauden kuluttua. Määritä valintaoption hinta binomihilalla, jonka perusperiodin pituus on yksi kuukausi (jolloin option tyypin valinta tapahtuu periodin 3 päätteeksi). Perustele onko saamasi hinta johdonmukainen b-kohdan kanssa. (2p)
Tehtävä 8 (palautus ja esitys 1.4.2015) Harkitset vuokraavasi metsäpalstan, jolla puut kasvavat joka vuosi taulukon 3 mukaisella kertoimella (ensimmäisenä vuonna, hetkien 0 ja 1 välillä puumäärä kasvaa siis kertoimella 1.20 jne.). Puutavaran markkinahinta on stokastinen ja se noudattaa binomihilaa parametrein u = 1.20 ja d = 0.90. Riskitön vuosikorko on 5.0%. Metsäpalstasta vaadittava vuokra on 500 000 euroa vuodessa ja se maksetaan kunkin vuoden alussa etukäteen. Metsäpalstalla kasvavien puiden arvo on 2 miljoonaa euroa, jos ne hakattaisiin välittömästi (puun määrä hetkellä 0 kertaa puun hinta hetkellä 0). Puut voidaan kaataa minkä tahansa vuoden lopussa, jonka jälkeen metsäpalsta on annettava pois vuokralta. Puutavara voidaan varastoida ilman kustannuksia. Taulukko 3 Vuosi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kasvu 1.20 1.15 1.10 1.20 1.10 1.20 1.10 1.05 1.20 1.10 a. Määritä vuokrausmahdollisuuden arvo reaalioptioiden avulla asettamalla perusperiodin pituudeksi yksi vuosi. Vuokrasopimus on korkeintaan 10 vuoden mittainen, eli puut on hakattava viimeistään vuoden 10 lopussa. (2p) b. Mikä on paras hakkuustrategia, kun metsäpalstan vuokra on 500 000 euroa: missä päätössolmuissa (=minkä vuosien lopussa) puut kannattaa kaataa? Esitä strategia rinnakkaisena päätöshilana, jonka jokaisessa solmussa 0 = maksetaan seuraavan vuoden vuokra ja 1 = kaadetaan ja myydään puut, jolloin vuokraus loppuu. (2p)