Projektin arvon määritys

Transkriptio

1 Projektin arvon määritys Luku 6, s Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1

2 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin arvon V sijaan. Laajennus luo pohjan myöhemmin Luvussa 6 tehtävillä lisäyksille Kiinteä tuotantokustannus Vaihtuva tuotantokustannus Investoinnin arvon poisto Investointikustannuksen stokastisuus Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 2

3 Eteneminen 1 Johdetaan kohde-etuuden hinnan ja projektin arvon välinen riippuvuus 2 Johdetaan kohde-etuuden hinnan ja projektiin oikeuttavan option arvon välinen riippuvuus Menetelmät Brownin liike Iton Lemma CAPM Johdannaisanalyysi/dynaaminen optimointi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 3

4 Mallin laajennus Oletetaan hinnan P ja kysynnän D(Q) olevan kääntäen verrannollisia toisiinsa seuraavasti P = YD( Q), missä Y = Brownin liikettä noudattava satunnaismuuttuja D(Q) = kysyntä Q = tuotantomäärä Tuotantomäärän Q ollessa kiinteä (1), voidaan tarkastelussa olettaa hinnan noudattavan Brownin liikettä dp = αpdt + σpdz Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 4

5 A. Koron määritys Kuten aiemmin kappaleessa 5, valitaan diskonttokorko johdannaisanalyysissä CAPM-mallia käyttäen µ = r + φσρ pm Jotta projektin arvo olisi äärellinen, oletetaan µ > α Merkitään osinkoa δ = µ α Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 5

6 B. Projektin arvon määritys (1) Muodostetaan riskitön portfolio: projekti + n kpl kohde-etuutta lyhyeksi ostettuna, jolloin pääoman kasvuksi aikavälillä dt saadaan Iton Lemmaa käyttäen dv ndp = P[ V n] + P V dt P[ V n] dz α ' 1 σ '' + ' σ Eliminoidaan termin dz kerroin valitsemalla n = V (P) Kun huomioidaan pääoman tuotosta maksettava osinko, saadaan aikavälin dt kokonaistuotoksi P δ PV ' + σ P V '' dt 2 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 6

7 B. Projektin arvon määritys (2) Tämän täytyy vastata riskitöntä tuottoa, jolloin projektin arvon V(P) tulee toteuttaa σ P V '' + ( r δ ) PV ' rv + P = 0 2 β Yritettä V ( P) = AP vastaavien ratkaisujen ehdoksi saadaan 1 2 Q σ β( β 1) + ( r δ ) β r = 0 2 Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa β P 1 β2 V ( P) = B1 P + B2 P + β 1 > 0 > β { δ 3 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 7

8 C. Spekulatiivisten termien eliminointi β1 1 Termi B 1 P on hinnan mahdolliseen nousuun liittyvä spekulatiivinen kupla, joka jätetään jatkotarkastelussa huomiotta => B 1 = 0 2 V(0) = 0 => B 2 = 0 3 Differentiaaliyhtälön erikoisratkaisu vastaa projektin arvon odotusarvoa E[V(P)] [ ( )] { E V P α t µ t P P = Pe e = = E( P) µ α δ 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 8

9 Tulkintoja β1 Termi B 1 P sisältää hinnan stokastiikan projektille tuoman mahdollisuuden odotusarvoa parempaan tuottoon ja sen eliminointi palauttaa yhtälön takaisin odotusarvoon P V ( P) δ Toimenpide ei kuitenkaan eliminoi stokastiikkaan perustuvaa option arvoa vaan palauttaa tehtävän aiemmin Luvussa 5 esitettyyn malliin, jossa stokastiikka kytkettiin projektin arvoon Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 9

10 D. Option arvon määritys (1) Muodostetaan riskitön portfolio: Optio investoida + n = F (P) kpl tuotetta, jolloin option arvon F(P) tulee toteuttaa σ P F'' + ( r δ ) PF' rf = 0 2 Yhtälön ratkaisuksi saadaan β F( P) = A P + A P 1 2 β 1 2 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 10

11 D. Option arvon määritys (2) Option arvon F(P) ratkaisun tulee täyttää reuna-ehdot F( 0) = 0 A2 = 0 β P * 1 F( P*) = V ( P*) I A1 ( P*) = δ β F'( P*) = V '( P*) 1 A1 ( P*) = β δ I Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 11

12 D. Option arvon määritys (3) Ratkaisuksi saadaan β1 F( P) = A1 P 2 1 r δ r δ 1 r β = σ σ 2 σ β1 1 ( β1 1) A1 = β1 1 β1 I ( δβ1) 2 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 12

13 Tulkintoja Projektin kriittinen arvo V* on kohde-etuuden hintaa käyttäen sama kuin projektin arvosta laskien β 1 V * = I β 1 1 Edellä kohde-etuuden hinnan ja projektin arvon välinen riippuvuus oli lineaarinen. Option arvo voidaan kuitenkin johtaa hinnan funktiona myös tilanteissa, joissa kohde-etuuden hinnan ja projektin arvon riippuvuus tästä poikkeava. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 13

14 Case: Panimoinvestointi Oluen tuotanto ja kulutus 500,0 450,0 Suomessa 100,0 95,0 90,0 85,0 400,0 350,0 300,0 80,0 75,0 70,0 65,0 60,0 55,0 Tuotanto (milj. litraa) Kulutus (milj. litraa) Kulutus/henki (litraa) 250, Lähde: CBMC The Brewers of Europe ,0 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 14

15 Case: Panimoinvestointi Oletetaan, että oluen tuotanto Q riippuu käänteisesti hinnasta P dq = YD( P) missä Y on stokastinen muuttuja Oletetaan myyntihinta vakioksi 1 Euro/litra ja mallinnetaan tuotannon vaihtelua Wiener-prosessilla dq = σqdz Oletetaan, että investoinnin arvon ja tuotannon saadaan diskonttaamalla tuotannon arvo Q V ( Q) = µ Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 15

16 Case: Panimoinvestointi Wiener-prosessi sovitettuna kysyntään 500,0 450,0 400,0 350,0 Kulutus (milj. litraa) Q(t) 300,0 250, Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 16

17 Kotitehtävä 15 A Mikä on investointiin oikeuttavan option arvo ilmaistuna tuotannon funktiona F(Q)? oluen tuotannon keskihajonta σ = 0, 20 investointikustannus I = 10 miljoonaa Euroa investoinnista kaksi kolmannesta rahoitetaan omalla pääomalla, jonka tuottotavoite on 15% ja yksi kolmannes vieraalla pääomalla, jonka korkokustannus on 6% B Kannattaako investointi vai option pito tuotannon ollessa 1,5 miljoonaa litraa? Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 17