12. Korkojohdannaiset

Transkriptio

1 2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla voidaan hallita korkokehityksen epävarmuudesta johtuvia riskejä. Esimerkkejä. Joukkovelkakirjat (ks. luento 3). 2. Jvk:ihin kohdistuvat optiot. esim. optio, joka antaa päättymispäivänään oikeuden ostaa 0 v:n jvk optiossa asetettuun toteutushintaan. 3. Jvk:ihin sisältyvät optiot. esim. liikkeellelaskija voi varata itselleen oikeuden ostaa jvk takaisin (callable bond). takaisinostaminen kannattaa, mikäli korot laskevat jvk:n implikoimaa alhaisemmiksi. 4. Kiinnelainat (mortgages). esim. asuntolainan ottaja voi kuolettaa ennenaikaisesti joko koko lainan tai osan siitä. Ahti Salo / Pekka Mild

2 5. Rajattu vaihtuva korko (interest caps & floors) esim. lainasta maksetaan vaihtuvaa korkoa siten (esim. EURIBOR+2%), että korko pysyy lainaehdoissa määriteltyjen rajojen puitteissa. 6. Koronvaihtosopimukset (swap). sopimusosapuolet vaihtavat eri korko-instrumenteista saatavat tuotot keskenään esim. A maksaa B:lle kiinteän koron mukaan, ja B maksaa A:lle vaihtuvan koron mukaan 7. Optiot koronvaihtosopimuksiin (swaption). 2. Korkorakenteen mallintaminen Korkojohdannaisten hinnoittelu edellyttää korkorakenteen mallittamista.. Spot-korkojen muutokset eivät ole riippumattomia riippuvuudet on otettava mallinnuksessa huomioon 2. Samansuuntaiset korkorakenteen siirtymät tarjoavat arbitraasimahdollisuuksia esim. porftfolion immunisointi (Ex 3.0) korkojen muutos antaa riskittömän voiton B-tyypin arbitraasi! tarvitaan monipuolisempi korkorakenteen malli. - 2-

3 Mallinnetaan korkorakenne binomihilana. Valitaan perusperiodin pituus (esim.vko/kk/a) 2. Liitetään hilan jokaiseen solmuun lyhyt korko: ensimmäisen solmun lyhyt korko tunnetaan (siihen ei liity epävarmuutta) muiden solmujen korot saadaan kertomalla edeltävän solmun lyhyt korko termillä u, jos solmuun tullaan siirtymällä kaarta pitkin ylöspäin termillä d, jos solmuun tullaan siirtymällä kaarta pitkin alaspäin kuhunkin kaareen liitetään riskineutraali tn (usein ½). Jos r ti on lyhyt korko ja V ti korkoinstrumentin arvo solmussa (t,i), niin V ti + Vt +, i + Vt +, i + + rti 2 2 missä D ti on korkoinstrumentista saatava kuponkituotto. D ti Riskineutraali hinnoittelu (so. kassavirtojen odotusarvoihin perustuva tarkastelu) sulkee pois arbitraasimahdollisuudet. - 3-

4 Esim. Tarkastellaan kaksiperiodista tapausta, jossa jvk:sta saadaan toisen periodin päätteeksi. solmussa (,0) jvk:n arvo on P + r 0 solmussa (,) jvk:n arvo on P solmussa (0,0) jvk:n arvo on P 00 ( ½ + ½ ) 0 + r ( ½ + ½ ) + r + r ( ½ P + ½ P ) ½ Tämä implikoi kahden periodin spot-koron s 2, joka toteuttaa ehdon P + s Ts. lineaarinen hinnoittelu (so. instrumenttien hinnoittelu niiden tuottojen odotusarvon perusteella) binomihilassa implikoi koko korkorakenteen. 0 + r 00 2 ( 2 ) 0 + ½ + r - 4-

5 Esim. Muodostetaan malli kuuden vuoden koroille binomihilan parametreilla r , u.3, d0.9. Lyhyiksi koroiksi saadaan ,070 0,09 0,8 0,54 0,200 0,260 0,063 0,082 0,06 0,38 0,80 0,057 0,074 0,096 0,25 0,05 0,066 0,086 0,046 0,060 0,04 Neljän vuoden spot-korko saadaan hinnoittelemalla nollakuponkinen jvk, joka maksaa nimellisarvonsa 4 v:n kuluttua: (tässä esim. P(3,3) /(+0.54)*(½ +½ )0.867) ,733 0,75 0,792 0,867 0,88 0,848 0,904 0,89 0,93 0,95 Näin 4 v:n spot-koroksi tulee ( + s 4 ) Vastaavalla tavalla saadaan myös muut spot-korot. s 4-5-

6 3. Binomihilan käyttö hinnoittelussa Monet korkoinstrumentit voidaan hinnoitella binomihilan avulla. a) Optio joukkovelkakirjaan Esim. Oletetaan, että edellisen esimerkin binomihila kuvaa korkojen kehitystä, jolloin maturiteetiltaan 4 vuoden pituisen ja nimellisarvoltaan 00 suuruisen nollakuponkisen jvk:n hinta on Eurooppalainen osto-optio antaa oikeuden ostaa tämä jvk 3 v:n kuluttua hintaan 90. Mikä on tämän option arvo? Rakennetaan binonomihila 3 v:n alkuun s.e. binomihilan viimeiseen sarakkeeseen tulee option arvo sen päättymishetkellä option arvo lasketaan tästä taaksepäin riskineutraaleja todennäköisyyksiä käyttäen option arvoksi tulee,602, sillä 0 2 3,602 0,82 0,69 0 2,606,623 0,378 3,98 3,35 5,45-6-

7 b) Jvk-kaupan terminointi (forward-sopimus) Esim. Tarkastellaan sopimusta, jossa maturiteeriltaan 2 vuotinen 0%-kuponkikoron jvk ostetaan 4 vuoden päästä. Mikä on tämän terminoidun kaupan forward-hinta? Jvk:n arvo saadaan binomihilasta käyttäen riskineutraaleja todennäköisyyksiä 5. ja 6. vuoden alussa saadaan kuponkituotto 0% muina vuosina ei kuponkituottoja saada jvk:n nykyarvoksi saadaan 72.90, sillä ,90 72,20 73,07 76,38 83,56 97,3 0,00 83,8 84,46 87,06 92,69 03,23 0,00 93,72 95,69 99,96 07,82 0,00 02,38 05,53,27 0,00 09,68 3,80 0,00 5,63 0,00 0,00 Koska kauppa on terminoitu 4 vuoden päähän, niin forwardhinta on kuitenkin tätä suurempi. Edellä 4 vuoden diskonttokertoimeksi d 0,4 saatiin 0,733 termiinisopimuksen arvo on 72,90 d 0,4 72,90 0,733 99,40-7-

8 c) Jvk:hon kohdistuvan futuurin hinnoittelu Esim. Tarkastellaan futuurisopimusta, joka kohdistuu edellisen esimerkin jvk:hon. Mikä on tämän sopimuksen futuurihinta? Edellä laskettiin binomihilalla jvk:n arvo 4 vuoden kuluttua. Futuurisopimuksen arvo 3. vuoden päättyessä riippuu siitä, millainen jvk:n arvo on 4. vuoden päättyessä. tarkastellaan solmua (3,3), jonka jälkeen jvk:n arvo lopuksi joko 83,56 tai 92,69. jos futuurihinta on F, niin sopimuksesta saadaan voittoa joko 83,56 F tai 92,69 F tuoton odotusarvo on 0.5(83.56 F ) + 0.5(92.69 F ) F 0.5( ) 88.3 futuurihinta määrittyy siten, että odotusarvo on nolla ts. futuurihinta saadaan laskemalla jvk:n arvo binomihilassa takaisinpäin ilman diskonttausta ,2 95,88 92,23 88,3 83,56 02,36 99,54 96,33 92,69 05,8 02,75 99,96 07,6 05,53 09,68 Hinnaksi saadaan 99.2 < hinnoitteluekvivalenssi ei enää päde! - 8-

9 4. Forward-yhtälö ja elementäärihinnat Binomihila määrittää korkorakenteen täysin k:n vuoden spot-korko saadaan laskemalla rekursiivisesti maturiteetiltaan k:n vuoden mittaisen nollakuponkisen jvk:n nykyarvo tämä edellyttää jokaisen maturiteetin käsittelyä erikseen spot-koron laskeminen k:nnelle vuodelle edellyttää k k(k+)/2 laskutoimitusta spot-korkojen laskeminen n:lle eri vuodelle edellyttää n k ( k + k 2 laskutoimitusta. ) n 3 Elementäärihinta on P 0 (k,s) sellaisen instrumentin nykyarvo, josta saatava kassavirta on yhden yksikön suuruinen hetkellä k tilassa s ja muuten nolla. A. Tarkastellaan solmua (k+,s) missä s 0 ja s k+ ko. solmun elementäärihinta on P 0 (k+,s) solmulla on kaksi edeltäjää (k,s) ja (k,s-) solmuun (k+,s) liittyvä yhden yksikön kassavirta allokoituu rekursiossa näille solmuille s.e. niissä saatavat ekvivalentit kassavirrat ovat ½d k,s ja ½d k,s- - 9-

10 P koska edeltäjien elementäärihinnat ovat P 0 (k,s-) ja P 0 (k,s), niin saadaan ekvivalenssi B. Solmulla (k+,k+) on yksi edeltäjä yhden yksikön kassavirta (k+,k+):ssä on ekvivalentti (k,k):ssa saatavan ½d k,k suuruisen kassavirran kanssa C. Solmulla (k+,0) on yksi edeltäjä (k,0) [ d P ( k, s ) d P ( k, )] ( k +, s) k, s 0 + k, s s P0 ( k +, k + ) d k, k P0 ( k, k ) 2 yhden yksikön kassavirta (k+,0):ssa on ekvivalentti (k,0):ssa saatavan ½d k,o suuruisen kassavirran kanssa P0 ( k +,0) d k,0p0 ( k,0) 2 Saadaan forward-rekursio, jossa myöhempien periodien elementäärihinnat saadaan aikaisempien periodien elementäärihinnoista. Nollakuponkisten jvk:iden nykyarvo (ja siis spot-korot) saadaan suoraan elementäärihinnoista: esim. nimellisarvoltaan yhden yksikön suuruisen ja maturiteetiltaan n vuoden mittaisen jvk:n arvo on P n 0 P0 ( n, s) s 0-0-

11 Esim. Jos lyhyet korot ovat edellisten esimerkkien mukaiset, niin elementäärihinnoiksi saadaan Sum Korkorakenteen estimointi Tähän mennessä emme ole vielä ottaneet kantaa siihen, miten binomihila pitäisi rakentaa rakenne on pyrittävä sovittamaan havaittuun korkorakenteeseen a) Ho-Leen malli Ho-Leen mallissa lyhyet korot määrittyvät kaavasta rks a k + b k s missä a k ja b k ovat estimoitavia parametreja ja s on solmun indeksi (0,..,k) a k kuvaa korkorakenteessa esiintyviä siirtymiä b k kuvaa varianssia - -

12 estimoitu varianssi yleensä vakio b k b vakio lyhyiden korkojen varianssi on b/2 b voidaan estimoida datasta. Ks. esim