ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2

Transkriptio

1 Moniperiodisten investointitehtäviä tarkasteltaessa sijoituskohteiden hintojen kehitystä mallinnetaan diskeetteinä (binomihilat) tai jatkuvina (Itô-prosessit) prosesseina. Sijoituskohteen hinta hetkellä k on S(k) Additiivinen malli: S(k + 1) = as(k) + u(k), k = 0,..., N S(k) = a k S(0) + a k 1 u(0) + a k 2 u(1) + + u(k 1) Jos u(k):t normaalijakautuneita ja odotusarvo 0, hintaprosessi on normaalijakautunut ja sen odotusarvo on E[S(k)] = a k S(0) Additiivinen malli sisältää heikkouksia kuten esim. u(k):t voivat olla negatiivisia, jolloin negatiiviset S(k):t mahdollisia, mikä on epärealistista. Multiplikatiivinen malli: S(k + 1) = u(k)s(k), k = 0,..., N 1 S(k) = u(k 1)u(k 1) u(0)s(0) u(k):t riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka kuvaavat hinnan suhteellista muutosta. Mallia voidaan tarkastella additiivisena mallina ottamalla logaritmit: ln S(k + 1) = ln S(0) + ln u(k) Oletetaan, että w(k) = ln u(k) normaalijakautuneita, jolloin u(k):t log-normaalijakautuneita: Jos E[w(k)] = v ja V ar[w(k)] = σ 2 niin k 1 ln S(k) = ln S(0) + w(i) i=0 E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2 Binomihilan määrittää: Kohteen hinta alussa S(0) Hilaperiodin pituus Ylös- ja alaspäin tapahtuvien suhteellisten hinnanmuutosten suuruus u ja d Todennäköisyys p, jolla hinta nousee Parametrisoidaan hintaprosessi siten, että v on hinnan suhteellisen vuosimuutoksen logaritmin odotusarvo ja σ vastaava keskihajonta: v = E[ln S(T ) S(0) ] σ2 = V ar[ln S(T ) S(0) ] Tehtävänä on määrittää binomihilan parametrit siten, että ne kuvaavat havaittua hintaprosessia odotusarvon ja varianssin suhteen

2 Voidaan skaalata S(0) = 1, jolloin hinnan S(1) logaritmin odotusarvoksi ja varianssiksi saadaan E[ln S(1)] = E[ln S(0) + w(0)] = pln u + (1 p)ln d V ar[ln S(1)] = E[(ln S(1)) 2 ] E[ln S(1)] 2 = p(ln u) 2 +(1 p)(ln d) 2 [pln u+(1 p)ln d] 2 = p(1 p)(ln u ln d) 2 Merkitsemällä U = ln u ja D = ln d saadaan yhtälöpari pu + (1 p)d = v t p(1 p)(u D) 2 = σ 2 t Määritettäviä parametreja kolme, mutta yhtälöitä vain kaksi. Asetetaan lisävaatimus u = 1 d jolloin saadaan (2p 1)U = v t 4p(1 p)u 2 = σ 2 t eli U = D, Ratkaisemalla tämä saadaan p = 1 2 (1 + 1 ) σ 2 v 2 t + 1 U = σ 2 t + (v t) 2 Kun t on pieni voidaan approksimoida p 1 2 (1 + 1 ) = 1 σ 2 2 (1 + v t) σ v 2 t U σ 2 t = σ t u = e σ t d = 1 u = e σ t Lopputilojen ( todennäköisyydet saadaan binomijakaumasta. Lopputilan S = u k d n k S(0) todennäköisyys nk ) on p k (1 p) n k.

3 1. (L11.1) Osakkeen päivän hinta pörssissä on S(0) = 100 ja osakkeen hinnan logaritmin vuotuisen kasvun v odotetaan olevan 12%. Kasvun vuotuinen volatiliteetti on σ = 20%. Määritä sellaiset parametrit binomihilaan, että ne kuvaavat osakkeen käyttäytymistä 3 kuukauden perusperiodilla. Piirrä hila ja kirjoita solmujen arvot vuodelle 1 (periodi 4). Mitkä ovat saapumistodennäköisyydet eri lopputiloihin? Ratkaisu: Hinta alussa S(0) = 100 Hinnan logaritmin vuotuinen kasvu v = 12% (v = E[ln( S(T ) S(0) )]) Hinnan kasvun vuotuinen volatiliteetti σ = 20% (σ 2 = V ar[ln( S(T ) S(0) )]) Aikaperiodi t = 3 12 = 0.25 Oletetaan, että osake kasvaa jatkossakin odotusarvoisesti v:n verran: p = ( v σ ) t = 65.0% Muodostetaan binomihila parametreilla u ja d: u = e σ t = d = e σ t = kk 3 kk 6 kk 9 kk 12 kk # u/d Todennäköisyys p p 12kk ln( S(T ) S(0) ) S(T ) p ln( S(0) ) uuuu 17.9 % uuud 38.4 % uudd 31.1 % uddd 11.1 % dddd 1.5 % Odotettu tuotto on siis 14.78%. 12% on hinnan vuotuisen kasvun logaritmin odotusarvo!

4 2. (L12.1) Sijoittaja uskoo osakkeen hinnan nousevan ja haluaa muodostaa bull spreadin tälle osakkeelle. Yksi tapa muodostaa tällainen spread on ostaa osto-optio, jonka toteutushinta on K 1, ja myydä osto-optio, jolla on sama päättymispäivä kuin edellisellä osto-optiolla mutta jonka toteutushinta on K 2 > K 1. Piirrä spreadin tuottokäyrä. Onko spreadin alkuperäinen hinta positiivinen vai negatiivinen? Ratkaisu: Perusoptioita on kahdenlaisia, osto-optioita ja myyntioptioita. Kumpikin näistä voidaan joko ostaa tai myydä. Näin muodostuu siis yhteensä 4 erilaista tuottokäyrää. Alla olevissa kuvissa x-akseli on osakkeen hinta ja y-akseli optiosta saatu tuotto. Taitekohta on option toteutushinta ja vaakasuora taso on nollataso eli tuotto on 0. Option myymisen tuottokäyrä on y-akselin suhteen peilikuva option ostamisesta. On huomattava, että option ostamisen tuottokäyrä on ei-negatiivinen ja option myymisessä ei-positiivinen. Option myynnissä voitto saadaan option myyntihinnasta. Tämä laskee option ostamisen voittokäyrän (tuotto+ostohinta) aloitustason alle nollan ja nostaa option myymisen aloitustason nollan yläpuolelle. Seuraavaksi muodostetaan kuvaaja osto-option ostosta ja osto-option myynnistä, kun myynnin toteutushinta on suurempi kuin oston. Saadaan seuraavanlainen kuva, jossa paksu viiva on summakäyrä: Osto-optio on siis sitä kalliimpi, mitä alempi toteutushinta sillä on. Myyntioptiolla tilanne on päinvastainen eli korkeampi toteutushinta tekee optiosta arvokkaamman. Olkoon toteutushinta K ja C(K) option hinta. Tällöin osto-optiolle pätee C(K 1 ) > C(K 2 ), kun K 1 < K 2. Nyt C(K 1 ) C(K 2 ) > 0 eli spreadin hinta on positiivinen.

5 3. (L12.5) Osake maksaa osinkoja D:n verran hetkellä τ, joka osuu periodien k ja k + 1 väliin. Tavoitteena on määrittää osakkeen eurooppalaisen osto-option hinta hilamenetelmällä. Option voimassaoloaika [0, T ] jaetaan N intervalliin (saadaan N + 1 ajanhetkeä). Yksi tapa ratkaista tehtävä olisi muodostaa tavalliseen tapaan hila osakkeen hinnoista, ja vähentää D periodin k jälkeisistä solmuista. Tämä johtaa kuitenkin puuhun, jonka solmut eivät enää yhdy periodin k jälkeen (ks. kuva Luenbergerin sivulta 347). Ongelma voidaan ratkaista tällä tavalla, mutta on olemassa myös toinen esitystapa, jossa solmut yhtyvät osinkojen maksun jälkeen: Koska osinkotuotto on tunnettu, sitä pidetään osakkeen hinnan deterministisenä komponenttina. Ennen osinkojen jakoa hintaan sisältyy kaksi komponenttia: 1) stokastisen komponentti S ja 2) deterministinen komponentti, joka on yhtä suuri kuin jaettavan osingon nykyarvo. Hila kuvaa alkuarvolla S(0) De rτ ja parametreillä u ja d (määräytyvät volatiliteetista σ) stokastisen komponentin S dynamiikkaa. Option hinta määräytyy hilan perusteella, mutta nyt osakkeen hinta ei ole S vaan S = S + De r(τ t) kaikille t < τ. Käytä tätä tekniikkaa ja etsi 6 kuukauden eurooppalaisen ja amerikkalaisen osto-option hinta, kun perusperiodi on kuukausi, S(0) = 50, K = 50, σ = 20%, R = 10% ja D = 3 euroa, joka maksetaan kuukauden kuluttua. Ratkaisu: Tehtävänannosta: Osakkeen hinta S(0) = 50 Toteutushinta K = 50 Volatiliteetti σ = 20% Vuosituotto r vuosi = 10% Kuukausituotto r kk = 0.83% Osinko D = 3 Perusperiodi t = 1 12 Halutaan siis muodostaa binomihila laskemalla yhteen kaksi binomihilaa, osingon nykyarvoa ja osakkeen muuta arvoa kuvaavat hilat. Osingon nykyarvoa kuvaava hila (deterministinen komponentti): Osakkeen muuta arvoa kuvaava hila on tavalliseen tapaan stokastinen ja hilan alkuarvo saadaan vähentämällä osingon nykyarvo osakkeen nykyarvosta, koska deterministinen osinko sisältyy osakkeen hintaan.

6 Parametrit u ja d määritetään (kuten aiemmin) seuraavasti: u = e σ t = d = 1 u = e σ t = Osakkeen muuta arvoa kuvaava hila (stokastinen komponentti): Lopuksi lasketaan hilat yhteen ja saadaan osakkeen alkuarvoksi 50 kuten pitääkin: Seuraavaksi lasketaan osakkeeseen kohdistuvien eurooppalaisen ja amerikkalaisen option arvot. Perusideana optiohinnoittelussa on, että binomihilan solmuissa option arvo voidaan laskea osakkeesta ja riskittömästä korosta muodostetun replikoivan portfolion avulla. Tällainen portfolio voidaan muodostaa, koska binomihilassa seuraavan periodin tiloja on vain kaksi. Sekä optio, että replikoiva portfolio tuottavat seuraavan periodin tiloissa täsmälleen samat kassavirrat, joten niiden arvojen tulee myös olla samat. Binomihilassa replikoiva portfolio voidaan laskea parametrien u ja d sekä riskittömän koron perusteella. Näiden avulla lasketaan ns. riskineutraalitodennäköisyys q, joka yhdessä seuraavien perioidien kassavirtojen kanssa määrää replikoivan portfolion. q ei kuitenkaan ole oikea todennäköisyysluku vaan apuparametri replikoivan portfolion muodostamisessa. Riskineutraalitodennäköisyydeksi saadaan (kts. luento 10 sivut 13-15) q = R d u d. Kun osakkeen hinnan käyttäytyminen on määrätty u:n ja d:n avulla, voidaan lähteä laskemaan option hintaa. Tähän käytetään osakkeen hintahilan avulla muodostettua option arvoa kuvaavaa hilaa. Hilan kukin solmu edustaa option nykyarvoa kyseisellä ajanhetkellä vallitsevassa tilassa.

7 Eurooppalaisen osto-option arvo viimeisellä periodilla (toteutushetkenä) on suoraan maksimi nollasta ja osakkeen hinnan ja toteutushinnan erotuksesta. Olkoon S osakkeen hinta ja K toteutushinta. Eurooppalaisen osto-option arvo toteutushetkellä on siis max {0, S K}. Eurooppalaisen myyntioption arvo on puolestaan max {0, K S}. Edellisten periodien nykyarvot voidaan laskea diskontattuna odotusarvona niitä seuraavien tilojen arvoista. Kun lopputilojen arvot tiedetään, voidaan edellisen periodin solmujen arvot laskea ja näistä edelleen sitä edelliset jne. Option nykyarvo kussakin solmussa lasketaan seuraavasti C = 1 R (qc u + (1 q)c d ), missä C u on binomihilassa solmua seuraavan ylemmän solmun arvo ja C d vastaava alemman solmun arvo. R = 1 + r f on 1 + yhden periodin riskitön korko. Amerikkalaisen osto-option vastaava kaava on { } 1 C = max R (qc u + (1 q)c d ), S K, missä maksimointi osoittaa valintaa odottamisen ja option heti toteuttamisen välillä. Jos amerikkalaisen osto-option tapauksessa 1 R (qc u +(1 q)c d ) < S K niin osto-optio kannattaa toteuttaa ennen toimitusaikaa. Nyt pätee R = 100% + r kk = % ja q = 55.8% Eurooppalaisen osto-option hila:

8 Amerikkalaisen osto-option hila (alleviivaus osoittaa option toteuttamista ennen toimitusaikaa):

9 4. (L12.9) Olet kasinolla, jossa on kaksi mahdollisuutta: a) Osallistut peliin, jossa heitetään kolikkoa. Jos tulos on klaava, saat 3 euroa; jos tulos on kruuna et saa mitään. Osallistuminen maksaa 1 euron. Voit osallistua peliin useamman kerran tai pelata suuremmilla panoksilla, jolloin voitto suurenee panoksen mukaisesti. b) Et osallistu peliin ja pidät rahat taskussasi, eli saat varmasti 1 eurolla 1 euron. Kasinolla pelataan myös toista peliä, jossa kolikkoa heitetään kolme kertaa. Jos vähintään kahdessa kolmesta kolikon heitosta tulos on klaava, saat 27 euroa; muutoin et saa mitään. Mikä on tämän toisen pelin hinta, jos oletetaan, että se on johdonmukainen ensimmäisen pelin hinnan (1 euro) kanssa ja että pelilipuke voidaan myydä käypään hintaan kolikonheittojen välissä? Hinnoittele siis toinen peli ensimmäisen pelin perusteella. Ratkaisu: Jälkimmäinen peli hinnoitellaan ensimmäisen perusteella, kun huomataan, että toisen pelin epävarmuus voidaan kuvata ensimmäisen avulla. Varman tulevan arvo on ulostulema itse. Jälkimmäisessä pelissä on siis 50% todennäköisyys saada vähintään 2 klaavaa. Niinpä se voidaan ajatella myös ensimmäisenä pelijä, jossa panos on 9 euroa yhden euron asemesta. Tällainen hinnoittelulogiikka johtaa kuitenkin hintaan 9 euroa, joka poikkeaa saadusta 7 eurosta. Oikea hinta on nyt 7 euroa, koska mahdollisuus myydä peli laskee pelin hintaa. Jos peliä ei voisi ostaa tai vaihtaa kolikonheittojen välissä, olisi sen hinta 9 euroa olettaen, että pelit, joilla on sama todennäköisyysjakauma ulostulemille hinnoitellaan samalla tavalla.

10 Käyttämällä riskineutraalia todennäköisyyttä 1/3 saadaan ensimmäisen pelin tuoton odotusarvoksi tasan 1 (eli ei jäädä voitolle) ja jälkimmäiselle binomitodennäköisyyksien avulla seuraavaa: Klaavoja Todennäköisyys 3 3.7% % Yhteensä 25.9% Tällöin tuoton odotusarvoksi saadaan E[tuotto] = 7.