3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki löytyy. Käsitellää se si johdttelev esimerkkiä. Pudotet oll pois j ryhmitellää: otet esimmäie j viimeie, lsket e keskeää yhtee, otet toie j toiseksi viimeie j lsket esi e keskeää yhtee j sitte yhtee edellise summ kss yhtee j ii edellee; äi stv merkitää yhteelsku tulost :llä: ( 00 ) + ( 99 + ) + ( 98 + 3) +... + ( 5 + 49) + ( 5+ 50) +. Jokie sulkeiss olev summ o 0. ulkeiss olevie summie lukumäärä sd helposti, kosk sulkeitte jälkimmäie yhteelskettv umeroi jokise sulkulusekkee. Niitä o siis 50 kpplett. Tästä sd, että 50 0 5050. Tri muk eräs opettj jtteli, että hä s vähä ik omlle käsityöllee, ku hä litt lpset hrjoittelem yälsku. Hä kehotti lpsi lskem yhtee luvut 00 eli juuri tuo äskeise summ. Opettj kuiteki pettyi, sillä priss miuutiss pikku- Klle, erää kivehkkj 0-vuotis poik, kertoi oike tulokse. Tämä pikku-klle oli ih oikesti pikku-klle : Krl Friedrich (myöhemmi vo) Guss. Hä käytti äske kuvmi ryhmittelyä. Professori, Mtemtiik Prissi vo Guss eli vuosi 777-855. Yleistetää johdttelev esimerkkimme perusjtus. Luvut, joide summ merkitsi äske :llä, ovt sellise ritmeettise joo jäseiä, jok esimmäie jäse eli j differessi d ovt molemmt ykkösiä. Poistet tämä rjoitus j todet, että meillä o mikä ths ritmeettie joo. e esimmäie jäse o joki j differessi joki d. Merkitää tämä joo : esimmäise jäsee summ kirjimell, jolloi siis + + + 3 +.... eurv trkstelu läpikäymie ei ole oleist tämä kurssi klt. Vi siitä stv tulos o tärkeä. iksi lit se hrmlle tustlle. Kosk siiä o pljo tieto pieessä tilss, ii suosittele siu perehtymää siiheki! Kosk + ( )d i, ku, 3, 4,, ii Guss + + 3 +... +... Ku tässä jokie sd ( ) ( ) ( ) + + + + 3 + + + + + korvt iemmi johdetull esityksellää : j d: vull, ii [ + + ( ) d] + [ + d + + ( ) d ] + [ + d + + ( 3) d] +... + + d + + d (7)
3.3. Aritmeettie summ d [ + + ( ) d] + [ + d + + ( ) d ] + [ + d + + ( 3) d ] +... + + d + + Melkoie härveli! Älä lusekkee mutkikkuude kuitek hämätä, v trkstele yt kutki hksulkulusekett muist vstvist välittämättä. ulkeide trkoitus o vi merkitä ryhmittely äkyvii. Edellee, 3, 4, Toiseksi viimeise j viimeise välissä o vi termi korvttu termillä. Trkstell esimmäiste hksulkuje sisällä olev summ: ( ) d + ( )d + +. Trkstell ih vrmuude suoksi vielä viimeisteki hksulkuje sisällä olev summ. Näi väheetää ideksissä tphtuv virhee todeäköisyyttä: + d + + d + ( )d m kui esimmäisistä hksulkeist! Muistt vrm, että ii pitiki. Itse siss kikiss hksulkeiss o sm tulos. Kosk hksulkulusekkeit o kpplett, ii [ + ( ) d] [ + + ( ) d] [ + ( ) d ] ( + ) jote ritmeettise joo summ o ( + ) Näi smme seurv tulokse: (7)
3.3. Aritmeettie summ Aritmeettise joo : esimmäise jäsee summ eli ritmeettie summ o esimmäise j viimeise muk otetu jäsee keskirvo kerrottu iitte lukumäärällä eli ( + ) o yhteelskettvie jäsete lukumäärä o esimmäie jäse o. jäse Esimerkki Lske Esimerki 9 joo 50 esimmäise jäsee summ. Joo esimmäie jäse o j se differessi o d sekä se yleie jäse o, missä lk ykkösestä. joo yleise jäsee lskukv vull sd 50. jäse, jok o 50 300. ijoitet ämä tiedot summ kv: 50 + 300 50 50 650. Vstus: 50 esimmäise jäsee summ o 650. Esimerkki 3 Plt Esimerkkii. Kuik pitkä mtk Pellervo o uiut yhteesä 30. uitimtk jälkee? Pellervo uitimtkt ovt ritmeettie joo, jok esimmäie jäse o 300, differessi d 0 j yleie jäse o 300 + ( ) 0. Näitte tietoje vull selviää, että Pellervo 30. uitimtk o 300 + ( 30 ) 0 30 eli 390 metriä j että 30 esimmäise mtk yhteelskettu pituus o: 300 + 590 30 30 3350, siis 3 350 metriä. Vstus: Uitimtk kertyy 3 350 metriä 30 esimmäise uitimtk ik. Esimerkki 4 Lske summ 0 + 7 + 4 + 3 + + 599. 3(7)
3.3. Aritmeettie summ Kosk peräkkäiste yhteelskettvie erotus o vkio 7, ii päätellää, että etu summ yhteelskettvt ovt ritmeettise joo peräkkäisiä jäseiä. Käytetää summ lskemiseksi ritmeettise summ kv. itä vrte o vielä selvitettävä, kuik moes joo jäse luku 599 o. Rtkist yhtälöstä + ( )d eli yhtälöstä ( ) 7 599 0 +. Tästä sd, että 8. Kv sijoittmll summ 0 + 7 + 0 + 599 4 + 3 + + 599 rvoksi sd 8 8346. Vstus: umm o 83 46. Esimerkki 5 Aritmeettise lukujoo differessi d o 3 j se esimmäie jäse o 970 48. Kuik mot tämä joo esimmäistä jäsetä o vähitää lskettv yhtee, että summ litt oll? Mikä o esimmäie joo jäse, joho skk lskettu summ o oll ti vähemmä? Ku muistet, että + ( ) d vull sd yhtälö, ii ritmeettise summ kv [ + + ( ) d] [ + ( ) d] 0, ( + ) jost edellee ( ) 0 97048 3, kosk rtkisu 0 hylätää. Ku tämä rtkist, ii sd, että 303 6,077, jok ei ole kokoisluku. Tulkit stu rtkisu ii, että ku lsket joo lust yhtee 303 6 kpplett jäseiä, summ ei ole vielä ih 0, mutt ku lsket 303 7 kpplett yhtee, ii meää jo oll ohi. O siis lskettv yhtee vähitää 303 7 jäsetä joo lust. Viimeie yhteelskettv o ( 3037 ) 3 97060 3037 97048 Vstus: umm litt oll, jos lsket yhtee vähitää 303 7 jäsetä joo lust. Viimeie yhteelskettv o 970 60. Tiivistetää ritmeettise summ käytö peritteet yhtee. 4(7)
3.3. Aritmeettie summ Krsi pois lillukvrret eli kikki e yksityiskohdt, jotk eivät ole missää tekemisissä tehtävä mtemtiik klt. Muu muss Esimerkeissä 5 j 7 uimri hekilöllisyys ti edes uimie ti mtk ylipäätä eivät ole oleiset, v yhteelskettvt j iitte väliset suhteet eli se, että kyseessä o ritmeettie summ. opiiko tehtävä lskettvksi ritmeettise summ vull? Jos totet, että kyllä tehtävä o ritmeettise joo ti summ sovellus, päätä, mitä tietoj trvitset tehtävä rtkisemiseksi. Kerää yhtee e trvittvt tiedot, jotk st heti tehtävä ost. Kerää yhtee j imeä kikki e trvittvt tiedot, jotk joudut lskem itse. Tee lskut. Trkist, että siull o kikki trvittv. Johd j muotoile selkeä, ytimekäs j tyhjetävä vstus. Esimerkki 6 Opiskelijpriskut A j Aimo huomvt, että heidä molempie sekä tlviplttoot että tlvikegät eivät kestä eää kui yhde kude. Uusie vrusteide osto o siis jo äkyvillä. He lähtevät ikkuostoksille, mikä retke tulokse heille selviää, että tlvitkki mks oi 50 j kekäpri oi 70. Tämä merkitsee oi 640 euro meoerää. A j Aimo tekevät säästösuuitelm. He vvt sitä vrte tili, jolle mkset kolme proseti vuotuie korko. Kuik pljo heidä o säästettävä kuukudess, jos heidä tvoittees o, että tilillä o vuode eli säästöerä jälkee korkoiee 700 euro? He tekevät tlletukses i kuukude. päivää. Merkitää kuukusittist säästöerää x:llä. Esimmäie tlletus ehtii ksv korko koko 3 kuukude j, jote se osuus säästösummst o x + x, 03x. Toie tlletus ehtii 00 ksv korko kuukutt, jote se osuus säästösummst o x + 0,03x + 0, 03 x. Viimeie tlletus ehtii ksv korko vi yhde kuukude eli se osuus säästösummst o + 0, 03 x. Lsket ämä yhtee: 0,03i + x + i 78 0,03 x,95 x. Kosk tvoite o 700 euro, ii,95x 700, jote kuukudess tlletettv summ o 57,40 euro. Huom, että kyseessä todell o ritmeettie summ. Lsket khde peräkkäise termi eli yhteelskettv erotus: 5(7)
3.3. Aritmeettie summ 0,03 + + ( i ) 0,03i 0,03( i + ) + + 0,03i 0,03i 0,03 0,03i + 0,03 0,0 4... Tämä erotus o siis vkio, mikä o ritmeettise joo edellytys. Huom myös, että summ 0,03i + lskemisess käytettii ritmeettise summ i kv seurvll tvll: Aritmeettise summ kv o tässä o siis. 0,03 + j Vstus: Kuukudess o säästettävä 57 euro 40 settiä. Kv i i 78 ktt p merkille! 0,03 o yt + + 0, 03 j Esimerkki 6 b Ai j Aimo jtkvt ikkuostoksi säästämisvuotes ik, kosk he hluvt pysyä selvillä hi j ldu suhteest j trjost yleesäki eri liikkeissä. Tällöi he tulevt pistäytyeeksi myös sisällä yhdessä kupss, jolloi myyjä tekee heille osmksutrjoukse: tte kuo kulkupelit sopuhit j muk heti. Myyjä trjo seurvi ehtoj. Li-ik o 8 kuukutt. Tällöi lyheys kuukudess jää pieemmäksi, vi 39 euro, jott se ei rsit trk mrk eiku euro tloutt liik. Korkoki kertyy kuukudess kohtuulliset,4 prosetti jäljellä olevst summst j käsirh emme tietekää peri teiltä. J esimmäie mksu eräätyy vst kuukude kuluttu. Kuppsumm o 70 euro. Kuik pljo Ai j Aimo tulisivt äitte ehtoje muk lopult mkseiksi tlvivtteist? Myyjä ei puhu mitää lihoitomksust, jok voi oll euro jok kuukusi, ei myöskää tili vusmksust. Tilivusmksu o eri si kui käsirh. Kosk myyjä toimii tieteki li mukisesti j kosk ämä olisi miittv, hä trjo sopimust, joss äitä ei ole. Yhde euro lihoitomksu kuukudess ksvttisi mksettv määrää tietysti 8 euroll. Aio j Aimo kuukudess mksm summ koostuisi lyheykse lisäksi vel korost lskettu viimeisestä lyheykse j koro mksmispäivästä mksuhetkee. Esimmäie mksuerä olisi: 39 + 0,04 70 Toie mksuerä olisi: 39 + 0,04 ( 70 39 ) 6(7)
3.3. Aritmeettie summ Kolms mksuerä olisi: 39 + 0,04 ( 70 39 ) Neljäs mksuerä olisi: 39 + 0,04 ( 70 3 39 ) 8. mksuerä olisi: 39 + 0,04 ( 70 7 39 ) Kosk jokisess mksuerässä o muk smsuuruie lyheys 39 eli yhteesä tieteki koko kuppsumm 70, lsket mksuerie korkoje summ eriksee. Aritmeettise summ o silloi 0,04 70, 8 0,04 ( 70 7 39 ) 0,04 39 j o 8. Korot ovt siis yhteesä 8 ( 0,04 70) + ( 0,04 39) 0,04 ( 70 + 39) 8 93,366 Korkoje joo esimmäie jäse oli 0,04 70. Jos d olisi trvittu, se olisi ollut 0,04 39. Aio j Aimo mksettvksi tulisi yhteesä 795,366 euro. Kosk kuppsumm oli 70 euro, ii korot olisivt kikki 3,3 prosetti. Jos muk olisi ollut lihoitomksu yksi euro kuukudess, lopullie korko olisi ollut 5,9 prosetti kuppsummst. Huom, että ritmeettise summ kv käyttämie void myös rjoitt pelkä 8 summ ( ) i i lskemisee, jok rvo o 53. Tämä äkyy seurvst päättelystä 8 39 + 0,04 8 i [ 70 ( i ) 39 ] 8 39 + 0,04 8 70 0,04 [( i ) 39 ] 8 70 + 76,904 0,04 ( i ) 39. i 70 + 76,904 0,04 53 39 795,366 8 i Vstus: Vtteet mksisivt yhteesä 795,366 euro. 7(7)