12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit: k e x > k. 1 + x 525. Olkoon > e. Osoit: e x > e. elnx 526. Osoit, että missä 1 12 < δ < 1 1. 3 1 x 5 x 6 = ln3 δ, + x + 1 527. Funktiost f oletetn, että f () = 1, sen derivtt f on jtkuv j 1 + x f (x) e x välillä [ 1,]. Mitä rvoj f ( 1) voi sd? m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos
1 e f ( 1) 1 2. 528. Olkoon funktio f jtkuv välillä [,b] j olkoon f (x)h(x) =, olip h mikä thns integroituv funktio. Osoit, että f (x) = kikill x [,b]. 12.2. Määrätyn integrlin välirvoluse 529. Määritä integrlilskun välirvoluseess esiintyvä ξ, kun kyseessä on integrli ) (αx + β), b) x 2. ) ξ 1 2 (+b); b) merkitään c = 1 3 (2 + b + b 2 ); jos, b 2 ti <, b 2, niin ξ = c; jos >, b 2 ti, b 2, niin ξ = c; jos 2 < b < 1 2, niin ξ = ±c. 53. Määritä rj-rvo 1 lim x 2 x 2 x 2 4 e t2 dt. 4e 16. 531. Olkoon funktio f jtkuv j funktio g määritelty seurvsti: x/h 2, kun x [,h], g(x) = (2h x)/h 2, kun x [h,2h], muulloin. Osoit (yleistettyä) integrlilskun välirvolusett käyttäen, että lim f (x)g(x) = f (). h + m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos
12.3. Epäoleelliset integrlit 532. Lske rvo ti osoit hjntuminen seurville integrleille: ) d) g) i) l) x 2 + px + q (p 2 < 4q), b) (x 2 + 1) 2, e) e x cosbx ( > ), h) 1 x 5 6 (1 x 2 ) 3/2, j) x 2 (x + 1)(x 2 + 1), c) x 3 + 1, 1 + x x 2 + x, e x sinbx ( > ), f) 2x 6 (x 2 4) 2/3, k) π/2 ( ), m) tnx, n) x x 2 e x + 1, 2x x 2 4, lnx. ) 2π/ 4q p 2 ; b) π/4; c) 2 3π/9; d) π/4; e) π/2 + ln2; f) 2ln( 2 + 1); g) /( 2 + b 2 ); h) b/( 2 + b 2 ); i) hjntuu; j) 9 3 4; k) hjntuu; l) 3π 2 /8; m) hjntuu; n) 1. 533. Johd plutuskv integrlille j lske integrli sen vull. I = 1, I n = ni n 1, kun n N; I n = x n e x, n =,1,2,..., I n = n!. 534. Määritä j b siten, että integrli suppenee j on rvoltn = 1. = b = 2(e 1). 1 [ 2x 2 + bx + x(2x + ) ] 1 535. Tutki, millä rvoill k R seurvt integrlit suppenevt: ) 1 + x + x 2 x k, b) ) k < 1; b) k > ; c) k > 1. 536. Millä rvoill k R integrli ) ei ole epäoleellinen, b) on epäoleellinen j suppenee? π/2 kx 2 + 1, c) sin k x. x k 1 + x k 1 + x m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos
) Ei millään; b) < k < 1. 537. Lske seurvn epäoleellisen integrlin rvo ti osoit sen hjntuminen: 538. π cos 2 x. Lske π/2 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x (b ). 539. π 2 b. Sievennä funktion luseke j piirrä kuvj. π xsint f (x) = dt 1 + 2xcost + x 2 f (x) = 2, kun x 1; f (x) = 2x, kun 1 x 1; f (x) = 2, kun x 1. 54. Osoit, että on olemss vkio M > siten, että kikill ε ],1[ pätee ε e x 3 < M. 1 x 2 541. Todist: f suppenee = lim f =. b b 542. Todist: ) b) f suppenee = f suppenee = f suppenee, f suppenee. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos
543. Olkoon funktio f jtkuv, kun x 1, j Osoit, että integrli 1 e f (x) suppenee. f (x) lim x lnx = 2. 544. Arvoill x > määritellään gmmfunktio integrlill Γ(x) = t x 1 e t dt. Päättele, että integrli suppenee, jos x >. Suppeneeko integrli, jos x? Ei suppene, jos x. 545. Piirrä gmmfunktion kuvj jonkin tietokoneohjelmn vull. Trkstele erikseen positiivisi j negtiivisi muuttujn rvoj. Tiedätkö, miten gmmfunktio on määritelty negtiivisill muuttujn rvoill? 546. Lske käyrän y = xe x2 /2 j sen symptootin väliin jäävän rjoittmttomn tsokuvion l. 2. 547. xz-tson käyrä z = exp( x 2 ) pyörähtää z-kselin ympäri, jolloin syntyy xy-tson yläpuolell sijitsev (ääreetömyyteen jok suunnss ulottuv) pint. Lske tämän pinnn j xy-tson väliin jäävän lueen tilvuus, mikäli se on äärellinen. 548. Osoit, että vruuskäyrän r(t) = e t (cost i + sint j + k), t <, pituus on äärellinen j määritä se. 3. 549. Käyrä y = e x, x <, pyörähtää x-kselin ympäri. Lske syntyvän (äärettömyyteen ulottuvn) pyörähdyspinnn l. π[ 2 + ln(1 + 2)]. 55. Käyrä y = 1/x, 1 x <, pyörähtää x-kselin ympäri, jolloin syntyy äärettömyyteen ulottuv suppilominen sti. Lske tämän tilvuus. Astin hlkisijtso on levy {(x,y) y 1/x, x 1}. Mikä on tämän pint-l? Jos sti täytetään mlill, tuleeko hlkisijtso kokonisuudessn peitetyksi mlill? m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos
551. Määritä krenpituus npkoordinttikäyrälle r = e ϕ, ϕ [, [. Lske käyrän krevuus prmetrin ϕ funktion. Mikä on krevuussäteen rj-rvo, kun ϕ? Piirrä käyrä. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, mtemtiikn litos