Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015
Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä.............................. 3 1.2 Derivtn geometrinen tulkint................... 4 1.3 Derivoimissääntöjä.......................... 6 1.4 Eksponentti- j logritmifunktion derivtt............ 6 1.5 Yhdistetyn funktion derivtt................... 7 1.6 Käänteisfunktion derivtt..................... 7 1.7 Jtkuvuus j derivoituvuus...................... 8 1.8 Logritminen derivointi........................ 9 1.9 Korkemmt derivtt........................ 9 1.10 L Hospitlin sääntö.......................... 10 1.11 Implisiittinen derivointi........................ 10 1.12 Differentili.............................. 11 1.13 Differentililskennn välirvoluse................. 13 1.14 Tylorin srjkehitelmä........................ 14 1.15 Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi...... 16 1.15.1 Kustnnusfunktio....................... 16 1.15.2 Tulofunktio.......................... 17 1.15.3 Jousto............................. 18 1.15.4 Knsntulo, kulutus j säästäminen............. 19 2 Trigonometriset funktiot 21 3 Usen muuttujn funktiot 28 3.1 Yleistä................................. 28 3.2 Osittisderivtt........................... 30 3.2.1 Osittisderivttojen määrääminen............. 31 3.3 Kokonisdifferentili......................... 32 3.4 Yhdistetyn funktion derivointi.................... 33 3.5 Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi.......... 34 3.5.1 Rjkustnnusfunktiot.................... 34 3.5.2 Kysyntäfunktiot........................ 35 3.5.3 Tuotntofunktiot....................... 36 3.6 Korkemmist osittisderivtoist................. 37 3.7 Implisiittinen derivointi........................ 37 1
4 Integrlilskent 38 4.1 Johdnto................................ 38 4.2 Integrlifunktio........................... 38 4.3 Integrointi osmurtokehitelmän vull................ 44 4.4 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen............... 45 4.5 Määräämätön integrli tloustieteessä............... 47 4.5.1 Kustnnusfunktiot...................... 47 4.5.2 Tulofunktiot.......................... 48 4.5.3 Knsntulo, kulutus j säästäminen............. 49 4.5.4 Pääomn muodostus..................... 50 4.6 Määrätty integrli.......................... 51 4.6.1 Määrätty integrli j pint-l............... 51 4.7 Määrätyn integrlin ominisuuksist................ 53 4.8 Pint-ln määritys integrlin vull................ 58 4.9 Osittisintegrointi, osmurtokehitelmä j sijoitus määrätyssä integrliss................................ 61 4.10 Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi......... 63 4.10.1 Kuluttjn ylijäämä..................... 63 4.10.2 Tuottjn ylijäämä...................... 64 4.10.3 Kokonisvoitto........................ 66 5 Kompleksiluvut 69 6 Differentiliyhtälöt 71 6.1 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö............ 71 6.1.1 Seproituvt differentiliyhtälöt.............. 71 6.1.2 Ensimmäisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö.. 72 6.1.3 Linerisen differentiliyhtälön erikoistpus....... 75 6.1.4 Homogeeniset differentiliyhtälöt.............. 75 6.1.5 Eksktit differentiliyhtälöt................. 76 7 Differenssiyhtälöt 78 7.1 Ensimmäisen kertluvun differenssiyhtälöt............. 78 7.1.1 Homogeenisen muodon rtkiseminen:........... 78 7.1.2 Täydellisen muodon rtkiseminen:............. 79 7.2 Toisen kertluvun differenssiyhtälöt................. 79 7.2.1 Homogeenisen muodon rtkiseminen:........... 79 7.2.2 Täydellisen muodon rtkiseminen:............. 80 2
1 Derivtt 1.1 Määritelmä Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ], b[ j x 0 ], b[. Lusekett f(x) f(x 0 ) x x 0 snotn funktion f(x) erotusosmääräksi kohdss x 0 j se ilmoitt funktion rvon muutoksen suhteess muuttujn muutokseen eli funktion f muutosnopeuden välillä [x 0, x]. Näin ollen erotusosmäärä kuv keskimääräistä muutosnopeutt välillä [x 0, x]. Jos rj-rvo f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss äärellisenä, snotn, että funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0. Rj-rvo f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on funktion f(x) derivtt kohdss x 0. Derivtt merkitsee funktion f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll. Derivtt kuv siis funktion hetkellistä muutosnopeutt kohdss x 0. Esimerkki 1.1. Määritä funktion f(x) derivtt pisteessä x 0 = 0, kun ) f(x) = c b) f(x) = x c) f(x) = x. Funktio f on derivoituv välillä ], b[, jos sen derivtt on olemss välin jokisess pisteessä. Lisäksi f on derivoituv funktio, jos sillä on derivtt olemss jokisess määrittelyjoukkons pisteessä. Derivttfunktio: Olkoon f(x) derivoituv välillä ], b[ eli f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 3
on olemss kikill x 0 ], b[. Korvmll sduss derivtss f (x 0 ) muuttuj x 0 muuttujll x (x 0 ], b[ on mielivltinen), sdn funktio f (x), jok on funktion f derivttfunktio. Funktion y = f(x) derivtt merkitään: f (x), Df(x), df(x) dx, y, dy dx. Esimerkki 1.2. Määrää funktion f(x) = 2x 2 + 3x 1 derivttfunktio f (x). Olkoot funktiot f j g derivoituvi pistessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, cf (c vkio), f g j f (g(x) 0) ovt derivoituvi pisteessä x. g Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelylueessn ilmn eri tutkimist. 1.2 Derivtn geometrinen tulkint Suor, jok sivu käyrää y = f(x) pisteessä x 0, kutsutn käyrälle y = f(x) pisteeseen x 0 piirretyksi tngenttisuorksi. Erotusosmäärä f(x) f(x 0 ) x x 0 on pisteiden P = (x 0, f(x 0 )) j Q = (x, f(x)) kutt kulkevn suorn L kulmkerroin. Kun x x 0, niin piste Q liikkuu pitkin käyrää y = f(x) kohti pistettä P. Smll pisteiden P j Q kutt kulkev suor L lähenee käyrän y = f(x) pisteeseen P piirrettyä tngenttisuor T. Vstvsti pisteiden P j Q kutt kulkevn suorn L kulmkerroin lähenee pisteeseen P setetun tngentin T kulmkerroint. Siis f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on käyrän y = f(x) pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyn tngentin T kulmkerroin. 4
Kosk derivtt on rj-rvon yksikäsitteinen, niin funktioll voi oll kohdss x 0 vin yksi derivtn rvo f (x 0 ). Siten geometrisesti derivtn olemssolo edellyttää, että käyrän pisteeseen (x 0, f(x 0 )) voidn piirtää täsmälleen yksi tngentti. Näin ollen jos funktio on derivoituv välillä ], b[, sen kuvjss ei s oll tällä välillä kulmi (vrt. funktio f(x) = x ). 5
1.3 Derivoimissääntöjä D1) Dc = 0, kun c on vkio D2) Dx n = nx n 1, kun n R j n 0 D3) D(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x), kun n R j n 0 D4) D(f(x) ± g(x)) = Df(x) ± Dg(x) D5) D(cf(x)) = cdf(x) D6) D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) D7) D = f (x) g(x) f(x) g (x), kun g(x) 0 g(x) (g(x)) 2 Esimerkki 1.3. ) D(4x 7 + 5) b) D(2x 2 + 5x) c) D[(x 2 + 2)(2x + 5)] d) D x2 + 2 2x 1 e) D ( x ) 1.4 Eksponentti- j logritmifunktion derivtt Eksponenttifunktion derivtt: D8) D e x = e x D9) D e f(x) = e f(x) f (x) D10) D x = x ln D11) D f(x) = f(x) ln f (x) Logritmifunktion derivtt: D12) D ln x = 1 x D13) D(log x) = 1 x ln D14) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) D15) D log f(x) = 1 f(x) ln f (x) = f (x) f(x) ln 6
Esimerkki 1.4. ( ) D ln x + ) x 2 + 2 b) D 3 5 x 1 ( c) D ) 1 3 x3 + 2 1.5 Yhdistetyn funktion derivtt Oletetn, että funktio g(x) on derivoituv kohdss x 0 j funktio f(x) on derivoituv kohdss g(x 0 ) j lisäksi R g D f. Tällöin yhdistetty funktio f g on derivoituv kohdss x 0 j D16) (f g) (x) = [f(g(x))] = f (g(x)) g (x). Tähän perustuen voidn joht derivoimissäännöt D3, D9, D11, D14 j D15. 1.6 Käänteisfunktion derivtt Olkoon f(x) relifunktio, joll on olemss käänteisfunktio f 1. Jos f(x) on idosti ksvv (idosti vähenevä), niin myös f 1 on idosti ksvv (idosti vähenevä). Lisäksi, jos f(x) on jtkuv, niin myös f 1 on jtkuv. Smoin, jos f(x) on derivoituv, niin f 1 on derivoituv. Käänteisfunktion f 1 derivttfunktio voidn määrätä seurvsti ilmn käänteisfunktion määräämistä: f 1 (y) = x f(f 1 (y)) = f(x) f(f 1 (y)) = y f (f 1 (y)) (f 1 ) (y) = 1 (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) d dy : f (f 1 (y)) Siis D17) (f 1 ) (y) = 1 f (x), missä x = f 1 (y) eli f(x) = y j f (x) 0. Esimerkki 1.5. Määrää funktion f(x) = 2x + 1 käänteisfunktion derivtt pisteessä y = 2. 7
1.7 Jtkuvuus j derivoituvuus Luse 1.1. Jos funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0, niin f(x) on myös jtkuv kohdss x 0. Perustelu: Mikäli funktio f(x) ei olisi jtkuv kohdss x 0 eli lim x x0 f(x) f(x 0 ), niin erotusosmäärän f(x) f(x 0 ) x x 0 rj-rvo ei olisi olemss kohdss x 0. Tällöin funktio f(x) ei olisi myöskään derivoituv kohdss x 0. Luse 1.2. Oletetn, että funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0 j derivoituv kohdn x 0 ympäristössä. Jos lim f (x) on olemss eli lim f (x) = lim f (x), x x0 x x 0 x x + 0 niin f(x) on derivoituv kohdss x 0 Huomutus. Jos funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0, niin f(x) ei välttämättä ole derivoituv kohdss x 0. Jos f(x) ei ole jtkuv kohdss x 0, ei se ole derivoituvkn kohdss x 0. Funktion f(x) derivoituvuuden tutkiminen kohdss x 0 : 1. Onko f(x) jtkuv kohdss x 0? 2. Onko lim x x0 f (x) olemss? Esimerkki 1.6. Tutki funktion f(x) jtkuvuutt j derivoituvuutt, kun f(x) = x = { x, x 0 x, x < 0 8
1.8 Logritminen derivointi Kun derivoitv funktio on muoto h(x) g(x), missä h(x) j g(x) eivät ole vkiofunktioit, voidn käyttää logritmist derivointi. Kosk niin Näin ollen jos f(x) = h(x) g(x), niin D ln f(x) = 1 f(x) Df(x), Df(x) = f(x) D ln f(x). D(h(x) g(x) ) = h(x) g(x) D ln h(x) g(x) = h(x) g(x) D(g(x) ln h(x)). Esimerkki 1.7. Derivoi funktio x x. 1.9 Korkemmt derivtt Olkoon f : X Y derivoituv funktio. Tällöin funktion f(x) derivttfunktio on f (x). Jos f (x) on edelleen derivoituv, sen derivtt (f ) (x) snotn funktion f(x) toiseksi derivtksi j merkitään f (x). Siten f (x) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Käytetään myös merkintöjä y, D 2 f(x), d2 f(x) dx 2 j d2 y dx 2. Esimerkki 1.8. Olkoon f(x) = 2e x2 + ln x 2. Määrää f (1). Funktion f(x) n. derivtt sdn smoin derivoimll funktio f(x) n kert. Sitä merkitään f (n) (x). Siis f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x), f (3) (x) = f (x) jne. Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n 2. Lisäksi sovitn, että f (0) (x) = f(x). Muut merkintätvt vstvsti kuin f (x):llä. Esimerkki 1.9. Olkoon f(x) = x m, m Z +. Määrää f (k) (x) kikill k Z + 9
1.10 L Hospitlin sääntö Trkstelln rj-rvo lim x f(x) g(x). Olkoon ti lim f(x) = 0 x j lim g(x) = 0 x lim f(x) = ± x j lim g(x) = ±. x Tällöin lim x f(x) g(x) = 0 0 Jos nyt lim x f (x) g (x) f(x) ti lim x g(x) = ±, jotk eivät ole määriteltyjä. = A on olemss, niin f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) = A. Esimerkki 1.10. ) lim x 3 x 3 27 x 2 9 ( b) lim 1 + 1 ) x x x 1.11 Implisiittinen derivointi Edellä on käsitelty muodoss y = f(x) nnetun funktion derivointi. Joskus funktio y = y(x) voidn kuitenkin esittää ns. implisiittimuodoss F (x, y) = 0 eli muodoss, joss y ei ole muuttujn x suhteen rtkistun. On mhdollist, että muuttuj y ei edes kyetä rtkisemn muuttujn x funktion, mutt kuitenkin y riippuu muuttujst x. Derivtt dy voidn silti usein määrätä implisiittinen dx derivoinnin vull. Edellytyksenä on, että y on muuttujn x suhteen derivoituv. Tällöin derivtt dy sisältää yleensä sekä muuttuj x että funktion rvon y. dx Implisiittisessä derivoinniss luseke F (x, y) = 0 derivoidn puolittin muuttujn x suhteen j muuttuj y käsitellään muuttujn x funktion. Sdust lusekkeest rtkistn dy dx ti y. Esimerkki 1.11. Määrää dy eli tutki y:n muutosnopeutt x:n suhteen pisteessä dx x = 1, kun x 3 + y 3 9 xy = 0 j y = f(x). 2 Esimerkki 1.12. Määrää dy dx j d2 y dx 2, kun ey xe x = 0 j y = f(x). 10
1.12 Differentili Olkoon f(x) derivoituv funktio kohdss x 0. Asetetn Tällöin u(x) = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ), kun x D f j x x 0. (1) [ ] f(x) f(x0 ) lim u(x) = lim f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. x x 0 x x0 x x 0 Kun kerrotn yhtälö (1) puolittin lusekkeell x x 0, sdn funktion f(x) differentilikehitelmä. Differentilikehitelmä: f(x) = f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + u(x)(x x 0 ), (2) missä, u(x) 0, kun x x 0. Kun merkitään x = x x 0 j y = f(x) f(x 0 ), sdn yhtälö (2) muotoon missä u(x) 0, kun x 0. y = f(x) = f (x 0 ) x + u(x) x, (3) Differentilikehitelmä (3) kuv muuttujn x muutost x vstv todellist funktion f rvon muutost f. Nyt termi f (x 0 ) x on funktion y = f(x) muuttujn lisäystä x vstv differentili kohdss x 0 j sitä merkitään dy = df(x 0 ) = f (x 0 ) x. (4) Kosk u(x) 0, kun x 0, niin differentili df rvioi hyvin funktion f(x) rvon muutost f (= f(x) f(x 0 )) kohdn x 0 läheisyydessä. 11
Geometrisesti funktion rvon todellisen muutoksen f(x) korvmist differentilill df(x) vst käyrän y = f(x) korvminen sen pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyllä tngentill. Huomutus. Mitä voimkkmmin funktio y = f(x) muuttuu kohdn x 0 ympäristössä, sitä huonommin differentili df kuv funktion todellist muutost f. Jos f(x) = x, niin f (x) = 1 in, kun x R. Täten dx = df = f (x) x = 1 x eli dx = x. Näin sdn differentilille luseke dy = df(x) = f (x)dx. (5) Esimerkki 1.13. Mikä on funktion f(x) = x 2 muuttujn lisäystä 1 10 vstv differentili df kohdss x 0 = 2. Mikä on tällöin f? Esimerkki 1.14. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 5 + 0.6x + 0.2 x, missä x on kokonistulo. Jos x = 25 j muuttujn x mksimlinen virhemhdollisuus 0.3, niin rvioi kulutuksen mksimlist j suhteellist virhettä. Rtkisu: Kulutuksen mksimlist virhettä voidn rvioid kulutusfunktion C(x) differentilill dc = C (x)dx = (0.6 + 0.1 x )dx. Kun x = 25 j dx = 0.3, sdn kulutuksen mksimliseksi virheeksi dc = (0.6 + 0.1 ) 0.3 = 0.62 0.3 = 0.186. 25 12
Suhteellinen virhe on tällöin dc C(25) = 0.186 0.186 25 = 5 + 0.6 25 + 0.2 5 + 15 + 1 = 0.186 21 = 0.008857 0, 9%. 1.13 Differentililskennn välirvoluse Trkstelln luksi seurv kuviot: Pisteiden A = (, f()) j B = (b, f(b)) kutt kulkevn suorn kulmkerroin on f(b) f() b Kuvion mukn käyrällä y = f(x) on olemss piste C, johon setettu tngenttisuor on pisteiden A j B kutt kulkevn suorn suuntinen. Tngentin kulmkerroin pisteessä C on f (c). Siten. f (c) = f(b) f() b. 13
Luse 1.3 (Differentililskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[. Silloin on olemss inkin yksi sellinen piste c ], b[, että f f(b) f() (c) =. b Esimerkki 1.15. Olkoon f(x) = x 3 1. Määrää c ] 2, 2[ se. f (c) = f(2) f( 2) 2 ( 2). Seurus 1.4. Olkoon y = f(x) derivoituv funktio j olkoot x 1 j x 2 (x 1 < x 2 ) funktion f nollkohti. Tällöin välirvoluseen nojll on olemss sellinen x 0 ]x 1, x 2 [, jolle f (x 0 ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 = 0 0 x 2 x 1 = 0. Siis jtkuvn j derivoituvn funktion f(x) khden nollkohdn välillä on funktion derivtll nollkoht. 1.14 Tylorin srjkehitelmä Olkoon n Z +. Luku n! = 1 2 3... n snotn n-kertomksi. Lisäksi setetn, että 0! = 1. Olkoon f (k) () funktion f(x) k. derivtt kohdss x =. Luse 1.5 (Tylorin luse). Oletetn, että funktioll f(x) on kikkien kertlukujen derivtt määrittelyjoukossn j D f. Tällöin f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! = f() + f ()(x ) + f () 2! = f() + f ()(x ) + f () 2! + R n (x), missä R n (x) 0, kun n. (x ) 2 + f (3) () (x ) 3 +... 3! (x ) 2 +... + f (n 1) () (x )n 1 (n 1)! Yo. srj kutsutn funktion f(x) Tylorin srjkehitelmäksi kohdss x =. 14
Kun funktion f(x) Tylorin srjkehitelmä ktkistn sopivn termin kohdlt, sdn polynomi, jok pproksimoi funktiot f(x). Huomutus. R n (x) = k=n f (k) () (x ) k k! Esimerkki 1.16. Lske funktion x2 x+1 k = 4. Rtkisu: Vlitn = 1 4. Tällöin f(x) = f (x) = x2 x + 1 2x(x + 1) x2 (x + 1) 2 = x2 + 2x (x + 1) 2 f f (x) = (2x + 2)(x + 1)2 (x 2 + 2x)2(x + 1) (x + 1) 4 f (3) (x) = f (4) (x) = = 2x + 2 2(x + 1) = (x + 1) 4 (x + 1) = 2 f 4 (x + 1) 3 Tylorin srjkehitelmä trkkuudell 2 3(x + 1)2 (x + 1) 6 = 6 (x + 1) 4 f (3) ( 6) ( 4) (x + 1)3 (x + 1) 8 = 24 (x + 1) 5 f (4) f (n) (x) = ( 1)n n! (x + 1) n+1 f (n) ( ) 1 f = 4 ( ) 1 = 4 1 16 5 4 = 1 20 1 16 + 1 2 ( 5 4 )2 = 9 25 ( ) 1 = 2 128 4 ( 5 = )3 125 4 ( ) 1 4 ) ( 1 4 = 6 ( 5 = 1536 )4 625 4 = 24 24576 ( 5 = )5 3125 4 ( ) 1 = ( 1)n n! 4 ( 5 4 )n+1 Siten x 2 x + 1 1 20 + 9 25 1! 1536 625 3! ( x 1 ) + 128 4 125 2! ( x 1 4 ) 3 + 24576 3125 4! ( x 1 ) 2 4 ( x 1 ) 4 4 15
1.15 Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Keskimääräinenmuutos(-nopeus) ilmisee funktion y = f(x) muutoksen suhteess muuttujn x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verrn. Rjmuutos merkitsee funktion y = f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll eli rjmuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollin hetkellä ts. funktion f(x) derivtt f (x). 1.15.1 Kustnnusfunktio Oletetn, että tvrmäärän x tuottmisest j mrkkinoinnist iheutuvt kokoniskustnnukset C(x) voidn ilmist funktion C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustnnukset AC(x) (ts. kustnnukset/tuote) ovt AC(x) = C(x) x. Rjkustnnusfunktio M C(x) on kokoniskustnnusfunktion C(x) derivtt C (x) j se ilmisee kokoniskustnnusten hetkellisen muutosnopeuden suhteess tuotntomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset riippuvt yleensä in tuotnnon tsost joll olln. Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun funktion AC(x) derivtt on noll (ks. äärirvot). Tällöin ( ) C(x) (AC) (x) = D = C (x) x C(x) = 0 x x 2 C (x) x C(x) = 0 C (x) x = C(x) : x C (x) = C(x) x MC(x) = AC(x). Keskimääräiset kustnnukset AC(x) ovt siis minimissään, kun ne ovt yhtäsuuret kuin rjkustnnukset M C(x). Esimerkki 1.17. Olkoot kokoniskustnnukset C(x) = 2x 2 + 3x + 1, missä x on tuotnnon määrä yksikkönä miljoon kpplett. Määrää keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset. Milloin keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään? 16
Rtkisu: Nyt j AC(x) = C(x) x = 2x2 + 3x + 1 x MC(x) = C (x) = 4x + 3. = 2x + 3 + 1 x Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun AC(x) = M C(x) eli 2x + 3 + 1 x = 4x + 3 x 0 2x 2 + 3x + 1 = 4x 2 + 3x 2x 2 = 1 x = ± 1 2 ±0, 707. Kosk x > 0, rtkisu on x = 1 2 0, 707. Siispä keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun tuotnnon määrä on 707 000 kpplett. 1.15.2 Tulofunktio Olkoon kysyntäfunktio y = f(x), missä y on tvrn yksikköhint j x on kysynnän suuruus (tvrmäärä). Kokonistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x f(x). Rjtulo on MR(x) = dr(x) = R (x), dx jok on siis kokonistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen. Huomutus. Keskimääräinen tulo R(x) x kysyntäfunktio. = f(x), joten se on sm funktio kuin Funktion R(x) rvo on in positiivinen, sillä x j f(x) = y ovt positiivisi. Rjtulo M R(x) voi oll myös negtiivinen, sillä kokonistulo voi sekä lisääntyä että vähentyä kysynnän ksvess. Kokonistulofunktio on suurimmilln kohdss, joss rjtulofunktio s rvon 0 (ks. äärirvot). 17
Esimerkki 1.18. Olkoon kysyntäfunktio y = x + 3, missä y on yksikköhint j x on kysynnän määrä. Määrää kokonistulo, rjtulo j keskimääräinen tulo. Milloin kokonistulo on suurimmilln? Rtkisu: Nyt kokonistulo on rjtulo R(x) = x y = x( x + 3) = x 2 + 3x, MR(x) = R (x) = 2x + 3 j keskimääräinen tulo R(x) = y = x + 3. x Kokonistulo on suurimmilln, kun MR(x) = 2x + 3 = 0 eli x = 3. 2 1.15.3 Jousto Funktion y = f(x) jousto Ef(x) kohdss x on Ef(x) = f(x) f(x) x x = x f(x) f(x) x = x f(x) f (x) Jousto on funktion f(x) suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujn x suhteellisen muutoksen suhteen. Jousto mitt, kuink herkästi funkto f(x) regoi muuttujn x muutoksiin. Jousto kertoo, kuink mont prosentti funktion rvo muuttuu, kun muuttujn rvo muuttuu yhden prosentin verrn. Funktion rvo muuttuu suhteess hitmmin, kun Ef(x) < 1. Jousto käytetään tutkittess kysyntää, trjont, kustnnuksi j tuottvuutt. 18
Huomutus. Joustoll ei ole yksikköä! Esimerkki 1.19. Trkstelln kustnnusfunktiot C(x) = 2x 2 + 3x + 1. Lske funktion C(x) jousto EC(x). Rtkisu: Nyt EC(x) = x C(x) C (x) = x (4x + 3) = 4x2 2x 2 + 3x + 1 + 3x 2x 2 + 3x + 1. 1.15.4 Knsntulo, kulutus j säästäminen Kulutusfunktio C(x) ilmisee käytettävissä olevn (kokonis)knsntulon x j knsllisen (kokonis)kulutuksen välisen suhteen. Yksinkertisiss mlleiss kulutusfunktion C(x) oletetn ksvvn, kun knsntulo ksv, j vähenevän, kun knsntulo vähenee, kuitenkin siten, että knsntulon muuttuess kulutus ei muutu yhtä pljon. Rjkulutuslttius trkoitt kulutusfunktion muutosnopeutt, kun knsntulo muuttuu. Rjkulutuslttius on suurempi kuin noll, mutt pienempi kuin yksi. Olkoon kulutusfunktio C = C(x), missä C(x) on knsllinen kulutus, x on knsntulo sekä C j x sm yksikköä. Rjkulutuslttius on dc(x) dx = C (x). Yksinkertisiss mlleiss käytettävissä olev tulo = kulutus + säästäminen. Siis x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöt, kun knsntulo on x. Siten säästämisfunktio j rjsäästämislttius S(x) = x C(x) S (x) = ds(x) dx = 1 C (x) = 1 dc(x) dx. 19
Knsntulonlyysissä investoinnit käsitetään pääomn muodostukseksi, eli I = I(x) = S(x) = x C(x), j ne edustvt lisäystä relipääomn. Investoinnin j kulutuksen oletetn olevn suhteess toisiins siten, että tietty (rhmääräinen) lisäys investointeihin voi tuott rhmäärältään moninkertisen lisäyksen knsntuloon. Täsmällinen ilmisu tälle riippuvuudelle nnetn kertoimen k vull. Tämä kerroin kuv suurimmn mhdollisen tulonlisäyksen suhdett sen iheuttneeseen investointilisäykseen. Merkitään k I = x. Siis k = x I = dx di = 1 di dx = 1 d(x C(x)) dx = 1 1 C (x) = 1 S (x) Esimerkki 1.20. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 10 + 0, 8x + 0, 5 x, missä x on knsntulo. Määrää S(x), dc ds j sekä kerroin k. dx dx Rtkisu: Nyt säästämisfunktio on S(x) = x C(x) = x (10 + 0, 8x + 0, 5 x) = 10 + 0, 2x 0, 5 x, rjkulutuslttius rjsäästämislttius dc dx = 1 C (x) = 0, 8 + 0, 5 2 x = 0, 8 + 0, 25 x, ds dx = S (x) = 1 C (x) = 1 (0, 8 + 0.25 0, 25 ) = 0, 2 x x j kerroin k k = 1 S (x) = 1 0, 2 0,25. x 20
2 Trigonometriset funktiot Huomutus. Asteiden sijst käytetään yleensä rdinej: 360 o = 2π (rd) 180 o = π (rd) 1 o = 2π 360o (rd) 1 (rd) = 360 2π α o = α 360 2π (rd), eli π = 180o, π 2 = 90o, 2π = 360 o jne. Yksikköympyrä: Kulmn α = AOB suuruus rdineiss on kulm vstvn yksikköympyrän kren AB pituus. Kulm lsketn positiiviseksi x-kselist vstpäivään eli positiiviseen kiertosuuntn j negtiiviseksi myötäpäivään eli negtiiviseen kiertosuuntn. Yksikköympyrässä ei trvitse rjoitt kulmn α suuruutt, vn se voi oll mikä thns reliluku, myös negtiivinen. Olkoon piste (x, y) kulm α vstv yksikköympyrän kehäpiste. Tällöin trigonometriset funktiot määritellään seurvsti: 21
Trigonometriset funktiot sin α = y ( 1 sin α 1), cos α = x ( 1 cos α 1), tn α = y x = sin α cos α, α π + nπ, missä n Z, 2 Siten cot α = x y = cos α sin α = 1, α nπ, missä n Z. tn α cos 0 =, cos π 2 =, cos π =, cos 3π 2 =, cos 2π = sin 0 =, sin π 2 =, sin π =, sin 3π 2 =, sin 2π = 22
Suorkulminen kolmio: sin α = b c, cos α = c, tn α = b, α = sin 1 b c = cos 1 c 2 + b 2 = c 2 (Pythgorn luse) Muistikolmiot: Huomutus. Trigonometristen funktioiden potensseille käytetään merkintöjä: (sin x) n = sin n x, (cos x) n = cos n x, (tn x) n = tn n x. 23
Kvoj: sin 2 x + cos 2 x = 1 (Pythgorn luseest) { sin (π x) = sin x cos (π x) = cos x { sin ( π x) = cos x 2 cos ( π x) = sin x 2 { cos x = cos (x + n 2π), n Z sin x = sin (x + n 2π), n Z { cos ( x) = cos x sin ( x) = sin x sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 sin x lim x 0 x = 1 24
Trigonometristen funktioiden kuvjt: Kuvjist nähdään, että sin x on bijektio [ π, π ] [ 1, 1], 2 2 cos x on bijektio [0, π] [ 1, 1], tn x on bijektio [ π, π] R, 2 2 cot x on bijektio [0, π] R. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot: rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ], y = sin x x = rcsin y = sin 1 y rccos : [ 1, 1] [0, π], y = cos x x = rccos y = cos 1 y, rctn : R [ π 2, π 2 ], y = tn x x = rctn y = tn 1 y rccot : R [0, π], y = cot x x = rccot y = cot 1 y Esimerkki 2.1. Määritä rctn 1 j rcsin 3 2. Kosk tn π = 1, niin rctn 1 = π. 4 4 Kosk sin π = 3, niin rcsin 3 = π. 3 2 2 3 Esimerkki 2.2. Rtkise yhtälö sin 2x = cos x. 25
Derivoimiskvt: D sin x = cos x D sin f(x) = cos f(x) f (x) D cos x = sin x D cos f(x) = sin f(x) f (x) D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x D tn f(x) = 1 cos 2 f(x) f (x) = [1 + tn 2 f(x)] f (x) D cot x = 1 sin 2 x = (1 + cot2 x) 1 D cot f(x) = sin 2 f(x) f (x) = [1 + cot 2 f(x)] f (x) D rcsin x = D rcsin f(x) = 1 1 x 2, x ±1 1 1 f(x) 2 f (x), f(x) ±1 1 D rccos x =, x ±1 1 x 2 1 D rccos f(x) = f (x), f(x) ±1 1 f(x) 2 D rctn x = 1 1 + x 2 D rctn f(x) = Drccot x = Drccot f(x) = 1 1 + x 2 1 1 + f(x) 2 f (x) 1 1 + f(x) 2 f (x) 26
Esimerkki 2.3. Määrää seurvt derivtt ) D sin (2x 2 ) b) D rctn (2x 2 ) c) D rcsin (2x 2 ) d) D tn (x 2 ) e) D tn 2 x 27
3 Usen muuttujn funktiot 3.1 Yleistä Joukko R n, missä n N, määritellään seurvsti: R 1 = R, R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R},..., R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}, kun n 2. Siis esimerkiksi R 2 = {(x, y) x, y R} j R 3 = {(x, y, z) x, y, z R} R 4 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1, x 2, x 3, x 4 R}. Olkoon D f R n j f : D f R funktio. Funktio f on n muuttujn relirvoinen funktio. Merkintä y = f(x 1,..., x n ) trkoitt, että y on funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) D f. Esimerkki 3.1. ) z = f(x, y) = x 2 + y 2 b) f(x, y, z) = x + y z Khden muuttujn relirvoist funktiot f : D f R, D f R 2, voidn hvinnollist pinnn z = f(x, y) vull xyz koordintistoss. Tämä pint on funktion f kuvj. Esimerkki 3.2. Olkoon f : X R funktio, missä määrittelyjoukko X = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}, j f(x, y) = 3 kikill (x, y) X. Tällöin määrittelyehto x 2 + y 2 1 nt 1 säteisen ympyrän sisältämän lueen. Kosk f(x, y) = 3 kikill (x, y) X, niin funktion kuvj xyz-koordintistoss on xy-tson suuntinen ympyrä, jonk säde on 1 j keskipiste (0, 0, 3). 28
Huomutus. Joskus funktion y = f(x 1,..., x n ) kukin muuttuj x i jollkin välillä I i. s rvoj Esimerkki 3.3. f(x, y, z) = x 2 2y + z, 0 x 1, 1 y < 2, 0 z < 3. Siis D f = {(x, y, z) R 3 x [0, 1], y [1, 2[, z [0, 3[}. Jos funktion määrittelyjoukko ei ole nnettu, määrittelyjoukoksi jtelln kikki ne pisteet, joiss funktion rvo voidn määritellä. Rj-rvo Funktion f : R n R rj-rvoll pisteessä ( 1, 2,..., n ) trkoitetn sitä luku b, jot funktion f rvot f(x 1, x 2,..., x n ) lähestyvät, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin merkitään mikäli tämä rj-rvo on olemss. lim f(x 1,..., x n ) = b, (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvo voi oll myös, mikä trkoitt sitä, että funktion f rvot ksvvt rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Vstvsti rjrvo on, jos funktion f rvot pienenevät rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) 29
lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin käytetään merkintöjä lim f(x 1,..., x n ) = j lim f(x 1,..., x n ) =. (x 1,...,x n) ( 1,..., n) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvoss lähestyttävä piste ( 1, 2,..., n ) on yleensä sellinen, että funktion f rvo ei void määrittää pisteessä ( 1, 2,..., n ). On myös mhdollist, että jotkin muuttujist x i lähestyvät ääretöntä ti miinus ääretöntä. Jtkuvuus Funktio f(x 1,..., x n ) on jtkuv pisteessä ( 1,..., n ), jos lim f(x 1,..., x n ) = f( 1,..., n ). (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Kksiulotteisess tpuksess funktion f(x, y) jtkuvuus pisteessä (, b) merkitsee geometrisesti sitä, että pint z = f(x, y) on jtkuv eikä sisällä hyppäystä pisteessä (, b). Esimerkki 3.4. y ) Määrää lim (x,y) (0,1) x 2 b) Onko funktio f(x, y) = x 2 + y 2 jtkuv pisteessä (1, 1)? c) Onko funktio f(x, y) = x + y 2 jtkuv? 3.2 Osittisderivtt Olkoon y = f(x 1,..., x n ) n muuttujn funktio. Tutkitn funktion f derivtt muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1, 2,..., n ). Asettmll x 1 = 1, x 2 = 2,..., x i 1 = i 1, x i+1 = i+1,..., x n = n sdn yhden muuttujn x i funktio y = f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ). Jos tämä funktio f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ) on derivoituv kohdss x i = i, eli rj-rvo f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ) f( 1, 2,..., i 1, i, i+1,..., n ) lim x i i x i i 30
on olemss j äärellinen, niin sitä snotn funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtksi muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ). Tällöin merkitään f f( 1,..., x i,..., n ) f( 1,..., i,..., n ) ( 1,..., n ) = lim. x i x i i x i i Joskus käytetään myös merkintää f 1 ( 1,..., n ). Huomutus. Funktion osittisderivtt muuttujn x i hetkellistä muutosnopeutt muuttujn x i suhteen. suhteen kuv funktion Esimerkki 3.5. Määrää funktion f(x, y) = x 2 + xy + 1 osittisderivtt muuttujien x j y suhteen pisteessä (1, 3). Osittisderivttfunktio: Olkoon f(x 1,..., x n ) derivoituv muuttujn x i suhteen mielivltisess pisteessä f ( 1,..., n ) eli x i ( 1,..., n ) on olemss. Korvmll sduss derivtss f x i ( 1,..., n ) mielivltinen piste ( 1,..., n ) muuttujll (x 1,..., x n ) sdn funktio f x i (x 1,..., x n ), jok on funktion f osittisderivttfunktio muuttujn x i suhteen. Funktion f(x 1,..., x n ) osittisderivttfunktiot muuttujn x i suhteen merkitään: f x i, f xi, f i. 3.2.1 Osittisderivttojen määrääminen Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen on olemss funktion määrittelyjoukon jokisess pisteessä, funktion kyseinen osittisderivttfunktio sdn derivoimll funktiot y = f(x 1,..., x n ) muuttujn x i suhteen j pitämällä muut muuttujt vkion. Huomutus. Funktiot, joille on nnettu derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelyjoukossn D f. Jos funktio ei ole jtkuv, ei se ole derivoituvkn. 31
Luse 3.1. Olkoon funktio f jtkuv pisteessä ( 1,..., n ). Tällöin funktio f f on derivoituv muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) eli x i ( 1,..., n ) on olemss, jos f lim (x 1, x 2,..., x n ) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) x i on olemss. Esimerkki 3.6. Onko funktio f(x, y) = x + y 2 derivoituv? Funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) sdn sijoittmll funktion f osittisderivttfunktioon f x i piste ( 1,..., n ). Esimerkki 3.7. Määrää funtion f(x, y, z) = xe x+y + z 2 x + xyz osittisderivttfunktiot muuttujien x, y j z suhteen. Lske näiden rvo pisteessä (1, 0, 2). 3.3 Kokonisdifferentili Olkoon funktion z = f(x, y) osittisderivtt f x D f. Tällöin j f y jtkuvi j olkoon (, b) f = f(x, y) f(, b) (6) = f f (, b) (x ) + x y (, b) (y b) + u 1(x, y)(x ) + u 2 (x, y)(y b), missä u 1 0 j u 2 0, kun x j y b. Tämä on funktion f differentilikehitelmä. Funktion f(x, y) differentili kohdss (, b) on missä dx = x j dy = y. dz = df(, b) = f f (, b) dx + (, b) dy, x y Differentili dz = df(, b) rvioi funktion z = f(x, y) todellist muutost z = f = f(x, y) f(, b) hyvin pisteen (, b) läheisyydessä. 32
Geometrisesti suureen z korvminen suureell dz vst pinnn z = f(x, y) korvmist pisteeseen (, b, f(, b)) piirretyllä tngenttitsoll z t (x, y), jok sdn yhtälöstä z t f(, b) = f f (, b) (x ) + (, b) (y b). x y Huomutus. Jokinen muoto x + by + cz + d = 0, missä, b, c, d R, olev yhtälö on vruuden R 3 jonkin tson yhtälö. Jos d = 0, niin tso kulkee origon kutt. Luse 3.2. Kokonisdiffentili n muuttujn funktiolle y = f(x 1,..., x n ) on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 +... + f x n dx n. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x, y) = x 3 + 3y 2. Määrää funktion f muuttujn x muutost 1 j muuttujn y muutost 1 vstv kokonisdifferentili j todellinen 2 3 muutos kohdss (2, 3). 3.4 Yhdistetyn funktion derivointi Oletetn, että funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt f x 1,..., f x n ovt olemss eli funktio on derivoituv muuttujien suhteen. Oletetn lisäksi, että kukin x 1, x 2,..., x n on edelleen muuttujn t funktio, ts. x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t). Tällöin myös funktio f on muuttujn t funktio j funktion f (kokonis)derivtt muuttujn t suhteen sdn lusekkeest df dt = f dx 1 x 1 dt +... + f dx n x n dt, kun muuttujt x i ovt derivoituvi muuttujns t suhteen. Funktion f (kokonis)derivtt voidn lske myös sijoittmll muuttujien x i lusekkeet muuttujn t suhteen funktion f lusekkeeseen j derivoimll stu luseke muuttujn t suhteen. Esimerkki 3.9. f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = 2t j y = t 2. Määrää df dt. 33
Jos funktio y = f(x 1,..., x n ) on derivoituv muuttujien x i suhteen j kukin muuttuj x i on muuttujien t 1,..., t m funktio (ts. x 1 = x 1 (t 1,..., t m ),..., x n = x n (t 1,..., t m )) j lisäksi kukin x i on derivoituv muuttujiens t j suhteen, siis osittisderivtt x 1,..., x n,..., x 1,..., x n t 1 t 1 t m t m ovt olemss. Tällöin sdn f = f x 1 +... + f x n t 1 x 1 t 1 x n t 1. f = f x 1 +... + f x n t m x 1 t m x n t m Myös nämä osittisderivtt voidn lske suorn sijoittmll ensin muuttujien x i lusekkeet muuttujien t j suhteen funktion lusekkeeseen j sen jälkeen derivoimll funktion luseke muuttujien t j suhteen. Esimerkki 3.10. Olkoon f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = u v j y = u 2 + v 2. Määrää f f j. u v 3.5 Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi 3.5.1 Rjkustnnusfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen A j B tuottmisest koituvi kokoniskustnnuksi kuv funktio C = C(x, y), missä Tällöin rjkustnnusfunktiot ovt x = hyödykkeen A tuotntomäärä, y = hyödykkeen B tuotntomäärä. C = rjkustnnus tuotntomäärän x suhteen, x C = rjkustnnus tuotntomäärän y suhteen. y 34
Esimerkki 3.11. Olkoon kustnnusfunktio C(x, y) = x ln (5 + y). Tällöin rjkustnnukset ovt C C = ln (5 + y) j = x. x y 5+y 3.5.2 Kysyntäfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen kysynnän määrät ovt x j y j vstvt hinnt p j q j että x = f(p, q) j y = g(p, q). (Siis kysynnät x j y riippuvt vin hinnoist p j q.) Sdut funktiot ovt kysyntäfunktioit. x = f(p, q) j y = g(p, q) Kysyntäfunktioill x = f(p, q) j y = g(p, q) on seurvt ominisuudet 1. x, y, p, q, 0 2. Jos hint q on vkio, niin kysyntä x on hinnn p suhteen vähenevä funktio. Smoin, jos p on vkio, kysyntä y on hinnn q suhteen vähenevä funktio. { x = f(p, q) 3. Yhtälöryhmä voidn yksikäsitteisesti rtkist hintojen y = g(p, q) p j q suhteen eli on mhdollist määrätä käänteisfunktiot p = F (x, y) j q = G(x, y). Kun kysyntäfunktiot ovt x = f(p, q) j y = g(p, q), niin x p x q y p y q on kysynnän x rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän x rjkysyntä hinnn q suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn q suhteen Esimerkki 3.12. Olkoon kysyntäfunktiot x = 2e q p j y = 3e p q. Tällöin rjkysyntäfunktiot ovt x p = 2eq p, x q = 2eq p, y p = 3ep q, y q = 3ep q. 35
Määritellään nyt kysyntäfunktioiden x = f(p, q) j y = g(p, q) osittisjoustot: E p x (q=c1 ) = p x x p E q x (p=c2 ) = q x x q E p y (q=c3 ) = p y y p E q y (p=c4 ) = q y y q Kysynnän x osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 1 Kysynnän x osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c 2 Kysynnän y osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 3 Kysynnän y osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c 4 3.5.3 Tuotntofunktiot Olkoon hyödykkeen tuotntofunktio z = f(x, y), missä z = hyödykkeen tuotntomäärä x j y = khden tuotnnontekijän käyttömäärät (työ, m, pääom, mterili, koneet). Tällöin z x z y on tuotnnontekijän x rjtuottvuus on tuotnnontekijän y rjtuottvuus. Esimerkki 3.13. Olkoon tuotntofunktio z = 4x 3 4 y 1 4, missä x on työ j y on pääom. Tällöin z x = 4 3 z y = 4x 3 1 4 4 1 1 x 4 y 4 = 3x 1 1 4 y 4 3 3 y 4 = x 4 (työn rjtuottvuus) 4 y 3 4 (po:n rjtuottvuus) 36
3.6 Korkemmist osittisderivtoist Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt f x 1,..., f x n ovt edelleen derivoituvi, sdn funktion f toisen kertluvun osittisderivtt: f x1 x 1 = ( ) f x 1 x 1 f x1 x 2 = ( ) f x 1 x 2..., f xi x j = x i ( ) f x j = 2 f, x 2 1 = 2 f x 1 x 2, = 2 f x i x j. Vstvsti määritellään vielä korkemmtkin osittisderivtt. Esimerkki 3.14. Määrää funktion f(x, y) = x 3 e 3y toisen kertluvun osittisderivtt. 3.7 Implisiittinen derivointi Vstvsti kuin yhden muuttujn tpuksess funktio y = f(x 1,..., x n ) stetn joskus esittää ns. implisiittimuodoss F (x 1,..., x n, y) = 0 eli muodoss, joss y ei ole muuttujien x 1,..., x n suhteen rtkistun. On mhdollist, että muuttuj y ei edes kyetä rtkisemn muuttujien x 1,..., x n funktion, mutt kuitenkin y riippuu muuttujist x 1,..., x n. Osittisderivtt y x i voidn silti usein määrätä implisiittinen derivoinnin vull. Edellytyksenä on, että y on muuttujn x i suhteen derivoituv. Tällöin osittisderivtt y x i sisältää yleensä sekä muuttuji x 1,..., x n että funktion rvon y. Implisiittisessä derivoinniss luseke F (x 1,..., x n, y) = 0 derivoidn puolittin muuttujn x i suhteen j muuttuj y käsitellään muuttujien x 1,..., x n funktion. Sdust lusekkeest rtkistn y x i. Esimerkki 3.15. Olkoon z 2 x 2xyz + y = 0, missä z = f(x, y). Määrää z x (1, 1). j z y (1, 1) 37
4 Integrlilskent 4.1 Johdnto Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus. Siis f(x) dx = F (x) D F (x) = f(x). On siis määritettävä funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) tiedetään. Tloustieteessä integrointi voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Hyötyfunktion selvittäminen, kun rjhyötyfunktio tunnetn. Kustnnusfunktion selvittäminen, kun rjkustnnusfunktio tunnetn. Tulofunktion selvittäminen, kun rjtulofunktio tunnetn. Määrätty integrli trkoitt integrointi yli jonkin välin j sitä merkitään b f(x) dx. Määrätyn integrlin vull voidn lske käyrän rjoittmn pinnn l. Tloustieteessä määrättyä integrli voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Kokonistulo on rjtulofunktion rjoittmn pinnn l. Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän lpuolell jäävä pint-l. Tuottjn ylijäämä on trjontkäyrän lpuolell jäävä pint-l. 4.2 Integrlifunktio Pyritään määräämään funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) on nnettu. Funktio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x) = f(x) x D f. Merkitään f(x) dx = F (x). 38
Kosk funktio F (x) on derivoituv on se myös jtkuv. Olkoon F (x) funktion f(x) eräs integrlifunktio. Siis F (x) = f(x). Toislt kun c on vkio, niin D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F (x) + 0 = F (x) = f(x). Siis jokinen funktio F (x) + c, missä c on vkio, on myös funktion f(x) integrlifunktio. Luse 4.1. (Integrlilskennn perusluse). Olkoon funktio f(x) jtkuv j derivoituv välillä ], b[. Jos lisäksi f (x) = 0 x ], b[, niin f(x) on vkiofunktio tällä välillä. Todistus. Vert f(x):n ksvunopeus. Olkoon D f =], b[ j olkoot F (x) j G(x) molemmt funktion f(x) integrlifunktioit, eli F (x) = f(x) j G (x) = f(x). Tällöin D(G(x) F (x)) = DG(x) DF (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0. Integrlilskennn perusluseen nojll G(x) F (x) on vkiofunktio, eli on olemss c R siten, että G(x) F (x) = c x ], b[ G(x) = F (x) + c. 39
Luse 4.2. Olkoon f(x) funktio, jolle D f =], b[ j F (x) on eräs funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin {F (x) + c c R} on funktion f(x) kikkien integrlifunktioiden joukko. Kun nnetn yksi piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlifunktio kulkee, niin integrlifunktio sdn täysin määrättyä: F (x 0 ) + c = y 0 c = y 0 F (x 0 ). Luse 4.3. Olkoot f(x) j g(x) funktioit, joill D f = D g =], b[. Oletetn, että F (x) on eräs funktion f(x) j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio. Tällöin (i) F (x) + G(x) on funktion f(x) + g(x) integrlifunktio (ii) F (x) on funktion f(x) integrlifunktio ( R vkio) Todistus. (i) D(F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x) (ii) D(F (x)) = D(F (x)) = F (x) = f(x). Funktion f(x) integrlifunktiot merkitään: f(x) dx = F (x) + c, missä F (x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio j c on integroimisvkio. Luse 4.3 sdn nyt muotoon (i) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (ii) f(x) dx = f(x) dx. Derivoimiskvoist sdn seurvt integroimiskvt: (1) dx = x + c, missä R on vkio. (2) x dx = x+1 x+1 + c, 1, R, sillä D + 1 + 1 = ( + 1)x + 1 = x. Jos Z, niin oltv x 0. (juuren ll posit.) 40
(3) (4) (5) 1 dx = ln x + c, x 0, x D ln x = 1 sillä D ln x = x, kun x > 0 D ln ( x) = 1 x ( 1) = 1, kun x < 0. x e x dx = e x + c, sillä De x = e x. x dx = x x + c, sillä D ln ln = x ln ln = x. Olkoot funktiot g(x), f(x) j f (x) jtkuvi j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio. Tällöin D G(f(x)) = G (f(x)) f (x) = g(f(x)) f (x). Siis (6) g(f(x)) f (x) dx = G(f(x)) + c. Tämän vull sdn seurvt integroimiskvt: (7) (f(x)) f (x) dx = (f(x))+1 + c, 1, + 1 sillä D (f(x))+1 + 1 = ( + 1)(f(x)) + 1 f (x) = f(x) f (x). Olkoon nyt 1 j f(x) 0. Tällöin (8) (9) f (x) dx = ln f(x) + c, f(x) 0, sillä f(x) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) > 0 f(x) D ln f(x) = D ln ( f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) < 0. f(x) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c, sillä De f(x) = e f(x) f (x) 41
(10) sillä f(x) f (x) dx = f(x) ln + c, D f(x) ln = ln f(x) f (x) ln = f(x) f (x) Funktiot f(x) snotn integroituvksi, jos sillä on olemss integrlifunktio. Jokinen jtkuv funktio on integroituv. Tällöin f derivoituv f jtkuv f integroituv. Huom, että päättelyketju ei päde toiseen suuntn. Olkoot funktiot f j g derivttoineen jtkuvi. Tällöin D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (f (x) g(x) + f(x) g (x)) dx = f(x) g(x) + c f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx = f(x) g(x) + c Tästä sdn ns. osittisintegroinnin kv: (11) Vlitn: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx + c. f : voidn (ostn) integroid g : yksinkertistuu enemmän derivoimll Esimerkki 4.1. (x 4 + 1x 3 ) dx Esimerkki 4.2. Määritä funktion f(x) = 8x 3 2x ) Kikki integrlifunktiot b) Se integrlifunktio F (x), jolle F (1) = 9. Esimerkki 4.3. x + 3 x + 1 dx x 42
Esimerkki 4.4. 2 3x + 2 2x 2 x dx Esimerkki 4.5. 3x x2 + 1 dx Esimerkki 4.6. e x2 x dx Esimerkki 4.7. Esimerkki 4.8. x 2 x 3 + 1 dx x ln x dx Trigonometristen funktioiden integroimiskvt: sin x dx = cos x + C sin f(x) f (x) dx = cos f(x) + C cos x dx = sin x + C cos f(x) f (x) dx = sin f(x) + C 1 dx = rcsin x + C 1 x 2 1 1 f(x) 2 f (x) dx = rcsin f(x) + C 1 dx = rctn x + C 1 + x2 1 1 + f(x) f (x) dx = rctn f(x) + C 2 43
Esimerkki 4.9. Määrää seurvt integrlit ) cos (5x) dx 1 b) dx 2 x 2 1 c) 2 + x dx 2 4.3 Integrointi osmurtokehitelmän vull On määrättävä P (x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej. Q(x) Jos polynomi P (x) on jollinen polynomill Q(x), niin tehtävä plutuu polynomin integrointiin. Jos polynomi P (x) = Q (x), niin tehtävä plutuu integroimiskvn (7). Oletetn nyt, että P (x) ei ole jollinen polynomill Q(x) eikä se ole sen derivttfunktio. Olkoon lisäksi polynomi P (x) lemp stett kuin Q(x), muutoin suoritetn ensin jkminen (ktso esim. 4.10 jälkeinen teksti). Tällöin rtionlifunktio P (x) Q(x) jotk kyetään integroimn. Menetelmä on seurv: voidn esittää osmurtolusekkeiden summn, 1) Jetn nimittäjä Q(x) jottomiin tekijöihin rtkisemll sen nollkohdt. Tekijät ovt muoto x + b (vst polynomin Q(x) relist nollkoht) ti x 2 + bx + c (tpus, joss nollkoht ei ole reliluku eli 2. steen tekijä ei jknnu). 2) Kutkin polynomin Q(x) tekijää vst osmurtoluseke seurvsti: ) yksinkertinen linerinen tekijä x + b A x + b b) n kertinen linerinen tekijä (x + b) n A 1 x + b + A 2 (x + b) + + A n 2 (x + b) n c) yksinkertinen toisen steen joton tekijä x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c 44
d) n kertinen toisen steen joton tekijä (x 2 + bx + c) n A 1x + B 1 x 2 + bx + c + A 2x + B 2 (x 2 + bx + c) + + A nx + B n 2 (x 2 + bx + c) n missä A, B, A 1,..., A n, B 1,..., B n ovt vkioit, jotk pitää määrätä. 3) Vkiot määrätään seurvsti: Luseke P (x) esitetään osmurtolusekkeiden summn. Kerrotn puolittin nimittäjällä Q(x), jolloin vsemmlle puolelle jää P (x) j oikel- Q(x) le puolelle osmurtolusekkeiden vkioit sisältävä polynomi. Vertmll kyseisen polynomin j polynomin P (x) termien kertoimi, sdn vkiot määrättyä. 4) Integrli P (x) Q(x) sdn osmurtolusekkeiden integrlien summn. Esimerkki 4.10. x + 3 x 2 + 3x + 2 dx Jos P (x) on korkemp ti yhtä suurt stett kuin Q(x), niin jetn: P (x) Q(x) = R(x) + P 1(x) Q(x), missä jkojäännös P 1 (x) on lemp stett kuin Q(x). Siten P (x) Q(x) dx = R(x) dx + P1 (x) Q(x) dx. Esimerkki 4.11. x 3 2x 6 x 2 2x + 1 dx Esimerkki 4.12. x x 4 + 6x 2 + 5 dx 4.4 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Integrli f(x) dx voidn muutt yksinkertisempn muotoon sopivll sijoituksell x = g(t), missä t on pumuuttuj j funktio g(t) on derivoituv bijektio (muuttujn t suhteen). Derivoimll luseke x = g(t) puolittin muuttujn t suhteen sdn dx dt = g (t) eli dx = g (t)dt. 45
Täten sdn sijoitusmenetelmän sääntö: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt = F (t) + C Siis sijoituksess x = g(t) integrliss korvtn x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t)dt. Integroinnin jälkeen pltn lkuperäiseen muuttujn x sijoituksell t = g 1 (x). Huomutus. Sijoitusmenetelmästä on hyötyä vin, jos se joht yksinkertisempn integrliin! Yleensä korvtn jokin muuttuj x sisältävä termi pumuuttujll t. Käyttökelpoisi sijoituksi: 1) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi x + b ti x+b, voidn cx+d sijoitt t = x + b ti t = x+b. cx+d Esimerkki 4.13. x 2x + 1 dx 2) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi n x + b, (x + b) n, n x + b cx + d ti ( ) n x + b, cx + d voidn sijoitt t = n x + b, t = (x + b) n, t = n x + b cx + d ti t = ( ) n x + b. cx + d Esimerkki 4.14. x 2 3 1 2x dx 3) Jos integroitv funktio f on rtionlinen muuttujn x murtolukupotenssien suhteen, sdn integroitvst rtionlinen muuttujn t suhteen sijoituksell x = t d, missä d on muuttujn x murtopotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki 4.15. x 1 2 1 + x 3 4 dx 46
4) Jos integroitv on rtionlinen termin (x + b) murtolukupotenssien suhteen, käytetään sijoitust x + b = t d, missä d on termin (x + b) murtolukupotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki 4.16. x (1 + 2x) 3 2 Huomutus. Pienin yhteinen jettv trkoitt pienintä sellist luku, jonk jotkut tietyt luvut jkvt tsn. Esimerkiksi lukujen 2 j 3 pienin yhteinen jettv on luku 6. 5) Jos integroitvss funktioss f esiintyy voidn sijoitt e x ti x t = e x x = ln t ti t = x x = log t. dx 6) Tietyissä erikoistpuksiss sijoitus x = 1 t on tehoks. Esimerkki 4.17. (x x 3 ) 1 3 x 4 dx 4.5 Määräämätön integrli tloustieteessä Tloustieteessä kuvtn jonkin muuttujn y vihtelu toisen muuttujn x suhteen käyttäen keskimääräisen muutoksen j rjmuutoksen käsitteitä. Rjmuutosfunktio sdn lkuperäisestä funktiost derivoimll, joten lkuperäinen funktio sdn rjfunktiost (vkiot ville) integroimll. 4.5.1 Kustnnusfunktiot Olkoon C = C(x) kokoniskustnnusfunktio, missä x on tuotnnon määrä. Tällöin AC(x) = C(x) on keskimääräisten kustnnusten funktio j MC(x) = C (x) x on rjkustnnusfunktio. Kokoniskustnnusfunktio C(x) sdn siten integroimll rjkustnnusfunktio M C(x) eli C(x) = MC(x) dx. 47
Integroimisvkio c sdn määrättyä jonkin lkuehdon vull. Usein nnetn kiinteät kustnnukset, eli kustnnukset tuotnnon määrän x olless noll. Esimerkki 4.18. Olkoon rjkustnnusfunktio MC(x) = 2 + 60x 5x 2. Määrää kokoniskustnnusfunktio C(x) j keskimääräiskustnnusfunktio AC(x), kun kiinteät kustnnukset ovt 65. Rtkisu: C(x) = MC(x) dx = 2 + 60x 5x 2 dx = 2x + 30x 2 5 3 x3 + c C(0) = 65 2 0 + 30 0 2 5 3 03 + c = 65 c = 65 C(x) = 2x + 30x 2 5 3 x3 + 65 AC(x) = C(x) x = 2x + 30x2 5 3 x3 + 65 x = 2 + 30x 5 3 x2 + 65 x. 4.5.2 Tulofunktiot Kun y = f(x) on kysyntäfunktio, missä y on tvrn yksikköhint j x kysynnän suuruus (määrä), niin kokonistulofunktio R(x) = xy = x f(x) j rjtulofunktio MR(x) = dr(x) dx = f(x) + x f (x). Siten kokonistulofunktio on rjtulon integrlifunktio, eli R(x) = MR(x) dx. Integroimisvkio c määräytyy usein ehdost, että kokonistulo on noll, kun kysyntä x on noll eli R(0) = 0. Keskimääräisten tulojen funktio AR(x) = R(x) x = xf(x) x = f(x) = kysyntäfunktio. 48
Esimerkki 4.19. Olkoon rjtulofunktio MR(x) = 8 6x 2x 2. Määrää kokonistulofunktio R(x) j kysyntäfunktio f(x), kun kysynnän määrällä noll kokonistulo on noll. Rtkisu: R(x) = MR(x) dx = 8 6x 2x 2 dx = 8x 3x 2 2 3 x3 + c R(0) = 0 8 0 3 0 2 2 3 03 + c = 0 c = 0 R(x) = 8x 3x 2 2 3 x3 f(x) = R(x) x = 8x 3x2 2 3 x3 x = 8 3x 2 3 x2. 4.5.3 Knsntulo, kulutus j säästäminen Olkoon C = C(x) kulutusfunktio, missä C on knsllinen kokoniskulutus j x kokonisknsntulo. Rjkulutuslttius sdn seurvsti: dc dx = C (x). Olettmll, että x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöfunktio, sdn rjsäästämislttius seurvsti: S(x) = x C(x) ds(x) dx = 1 dc(x) dx Kosk knsllinen kokoniskulutus on rjkulutuslttiuden integrlifunktio, niin C(x) on muoto C(x) = C (x) dx. Esimerkki 4.20. Olkoon rjkulutuslttius dc = 56 + 16 dx x (milj. euro). Kun knsntulo on noll, on kulutus 640 milj. euro. Määrää kokoniskulutusfunktio. Rtkisu: C (x) dx = 56 + 16 x dx = 56x + 32 x + c C(0) = 640 56 0 + 32 0 + c = 640 c = 640 C(x) = 56x + 32 x + 640 49
4.5.4 Pääomn muodostus Olkoon K(t) pääomn kokonismäärä jn hetkellä t j K(t) on derivoituv muuttujn t suhteen. Pääomn muodostuksen ste (nopeus) on tällöin dk dt = K (t). Nyt pääomn muodostuksen ste K (t) on yhtä suuri nettoinvestointivirrn I(t) knss. Sdn yhtälöt K (t) = I(t) K (t) dt = I(t) dt K(t) = I(t) dt Siten pääomn kokonismäärä on pääomn muodostuksen steen ti nettoinvestointivirrn integrlifunktio. K(t) sdn, kun em. integrleiss määrätään integroitumisvkio. Esimerkki 4.21. Nettoinvestointivirt I(t) = 5t 3 7. Määritä pääomn kokonismäärä jnhetkellä t, kun pääomn kokonismäärä jnhetkellä t = 0 on 30. Rtkisu: K(t) = I(t) dt = K(0) = 30 7 0 10 7 2 K(t) = 7 2 t 10 7 + 30 5t 3 7 dt = 5t 10 7 10 7 + c = + c = 30 c = 30 7t 10 7 2 + c 50
4.6 Määrätty integrli Olkoon y = f(x) välillä [, b] jtkuv funktio j F (x) sen jokin integrlifunktio. Luku F (b) F () on funktion f(x) määrätty integrli yli välin [,b]. Merkitään: b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Esimerkki 4.22. 2 (2x 3 + 5x) dx 0 4.6.1 Määrätty integrli j pint-l Oletetn, että f(x) on jtkuv funktio j f(x) 0 x D f. Tehtävänä on määrittää käyrän y = f(x), x kselin, y kselin j suorn x = x 0 rjoittmn lueen pint-l A(x 0 ). 51
Alueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l on A = A(x) A(x 0 ). Suorkulmion B 2 B 1 B 4 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x). Suorkulmion B 2 B 3 B 6 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x 0 ). Vertmll lueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l suorkulmioiden B 2 B 1 B 4 B 5 j B 2 B 3 B 6 B 5 pint-loihin sdn (x x 0 ) f(x 0 ) A (x x 0 ) f(x) : (x x 0 ) f(x 0 ) A(x) A(x 0) x x 0 f(x). (7) Kun x x 0, sdn lim f(x 0 ) = f(x 0 ) j lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 x x0 Siten ottmll rj-rvo puolittin yhtälöstä (7) sdn: f(x 0 ) lim x x0 A(x) A(x 0 ) x x 0 f(x 0 ) A (x 0 ) = f(x 0 ). Kosk x 0 on mielivltinen, sdn A (x) = f(x). Siten A(x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio. 52
Lsketn seurvksi yllä olevn kuvn pint-l A = A(b) A(). Olkoon F (x) mielivltinen funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin F (x) = A(x) + c, c vkio. Siis F (b) F () = (A(b) + c) (A() + c) = A(b) A() = A. Luse 4.4. Jos funktio f(x) on välillä [, b] jtkuv j f(x) 0 x [, b], niin määrätty integrli b f(x) dx on käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l. 4.7 Määrätyn integrlin ominisuuksist Luse 4.5. Olkoot funktiot f(x) j g(x) jtkuvi välillä [, b] j olkoon c R vkio. Tällöin (i) (ii) b b cf(x) dx = c b f(x) dx (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx Todistus. Olkoot F (x) j G(x) funktioiden f(x) j g(x) eräät integrlifunktiot. 53
(i) (ii) b cf(x) dx = b/ cf (x) = cf (b) cf () = c(f (b) F ()) = c b/ b F (x) = c f(x) dx b (f(x) + g(x)) dx = b/ (F (x) + G(x)) = (F (b) + G(b)) (F () + G()) b/ b/ = F (b) F () + G(b) G() = F (x) + (G(x) b b = f(x) dx + g(x) dx Esimerkki 4.23. 2 (x 3 + 3x 2 + 2) dx 1 Luse 4.6. Jos funktio f(x) on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c Todistus. Olkoon F (x) eräs funktion f(x) integrlifunktio. b f(x) dx = F (b) F () = (F (b) F (c)) + (F (c) F ()) = b/ F (x) + c/ F (x) = b c f(x) dx + f(x) dx. c c 54
{ x 2 1, x 0 2 Esimerkki 4.24. Olkoon f(x) = x 3 x 1, x > 0. Määrää f(x) dx 2 Luse 4.7. Myös tilnteess b b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Nyt j b f(x) dx = / F (x) = F () F () = 0 f(x) dx = F (b) F () = (F () F (b)) = f(x) dx. b Luse 4.8. Olkoot f(x) j g(x) jtkuvi funktioit välillä [, b]. (i) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin (ii) Jos f(x) g(x) välillä [, b], niin (iii) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin b b f(x) dx 0. b f(x) dx f(x) dx 0. b g(x) dx. Todistus. Olkoon F (x) funktion f(x) integrlifunktio j G(x) funktion g(x) integrlifunktio. (i) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on ksvv välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0. (ii) Kosk f(x) g(x) välillä [, b], niin g(x) f(x) 0 välillä [, b] j kohdn 55
(i) nojll b b b (g(x) f(x)) dx 0 g(x) dx f(x) dx 0 b b f(x) dx g(x) dx. (iii) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on vähenevä välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0. Luse 4.9 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio. Tällöin on olemss inkin yksi x 0 ], b[, jolle b f(x) dx = f(x 0 )(b ). Todistus. Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio. Siten f(x) svutt tällä välillä suurimmn rvon (= M) j pienimmän rvon (= m). Siis välillä [, b] on voimss m f(x) M. Luseen 4.8 kohdn (ii) nojll b m dx b/ mx b b m(b ) f(x) dx f(x) dx b b b/ Mx m 1 b f(x) dx M. b M dx f(x) dx M(b ) : (b ) (b > ) 56
Jtkuv funktio s rvokseen jokisen rvon minimin j mksimin väliltä, joten on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 1 b b f(x) dx. Geometrisesti: Välillä ], b[ on sellinen koht x 0, että pisteiden (, 0), (, f(x 0 )), (b, f(x 0 )) j (b, 0) määräämän suorkulmion pint-l on yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen A pint-l. 57
4.8 Pint-ln määritys integrlin vull 1 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Nyt käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l b A = f(x) dx Esimerkki 4.25. Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = 1 x 2, x kseli sekä suort x = 1 j x = 3. 2 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Määritetään käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A. Käyrät y = f(x) j y = f(x) ovt symmetriset x kselin suhteen. 58
Nyt f(x) 0 j siten käyrän f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävä pint-l A 1 = b f(x) dx. Symmetrin perusteell tämä on myös x kselin, käyrän y = f(x) sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l. Siten kun f(x) 0 välillä [, b], niin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A = b f(x) dx. Esimerkki 4.26. ) Määrää välillä [0, 1] käyrän f(x) = x 3 x j x kselin väliin jäävän lueen pint-l. b) Määrää käyrän f(x) = x 3 x j x kselin rjoittmn lueen pint-l. 59
3 o Khden käyrän väliin jäävä pint-l. Oletetn, että f(x) g(x) välillä [, b]. On määritettävä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrät y = f(x) j y = g(x) sekä suort x = j x = b. Nyt funktiot f(x) j g(x) voivt sd myös negtiivisi rvoj välillä [, b]. Olkoon c niin suuri vkio, että g(x)+c 0 välillä [, b]. Tällöin myös f(x)+c 0. 60