Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät mahdollseks jonkn ertsteoran aulla kehtettjen elementten kättämsen. Kolmulotteset elementt erustuat leseen kolmulottesen lujuuson teoraan jollon kakk kenttäunktoden (srtmätla- jänntstla- ja muodonmuutostlakenttä komonentt oat laskennassa mukana. Srtmätlakentällä on kolme komonentta joten kolmulottesen elementn solmulla on kolme srtmäaausastetta. Solmujen määrä tulee arsnkn korkeamman nterolontasteen elementellä suureks mstä johtuen kolmulotteset elementt ja erkot oat raskata kästellä. Kolmulottesa elementtejä odaan muodostaa kuausteknkalla emoelementtejä ja nden nterolontunktota kättäen. än saadaan akaan ahtelean geometrsen muodon omaaa ja halutulla taalla -koordnaatstoon sjottua kolmulottesa soldelementtejä. Perusajatuksena kuausteknkassa on koordnaattmuunnos joka kuaa emoelementn solmut kuaelementn astnsolmuks. Geometran kuauksen emo- ja kuaelementn älllä on oltaa kääntäen kskästtenen jotta sntät kuaelementt olsat kelollsa. Kuausteknkalla saadaan akaan sekä tasomaset tahot omaaa että kaareatahosa kuaelementtejä. 8. Lneaarnen neltahonen elementt 8.. Emotetraedrn geometrnen kuaus arkastellaan kuan 8. (a lneaarsta neltahosta elementtä jonka solmut sjatseat elementn kärkstessä ja nden koordnaatt oat ( L. Solmukoordnaatten ektort oat tällön { ˆ } { } { ŷ} { } { ẑ} { } (8. Kuan 8. (b emoelementn lneaarset nterolontunktot ja geometran kuausmatrs oat (8. [ G ] [ ] (8. D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. Edellä on merkntöjen ksnkertastamseks jätett nterolontunktosta ja sekä kuausmatrssta [ G ] nden argumentt ja os. än menetellään jatkossa usen mudenkn suureden htedessä. Lukjan on kutenkn stä tarkon hahmottaa mtkä suureet ruat emoelementn koordnaatesta ja. Kuaus joka muuntaa emotetraedrn -koordnaatston tetraedrelementks nn että kuaelementn kärjet oat stessä L on muotoa ( [ G]{ ˆ } [ G]{ ŷ} [ G]{ ẑ} (8. [ G] Kua 8. Emotetraedrn lneaarnen kuaus -koordnaatstoon. Emotetraedrn kärksteet kuautuat kuassa 8. estetn solmunumeronnn mukasest ja emoelementn tahosta tulee kuaelementn astntahoja. Kuaus (8. on lneaarnen joten koordnaatttasojen ja suuntasten tasojen kuat oat tasoja ja nden jakosuhteet sälät mutta hdensuuntasuus e leensä säl. Koska kuaelementn tahot määrätät kskästtesest elementn kärksteden erusteella lttät elementterkossa erekkäsks kuatut elementt tosnsa lman aukkoja. Kuaus (8. on kääntäen kskästtenen kun kuaelementn solmut oat er stessä ja kakk solmut eät ole samassa tasossa. Kuaus (8. antaa kuaelementn koordnaatt emoelementn koordnaatten unktona el ( ( ja (. Kenttäunkton ( osttasderaatoks muuttujen ja suhteen tulee ketjusäännön mukasest ja matrsmuotoon krjotettuna [ ] (8.5 D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. D-soldrakenteet Matrs [ ] on kuauksen acobn matrs. Kuaushtälöstä (8. seuraa acobn matrslle ja sen determnantlle lausekkeet [ ] (8.6 6V (8.7 jossa V on analttsen geometran mukaan kuaelementn tlauus. Kaaasta (8.7 tulee > kun solmut numerodaan kuan 8. mukasessa järjestksessä. Kaaasta (8.5 seuraa tulos [ ] [ ] 6 V (8.8 Kaaassa (8.8 [ ] [ ] adj on acobn matrsn adjungaatt jonka akassa j olea alko on matrsn [ ] alkota j astaaa aldetermnantt. Esmerkks adjungaatn akkaan tulea alko on ( Seuraaassa on lstattu kakken matrsn [ ] alkoden lausekkeet (8.9
Elementtmenetelmän erusteet 8. ulosta (8.8 tartaan määrtettäessä elementn knemaattsen matrsn lauseketta. Kuaelementn l oleat ntegraalt odaan matematkan mukaan muuntaa emoelementn alueeseen kaaalla V F( d d d Emo 6 V F[ ( ( ( ] H( d dd d dd (8. jossa on kätett merkntää F[( ( ( ] H(. 8.. Srtmäkentän nterolont Kuan 8. (a elementn solmulla on kolme aausastetta srtmät - - ja - suunnssa joten elementllä on aausastetta. Kun aausastenumeront altaan solmuttan eteneäks tulee elementn solmusrtmäektorks { } { u w u w u w u w } u (8. Elementn alueessa tuntemattomana kenttäunktona on srtmäkenttä { (} { u( ( w( } d (8. joka ssältää elementn alueen steden ( - - ja -suuntaset srtmät u ( ( ja w (. Srtmäkenttä { d } nterolodaan elementn alueessa solmuarostaan. Interolonnssa kätetään samoja nterolontunktota (8. kun elementn geometran kuauksessa. Srtmäkentän komonentelle saadaan nän u( ( w( ( u u u u ( ( w w w w (8. Määrtellään elementn nterolontmatrs [ ] seuraaast [ ] (8. jollon kenttäunkton nterolont (8. odaan krjottaa tmään muotoon D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8.5 D-soldrakenteet { } [ ]{ } u d (8.5 Koska nterolontunktot ( määrtettn emoelementn koordnaatten ja aulla antaa kaaa (8.5 elementn srtmäkentän nden unktona. Srtmäkentän nterolont on elementten rajannolla C -jatkua. 8.. Muodonmuutostlakenttä D-soldrakentella muodonmuutoskomonentten ektor { } on muotoa { } { } (8.6 Knemaattset htälöt oat lesessä kolmulottesessa taauksessa w w u u w u (8.7 Kaaasta (8.7 seuraa ektorn { } ja srtmäkentän { } d htedeks tulos { } [ ]{ } d D w u (8.8 jossa on määrtelt knemaattnen derentaaloeraattor [ ] D seuraaast [ ] D (8.9 Kaaosta (8.8 ja (8.5 saadaan muodonmuutosektorlle { } solmusrtmen aulla estett lklauseke
Elementtmenetelmän erusteet 8.6 D-soldrakenteet { } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } u u D d D (8. jossa knemaattsen matrsn [ ] [ ][ ] D lausekkeeks tulee [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L (8. Interolontunktoden deraatat odaan laskea kaaan (8.8 aulla josta saadaan esmerkks deraatalle lauseke V 6 Muutkn deraatat saadaan samalla eraatteella ja ne on estett kaaassa (8. 6V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V 6 V (8. Knemaattseks matrsks [ ] tulee edellä olean erusteella seuraaa akomatrs
Elementtmenetelmän erusteet 8.7 D-soldrakenteet [ ] 6 V (8. Kaaan (8. mukaan muodonmuutosektor on elementn alueessa ako ja sks lneaarsta neltahosta elementtä kutsutaan ako enmän tetraedrelementks. 8.. änntstlakenttä D-soldrakentella jänntskomonentten ektor { } on muotoa { } { } (8. Vektoreden { } ja { } älnen htes saadaan materaalhtälöstä jotka lneaarsest kmmosen materaaln taauksessa oat muotoa { } [ ]{ } E (8.5 Konsttutnen matrs [ ] E on lesessä taauksessa seuraaan kaaan mukanen [ ] ( ( E E (8.6 jossa E on kmmomoduul Possonn ako ja (. Kaaojen (8.5 ja (8. aulla saadaan jänntskomonentten ektor lausuttua solmusrtmen aulla { } [ ]{ } [ ][ ]{ } u E E (8.7 Kaaasta (8.7 näk että mös jänntskomonentt oat lneaarsen neltahosen elementn alueessa akota. ällä elementllä saataat muodonmuutos- ja jänntskomonentt oat elementten rajannolla leensä eäjatkua ja rttään tarkkojen tulosten saamnen edellttää melko theän elementterkon kättöä.
Elementtmenetelmän erusteet 8.8 8..5 äkksmatrs Elementn jäkksmatrs saadaan jälleen määrtettä tlauusntegraalsta [ ] [ ] [ E][ ] e k dv (8.8 Kaaojen (8. ja (8.6 matrsen [ ] ja [ ] E taauksessa lausekkeen (8.8 ntegrand on ako ja ntegront odaan suorttaa tarkast tuloksen ollessa [ k] [ ] [ E] [ ] V (8.9 Lneaarsen neltahosen elementn jäkksmatrs odaan laskea lman numeersta ntegronta kaaasta (8.9. 8..6 Ekalenttset solmukuormtukset Elementn ekalenttset solmukuormtukset saadaan kaaan (. ntegraalesta. 8..6. lauusomakuormtus lauusomakuormtusta astaaat ekalenttset solmukuormtukset odaan laskea kaaan (. keskmmäsestä tlauusntegraalsta {} r [ ] {}dv (8. e lauusomen ektorlla { } on komonentt - - ja -suunnassa el {} { } (8. Komonentt ja oat olla melaltasa koordnaatten ja unktota. Kun ntegront muunnetaan emotetraedrn alueeseen kaaan (8. mukasest on tlauusomakomonentt lausuttaa emon koordnaatten aulla. ämä onnstuu sjottamalla nhn ja kuaushtälöstä (8.. Merktään sjotuksen jälkeen saataaa tlauusomen ektora ja sen komonentteja seuraaast { } { } (8. Integraal (8. menee kaaan (8. erusteella muotoon D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8.9 {} r 6 V [ ] { } d d d (8. Lausekkeen (8. ntegrand [ ] { } on stektor { } (8. ähdään että tlauusomakomonentt aheuttaat solmukuormtuksa an oman suuntansa aausastesn. lauusomat odaan muuntaa solmukuormtuksks ntegraaln (8. aulla numeersella ntegronnlla. os { } { } { } on akoektor odaan ntegront suorttaa tarkast jollon tulee seuraaaa {} r 6 V ( ( ( d dd V (8.5 Kunkn suunnan tlauusoma jakaantuu solmulle samansuurusks steomks. 8..6. Pntaomakuormtus Pntaomakuormtusta astaa kaaan (. menen ntegraal {} [ ] { } r d (8.6 e jossa ntegront on elementterkon reunantaan kuuluan elementn tahon l. Pntaomen ektorlla on komonentt - - ja -suunnassa el D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. { } { } (8.7 Komonentt ja oat olla melaltasa koordnaatten ja unktota. Oletetaan ntakuormtuksen olean emon tahon kuataholla jonka solmut oat ja kuen 8. (a ja (b mukasest. Kuassa 8. (c on estett taholla akuttaa lenen ja kuassa (d lneaarnen ntakuormtuksen komonentt. Emon taholla on joten kuaushtälöstä (8. tulee ( ( ( d ( d ( d ( d ( d ( d ( d d d (8.8 [ G] Kua 8. Pntakuormtus elementn taholla. Otetaan kättöön kuaelementn suja ja tkn mtatut koordnaatt S ja S kuan 8. mukasest. Koska emon särmällä on d ja särmällä d saadaan derentaalelle ds ja ds lausekkeet D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. ds d d d d ( ( ( d s d ds d d d d ( ( ( d s d (8.9 e e S s S [( [( s d ( ( ds sd ds sd d j ( j ( dd Kua 8. Pntaelementn kuautumnen. k ] s k ] s Kaaassa (8.9 s ja s oat kuaelementn särmen ja tuudet. Kuaelementn tahon ntaelementt d lausutaan emoelementn tahon ntaelementn d d aulla laskemalla rsttuloektorn r r r d ds ds tuus d. Edellä on ds s d e ds s d jossa ja e e ja e oat kuaelementn sujen ja suuntaset kskköektort (8. Laskemalla d edellä estetllä taalla saadaan tulos d d d d (8. jossa on kuaelementn tahon nta-ala. uloksen (8. mukaan ntaelementten alojen suhde on sama kun tahojen alojen suhde. Interolontmatrs [ ] menee emotetraedrn taholla muotoon [ ] (8. Pntaomen ektor (8.7 saadaan lausuttua emon koordnaatten ja aulla sjottamalla ja kuaushtälöstä (8.8. Merktään sjotuksen jälkeen saataaa ntaomen ektora ja sen komonentteja seuraaast { } { } (8. D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. D-soldrakenteet Kun ntegraal (8.6 muunnetaan emotetraedrn tahon l oleaks saadaan se tulosten (8. (8. ja (8. erusteella muotoon {} [ ] { } d d r (8. Kaaan (8. ntegrand on auk krjotettuna [ ] { } ( ( ( (8.5 josta näk että ntakuormtuksesta tulee ekalenttsa solmukuormtuksa an sen akutustahon solmuhn ja lsäks kukn kuormtuskomonentt akuttaa an oman suuntansa aausastesn. Integraal (8. odaan laskea kaklla ntakuormtukslla anakn numeersest. os ntakuormtus on tareeks ksnkertanen odaan ntegront (8. suorttaa tarkastkn. arkastellaan esmerkknä tästä kuan 8. (d mukasta lneaarsest ahteleaa -akseln suuntasta ntakuormtusta. Koska ahtelee lneaarsest sen lauseke on muotoa c b a ( mssä a b ja c oat akota. ämä akot saadaan solmusta tulesta ehdosta ( ( ja ( jollon kuormtuksen lausekkeks tulee (8.6 Suure on kuaelementn tahon -tasolla olean rojekton nta-ala joten kaaa (8.6 e ole omassa jos kuataho on -akseln suuntasessa tasossa.
Elementtmenetelmän erusteet 8. Kun llä oleaan lausekkeeseen sjotetaan koordnaatt ja kuaushtälöstä (8.8 saadaan seennksen jälkeen tulokseks ( ( Δ Δ (8.7 Kaaasta (8. tulee seuraaa lauseke ekalenttslle solmukuormtukslle {} r ( ( Δ Δ ( Δ Δ ( Δ Δ d d (8.8 8..6. Esjänntstlakenttä Kaaan (. ensmmänen ntegraal {} r [ ] { }dv (8.9 e muuntaa esjänntstlakentän ekalenttsks solmukuormtuksks. Kuormtuksena esjänntstlakenttä { } { } (8.5 jonka komonentt oat rua koordnaatesta ja. Kun kenttä (8.5 lausutaan htälöden (8. aulla koordnaatten ja aulla saadaan kuormtus { } { } (8.5 Muuntamalla ntegraal (8.9 kaaan (8. mukasest emotetraedrn l lasketuks saadaan D-soldrakenteet
Elementtmenetelmän erusteet 8. D-soldrakenteet {} [ ] { } d d d 6 V r (8.5 Kakk esjänntsektort odaan muuntaa ekalenttsks solmukuormtuksks ntegraaln (8.5 aulla anakn numeersta ntegronta kättäen. os { } on akoektor odaan ntegront suorttaa tarkast sllä [ ] on kaaan (8. akomatrs. Koska emotetraedrn tlauus on 6 saadaan tulokseks {} 6 6 r (8.5