LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin väli, jonk päätepisteinä ovt j b; tpukset = j/ti b = sllitn. [, b] on relikselin kompkti väli, jonk päätepisteinä ovt j b; tässä < b <. [, b) on relikselin puolivoin väli ( < < b ); vstvsti (, b] ( < b < ). Joukon E krkteristist funktiot merkitään χ E ; siis χ E (x) = 1, jos x E, j χ E (x) = 0, jos x E. N := T trkoitt, että jo tutulle oliolle T nnetn nimi N. Esimerkiksi f : R R, f(x) := x 2. Tätä merkintää käytetään myös muodoss T =: N. Rjoitettu vs. äärellinen: Joukko A R on rjoitettu, jos on olemss r R siten, että A [ r, r]. Joukko A R on äärellinen, jos joukko A on tyhjä ti joukoss A on äärellisen mont lkiot (A = { 1,..., n } jollekin n Z + j joillekin 1,..., n R). Vnhemmss kirjllisuudess stetn käyttää nimitystä äärellinen väli (, b), mikä trkoitt rjoitettu väliä, jonk päätepisteinä ovt j b. Tällisiss esityksissä merkintä (, b) voi trkoitt voint, suljettu ti puolivoint väliä. Funktio f : A R on rjoitettu, jos on olemss M R siten, että f(x) M kikille x A. Funktio f : A R on äärellinen, jos < f(x) < kikille x A. Lebesguen integrlin yhteydessä trksteltville funktioille sllitn toisinn rvot + j. Ero rjoitetun j äärellisen funktion välillä on syytä pitää mielessä. 1.2. Epäyhtälöiden säilyminen Olkoot ( j ) j=1 j (b j ) j=1 suppenevi relilukujonoj. Jos j b j kikille j Z +, niin lim j j lim j b j. Jos j < b j kikille j Z +, niin lim j j lim j b j. Jos lim j j < lim j b j, niin on olemss j 0 Z + siten, että j < b j kikille j Z +, joille j > j 0. Jos lim j j lim j b j, niin voi oll j > b j kikille j Z +. 1.3. Ylä- j lrjt Olkoon A R epätyhjä relilukujoukko. Snotn, että A on ylöspäin rjoitettu, jos on olemss M R siten, että x M kikille x A. Siis joukko A ei ole ylöspäin rjoitettu, jos jokiselle M R on olemss x A siten, että x > M. 1 Viimeksi muutettu 13.9.2007. vi
1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI vii Olkoon A epätyhjä, ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. (i) Mikä thns luku M R, jolle x M kikille x A, on joukon A ylärj. (ii) Luku R on joukon pienin ylärj, jos () on joukon A ylärj, j (b) jos M on joukon A ylärj, niin M. Luse 1.1. Olkoon A epätyhjä, ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. Luku R on joukon A pienin ylärj, jos j vin jos (i) x kikille x A, j (ii) kikille ε > 0 on olemss x A siten, että x > ε. Aksioom 1.2 (Täydellisyysksioom). Jokisell epätyhjällä, ylöspäin rjoitetull relilukujoukoll A on pienin ylärj. Epätyhjän, ylöspäin rjoitetun joukon A pienintä ylärj merkitään sup A. Ljennetn pienimmän ylärjn käsitettä settmll sup A =, kun A on epätyhjä, mutt ei ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. Epätyhjälle relilukujoukolle A R käsitteet lspäin rjoitettu, lrj j suurin lrj, inf A, määritellään vstvsti. Suurimmn lrjn olemssolo seur täydellisyysksioomst. Nimittäin, inf A = sup( A), kun A := { x x A}, joukon A vstlukujen joukko. Vstvsti setetn inf A =, kun A on epätyhjä, mutt ei lspäin rjoitettu relilukujoukko. Olkoon ( n ) n=1 suppenev relilukujono j A sen rj-rvo. Asetetn b k := inf{ n n k} j c k := sup{ n n k}. Tällöin ) jono (b k ) on ksvv j sup{b k k Z + } = lim b k = A; k b) jono (c k ) on vähenevä j inf{c k k Z + } = lim c k = A. k Nämä tulokset on hrjoituksen vuoksi syytä todist. 1.4. Riemnnin integrli Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Välin [, b] jko on äärellinen joukko P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}}, missä n Z + j x 0 = < x 1 <... < x n = b. Huom: kurssill Anlyysi 2 [17] joksi kutsutn lukujono x 0 = < x 1 <... < x n = b. (Engl. prtition.) Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis jko, missä jokinen osväli [x k 1, x k ] on merkitty ntmll siltä
1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI viii piste t k. Merkittyyn jkoon T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} liittyvä (tvllinen) jko P sdn unohtmll merkit t 1,..., t n, P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}}. (Engl. tgged prtition.) Olkoon δ > 0. Jko P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} on δ-hieno, jos P := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Merkitty jko T on δ-hieno, jos siihen liittyvä tvllinen jko P on δ-hieno. Merkitylle jolle T käytetään sm merkintää T = P kuin tvlliselle jolle. Funktion f merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Riemnnin käyttämä määritelmä on seurv: funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R(f, T ) I < ε. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään l- j yläporrsfunktioiden vull (lporrsfunktio g on porrsfunktio g, jolle g f, j yläporrsfunktio on porrsfunktio h, jolle h f). Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1.1) (1.2) j (1.3) (1.4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). Funktion f Drboux n (ti Riemnnin) l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- f(x) dx := inf P P S P, missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv (kurssill Anlyysi 2 Riemnnintegroituv), jos f(x) dx = f(x) dx.
1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI ix Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1.1) (1.4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Drboux n l- j yläsummt ovt peräisin J. G. Drboux lt vuodelt 1875. Drboux n esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest nnetn Augustin Cuchylle (1823), mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchy kuitenkin käytti todistuksessn nimenomn tsist jtkuvuutt. Tämän tärkeän tuloksen todisti Heinrich Heine vuonn 1872. Bernhrd Riemnn käytti nimeään kntvi Riemnnin summi integrlins määrittelyyn vuonn 1854. Cuchyn käyttämä määritelmä, jok ensimmäisenä perustui äärellisten summien rj-rvojen eikä epämääräisten infinitesimlien käyttöön, oli muuten sm kuin Riemnnill, mutt merkit eli pisteet t k vlittiin jkopisteistä, f(x k 1 )(x k x k 1 ). Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1.3. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. Yksi muoto Riemnn-integroituvuudelle on seurv porrsfunktiojonojen vull ilmistu luse. Tämä on hyvä todist kertuksen vuoksi, sillä Lebesguen integrli tulln käsittelemään juuri porrsfunktiojonojen vull. Luse 1.4. Olkoot f : [, b] R rjoitettu funktio j (P j ) j=1 jono välin [, b] jkoj siten, että P j 0, kun j. Olkoot g j j h j jko P j vstvt, kvojen (1.1) (1.4) vull määritellyt l- j yläporrsfunktio. ) Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin b) Jos lim j g j = lim lim j j g j = lim h j = j h j =: I, niin f Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx. f(x) dx = I. Seurv tulos on yksi muoto Anlyysin perusluseest, ehkä se tvllisin: Luse 1.5. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Kikille x [, b] setetn Tällöin ) F on jtkuv; F (x) = x f(t) dt.
1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI x b) jos f on jtkuv pisteessä x, niin F on derivoituv pisteessä x j F (x) = f(x). Seurv derivtn j integrlin välistä yhteyttä selvittävä tulos lienee vähemmän tunnettu, vikk sen todistus onkin vrsin helppo. Tuloksen kuneutt lisää se, että siinä ei tehdä mitään turhi oletuksi: jott derivtt voitisiin integroid, pitää sen oll integroituv! Luse 1.6. Olkoon F : [, b] R derivoituv funktio siten, että derivtt F on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin F (x) dx = F (b) F (). Todistus knntt käydä läpi hrjoitustehtävänä. Muist Riemnn-integroituvuus Riemnnin summien vull j differentililskennn välirvoluse: F (x k ) F (x k 1 ) = F (t k )(x k x k 1 ). Näin vlitulle merkitylle jolle Riemnnin summ on R(F, T ) = F (b) F (). Riemnnin integrlin määritelmästä seur, että jos f on Riemnn-integroituv, niin integrlin pproksimoimiseen voidn käyttää mitä thns riittävän tiheää jko j mitä thns jkoväleiltä vlittuj pisteitä t k. Erityisesti voidn käyttää tsvälistä jko x k = + k (b )/n, 0 k n, j pisteitä t k = x k 1, 1 k n. Siis, jos f on Riemnn-integroituv, niin ( f + (k 1) b n ) b n f(x) dx, kun n. Integrlikäsitteen helpottmiseksi sttisi houkutukseksi muodostu seurv määritelmä (siis Riemnnin integrlin sijst, ei sen rinnll): Rjoitettu funktio f : [, b] R on N-integroituv välillä [, b] (N = niivi?), jos seurv rj-rvo on olemss: lim n ( f + (k 1) b n ) b k. Jos f on N-integroituv, niin yllä olev luku merkitään N- f(x) dx j kutsutn funktion f N-integrliksi. Jott integrlist olisi jotin hyötyä, pitäisi sillä oll hyödyllisiä ominisuuksi. Esimerkiksi: jos c (, b) j f on N-integroituv kummllkin osvälillä [, c] j [c, b], niin tällöin f on N-integroituv välillä [, b] j N- f(x) dx = N- c f(x) dx + N- c f(x) dx. Pitääkö tämä väite pikkns? Entä miten muut tutut tulokset (linerisuus yms) ovt voimss N-integrlille? Ehkä luonnollisempi vihtoehto integrlikäsitteeksi olisi Anlyysin perusluseest mieleen johtuv Integrlifunktio-integrli: Olkoon f : [, b] R nnettu funktio. Snotn, että f on IF-integroituv, jos on olemss derivoituv funktio F : [, b] R
IF- 1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI xi siten, että F (x) = f(x) kikille x [, b] (päätepisteissä toispuoleiset derivtt). Jos f on IF-integroituv, setetn funktion f IF-integrliksi f(x) dx := x=b x= F (x) := F (b) F (), Kosk derivointi on tvllisesti helpomp kuin integrlifunktion etsiminen, on derivoimll helppo määrätä iso tulukko IF-integroituvi funktioit j niiden integrlej (näinhän tehdään kurssill Anlyysi 2). Anlyysin perusluseen nojll jokinen jtkuv funktio f : [, b] R on IF-integroituv. Mutt Anlyysin perusluse todistetn tvllisesti Riemnnin integrlin vull. Entä jos integrlilskent hluttisiin yksinkertist korvmll Riemnnin integrli IF-integrlill? Miten tällöin (ilmn Riemnnin integrlin käsitettä) osoitetn, että jokinen jtkuv funktio on IF-integroituv? Luse 1.7 (Jtkuvien funktioiden välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Tällöin f svutt jokisen suurimmn rvons M := sup f([, b]) j pienimmän rvons m := inf f([, b]) välisen rvon, t.s. f([, b]) = [m, M]. Luse 1.8 (Differentililskennn välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b). Tällöin on olemss ξ (, b) siten, että f(b) f() = f (ξ) (b ). Luse 1.9 (Derivttojen välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b), j joll on äärelliset toispuoliset derivtt f (+) j f (b ) välin päätepisteissä, f f(x) f() (+) := lim, f f(x) f(b) (b ) := lim. x + x x b x b Oletetn, että f (+) f (b ). Olkoon c vlittu lukujen f (+) j f (b ) välistä. Tällöin on olemss ξ (, b) siten, että f (ξ) = c. Todistuside. Olkoon g : [, b] R, f(x) f() g(x) =, kun < x b, j g() = f (+). x Funktio g on jtkuv, joten jtkuvien funktioiden välirvoluseen nojll se svutt jokisen päätepisteissä smiens rvojen f (+) j (f(b) f())/(b ) välisen rvon josskin välin [, b] pisteessä. Olkoon y lukujen f (+) j (f(b) f())/(b ) välissä j x [, b] siten, että g(x) = y. Oletetn, että x > (tpus x = jää hrjoitustehtäväksi). Differentililskennn välirvoluseen nojll on olemss ξ (, x) siten, että g(x) = (f(x) f())/(x ) = f (ξ). Siis f svutt kikki lukujen f (+) j (f(b) f())/(b ) väliset rvot välillä (, b). Vstvll tvll, trkstelemll funktiot : [, b] R, f(x) f(b) h(x) =, kun x < b, j g(b) = f (b ), x b nähdään, että f svutt jokisen lukujen (f(b) f())/(b ) j f (b ) välisen rvon josskin välin (, b) pisteessä.
1.5. JOUKKO- JA FUNKTIO-OPPIA xii Luse 1.10. Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b). Oletetn, että derivtll f on oikenpuolinen rj-rvo d pisteessä x =, d = lim x + f (x). Tällöin funktioll f on oikenpuolinen derivtt pisteessä x = j f (+) = d. Muistettkoon, että funktio f : [, b] R on derivoituv pisteessä c (, b), jos j vin jos funktioll f on pisteessä x = c molemmt toispuoliset derivtt f (c+) j f (c ) j f (c+) = f (c ). Edellisestä luseest seur, että jos funktio f on derivoituv välillä (, b), mutt f ei ole jtkuv pisteessä x = c, niin derivtll f ei ole jompkump (ti kumpkn) toispuoleist rj-rvo f (c+) ti f (c ). Derivtn epäjtkuvuudet eivät siis voi oll hyppäysepäjtkuvuuksi. Luse 1.11 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Tällöin on olemss ξ [, b] siten, että f(x) dx = f(ξ) (b ). 1.5. Joukko- j funktio-oppi 1.5.1. Joukkojen äärellisille yhdisteille j leikkuksille pätee: (i) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B) (ii) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B) (iii) B \ (A 1 A 2 ) = (B \ A 1 ) (B \ A 2 ) (iv) B \ (A 1 A 2 ) = (B \ A 1 ) (B \ A 2 ) (v) B \ (B \ A 1 ) = A 1, jos A 1 B. 1.5.2. Numeroituvsti äärettömät j yleiset yhdisteet j leikkukset: Olkoot I indeksijoukko j jokiselle i I A i nnettu joukko. Tällöin A i := {x on olemss i I siten, että x A i }, i I A i := {x x A i kikille i I}. i I Näille on voimss (i) ( i I A ) i B = i I (A i B) (ii) ( i I A ) i B = i I (A i B) (iii) B \ ( i I A ) i = i I (B \ A i) (iv) B\ ( i I A ) i = i I (B \ A i) 1.5.3. Olkoon A j, j Z +, nnettu jono joukkoj. Asetetn B 1 := A 1 j B k := A k \ k 1 j=1 Tällöin joukot B k ovt preittin pistevierit j n n B k = kikille n Z +, sekä A k A j, kun k > 1. B k = A k.
1.5. JOUKKO- JA FUNKTIO-OPPIA xiii Huom, että jos joukot A j muodostvt ksvvn jonon (eli A 1 A 2 A 3... ), niin B k = A k \ A k 1, kun k > 1. 1.5.4. Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus sekä A, A 1, A 2 X j B, B 1, B 2 Y nnettuj osjoukkoj. Tällöin (i) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (ii) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) (iii) A f 1 (f(a)) (iv) f(f 1 (B)) B (v) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vi) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vii) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B) 1.5.5. Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus. Tällöin f(f 1 (B)) = B kikille osjoukoille B Y, jos j vin jos f on surjektio. 1.5.6. Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä: (i) f on injektio; (ii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) kikille osjoukoill A 1, A 2 X; (iii) A = f 1 (f(a)) kikille osjoukoill A X; (iv) f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) \ f(a 2 ) kikille osjoukoill A 1, A 2 X, joille A 2 A 1. 1.5.7. Olkoot A j, j N, numeroituvi joukkoj. Tällöin niiden yhdiste on numeroituv. j N A j